Analysis III - Bachelorversion

Transkript

1 Analysis III - Bachelorversion Die Mitarbeiter von September 217

2

3 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 2 I. Vorwort 5 I.1. Über dieses Skriptum I.2. Wer I.3. Wo Vorbereitungen 7 1. σ-algebren und Maße 9 2. Das Lebesguemaß Messbare Funktionen Konstruktion des Lebesgueintegrals Nullmengen Der Konvergenzsatz von Lebesgue Parameterintegrale Vorbereitungen auf das, was kommen mag Das Prinzip von Cavalieri Der Satz von Fubini Der Transformationssatz (Substitutionsregel) Polarkoordinaten Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten Vorbereitungen für die Integralsätze Der Integralsatz von Gauß im R Flächen im R Explizite Parameterdarstellung Integralsatz von Stokes L p -Räume und L p -Räume 91 3

4 Inhaltsverzeichnis 17. Das Integral im Komplexen Fourierreihen 17 A. Satz um Satz (hüpft der Has) 115 Stichwortverzeichnis 115 B. Credits für Analysis III 119 4

5 I. Vorwort I.1. Über dieses Skriptum Dies ist ein Mitschrieb der Vorlesung Analysis III von Herrn Schmoeger im Wintersemester 21 an der Universität Karlsruhe (KIT). Die Mitschriebe der Vorlesung werden mit ausdrücklicher Genehmigung von Herrn Schmoeger hier veröffentlicht, Herr Schmoeger ist für den Inhalt nicht verantwortlich. I.2. Wer Gestartet wurde das Projekt von Joachim Breitner. Beteiligt an diesem Mitschrieb sind Rebecca Schwerdt, Philipp Ost, Jan Ihrens, Peter Pan und Benjamin Unger. I.3. Wo Alle Kapitel inklusive L A TE-Quellen können unter abgerufen werden. Dort ist ein Wiki eingerichtet und von Joachim Breitner um die L A TE-Funktionen erweitert. Das heißt, jeder kann Fehler nachbessern und sich an der Entwicklung beteiligen. Auf Wunsch ist auch ein Zugang über Subversion möglich. 5

6

7 Vorbereitungen In diesem Paragraphen seien, Y, Z Mengen ( ) und f : Y, g : Y Z Abbildungen. (1) (i) P() := {A : A } heißt Potenzmenge von. (ii) Sei M P(), so heißt M disjunkt, genau dann wenn A B = für A, B M mit A B. (iii) Sei (A j ) eine Folge in P() (also A j ), so heißt (A j ) disjunkt, genau dann wenn {A 1, A 2,...} disjunkt ist. In diesem Fall schreibe: j=1 := j=1 A j Allgemein sei j=1 A j := A j und j=1 A j := A j. (2) Sei A, für x definiere wobei A c := \ A. 1 A (x) := { 1, x A, x A c (3) Sei B Y dann ist f 1 (B) := {x : f(x) B} und es gelten folgende Eigenschaften: (i) f 1 (B c ) = f 1 (B) c (ii) Ist B j eine Folge in P(Y ), so gilt: f 1 ( B j ) = f 1 (B j ) f 1 ( B j ) = f 1 (B j ) (iii) Ist C Z, so gilt: (g f) 1 (C) = f 1 (g 1 (C)) (4) j=1 a j =: a j 7

8

9 1 σ-algebren und Maße In diesem Paragraphen sei eine Menge. Definition Sei A P(), A heißt eine σ-algebra auf, wenn gilt: (σ 1 ) A (σ 2 ) Ist A A, so ist auch A c A. (σ 3 ) Ist (A j ) eine Folge in A, so ist A j A. Beispiel (1) {, } und P() sind σ-algebren auf. (2) Sei A, dann ist {,, A, A c } eine σ-algebra auf. (3) A := {A : A abzählbar oder A c abzählbar} ist eine σ-algebra auf. Lemma 1.1 Sei A eine σ-algebra auf, dann: (1) A (2) Ist (A j ) eine Folge in A, so ist A j A. (3) Sind A 1,..., A n A, so gilt: (i) A 1 A n A (ii) A 1 A n A (iii) A 1 \ A 2 A (1) = c A (nach (σ 2 )). (2) D := A j. D c = A c j A (nach (σ 2) und (σ 3 )), also gilt auch D = (D c ) c A. (3) (i) A 1 A n A folgt aus (σ 3 ) mit A n+j := (j 1). (ii) A 1 A n A folgt aus (2) mit A n+j := (j 1). (iii) A 1 \ A 2 = A 1 A c 2 A 9

10 1. σ-algebren und Maße Lemma 1.2 Sei F eine Menge von σ-algebren auf. Dann ist eine σ-algebra auf. A := A F A (σ 1 ) A F : A = A. (σ 2 ) Sei A A, dann gilt: A F : A A = A F : A c A = A c A (σ 3 ) Sei (A j ) eine Folge in A, dann ist (A j ) Folge in A für alle A F, dann gilt: A F : A j A = A j A Definition Sei E P() und F := {A : A ist σ-algebra auf mit E A}. Definiere σ(e) := Dann ist wegen 1.2 σ(e) eine σ-algebra auf. σ(e) heißt die von E erzeugte σ-algebra. E heißt ein Erzeuger von σ(e). A F A Lemma 1.3 Sei E P(). (1) E σ(e). σ(e) ist die "kleinste"σ-algebra auf, die E enthält. (2) Ist E eine σ-algebra, so ist σ(e) = E. (3) Ist E E, so ist σ(e) σ(e ). (1) Klar nach Definition. (2) A := E, dann gilt A σ(e) A. (3) E E σ(e ), also folgt nach Definition σ(e) σ(e ). 1

11 Beispiel (1) Sei A und E := {A}. Dann ist σ(e) = {,, A, A c }. (2) := {1, 2, 3, 4, 5}, E := {{1}, {1, 2}}. Dann gilt: σ(e) := {,, {1}, {2}, {1, 2}, {3, 4, 5}, {1, 3, 4, 5}, {2, 3, 4, 5}} Erinnerung: Sei d N, R d. A heißt offen (abgeschlossen) in, genau dann wenn ein offenes (abgeschlossenes) G R d existiert mit A = G. Beachte: A abgeschlossen in \ A offen in. Definition Sei R d. (1) O() := {A : A ist offen in } (2) B() := σ(o()) heißt Borelsche σ-algebra auf. (3) B d := B(R d ). Die Elemente von B d heißen Borelsche Mengen oder Borel-Mengen. Beispiel (1) Sei R d. Ist A offen (abgeschlossen) in, so ist A B(). (2) Ist A R d offen (abgeschlossen) so ist A B d. (3) Sei d = 1, A = Q. Q ist abzählbar, also Q = {r 1, r 2,...} (mit r i r j für i j). Also ist Q = {r j }. Sei nun r Q, dann ist B := (, r) (r, ) B 1. Daraus folgt {r j } B 1, also auch Q B 1. Allgemeiner lässt sich zeigen: Q d := {(x 1,..., x d ) : x j Q(j = 1,..., d)} B d. Definition (1) Seien I 1,..., I d Intervalle in R. I 1 I d heißt ein Intervall in R d. (2) Seien a = (a 1,..., a d ), b = (b 1,..., b d ) R d. a b : a j b j (j = 1,..., d) (3) Seien a, b R d und a b. (a, b) := (a 1, b 1 ) (a d, b d ) (a, b] := (a 1, b 1 ] (a d, b d ] [a, b) := [a 1, b 1 ) [a d, b d ) [a, b] := [a 1, b 1 ] [a d, b d ] mit der Festlegung (a, b) := (a, b] := [a, b) :=, falls a j = b j für ein j {1,..., d}. (4) Für k {1,..., d} und α R definiere die folgenden Halbräume: H k (α) := {(x 1,..., x d ) R d : x k α} H + k (α) := {(x 1,..., x d ) R d : x k α} 11

12 1. σ-algebren und Maße Satz 1.4 (Erzeuger der Borelschen σ-algebra auf R d ) Es seien E 1, E 2, E 3 wie folgt definiert: Dann gilt: E 1 := {(a, b) : a, b Q d, a b} E 2 := {(a, b] : a, b Q d, a b} E 3 := {H k (α) : α Q, k = 1,..., d} B d = σ(e 1 ) = σ(e 2 ) = σ(e 3 ) Entsprechendes gilt für die anderen Typen von Intervallen und Halbräumen. (1) Sei G O(R d ), M := {(a, b) : a, b Q d, a b, (a, b) G}. Dann ist M abzählbar und G = I M I. also gilt: G σ(e 1 ) = B d = σ(o(r d )) σ(e 1 ) (2) Sei (a, b) E 1. Fall 1: (a, b) = E 2 σ(e 2 ) Fall 2: (a, b), a = (a 1..., a d ), b = (b 1..., b d ). Dann gilt für alle j {1,..., d} : a j < b j, also gilt auch: N N : n N : j {1,..., d} : a j < b j 1 n Definiere c n := ( 1 n,..., 1 n ) Qd. Dann gilt: (a, b) = (a, b c n ] σ(e 2 ) n N Also auch E 1 σ(e 2 ) und damit σ(e 1 ) σ(e 2 ). (3) Seien a = (a 1,..., a d ), b = (b 1,..., b d ) Q d mit a b. Nachrechnen: (a, b] = d (H k (b k) H k (a k) c ) σ(e 3 ). k=1 Das heißt E 2 σ(e 3 ) und damit auch σ(e 2 ) σ(e 3 ). (4) H k (α) ist abgeschlossen, somit ist H k (α)c offen und damit H k (α)c B d, also auch H k (α) B d. Damit ist E 3 B d = σ(e 3 ) B d. Definition Sei M P() und Y. heißt die Spur von M in Y. M Y := {A Y : A M} 12

13 Satz 1.5 (Spuren und σ-algebren) Sei Y und A eine σ-algebra auf. (1) A Y ist eine σ-algebra auf Y. (2) A Y A Y A (3) Ist E P(), so ist σ(e Y ) = σ(e) Y. (1) (σ 1 ) Es ist Y = Y A Y, da A. (σ 2 ) Sei B A Y, dann existiert ein A A mit B = A Y. Also ist Y \ B = ( \ A) Y A Y, da \ A A ist. (σ 3 ) Sei (B j ) eine Folge in A Y, dann existiert eine Folge (A j ) A N mit B j = A j Y. Es gilt: Bj = (A j Y ) = ( A j ) Y A Y (2) Der erfolgt durch Implikation in beiden Richtungen: = Es gilt Y A Y A. = Sei B A Y, dann existiert ein A A mit B = A Y A. (3) Es gilt: E σ(e) = E Y σ(e) Y = σ(e Y ) σ(e) Y Sei nun: D := {A : A Y σ(e Y )} Übung: D ist eine σ-algebra auf. Sei E E dann ist E Y E Y σ(e Y ) also E D und damit E D. Daraus folgt: σ(e) Y σ(d) Y = D Y = {A Y : A D} σ(e Y ) Folgerungen 1.6 Sei R d. Dann gilt: (1) B() = (B d ) (2) Ist B d, so ist B() = {A B d : A } B d. Definition Wir fügen R das Symbol + hinzu. Es soll gelten: (1) a R : a < + 13

14 1. σ-algebren und Maße (2) ±a + (+ ) := + =: (+ ) ± a (3) (+ ) + (+ ) := + Sei etwa [, + ] := [, ) {+ }. (1) Sei (x n ) eine Folge in [, + ]. Es gilt: n x n : c > nc N : n n c : x n > c (2) Sei (a n ) eine Folge in [, + ]. Es gilt a n = a n = + n=1 genau dann wenn a j = + für ein j N oder, falls alle a j < +, wenn a n divergiert. Wegen 13.1 Ana I können Reihen der obigen Form beliebig umgeordnet werden, ohne dass sich ihr Wert verändert. Definition Sei A eine σ-algebra auf und µ : A [, + ] eine Abbildung. µ heißt ein Maß auf A, genau dann wenn gilt: (M 1 ) µ( ) = (M 2 ) Ist (A j ) eine disjunkte Folge in A, so ist µ( A j ) = µ(a j ). Diese Eigenschaft heißt σ-additivität. Ist µ ein Maß auf A, so heißt (, A, µ) ein Maßraum. Ein Maß µ heißt endlich, genau dann wenn µ() <. Ein Maß µ heißt ein Wahrscheinlichkeitsmaß, genau dann wenn µ() = 1 ist. Beispiel (1) Sei A = () und x. δ x : A [, + ] sei definiert durch: { 1, x A δ x (A) :=, x A Klar ist, dass δ x ( ) = ist. Sei (A j ) eine disjunkte Folge in A. δ x ( { 1, x A j A j ) =, x A j } = δ x (A j ) δ x ist ein Maß auf () und heißt Punktmaß oder Dirac-Maß. (2) Sei := N, A := () und (p j ) eine Folge in [, + ]. Definiere µ : A [, + ] durch: {, A = µ(a) := j A p j, A Übung: µ ist ein Maß auf A = (N) und heißt ein Zählmaß. Sind alle p j = 1, so ist µ(a) gerade die Anzahl der Elemente von A. 14

15 (3) Sei (, A, µ) ein Maßraum, Y und A A eine σ-algebra auf Y. Definiere µ : A [, + ] durch µ (A) := µ(a) (A A ). Dann ist (Y, A, µ ) ein Maßraum. Ist spezieller Y A, so ist A := A Y A und man definiert µ Y : A Y [, + ] durch µ Y (A) := µ(a). Satz 1.7 (, A, µ) sei ein Maßraum, es seien A, B A und (A j ) sei eine Folge in A. Dann: (1) A B = µ(a) µ(b) (2) Ist µ(a) < und A B, = µ(b \ A) = µ(b) µ(a) (3) Ist µ endlich, dann ist µ(a) < und µ(a c ) = µ() µ(a) (4) µ ( A j ) µ(a j ) (σ-subadditivität) (5) Ist A 1 A 2 A 3, so ist µ( A j ) = lim n µ(a n ) (6) Ist A 1 A 2 A 3 und µ(a) <, so ist µ( A j ) = lim n µ(a n ) (1)-(3) B = (B \ A) A. Dann: µ(b) = µ(b \ A) +µ(a) µ(a) }{{} (4) B 1 = A 1, B k := A k \ k 1 j=1 A j (k 2) Dann: B j A, B j A j (j N); (B j ) disjunkt und A j = B j. Dann: ( ) ( ) µ Aj = µ Bj = µ(b j ) µ(a j ) }{{} µ(a j ) (5) B 1 = A 1, B k = A k \ A k 1 (k 2) Dann: B j A; B j A j (j N); A j = B j und A n = n j=1 B j Dann: µ( A j ) = µ( B j ) = µ(b j ) = lim n n µ(b j ) j=1 }{{} =µ( n j=1 B j)=µ(a n) (6) Übung 15

16

17 2 Das Lebesguemaß In diesem Kapitel sei eine Menge,. Definition Sei R P(). R heißt ein Ring (auf ), genau dann wenn gilt: (1) R (2) A, B R = A B, B \ A R Definition Sei d N. (1) I d := {(a, b] a, b R d, a b}. Seien a = (a 1,..., a d ), b = (b 1,..., b d ) R d und I := (a, b] I d { falls I = λ d (I) = (b 1 a 1 )(b 2 a 2 ) (b d a d ) falls I (Elementarvolumen) { n } (2) F d := j=1 I j n N, I 1,..., I n I d (Menge der Figuren) Ziel dieses Kapitels: Fortsetzung von λ d auf F d und dann auf B d ( Lebesguemaß) Beachte: I d F d B d 1.4 = B d = σ(i d ) = σ(f d ) Lemma 2.1 Seien I, I I d und A F d. Dann: (1) I I I d (2) I \ I F d. Genauer: {I 1,..., I l } I d disjunkt: I \ I = l j=1 I j (3) {I 1,..., I l } I d disjunkt: A = l j=1 I j (4) F d ist ein Ring. (1) Sei I = d k=1 (a k, b k ], I = d k=1 (α k, β k ]; α k := max{α k, a k }, β k := min{β k, b k } Ist α k β k für ein k {1,..., d}, so ist I I = I d. Sei α k < β k k {1,..., d}, so ist I I = d k=1 (α k, β k ] I d 17

18 2. Das Lebesguemaß (2) Induktion nach d: I.A. Klar I.V. Die Behauptung gelte für ein d 1 I.S. Seien I, I I d+1. Es existieren I 1, I 1 I 1 und I 2, I 2 I d mit: I = I 1 I 2, I = I 1 I 2 Nachrechnen: I \ I = (I 1 \ I 1) I 2 (I 1 I 1) (I 2 \ I 2) I.A. = I 1 \ I 1 = endliche disjunkte Vereinigung von Elementen aus I 1 I.V. = I 2 \ I 2 = endliche disjunkte Vereinigung von Elementen aus I d Daraus folgt die Behauptung für d + 1 (3) Wir zeigen mit Induktion nach n: ist A = n j=1 I j mit I 1,..., I d I d, so existiert {I 1,..., I l } I d disjunkt: A = l j=1 I j I.A. n = 1 : A = I 1 I.V. Die Behauptung gelte für ein n 1 I.S. Sei A = n+1 j=1 I j (I 1,..., I n+1 I d ) IV = {I 1,..., I l } I d disjunkt: n j=1 I j = l j=1 I j Dann: A = I n+1 l j=1 I j = I n+1 l j=1 (I j \ I n+1) Wende (2) auf jedes I j \ I n+1 an (j = 1,..., l): I j \ I n+1 = l j j=1 I j (I j I d) Damit folgt: A = I n+1 l j=1 l j j=1 I j Daraus folgt die Behauptung für n + 1. (4) (a, a] = = F d Seien A, B F d. Klar: A B F d Sei A = n j=1 I j, B = n j=1 I j (I j, I j I d). Zu zeigen: B \ A F d I.A. n = 1 : A = I 1 = B \ A = n j=1 (I j \ I j ). Wende (2) auf jedes }{{} I j \ I 1 an. Aus (2) F d folgt dann B \ A F d. I.V. Die Behauptung gelte für ein n N I.S. Sei A = A I n+1 (I n+1 I d ). Dann: F d B \ A = (B \ A) }{{} \ I }{{} n+1 F d F d 18

19 Lemma 2.2 Sei A F d und {I 1,..., I n } I d disjunkt und {I 1,..., I m} I d disjunkt mit n j=1 I j = A = m j=1 I j. Dann: n m λ d (I j ) = λ d (I j) j=1 j=1 Definition Sei A F d und A = n j=1 I j mit {I 1,..., I n } I d disjunkt (beachte Lemma 2.1, Punkt 3). λ d (A) := n λ d (I j ) j=1 Wegen Lemma 2.2 ist λ d : F d [, ) wohldefiniert. Satz 2.3 Seien A, B F d und (B n ) sei eine Folge in F d. (1) A B = = λ d (A B) = λ d (A) + λ d (B) (2) A B = λ d (A) λ d (B) (3) λ d (A B) λ d (A) + λ d (B) (4) Sei δ >. Es existiert C F d : C B und λ d (B \ C) δ. (5) Ist B n+1 B n n N und B n =, so gilt: λ d (B n ) (n ) (1) Aus Lemma 2.1 folgt: Es existiert {I 1,..., I n } I d disjunkt und es existiert {I 1,..., I m} I d disjunkt: A = n j=1 I j, B = m j=1 I j. J := {I 1,..., I n, I 1,..., I m} I d. Aus A B = folgt: J ist disjunkt. Dann: A B = I J I Also: λ d (A B) = I J λ d (I) = n λ d (I j ) + j=1 m λ d (I j) j=1 = λ d (A) + λ d (B) (2) wie bei Satz

20 2. Das Lebesguemaß (3) λ d (A B) = λ(a (B \ A)) (1) = λ d (A) + λ d (B \ A) (2) λ d (A) + λ d (B) (4) Übung; es genügt zu betrachten: B I d (5) Sei ε >. Aus (4) folgt: Zu jedem B n existiert ein C n F d : C n B n und λ d (B n \ C n ) ε 2 n (2.1) Dann: C n B n = = C c n = R d = B }{{} 1 C c n }{{} kompakt offen Aus der Definition von Kompaktheit (Analysis II, 2) folgt: m N : Dann: m j=1 C j B c 1. Andererseits: m j=1 C j m j=1 B j B 1 B 1. Also: m j=1 C j =. Das heißt: n j=1 C j = n m D n := n j=1 C j. Dann: D n = n m m j=1 Cc j B 1 Behauptung: λ d (B n \ D n ) ( 1 1 ) 2 ε n N n I.A. λ d (B 1 \ D 1 ) = λ d (B 1 \ C 1 ) (2.1) ε 2 = ( 1 1 2) ε I.V. Die Behauptung gelte für ein n N. I.S. λ d (B n+1 \ D n+1 ) = λ d ((B n+1 \ D n ) (B n+1 \ C n+1 )) (3) λ d (B n+1 \ D n }{{} (2) ) + λ d (B n+1 \ C n+1 ) }{{} B n\d n λ d (B n \ D n ) + ( I.V. 1 1 ) 2 n ε + = ( n+1 ) ε ε 2 n+1 ε 2 n+1 (2.1) ε 2 n+1 Für n m : D n = = λ d (B n ) = λ d (B n \ D n ) ( n ) ε ε Definition Es sei R ein Ring auf. Eine Abbildung µ : R [, ] heißt ein Prämaß auf R, wenn gilt: (1) µ( ) = (2) Ist A j eine disjunkte Folge in R und A j R, so ist µ ( A j ) = µ(a j ). Satz 2.4 λ d : F d [, ] ist ein Prämaß. 2

21 (1) Klar: λ d ( ) = (2) Sei A j eine disjunkte Folge in F d und A := A j F d. B n := j=n A j (n N); (B n ) hat die Eigenschaften aus 2.3, Punkt 5. Also: λ d (B n ). Für n 2: λ d (A) = λ d (A 1 A n 1 B n ) 2.3.(1) = n 1 λ d (A j ) + λ d (B n ) j=1 Daraus folgt: n 1 λ d (A j ) = λ d (A) λ d (B n ) n 2 j=1 Mit n folgt die Behauptung. Satz 2.5 (Fortsetzungssatz von Carathéodory) Sei R ein Ring auf und µ : R [, ] ein Prämaß. Dann existiert ein Maßraum (, A(µ), µ) mit (1) σ(r) A(µ) (2) µ(a) = µ(a) A R Insbesondere: µ ist ein Maß auf σ(r). Satz 2.6 (Eindeutigkeitssatz) Sei E (), es seien ν, µ Maße auf σ(e) und es gelte: µ(e) = ν(e) E E. Weiter gelten: (1) E, F E = E F E (durchschnittstabil) (2) Es existiert eine Folge (E n ) in E: E n = und µ(e n ) < n N. Dann: µ = ν auf σ(e). Satz 2.7 Es gibt genau eine Fortsetzung von λ d : F d [, ] auf B d zu einem Maß. Diese Fortsetzung heißt Lebesguemaß (L-Maß) und wird ebenfalls mit λ d bezeichnet. 21

22 2. Das Lebesguemaß Aus Lemma 2.1 und Satz 2.4 folgt: λ d ist ein Prämaß auf R := F d ; es ist σ(r) = B d. Aus Satz 2.5 folgt: λ d kann zu einem Maß auf B d fortgesetzt werden. Sei ν ein weiteres Maß auf B d mit: ν(a) = λ d (A) A F d. E := I d. Dann: σ(e) 1.4 = B d. (1) E, F E 2.1 = E F E (2) E n := ( n, n] d Klar: En = R d λ d (E n ) = (2n) d < Klar: ν(e) = λ d (E) E E. Mit Satz 2.6 folgt dann: ν = λ d auf B d. Bemerkung: Sei B d. Aus 1.6 folgt: B() = {A B d A }. Die Einschränkung von λ d auf B() heißt ebenfalls L-Maß und wird mit λ d bezeichnet. Beispiele: (1) Seien a = (a 1,..., a d ), b = (b 1,..., b d ) R d, a b und I = [a, b]. Behauptung λ d ([a, b]) = (b 1 a 1 ) (b d a d ) (Entsprechendes gilt für (a, b) und [a, b)) I n := (a 1 1 n, b 1] (a d 1 n, b d]; I 1 I 2 ; I n = I, λ d (I 1 ) < Aus Satz 1.7, Punkt 5, folgt: λ d (I) = lim n λ d(i n ) = lim n (b 1 a n ) (b d a d + 1 n ) = (b 1 a 1 ) (b d a d ) (2) Sei a R d, {a} = [a, a] B d. Aus obigem Beispiel (1) folgt: λ d ({a}) =. (3) Q d ist abzählbar, also: Q d = {a 1, a 2,...} mit a j a i (i j). Dann: Q d = {a j } Dann gilt: Q d B d und λ d (Q d ) = λ d ({a j }) =. (4) Wie in Beispiel (3): Ist A R d abzählbar, so ist A B d und λ d (A) =. (5) Sei j {1,..., d} und H j := {(x 1,..., x d ) R d x j = }. H j ist abgeschlossen, damit folgt: H j B d. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei j = d. Dann: I n := [ n, n] [ n, n] {}. }{{} (d 1) mal Aus Beispiel (1) folgt: λ d (I n ) =. Aus H d = I n folgt: λ d (H d ) λ d (I n ) =. Also: λ d (H j ) =. 22

23 Definition Sei x R d, B R d. Definiere: x + B := {x + b b B} Beispiel Ist I I d, so gilt x + I I d und λ d (x + I) = λ d (I). Satz 2.8 Sei x R d, A := {B B d µ(a) := λ d (x + A). Dann gilt: : x + B B d } und µ : A [, ] sei definiert durch (1) (R d, A, µ) ist ein Maßraum. (2) Es ist A = B d und µ = λ d auf B d. D.h. für alle A B d ist x + A B d und λ d (x + A) = λ d (A) (Translationsinvarianz des Lebesgue-Maßes). (1) Leichte Übung! (2) Es ist klar, dass B d A. Nach dem Beispiel von oben gilt: I d A B d = σ(i d ) σ(a) = A Setze E := I d, dann ist σ(e) = B d und es gilt nach dem Beispiel von oben: E E : µ(e) = λ d (E) E hat die Eigenschaften (1) und (2) aus Satz 2.6, daraus folgt dann, dass µ = λ d auf B d ist. Satz 2.9 Sei µ ein Maß auf B d mit der Eigenschaft: Weiter sei c := µ((, 1] d ) <. Dann gilt: x R d, A B d : µ(a) = µ(x + A) µ = c λ d Satz 2.1 (Regularität des Lebesgue-Maßes) Sei A B d, dann gilt: (1) λ d (A) = inf { λ d (G) G R d offen und A G } { = inf λ d (V ) V = } j=1 I j, I j R d offenes Intervall, A V (2) λ d (A) = sup{λ d (K) K R d kompakt, K A} 23

24 2. Das Lebesguemaß (1) Ohne. (2) Setze β := sup{λ d (K) K R d kompakt, K A}. Sei K kompakt und K A, dann gilt λ d (K) λ d (A), also ist auch β λ d (A). Fall 1: Sei A zusätzlich beschränkt. Sei ε >. Es existiert ein r >, sodass A B := U r () [ r, r] d ist, dann gilt: λ d (A) λ d ([ r, r] d ) = (2r) d < Aus (1) folgt, dass eine offene Menge G B \ A existiert mit λ d (G) λ d (B \ A) + ε. Dann gilt nach 1.7: λ d (B \ A) = λ d (B) λ d (A) Setze nun K := B \ G = B G c, dann ist K kompakt und K B \ (B \ A) = A. Da B G K ist, gilt: λ d (B) λ d (G K) λ d (B) λ d (A) + ε + λ d (K) Woraus folgt: λ d (A) λ d (K) + ε Fall 2: Sei A B d beliebig. Setze A n := A U n (). Dann ist A n für alle n N beschränkt, A n A n+1 und A = n N A n. Nach 1.7 gilt: λ d (A) = lim λ d (A n ) Aus Fall 1 folgt, dass für alle n N ein kompaktes K n A n mit λ d (A n ) λ d (K n ) + 1 n existiert. Dann gilt: λ d (A n ) λ d (K n ) + 1 n λ d(a) + 1 n Also auch: λ d (A) = lim λ(k n ) β Auswahlaxiom: Sei Ω Indexmenge, es sei { ω ω Ω} ein disjunktes System von nichtleeren Mengen ω. Dann existiert ein C ω Ω ω, sodass C mit jedem j genau ein Element gemeinsam hat. Satz 2.11 (Satz von Vitali) Es existiert ein C R d sodass C B d. Wir definieren auf [, 1] d eine Äquivalenzrelation, durch: x, y [, 1] d : x y x y Q d x [, 1] d : [x] := {y [, 1] d x y} 24

25 Nach dem Auswahlaxiom existiert ein C [, 1] d, sodass C mit jedem [x] genau ein Element gemeinsam hat. Es ist Q d [ 1, 1] d = {q 1, q 2,...} mit q i q j für (i j). Dann gilt: (q n + C) [ 1, 2] d (1) n=1 [, 1] d (q n + C) (2) n=1 Sei x [, 1] d. Wähle y C mit y [x], dann ist x y, also x y Q d [ 1, 1] d. D.h.: n N : x y = q n = x = q n + y q n + C Außerdem ist {q n + C n N} disjunkt. Sei z (q n + C) (q m + C), dann existieren a, b Q d, sodass gilt: (q n + a = z = q m + b) = (b a = q m q n Q d ) = (a b) = ([a] = [b]) = (a = b) = (q n = q m ) Annahme: C B d, dann gilt nach (1): 3 d = λ d ([ 2, 1] d ) λ d ( (q n + C)) = λ d (q n + C) = λ d (C) Also ist λ d (C) =. Damit folgt aus (2): 1 = λ d ([, 1] d ) λ d ( (q n + C)) = λ d (C) = 25

26

27 3 Messbare Funktionen In diesem Paragraphen seien, Y, Z Mengen. Definition Ist A eine σ-algebra auf, so heißt (, A) ein messbarer Raum. Definition Sei A eine σ-algebra auf, B eine σ-algebra auf Y und f : Y eine Funktion. f heißt genau dann A-B-messbar, wenn gilt: B B : f 1 (B) A Bemerkung: Seien die Bezeichnungen wie in obiger Definition, dann gilt: (1) f sei A-B-messbar, A eine weitere σ-algebra auf mit A A und B sei eine σ-algebra auf Y mit B B. Dann ist f A -B -messbar. (2) Sei A, dann gilt A A nach 1.5. Nun sei f : Y A-B-messbar, dann ist f : Y A -B-messbar. Beispiel (1) Sei A eine σ-algebra auf und A. 1 A : R ist genau dann A-B 1 -messbar, wenn A A ist. (2) Sei = R d. Ist A B d, so ist 1 A B d -B 1 -messbar. (3) Ist C wie in 2.11, so ist 1 C nicht B d -B 1 -messbar. (4) Es sei f : Y eine Funktion und B (A) eine σ-algebra auf Y (), dann ist f ()-B-messbar (A-{Y, }-messbar). Satz 3.1 Seien A, B, C σ-algebren auf, Y bzw. Z. Weiter seien f : Y und g : Y Z Funktionen. (1) Ist f A B messbar und ist g B C messbar, so ist g f : Z A C messbar. (2) Sei E (Y ) und σ(e) = B. Dann: f ist A B messbar, genau dann, wenn gilt: E E : f 1 (E) A (1) Sei C C; g ist messbar, daraus folgt g 1 (C) B; f ist messbar, daraus folgt f 1 (g 1 (C)) = (g f) 1 (C) A 27

28 3. Messbare Funktionen (2) D := {B Y f 1 (B) A} Übung: D ist eine σ-algebra auf Y. Aus der Voraussetzung folgt: E D. Dann: B = σ(e) D. Ist B B, so ist B D, also f 1 (B) A. Definition Sei B d. Ist f : R k B() B k messbar, so heißt f (Borel-)messbar. Ab jetzt sei stets B d. (Erinnerung: B() = {A B d A }) Satz 3.2 Seien f, g : R k und α, β R. (1) Ist f auf stetig, so ist f messbar. (2) Ist f = (f 1,..., f k ), so gilt: f ist messbar alle f j sind messbar. (3) Sind f und g messbar, so ist αf + βg messbar. (4) Sei k = 1 und f und g seien messbar. Dann: (i) fg ist messbar (ii) Ist f(x) x, so ist 1 f messbar (iii) {x f(x) g(x)} B() (1) Sei G O(R k ). Mit f stetig folgt: f 1 (G) O() B() σ(o(r k )) = B k. Die Behauptung folgt aus 3.1.(2). (2) : Sei I = (a, b] = k j=1 (a j, b j ] I k (a = (a 1,..., a k ), b = (b 1,..., b k ), a b) Dann: f 1 (I) = k j=1 f j 1 ((a j, b j ] B() }{{} B 1 }{{} B() Aus σ(i k ) = B k folgt mit 3.1.(2): f ist messbar. : Für j = 1,..., k sei p j : R k R definiert durch p j (x 1,..., x k ) := x j p j ist stetig, also messbar (nach (1)). Es ist f j messbar. = p j f. Mit 3.1.(1) folgt: f j ist (3) h := (f, g) : R 2k ; aus (2): h ist messbar. ϕ(x, y) := αx + βy (x, y R k ) 28

29 ϕ ist stetig, also messbar (nach (1)). Es ist αf + βg = ϕ h. Mit 3.1.(1) folgt: αf + βg ist messbar. (4) (i) h := (f, g) : R 2k ist messbar (nach (2)); ϕ(x, y) := xy, ϕ ist stetig, also messbar. Es ist fg = ϕ h. Mit 3.1.(1) folgt: fg ist messbar. (ii) ϕ(x) := 1 x, ϕ ist stetig auf R \ {}, also messbar. 1 f = ϕ f. Mit 3.1.(1) folgt: 1 f ist messbar. (iii) A := {x f(x) g(x)} = {x f(x) g(x) [, )} = B() B 1 1 {}}{ (f g) ([, )) }{{} messbar nach (3) Folgerungen 3.3 (1) Seien A, B B(), A B = und = A B. Weiter seien f : A R k und g : B R k messbar. Dann ist h : R k, definiert durch { f(x) x A h(x) := g(x) x B, messbar. (2) Ist f : R k messbar und g(x) := f(x) (x ), so ist g messbar. (1) Sei C B k. Dann: h 1 (C) = f 1 (C) }{{} g 1 (C) }{{} B() B(A) B() B(B) B() (2) Definiere ϕ(z) = z (z R k ); ϕ ist stetig, also messbar. Es ist g = ϕ f. Mit 3.1 folgt: g ist messbar. Beispiel { sin(y) = R 2, f(x, y) := x x x = für x : f(x, x) = sin() x x 1 = f(, ), daraus folgt: f ist nicht stetig. A := {(x, y) R 2 x = }, B := {(x, y) R 2 x }, = A B, A B =. A ist abgeschlossen, das heißt: A B 2, B = A C B 2 f 1 (x, y) := ((x, y) A) f 2 (x, y) := sin(y) x ((x, y) B) f 1 ist stetig auf A, f 2 ist stetig auf B. Also: f 1, f 2 ist messbar; mit 3.3.(1) folgt: f ist messbar. 29

30 3. Messbare Funktionen Ein neues Symbol kommt hinzu: R := [, + ] := R {, + } In R gelten folgende Regeln, wobei a R: (1) < a < + (2) ± + (± ) = ± (3) ± + a := a + (± ) := ± ± a > (4) a (± ) := (± ) a = a = a < (5) a ± := Definition (1) Sei (x n ) eine Folge in R. x n + : c R n c N : x n c n n c Analog für. (2) Seien f, g : R. Dann: {f g} := {x f(x) g(x)} {f g} := {x f(x) g(x)} {f g} := {x f(x) g(x)} {f < g} := {x f(x) < g(x)} {f > g} := {x f(x) > g(x)} (3) Sei a R und f : R. Dann: {f a} := {x f(x) a} {f a} := {x f(x) a} {f a} := {x f(x) a} {f < a} := {x f(x) < a} {f > a} := {x f(x) > a} Definition B 1 := {B E B B 1, E {, + }}. Dann: B 1 B 1 Übung: B 1 ist eine σ-algebra auf R. B 1 heißt Borelsche σ-algebra auf R. Sei f : R. f heißt (Borel-)messbar (mb) : f ist B() B 1 messbar. Beispiel f(x) := + (x ), also: f : R Sei B B 1, A := f 1 (B) = {x f(x) B} Fall 1: + B, dann: A = B() Fall 2: + B, dann: A = B() 3

31 f ist messbar. Satz 3.4 (1) Definiere die Mengen: E 1 := {[, a] a Q} E 2 := {[, a) a Q} E 3 := {(a, ] a Q} E 4 := {[a, ] a Q} Dann gilt: B 1 = σ(e j ) für j {1, 2, 3, 4} (2) Für f : R sind die folgenden Aussagen äquivalent: (i) f ist messbar. (ii) a Q : {f a} B(). (iii) a Q : {f a} B(). (iv) a Q : {f < a} B(). (v) a Q : {f > a} B(). (3) Die Äquivalenzen in (2) gelten auch für Funktionen f : R. Die folgenden e erfolgen exemplarisch für einen der Unterpunkte und funktionieren fast analog für die anderen. (1) Für a Q gilt: [, a] c = (a, ] σ(e 1 ) D.h. es gilt E 3 σ(e 1 ) und damit auch σ(e 3 ) σ(e 1 ). (2) Es gilt: {f a} = {x f(x) a} = f 1 ([, a]) Die Äquivalenz folgt dann aus (1) und 3.1. (3) Die Funktion f : R kann aufgefasst werden als Funktion f : R. Es ist f genau dann B()-B 1 -messbar wenn f B()-B 1 -messbar ist. Definition Sei M R. (1) Ist M = oder M = { }, so sei sup M := (2) Ist M \ { } und nach oben beschränkt (also insbesondere M), so sei sup M := sup(m \ { }) 31

32 3. Messbare Funktionen (3) Ist M \ { } nicht nach oben beschränkt oder M, so sei sup M := (4) Es sei inf M := sup( M), wobei M := { m m M}. Definition Sei (f n ) eine Folge von Funktionen f n : R. (1) Die Funktion sup n N (f n ) : R ( inf n N (f n ) : R ) ist definiert durch: (sup f n )(x) := sup{f n (x) n N} n N ( ( inf f n)(x) := inf{f n (x) n N} n N x ) x (2) Die Funktion lim sup n f n : R ( lim inf n f n : R ) ist definiert durch: lim sup f n := inf (sup f n ) n j N n j lim inf f n := sup(inf f n) n n j j N ( ) Erinnerung: Für eine beschränkte Folge (a n ) in R war lim sup a n := inf{sup{a n n j} j N} n (3) Sei N N und g j := f j (für j = 1,..., N), g j := f N (für j > N). Definiere: max f n := sup 1 n N g n j N min f n := inf g n 1 n N j N (4) Ist f n (x) für jedes x R konvergent, so ist lim n f n : R definiert durch: ( lim n f n)(x) := lim n f n(x) (In diesem Fall gilt lim n f n = lim sup n f n = lim inf n f n.) Satz 3.5 Sei (f n ) eine Folge von Funktionen f n : R und jedes f n messbar. (1) Dann sind ebenfalls messbar: sup f n n N inf n N f n lim sup f n n N lim inf n N f n (2) Ist (f n (x)) für jedes x in R konvergent, so ist lim n f n messbar. 32

33 (1) Sei a Q, dann gilt (nach 3.4(2)): {sup f n a} = {f n a} B() n N n N Also ist sup n N f n messbar. Analog lässt sich die Messbarkeit von inf n N f n zeigen, der Rest folgt dann aus ( ). (2) Folgt aus (1) und obiger Bemerkung in der Definition. Beispiel Sei = I ein Intervall in R und f : I R sei auf I differenzierbar. Für x I, n N sei f n := n(f(x 1 n ) f(x)). Da f stetig ist, ist auch jedes f n stetig, also insbesondere messbar und es gilt: Aus 3.5(2) folgt, dass f messbar ist. f n (x) = f(x 1 n ) f(x) 1 n n f (x) Definition Sei f : R eine Funktion. (1) f + := max{f, } heißt Positivteil von f. (2) f := max{ f, } heißt Negativteil von f. Es gilt f +, f, f = f + f und f = f + + f. Satz 3.6 Seien f, g : R und α, β R. (1) Sind f, g messbar und ist αf(x) + βg(x) für jedes x definiert, so ist αf + βg messbar. (2) Sind f, g messbar und ist f(x)g(x) für jedes x definiert, so ist fg messbar. (3) f ist genau dann messbar, wenn f + und f messbar sind. In diesem Fall ist auch f messbar. (1)+(2) Für alle n N, x seien f n und g n wie folgt definiert: f n (x) := max{ n, min{f(x), n}} g n (x) := max{ n, min{g(x), n}} Dann sind f n (x), g n (x) [ n, n] für alle n N, x. Nach 3.2(3) sind also αf n + βg n und f n g n messbar. Außerdem gilt: Die Behauptung folgt aus 3.5(2). αf n (x) + βg n (x) n f n (x)g n (x) n αf(x) + βg(x) f(x)g(x) 33

34 3. Messbare Funktionen (3) Nach 3.5(1) sind f + und f messbar, wenn f messbar ist. Die umgekehrte Implikation folgt aus 3.6(1). Sind f + und f messbar, so folgt ebenfalls aus 3.6(1), dass f = f + + f messbar ist. Beispiel Sei C R d wie in 2.11, also C B d. Definiere f : R d R wie folgt: { 1, x C f(x) := 1, x C Dann ist {f 1} = C, also f nicht messbar. Aber für alle x R d ist f(x) = 1, also f = 1 R d und damit messbar. Definition f : R sei messbar. (1) f heißt einfach oder Treppenfunktion, genau dann wenn f() endlich ist. (2) f sei einfach und f() = {y 1,..., y m } mit y i y j für i j. Sei weiter A j := f 1 ({y j }) für j = 1,..., m. Dann sind A 1,..., A m B() und = m j=1 A j disjunkte Vereinigung. m f = y j 1 Aj heißt Normalform von f. Beispiel Sei A B(). Definiere: j=1 f := 1 A = 2 1 A \A = 1 A + 1 \A Wobei das letzte die Normalform von f ist. Man sieht also, dass einfache Funktionen mehrere Darstellungen haben können. Satz 3.7 Linearkombinationen und Produkte, sowie endliche Maxima und Minima einfacher Funktionen, sind einfach. Satz 3.8 Sei f : R messbar. (1) Ist f auf, so existiert eine Folge (f n ) von einfachen Funktionen f n : [, ), sodass f n f n+1 auf ( n N) und f n (x) n f(x) ( x ). In diesem Fall heißt (f n ) zulässig für f. (2) Es existiert eine Folge (f n ) von einfachen Funktionen f n : R, sodass f n f auf ( n N) und f n (x) n f(x) ( x ). (3) Ist f beschränkt auf (also insbesondere ± f()), so kommt in (2) noch hinzu, dass (f n ) auf gleichmäßig gegen f konvergiert. 34

35 Folgerungen 3.9 (( mit 3.8(2) und 3.5)) Sei f : R eine Funktion, dann ist f genau dann messbar, wenn eine Folge einfacher Funktionen (f n ) mit f n : R und f n (x) n f(x) für alle x existiert. (1) Für n N definiere ϕ n : [, ] [, ) durch ϕ n (t) := { [2 n t] 2, t < n n n, n t Dann ist ϕ n (B 1 ) [, ] -B 1 -messbar, außerdem gilt: t [, ] n N : ϕ 1 t t [, n] n N : t 1 2 n ϕ n(t) t und es ist ϕ n (t) n t für alle t [ ]. Setze f n := ϕ n f. Dann leistet (f n ) das gewünschte. (2) Es ist f = f + f und f +, f auf. Seien (g n ), (h n ) zulässige Folgen für f + bzw. f. Definiere f n := g n h n. Dann ist klar, dass gilt: x : f n (x) = g n (x) h n (x) n f + (x) f (x) = f(x) Weiter gilt: f n g n + h n f + + f = f (3) Ohne. 35

36

37 4 Konstruktion des Lebesgueintegrals In diesem Paragraphen sei B d. Wir schreiben außerdem λ statt λ d. Definition Sei f : [, ) eine einfache Funktion mit der Normalform f = m j=1 y j1 Aj. Das Lebesgueintegral von f ist definiert durch: f(x) dx := m y j λ(a j ) j=1 Satz 4.1 Sei f : [, ) einfach, z 1,..., z k [, ) und B 1,..., B k B() mit B j = und f = k j=1 z j1 Bj. Dann gilt: k f(x) dx = z j λ(b j ) j=1 In der großen Übung. Satz 4.2 Seien f, g : [, ) einfach, α, β [, ) und A B(). (1) 1 A(x) dx = λ(a) (2) (αf + βg)(x) dx = α f(x) dx + β g(x) dx (3) Ist f g auf, so ist f(x) dx g(x) dx. (1) Folgt aus der Definition und 4.1. (2) Es seien f = m j=1 y j1 Aj und g = k j=1 z j1 Bj die Normalformen von f und g. Dann gilt: αf + βg = m αy j 1 Aj + j=1 k βz j 1 Bj j=1 37

38 4. Konstruktion des Lebesgueintegrals Dann gilt: (αf + βg) 4.1 = = α m αy j λ(a j ) + j=1 m y j λ(a j ) + β j=1 = α k βz j λ(b j ) j=1 f(x) dx + β k z j λ(b j ) j=1 g(x) dx (3) Definiere h := g f. Dann ist h und einfach. Sei h = m j=1 x j1 Cj die Normalform von h, d.h. x 1,..., x m. Dann gilt: h(x) dx = m x j λ(c j ) j=1 Also folgt aus g = f + h und (2): g(x) dx = f(x) dx + h(x) dx f(x) dx Definition Sei f : [, ] messbar. (f n ) sei eine für f zulässige Folge. Das Lebesgueintegral von f ist definiert als: f(x) dx := lim f n (x) dx ( ) n Bemerkung: (1) In 4.3 werden wir sehen, dass ( ) unabhängig ist von der Wahl der für f zulässigen Folge (f n ). (2) (f n (x)) ist wachsend für alle x, d.h.: f(x) = lim f n(x) = (sup f n )(x) n n N (3) Aus 4.2(3) folgt dass ( f n(x) dx) wachsend ist, d.h.: lim f n (x) dx = sup{ f n (x) dx n N} = f ( x) dx n Bezeichnung: Für messbare Funktionen f : [, ] definiere M(f) := { g dx g : [, ) einfach und g f auf } 38

39 Satz 4.3 Ist f : [, ] messbar und (f n ) zulässig für f, so gilt: Insbesondere ist f(x) dx wohldefiniert. L := lim f n dx = sup M(f) n Folgerungen 4.4 Ist f : [, ] messbar, so ist f(x) dx = sup M(f). Sei f n dx M(f) n N. Dann ist { L = sup Sei nun g einfach und g f. Sei weiter die Normalform von g. Sei α > 1 und B n := {αf n g}. Dann ist } f n dx n N sup M(f) g = m y j 1 Aj j=1 B n B() und (B n B n+1, sowie 1 Bn g αf n. Sei x. Fall 1: Ist f(x) =, so ist wegen g f auch g(x) =. Somit ist x B n für jedes n N. Fall 2: Ist f(x) >, so ist 1 g(x) < f(x) α (Dies ist klar für g(x) = und falls gilt: g(x) >, so ist 1 αg(x) < g(x) f(x) ) Da f n zulässig für f ist, gilt: f n (x) f(x) (n ), weshalb ein n(x) N existiert mit: 1 g(x) < f(x)für jedes n n(x) α Es folgt x B n für jedes n n(x). Fazit: = B n. ( ) A j = A j = A j Bn = (A j B n ) und A j B n A j B n+1 Aus 1.7 folgt λ(a j ) = lim λ(a j B n ). Das liefert: n m m g dx = y j λ(a j ) = y j lim λ(a j B n ) n j=1 = lim m n j=1 lim n j=1 y j λ(a j B n ) 4.1 = lim αf n dx = αl n 1 Bn g dx 39

40 4. Konstruktion des Lebesgueintegrals g war einfach und g f beliebig, sodass sup M(f) αl α 1 = sup M(f) L Satz 4.5 Seien f, g : [, ] messbar und α, β. (1) (αf + βg)(x) dx = α f(x) dx + β g(x) dx (2) Ist f g auf, so gilt f(x) dx g(x) dx (3) f(x) dx = λ({f > }) = (1) (f n ) und (g n ) seien zulässig für f bzw. g. Weiter sei (h n ) := α(f n )+β(g n ). Dann ist wegen 3.7 und α, β, dass (h n ) zulässig für αf + βg ist. Dann: (αf + βg) dx = lim (α(f n ) + β(g n )) dx n 4.2 = α lim (f n ) dx + β lim (g n ) dx n n = α f dx + β g dx (2) Wegen f g auf ist M(f) M(g) und somit auch sup M(f) sup M(g). Aus 4.4 folgt nun die Behauptung. (3) Setze A := {f > } = {x : f(x) > }. = Sei f dx = und A n := {f > 1 n }. Dann ist A = A n und f 1 n 1 A n. Damit folgt: = f dx (2) Es ist also λ(a n ) = und damit gilt weiter Also ist auch λ(a) =. 1 n 1 A n dx = 1 n λ(a n) λ(a) = λ( A n ) 1.7 λ(a n ) = = Sei λ(a) =, (f n ) zulässig für f und c n := max{f n (x) : x }. Dann ist f n c n 1 A und es gilt: f n dx (2) c n 1 A dx = c n λ(a) Vor. = Es ist also f n dx = für jedes n N und somit auch f dx = 4

41 Satz 4.6 (Satz von Beppo Levi (Version I)) Sei (f n ) eine Folge messbarer Funktionen f n : [, ] und es gelte f n f n+1 auf für jedes n N. (1) Für alle x existiert lim n f n (x). (2) Die Funktion f : [, ] definiert durch: f(x) := lim n f n(x) ist messbar. (3) lim f n(x) dx = n f(x) dx = lim n f n(x) dx (1) Für alle x ist (f n (x)) wachsend, also konvergent in [, + ]. (2) folgt aus 3.5. ( ) { } (3) Sei u (n) j zulässig für f n und v j := max u (1) j, u (2) j,..., u (j) j. Aus 3.7 folgt, dass v j j N einfach ist und aus der Konstruktion lässt sich nachrechnen, dass gilt: v j v j+1 und v j f n f und f n = sup u (n) j j N sup v j (auf ) j N Damit ist (v j ) zulässig für f und es gilt: f dx = lim v j dx lim j j f j dx f dx Satz 4.7 (Satz von Beppo Levi (Version II)) Sei (f n ) eine Folge messbarer Funktionen f n : [, ]. (1) Für alle x existiert s(x) := j=1 f j(x). (2) s : [, ] ist messbar. (3) j=1 f j(x) dx = j=1 f j(x) dx Setze s n := Dann erfüllt (s n ) die Voraussetzungen von 4.6. Aus 4.6 und 4.5(1) folgt die Behauptung. n j=1 f j 41

42 4. Konstruktion des Lebesgueintegrals Satz 4.8 Sei f : [, ] messbar und es sei Y B() (also Y und Y B d ). Dann sind die Funktionen f Y : Y [, ] und 1 Y f : [, ] messbar und es gilt: Y f(x) dx := Y f Y (x) dx = (1 Y f)(x) dx Fall 1: Die Behauptung ist klar, falls f einfach ist. (Übung!) Fall 2: Sei (f n ) zulässig für f und g n := f n Y, h n := 1 Y f n Dann ist (g n ) zulässig für f Y und (h n ) ist zulässig für 1 Y f n. Insbesondere sind f n Y und 1 Y f n nach 3.5 messbar. Weiter gilt: f Y dx n g n dx F = all1 h n dx n 1 Y f dx Y Y Definition Sei f : R messbar. f heißt (Lebesgue-)integrierbar (über ), genau dann wenn f +(x) dx < und f (x) dx <. In diesem Fall heißt: f(x) dx := das (Lebesgue-)Integral von f (über ). f + (x) dx f (x) dx Beachte: Ist f : [, ] messbar, so ist f genau dann integrierbar, wenn gilt: f(x) dx < Beispiel { 1, x Q Sei B 1, f(x) :=, x \ Q = 1 Q., Q B 1 = Q B 1 = f ist messbar. f(x) dx = 1 Q dx = λ( Q) λ(q) = Das heißt: f L 1 (), f dx =. Ist speziell = [a, b] (a aber f R([a, b]). < b), so gilt: f L1 ([a, b]), Satz 4.9 (Charakterisierung der Integrierbarkeit) Sei f : R messbar. Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (1) f ist integrierbar. (2) Es existieren integrierbare Funktionen u, v : [, + ] mit u(x) = v(x) = für kein x und f = u v auf. (3) Es existiert eine integrierbare Funktion g : [, + ] mit f g auf. (4) f ist integrierbar. 42

43 Zusatz: (1) L 1 () = {f : R f ist messbar und f dx < } (folgt aus (1)-(4)). (2) Sind u, v wie in (2), so gilt: f dx = u dx v dx. (des Satzes) (1) (2) u := f +, v := f. (2) (3) g := u + v, dann ist u, v, g, 4.5 g dx = u dx + v dx <. = g ist integrierbar und: f = u v u + v = u + v = g auf. (3) (4) 4.5 = f dx g dx < = f ist integrierbar. (4) (1) f +, f f auf. = f ± dx f dx < Def. = f ist integrierbar. (des Zusatzes) (1) (2) Es ist f = u v = f + f = u + f = f + + v. = u dx + f dx 4.5 = (u + f ) dx = = u dx v dx = f + dx (f + + v) dx 4.5 = f + dx + v dx f dx Def. = f dx. Folgerungen 4.1 Sei f : R integrierbar und N := { f = + } = {x : f(x) = + }. Dann ist N B() und λ(n) =. 3.4 = N B(). n1 N f für alle n N. Dann: n λ(n) = n1 N dx 4.5 f dx 4.9 < für alle n N Also: nλ(n) f dx n N = λ(n) = Satz 4.11 f, g : R seien integrierbar und es sei α R. (1) αf ist integrierbar und (αf) dx = α f dx. (2) Ist f + g : R auf definiert, so ist f + g integrierbar und es gilt: (f + g) dx = f dx + g dx (Für f = + und g = ist f + g beispielsweise nicht definiert.) (3) L 1 () ist ein reeller Vektorraum und die Abbildung f f dx ist linear auf L1 (). 43

44 4. Konstruktion des Lebesgueintegrals (4) max{f, g} und min{f, g} sind integrierbar. (5) Ist f g auf, so ist f dx g dx. (6) f dx f dx. (Dreiecksungleichung für Integrale) (7) Sei Y B(). Dann sind die Funktionen f Y : Y R und 1 Y f : R integrierbar und f(x) dx := f Y (x) dx = (1 Y f)(x) dx Y Y (8) Sei λ() < und h : R sei messbar und beschränkt. Dann: h L 1 () und h dx h λ() (mit h := sup{ h(x) : x }) (1) folgt aus αf) ± = αf ±, falls α und αf) ± = αf, falls α <. (2) Es gilt f + g = f + + g }{{ + } =:u (f + g ) = u v. Dann: }{{} =:v udx = f + + g + dx 4.5 = Genauso: vdx < Mit Satz 4.9 folgt: f + g ist integrierbar. Weiter: (f + g)dx 4.9 = udx vdx ( = f + dx + g + dx = fdx + gdx (3) folgt aus (1) und (2). (4) Mit Satz 3.5 folgt: max{f, g} ist messbar. Es gilt: f + dx + g + dx < max{f, g} f + g ) f dx + g dx Mit 4.9 und Aussage (2) folgt f + g ist integrierbar. Dann folgt mit Satz 4.9: max{f, g} ist integrierbar. Analog zeigt man: min{f, g} ist integrierbar. (5) Nach Voraussetzung ist f g auf. Dann gilt: f + g + auf und f g auf. Es folgt: fdx = f + dx f dx 4.5 g + dx g dx = gdx (6) Es ist ±f f. Mit Aussage (1) und (5) folgt: ± fdx = (±f)dx f dx. Es ist fdx = fdx oder fdx = fdx 44

45 (7) Mit Bemerkung (2) vor 3.1 und Satz 3.6.(2) folgt: f Y und 1 Y f sind messbar. Es gilt: (f Y ) ± = (f ± ) Y und (1 Y f) ± = 1 f ±. Weiterhin gilt 1 Y f ± f ±. Mit 4.9 folgt dann, daß 1 Y f ± integrierbar ist. Dann: (1 Y f)dx = 1f + dx 1 Y fdx = (f + ) Y dx (f ) Y dx Es folgt: f Y Y } {{ } < Y } {{ } < ist integrierbar und Y f Y dx = Y (f +) Y dx Y (f ) Y dx = (1 Y f)dx. (8) Es ist h h 1. Dann folgt: h dx h 1 dx = h λ() < Damit: h ist integrierbar und mit 4.9 auch h. Da h beschränkt ist, folgt: h L 1 (). Schließlich: hdx h dx h λ() Satz 4.12 (1) Sind A, B B() disjunkt, = A B und ist f : R integrierbar (über ), so ist f integrierbar über A und integrierbar über B und es gilt: f dx = f dx + f dx A B (2) Ist K R d kompakt und f : K R stetig, so ist f L 1 (K). (1) Aus 4.11(7) folgt: f ist integrierbar über A und integrierbar über B. Es ist f(x) dx = (1 A B f) (x) dx = ((1 A + 1 B ) f) (x) dx = (1 A f + 1 B f) (x) dx 4.11(2) = 1 A f dx + 1 B f dx 4.11(7) = A f dx + f dx. B (2) K ist kompakt, also gilt: λ(k) <. Aus 3.2(1) folgt, dass f messbar ist. Analysis II ( stetige Funktionen auf kompakten Mengen nehmen Minimum und Maximum an ) liefert: f ist beschränkt. Insgesamt folgt mit 4.11(8) schließlich: f L 1 (K). Satz 4.13 Seien a, b R, a < b, := [a, b] und f C(). Dann ist f L 1 () und es gilt: b L f(x) dx = R f(x) dx a 45

46 4. Konstruktion des Lebesgueintegrals Sei n N, t (n) j := a + j b a n S n := n ( f j=1 t (n) j [ ] (j =,..., n) und I(n) j := t (n) j 1, t(n) j (j = 1,..., n). ) b a }{{ n } ( ) =λ 1 I (n) j ist Riemannsche Zwischensumme für R- Aus Analysis I folgt S n R- b a f(x) dx (n ). Definiere f n := ( n j=1 f ist f n einfach und f n (x) dx = n ( f j=1 t (n) j ) λ 1 ( I (n) j ) = S n b a f(x) dx. t (n) j ) 1 (n) I. Dann j f ist auf gleichmäßig stetig also konvergiert f n auf gleichmäßig gegen f (Übung!), also gilt: f n f = sup { f n (x) f(x) : x } (n ) Aus 4.12(2) folgt f L 1 () L- f(x) dx S n = L- (f f n ) dx 4.11 (f f n ) dx 4.11 f f n λ() }{{} =b a Daraus folgt S n L- f dx Satz 4.14 Sei a R, := [a, ) und f C(). Dann gilt: (1) f ist messbar. (2) f L 1 () genau dann wenn das uneigentliche Riemann-Integral a f(x) dx absolut konvergent ist. In diesem Fall gilt: L f(x) dx = R f(x) dx a Entsprechendes gilt für die anderen Typen uneigentlicher Riemann-Integrale. Eine Hälfte des es folgt in Kapitel 6. Beispiel (1) Sei = (, 1], f(x) = 1 x. Aus Analysis I wissen wir, dass R- 1 1 x dx (absolut) konvergent ist. Also ist f L 1 (). Außerdem wissen wir aus Analysis I, dass R- 1 1 x divergent ist. Also ist f 2 / L 1 (). (2) Sei = [, ), f(x) = sin(x) x. Aus Analysis I wissen wir, dass R- 1 f(x) dx konvergent, aber nicht absolut konvergent ist. Also ist f / L 1 (). 46

47 5 Nullmengen In diesem Paragraphen sei stets B d. Wir schreiben wieder λ statt λ d. Definition Sei N B d. N heißt eine (Borel-)Nullmenge, genau dann wenn λ(n) = ist. Beispiel (1) Ist N R d höchstens abzählbar, so ist N B d und λ(n) =. (2) Sei j {1,..., d} und H j := { (x 1,..., x d ) R d : x j = }. Aus Beispiel (5) nach 2.7 folgt, dass H j eine Nullmenge ist. Lemma 5.1 Seien M, N, N 1, N 2,... B d. (1) Ist M N und N Nullmenge, dann ist M Nullmenge. (2) Sind alle N j Nullmengen, so ist auch N j eine Nullmenge. (3) N ist genau dann eine Nullmenge, wenn für alle ε > offene Intervalle I 1, I 2,... R d existieren mit N I j und j=1 λ(i j) ε. (1) λ(m) λ(n) = (2) λ( N j ) λ(n j ) = (3) Folgt aus 2.1. Bemerkung: (1) Q ist klein : Q ist nur abzählbar. (2) Q ist groß : Q = R (3) Q ist klein : λ(q) = Definition (1) Sei (E) eine Eigenschaft für Elemente in. (E) gilt für fast alle (ffa) x, genau dann wenn (E) fast überall (fü) (auf ) gilt, genau dann wenn eine Nullmenge N existiert, sodass (E) für alle x \ N gilt. (2) f(x) dx := 47

48 5. Nullmengen Satz 5.2 Seien f : R messbare Funktionen. (1) Ist f integrierbar, so ist f fast überall endlich. (2) Ist f auf, so ist f(x) dx = genau dann wenn fast überall f =. (3) Ist f integrierbar und N eine Nullmenge, so gilt: f(x) dx = N (1) ist gerade 4.1. (2) ist gerade 4.5(3) (3) Setze g := 1 N f. Aus 4.11 folgt, dass g integrierbar ist, also ist nach 4.9 auch g integrierbar. Für x \ N gilt: g(x) = g(x) = D.h. g = fast überall. Aus (2) folgt damit g dx =. Dann ist mit 4.11: g dx g dx = und somit g dx =. Satz 5.3 f, g : R seien messbar. (1) Ist f integrierbar und gilt fast überall f = g, so ist g integrierbar und es gilt: f dx = g dx (2) Ist f integrierbar und g := 1 { f < } f, so ist g integrierbar und es gilt: f dx = g dx (3) Sind f und g beide auf, und ist fast überall f = g, so ist f dx = g dx 48

49 (1) Nach Voraussetzung existiert eine Nullmenge N, sodass gilt: x \ N : f(x) = g(x) Aus 5.2(3) folgt dann N f dx =. Sei x \ N Dann gilt: (1 N g ) (x) = 1 N (x) g(x) = D.h.: Fast überall ist 1 N g =. Aus 5.2(2) folgt N g dx = 1 N g dx =. Dann gilt: ( g dx = 1N g + 1 \N g ) dx = 1 N g dx + 1 \N g dx = 1 \N g dx f dx 4.9 < 4.9 liefert nun, dass g und damit auch g integrierbar ist. Weiter gilt: g dx 4.12 = g dx + g dx = g dx = 4.12 = N \N \N f dx 5.2(3) = f dx. N \N f dx + (2) Setze N := { f = }. Aus 5.2(1) folgt, dass N eine Nullmenge ist. Sei x \ N, so ist x { f < } und g(x) = f(x). D.h. fast überall ist f = g. (Klar: g ist mb). Dann folgt die Behauptung aus (1). \N f dx (3) Fall 1: f dx < Dann ist f integrierbar, damit ist nach (1) auch g integrierbar und es gilt: f dx = g dx Fall 2: f dx =. Annahme: g dx <. Dann gilt nach Fall 1: f dx <. ` Definition (f n ) sei eine Folge von Funktionen f n : R. (1) (f n ) konvergiert fast überall (auf ) genau dann, wenn eine Nullmenge N existiert, sodass für alle x \ N (f n (x)) in R konvergiert. (2) Sei f : R. (f n ) konvergiert fast überall (auf ) gegen f genau dann, wenn eine Nullmenge N existiert mit: f n (x) f(x) x \ N In diesem Fall schreiben wir: f n f fast überall. 49

50 5. Nullmengen Satz 5.4 Sei (f n ) eine Folge messbarer Funktionen f n : R und (f n ) konvergiere fast überall (auf ). Dann: (1) Es existiert f : R messbar mit f n f fast überall. (2) Ist g : R eine Funktion mit f n g fast überall, so gilt f = g fast überall. Bemerkung: Ist g wie in (2), so muss g nicht messbar sein (ein Beispiel gibt es in der Übung). (1) Es existiert eine Nullmenge N 1 : (f n (x)) konvergiert in R für alle x \ N 1. f(x) = { x N 1 lim n f n (x) x \ N 1 g n := 1 \N f n, g n ist messbar und g n (x) f(x) für alle x. Mit 3.5 folgt: f ist messbar. (2) Es existiert eine Nullmenge N 2 : f n (x) g(x) x \ N 2. N = N 1 N 2. Aus 5.1 folgt: N ist eine Nullmenge. Für x \ N : f(x) = g(x). Satz 5.5 (Satz von Beppo Levi (Version III)) Sei (f n ) eine Folge messbarer Funktionen f n : [, + ] und für jedes n N gelte: f n f n+1 fast überall. Dann existiert eine messbare Funktion f : [, + ] mit: f n f fast überall und fdx = lim f n dx n Zu jedem n N existiert eine Nullmenge N n : f n (x) f n+1 (x) x \ N n. N := n=1 N n; Mit 5.1 folgt: N ist eine Nullmenge. Dann: f n (x) f n+1 (x) x \ N n N. ˆf n := 1 \N f n, ˆf n ist messbar, ˆf n ˆf n+1 auf für alle n N. f(x) := lim n ˆfn (x) (x ); 3.5 liefert: f ist messbar. Weiter: ˆf n f. fdx 4.6 = lim ˆf n dx 5.3.(2) = lim f n dx n n 5

51 6 Der Konvergenzsatz von Lebesgue Stets in diesem Paragraphen: B d Lemma 6.1 (Lemma von Fatou) (f n ) sei eine Folge messbarer Funktionen f n : [, + ]. (1) Es gilt: (lim inf f n)(x)dx lim inf f n (x)dx n n (2) Ist f : [, + ] messbar und gilt f n f fast überall, so ist fdx lim inf f n dx n (3) Ist f wie in (2) und ist ( f ndx ) beschränkt, so ist f integrierbar. (1) g j := inf n j f n. Aus 3.5 folgt: g j ist messbar, klar: g j g j+1 auf ; sup j N g j = lim inf n f n Weiter: g j f n (n j) Dann: lim inf f ndx = n = 4.6 = lim j = sup j N sup j N = lim inf n sup g j dx j N lim g j(x)dx j g j dx g j dx }{{} inf n j fndx { inf n j } f n dx f n dx (2) Es existiert eine Nullmenge N : f n (x) f(x) x \ N. Dann: f = 1 \N f fast 51

52 6. Der Konvergenzsatz von Lebesgue überall. fdx 5.3.(3) = = (1) lim inf n 1 \N fdx ( lim 1 \Nf n )dx n 1 \N f n dx f n dx 5.3.(3) = lim inf n (3) folgt aus (2). Nach Voraussetzung gilt fdx (2) lim inf n f n dx < Satz 6.2 (Konvergenzsatz von Lebesgue (Majorisierte Konvergenz)) (f n ) sei eine Folge messbarer Funktionen f n : R, (f n ) konvergiere fast überall und es sei g : [, + ] integrierbar. Für jedes n N gelte f n g fast überall. Dann sind alle f n integrierbar und es existiert ein f L 1 () mit: (1) f n f fast überall (2) f ndx fdx (3) f n f dx Beispiel Sei = R, f n := n1 (, 1 ). Dann: n (( f n dx = n λ 1, 1 )) n = n 1 n = 1 n N Es gilt f n f := punktweise und fdx = 1 = f ndx. 6.2 ist ohne Majorante im allgemeinen falsch. (1) Aus 5.4 folgt: Es existiert ˆf : R messbar mit f n ˆf fast überall. Es existiert eine Nullmenge N : f n (x) ˆf(x) x \ N (2) Für alle n N existiert eine Nullmenge N n : f n (x) g(x) x \ N n. Setze N := n= N n. Mit 5.1 folgt: N ist eine Nullmenge. Wir haben: f n (x) g(x) x \ N n N und ˆf(x) g(x) x \ N. (3) f n = 1 \N f n fast überall und ˆf = 1 \N ˆf fast überall. Es gilt 1 \N f n g und 1 \N ˆf g. Mit 4.9 folgt: 1\N f n und 1 \N ˆf sind integrierbar. Mit 5.3.(1) folgt: f n und ˆf sind integrierbar. 52

53 (4) Ñ := N { ˆf = } {g = }. Mit 4.1 und 5.1 folgt: Ñ ist eine Nullmenge. Setze f := 1 \N ˆf. Dann: f ist messbar; es ist f ˆf. Mit 4.9 folgt: f ist integrierbar. Es ist f() R. Also: f L 1 (). Sei x \ Ñ : f(x) = f(x) = lim n f n (x). D.h. f n f fast überall. (5) Definiere g n := f + 1 \ Ñ g 1\Ñ f n f. Es ist fast überall 1 \ Ñ g = g 1\Ñ f n f = f n f Nach 5.3(1) ist g integrierbar und g n f + g fast überall. Es gilt: f n f f n + f g + f auf \ Ñ D.h. es ist g auf. (6) Es gilt: Daraus folgt: Also gilt auch: ( f + g) dx 6.1(2) lim inf g n dx n ( = lim inf g n dx + = lim inf = lim inf = 5.2(3) = \Ñ Ñ \Ñ \Ñ g n dx \Ñ g n dx ) ( f + g f n f ) dx ( f + g) dx lim sup \Ñ f n f dx f + g dx lim sup f n f dx lim sup f n f dx x f n dx f dx = (f n f) dx f n f dx Beispiel Sei := [1, ) und f n (x) := 1 sin ( x n) für alle x, n N mit x 3 fn (x) f(x) für jedes 2 x. Dann ist f n (x) 1 für jedes x und n N. Definiere nun x 3 2 g(x) := 1 Aus Analysis I ist bekannt, dass 1 g(x) dx (absolut) konvergent ist und aus 4.14 folgt g L 1 () sowie g(x) dx = R- g(x) dx x

54 6. Der Konvergenzsatz von Lebesgue Weiter folgen aus 6.2: f n dx und f n dx (n ) Folgerung 6.3 (aus 6.2) (1) Sei f : R messbar und (A n ) sei eine Folge in B() mit A n A n+1 für jedes n N und = A n. Weiter sei f n := 1 An f integrierbar für alle n N und ( ) f dx A n Dann ist f integrierbar und es gilt: f dx A n f dx sei beschränkt. für n (2) Sei a R, := [a, ] und f : R sei stetig. Weiter sei R- a f dx absolut konvergent. Dann ist f L 1 () und wie in 4.14: L- f dx = R- f dx a (1) Sei x. Es exisitert ein m N, für das x A m ist und somit auch x A n für jedes n m. Nach der Definition von f n gilt dann f n (x) = f(x) für jedes n m und somit f n f auf. Damit gilt auch f n f auf Durch die Konstruktion der f n ergibt sich: Dann gilt: f n = 1 An f = 1 An f 1 An+1 f = f n+1 f dx 4.6 = lim f n dx = lim f dx V or. < A n Es folgt, dass f integrierbar ist und somit ist nach 4.9 auch f integrierbar. Da f n f auf für jedes n N gilt, ist f eine integrierbare Majorante und es folgt mit 6.2: f dx = lim f n dx = lim f dx A n (2) Setze A n := [a, n] (n N) und es gelte o.b.d.a.: a 1. Dann gilt: n f dx 4.13 = R- f dx V or. R- f dx A n a a ( ) D.h. f dx ist beschränkt. Definiere f An n := 1 An f mit 4.13 folgt daraus, dass f n integrierbar ist. Weiter folgt aus (1) f L 1 () (denn es ist f() R) und ( n ) L- f dx = lim f dx 4.13 = lim R- f dx = R- f dx. A n a a 54