Analysis III - Bachelorversion

Transkript

1 Analysis III - Bachelorversion Die Mitarbeiter von September 217

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3 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 2 I. Vorwort 5 I.1. Über dieses Skriptum I.2. Wer I.3. Wo Vorbereitungen 7 1. σ-algebren und Maße 9 2. Das Lebesguemaß Messbare Funktionen Konstruktion des Lebesgueintegrals Nullmengen Der Konvergenzsatz von Lebesgue Parameterintegrale Vorbereitungen auf das, was kommen mag Das Prinzip von Cavalieri Der Satz von Fubini Der Transformationssatz (Substitutionsregel) Polarkoordinaten Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten Vorbereitungen für die Integralsätze Der Integralsatz von Gauß im R Flächen im R Explizite Parameterdarstellung Integralsatz von Stokes L p -Räume und L p -Räume 91 3

4 Inhaltsverzeichnis 17. Das Integral im Komplexen Fourierreihen 17 A. Satz um Satz (hüpft der Has) 115 Stichwortverzeichnis 115 B. Credits für Analysis III 119 4

5 I. Vorwort I.1. Über dieses Skriptum Dies ist ein Mitschrieb der Vorlesung Analysis III von Herrn Schmoeger im Wintersemester 21 an der Universität Karlsruhe (KIT). Die Mitschriebe der Vorlesung werden mit ausdrücklicher Genehmigung von Herrn Schmoeger hier veröffentlicht, Herr Schmoeger ist für den Inhalt nicht verantwortlich. I.2. Wer Gestartet wurde das Projekt von Joachim Breitner. Beteiligt an diesem Mitschrieb sind Rebecca Schwerdt, Philipp Ost, Jan Ihrens, Peter Pan und Benjamin Unger. I.3. Wo Alle Kapitel inklusive L A TE-Quellen können unter abgerufen werden. Dort ist ein Wiki eingerichtet und von Joachim Breitner um die L A TE-Funktionen erweitert. Das heißt, jeder kann Fehler nachbessern und sich an der Entwicklung beteiligen. Auf Wunsch ist auch ein Zugang über Subversion möglich. 5

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7 Vorbereitungen In diesem Paragraphen seien, Y, Z Mengen ( ) und f : Y, g : Y Z Abbildungen. (1) (i) P() := {A : A } heißt Potenzmenge von. (ii) Sei M P(), so heißt M disjunkt, genau dann wenn A B = für A, B M mit A B. (iii) Sei (A j ) eine Folge in P() (also A j ), so heißt (A j ) disjunkt, genau dann wenn {A 1, A 2,...} disjunkt ist. In diesem Fall schreibe: j=1 := j=1 A j Allgemein sei j=1 A j := A j und j=1 A j := A j. (2) Sei A, für x definiere wobei A c := \ A. 1 A (x) := { 1, x A, x A c (3) Sei B Y dann ist f 1 (B) := {x : f(x) B} und es gelten folgende Eigenschaften: (i) f 1 (B c ) = f 1 (B) c (ii) Ist B j eine Folge in P(Y ), so gilt: f 1 ( B j ) = f 1 (B j ) f 1 ( B j ) = f 1 (B j ) (iii) Ist C Z, so gilt: (g f) 1 (C) = f 1 (g 1 (C)) (4) j=1 a j =: a j 7

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9 1 σ-algebren und Maße In diesem Paragraphen sei eine Menge. Definition Sei A P(), A heißt eine σ-algebra auf, wenn gilt: (σ 1 ) A (σ 2 ) Ist A A, so ist auch A c A. (σ 3 ) Ist (A j ) eine Folge in A, so ist A j A. Beispiel (1) {, } und P() sind σ-algebren auf. (2) Sei A, dann ist {,, A, A c } eine σ-algebra auf. (3) A := {A : A abzählbar oder A c abzählbar} ist eine σ-algebra auf. Lemma 1.1 Sei A eine σ-algebra auf, dann: (1) A (2) Ist (A j ) eine Folge in A, so ist A j A. (3) Sind A 1,..., A n A, so gilt: (i) A 1 A n A (ii) A 1 A n A (iii) A 1 \ A 2 A (1) = c A (nach (σ 2 )). (2) D := A j. D c = A c j A (nach (σ 2) und (σ 3 )), also gilt auch D = (D c ) c A. (3) (i) A 1 A n A folgt aus (σ 3 ) mit A n+j := (j 1). (ii) A 1 A n A folgt aus (2) mit A n+j := (j 1). (iii) A 1 \ A 2 = A 1 A c 2 A 9

10 1. σ-algebren und Maße Lemma 1.2 Sei F eine Menge von σ-algebren auf. Dann ist eine σ-algebra auf. A := A F A (σ 1 ) A F : A = A. (σ 2 ) Sei A A, dann gilt: A F : A A = A F : A c A = A c A (σ 3 ) Sei (A j ) eine Folge in A, dann ist (A j ) Folge in A für alle A F, dann gilt: A F : A j A = A j A Definition Sei E P() und F := {A : A ist σ-algebra auf mit E A}. Definiere σ(e) := Dann ist wegen 1.2 σ(e) eine σ-algebra auf. σ(e) heißt die von E erzeugte σ-algebra. E heißt ein Erzeuger von σ(e). A F A Lemma 1.3 Sei E P(). (1) E σ(e). σ(e) ist die "kleinste"σ-algebra auf, die E enthält. (2) Ist E eine σ-algebra, so ist σ(e) = E. (3) Ist E E, so ist σ(e) σ(e ). (1) Klar nach Definition. (2) A := E, dann gilt A σ(e) A. (3) E E σ(e ), also folgt nach Definition σ(e) σ(e ). 1

11 Beispiel (1) Sei A und E := {A}. Dann ist σ(e) = {,, A, A c }. (2) := {1, 2, 3, 4, 5}, E := {{1}, {1, 2}}. Dann gilt: σ(e) := {,, {1}, {2}, {1, 2}, {3, 4, 5}, {1, 3, 4, 5}, {2, 3, 4, 5}} Erinnerung: Sei d N, R d. A heißt offen (abgeschlossen) in, genau dann wenn ein offenes (abgeschlossenes) G R d existiert mit A = G. Beachte: A abgeschlossen in \ A offen in. Definition Sei R d. (1) O() := {A : A ist offen in } (2) B() := σ(o()) heißt Borelsche σ-algebra auf. (3) B d := B(R d ). Die Elemente von B d heißen Borelsche Mengen oder Borel-Mengen. Beispiel (1) Sei R d. Ist A offen (abgeschlossen) in, so ist A B(). (2) Ist A R d offen (abgeschlossen) so ist A B d. (3) Sei d = 1, A = Q. Q ist abzählbar, also Q = {r 1, r 2,...} (mit r i r j für i j). Also ist Q = {r j }. Sei nun r Q, dann ist B := (, r) (r, ) B 1. Daraus folgt {r j } B 1, also auch Q B 1. Allgemeiner lässt sich zeigen: Q d := {(x 1,..., x d ) : x j Q(j = 1,..., d)} B d. Definition (1) Seien I 1,..., I d Intervalle in R. I 1 I d heißt ein Intervall in R d. (2) Seien a = (a 1,..., a d ), b = (b 1,..., b d ) R d. a b : a j b j (j = 1,..., d) (3) Seien a, b R d und a b. (a, b) := (a 1, b 1 ) (a d, b d ) (a, b] := (a 1, b 1 ] (a d, b d ] [a, b) := [a 1, b 1 ) [a d, b d ) [a, b] := [a 1, b 1 ] [a d, b d ] mit der Festlegung (a, b) := (a, b] := [a, b) :=, falls a j = b j für ein j {1,..., d}. (4) Für k {1,..., d} und α R definiere die folgenden Halbräume: H k (α) := {(x 1,..., x d ) R d : x k α} H + k (α) := {(x 1,..., x d ) R d : x k α} 11

12 1. σ-algebren und Maße Satz 1.4 (Erzeuger der Borelschen σ-algebra auf R d ) Es seien E 1, E 2, E 3 wie folgt definiert: Dann gilt: E 1 := {(a, b) : a, b Q d, a b} E 2 := {(a, b] : a, b Q d, a b} E 3 := {H k (α) : α Q, k = 1,..., d} B d = σ(e 1 ) = σ(e 2 ) = σ(e 3 ) Entsprechendes gilt für die anderen Typen von Intervallen und Halbräumen. (1) Sei G O(R d ), M := {(a, b) : a, b Q d, a b, (a, b) G}. Dann ist M abzählbar und G = I M I. also gilt: G σ(e 1 ) = B d = σ(o(r d )) σ(e 1 ) (2) Sei (a, b) E 1. Fall 1: (a, b) = E 2 σ(e 2 ) Fall 2: (a, b), a = (a 1..., a d ), b = (b 1..., b d ). Dann gilt für alle j {1,..., d} : a j < b j, also gilt auch: N N : n N : j {1,..., d} : a j < b j 1 n Definiere c n := ( 1 n,..., 1 n ) Qd. Dann gilt: (a, b) = (a, b c n ] σ(e 2 ) n N Also auch E 1 σ(e 2 ) und damit σ(e 1 ) σ(e 2 ). (3) Seien a = (a 1,..., a d ), b = (b 1,..., b d ) Q d mit a b. Nachrechnen: (a, b] = d (H k (b k) H k (a k) c ) σ(e 3 ). k=1 Das heißt E 2 σ(e 3 ) und damit auch σ(e 2 ) σ(e 3 ). (4) H k (α) ist abgeschlossen, somit ist H k (α)c offen und damit H k (α)c B d, also auch H k (α) B d. Damit ist E 3 B d = σ(e 3 ) B d. Definition Sei M P() und Y. heißt die Spur von M in Y. M Y := {A Y : A M} 12

13 Satz 1.5 (Spuren und σ-algebren) Sei Y und A eine σ-algebra auf. (1) A Y ist eine σ-algebra auf Y. (2) A Y A Y A (3) Ist E P(), so ist σ(e Y ) = σ(e) Y. (1) (σ 1 ) Es ist Y = Y A Y, da A. (σ 2 ) Sei B A Y, dann existiert ein A A mit B = A Y. Also ist Y \ B = ( \ A) Y A Y, da \ A A ist. (σ 3 ) Sei (B j ) eine Folge in A Y, dann existiert eine Folge (A j ) A N mit B j = A j Y. Es gilt: Bj = (A j Y ) = ( A j ) Y A Y (2) Der erfolgt durch Implikation in beiden Richtungen: = Es gilt Y A Y A. = Sei B A Y, dann existiert ein A A mit B = A Y A. (3) Es gilt: E σ(e) = E Y σ(e) Y = σ(e Y ) σ(e) Y Sei nun: D := {A : A Y σ(e Y )} Übung: D ist eine σ-algebra auf. Sei E E dann ist E Y E Y σ(e Y ) also E D und damit E D. Daraus folgt: σ(e) Y σ(d) Y = D Y = {A Y : A D} σ(e Y ) Folgerungen 1.6 Sei R d. Dann gilt: (1) B() = (B d ) (2) Ist B d, so ist B() = {A B d : A } B d. Definition Wir fügen R das Symbol + hinzu. Es soll gelten: (1) a R : a < + 13

14 1. σ-algebren und Maße (2) ±a + (+ ) := + =: (+ ) ± a (3) (+ ) + (+ ) := + Sei etwa [, + ] := [, ) {+ }. (1) Sei (x n ) eine Folge in [, + ]. Es gilt: n x n : c > nc N : n n c : x n > c (2) Sei (a n ) eine Folge in [, + ]. Es gilt a n = a n = + n=1 genau dann wenn a j = + für ein j N oder, falls alle a j < +, wenn a n divergiert. Wegen 13.1 Ana I können Reihen der obigen Form beliebig umgeordnet werden, ohne dass sich ihr Wert verändert. Definition Sei A eine σ-algebra auf und µ : A [, + ] eine Abbildung. µ heißt ein Maß auf A, genau dann wenn gilt: (M 1 ) µ( ) = (M 2 ) Ist (A j ) eine disjunkte Folge in A, so ist µ( A j ) = µ(a j ). Diese Eigenschaft heißt σ-additivität. Ist µ ein Maß auf A, so heißt (, A, µ) ein Maßraum. Ein Maß µ heißt endlich, genau dann wenn µ() <. Ein Maß µ heißt ein Wahrscheinlichkeitsmaß, genau dann wenn µ() = 1 ist. Beispiel (1) Sei A = () und x. δ x : A [, + ] sei definiert durch: { 1, x A δ x (A) :=, x A Klar ist, dass δ x ( ) = ist. Sei (A j ) eine disjunkte Folge in A. δ x ( { 1, x A j A j ) =, x A j } = δ x (A j ) δ x ist ein Maß auf () und heißt Punktmaß oder Dirac-Maß. (2) Sei := N, A := () und (p j ) eine Folge in [, + ]. Definiere µ : A [, + ] durch: {, A = µ(a) := j A p j, A Übung: µ ist ein Maß auf A = (N) und heißt ein Zählmaß. Sind alle p j = 1, so ist µ(a) gerade die Anzahl der Elemente von A. 14

15 (3) Sei (, A, µ) ein Maßraum, Y und A A eine σ-algebra auf Y. Definiere µ : A [, + ] durch µ (A) := µ(a) (A A ). Dann ist (Y, A, µ ) ein Maßraum. Ist spezieller Y A, so ist A := A Y A und man definiert µ Y : A Y [, + ] durch µ Y (A) := µ(a). Satz 1.7 (, A, µ) sei ein Maßraum, es seien A, B A und (A j ) sei eine Folge in A. Dann: (1) A B = µ(a) µ(b) (2) Ist µ(a) < und A B, = µ(b \ A) = µ(b) µ(a) (3) Ist µ endlich, dann ist µ(a) < und µ(a c ) = µ() µ(a) (4) µ ( A j ) µ(a j ) (σ-subadditivität) (5) Ist A 1 A 2 A 3, so ist µ( A j ) = lim n µ(a n ) (6) Ist A 1 A 2 A 3 und µ(a) <, so ist µ( A j ) = lim n µ(a n ) (1)-(3) B = (B \ A) A. Dann: µ(b) = µ(b \ A) +µ(a) µ(a) }{{} (4) B 1 = A 1, B k := A k \ k 1 j=1 A j (k 2) Dann: B j A, B j A j (j N); (B j ) disjunkt und A j = B j. Dann: ( ) ( ) µ Aj = µ Bj = µ(b j ) µ(a j ) }{{} µ(a j ) (5) B 1 = A 1, B k = A k \ A k 1 (k 2) Dann: B j A; B j A j (j N); A j = B j und A n = n j=1 B j Dann: µ( A j ) = µ( B j ) = µ(b j ) = lim n n µ(b j ) j=1 }{{} =µ( n j=1 B j)=µ(a n) (6) Übung 15

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17 2 Das Lebesguemaß In diesem Kapitel sei eine Menge,. Definition Sei R P(). R heißt ein Ring (auf ), genau dann wenn gilt: (1) R (2) A, B R = A B, B \ A R Definition Sei d N. (1) I d := {(a, b] a, b R d, a b}. Seien a = (a 1,..., a d ), b = (b 1,..., b d ) R d und I := (a, b] I d { falls I = λ d (I) = (b 1 a 1 )(b 2 a 2 ) (b d a d ) falls I (Elementarvolumen) { n } (2) F d := j=1 I j n N, I 1,..., I n I d (Menge der Figuren) Ziel dieses Kapitels: Fortsetzung von λ d auf F d und dann auf B d ( Lebesguemaß) Beachte: I d F d B d 1.4 = B d = σ(i d ) = σ(f d ) Lemma 2.1 Seien I, I I d und A F d. Dann: (1) I I I d (2) I \ I F d. Genauer: {I 1,..., I l } I d disjunkt: I \ I = l j=1 I j (3) {I 1,..., I l } I d disjunkt: A = l j=1 I j (4) F d ist ein Ring. (1) Sei I = d k=1 (a k, b k ], I = d k=1 (α k, β k ]; α k := max{α k, a k }, β k := min{β k, b k } Ist α k β k für ein k {1,..., d}, so ist I I = I d. Sei α k < β k k {1,..., d}, so ist I I = d k=1 (α k, β k ] I d 17

18 2. Das Lebesguemaß (2) Induktion nach d: I.A. Klar I.V. Die Behauptung gelte für ein d 1 I.S. Seien I, I I d+1. Es existieren I 1, I 1 I 1 und I 2, I 2 I d mit: I = I 1 I 2, I = I 1 I 2 Nachrechnen: I \ I = (I 1 \ I 1) I 2 (I 1 I 1) (I 2 \ I 2) I.A. = I 1 \ I 1 = endliche disjunkte Vereinigung von Elementen aus I 1 I.V. = I 2 \ I 2 = endliche disjunkte Vereinigung von Elementen aus I d Daraus folgt die Behauptung für d + 1 (3) Wir zeigen mit Induktion nach n: ist A = n j=1 I j mit I 1,..., I d I d, so existiert {I 1,..., I l } I d disjunkt: A = l j=1 I j I.A. n = 1 : A = I 1 I.V. Die Behauptung gelte für ein n 1 I.S. Sei A = n+1 j=1 I j (I 1,..., I n+1 I d ) IV = {I 1,..., I l } I d disjunkt: n j=1 I j = l j=1 I j Dann: A = I n+1 l j=1 I j = I n+1 l j=1 (I j \ I n+1) Wende (2) auf jedes I j \ I n+1 an (j = 1,..., l): I j \ I n+1 = l j j=1 I j (I j I d) Damit folgt: A = I n+1 l j=1 l j j=1 I j Daraus folgt die Behauptung für n + 1. (4) (a, a] = = F d Seien A, B F d. Klar: A B F d Sei A = n j=1 I j, B = n j=1 I j (I j, I j I d). Zu zeigen: B \ A F d I.A. n = 1 : A = I 1 = B \ A = n j=1 (I j \ I j ). Wende (2) auf jedes }{{} I j \ I 1 an. Aus (2) F d folgt dann B \ A F d. I.V. Die Behauptung gelte für ein n N I.S. Sei A = A I n+1 (I n+1 I d ). Dann: F d B \ A = (B \ A) }{{} \ I }{{} n+1 F d F d 18

19 Lemma 2.2 Sei A F d und {I 1,..., I n } I d disjunkt und {I 1,..., I m} I d disjunkt mit n j=1 I j = A = m j=1 I j. Dann: n m λ d (I j ) = λ d (I j) j=1 j=1 Definition Sei A F d und A = n j=1 I j mit {I 1,..., I n } I d disjunkt (beachte Lemma 2.1, Punkt 3). λ d (A) := n λ d (I j ) j=1 Wegen Lemma 2.2 ist λ d : F d [, ) wohldefiniert. Satz 2.3 Seien A, B F d und (B n ) sei eine Folge in F d. (1) A B = = λ d (A B) = λ d (A) + λ d (B) (2) A B = λ d (A) λ d (B) (3) λ d (A B) λ d (A) + λ d (B) (4) Sei δ >. Es existiert C F d : C B und λ d (B \ C) δ. (5) Ist B n+1 B n n N und B n =, so gilt: λ d (B n ) (n ) (1) Aus Lemma 2.1 folgt: Es existiert {I 1,..., I n } I d disjunkt und es existiert {I 1,..., I m} I d disjunkt: A = n j=1 I j, B = m j=1 I j. J := {I 1,..., I n, I 1,..., I m} I d. Aus A B = folgt: J ist disjunkt. Dann: A B = I J I Also: λ d (A B) = I J λ d (I) = n λ d (I j ) + j=1 m λ d (I j) j=1 = λ d (A) + λ d (B) (2) wie bei Satz

20 2. Das Lebesguemaß (3) λ d (A B) = λ(a (B \ A)) (1) = λ d (A) + λ d (B \ A) (2) λ d (A) + λ d (B) (4) Übung; es genügt zu betrachten: B I d (5) Sei ε >. Aus (4) folgt: Zu jedem B n existiert ein C n F d : C n B n und λ d (B n \ C n ) ε 2 n (2.1) Dann: C n B n = = C c n = R d = B }{{} 1 C c n }{{} kompakt offen Aus der Definition von Kompaktheit (Analysis II, 2) folgt: m N : Dann: m j=1 C j B c 1. Andererseits: m j=1 C j m j=1 B j B 1 B 1. Also: m j=1 C j =. Das heißt: n j=1 C j = n m D n := n j=1 C j. Dann: D n = n m m j=1 Cc j B 1 Behauptung: λ d (B n \ D n ) ( 1 1 ) 2 ε n N n I.A. λ d (B 1 \ D 1 ) = λ d (B 1 \ C 1 ) (2.1) ε 2 = ( 1 1 2) ε I.V. Die Behauptung gelte für ein n N. I.S. λ d (B n+1 \ D n+1 ) = λ d ((B n+1 \ D n ) (B n+1 \ C n+1 )) (3) λ d (B n+1 \ D n }{{} (2) ) + λ d (B n+1 \ C n+1 ) }{{} B n\d n λ d (B n \ D n ) + ( I.V. 1 1 ) 2 n ε + = ( n+1 ) ε ε 2 n+1 ε 2 n+1 (2.1) ε 2 n+1 Für n m : D n = = λ d (B n ) = λ d (B n \ D n ) ( n ) ε ε Definition Es sei R ein Ring auf. Eine Abbildung µ : R [, ] heißt ein Prämaß auf R, wenn gilt: (1) µ( ) = (2) Ist A j eine disjunkte Folge in R und A j R, so ist µ ( A j ) = µ(a j ). Satz 2.4 λ d : F d [, ] ist ein Prämaß. 2

21 (1) Klar: λ d ( ) = (2) Sei A j eine disjunkte Folge in F d und A := A j F d. B n := j=n A j (n N); (B n ) hat die Eigenschaften aus 2.3, Punkt 5. Also: λ d (B n ). Für n 2: λ d (A) = λ d (A 1 A n 1 B n ) 2.3.(1) = n 1 λ d (A j ) + λ d (B n ) j=1 Daraus folgt: n 1 λ d (A j ) = λ d (A) λ d (B n ) n 2 j=1 Mit n folgt die Behauptung. Satz 2.5 (Fortsetzungssatz von Carathéodory) Sei R ein Ring auf und µ : R [, ] ein Prämaß. Dann existiert ein Maßraum (, A(µ), µ) mit (1) σ(r) A(µ) (2) µ(a) = µ(a) A R Insbesondere: µ ist ein Maß auf σ(r). Satz 2.6 (Eindeutigkeitssatz) Sei E (), es seien ν, µ Maße auf σ(e) und es gelte: µ(e) = ν(e) E E. Weiter gelten: (1) E, F E = E F E (durchschnittstabil) (2) Es existiert eine Folge (E n ) in E: E n = und µ(e n ) < n N. Dann: µ = ν auf σ(e). Satz 2.7 Es gibt genau eine Fortsetzung von λ d : F d [, ] auf B d zu einem Maß. Diese Fortsetzung heißt Lebesguemaß (L-Maß) und wird ebenfalls mit λ d bezeichnet. 21

22 2. Das Lebesguemaß Aus Lemma 2.1 und Satz 2.4 folgt: λ d ist ein Prämaß auf R := F d ; es ist σ(r) = B d. Aus Satz 2.5 folgt: λ d kann zu einem Maß auf B d fortgesetzt werden. Sei ν ein weiteres Maß auf B d mit: ν(a) = λ d (A) A F d. E := I d. Dann: σ(e) 1.4 = B d. (1) E, F E 2.1 = E F E (2) E n := ( n, n] d Klar: En = R d λ d (E n ) = (2n) d < Klar: ν(e) = λ d (E) E E. Mit Satz 2.6 folgt dann: ν = λ d auf B d. Bemerkung: Sei B d. Aus 1.6 folgt: B() = {A B d A }. Die Einschränkung von λ d auf B() heißt ebenfalls L-Maß und wird mit λ d bezeichnet. Beispiele: (1) Seien a = (a 1,..., a d ), b = (b 1,..., b d ) R d, a b und I = [a, b]. Behauptung λ d ([a, b]) = (b 1 a 1 ) (b d a d ) (Entsprechendes gilt für (a, b) und [a, b)) I n := (a 1 1 n, b 1] (a d 1 n, b d]; I 1 I 2 ; I n = I, λ d (I 1 ) < Aus Satz 1.7, Punkt 5, folgt: λ d (I) = lim n λ d(i n ) = lim n (b 1 a n ) (b d a d + 1 n ) = (b 1 a 1 ) (b d a d ) (2) Sei a R d, {a} = [a, a] B d. Aus obigem Beispiel (1) folgt: λ d ({a}) =. (3) Q d ist abzählbar, also: Q d = {a 1, a 2,...} mit a j a i (i j). Dann: Q d = {a j } Dann gilt: Q d B d und λ d (Q d ) = λ d ({a j }) =. (4) Wie in Beispiel (3): Ist A R d abzählbar, so ist A B d und λ d (A) =. (5) Sei j {1,..., d} und H j := {(x 1,..., x d ) R d x j = }. H j ist abgeschlossen, damit folgt: H j B d. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei j = d. Dann: I n := [ n, n] [ n, n] {}. }{{} (d 1) mal Aus Beispiel (1) folgt: λ d (I n ) =. Aus H d = I n folgt: λ d (H d ) λ d (I n ) =. Also: λ d (H j ) =. 22

23 Definition Sei x R d, B R d. Definiere: x + B := {x + b b B} Beispiel Ist I I d, so gilt x + I I d und λ d (x + I) = λ d (I). Satz 2.8 Sei x R d, A := {B B d µ(a) := λ d (x + A). Dann gilt: : x + B B d } und µ : A [, ] sei definiert durch (1) (R d, A, µ) ist ein Maßraum. (2) Es ist A = B d und µ = λ d auf B d. D.h. für alle A B d ist x + A B d und λ d (x + A) = λ d (A) (Translationsinvarianz des Lebesgue-Maßes). (1) Leichte Übung! (2) Es ist klar, dass B d A. Nach dem Beispiel von oben gilt: I d A B d = σ(i d ) σ(a) = A Setze E := I d, dann ist σ(e) = B d und es gilt nach dem Beispiel von oben: E E : µ(e) = λ d (E) E hat die Eigenschaften (1) und (2) aus Satz 2.6, daraus folgt dann, dass µ = λ d auf B d ist. Satz 2.9 Sei µ ein Maß auf B d mit der Eigenschaft: Weiter sei c := µ((, 1] d ) <. Dann gilt: x R d, A B d : µ(a) = µ(x + A) µ = c λ d Satz 2.1 (Regularität des Lebesgue-Maßes) Sei A B d, dann gilt: (1) λ d (A) = inf { λ d (G) G R d offen und A G } { = inf λ d (V ) V = } j=1 I j, I j R d offenes Intervall, A V (2) λ d (A) = sup{λ d (K) K R d kompakt, K A} 23

24 2. Das Lebesguemaß (1) Ohne. (2) Setze β := sup{λ d (K) K R d kompakt, K A}. Sei K kompakt und K A, dann gilt λ d (K) λ d (A), also ist auch β λ d (A). Fall 1: Sei A zusätzlich beschränkt. Sei ε >. Es existiert ein r >, sodass A B := U r () [ r, r] d ist, dann gilt: λ d (A) λ d ([ r, r] d ) = (2r) d < Aus (1) folgt, dass eine offene Menge G B \ A existiert mit λ d (G) λ d (B \ A) + ε. Dann gilt nach 1.7: λ d (B \ A) = λ d (B) λ d (A) Setze nun K := B \ G = B G c, dann ist K kompakt und K B \ (B \ A) = A. Da B G K ist, gilt: λ d (B) λ d (G K) λ d (B) λ d (A) + ε + λ d (K) Woraus folgt: λ d (A) λ d (K) + ε Fall 2: Sei A B d beliebig. Setze A n := A U n (). Dann ist A n für alle n N beschränkt, A n A n+1 und A = n N A n. Nach 1.7 gilt: λ d (A) = lim λ d (A n ) Aus Fall 1 folgt, dass für alle n N ein kompaktes K n A n mit λ d (A n ) λ d (K n ) + 1 n existiert. Dann gilt: λ d (A n ) λ d (K n ) + 1 n λ d(a) + 1 n Also auch: λ d (A) = lim λ(k n ) β Auswahlaxiom: Sei Ω Indexmenge, es sei { ω ω Ω} ein disjunktes System von nichtleeren Mengen ω. Dann existiert ein C ω Ω ω, sodass C mit jedem j genau ein Element gemeinsam hat. Satz 2.11 (Satz von Vitali) Es existiert ein C R d sodass C B d. Wir definieren auf [, 1] d eine Äquivalenzrelation, durch: x, y [, 1] d : x y x y Q d x [, 1] d : [x] := {y [, 1] d x y} 24

25 Nach dem Auswahlaxiom existiert ein C [, 1] d, sodass C mit jedem [x] genau ein Element gemeinsam hat. Es ist Q d [ 1, 1] d = {q 1, q 2,...} mit q i q j für (i j). Dann gilt: (q n + C) [ 1, 2] d (1) n=1 [, 1] d (q n + C) (2) n=1 Sei x [, 1] d. Wähle y C mit y [x], dann ist x y, also x y Q d [ 1, 1] d. D.h.: n N : x y = q n = x = q n + y q n + C Außerdem ist {q n + C n N} disjunkt. Sei z (q n + C) (q m + C), dann existieren a, b Q d, sodass gilt: (q n + a = z = q m + b) = (b a = q m q n Q d ) = (a b) = ([a] = [b]) = (a = b) = (q n = q m ) Annahme: C B d, dann gilt nach (1): 3 d = λ d ([ 2, 1] d ) λ d ( (q n + C)) = λ d (q n + C) = λ d (C) Also ist λ d (C) =. Damit folgt aus (2): 1 = λ d ([, 1] d ) λ d ( (q n + C)) = λ d (C) = 25

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27 3 Messbare Funktionen In diesem Paragraphen seien, Y, Z Mengen. Definition Ist A eine σ-algebra auf, so heißt (, A) ein messbarer Raum. Definition Sei A eine σ-algebra auf, B eine σ-algebra auf Y und f : Y eine Funktion. f heißt genau dann A-B-messbar, wenn gilt: B B : f 1 (B) A Bemerkung: Seien die Bezeichnungen wie in obiger Definition, dann gilt: (1) f sei A-B-messbar, A eine weitere σ-algebra auf mit A A und B sei eine σ-algebra auf Y mit B B. Dann ist f A -B -messbar. (2) Sei A, dann gilt A A nach 1.5. Nun sei f : Y A-B-messbar, dann ist f : Y A -B-messbar. Beispiel (1) Sei A eine σ-algebra auf und A. 1 A : R ist genau dann A-B 1 -messbar, wenn A A ist. (2) Sei = R d. Ist A B d, so ist 1 A B d -B 1 -messbar. (3) Ist C wie in 2.11, so ist 1 C nicht B d -B 1 -messbar. (4) Es sei f : Y eine Funktion und B (A) eine σ-algebra auf Y (), dann ist f ()-B-messbar (A-{Y, }-messbar). Satz 3.1 Seien A, B, C σ-algebren auf, Y bzw. Z. Weiter seien f : Y und g : Y Z Funktionen. (1) Ist f A B messbar und ist g B C messbar, so ist g f : Z A C messbar. (2) Sei E (Y ) und σ(e) = B. Dann: f ist A B messbar, genau dann, wenn gilt: E E : f 1 (E) A (1) Sei C C; g ist messbar, daraus folgt g 1 (C) B; f ist messbar, daraus folgt f 1 (g 1 (C)) = (g f) 1 (C) A 27

28 3. Messbare Funktionen (2) D := {B Y f 1 (B) A} Übung: D ist eine σ-algebra auf Y. Aus der Voraussetzung folgt: E D. Dann: B = σ(e) D. Ist B B, so ist B D, also f 1 (B) A. Definition Sei B d. Ist f : R k B() B k messbar, so heißt f (Borel-)messbar. Ab jetzt sei stets B d. (Erinnerung: B() = {A B d A }) Satz 3.2 Seien f, g : R k und α, β R. (1) Ist f auf stetig, so ist f messbar. (2) Ist f = (f 1,..., f k ), so gilt: f ist messbar alle f j sind messbar. (3) Sind f und g messbar, so ist αf + βg messbar. (4) Sei k = 1 und f und g seien messbar. Dann: (i) fg ist messbar (ii) Ist f(x) x, so ist 1 f messbar (iii) {x f(x) g(x)} B() (1) Sei G O(R k ). Mit f stetig folgt: f 1 (G) O() B() σ(o(r k )) = B k. Die Behauptung folgt aus 3.1.(2). (2) : Sei I = (a, b] = k j=1 (a j, b j ] I k (a = (a 1,..., a k ), b = (b 1,..., b k ), a b) Dann: f 1 (I) = k j=1 f j 1 ((a j, b j ] B() }{{} B 1 }{{} B() Aus σ(i k ) = B k folgt mit 3.1.(2): f ist messbar. : Für j = 1,..., k sei p j : R k R definiert durch p j (x 1,..., x k ) := x j p j ist stetig, also messbar (nach (1)). Es ist f j messbar. = p j f. Mit 3.1.(1) folgt: f j ist (3) h := (f, g) : R 2k ; aus (2): h ist messbar. ϕ(x, y) := αx + βy (x, y R k ) 28

29 ϕ ist stetig, also messbar (nach (1)). Es ist αf + βg = ϕ h. Mit 3.1.(1) folgt: αf + βg ist messbar. (4) (i) h := (f, g) : R 2k ist messbar (nach (2)); ϕ(x, y) := xy, ϕ ist stetig, also messbar. Es ist fg = ϕ h. Mit 3.1.(1) folgt: fg ist messbar. (ii) ϕ(x) := 1 x, ϕ ist stetig auf R \ {}, also messbar. 1 f = ϕ f. Mit 3.1.(1) folgt: 1 f ist messbar. (iii) A := {x f(x) g(x)} = {x f(x) g(x) [, )} = B() B 1 1 {}}{ (f g) ([, )) }{{} messbar nach (3) Folgerungen 3.3 (1) Seien A, B B(), A B = und = A B. Weiter seien f : A R k und g : B R k messbar. Dann ist h : R k, definiert durch { f(x) x A h(x) := g(x) x B, messbar. (2) Ist f : R k messbar und g(x) := f(x) (x ), so ist g messbar. (1) Sei C B k. Dann: h 1 (C) = f 1 (C) }{{} g 1 (C) }{{} B() B(A) B() B(B) B() (2) Definiere ϕ(z) = z (z R k ); ϕ ist stetig, also messbar. Es ist g = ϕ f. Mit 3.1 folgt: g ist messbar. Beispiel { sin(y) = R 2, f(x, y) := x x x = für x : f(x, x) = sin() x x 1 = f(, ), daraus folgt: f ist nicht stetig. A := {(x, y) R 2 x = }, B := {(x, y) R 2 x }, = A B, A B =. A ist abgeschlossen, das heißt: A B 2, B = A C B 2 f 1 (x, y) := ((x, y) A) f 2 (x, y) := sin(y) x ((x, y) B) f 1 ist stetig auf A, f 2 ist stetig auf B. Also: f 1, f 2 ist messbar; mit 3.3.(1) folgt: f ist messbar. 29

30 3. Messbare Funktionen Ein neues Symbol kommt hinzu: R := [, + ] := R {, + } In R gelten folgende Regeln, wobei a R: (1) < a < + (2) ± + (± ) = ± (3) ± + a := a + (± ) := ± ± a > (4) a (± ) := (± ) a = a = a < (5) a ± := Definition (1) Sei (x n ) eine Folge in R. x n + : c R n c N : x n c n n c Analog für. (2) Seien f, g : R. Dann: {f g} := {x f(x) g(x)} {f g} := {x f(x) g(x)} {f g} := {x f(x) g(x)} {f < g} := {x f(x) < g(x)} {f > g} := {x f(x) > g(x)} (3) Sei a R und f : R. Dann: {f a} := {x f(x) a} {f a} := {x f(x) a} {f a} := {x f(x) a} {f < a} := {x f(x) < a} {f > a} := {x f(x) > a} Definition B 1 := {B E B B 1, E {, + }}. Dann: B 1 B 1 Übung: B 1 ist eine σ-algebra auf R. B 1 heißt Borelsche σ-algebra auf R. Sei f : R. f heißt (Borel-)messbar (mb) : f ist B() B 1 messbar. Beispiel f(x) := + (x ), also: f : R Sei B B 1, A := f 1 (B) = {x f(x) B} Fall 1: + B, dann: A = B() Fall 2: + B, dann: A = B() 3

31 f ist messbar. Satz 3.4 (1) Definiere die Mengen: E 1 := {[, a] a Q} E 2 := {[, a) a Q} E 3 := {(a, ] a Q} E 4 := {[a, ] a Q} Dann gilt: B 1 = σ(e j ) für j {1, 2, 3, 4} (2) Für f : R sind die folgenden Aussagen äquivalent: (i) f ist messbar. (ii) a Q : {f a} B(). (iii) a Q : {f a} B(). (iv) a Q : {f < a} B(). (v) a Q : {f > a} B(). (3) Die Äquivalenzen in (2) gelten auch für Funktionen f : R. Die folgenden e erfolgen exemplarisch für einen der Unterpunkte und funktionieren fast analog für die anderen. (1) Für a Q gilt: [, a] c = (a, ] σ(e 1 ) D.h. es gilt E 3 σ(e 1 ) und damit auch σ(e 3 ) σ(e 1 ). (2) Es gilt: {f a} = {x f(x) a} = f 1 ([, a]) Die Äquivalenz folgt dann aus (1) und 3.1. (3) Die Funktion f : R kann aufgefasst werden als Funktion f : R. Es ist f genau dann B()-B 1 -messbar wenn f B()-B 1 -messbar ist. Definition Sei M R. (1) Ist M = oder M = { }, so sei sup M := (2) Ist M \ { } und nach oben beschränkt (also insbesondere M), so sei sup M := sup(m \ { }) 31

32 3. Messbare Funktionen (3) Ist M \ { } nicht nach oben beschränkt oder M, so sei sup M := (4) Es sei inf M := sup( M), wobei M := { m m M}. Definition Sei (f n ) eine Folge von Funktionen f n : R. (1) Die Funktion sup n N (f n ) : R ( inf n N (f n ) : R ) ist definiert durch: (sup f n )(x) := sup{f n (x) n N} n N ( ( inf f n)(x) := inf{f n (x) n N} n N x ) x (2) Die Funktion lim sup n f n : R ( lim inf n f n : R ) ist definiert durch: lim sup f n := inf (sup f n ) n j N n j lim inf f n := sup(inf f n) n n j j N ( ) Erinnerung: Für eine beschränkte Folge (a n ) in R war lim sup a n := inf{sup{a n n j} j N} n (3) Sei N N und g j := f j (für j = 1,..., N), g j := f N (für j > N). Definiere: max f n := sup 1 n N g n j N min f n := inf g n 1 n N j N (4) Ist f n (x) für jedes x R konvergent, so ist lim n f n : R definiert durch: ( lim n f n)(x) := lim n f n(x) (In diesem Fall gilt lim n f n = lim sup n f n = lim inf n f n.) Satz 3.5 Sei (f n ) eine Folge von Funktionen f n : R und jedes f n messbar. (1) Dann sind ebenfalls messbar: sup f n n N inf n N f n lim sup f n n N lim inf n N f n (2) Ist (f n (x)) für jedes x in R konvergent, so ist lim n f n messbar. 32

33 (1) Sei a Q, dann gilt (nach 3.4(2)): {sup f n a} = {f n a} B() n N n N Also ist sup n N f n messbar. Analog lässt sich die Messbarkeit von inf n N f n zeigen, der Rest folgt dann aus ( ). (2) Folgt aus (1) und obiger Bemerkung in der Definition. Beispiel Sei = I ein Intervall in R und f : I R sei auf I differenzierbar. Für x I, n N sei f n := n(f(x 1 n ) f(x)). Da f stetig ist, ist auch jedes f n stetig, also insbesondere messbar und es gilt: Aus 3.5(2) folgt, dass f messbar ist. f n (x) = f(x 1 n ) f(x) 1 n n f (x) Definition Sei f : R eine Funktion. (1) f + := max{f, } heißt Positivteil von f. (2) f := max{ f, } heißt Negativteil von f. Es gilt f +, f, f = f + f und f = f + + f. Satz 3.6 Seien f, g : R und α, β R. (1) Sind f, g messbar und ist αf(x) + βg(x) für jedes x definiert, so ist αf + βg messbar. (2) Sind f, g messbar und ist f(x)g(x) für jedes x definiert, so ist fg messbar. (3) f ist genau dann messbar, wenn f + und f messbar sind. In diesem Fall ist auch f messbar. (1)+(2) Für alle n N, x seien f n und g n wie folgt definiert: f n (x) := max{ n, min{f(x), n}} g n (x) := max{ n, min{g(x), n}} Dann sind f n (x), g n (x) [ n, n] für alle n N, x. Nach 3.2(3) sind also αf n + βg n und f n g n messbar. Außerdem gilt: Die Behauptung folgt aus 3.5(2). αf n (x) + βg n (x) n f n (x)g n (x) n αf(x) + βg(x) f(x)g(x) 33

34 3. Messbare Funktionen (3) Nach 3.5(1) sind f + und f messbar, wenn f messbar ist. Die umgekehrte Implikation folgt aus 3.6(1). Sind f + und f messbar, so folgt ebenfalls aus 3.6(1), dass f = f + + f messbar ist. Beispiel Sei C R d wie in 2.11, also C B d. Definiere f : R d R wie folgt: { 1, x C f(x) := 1, x C Dann ist {f 1} = C, also f nicht messbar. Aber für alle x R d ist f(x) = 1, also f = 1 R d und damit messbar. Definition f : R sei messbar. (1) f heißt einfach oder Treppenfunktion, genau dann wenn f() endlich ist. (2) f sei einfach und f() = {y 1,..., y m } mit y i y j für i j. Sei weiter A j := f 1 ({y j }) für j = 1,..., m. Dann sind A 1,..., A m B() und = m j=1 A j disjunkte Vereinigung. m f = y j 1 Aj heißt Normalform von f. Beispiel Sei A B(). Definiere: j=1 f := 1 A = 2 1 A \A = 1 A + 1 \A Wobei das letzte die Normalform von f ist. Man sieht also, dass einfache Funktionen mehrere Darstellungen haben können. Satz 3.7 Linearkombinationen und Produkte, sowie endliche Maxima und Minima einfacher Funktionen, sind einfach. Satz 3.8 Sei f : R messbar. (1) Ist f auf, so existiert eine Folge (f n ) von einfachen Funktionen f n : [, ), sodass f n f n+1 auf ( n N) und f n (x) n f(x) ( x ). In diesem Fall heißt (f n ) zulässig für f. (2) Es existiert eine Folge (f n ) von einfachen Funktionen f n : R, sodass f n f auf ( n N) und f n (x) n f(x) ( x ). (3) Ist f beschränkt auf (also insbesondere ± f()), so kommt in (2) noch hinzu, dass (f n ) auf gleichmäßig gegen f konvergiert. 34

35 Folgerungen 3.9 (( mit 3.8(2) und 3.5)) Sei f : R eine Funktion, dann ist f genau dann messbar, wenn eine Folge einfacher Funktionen (f n ) mit f n : R und f n (x) n f(x) für alle x existiert. (1) Für n N definiere ϕ n : [, ] [, ) durch ϕ n (t) := { [2 n t] 2, t < n n n, n t Dann ist ϕ n (B 1 ) [, ] -B 1 -messbar, außerdem gilt: t [, ] n N : ϕ 1 t t [, n] n N : t 1 2 n ϕ n(t) t und es ist ϕ n (t) n t für alle t [ ]. Setze f n := ϕ n f. Dann leistet (f n ) das gewünschte. (2) Es ist f = f + f und f +, f auf. Seien (g n ), (h n ) zulässige Folgen für f + bzw. f. Definiere f n := g n h n. Dann ist klar, dass gilt: x : f n (x) = g n (x) h n (x) n f + (x) f (x) = f(x) Weiter gilt: f n g n + h n f + + f = f (3) Ohne. 35

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37 4 Konstruktion des Lebesgueintegrals In diesem Paragraphen sei B d. Wir schreiben außerdem λ statt λ d. Definition Sei f : [, ) eine einfache Funktion mit der Normalform f = m j=1 y j1 Aj. Das Lebesgueintegral von f ist definiert durch: f(x) dx := m y j λ(a j ) j=1 Satz 4.1 Sei f : [, ) einfach, z 1,..., z k [, ) und B 1,..., B k B() mit B j = und f = k j=1 z j1 Bj. Dann gilt: k f(x) dx = z j λ(b j ) j=1 In der großen Übung. Satz 4.2 Seien f, g : [, ) einfach, α, β [, ) und A B(). (1) 1 A(x) dx = λ(a) (2) (αf + βg)(x) dx = α f(x) dx + β g(x) dx (3) Ist f g auf, so ist f(x) dx g(x) dx. (1) Folgt aus der Definition und 4.1. (2) Es seien f = m j=1 y j1 Aj und g = k j=1 z j1 Bj die Normalformen von f und g. Dann gilt: αf + βg = m αy j 1 Aj + j=1 k βz j 1 Bj j=1 37

38 4. Konstruktion des Lebesgueintegrals Dann gilt: (αf + βg) 4.1 = = α m αy j λ(a j ) + j=1 m y j λ(a j ) + β j=1 = α k βz j λ(b j ) j=1 f(x) dx + β k z j λ(b j ) j=1 g(x) dx (3) Definiere h := g f. Dann ist h und einfach. Sei h = m j=1 x j1 Cj die Normalform von h, d.h. x 1,..., x m. Dann gilt: h(x) dx = m x j λ(c j ) j=1 Also folgt aus g = f + h und (2): g(x) dx = f(x) dx + h(x) dx f(x) dx Definition Sei f : [, ] messbar. (f n ) sei eine für f zulässige Folge. Das Lebesgueintegral von f ist definiert als: f(x) dx := lim f n (x) dx ( ) n Bemerkung: (1) In 4.3 werden wir sehen, dass ( ) unabhängig ist von der Wahl der für f zulässigen Folge (f n ). (2) (f n (x)) ist wachsend für alle x, d.h.: f(x) = lim f n(x) = (sup f n )(x) n n N (3) Aus 4.2(3) folgt dass ( f n(x) dx) wachsend ist, d.h.: lim f n (x) dx = sup{ f n (x) dx n N} = f ( x) dx n Bezeichnung: Für messbare Funktionen f : [, ] definiere M(f) := { g dx g : [, ) einfach und g f auf } 38

39 Satz 4.3 Ist f : [, ] messbar und (f n ) zulässig für f, so gilt: Insbesondere ist f(x) dx wohldefiniert. L := lim f n dx = sup M(f) n Folgerungen 4.4 Ist f : [, ] messbar, so ist f(x) dx = sup M(f). Sei f n dx M(f) n N. Dann ist { L = sup Sei nun g einfach und g f. Sei weiter die Normalform von g. Sei α > 1 und B n := {αf n g}. Dann ist } f n dx n N sup M(f) g = m y j 1 Aj j=1 B n B() und (B n B n+1, sowie 1 Bn g αf n. Sei x. Fall 1: Ist f(x) =, so ist wegen g f auch g(x) =. Somit ist x B n für jedes n N. Fall 2: Ist f(x) >, so ist 1 g(x) < f(x) α (Dies ist klar für g(x) = und falls gilt: g(x) >, so ist 1 αg(x) < g(x) f(x) ) Da f n zulässig für f ist, gilt: f n (x) f(x) (n ), weshalb ein n(x) N existiert mit: 1 g(x) < f(x)für jedes n n(x) α Es folgt x B n für jedes n n(x). Fazit: = B n. ( ) A j = A j = A j Bn = (A j B n ) und A j B n A j B n+1 Aus 1.7 folgt λ(a j ) = lim λ(a j B n ). Das liefert: n m m g dx = y j λ(a j ) = y j lim λ(a j B n ) n j=1 = lim m n j=1 lim n j=1 y j λ(a j B n ) 4.1 = lim αf n dx = αl n 1 Bn g dx 39

40 4. Konstruktion des Lebesgueintegrals g war einfach und g f beliebig, sodass sup M(f) αl α 1 = sup M(f) L Satz 4.5 Seien f, g : [, ] messbar und α, β. (1) (αf + βg)(x) dx = α f(x) dx + β g(x) dx (2) Ist f g auf, so gilt f(x) dx g(x) dx (3) f(x) dx = λ({f > }) = (1) (f n ) und (g n ) seien zulässig für f bzw. g. Weiter sei (h n ) := α(f n )+β(g n ). Dann ist wegen 3.7 und α, β, dass (h n ) zulässig für αf + βg ist. Dann: (αf + βg) dx = lim (α(f n ) + β(g n )) dx n 4.2 = α lim (f n ) dx + β lim (g n ) dx n n = α f dx + β g dx (2) Wegen f g auf ist M(f) M(g) und somit auch sup M(f) sup M(g). Aus 4.4 folgt nun die Behauptung. (3) Setze A := {f > } = {x : f(x) > }. = Sei f dx = und A n := {f > 1 n }. Dann ist A = A n und f 1 n 1 A n. Damit folgt: = f dx (2) Es ist also λ(a n ) = und damit gilt weiter Also ist auch λ(a) =. 1 n 1 A n dx = 1 n λ(a n) λ(a) = λ( A n ) 1.7 λ(a n ) = = Sei λ(a) =, (f n ) zulässig für f und c n := max{f n (x) : x }. Dann ist f n c n 1 A und es gilt: f n dx (2) c n 1 A dx = c n λ(a) Vor. = Es ist also f n dx = für jedes n N und somit auch f dx = 4

41 Satz 4.6 (Satz von Beppo Levi (Version I)) Sei (f n ) eine Folge messbarer Funktionen f n : [, ] und es gelte f n f n+1 auf für jedes n N. (1) Für alle x existiert lim n f n (x). (2) Die Funktion f : [, ] definiert durch: f(x) := lim n f n(x) ist messbar. (3) lim f n(x) dx = n f(x) dx = lim n f n(x) dx (1) Für alle x ist (f n (x)) wachsend, also konvergent in [, + ]. (2) folgt aus 3.5. ( ) { } (3) Sei u (n) j zulässig für f n und v j := max u (1) j, u (2) j,..., u (j) j. Aus 3.7 folgt, dass v j j N einfach ist und aus der Konstruktion lässt sich nachrechnen, dass gilt: v j v j+1 und v j f n f und f n = sup u (n) j j N sup v j (auf ) j N Damit ist (v j ) zulässig für f und es gilt: f dx = lim v j dx lim j j f j dx f dx Satz 4.7 (Satz von Beppo Levi (Version II)) Sei (f n ) eine Folge messbarer Funktionen f n : [, ]. (1) Für alle x existiert s(x) := j=1 f j(x). (2) s : [, ] ist messbar. (3) j=1 f j(x) dx = j=1 f j(x) dx Setze s n := Dann erfüllt (s n ) die Voraussetzungen von 4.6. Aus 4.6 und 4.5(1) folgt die Behauptung. n j=1 f j 41

42 4. Konstruktion des Lebesgueintegrals Satz 4.8 Sei f : [, ] messbar und es sei Y B() (also Y und Y B d ). Dann sind die Funktionen f Y : Y [, ] und 1 Y f : [, ] messbar und es gilt: Y f(x) dx := Y f Y (x) dx = (1 Y f)(x) dx Fall 1: Die Behauptung ist klar, falls f einfach ist. (Übung!) Fall 2: Sei (f n ) zulässig für f und g n := f n Y, h n := 1 Y f n Dann ist (g n ) zulässig für f Y und (h n ) ist zulässig für 1 Y f n. Insbesondere sind f n Y und 1 Y f n nach 3.5 messbar. Weiter gilt: f Y dx n g n dx F = all1 h n dx n 1 Y f dx Y Y Definition Sei f : R messbar. f heißt (Lebesgue-)integrierbar (über ), genau dann wenn f +(x) dx < und f (x) dx <. In diesem Fall heißt: f(x) dx := das (Lebesgue-)Integral von f (über ). f + (x) dx f (x) dx Beachte: Ist f : [, ] messbar, so ist f genau dann integrierbar, wenn gilt: f(x) dx < Beispiel { 1, x Q Sei B 1, f(x) :=, x \ Q = 1 Q., Q B 1 = Q B 1 = f ist messbar. f(x) dx = 1 Q dx = λ( Q) λ(q) = Das heißt: f L 1 (), f dx =. Ist speziell = [a, b] (a aber f R([a, b]). < b), so gilt: f L1 ([a, b]), Satz 4.9 (Charakterisierung der Integrierbarkeit) Sei f : R messbar. Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (1) f ist integrierbar. (2) Es existieren integrierbare Funktionen u, v : [, + ] mit u(x) = v(x) = für kein x und f = u v auf. (3) Es existiert eine integrierbare Funktion g : [, + ] mit f g auf. (4) f ist integrierbar. 42

43 Zusatz: (1) L 1 () = {f : R f ist messbar und f dx < } (folgt aus (1)-(4)). (2) Sind u, v wie in (2), so gilt: f dx = u dx v dx. (des Satzes) (1) (2) u := f +, v := f. (2) (3) g := u + v, dann ist u, v, g, 4.5 g dx = u dx + v dx <. = g ist integrierbar und: f = u v u + v = u + v = g auf. (3) (4) 4.5 = f dx g dx < = f ist integrierbar. (4) (1) f +, f f auf. = f ± dx f dx < Def. = f ist integrierbar. (des Zusatzes) (1) (2) Es ist f = u v = f + f = u + f = f + + v. = u dx + f dx 4.5 = (u + f ) dx = = u dx v dx = f + dx (f + + v) dx 4.5 = f + dx + v dx f dx Def. = f dx. Folgerungen 4.1 Sei f : R integrierbar und N := { f = + } = {x : f(x) = + }. Dann ist N B() und λ(n) =. 3.4 = N B(). n1 N f für alle n N. Dann: n λ(n) = n1 N dx 4.5 f dx 4.9 < für alle n N Also: nλ(n) f dx n N = λ(n) = Satz 4.11 f, g : R seien integrierbar und es sei α R. (1) αf ist integrierbar und (αf) dx = α f dx. (2) Ist f + g : R auf definiert, so ist f + g integrierbar und es gilt: (f + g) dx = f dx + g dx (Für f = + und g = ist f + g beispielsweise nicht definiert.) (3) L 1 () ist ein reeller Vektorraum und die Abbildung f f dx ist linear auf L1 (). 43

44 4. Konstruktion des Lebesgueintegrals (4) max{f, g} und min{f, g} sind integrierbar. (5) Ist f g auf, so ist f dx g dx. (6) f dx f dx. (Dreiecksungleichung für Integrale) (7) Sei Y B(). Dann sind die Funktionen f Y : Y R und 1 Y f : R integrierbar und f(x) dx := f Y (x) dx = (1 Y f)(x) dx Y Y (8) Sei λ() < und h : R sei messbar und beschränkt. Dann: h L 1 () und h dx h λ() (mit h := sup{ h(x) : x }) (1) folgt aus αf) ± = αf ±, falls α und αf) ± = αf, falls α <. (2) Es gilt f + g = f + + g }{{ + } =:u (f + g ) = u v. Dann: }{{} =:v udx = f + + g + dx 4.5 = Genauso: vdx < Mit Satz 4.9 folgt: f + g ist integrierbar. Weiter: (f + g)dx 4.9 = udx vdx ( = f + dx + g + dx = fdx + gdx (3) folgt aus (1) und (2). (4) Mit Satz 3.5 folgt: max{f, g} ist messbar. Es gilt: f + dx + g + dx < max{f, g} f + g ) f dx + g dx Mit 4.9 und Aussage (2) folgt f + g ist integrierbar. Dann folgt mit Satz 4.9: max{f, g} ist integrierbar. Analog zeigt man: min{f, g} ist integrierbar. (5) Nach Voraussetzung ist f g auf. Dann gilt: f + g + auf und f g auf. Es folgt: fdx = f + dx f dx 4.5 g + dx g dx = gdx (6) Es ist ±f f. Mit Aussage (1) und (5) folgt: ± fdx = (±f)dx f dx. Es ist fdx = fdx oder fdx = fdx 44

45 (7) Mit Bemerkung (2) vor 3.1 und Satz 3.6.(2) folgt: f Y und 1 Y f sind messbar. Es gilt: (f Y ) ± = (f ± ) Y und (1 Y f) ± = 1 f ±. Weiterhin gilt 1 Y f ± f ±. Mit 4.9 folgt dann, daß 1 Y f ± integrierbar ist. Dann: (1 Y f)dx = 1f + dx 1 Y fdx = (f + ) Y dx (f ) Y dx Es folgt: f Y Y } {{ } < Y } {{ } < ist integrierbar und Y f Y dx = Y (f +) Y dx Y (f ) Y dx = (1 Y f)dx. (8) Es ist h h 1. Dann folgt: h dx h 1 dx = h λ() < Damit: h ist integrierbar und mit 4.9 auch h. Da h beschränkt ist, folgt: h L 1 (). Schließlich: hdx h dx h λ() Satz 4.12 (1) Sind A, B B() disjunkt, = A B und ist f : R integrierbar (über ), so ist f integrierbar über A und integrierbar über B und es gilt: f dx = f dx + f dx A B (2) Ist K R d kompakt und f : K R stetig, so ist f L 1 (K). (1) Aus 4.11(7) folgt: f ist integrierbar über A und integrierbar über B. Es ist f(x) dx = (1 A B f) (x) dx = ((1 A + 1 B ) f) (x) dx = (1 A f + 1 B f) (x) dx 4.11(2) = 1 A f dx + 1 B f dx 4.11(7) = A f dx + f dx. B (2) K ist kompakt, also gilt: λ(k) <. Aus 3.2(1) folgt, dass f messbar ist. Analysis II ( stetige Funktionen auf kompakten Mengen nehmen Minimum und Maximum an ) liefert: f ist beschränkt. Insgesamt folgt mit 4.11(8) schließlich: f L 1 (K). Satz 4.13 Seien a, b R, a < b, := [a, b] und f C(). Dann ist f L 1 () und es gilt: b L f(x) dx = R f(x) dx a 45

46 4. Konstruktion des Lebesgueintegrals Sei n N, t (n) j := a + j b a n S n := n ( f j=1 t (n) j [ ] (j =,..., n) und I(n) j := t (n) j 1, t(n) j (j = 1,..., n). ) b a }{{ n } ( ) =λ 1 I (n) j ist Riemannsche Zwischensumme für R- Aus Analysis I folgt S n R- b a f(x) dx (n ). Definiere f n := ( n j=1 f ist f n einfach und f n (x) dx = n ( f j=1 t (n) j ) λ 1 ( I (n) j ) = S n b a f(x) dx. t (n) j ) 1 (n) I. Dann j f ist auf gleichmäßig stetig also konvergiert f n auf gleichmäßig gegen f (Übung!), also gilt: f n f = sup { f n (x) f(x) : x } (n ) Aus 4.12(2) folgt f L 1 () L- f(x) dx S n = L- (f f n ) dx 4.11 (f f n ) dx 4.11 f f n λ() }{{} =b a Daraus folgt S n L- f dx Satz 4.14 Sei a R, := [a, ) und f C(). Dann gilt: (1) f ist messbar. (2) f L 1 () genau dann wenn das uneigentliche Riemann-Integral a f(x) dx absolut konvergent ist. In diesem Fall gilt: L f(x) dx = R f(x) dx a Entsprechendes gilt für die anderen Typen uneigentlicher Riemann-Integrale. Eine Hälfte des es folgt in Kapitel 6. Beispiel (1) Sei = (, 1], f(x) = 1 x. Aus Analysis I wissen wir, dass R- 1 1 x dx (absolut) konvergent ist. Also ist f L 1 (). Außerdem wissen wir aus Analysis I, dass R- 1 1 x divergent ist. Also ist f 2 / L 1 (). (2) Sei = [, ), f(x) = sin(x) x. Aus Analysis I wissen wir, dass R- 1 f(x) dx konvergent, aber nicht absolut konvergent ist. Also ist f / L 1 (). 46

47 5 Nullmengen In diesem Paragraphen sei stets B d. Wir schreiben wieder λ statt λ d. Definition Sei N B d. N heißt eine (Borel-)Nullmenge, genau dann wenn λ(n) = ist. Beispiel (1) Ist N R d höchstens abzählbar, so ist N B d und λ(n) =. (2) Sei j {1,..., d} und H j := { (x 1,..., x d ) R d : x j = }. Aus Beispiel (5) nach 2.7 folgt, dass H j eine Nullmenge ist. Lemma 5.1 Seien M, N, N 1, N 2,... B d. (1) Ist M N und N Nullmenge, dann ist M Nullmenge. (2) Sind alle N j Nullmengen, so ist auch N j eine Nullmenge. (3) N ist genau dann eine Nullmenge, wenn für alle ε > offene Intervalle I 1, I 2,... R d existieren mit N I j und j=1 λ(i j) ε. (1) λ(m) λ(n) = (2) λ( N j ) λ(n j ) = (3) Folgt aus 2.1. Bemerkung: (1) Q ist klein : Q ist nur abzählbar. (2) Q ist groß : Q = R (3) Q ist klein : λ(q) = Definition (1) Sei (E) eine Eigenschaft für Elemente in. (E) gilt für fast alle (ffa) x, genau dann wenn (E) fast überall (fü) (auf ) gilt, genau dann wenn eine Nullmenge N existiert, sodass (E) für alle x \ N gilt. (2) f(x) dx := 47

48 5. Nullmengen Satz 5.2 Seien f : R messbare Funktionen. (1) Ist f integrierbar, so ist f fast überall endlich. (2) Ist f auf, so ist f(x) dx = genau dann wenn fast überall f =. (3) Ist f integrierbar und N eine Nullmenge, so gilt: f(x) dx = N (1) ist gerade 4.1. (2) ist gerade 4.5(3) (3) Setze g := 1 N f. Aus 4.11 folgt, dass g integrierbar ist, also ist nach 4.9 auch g integrierbar. Für x \ N gilt: g(x) = g(x) = D.h. g = fast überall. Aus (2) folgt damit g dx =. Dann ist mit 4.11: g dx g dx = und somit g dx =. Satz 5.3 f, g : R seien messbar. (1) Ist f integrierbar und gilt fast überall f = g, so ist g integrierbar und es gilt: f dx = g dx (2) Ist f integrierbar und g := 1 { f < } f, so ist g integrierbar und es gilt: f dx = g dx (3) Sind f und g beide auf, und ist fast überall f = g, so ist f dx = g dx 48

49 (1) Nach Voraussetzung existiert eine Nullmenge N, sodass gilt: x \ N : f(x) = g(x) Aus 5.2(3) folgt dann N f dx =. Sei x \ N Dann gilt: (1 N g ) (x) = 1 N (x) g(x) = D.h.: Fast überall ist 1 N g =. Aus 5.2(2) folgt N g dx = 1 N g dx =. Dann gilt: ( g dx = 1N g + 1 \N g ) dx = 1 N g dx + 1 \N g dx = 1 \N g dx f dx 4.9 < 4.9 liefert nun, dass g und damit auch g integrierbar ist. Weiter gilt: g dx 4.12 = g dx + g dx = g dx = 4.12 = N \N \N f dx 5.2(3) = f dx. N \N f dx + (2) Setze N := { f = }. Aus 5.2(1) folgt, dass N eine Nullmenge ist. Sei x \ N, so ist x { f < } und g(x) = f(x). D.h. fast überall ist f = g. (Klar: g ist mb). Dann folgt die Behauptung aus (1). \N f dx (3) Fall 1: f dx < Dann ist f integrierbar, damit ist nach (1) auch g integrierbar und es gilt: f dx = g dx Fall 2: f dx =. Annahme: g dx <. Dann gilt nach Fall 1: f dx <. ` Definition (f n ) sei eine Folge von Funktionen f n : R. (1) (f n ) konvergiert fast überall (auf ) genau dann, wenn eine Nullmenge N existiert, sodass für alle x \ N (f n (x)) in R konvergiert. (2) Sei f : R. (f n ) konvergiert fast überall (auf ) gegen f genau dann, wenn eine Nullmenge N existiert mit: f n (x) f(x) x \ N In diesem Fall schreiben wir: f n f fast überall. 49

50 5. Nullmengen Satz 5.4 Sei (f n ) eine Folge messbarer Funktionen f n : R und (f n ) konvergiere fast überall (auf ). Dann: (1) Es existiert f : R messbar mit f n f fast überall. (2) Ist g : R eine Funktion mit f n g fast überall, so gilt f = g fast überall. Bemerkung: Ist g wie in (2), so muss g nicht messbar sein (ein Beispiel gibt es in der Übung). (1) Es existiert eine Nullmenge N 1 : (f n (x)) konvergiert in R für alle x \ N 1. f(x) = { x N 1 lim n f n (x) x \ N 1 g n := 1 \N f n, g n ist messbar und g n (x) f(x) für alle x. Mit 3.5 folgt: f ist messbar. (2) Es existiert eine Nullmenge N 2 : f n (x) g(x) x \ N 2. N = N 1 N 2. Aus 5.1 folgt: N ist eine Nullmenge. Für x \ N : f(x) = g(x). Satz 5.5 (Satz von Beppo Levi (Version III)) Sei (f n ) eine Folge messbarer Funktionen f n : [, + ] und für jedes n N gelte: f n f n+1 fast überall. Dann existiert eine messbare Funktion f : [, + ] mit: f n f fast überall und fdx = lim f n dx n Zu jedem n N existiert eine Nullmenge N n : f n (x) f n+1 (x) x \ N n. N := n=1 N n; Mit 5.1 folgt: N ist eine Nullmenge. Dann: f n (x) f n+1 (x) x \ N n N. ˆf n := 1 \N f n, ˆf n ist messbar, ˆf n ˆf n+1 auf für alle n N. f(x) := lim n ˆfn (x) (x ); 3.5 liefert: f ist messbar. Weiter: ˆf n f. fdx 4.6 = lim ˆf n dx 5.3.(2) = lim f n dx n n 5

51 6 Der Konvergenzsatz von Lebesgue Stets in diesem Paragraphen: B d Lemma 6.1 (Lemma von Fatou) (f n ) sei eine Folge messbarer Funktionen f n : [, + ]. (1) Es gilt: (lim inf f n)(x)dx lim inf f n (x)dx n n (2) Ist f : [, + ] messbar und gilt f n f fast überall, so ist fdx lim inf f n dx n (3) Ist f wie in (2) und ist ( f ndx ) beschränkt, so ist f integrierbar. (1) g j := inf n j f n. Aus 3.5 folgt: g j ist messbar, klar: g j g j+1 auf ; sup j N g j = lim inf n f n Weiter: g j f n (n j) Dann: lim inf f ndx = n = 4.6 = lim j = sup j N sup j N = lim inf n sup g j dx j N lim g j(x)dx j g j dx g j dx }{{} inf n j fndx { inf n j } f n dx f n dx (2) Es existiert eine Nullmenge N : f n (x) f(x) x \ N. Dann: f = 1 \N f fast 51

52 6. Der Konvergenzsatz von Lebesgue überall. fdx 5.3.(3) = = (1) lim inf n 1 \N fdx ( lim 1 \Nf n )dx n 1 \N f n dx f n dx 5.3.(3) = lim inf n (3) folgt aus (2). Nach Voraussetzung gilt fdx (2) lim inf n f n dx < Satz 6.2 (Konvergenzsatz von Lebesgue (Majorisierte Konvergenz)) (f n ) sei eine Folge messbarer Funktionen f n : R, (f n ) konvergiere fast überall und es sei g : [, + ] integrierbar. Für jedes n N gelte f n g fast überall. Dann sind alle f n integrierbar und es existiert ein f L 1 () mit: (1) f n f fast überall (2) f ndx fdx (3) f n f dx Beispiel Sei = R, f n := n1 (, 1 ). Dann: n (( f n dx = n λ 1, 1 )) n = n 1 n = 1 n N Es gilt f n f := punktweise und fdx = 1 = f ndx. 6.2 ist ohne Majorante im allgemeinen falsch. (1) Aus 5.4 folgt: Es existiert ˆf : R messbar mit f n ˆf fast überall. Es existiert eine Nullmenge N : f n (x) ˆf(x) x \ N (2) Für alle n N existiert eine Nullmenge N n : f n (x) g(x) x \ N n. Setze N := n= N n. Mit 5.1 folgt: N ist eine Nullmenge. Wir haben: f n (x) g(x) x \ N n N und ˆf(x) g(x) x \ N. (3) f n = 1 \N f n fast überall und ˆf = 1 \N ˆf fast überall. Es gilt 1 \N f n g und 1 \N ˆf g. Mit 4.9 folgt: 1\N f n und 1 \N ˆf sind integrierbar. Mit 5.3.(1) folgt: f n und ˆf sind integrierbar. 52

53 (4) Ñ := N { ˆf = } {g = }. Mit 4.1 und 5.1 folgt: Ñ ist eine Nullmenge. Setze f := 1 \N ˆf. Dann: f ist messbar; es ist f ˆf. Mit 4.9 folgt: f ist integrierbar. Es ist f() R. Also: f L 1 (). Sei x \ Ñ : f(x) = f(x) = lim n f n (x). D.h. f n f fast überall. (5) Definiere g n := f + 1 \ Ñ g 1\Ñ f n f. Es ist fast überall 1 \ Ñ g = g 1\Ñ f n f = f n f Nach 5.3(1) ist g integrierbar und g n f + g fast überall. Es gilt: f n f f n + f g + f auf \ Ñ D.h. es ist g auf. (6) Es gilt: Daraus folgt: Also gilt auch: ( f + g) dx 6.1(2) lim inf g n dx n ( = lim inf g n dx + = lim inf = lim inf = 5.2(3) = \Ñ Ñ \Ñ \Ñ g n dx \Ñ g n dx ) ( f + g f n f ) dx ( f + g) dx lim sup \Ñ f n f dx f + g dx lim sup f n f dx lim sup f n f dx x f n dx f dx = (f n f) dx f n f dx Beispiel Sei := [1, ) und f n (x) := 1 sin ( x n) für alle x, n N mit x 3 fn (x) f(x) für jedes 2 x. Dann ist f n (x) 1 für jedes x und n N. Definiere nun x 3 2 g(x) := 1 Aus Analysis I ist bekannt, dass 1 g(x) dx (absolut) konvergent ist und aus 4.14 folgt g L 1 () sowie g(x) dx = R- g(x) dx x

54 6. Der Konvergenzsatz von Lebesgue Weiter folgen aus 6.2: f n dx und f n dx (n ) Folgerung 6.3 (aus 6.2) (1) Sei f : R messbar und (A n ) sei eine Folge in B() mit A n A n+1 für jedes n N und = A n. Weiter sei f n := 1 An f integrierbar für alle n N und ( ) f dx A n Dann ist f integrierbar und es gilt: f dx A n f dx sei beschränkt. für n (2) Sei a R, := [a, ] und f : R sei stetig. Weiter sei R- a f dx absolut konvergent. Dann ist f L 1 () und wie in 4.14: L- f dx = R- f dx a (1) Sei x. Es exisitert ein m N, für das x A m ist und somit auch x A n für jedes n m. Nach der Definition von f n gilt dann f n (x) = f(x) für jedes n m und somit f n f auf. Damit gilt auch f n f auf Durch die Konstruktion der f n ergibt sich: Dann gilt: f n = 1 An f = 1 An f 1 An+1 f = f n+1 f dx 4.6 = lim f n dx = lim f dx V or. < A n Es folgt, dass f integrierbar ist und somit ist nach 4.9 auch f integrierbar. Da f n f auf für jedes n N gilt, ist f eine integrierbare Majorante und es folgt mit 6.2: f dx = lim f n dx = lim f dx A n (2) Setze A n := [a, n] (n N) und es gelte o.b.d.a.: a 1. Dann gilt: n f dx 4.13 = R- f dx V or. R- f dx A n a a ( ) D.h. f dx ist beschränkt. Definiere f An n := 1 An f mit 4.13 folgt daraus, dass f n integrierbar ist. Weiter folgt aus (1) f L 1 () (denn es ist f() R) und ( n ) L- f dx = lim f dx 4.13 = lim R- f dx = R- f dx. A n a a 54

55 Bemerkung: 6.3(2) gilt entsprechend für die anderen Typen uneigentlicher Riemann-Integrale. Folgerung 6.4 (1) (f n ) sei eine Folge integrierbarer Funktionen f n : R, g : [, + ] sei ebenfalls integrierbar und g n := f 1 + f f n (n N) Weiter sei N eine Nullmenge in so, dass (g n (x)) für jedes x \ N in R konvergiert und g n (x) g(x) für jedes n N und x \ N Setzt man {, falls x N f(x) := f j (x) := lim g n(x), falls x \ N, j=1 n so gilt, dass f integrierbar ist und ( ) f j (x) dx = f j (x) dx j=1 j=1 (2) Sei f L 1 () und (A n ) eine disjunkte Folge in B() mit = A n. Dann gilt f dx = f dx A j (1) Fast überall gelten g n f und für jedes n N auch g n g. Aus 6.2 folgt f j (x) dx = f dx j=1 j=1 6.2 = lim = lim = lim = g n dx n n j=1 j=1 j=1 f j dx f j dx f j (x) dx (2) Setze f j := 1 Aj f, g := f, g n := f f n. Dann ist g n = 1 A1... A n f f = g Es gilt: g n f auf. Aus (1) folgt f dx = j=1 f j dx = j=1 A j f dx 55

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57 7 Parameterintegrale In diesem Paragraphen sei stets B d. Satz 7.1 Sei U B k, t U und es sei f : U R eine Funktion mit: (1) Für jedes t U ist x f(t, x) messbar. (2) Es existiert eine Nullmenge N so, dass t f(t, x) für jedes x \ N stetig in t ist. (3) Es existiert eine integrierbare Funktion g : [, ] und zu jedem t U existiert eine Nullmenge N t so, dass für jedes t U und jedes x \ N t gilt: f(t, x) g(x) Dann ist x f(t, x) für jedes t U integrierbar. Ist F : U R definiert durch F (t) := f(t, x) dx, so ist F stetig in t. Also: lim f(t, x) dx = lim F (t) = F (t ) = f(t, x) dx = lim f(t, x) dx t t t t t t Aus (1) und (3) folgt, dass x f(t, x) für jedes t U integrierbar ist (zur Übung). Sei (t n ) eine Folge in U mit t n t und g n (x) := f(t n, x) (n N, x ) Setze ( ) Ñ := N N tn n=1 Aus 5.1 folgt, dass Ñ eine Nullmenge ist. Voraussetzung (2) liefert g n(x) f(t, x) für jedes x \ Ñ, also gilt g n (x) f(t, x) fast überall auf 57

58 7. Parameterintegrale Voraussetzung (3) liefert g n (x) = f(t n, x) g(x) für jedes n N und x \ Ñ. Aus 6.2 folgt F (t n ) = f(t n, x) dx = g n dx f(t, x) dx = F (t ) Bezeichnung Sei I R ein Intervall, a := inf I und b := sup I, wobei a = oder b = + zugelassen sind. Weiter sei f : I R integrierbar (oder f ist messbar und ) und Dann ist b a f(x) dx := I (a,b) f(x)dx = f (a,b) (x) dx (a,b) f(x)dx Ist z.b. I = [a, b), dann gilt, da {a} eine Nullmenge ist: f dx = f dx + f dx = I {a} Folgerung 7.2 Sei I R ein Intervall, a = inf I und f : I R sei integrierbar. Definiert man F : I R durch so ist F C(I). F (t) := t a (a,b) f(x) dx, (a,b) f dx Für x, t I definiere h(t, x) := 1 (a,t) f(x). Dann ist F (t) = I h(t, x) dx und h(t, x) = 1 (a,t) f(x) f(x) für alle t, x I Aus 4.9 folgt, dass f integrierbar ist. Sei t I und N := {t }, also eine Nullmenge. Dann ist t h(t, x) für jedes x I \ N stetig in t (zur Übung). Die Behauptung folgt aus 7.1. Satz 7.3 Sei U R k offen, f : U R eine Funktion. Es sei g : [, + ] integrierbar und N sei eine Nullmenge. Weiter gelte: (1) für jedes t U sei x f(t, x) integrierbar. (2) für jedes x \ N sei t f(t, x) partiell differenzierbar auf U. (3) f t j g(x) für jedes x \ N, jedes t U und jedes j {1,..., k} Ist dann F : U R definiert durch F (t) := f(t, x)dx so ist F auf U partiell differenzierbar und für jedes t U sowie jedes j {1,..., k} gilt: F f (t) = (t, x) dx t j t j 58

59 Also: t j f(t, x) dx = f t j (t, x) dx. Sei o.b.d.a. k = 1, also U R. Sei t U und (h n ) eine Folge mit h n und h n für alle n N. Setze g n (x) := f(t + h n, x) f(t, x) h n (x, n N) Aus Voraussetzung (2) folgt für jedes x \ N: g n (x) f t (t, x) (n ) Nach dem Mittelwertsatz aus Analysis 1 existiert für jedes x \ N und jedes n N ein s n = s n (x) zwischen t und t + h n mit: Aus 6.2 folgt g n (x) = f t (s n, x) g n dx (3) g(x) f t (t, x) dx Es ist nach Konstruktion gerade g n dx = F (t +h n) F (t ) h n. 59

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61 8 Vorbereitungen auf das, was kommen mag In diesem Paragraphen seien k, l, d N und k + l = d. R d = R k R l. Für Punkte z R d schreiben wir z = (x, y), wobei x R k und y R l. Definition (1) p 1 : R d R k sei definiert durch p 1 (x, y) := x (2) p 2 : R d R l sei definiert durch p 2 (x, y) := y (3) Für y R l sei j y : R k R d definiert durch j y (x) := (x, y) (4) Für x R k sei j x : R l R d definiert durch j x (y) := (x, y) Lemma 8.1 p 1, p 2, j y, und j x sind messbar. p 1, p 2, j y und j x sind stetig, also nach 3.2 messbar. Definition Sei C R d. Sei y R l, dann heißt C y := {x R k : (x, y) C} = (j y ) 1 (C) der y-schnitt von C. Sei x R k, dann heißt C x := {y R l : (x, y) C} = (j x ) 1 (C) der x-schnitt von C. Lemma 8.2 Sei C B d. Dann ist C y B k und C x B l. folgt aus 8.1. Beachte: Sei A R k und B R l, sowie C := A B R d. Dann: { {, falls y / B C y = C x, falls x / A = A, falls y B B, falls x A 61

62 8. Vorbereitungen auf das, was kommen mag Lemma 8.3 Sei A B k und B B l. Dann ist C := A B B d. Es ist Nach 8.1 sind p 1 1 (A), p 1 Definition Sei f : R d R. Für y R l : Für x R k : Es ist f y = f j y und f x = f j x. C = (A R l ) (R k B) = p 1 1 (A) p 1 2 (B) 2 (B) B d und somit ist auch p 1 1 f y (x) := f(x, y) (x R k ) f x (y) := f(x, y) (y R l ) (A) p 1 2 (B) B d Lemma 8.4 Ist f : R d R messbar, so sind f y und f x messbar. folgt aus 8.1 und 8.3. Definition und Satz 8.5 (ohne ) Sei C B d. Die Funktionen ϕ C und ψ C seien unter Beachtung von 8.2 definiert durch: ϕ C (x) := λ l (C x ) (x R k ) ψ C (x) := λ k (C y ) (y R l ) Dann sind ϕ C und ψ C messbar. Bemerkung: Für C B d gilt: ϕ C (x) = λ l (C x ) = 1 C x(y) dy = 1 C (x, y) dy R l R l ψ C (y) = λ k (C y ) = 1 Cy (x) dx = 1 C (x, y) dx R k R k 62

63 9 Das Prinzip von Cavalieri Die Bezeichnungen seien wie im Paragraphen 8. Satz 9.1 (Prinzip von Cavalieri) Sei C B d. Dann: λ d (C) = λ l (C x ) dx = λ k (C y ) dy R k R l Das heißt: 1 C (x, y) d(x, y) = R d Beispiel (1) Sei k = l = 1, also d = 2. Sei r > und R k ( ) 1 C (x, y) dy dx = R l R l C := {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 r 2 } ( ) 1 C (x, y) dx dy R k Da C abgeschlossen ist, gilt C B 2. Ist y > r, so ist C y =, also λ 1 (C y ) =. Sei also y r. Sei x R so, dass (x, y) C. Dann ist x 2 +y 2 = r 2, also x = ± r 2 y 2. Das heißt, es ist C y = [ r 2 y 2, + ] r 2 y 2 und λ 1 (C y ) = 2 r 2 y 2 Aus 9.1 folgt: λ 2 (C) = = = R λ 1 (C y ) dy λ 1 (C y ) dy + [ r,r] [ r,r] r 4.13 = R- AnaI = πr 2 2 r 2 y 2 dy r 2 r 2 y 2 dy R\[ r,r] λ 1 (C y ) dy (2) Sei R d. sei kompakt, also B d. Weiter sei f : [, ) stetig, woraus mit 4.11 f L 1 () folgt. Setze C := {(x, y) : x, y f(x)} 63

64 9. Das Prinzip von Cavalieri C ist kompakt und somit gilt: C B d+1. Ist x /, so ist C x =, also λ 1 (C x ) =. Ist x, so ist C x = [, f(x)], also λ 1 (C x ) = f(x). Damit gilt λ d+1 (C) 9.1 = λ 1 (C x ) dx = R d λ 1 (C x ) dx + R d \ (3) Sei I = [a, b] R mit a < b und f : I [, ] stetig. Setze Aus Beispiel (2) und 4.13 folgt C := {(x, y) R 2 : x I, y f(x)} λ 2 (C) = R- (4) und f seien wie in Beispiel (2). Setze b a f(x) dx G := {(x, f(x)) : x } λ 1 (C x ) dx = f(x) dx G ist kompakt, also ist G B 2. Ist x /, so ist G x =, also λ 1 (G x ) =. Ist x, so ist G x = {f(x)}, also λ 1 (G x ) =. Aus 9.1 folgt λ 2 (G) = λ 1 (G x ) dx = (Prinzip von Cavalieri) Wir definieren µ, ν : B d [, ] durch: µ(a) := λ l (A x ) dx R k ν(a) := λ k (A y ) dy R l Dann ist klar, dass µ( ) = ν( ) = λ d ( ) = ist. Sei (A j ) eine disjunkte Folge in B d. Dann ist (A x j ) ebenfalls disjunkt und ( A j ) x = A x j. Somit gilt: µ( A j ) = λ l ( A x j ) dx R k = λl (A x j ) dx R k R = R k λ l (A x j ) dx = µ(a j ) D.h. µ ist ein Maß auf B d. Analog lässt sich zeigen, dass ν ein Maß auf B d ist. Sei nun I I d, dann existieren I I k, I I l mit I = I I. Aus 8 folgt: { I x I, x I =, x I Also ist λ l (I x ) = λ l (I ) 1 I (x) und damit: µ(i) = λ l (I ) 1 I (x) dx R k = λ l (I ) λ k (I ) = λ d (I) D.h. auf I d stimmen µ und λ d überein. Analog gilt ν = λ d auf I d. Da I d die Vorraussetzungen des Satzes 2.6 erfüllt, gilt µ = λ d = ν auf B d. 64

65 Folgerung 9.2 (1) Sei N B d. Dann gilt: λ d (N) = λ l (N x ) = λ k (N y ) = f.ü. auf R k f.ü. auf R l (2) Sei M R k (M R l ) eine Nullmenge, dann ist M R l (R k M) eine Nullmenge. (1) Nach 9.1 gilt: λ d (N) = λ l (N x ) dx R k Nach 5.2(2) folgt die Behauptung. Analog lässt sich die zweite Äquivalenz zeigen. (2) Es gilt: Damit folgt die Behauptung aus (1). y R l : (M R l ) y = M Lemma 9.3 Sei D B d und f : D R messbar. Definiere Dann ist f : R d R messbar. f(z) := { f(z), z D, z D Sei a R, B a := {n R d f(z) a}. Fall a < : B a = {z D f(z) a} 3.4 B d Fall a : Also folgt aus 3.4 die Messbarkeit von f. Beispiel (1) Sei r > und B a = {z D f(z) a} {z R d \ D} B d Dann ist K offen, also K B 2 und es gilt: K := {(x, y) R 2 x 2 + y 2 < r 2 } K = K \ K = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 = r 2 } B 2 Damit enthält die Menge ( K) y für alle x R höchstens zwei Elemente, d.h. λ 2 ( K) = λ 1 (( K) y ) dy = R 65

66 9. Das Prinzip von Cavalieri Mit K = ( K) K folgt dann λ 2 (K) = λ 2 ( K) + λ 2 (K) = λ 2 (K) = πr 2 Sei nun A B 2 mit K A K, dann ist λ 2 (A) = πr 2. (2) Sei r > und K := {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 r 2 } Dann ist K abgeschlossen, also K B 3. Fall z > r: Es ist K z =, also λ 2 (K z ) =. Fall z r: Es ist K z = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 r 2 z 2 } und damit λ 2 (K z ) = π(r 2 z 2 ). Aus 9.1 folgt dann: λ 3 (K) = λ 2 (K z ) dz R = λ 2 (K z ) dz + = 4.13 = [ r,r] [ r,r] r r = 4 3 πr3 π(r 2 z 2 ) dz πr 2 πz 2 dz R\[ r,r] λ 2 (K z ) dz (3) λ 2 ( ) = (4) Wir wollen nun Rotationskörper betrachten. Sei dazu I = [a, b] R mit a < b und f : I [, ) messbar. Definiere nun V := {(x, y, z, ) R 3 x 2 + y 2 f(z) 2, z I} Setze D := R 2 I und g(x, y, z) := x 2 + y 2 f(z) 2. Dann ist g nach 3 messbar und V = {g } B 3. Fall z I: Es so ist V z =, also λ 2 (V z ) =. Fall z I: Es ist V z = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 f(z) 2 } und damit λ 2 (V z ) = πf(z) 2. Aus 9.1 folgt dann: λ 3 (V ) = = π λ 2 (V z ) dz R b a f(z) 2 dz (5) Sei h >, I = [, h] und f(z) = r hz. Definiere den Kegel V := {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 r2 h 2 z2 } 66

67 Dann ist h r 2 λ 3 (V ) = π h 2 z2 dz = πr2 h 3 67

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69 1 Der Satz von Fubini Die Bezeichnungen seien wie in den Paragraphen 8 und 9. Satz 1.1 (Satz von Tonelli) Es sei f : R d [, + ] messbar. (Aus 8 folgt dann, dass f x, f y messbar sind, wobei klar ist, dass f x, f y sind.) Für x R k : F (x) := f(x, y) dy = f x (y) dy R l R l Für y R l : G(y) := f(x, y) dx = R k f y (x) dx R k Dann sind F, G messbar und f(z) dz = R d F (x) dx = R k G(y) dy R l also f(x, y) d(x, y) = R d (iterierte Integrale) R k ( ) f(x, y) dy dx = R l R l ( ) f(x, y) dx dy R k ( ) Fall 1: Sei C B d und f = 1 C. Die Behauptungen folgen dann aus 9.1. Fall 2: Sei f und einfach. Die Behauptungen folgen aus Fall 1, 3.6 und 4.5. Fall 3 - Der allgemeine Fall: Sei (f n ) zulässig für f, also: f n f n+1, f n einfach und f n f auf R d. Für x R k und n N gilt: F n (x) := f n (x, y) dy R l und nach Fall 2 ist F n messbar. Aus f n f n+1 folgt F n F n+1 und 4.6 liefert F n F auf R k. Dann gilt f(z) dz = lim R d f n (z) dz F all2 = lim R d F n (x) dx 4.6 = R k F (x) dx R k Genauso zeigt man (f(z) dz = G(y) dy R d R l 69

70 1. Der Satz von Fubini Satz 1.2 (Satz von Fubini (Version I)) Es sei f : R d R integrierbar. Dann existieren Nullmengen M R k und N R l mit f x : R l R ist integrierbar für jedes x R k \ M f y : R k R ist integrierbar für jedes y R l \ N Setze und { F (x) := R f x (y) dy = l R f(x, y) dy, falls x R k \ M l, falls x M { G(y) := R f k y (x) dx = R f(x, y) dx, falls y R l \ N k, falls y N Dann sind F und G integrierbar und es gelten folgende zwei Gleichungen f(z) dz = R d F (x) dx = R k G(y) dy R l Es gilt also wieder ( ) aus 1.1. Wir zeigen nur die Aussagen über f x, F und die erste der obigen beiden Gleichungen. Genauso zeigt man die Aussagen über f n, G und die zweite Gleichung. Aus 8.1 folgt, dass f x messbar ist. Definiere Φ(x) := f x (y) dy = R l f(x, y) dy für x R k R l Nach 1.1 ist Φ messbar und Φ(x) dx = R k R k ( ) f(x, y) dy dx 1.1 = R l R d f(z) dz < (denn mit f ist nach 4.9 auch f integrierbar). Somit ist Φ integrierbar. Setze M := {Φ = } was nach 4.1 eine Nullmenge ist. Also gilt: R l f x (y) dy = Φ(x) < für jedes x R k \ M Das heißt, f x ist für jedes x R k \ M integrierbar und es gilt nach 4.9 auch f x ist integrierbar für jedes x R k \ M Aus 9.2 folgt, dass M R l eine Nullmenge ist. Setze { f(z), falls z R f(z) d \ (M R l ) :=, falls z M R l 7

71 Aus 9.3 folgt, dass f messbar ist. Klar ist, dass fast überall f = f gilt. Es ist ) x f x = (1 (M R l ) C f f(x, y) dy = Das heißt f x ist integrierbar für jedes x R k. Dann gilt F (x) 5.3 = f+ (x, y) dy R l R } l {{ } =:F + (x) f (x, y) dy R } l {{ } =:F (x) Nach 1.1 sind F + und F messbar. Die Dreiecksungleichung liefert nun F (x) f(x, y) dy 5.3 = R l f(x, y) dy = Φ(x) für x R k R l Also ist F Φ und Φ ist integrierbar. Aus 4.9 folgt, dass F und F integrierbar sind und dann sind auch F + und F integrierbar (zur Übung). Es folgt F (x) dx = F + (x) dx F (x) dx R k R k R ( k ) ( ) = f+ (x, y) dy dx f(x, y) dy dx R k R l R k R l 1.1 = f+ (z) dz f (z) dz R d R d = f(z) dz = R d f(z) dz R d Satz 1.3 (Satz von Fubini (Version II)) Sei B k, Y B l und D := Y (nach 8 ist D B d ). Es sei f : D R messbar. Ist f auf D oder ist f integrierbar, so gilt ( ) ( ) f(x, y) d(x, y) = f(x, y) dy dx = f(x, y) dx dy D Y Y Definiere f wie in 9.3 und wende 1.1 beziehungsweise 1.2 an. Bemerkung: 1.1, 1.2 und 1.3 gelten natürlich auch für mehr als zwei iterierte Integrale. Gebrauchsanweisung für Fubini: Gegeben: D B d und messbares f : D R. Setze f auf R d zu einer messbaren Funktion f fort (zum Beispiel wie in 9.3). Aus 3.8 folgt dann, dass 1 D f messbar ist und 1.1 liefert ( ) ( ) 1 D f dz = 1 D f dy dx = 1 D f dx dy R d R k R l R l R k 71

72 1. Der Satz von Fubini Ist eines der drei obigen Integrale endlich, so ist 1 D f integrierbar und damit ist nach 4.9 auch 1 D f integrierbar. Dann ist f integrierbar und es folgt D f(z) dz = ( 1 D f R d ( 1.2 = = R l R k ( R k R l ) (z) dz ( ) ) 1 D f (x, y) dy dx ( ) ) 1 D f (x, y) dx dy Beispiel (1) Sei D = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a d, b d ] mit a i b i (i = 1,..., d). Es sei f : D R stetig. D ist kompakt, also gilt D B d. Nach 4.12(2) ist f L 1 (D) und aus obiger Bemerkung folgt D f(x 1,..., x d ) d(x 1,..., x d ) = b d a d ( ( ( b 2 b 1 a 2 a 1 f(x 1,..., x d ) dx 1 ) dx 2 ) Die Reihenfolge der Integrationen darf beliebig vertauscht werden. Aus 4.13 folgt ) dx d bi a i dx i = R- bi a i dx i Konkretes Beispiel Sei D := [a, b] [c, d] R 2, f C([a, b]) und g C([c, d]). D f(x)g(y) d(x, y) = = d c d c ( b a ( g(y) ) f(x)g(y) dx dy ( b ( b ) ( d = f(x) dx a a )) f(x) dx dy c ) g(y) dy (2) Wir rechtfertigen die Kochrezepte aus Analysis II, Paragraph 15. Seien a, b R mit a < b und I := [a, b]. Weiter seien h 1, h 2 C(I) mit h 1 h 2 auf I und A := {(x, y) R 2 : x I, h 1 (x) y h 2 (x)} Sei f : A R stetig. Da h 1 und h 2 stetig sind, ist A kompakt und somit gilt A B 2. Aus 4.12(2) folgt dann f L 1 (A). Definiere Nach 9.3 ist f messbar. Setze f(x, y) = { f(x, y), falls (x, y) A, falls (x, y) / A M := max{ f(x, y) : (x, y) A} 72

73 Dann gilt f M 1 A. Wegen λ 2 (A) < ist M 1 A integrierbar und nach 4.9 ist f und damit auch f integrierbar. Dann ist A f(x, y) d(x, y) f(x, y) d(x, y) = R 2 ( ) 1.3 = f(x, y) dy dx R R ( b h2 (x) ) = f(x, y) dy dx a h 1 (x) Damit ist 15.1 aus Analysis II bewiesen. Genauso zeigt man (3) Sei D := {(x, y) R 2 : x 1, y 1 x } und f(x, y) := 1 x cos(xy). D ist abgeschlossen und somit ist D B 2. Außerdem ist f stetig, also messbar. Behauptung: f L 1 (D) und f(x, y) d(x, y) = sin(1) : Setze := (, ), Y := [, ) und Q := Y. Sei nun D f(x, y) := 1 cos(xy) für (x, y) Q x f ist eine Fortsetzung von f auf Y. f ist also messbar. Es ist D f d(x, y) = 1.1 = Q 1 D f d(x, y) ( ( 1 x 1 = 1 1 ( 1 x 1 D (x, y) 1 ) Y x cos(xy) dy dx ) 1 cos(xy) dy dx x ) 1 x dy dx 1 x 2 dx = 1 < Also ist f integrierbar und dann nach 4.9 auch f, also f L 1 (D). Dann: D f d(x, y) = wie oben = = = 1 1 ( = sin(1) Y 1 1 D (x, y) 1 ) x cos(xy) dy dx ( 1 ) x 1 cos(xy) dy dx x ) ( 1 x 1 x sin(xy) 1 sin(1) dx x2 y= 1 x y= dx 73

74 1. Der Satz von Fubini Vorbemerkung: Sei x >. Für b > gilt b und daraus folgt e xy dy = 1 x Beispiel (4) Sei e xy dy = 1 x e xy b g := = 1 x e xb + 1 x { sin x x, falls x > 1, falls x = b 1 x g ist stetig auf [, ). Aus Analysis 1 ist bekannt, dass g(x) dx konvergent, aber nicht absolut konvergent ist. Aus 4.14 folgt, dass g / L 1 ([, )) Behauptung: g(x) dx = π 2 : Setze := [, R] mit R >, Y := [, ) und D := Y, sowie f(x, y) := e xy sin x für (x, y) D Es ist D B 2 und f stetig, also messbar. Es ist weiter f L 1 (D) (warum?) und ( ) f(x, y) d(x, y) 1.3 = f(x, y) dy dx Dann gilt 1.3 I R = D Y ( = = R R Y ( Vorbemerkung = ) f(x, y) dx dy = ( sin x ) e xy sin x dy dx R Zweimalige partielle Integration liefert (nachrechnen!): ) e xy dy dx sin x x dx =: I R ( R ) e xy sin x dx dy } {{ } =:ϕ(y) ϕ(y) = y y 2 e yr (y sin R + cos R) Damit gilt dy I R = 1 + y y 2 e yr (y sin R + cos R) dy Aus Analysis 1 ist bekannt, dass das erste Integral gegen π 2 konvergiert und das zweite Integral setzen wir gleich ĨR. Es gilt ĨR 2 Vorbemerkung = y 2 e yr (y sin R + cos R ) dy y + 1 y e yr dy e yr dy 2 R 74

75 Das heißt also ĨR (R ) und damit folgt die Behauptung durch I R = π 2 ĨR π 2 (R ) 75

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77 11 Der Transformationssatz (Substitutionsregel) Die Sätze in diesem Paragraphen geben wir ohne an. Es seien, Y R d nichtleer und offen. Definition Sei Φ: Y eine Abbildung. Φ heißt Diffeomorphismus genau dann wenn Φ C 1 (, R d ), Φ ist bijektiv und Φ 1 C 1 (Y, R d ). Es gilt x = Φ 1 (Φ(x)) für jedes x Kettenregel: I = ( Φ 1) (Φ(x)) Φ (x) für jedes x Das heißt Φ (x) ist invertierbar für alle x und somit ist det (Φ (x)) für alle x. Satz 11.1 (Transformationssatz (Version I)) Φ: Y sei ein Diffeomorphismus. (1) f : Y [, + ] sei messbar und für x sei g(x) := f (Φ(x)) det Φ (x). Dann ist g messbar und es gilt: f(y) dy = g(x) dx = f (Φ(x)) det Φ (x) dx Y ( ) (2) f : Y R sei integrierbar und g sei definiert wie in (1). Dann ist g integrierbar und es gilt die Formel ( ). Erinnerung: Sei A R d und A := {x A : es existiert ein r = r(x) > mit U r (x) A} das Innere von A. A ist offen! Beispiel Sei A = R \ Q. Es ist A = und A \ A = A. Aus R = A Q folgt Das heißt A \ A ist keine Nullmenge. = λ 1 (R) = λ 1 (A) + λ 1 (Q) = λ 1 (A) 77

78 11. Der Transformationssatz (Substitutionsregel) Satz 11.2 (Transformationssatz (Version II)) Es sei U R d offen, Φ C 1 (U, R d ), A U, A B d, := A und A \ A eine Nullmenge. Weiter sei Φ injektiv auf, det Φ für alle x, B := Φ(A) B d und g(x) = f(φ(x)) det Φ (x) für x A. Dann gilt: (1) Y := Φ() ist offen und Φ : Y ist ein Diffeomorphismus. (2) Ist f : B [, ] messbar, so ist g : A [, ] messbar und f(y) dy = g(x) dx = f(φ(x)) det ( Φ (x) ) dx B A A ( ) (3) Ist f : B R messbar, so gilt: Ist f L 1 (B) so gilt ( ) f L 1 (B) g L 1 (A) Folgerungen 11.3 (1) Sei T : R d R d linear und det T. Weiter sei A B d und v R d. Dann ist T (A) B d und es gilt: λ d (T (A) + v) = det T λ d (A) (2) Φ: Y sei ein Diffeomorphismus und A B(). Dann ist Φ(A) B d und es gilt: λ d (Φ(A)) = det Φ () dx A (3) Sei F C 1 (, R d ) und N eine Nullmenge. Dann ist F (N) enthalten in einer Nullmenge. Beispiel Seien a, b > und T := Dann ist A B 2 und λ 2 (A) = π. ( ) a, det T = ab >. Definiere: b A := {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1} (u, v) T (A) (x, y) A : (u, v) = (ax, by) (x, y) A : (x = u a ) (y = v b ) u2 a 2 + v2 b 2 1 Aus 11.3 folgt T (A) B 2 und λ(t (A)) = abπ. 78

79 11.4. Polarkoordinaten Polarkoordinaten Jeder Vektor im R 2 lässt sich nicht nur durch seine Projektionen auf die Koordinatenachsen (x, y), sondern auch eindeutig durch seine Länge r und den (kleinsten positiven) Winkel ϕ zur x-achse darstellen. Diese Darstellung (r, ϕ) heißen die Polarkoordinaten des Vektors. Dabei gilt: r = (x, y) = x 2 + y 2 und { x = r cos(ϕ) Definiere nun für (r, ϕ) [, ) [, 2π]: Dann ist Φ C 1 (R 2, R 2 ) und es gilt: d.h. falls r > ist gilt: y = r sin(ϕ) Φ(r, ϕ) := (r cos(ϕ), r sin(ϕ)) ( ) Φ cos(ϕ) r sin(ϕ) (r, ϕ) = sin(ϕ) r cos(ϕ) det Φ (r, ϕ) = r cos 2 (ϕ) + r sin 2 (ϕ) = r > Bemerkung (Faustregel für Polarkoordinaten): Ist ein Integral der Form B f(x, y)d(x, y) zu berechnen, so lässt sich oft eine Menge A finden, sodass Φ(A) = B ist. Mit 11.2 folgt dann: f(x, y) d(x, y) = f(r cos ϕ, r sin ϕ) r d(r, ϕ) Beispiel (1) Sei ρ < R. Definiere B A B := {(x, y) R 2 : ρ 2 x 2 + y 2 R 2 } Dann gilt: λ 2 (B) = = 1 = = B 1 d(x, y) 1 r d(r, ϕ) A R ( 2π ρ [ 2π 1 2 r2 ] R ρ ) r dϕ dr = π(r 2 ρ 2 ) (2) Definiere B := {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1, y } 79

80 11. Der Transformationssatz (Substitutionsregel) Dann gilt: B y x 2 + y 2 d(x, y) = = 1 = A A π r sin(ϕ)r r d(r, ϕ) r 3 sin ϕ d(r, ϕ) ( 1 π = 1 sin ϕ dϕ 4 [ ] 1 π = ( cos ϕ) 4 ) r 3 sin ϕ dr dϕ = 1 4 (1 + 1) = 1 2 (3) Behauptung: e x2 dx = π : Für ρ > sei B ρ := {(x, y) R 2 x, y, x 2 + y 2 ρ 2 } Weiterhin sei Q ρ := [, ρ] [, π 2 ] und f(x, y) = e (x2 +y 2). Dann gilt: f(x, y) d(x, y) = e r2 r d(r, ϕ) B ρ Q ρ π ( 1 2 ρ ) = re r2 dr dϕ = π [ 1 ] ρ 2 2 e r2 = π ( e ρ2 + 1 ) 2 =: h(ρ) ρ π 4 Außerdem gilt: f(x, y) d(x, y) = Q ρ = e x2 Q ρ ρ ( ρ ( ρ = e x2 e y2 d(x, y) e x2 e y2 ) 2 dx ) dy dx Wegen B ρ Q ρ B 2ρ und f folgt: B ρ f d(x, y) Q ρ f d(x, y) B f d(x, y) 2ρ = h(ρ) Q ρ f d(x, y) h( 2ρ) ( ρ 2 = h(ρ) dx) e x2 h( 2ρ) ρ = h(ρ) e x2 dx h( 2ρ) 8

81 11.5. Zylinderkoordinaten Mit ρ folgt daraus und damit die Behauptung. e x2 dx = π Zylinderkoordinaten Definiere für (r, ϕ, z) [, ) [, 2π] R: Φ(r, ϕ, z) := (r cos(ϕ), r sin(ϕ), z) Dann gilt: det Φ cos(ϕ) r sin(ϕ) (r, ϕ, z) = det sin(ϕ) r cos(ϕ) 1 = r Bemerkung (Faustregel für Zylinderkoordinaten): Ist ein Integral der Form B f(x, y, z)d(x, y, z) zu berechnen, so lässt sich eine Menge A finden, sodass Φ(A) = B ist. Mit 11.2 folgt dann: f(x, y, z) d(x, y, z) = f(r cos ϕ, r sin ϕ, z) r d(r, ϕ, z) B A Beispiel Definiere B := {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 1, x, y, z [, 1]} Dann gilt: z + y x 2 + y 2 d(x, y, z) = B = = = ( A A 1 1 (z + r sin(ϕ) r) r d(r, ϕ, z) rz + r 3 sin(ϕ) d(r, ϕ, z) ( π 2 = π ( 1 r dr) ( rz + r 3 sin(ϕ) dr) dϕ) dz 1 π 2 z dz) ( dϕ) + ( 1 π r dr) ( sin(ϕ) dϕ) ( dz) Kugelkoordinaten Definiere für (r, ϕ, θ) [, ) [, 2π] [, π]: Φ(r, ϕ, θ) := (r cos(ϕ) sin(θ), r sin(ϕ) sin(θ), r cos(θ)) Dann gilt (nachrechnen!): det Φ (r, ϕ, θ) = r 2 sin(θ) 81

82 11. Der Transformationssatz (Substitutionsregel) Bemerkung (Faustregel für Kugelkoordinaten): Ist ein Integral der Form B f(x, y, z)d(x, y, z) zu berechnen, so lässt sich eine Menge A finden, sodass Φ(A) = B ist. Mit 11.2 folgt dann: f(x, y, z) d(x, y, z) = f(r cos(ϕ) sin(θ), r sin(ϕ) sin(θ), r cos(θ)) r 2 sin(θ) d(r, ϕ, θ) B A Beispiel Definiere Dann gilt: B := {(x, y, z) R 3 1 (x, y, z) 2, x, y, z } B 1 x 2 + y 2 d(x, y, z) = + z2 = A A 1 r 2 r2 sin(θ) d(r, ϕ, θ) sin(θ) d(r, ϕ, θ) = π 2 Beispiel (Zugabe von Herrn Dr. Ullmann) Wir wollen das Kugelvolumen λ 3 (K) mit K := {(x, y, z) R 3 (x, y, z) 1} berechnen. Dann ist K = Φ(A) mit A := [, 1] [, 2π] [, π]. Und es gilt: λ 3 (K) = 1 d(x, y, z) K = r 2 sin(θ) d(r, ϕ, θ) = A 1 2π = ( = 4π 3 ( 1 π ( r 2 dr) ( r 2 sin(θ) dθ) dϕ) dr 2π π dϕ) ( sin(θ) dθ) 82

83 12 Vorbereitungen für die Integralsätze Definition Seien a = (a 1, a 2, a 3 ), b = (b 1, b 2, b 3 ) R 3. Dann heißt a b := (a 2 b 3 a 3 b 2, a 3 b 1 a 1 b 3, a 1 b 2 a 2 b 1 ) das Kreuzprodukt von a mit b. Mit e 1 = (1,, ), e 2 = (, 1, ), e 3 = (,, 1) gilt formal: e 1 e 2 e 3 e 1 a 1 b 1 a b = det a 1 a 2 a 3 = det e 2 a 2 b 2 b 1 b 2 b 3 e 3 a 3 b 3 Beispiel Sei a = (1, 1, 2), b = (1, 1, ), dann gilt: e a b = det e = 2e 1 ( 2)e 2 + (1 1)e 3 = ( 2, 2, ) e 3 2 Regeln zum Kreuzprodukt: (1) b a = a b (2) a a = (3) (αa) (βb) = αβ(a b) für α, β R (4) a (a b) = b (a b) = Definition Sei D R n, D offen und f = (f 1,..., f n ) C 1 (D, R n ). Dann heißt die Divergenz von f. div f := f 1 x f n x n C(D, R) Definition Sei D R 3, D offen und F = (P, Q, R) C 1 (D, R 3 ). Dann heißt: die Rotation von F. Dabei gilt formal: rot F := (R y Q z, P z R x, Q x P y ) C(D, R 3 ) rot F = ( x, y, ) (P, Q, R) z Definition Sei γ : [a, b] R n ein Weg. Ist γ in t [a, b] differenzierbar mit γ (t ), so heißt γ (t ) R n Tangentialvektor von γ in t. 83

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85 13 Der Integralsatz von Gauß im R 2 In diesem Paragraphen sei (x, y ) R 2 (fest), es sei R : [, 2π] [, ) stetig und stückweise stetig differenzierbar und R() = R(2π). Weiter sei γ(t) := (x + R(t) cos t, y + R(t) sin t) (t [, 2π]) Dann ist γ ein stückweise stetig differenzierbarer, geschlossener und rektifizierbarer Weg in R 2. Es sei B := {(x + r cos t, y + r sin t) : t [, 2π], r R(t)} Dann ist B kompakt, also B B 2. Weiter ist B = γ([, 2π]) = Γ γ. Sind B und γ wie oben, so heißt B zulässig. Beispiel Sei R konstant, also R(t) = R >, so ist B = U R (x, y ) Satz 13.1 (Integralsatz von Gauß im R 2 ) B und γ seien wie oben (B also zulässig). Weiter sei D R 2 offen, B D und f = (u, v) C 1 (D, R 2 ). Dann (1) B u x(x, y)d(x, y) = γ u(x, y)d(y) (2) B v y(x, y)d(x, y) = γ v(x, y)d(x) (3) B div f(x, y)d(x, y) = γ (udy vdx) Folgerung 13.2 Mit f(x, y) := (x, y) erhält man aus 13.1: Sind B und γ wie in 13.1, so gilt: (1) λ 2 (B) = γ xdy (2) λ 2 (B) = γ ydx (3) λ 2 (B) = 1 2 Beispiel Definiere γ (xdy ydx) B := {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 R 2 } (R > ) und γ(t) = (R cos t, R sin t), für t [, 2π], dann gilt: λ 2 (B) = 2π 2π R cos t R cos t dt = R 2 cos 2 t dt = πr 2 85

86 13. Der Integralsatz von Gauß im R 2 Wir beweisen nur (1). ((2) beweist man analog und (3) folgt aus (1) und (2)) O.B.d.A: (x, y ) = (, ) und R stetig db. Also γ = (γ 1, γ 2 ), γ(t) = (R(t) cos t, R(t) sin t). R }{{}}{{} =γ 1 (t) =γ 2 (t) stetig differenzierbar. A := B u x(x, y)d(x, y) Zu zeigen: A = 2π u(γ(t)) γ 2 (t)dt. Mit Polarkoordinaten, Transformations-Satz und Fubini: A = 2π ( R(t) u x (r cos t, r sin t)rdr)dt (1) β(r, t) := u(r cos t, r sin t). Nachrechnen: rβ r (r, t) cos t β t (r, t) sin t = u x (r cos t, r sin t)r. Also: A = 2π (2) R(t) rβ r (r, t)dr = rβ(r, t) r=r(t) α(t) ( R(t) R(t) r= (rβ r (r, t) cos t β t (r, t) sin t)dr)dt β(r, t)dr = R(t)β(R(t), t) α(t) = R(t)u(γ(t)) } {{ } =:α(t) (3) Ψ(s, t) := s β(r, t)dr. Mit dem zweiten Hauptsatz aus Analysis 1 folgt: Ψ s(s, t) = β(s, t) 7.3 = Ψ t (s, t) = s β t(r, t)dr. Dann: α(t) = Ψ(R(t), t), also α (t) = Ψ s (R(t), t) R (t) + Ψ t (R(t), t) 1 = R (t) β(r(t), t) + }{{} =u(γ(t)) = R(t) β t (r, t)dr = α (t) R (t) u(γ(t)). (4) Aus (1),(2),(3) folgt: R(t) β t (r, t)dr A = = = = 2π 2π 2π 2π (R(t) u(γ(t)) cos t α(t) cos t α (t) sin t + R (t) u(γ(t)) sin t)dt u(γ(t))γ 2(t)dt 2π (α(t) sin t) dt u(γ(t))γ 2(t)dt [α(t) sin t] 2π }{{} = u(γ(t))γ 2(t)dt 86

87 14 Flächen im R 3 Definition Es sei B R 2 kompakt, D R 2 offen und B D. Weiter sei ϕ = (ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3 ) C 1 (D, R 3 ) und ϕ = ϕ(u, v). Dann heißt ϕ B eine Fläche (im R 3 ), S := ϕ(b) heißt Flächenstück und B heißt Parameterbereich der Fläche. Es ist Sei (u, v ) B und ϕ = ϕ 1 u ϕ 2 u ϕ 3 u ϕ 1 v ϕ 2 v ϕ 3 v γ(t) := ϕ(t, v ) γ (t) = ϕ u (t, v ) γ (u ) = ϕ u (u, v ) γ(t) := ϕ(u, t) γ (t) = ϕ v (u, v) γ (v ) = ϕ v (u, v ) Definere damit den Normalenvektor in ϕ(u, v ): N(u, v ) := ϕ u (u, v ) ϕ v (u, v ) Seien u, v > (aber klein ). a := uϕ u (u, v ), b := vϕ v (u, v ). P := {λa + µb : λ, µ [, 1]} Aus der Linearen Algebra folgt, der Inhalt von P ist a b = u v N(u, v ). I(ϕ) = N(u, v) d(u, v) heißt deshalb Flächeninhalt von ϕ B Beispiel B := [, 2π] [ π 2, π 2 ], D = R2 ϕ(u, v) := (cos u cos v, sin u cos v, sin v). Dann: ϕ(b) = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1}. Nachrechnen: N(u, v) = cos vϕ(u, v). Dann: N(u, v) = cos v ϕ(u, v) = cos v ((u, v) B). }{{} Damit gilt: I(ϕ) = B cos vd(u, v) = 2π =1 π ( 2 π 2 cos vd(v))d(u) = 4π Explizite Parameterdarstellung Seien B und D wie in obiger Definition und f C 1 (D, R). Setze ϕ(u, v) := (u, v, f(u, v)) ((u, v) D) 87

88 14. Flächen im R 3 Damit ist ϕ B eine Fläche (in expliziter Darstellung). Dann ist S = ϕ(b) gleich dem Graph von f B. Damit gilt: ϕ u = (1,, f u ), ϕ v = (, 1, f v ), N(u, v) = ( f u, f v, 1) (Nachrechnen!) I(ϕ) = Beispiel Sei D = R 2, B := {(u, v) R 2 u 2 + v 2 1} und B (f 2 u + f 2 v + 1) 1 2 d(u, v) f(u, v) := u 2 + v 2 Dann ist ϕ(u, v) = (u, v, u 2 + v 2 ), f u = 2u und f v = 2v. Also ist S = ϕ(b) ein Paraboloid. I(ϕ) = (4u 2 + 4v 2 + 1) 1 PK π ( ) 3 2 d(u, v) = 5 1 (Nachrechnen!) 6 B 88

89 15 Integralsatz von Stokes In diesem Paragraphen sei B R 2, B kompakt, D R 2 offen, B D und ϕ = (ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3 ) C 1 (D, R 3 ). Das heißt: ϕ B ist eine Fläche mit Parameterbereich B, S := ϕ(b) Definition Definiere die folgenden Oberflächenintegrale: (1) Sei f : S R stetig. Dann: fdσ := ϕ B f(ϕ(u, v)) N(u, v) d(u, v) (2) Sei F : S R 3 stetig. Dann: F ndσ := Beispiel Seien D, B, f, ϕ wie im letzten Beispiel in Kapitel 14. ϕ B F (ϕ(u, v)) N(u, v)d(u, v) Sei F (x, y, z) := (x, y, z); bekannt: N(u, v) = ( 2u, 2v, 1). Dann: F (ϕ(u, v)) N(u, v) = F (u, v, u 2 + v 2 ) ( 2u, 2v, 1) = (u, v, u 2 + v 2 ) ( 2u, 2v, 1) = (u 2 + v 2 ) Also: ϕ F ndσ = (u 2 + v 2 )d(u, v) = π B 2 Satz 15.1 (Integralsatz von Stokes) Es sei B zulässig, B = Γ γ, wobei γ = (γ 1, γ 2 ) wie zu Beginn des Paragraphen 13 ist. Es sei ϕ C 2 (D, R 3 ). Weiter sei G R 3 offen, S G und F = (F 1, F 2, F 3 ) C 1 (G, R 3 ). Dann: rot F ndσ = F (x, y, z) d(x, y, z) ϕ }{{} Oberflächenint. ϕ γ } {{ } Wegint. Beispiel D, B, f, F und ϕ seien wie in obigem Beispiel. Hier: γ(t) = (cos t, sin t) (t [, 2π]). Dann: (ϕ γ)(t) = ϕ(cos t, sin t) = (cos t, sin t, 1) (t [, 2π]). 89

90 15. Integralsatz von Stokes Es ist rot F =, also: ϕ rot F ndσ = ϕ γ F (x, y, z)d(x, y, z) = = = = 2π 2π 2π F ((ϕ γ)(t)) (ϕ γ) (t)dt F (cos t, sin t, 1) ( sin t, cos t, )dt (cos t, sin t, 1) ( sin t, cos t, ) dt }{{} = Sei ϕ := ϕ γ, ϕ = (ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3 ), also ϕ j = ϕ j γ (j = 1, 2, 3). Zu zeigen: rot F ndσ = ϕ = = = ϕ 2π 2π 3 j=1 F (x, y, z)d(x, y, z) F (ϕ(t)) ϕ (t)dt 3 F j (ϕ(t))ϕ j(t) dt 2π j=1 F j (ϕ(t))ϕ j(t)dt Es ist ϕ rot F ndσ = B (rot F )(ϕ(x, y)) (ϕ x(x, y) ϕ y (x, y)) d(x, y). Für j = 1, 2, 3: }{{} =:g(x,y) h j (x, y) := F j(ϕ(x, y)) ϕ j (x, y), F j (ϕ(x, y)) ϕ j (x, y) y x }{{}}{{} =:u j (x,y) =:v j (x,y) ((x, y) D) h j = (u j, v j ); F C 1, ϕ C 2, damit folgt: h j C 1 Nachrechnen: g = divh 1 + divh 2 + divh 3 Damit: B rot F ndσ = = = 3 j=1 3 B j=1 γ 2π div h j (x, y)d(x, y) (u j dy v j dx) F j (ϕ(t))ϕ j(t)dt 9

91 16 L p -Räume und L p -Räume Stets in diesem Paragraphen: B d Definition Sei p [1, + ]. Dann gilt: 1 p + 1 p = 1 und p = p p = 2., p = 1 p := 1, p =, 1 < p < p p 1 Hilfssatz Seien x, y, p (1, ), dann gilt: xy xp p Für t > : f(t) := t p + 1 p t 1 p Übung: min{f(t) t > } = f(1) = D.h.: t 1 p t p + 1 p t > + yp p Seien u, v >, t := u v. Dann: u 1 p v 1 p u vp + 1 p. Daraus folgt u 1 p v 1 1 p u p + v p = u 1 p v 1 p u p + v p Seien x, y > : u := x p, v := y p. Dann: xy xp p + yp p. Im Falle x = oder y = ist die Ungleichung trivialerweise richtig. Erinnerung: Sei f : R messbar und p >, so ist f p messbar (vgl. Kapitel 3). Es gilt: f p L 1 () f p dx < Definition (1) Sei p [1, ). L p () = {f : R f ist messbar und f p dx < }. Für f L p (): f p = ( f p dx ) 1 p (2) L () = {f : R f ist messbar und f ist f.ü. beschränkt} Für f L (): f := ess sup x f(x) = inf{c > Nullmenge N c : f(x) c x \ N c } Bemerkung: Es sei f L () und stetig. Außerdem habe jede in offene, nichtleere Teilmenge positives Maß. Dann ist f auf beschränkt und sup x f(x) = ess sup x f(x). Übung (ist N eine Nullmenge, so ist N = und \ N = ) 91

92 16. L p -Räume und L p -Räume Beispiel Sei d = 1, = [1, ), p > 1 (p < ), α, β >, f(x) = 1 x α, g(x) = 1 x β (1) (2) f L p () 4.14 konvergiert genau dann, wenn αp > 1 α > 1 p 1 1 dx xαp fg L 1 () konvergiert genau dann, wenn α + β > x α+β dx Satz 16.1 Sei p [1, ] und p wie zu Anfang dieses Kapitels, also 1 p + 1 p = 1. (1) Sei f L p () und g L p (). Dann ist fg L 1 () und es gilt die Höldersche Ungleichung: fg 1 f p g p Ist p = 2 ( = Ungleichung. p = 2), so heißt obige Ungleichung auch Cauchy-Schwarzsche (2) L p () ist ein reeller Vektorraum und für f, g L p () gilt die Minkowskische Ungleichung: f + g p f p + g p (1) Unterscheide die folgenden Fälle: Fall 1: p = 1 (also p = ) oder p = (also p = 1). Etwa p = 1, p =. Sei c > und N c Nullmenge mit: g(x) c x \ N c. g := 1 \Nc g Dann: g = g fast überall und g c auf. Weiter: fg = f g fast überall, bzw. fg = f g fast überall. Dann: fg dx = f g dx = f g dx }{{} c f dx = c f 1 < Also: fg L 1 () und fg 1 c f 1. Übergang zum Infimum über alle c > liefert: fg 1 g f 1 Fall 2: Sei 1 < p <. Ist f p = oder g p =, so ist f = fast überall oder g = fast überall. Daraus folgt: fg = fast überall. Mit 5.2 folgt: fg dx =. Daraus folgen die Behauptungen. 92

93 Sei f p > und g p >. Aus obigem Hilfssatz: Integration liefert: 1 f p g p f(x) f p g(x) g p Daraus folgt: fg L 1 () und 1 f(x) p p f p p f(x)g(x) dx 1 p 1 f p p = 1 p + 1 p = 1 < + 1 p g(x) p g p p f p dx + 1 p fg 1 f p g p 1 fg 1 f p g p x 1 g p p g p dx (2) Klar: Ist f L p () und α R, so ist αf L p () Fall 1: p = 1: Mit 4.11 folgt: L 1 () ist ein reeller Vektorraum. Seien f, g L 1 (). Dann: f + g f + g auf. Damit: f + g dx f dx + g dx Fall 2: p = : Seien f, g L (). Seien c 1, c 2 > und N 1, N 2 Nullmengen und f(x) c 1 x \ N 1, g(x) c 2 x \ N 2. N = N 1 N 2 ist eine Nullmenge. Dann: f(x) + g(x) f(x) + g(x) c 1 + c 2 x \ N. Es folgt: f + g L () und f + g c 1 + c 2. Übergang zum Infimum über alle solche c 1, bzw. c 2, liefert: f +g f + g. Fall 3: Sei 1 < p < und f, g L p (). Es ist f + g p ( f + g ) p (2 max{ f, g }) p 2 p ( f p + g p ) auf. Mit 4.9 folgt: f + g p L 1 () = f + g L p () p = p p 1 ; h := f + g p 1, dann: h p = ( f + g p 1) p p 1 = f + g p L 1 (). Dann ist h L p (). Also: h L p (), f L p () (und 1 p + 1 p = 1). Mit der Hölderschen Ungleichung folgt: f f 1 f p h p = h f dx f p ( hp dx ) 1 p. Dann: f f + g p 1 dx f p ( = f p ( f + g p p ) 1 p = f p f + g p 1 p ( f + g p 1 ) ) 1 p p dx 93

94 16. L p -Räume und L p -Räume Genauso: g f + g p 1 dx g p f + g p+1 p Dann: f + g p p = = = f + g p dx f + g f + g p 1 dx f f + g p 1 dx + ( f p + g p ) f + g p 1 p g f + g p 1 dx Teilen durch f + g p 1 p liefert die Minkowski-Ungleichung. Satz 16.2 Sei λ d () <, p, q 1 und p q. Dann ist L q () L p () und es gilt: f L q () : f p λ d () 1 p 1 q f q Sei f L q (). Fall p = q: Klar. Fall q = : Leichte Übung! Fall p < q < : Sei r := q p > 1, dann ist 1 r = 1 p q. Aus f pr = f q L 1 () folgt f p L r (). Definiere g := 1, dann ist g L r (), da λ d () <. Wegen 16.1 gilt dann: Aus der Hölderschen Ungleichung folgt: g f p L 1 () = f p L 1 () = f L p () f p p = g f p 1 g r f p r = ( g r dx) 1 r ( f pr dx) 1 r = λ d () 1 r ( f q dx) p q = λ d () 1 p q f p q Also gilt: f p λ d () 1 p 1 q f q 94

95 Beispiel (1) Sei := (, 1], 1 p < q < (also 1 q < 1 1 p ) und f(x) := x (α > ). Dann gilt nach 4.14 α und Analysis I: f L p () 1 αp < 1 α < 1 p 1 dx konvergiert xαp Sei 1 q < α < 1 p, dann ist f Lp () und f L q (). D.h. L p () L q () und aus 16.2 folgt L q () L p (). (2) Sei := [1, ), p = 1, q (1, ) und f(x) := 1 x. Dann gilt nach 4.14 und Analysis I: f L p () und f L q (). D.h. also L q () L p (). Definiere g(x) := 1 [1,2) (2 x) 1 q. Übung: g L p () und g L q (). D.h. also L p () L q (). Satz 16.3 (Satz von Lebesgue (L p -Version)) Sei 1 p <, f : R sei messbar, g : [, ] integrierbar und (f n ) eine Folge in L p () mit den Eigenschaften: (1) f n f f.ü. auf (2) n N : f n p g f.ü. auf. Dann ist f L p () und es gilt f n f p n Aus (i) und (ii) folgt: f p g f.ü. Im Paragraphen 5 haben wir gesehen, dass dann gilt: f p dx g dx < (denn g ist nach Voraussetzung integrierbar). Daraus folgt: f L p (). Setze g n := f n f p. Aus (i): g n f.ü. Es sind f n, f L p () (ersteres nach Voraussetzung, zweiteres haben wir gerade gezeigt), und weil L p () ein reeller Vektorraum ist (16.1(2)), folgt: Also g n L 1 (). Es ist g n ( f n + f ) p f n f L p () ( ) g 1 p + g 1 p ( ) p = 2g 1 p p = 2 p g f.ü. Mit 6.2 folgt schließlich: g n dx. }{{} = f n f p p 95

96 16. L p -Räume und L p -Räume Aus 16.1 folgt: L p () ist ein reeller Vektorraum (VR), wobei für f, g L p () gilt: αf p = α f p (α R) f + g p f p + g p Aber p ist keine Norm auf L p ()! Denn aus f p = folgt nur f = f.ü. Definition Es sei N := {f : R f ist messbar und f = f.ü.}, dann ist N ein Untervektorraum von L p (). Definiere L p () := L p () N = { ˆf = f + N f L p ()} Aus der Linearen Algebra ist bekannt, dass L p () durch die Skalarmultiplikation α ˆf := αf und die Addition ˆf + ĝ := f + g zu einem Vektorraum über R wird. Setze für ˆf L 1 (): ˆf(x) dx := f(x) dx dabei ist diese Definition unabhängig von der Wahl des Repräsentanten f L 1 () von ˆf, denn: ist auch noch g L 1 () und ĝ = ˆf, so ist f g N, also f g = f.ü. und damit: f dx = g dx. Für ˆf L p () definiere ˆf p := f p wobei diese Definition unabhängig ist von der Wahl des Repräsentanten f L p () von ˆf. Für ˆf, ĝ L 2 () setze ( ˆf ĝ) := f(x)g(x) dx (auch diese Definition ist Repräsentanten-unabhängig) (Beachte: f g L 1 () ) Dann gilt: (1) L p () ist unter p ein normierter Raum (NR). (2) Für ˆf, ĝ L 2 () gilt: ( ˆf ĝ) = f(x)g(x) dx (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung) fg dx = fg f 2 g 2 = ˆf 2 ĝ 2 Nachrechnen: ( ˆf ĝ) definiert ein Skalarprodukt auf L 2 (). Es gilt: ( ˆf ˆf) = f(x) 2 dx = ˆf 2 2 Also: ˆf 2 = ( ˆf ˆf) 96

97 Definition Sei (B, ) ein normierter Raum. Gilt mit einem Skalarprodukt ( ) auf B: v = (v v) v B ( ) so heißt B ein Prähilbertraum. Ist B ein Banachraum mit ( ), so heißt B ein Hilbertraum. Vereinbarung: ab jetzt sei stets in diesem Paragraphen 1 p <. Bemerkung: Seien f, f n L p () (1) f n f p = f ˆ n ˆf p genau dann, wenn ( f ˆ n ) eine konvergente Folge im normierten Raum L p () mit dem Grenzwert ˆf ist. (2) ( ˆf n ) ist eine Cauchyfolge (CF) in L p () genau dann, wenn für jedes ε > ein n N exitiert mit: ˆf n ˆf m p = f n f m p < ε n, m n ( ) (3) Wie in Analysis II zeigt man: gilt f n f p = ˆf n ˆf p, so ist ( ˆf n ) eine Cauchyfolge in L p (). Satz 16.4 (Satz von Riesz-Fischer) ( ˆf n ) sei eine Cauchyfolge in L p (), das heißt es gilt ( ) aus obiger Bemerkung (2). Dann existiert ein f L p () und eine Teilfolge (f nj ) von (f n ) mit: (1) f nj f fast überall auf. (2) f n f p (n ). Das heißt L p () ist ein Banachraum (L 2 () ist ein Hilbertraum). Bemerkung: Voraussetzungen und Bezeichnungen seien wie in Im Allgmeinen wird nicht gelten, dass fast überall f n f ist. Beispiel Sei = [, 1] und (I n ) sei die folgende Folge von Intervallen: [ I 1 = [, 1], I 2 =, 1 ] [ ] [ 1, I 3 = 2 2, 1, I 4 =, 1 ] [ 1, I 5 = 4 4, 1 ] [ 1, I 6 = 2 2, 3 ] [ ] 3, I 7 = 4 4, 1,... Es sei f n := 1 In, sodass f n dx = I n 1 dx = λ 1 (I n ). Also ˆf n L 1 () und ˆf n ˆ 1. Ist x, so gilt: x I n für unendlich viele n N. Daraus folgt, dass eine Teilfolge I nj mit x I nj für jedes j N existiert. Somit ist f nj (x) = 1 für jedes j N und deshalb gilt fast überall f n. (von 16.4) Setze ε j := 1 2 j (j N). Zu ε 1 existiert ein n 1 N mit f l f n1 p < ε 1 für alle l n 1. Zu ε 2 existiert ein n 2 N mit n 2 > n 2 und f l f n2 p < ε 2 für alle l n 2. Etc. Wir erhalten eine Teilfolge (f nj ) mit (+) f l f nj p < ε j für alle l n j mit j N 97

98 16. L p -Räume und L p -Räume Setze g j := f nj+1 f nj (j N). Klar: g l L p (). Für N N: S N := N g j (x) p j=1 1 p Dann: N S N = g j p j=1 N j=1 (+) g j p N ε j = j=1 N j=1 1 2 j 1 Setze g(x) := Es ist g und messbar. Weiter gilt: g p dx = lim g j (x) für x j=1 N N g j j=1 p dx 6.2 lim inf N Sp N 1 Somit ist g p ist integrierbar. Aus 5.2 folgt, dass eine Nullmenge N 1 existiert mit g p (x) < für alle x \ N 1. Es ist dann auch g(x) < für alle x \ N 1 und somit folgt nach Konstruktion von g, dass j=1 g j dx konvergiert absolut in jedem x \ N 1. Aus Analysis I folgt, dass damit j=1 g j dx in jedem x \ N 1 konvergiert. Für m N: m 1 j=1 g j = f nm f n1 = f nm = m 1 j=1 g j + f n1 Deshalb ist (f nm ) konvergent (in R) für alle x \ N 1. { lim m f nm (x), x \ N 1 f(x) :=, x N 1 Aus 3 ist bekannt, dass f messbar ist. Klar: f nm f fast überall und f() R. Es ist f nm = m 1 j=1 g j + f n1 und somit Wie im von Satz 16.1 folgern wir m 1 f nm = f n1 + g j f n1 + g j=1 f nm p 2 p ( f n1 p + g p ) =: g f n1 L p (), g p ist integrierbar. Aus 16.3 folgt, dass f L p () und f nm f p (m ) Sei nun ε >. Wähle m M so, dass 1 2 m < ε 2 und f f n m p < ε 2. Für l n m gilt: Das heißt f l f p = f l f nm + f nm f p f l f nm p + f nm f p (+) < 1 2 m + ε 2 < ε f l f p (l ) 98

99 Satz 16.5 Sei auch noch 1 q <. (f n ) sei eine Folge in L p () L q (). Es sei Weiter gelte: Dann ist fast überall f = g. f L p () und g L q () f n f p und f n g q (n ) 1. Aus Bemerkung (3) vor 16.4 folgt, dass ( ˆf n ) ist eine Cachyfolge in L p (). Wegen 16.4 existiert dann ein ϕ L p () und eine Teilfolge (f nj ) mit: f nj ϕ fast überall und f n ϕ p f ϕ p = f f n + f n ϕ p f f n p + f n ϕ p (n ) Somit ist f ϕ p = und deshalb fast überall f = ϕ. Also gilt fast überall f nj f. Das heißt, dass es eine Nullmenge N 1 gibt, für die gilt: f nj (x) f(x) für alle x \ N 1 2. Setze g j := f nj, dann gilt g j g q (j ). Wie im ersten Schritt zeigt man, dass eine Nullmenge N 2 und eine Teilmenge (g jk ) existiert mit, für die gilt: g jk (x) g(x) für alle x \ N 2 Wir wissen, dass N := N 1 N 2 eine Nullmenge ist. Sei nun x \ N. Dann folgt aus dem ersten Schritt f nj (x) f(x) und daraus f njk (x) f(x) }{{} =g njk (x) Aus dem Zweiten Schritt folgt dann, dass f njk (x) g(x) und somit f(x) = g(x). Bemerkung: Seien f n, f L p () und es gelte f n f p (n ). Der von 16.5 zeigt, dass eine Teilfolge (f nj ) von (f n ) existiert mit f nj f fast überall. Bemerkung: Konvergenz im Sinne der Norm p und punktweise Konvergenz fast überall haben im Allgemeinen nichts miteinander zu tun! Beispiel Sei (f n ) wie im Beispiel vor Also f n p, aber f n fast überall. Beispiel Sei = [, 1] und f n sei wie im Bild. f n ist stetig, also messbar. f n dx = 1 für alle n N 99

100 16. L p -Räume und L p -Räume Somit ist f n L 1 (). f n (x) {, x (, 1] 1, x = Damit gilt fast überall f n, aber f n 1 = 1 (n ) Definition Seien (E, 1 ), (F, 2 ) normierte Räume. (1) Sei (x n ) eine Folge in E und s n := x 1 + x x n (n N). Dann heißt (s n ) eine unendliche Reihe und wird mit n=1 bezeichnet. n=1 x n heißt konvergent genau dann, wenn (s n ) konvergiert. In diesem Fall ist x n := lim s n n n=1 (2) Φ: E F sei eine Abbildung. Φ heißt stetig in x E genau dann, wenn für jede konvergente Folge (x n ) in E mit x n x gilt: x n Φ(x n ) Φ(x ) Φ heißt auf E stetig genau dann, wenn Φ ist in jedem x E stetig. (3) Für (x, y) E E setze (x, y) := x y 2 1 Dann ist eine Norm auf E E (nachrechnen!). Weiter gilt, dass E E genau dann ein Banachraum ist, wenn E einer ist. Für eine Folge ((x n, y n )) in E E und (x, y) E E gilt (x n, y n ) (x, y) x n x y n y Bemerkung: Ist (x n ) eine konvergente Folge in E, so ist (x n ) beschränkt (d.h. c > : x n 1 c n N). ( wie in Ana I) Vereinbarung: Für den Rest dieser Vorlesung schreiben wir (meist) f statt ˆf und identifizieren L p () mit L p (). Ebenso schreiben wir f dx statt ˆf dx und (f g) statt ( ˆf ĝ). Beispiel 16.6 (1) Die Abbildung Φ : L p () R, definiert durch Φ(f) := f p ist stetig auf L p (). D.h. für f n, f L p p () mit f n f gilt f n p f p, also f n p dx f p dx 1

101 Aus Analysis II 17 folgt: f n p f p f n f p n (2) Die Abbildung Φ : L 1 () R definiert durch Φ(f) := f dx ist stetig auf L 1 (). D.h. aus f n, f L 1 1 () und f n f folgt f n dx f dx Es gilt: f n dx f dx = f n f dx f n f dx = f n f 1 n (3) Die Abbildung Φ : L 2 () L 2 () R definiert durch Φ(f, g) := (f g) ist stetig auf L 2 () L 2 (). D.h. für f n, g n, f, g L () mit f n f und g n g gilt (f n g n ) n (f g) Es gilt: (f n g n ) (f g) = (f n g n ) (f n g) + (f n g) (f g) = (f n g n g) + (f n f g) (f n g n g) + (f n f g) f n 2 g n g 2 + f n f 2 g 2 n Satz 16.7 Sei f = f + f L p () und (g n ) und (h n ) seien zulässige Folgen für f + bzw. f (d.h. g n, h n einfach, g n g n+1, g n f +, h n h n+1, h n f ). Setze f n := g n h n. Dann sind f n, g n, h n L p () und es gilt: g n f + p h n f p f n f p 11

102 16. L p -Räume und L p -Räume Es genügt den Fall f zu betrachten (also f = f +, f ). Sei also (f n ) zulässig für f. Definiere ϕ := f n f p. Es ist klar, dass punktweise gilt ϕ n. Außerdem gilt: Dann ist g L 1 () integrierbar. Aus 4.9 folgt: ϕ n ( f n + f ) p = f n + f p (2f) p = 2 p f p =: g ϕ L 1 () = f n f L p () = f n = (f n f) + f L p () Aus 6.2 folgt: ϕ n dx = f n f p p Definition (1) Sei f : R. Dann heißt supp(f) := {x f(x) } der Träger von f (2) C c (, R) := {f C(, R) supp(f) und supp(f) kompakt} Satz 16.8 (1) C c (, R) L p () (2) Ist offen, so liegt C c (, R) dicht in L p (), d.h. ist f L p () und ε >, so existiert g C c (, R) mit f g p < ε. (1) Sei f C c (C, R) und K := supp(f), dann ist K kompakt, also K B d. Es gilt für alle x \ K f(x) = und damit folgt aus 4.12 K f p dx <. Dann gilt: Also ist f L p (). f p dx = \K f p dx + f p dx = f p dx < K K (2) Siehe Übungsblatt

103 17 Das Integral im Komplexen In diesem Paragraphen sei B d, f : C eine Funktion, u := Re(f), v := Im(f), also: u, v : R, f = u + iv. Wir versehen C mit der σ-algebra B 2 (wir identifizieren C mit R 2 ). Definition f heißt (Borel-)messbar, genau dann wenn gilt: f ist B d -B 2 -messbar. Aus 3.2 folgt: f ist messbar genau dann, wenn u und v messbar sind. Definition Sei f messbar. f heißt integrierbar (ib.) genau dann, wenn u und v integrierbar sind. In diesem Fall setze f dx := u dx + i v dx ( C) Es gilt: u, v f u + v auf. Hieraus und aus 4.9 folgt: f ist integrierbar genau dann, wenn f integrierbar ist. Definition L p (, C) := {f : C f ist messbar und f p dx < } (Achtung: mit den Betragsstrichen in ob. Integral ist der komplexe Betrag gemeint!) N := {f : C f ist messbar und f = f.ü.} L p (, C) ist ein komplexer Vektorraum (siehe 17.1) und N ist ein Untervektorraum von L p (, C). Definition Für f, g L 2 (, C) setze sowie L p (, C) := L p (, C) N (f g) := f g : (f g) = f(x)g(x) dx (f und g sind orthogonal). ( z bezeichne hierbei die komplex Konjugierte von z, vgl. Lineare Algebra). Klar: (1) L p (, C) ist mit f p := ( f p dx) 1 p ein komplexer normierter Raum (NR). 13

104 17. Das Integral im Komplexen (2) (f g) definiert ein Skalarprodukt auf L 2 (, C). Es ist (f f) = (f g) = (g f), f(x)f(x) dx = f(x) 2 dx = f 2 2, also: f 2 = (f f) (Beachte: es ist z z = z 2 für z C). (f, g L 2 (, C)) Inoffizielle Anmerkung: Dieses Skalarprodukt ist auf C nur linear in der ersten Komponente! Wenn man einen C-Skalar aus der zweiten Komponente rausziehen möchte, muss man diesen komplex konjugieren: α C : (f αg) = α(f g) (αf g) = α(f g) Satz 17.1 (1) Seien f, g : C integrierbar und α, β C. Dann gelten: (i) αf + βg ist integrierbar und (αf + βg) dx = α f dx + β g dx (ii) Re ( f dx) = Re(f) dx und Im ( f dx) = Im(f) dx (iii) f ist integrierbar und f dx = f dx (2) Die Sätze 16.1 bis 16.3 und das Beispiel 16.6 gelten in L p (, C). (3) L p (, C) ist ein komplexer Banachraum, L 2 (, C) ist ein komplexer Hilbertraum. Beispiel 17.2 Sei = [, 2π]. Für k Z und t R setzen wir e k (t) := e ikt = cos(kt) + i sin(kt) und b k := 1 2π e k Dann gilt: b k, e k L 2 ([, 2π], C) und Für k Z und k ist 2π e (t) dt = 2π 2π e k (t) dt = 1 2π ik eikt = 1 ( ) e 2πki 1 = ik 14

105 Damit ist (b k b l ) = 2π b k b l dt = 1 2π e ikt e ilt dt = 1 { 2π e i(k l)t 1, falls k = l dt = 2π 2π, falls k l Insbesondere ist b k 2 = 1. Das heißt {b k k Z} ist ein Orthonormalsystem in L 2 ([, 2π], C). Zur Übung: {b k k Z} ist linear unabhängig in L 2 ([, 2π], C). Definition Sei (α k ) k Z eine Folge in C und (f k ) k Z eine Folge in L 2 (, C). (1) Für n N setze s n := n k= n α k = α k = α n + α (n 1) + + α + α α n k n Existiert lim n s n in C, so schreiben wir k Z α k := lim n s n (2) Für n N setze σ n := n k= n f k = k n Gilt für ein f L 2 (, C): f σ n 2 n, so schreiben wir f 2 = ) f k (= lim σ n im Sinne der L 2 -Norm n k Z Definition Sei {b k k Z} wie in {b k k Z} heißt eine Orthonormalbasis (ONB) von L 2 ([, 2π], C) genau dann, wenn es zu jedem f L 2 ([, 2π], C) eine Folge f k (c k ) k Z = (c k (f)) k Z gibt, mit ( ) f 2 = c k b k k Z Frage: Ist {b k k Z} eine ONB von L 2 ([, 2π], C)? Antwort: Ja! In 18.5 werden wir sehen, dass ( ) gilt mit c k = (f b k ). 15

106

107 18 Fourierreihen In diesem Paragraphen sei stets = [, 2π], L 2 := L 2 ([, 2π], C) und L 2 R := L2 ([, 2π], R). Weiter sei {b k k Z} wie in Satz 18.1 Ist f L 2 und gilt mit einer Folge (c k ) k Z in C: f 2 = k Z c kb k, so gilt: c k = (f b k ) für alle k Z Für n N setze σ n := c k b k k n Aus der Voraussetzung folgt σ n f 2 für n. Sei j Z und n N mit n j. Es gilt einerseits (σ n b j ) = {, falls k j c k (b k b j ) = c j, da gilt: (b k b j ) = 1, falls k = j k n Andererseits: (σ n b j ) (f b j ) für n wegen 16.6(3). Daraus folgt c j = (f b j ) Definition Sei f L 2, n N und k Z. (1) S n f := k n (f b k)b k heißt n-te Fouriersche Partialsumme. Also gilt: f 2 = b k )b k f S n f 2 k Z(f (2) (f b k ) heißt k-ter Fourierkoeffizient von f. (3) k Z (f b k)b k heißt Fourierreihe von f. (4) Für n N setze E n := [b n, b (n 1),..., b, b 1,..., b n ] (lineare Hülle). Es ist dann dim E n = 2n + 1 Beachte: Für v E n gilt v() = v(2π). 17

108 18. Fourierreihen Satz 18.2 Seien f 1,..., f n, f L 2. (1) Gilt f µ f ν für µ ν (µ, ν = 1,..., n), so gilt der Satz des Pythagoras f f n 2 2 = f f n 2 2 (2) Die Abbildung S n : { L 2 E n S n f := k n (f b k)b k ist linear und für jedes v E n gilt S n v = v und (f S n f) v mit f L 2. (3) Die Besselsche Ungleichung lautet: S n f 2 2 = (f b k ) 2 = f 2 2 (f S n f) 2 2 f 2 2 k n (4) Für alle v E n gilt: f S n f 2 f v 2 (1) Es genügt den Fall n = 2 zu betrachten, der Rest folgt induktiv. (2) Übung! (3) Es gilt S n f 2 2 = (f b k )b k und k n f 1 + f = (f 1 + f 2 f 1 + f 2 ) 2 2 = (f 1 f 1 ) + (f 1 f 2 ) + (f 2 f 1 ) + (f 2 f 2 ) = (f 1 f 1 ) + (f 2 f 2 ) = f f (1) = k n (f b k )b k 2 2 = (f b k ) 2 b k 2 2 = (f b k ) 2 k n f 2 2 = (f S n f) + S n f 2 2 = f S }{{}}{{} n f S n f 2 2 (2) En E n k n (4) Sei v E n. Dann gilt: f v 2 2 = (f S n f) + (S n f v) }{{}}{{} E n E n 2 2 (1) = f S n f S n f v 2 2 f S n f

109 Bemerkung 18.3 Es sei K {R, C}, a, b R, I := [a, b] (a < b) und f n, f, g C(I, K); es war f := max t I f(t). (1) (f n ) konvergiert auf I gleichmäßig gegen f genau dann, wenn f n f (n ) (vgl. Analysis I/II). (2) f L p (I, K) und f p (b a) 1 p f (siehe 16.2). (3) Gilt f = g fast überall, so ist f = g auf I. Es existiert eine Nullmenge N I : f(x) = g(x) x I \ N. Sei x N. Für ε > gilt: U ε (x ) I N (andernfalls: λ 1 (N) λ 1 (U ε (x ) I) > ). Das heißt, es existiert ein x ε U ε (x ) I : x ε N. Also: n N x n U 1 n Also: x n x. Dann: f(x ) = lim n f(x n ) = lim n g(x n ) = g(x ) (x ) I : x n N. Satz 18.4 (Approximationssatz von Weierstraß) Es sei I = [a, b] wie in 18.3 und K {R, C}. (1) Ist f C(I, K) und ε >, so existiert ein Polynom p mit Koeffizienten in K mit: f p < ε (2) Ist a =, b = 2π, f C(I, K), f() = f(2π) und ε >, so existiert ein n N und ein v E n mit: f v < ε Satz 18.5 Sei f L 2. Dann gilt: f 2 = k Z (f b k)b k und f 2 2 = k Z (f b k ) 2 (Parsevalsche Gleichung) Insbesondere gilt: (f b k ) ( k ). Zu zeigen: f S n f 2 (n ). Die Parsevalsche Gleichung folgt dann aus Sei ε >. Wende 16.8(2) auf Re f und Im f an. Dies liefert eine stetige Funktion g : (, 2π) C mit: K := supp(g) (, 2π), K kompakt und f g 2 < ε. Setze g() := g(2π) :=. Dann ist g stetig auf [, 2π]. Satz 18.4 liefert nun: n N v E n : g v < ε. 19

110 18. Fourierreihen Damit: g v 2 2π g v < 2πε. Somit: f S n f 2 = f g + g S n g + S n g S n f 2 f g 2 + g S n g 2 + S n (g f) 2 }{{}}{{}}{{} <ε 18.2(4) 18.2(3) g v 2 g f 2 < 2ε + 2πε = ε(2 + 2π) Sei m n. Dann gilt: E n E m, also w := S n f E m. Damit: f S m f 2 f w 2 = f S n f 2 < ε(2 + 2π) Reelle Version Sei f L 2 R. Es gelten die folgenden Bezeichnungen: (1) Für k N bezeichnen wir die Funktionen t cos(kt) und t sin(kt) mit cos(k ) bzw. sin(k ). 2π (2) Für k N : α k := 1 π f(t) cos(kt)dt = 1 π Re(f e k). Für k N : β k := 1 2π π f(t) sin(kt)dt = 1 π Im(f e k), β :=. Definition f heißt gerade (bezüglich π) genau dann, wenn gilt: f(t) = f(2π t) für fast alle t [, 2π]. f heißt ungerade (bezüglich π) genau dann, wenn gilt: f(t) = f(2π t) für fast alle t [, 2π]. Satz 18.6 (Dieser Satz folgt aus 18.5 und etwas rechnen) Sei f L 2 R und n N. (1) S n f = α 2 + n k=1 (α k cos(k ) + β k sin(k )) (2) f 2 = α 2 + k=1 (α k cos(k ) + β k sin(k )) (3) 1 π f 2 2 = α2 2 + k=1 (α2 k + β2 k ) (Parsevalsche Gleichung) Insbesondere gilt: α k, β k (k ) (4) Ist f gerade, so sind alle β k = und α k = 2 π ist eine Cosinusreihe. Ist f ungerade, so sind alle α k = und β k = 2 π f ist eine Sinusreihe. π f(t) cos(kt)dt. Die Fourierreihe von f π f(t) sin(kt)dt. Die Fourierreihe von Beispiele: { 1, t π (i) f(t) := 1, π < t 2π 11

111 f ist ungerade, also α k = k N. Es ist β k = 2 π Damit: f 2 = 4 π j= sin((2j + 1) ) 2j + 1 π sin(kt)dt = {, k gerade 4 kπ, k ungerade. Beachte: (S n f)() = 1 = f() und (S n f)(2π) = 1 = f(2π). { t, t π (ii) f(t) := 2π t, π t 2π f ist gerade, das heißt β k = k N und α k = 2 π { π t cos(kt)dt, α = π., k gerade Für k 1 : α k = 4, k ungerade. πk 2 Damit: f 2 = π 2 4 π j= cos((2j + 1) ) (2j + 1) 2 Satz 18.7 Sei f L 2 und k Z (f b k) <. Dann: (1) Die Reihe k Z (f b k)b k (t) konvergiert auf [, 2π] absolut und gleichmäßig. Setzt man g(t) := k Z (f b k)b k (t) für t [, 2π], so ist g stetig, g() = g(2π) und f = g f.ü. auf [, 2π]. (2) Ist f stetig, so gilt f = g auf [, 2π], also: f(t) = k Z(f b k )b k (t) t [, 2π] Insbesondere: f() = f(2π) (1) f k (t) := (f b k )b k (t); f k (t) = (f b k ) b k (t) = 1 2π (f b k ) t [, 2π] k Z Aus Analysis I, 19.1(2) (Konvergenzkriterium von Weierstraß) folgt: Die Reihe in (1) konvergiert auf [, 2π] absolut und gleichmäßig. Aus Analysis I, 19.2 folgt: g ist stetig. Klar: g() = g(2π). s n (t) := f k (t) (n N, t [, 2π]). k n Aus 18.5 folgt: f s n 2 (n ). g s n (2) g s n 2π (n ) Also: g s n 2 (n ) Aus 16.5 folgt: f = g f.ü. (2) f = g f.ü. 18.3(3) = f = g auf [, 2π]. 111

112 18. Fourierreihen Satz 18.8 f L 2 R und die Folgen (α k) und (β k ) seien definiert wie im Abschnitt Reelle Version. Weiter gelte: k=1 α k < und k=1 β k <. Dann gelten die Aussagen in 18.7 für die Reihen in Satz 18.9 Sei f : [, 2π] C stetig differenzierbar und f() = f(2π). (1) Es ist (f b k ) = ik(f b k ) k Z (2) k Z (f b k) < (d.h.: die Voraussetzungen von 18.7 sind erfüllt) (1) (f b k ) = 1 2π 2π f (t)e ikt dt P.I. = 1 [ f(t)e ikt] 2π 1 2π 2π 2π = 1 2π (f(2π) f()) + ik(f b k ). f(t)( ik)e ikt dt (2) Setze σ n := k n (f b k) (n N ). Es genügt zu zeigen: (σ n ) ist beschränkt. Klar: σ n. σ n (f b ) = (f b k ) (1) = 1 (f b k ) k }{{} < k n < k n }{{} :=v k = = < k n ( ( 2 2 n k=1 k=1 u k v k CS-Ugl. u 2 k u 2 k ) 1 2 < k n :=u k < k n v 2 k 1 2 } {{ } 18.2(3) f 2 ) 1 2 f 2 u 2 k 1 2 < k n v 2 k 1 2 Beispiel (1) f sei wie im Beispiel (2) vor Es war: f 2 = π 2 4 π j= cos((2j + 1) ) (2j + 1) 2 ( α 2j+1 = ) 1 (2j + 1) 2, α 2j = 112

113 Aus 18.7 bzw folgt: Setzt man nun t =, folgt f(t) = π 2 4 π j= = π 2 4 π cos((2j + 1)t) (2j + 1) 2 t [, 2π] j= 1 (2j + 1) 2 und man erhält durch Umstellen eine Auswertung für diese eigentlich kompliziert wirkende Reihe: 1 (2j + 1) 2 = = π2 8 j= (dass diese Reihe konvergiert, ist eine einfache Übung aus Ana I; ihren Wert aber haben wir bislang noch nicht berechnet) (2) f(t) = (t π) 2 (t [, 2π]). f ist gerade bzgl. π, also ist β k =. Es ist { 2 α k = 3 π2, k = 4, k 1 k 2 (nachrechnen!) Also: Aus 18.9 bzw. 18.7(2) folgt: f 2 = π j=1 cos(j ) j 2 Setzt man nun t =, erhält man f(t) = π j=1 π 2 = π j 2, also j=1 cos(jt) j 2 t [, 2π] j=1 1 j 2 = π2 6 Damit erhält man z.b. auch j=1 1 (2j) 2 = 1 4 j=1 1 j 2 = π2 24 und damit ( 1) j+1 j 2 j=1 = ±... = π2 8 π2 24 = π

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115 A Satz um Satz (hüpft der Has) Satz 1.4. Erzeuger der Borelschen σ-algebra auf R d Satz 1.5. Spuren und σ-algebren Satz 2.5. Fortsetzungssatz von Carathéodory Satz 2.6. Eindeutigkeitssatz Satz 2.1. Regularität des Lebesgue-Maßes Satz Satz von Vitali Satz 4.6. Satz von Beppo Levi (Version I) Satz 4.7. Satz von Beppo Levi (Version II) Satz 4.9. Charakterisierung der Integrierbarkeit Satz 5.5. Satz von Beppo Levi (Version III) Satz 6.2. Konvergenzsatz von Lebesgue (Majorisierte Konvergenz) Satz 9.1. Prinzip von Cavalieri Satz 1.1. Satz von Tonelli Satz 1.2. Satz von Fubini (Version I) Satz 1.3. Satz von Fubini (Version II) Satz Transformationssatz (Version I) Satz Transformationssatz (Version II) Satz Integralsatz von Gauß im R Satz Integralsatz von Stokes Satz Satz von Lebesgue (L p -Version) Satz Satz von Riesz-Fischer Satz Approximationssatz von Weierstraß

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117 Stichwortverzeichnis A-B-messbar, 27 σ- Additivität, 14 Algebra, 9 Algebra, Borelsche, 11 Abgeschlossenheit, 11 Besselsche Ungleichung, 18 Borel σ-algebra, 11, 3 Mengen, 11 Nullmenge, 47 Chauchyfolge, 97 dicht, 12 Diffeomorphismus, 77 Dirac-Maß, 14 Disjunktheit, 7 Divergenz, 83 einfach, 34 Elementarvolumen, 17 Erzeuger, 1 für fast alle, 47 fast überall, 47 Figuren, 17 Fläche, 87 Flächeninhalt, 87 Flächenstück, 87 Fourier -koeffizient, 17 -reihe, 17 -sche Partialsumme, 17 gerade Funktion, 11 Halbraum, 11 Hilbertraum, 97 Inneres, 77 Integral, 42, 13 integrierbar, 42, 13 Intervall, 11 Kreuzprodukt, 83 Kugelkoordinaten, 81 Lebesgueintegral, 37, 38, 42 Lebesguemaß, 17, 21 Maß, 14 Dirac-, 14 endliches, 14 Punkt-, 14 Wahrscheinlichkeits-, 14 Zähl-, 14 Maßraum, 14 messbar, 28, 3, 13 Borel, 28 Funktion, 27 Raum, 27 Negativteil, 33 Normalenvektor, 87 Normalform, 34 Nullmenge, 47 Oberflächenintegral, 89 Offenheit, 11 orthogonal, 13 Orthonormalbasis, 15 Parameterbereich, 87 Polarkoordinaten, 79 Positivteil, 33 Potenzmenge, 7 Prähilbertraum, 97 Prämaß, 2 Punktmaß, 14 Raum messbarer, 27 Reihe 117

118 Stichwortverzeichnis unendliche, 1 Ring, 17 Rotation, 83 Rotationskörper, 65 Spur, 12 stetig, 1 Tangentialvektor, 83 Träger, 12 Treppenfunktion, 34 ungerade Funktion, 11 Ungleichung Cauchy-Schwarz, 92, 96 Hölder, 92 Minkowski, 92 Ungleichung Besselsche, 18 Wahrscheinlichkeitsmaß, 14 Zählmaß, 14 zulässig, 34, 85 Zylinderkoordinaten,

119 B Credits für Analysis III Abgetippt haben die folgenden Paragraphen: 1: σ-algebren und Maße: Rebecca Schwerdt, Peter Pan, Philipp Ost 2: Das Lebesguemaß: Rebecca Schwerdt, Philipp Ost 3: Messbare Funktionen: Rebecca Schwerdt, Philipp Ost 4: Konstruktion des Lebesgueintegrals: Rebecca Schwerdt, Philipp Ost, Peter Pan 5: Nullmengen: Rebecca Schwerdt, Jan Ihrens, Philipp Ost 6: Der Konvergenzsatz von Lebesgue: Philipp Ost, Jan Ihrens 7: Parameterintegrale: Jan Ihrens 8: Vorbereitungen: Jan Ihrens 9: Das Prinzip von Cavalieri: Jan Ihrens, Rebecca Schwerdt 1: Der Satz von Fubini: Jan Ihrens 11: Der Transformationssatz: Jan Ihrens, Rebecca Schwerdt 12: Vorbereitungen für die Integralsätze: Rebecca Schwerdt 13: Der Integralsatz von Gauß im R 2 : Benjamin Unger 14: Flächen im R 3 : Benjamin Unger 15: Der Integralsatz von Stokes: Philipp Ost 16: L p -Räume und L p -Räume: Philipp Ost, Rebecca Schwerdt, Peter Pan, Jan Ihrens 17: Das Integral im Komplexen: Peter Pan, Jan Ihrens 18: Fourierreihen: Jan Ihrens, Philipp Ost, Peter Pan 119