Kapitel 19. Das Lebesgue Maß σ Algebren und Maße

Transkript

1 Kapitel 19 Das Lebesgue Maß 19.1 σ Algebren und Maße 19.2 Das äußere Lebesgue Maß 19.3 Das Lebesgue Maß 19.4 Charakterisierungen des Lebesgue Maßes 19.5 Messbare Funktionen 19.1 σ Algebren und Maße Wir geben in diesem Abschnitt einen kurzen Einstieg in die Maßtheorie, begnügen uns hierbei allerdings auf die Punkte, die zur Konstruktion und zum Verständnis des anschließend einzuführenden Lebesgue Maßes benötigt werden. Für einen allgemeineren Zugang sei etwa auf das Buch [4] von Bauer verwiesen. Definition 19.1 Ein System A von Teilmengen des R n heißt σ Algebra, wenn es die folgenden Eigenschaften besitzt: (a) R n A; (b) A A = A c := R n \ A A; (c) A 1, A 2,... A = A n A. Die Potenzmenge P(R n ) ist offenbar stets eine σ Algebra. Aber auch das System A :=, A, A c, R n bilded eine σ Algebra für jede gegebene Teilmenge A R n. Für zahlreiche weitere Beispiele sei auf [4] verwiesen. An dieser Stelle notieren wir zunächst einige Konsequenzen aus der Definition Lemma 19.2 ( Elementare Eigenschaften von σ Algebren ) Sei A eine σ Algebra. Dann gelten: (a) A. 149

2 150 KAPITEL 19. DAS LEBESGUE MASS (b) A n A für gegebene Mengen A n A (n N). (c) Mit je endlich vielen Mengen A 1,..., A m A ist auch deren Vereinigung in A. (d) Mit je endlich vielen Mengen A 1,..., A m A ist auch deren Durchschnitt in A. (e) A 1 \ A 2 A für alle A 1, A 2 A. Beweis: (a) Dies folgt sofort aus der Definition 19.1 (a), (b). (b) Mit A n A gilt zunächst A c n A wegen Definition 19.1 (b). Mit Teil (c) der Definition 19.1 liefert dies Ac n A, also auch ( Ac n) c A wegen Definition 19.1 (b). Die Behauptung folgt nun aus der Gleichheit A n = ( Ac n) c A. (c) Seien A 1,...,A m A gegeben und A := m n=1 A n deren Vereinigung. Wegen Teil (a) und A = A 1 A m... folgt die Behauptung unmittelbar aus der Definition 19.1 (c). (d) Für A 1,...,A m A und A := m n=1 A n gilt A = A 1 A m R n R n..., so dass die Behauptung aus Definition 19.1 (a) und Teil (b) folgt. (e) Aus A 1, A 2 A folgt A 1, A c 2 A wegen Definition 19.1 (b). Also ist auch A 1 \ A 2 = A 1 A c 2 A wegen Teil (d). Wir wollen als Nächstes die Größe einer Teilmenge A R n messen, d.h., wir wollen einem A R n eine Zahl µ(a) zuordnen, die uns auf möglichst sinnvolle Weise etwas über die Größe von A aussagt. Zu diesem Zweck führen wir den Begriff eines Maßes ein. Definition 19.3 Sei A eine σ Algebra. Eine Abbildung µ : A [0, ] heißt ein Maß auf A, wenn µ( ) = 0 und µ ( ) A n = µ(a n ) (19.1) für alle paarweise disjunkten Mengen A n A gilt (d.h., A n A m = für alle A n, A m A mit n m). Man beachte, dass ein Maß µ stets nichtnegativ ist und durchaus den Wert + annehmen darf. Letzteres kann im Falle einer unbeschränkten Menge durchaus sinnvoll sein. Die Eigenschaft (19.1) wird übrigens als σ Additivität des Maßes µ bezeichnet. Im Übrigen sollte der hier verwendete Buchstabe µ für ein Maß nicht zu Verwechslungen mit dem gleichen Symbol für den Jordan Inhalt einer quadrierbaren Menge führen. In der Tat werden wir noch sehen, dass der Jordan Inhalt kein Maß ist. Zwar ist der Jordan Inhalt der leeren Menge gleich Null, aber der Jordan Inhalt ist nicht σ additiv, sondern die Forderung (19.1) gilt dort nur für endlich viele quadrierbare (und damit beschränkte) Mengen, man vergleiche hierzu das Lemma (c). Bevor wir einige Folgerungen aus der Definition eines Maßes notieren, haben wir uns zunächst einige Gedanken darüber zu machen, dass (im Gegensatz zum Jordan Inhalt

3 19.1. σ ALGEBREN UND MASSE 151 einer quadrierbaren Mengen) wir es nun gegebenenfalls auch mit unendlichen Zahlen µ(a) zu tun haben und daher gewisse Rechenregeln für benötigen. In den nachfolgenden Untersuchungen bezeichnen wir mit R := R ± die um die beiden Punkte und + erweiterte reelle Zahlengerade, die mit den üblichen Rechengesetzen x + := x R, x := x R, x := x > 0, x ( ) := x > 0, x := x < 0, x ( ) := x < 0, + :=, versehen sei. Hingegen ist ein Ausdruck wie nicht definiert! Ferner ist an dieser Stelle auch ein Term der Gestalt 0 (± ) noch nicht definiert. Nach diesen Vorbereitungen also zu einem ersten Resultat über verschiedene elementare Eigenschaften eines Maßes, die sich allesamt aus der obigen Definition herleiten lassen. Lemma 19.4 ( Elementare Eigenschaften eines Maßes ) Seien A eine σ Algebra und µ ein Maß auf A. Dann gelten: (a) A B = µ(a) µ(b) für alle A, B A. (b) µ(a B) + µ(a B) = µ(a) + µ(b) für alle A, B A. (c) A B, µ(a) < = µ(b \ A) = µ(b) µ(a) für alle A, B A. (d) µ ( A ) n µ(a n) für alle A n A. (σ Subadditivität) (e) A n A (n N), A 1 A 2 A 3... = µ( n=1 A n) = lim n µ(a n ). (f) A n A (n N), A 1 A 2 A 3... und µ(a 1 ) < = µ( A n) = lim n µ(a n ). Beweis: (a) Die Menge B lässt sich als disjunkte Vereinigung von A und B \A schreiben. Deshalb gilt mit Definition 19.3 Wegen µ(b \ A) 0 folgt die Behauptung. µ(b) = µ(a) + µ(b \ A). (19.2)

4 152 KAPITEL 19. DAS LEBESGUE MASS (b) Für beliebige A, B A gilt A B = A (B \ A) und B = (A B) (B \ A), wobei beide Vereinigungen disjunkt sind. Aus der Definition 19.3 folgt daher µ(a B) = µ(a) + µ(b \ A) und µ(a B) + µ(b \ A) = µ(b). (19.3) Addition beider Gleichungen liefert µ(a B) + µ(a B) + µ(b \ A) = µ(a) + µ(b) + µ(b \ A). Im Falle µ(b \ A) < kann man diesen Term auf beiden Seiten kürzen (subtrahieren) und erhält damit die Behauptung. Ist hingegen µ(b \ A) =, so folgt aus dem bereits bewiesenen Teil (a) auch µ(a B) = und µ(b) =, so dass die Behauptung folglich ebenfalls gilt (vor dem Hintergrund der Rechenregeln mit ). (c) Für A B vereinfacht sich die zweite Formel aus (19.3) zu µ(b) = µ(a) + µ(b \ A). Wegen µ(a) < folgt durch Subtraktion dieses Ausdrucks die Behauptung (die Voraussetzung µ(a) < wird hierbei nur deshalb gestellt, um einen nicht definierten Ausdruck der Gestalt zu vermeiden). (d) Setze B 1 := A 1, B 2 := A 2 \ A 1,...,B n := A n \ (A 1... A n 1 ) usw. Dann sind die B n paarweise disjunkte Mengen mit B n. A n = Aus der Definition 19.3 folgt daher ( ) ( ) µ A n = µ B n = µ(b n ). Wegen B n A n ergibt sich aus dem schon bewiesenen Teil (a) dann ( ) µ A n µ(a n ), was zu zeigen war. (e) Setze A := A n und B 1 := A 1, B 2 := A 2 \ A 1,...,B n := A n \ A n 1,.... Dann sind die B n paarweise disjunkt mit A = B n und A n = B 1... B n. Wegen der σ Additivität von µ folgt daher ( ) µ(a) = µ B n = µ(b n ) = lim n=1 n n m=1 µ(b m ) = lim n µ(a n )

5 19.2. DAS ÄUSSERE LEBESGUE MASS 153 und damit die Behauptung (e). (f) Seien A n A mit A 1 A 2 A 3... und µ(a 1 ) < gegeben. Setze B n := A 1 \ A n für alle n N. Dann sind auch alle Mengen B n (n N) Elemente von A aufgrund des Lemmas 19.2 (e), und es gilt B 1 B 2 B Wegen µ(a 1 ) < folgt dann µ(a 1 ) µ ( ) A n Teil (c) = µ ( A 1 \ ) A n De Morgan = µ ( ) A 1 \ A n Def. B n = µ ( B n ) Teil (e) = lim n µ(b n ) Def. B n = lim n µ ( A 1 \ A n ) Teil (b) = lim n [ µ(a1 ) µ(a n ) ] = µ(a 1 ) lim n µ(a n ). Aus µ(a 1 ) < nach Voraussetzung können wir diesen Term aus der obigen Gleichungskette kürzen und erhalten damit gerade die gewünschte Behauptung. Die beiden Eigenschaften (e) und (f) im Lemma 19.4 heißen auch Stetigkeit von unten bzw. Stetigkeit von oben des gegebenen Maßes. Hat man eine Folge von Mengen A 1 A 2 A 3... mit A n A für alle n N vorliegen und gilt A n = A, so schreibt man hierfür auch kurz Entsprechend ist der Ausdruck zu verstehen. A n A oder A n A. A n A oder A n A 19.2 Das äußere Lebesgue Maß Unter einem Quader Q R n verstehen wir in diesem Abschnitt weiterhin das kartesische Produkt I 1... I n von beschränkten Intervallen I i R. Dabei spielt es weiterhin keine

6 154 KAPITEL 19. DAS LEBESGUE MASS Rolle, ob die I i offen, abgeschlossen oder halboffen sind. Die Länge eines Intervalls I mit linkem Randpunkt a und rechtem Randpunkt b (die zum Intervall I gehören oder auch nicht) ist dann definiert durch I := b a. Das Volumen eines Quaders Q = I 1... I n definieren wir dann ebenfalls wie früher durch n Q := µ(q) := I i. Dies ist der bekannte Jordan Inhalt eines Quaders. Wir erinnern außerdem daran, dass der Durchschnitt zweier Quader wieder einen Quader ergibt, und dass sich die Differenz Q \ Q als Vereinigung von endlich vielen paarweise disjunkten Quadern darstellen lässt, vergleiche hierzu insbesondere das Lemma Wir definieren als Nächstes das äußere Lebesgue Maß, das sich vom äußeren Jordan Inhalt im Wesentlichen nur darin unterscheidet, dass wir an Stelle von endlich vielen Quadern auch Überdeckungen durch abzählbar viele Quader zulassen. Definition 19.5 Für eine beliebige (und nicht notwendig beschränkte) Menge A R n heißt λ(a) := inf Q i A Q i i i das äußere Lebesgue Maß von A, wobei das Infimum über alle endlichen oder abzählbaren Folgen Q i von Quadern zu nehmen ist, deren Vereinigung A überdeckt. Man beachte, dass λ(a) sowohl endliche als auch unendliche Werte annehmen kann. Ferner gibt es für jede Menge A R n stets Überdeckungen durch höchstens abzählbar viele Quader. Dies folgt beispielsweise daraus, dass sich der gesamte R n (insbesondere also jede seiner Teilmengen) überdecken lässt durch R n = i=1 p Z n (p + W), wobei W R n den Einheitswürfel W := [0, 1) n bezeichnet. Hierbei handelt es sich sogar um eine disjunkte Vereinigung der abzählbar vielen Quader p + W, p Z n. Wir wollen gleich einige elementare Eigenschaften des äußeren Lebesgue Maßes zusammenfassen. Als Vorbereitung dazu benötigen wir ein einfaches Ergebnis über Doppelreihen. Bemerkung 19.6 Für beliebige Zahlen 0 a ij + gilt a ij = i,j i ( ) a ij = j j ( a ij ). (19.4) i

7 19.2. DAS ÄUSSERE LEBESGUE MASS 155 Beweis: Für endlich viele Summanden ist die Behauptung offenbar richtig. Wir betrachten im Folgenden daher nur den Fall von abzählbar unendlich vielen a ij. Gilt a ij = für ein Indexpaar i, j, so sind alle drei Ausdrücke in (19.4) unendlich wegen der Nichtnegativität aller übrigen Zahlen a kl sowie der Konvention über das Rechnen mit. Sei also a ij < für alle i, j vorausgesetzt. Nach Voraussetzung ist a ij 0 für alle i, j, also ist die Reihe i,j a ij genau dann konvergent, wenn sie absolut konvergiert. Im Fall der absoluten Konvergenz dieser Reihe konvergiert wegen Satz 3.39 aber auch jede Umordnung dieser Reihe, und zwar gegen denselben Grenzwert, insbesondere gilt damit (19.4). Anderenfalls kann aber auch keine der anderen Reihen in (19.4) konvergieren, denn dann wäre diese wiederum absolut konvergent und damit wäre erneut wegen des Umordnungssatzes 3.39 auch die Reihe i,j a ij (absolut) konvergent. Damit also nun zu den ersten einfachen Eigenschaften des äußeren Lebesgue Maßes. Lemma 19.7 ( Eigenschaften des äußeren Lebesgue Maßes ) Das äußere Lebesgue Maß λ besitzt die folgenden Eigenschaften: (a) Es ist 0 λ(a) + für alle A R n sowie λ( ) = 0 (Nichtnegativität). (b) Es ist λ(a) λ(b) für alle A, B R n mit A B (Monotonie). (c) Es ist ( ) λ A i λ(a i ) (σ Subadditivität) (19.5) i i für jede endliche oder abzählbare Folge von Teilmengen A i R n. (d) Es ist λ(a + x) = λ(a) für alle x R n und alle A R n (Translationsinvarianz). (e) Es ist λ(w) = 1 für den Einheitswürfel W = [0, 1] n (Normierung). (f) Es gilt µ(a) λ(a) µ(a) für jede beschränkte Menge A R n, wobei µ(a) bzw. µ(a) den inneren bzw. äußeren Jordan Inhalt der Menge A bezeichnet. (g) Es gilt µ(a) = λ(a) für jede quadrierbare Menge A R n, d.h., der Jordan Inhalt und das äußere Lebesgue Maß stimmen für quadrierbare Mengen überein. Beweis: (a) Dies folgt unmittelbar aus der Definition von λ. (b) Diese Aussage ergibt sich ebenfalls aus der Definition von λ, denn jede Überdeckung von B ist insbesondere auch eine Überdeckung von A. (c) Zum Beweis der σ Subadditivität nehmen wir an, dass wir abzählbar viele Mengen A i haben (sonst vereinfacht sich der Beweis nur) und die rechte Seite von (19.5) konvergiert, also endlich ist (anderenfalls wäre nichts zu zeigen). Sei dann ε > 0 beliebig vorgegeben und ε i irgendeine Folge positiver Zahlen mit ε i = ε, etwa ε i := 1 2iε für i = 1, 2,.... i

8 156 KAPITEL 19. DAS LEBESGUE MASS Gemäß Definition des äußeren Lebesgue Maßes gibt es zu jedem A i eine zugehörige Folge Q i j j von Quadern Q i j Rn mit A i j Q i j und Q i j λ(a i) + ε i. Die Doppelfolge aller Quader Q i j überdeckt dann die Menge A = i A i, und daraus ergibt sich unter Verwendung von (19.4) λ( i A i ) i,j Q i j = i Q i j j i j ( ) λ(ai ) + ε i λ(a i ) + ε, wobei die erste Ungleichung eine unmittelbare Konsequenz der Definition des äußeren Lebesgue Maßes von i A i ist. Da ε > 0 beliebig gewählt war, folgt hieraus die Behauptung (c). (d) Durch die Translation um einen festen Vektor x werden Quader wieder in Quader von gleichem Inhalt überführt. Die Aussage (d) folgt daher direkt aus der Definition des äußeren Lebesgue Maßes. (e) Dies ist klar, denn der Würfel W ist insbesondere ein Quader. Alternativ folgt die Behauptung auch aus dem Teil (g), denn W ist natürlich eine quadrierbare Menge mit µ(w) = 1. (f) Sei A eine beschränkte Menge. Der äußere Jordan Inhalt µ(a) war dann definiert als das Infimum über alle Zahlen T, wobei T = Q i die Vereinigung von endlich vielen Quadern Q i war, so dass A T galt. Da in der Definition von λ(a) auch abzählbare Vereinigungen von Quadern zugelassen werden, gilt zwangsläufig λ(a) µ(a). Wir haben also lediglich die Ungleichung µ(a) λ(a) zu verifizieren. Zu diesem Zweck sei S zunächst eine (kompakte) Quadersumme, die aus der Vereinigung von endlich vielen kompakten Quadern bestehe. Gemäß Definition des äußeren Lebesgue Maßes von S existieren dann zu jedem beliebig gegebenem ε > 0 (höchstens) abzählbar viele Quader Q i R n mit S i Q i und Q i < λ(s) + ε Wir schreiben wieder ε = i ε i mit geeigneten Zahlen ε i > 0 und definieren uns zu jedem Quader Q i einen etwas größeren offenen Quader Q i Q i mit Q i Q i + ε i. Dann gilt insbesondere S Q i. i i i Die kompakte Menge S wird also durch die offenen Mengen Q i überdeckt. Nach dem Satz 4.44 von Heine Borel existieren dann bereits endlich viele dieser offenen Quader, etwa

9 19.2. DAS ÄUSSERE LEBESGUE MASS 157 Q 1,..., Q k, welche die Menge S ebenfalls überdecken. Aus den Eigenschaften des Jordan Inhaltes folgt dann µ(s) = µ(s) µ( Q 1 )+...+µ( Q k ) µ( Q i ) ( ) Qi +ε i = Q i +ε λ(s)+2ε. i i Da ε > 0 hierbei beliebig gewählt war, gilt also µ(s) λ(s) für jede kompakte Quadersumme S. Sei nun A eine beliebige beschränkte Menge. Definitionsgemäß ist dann µ(a) = sup µ(s) S Quadersumme mit S A. Bei der Supremumsbildung kann man sich offenbar auf kompakte Quadersummen S beschränken. Für jede solche kompakte Quadersumme S A gilt aufgrund der Vorbetrachtung sowie dem schon bewiesenen Teil (b) aber µ(s) = µ(s) λ(s) λ(a). Bildet man anschließend das Supremum über alle diese Quadersummen, so folgt µ(a) λ(a). (g) Für quadrierbare Mengen gilt definitionsgemäß µ(a) = µ(a). Die Behauptung folgt somit aus dem Teil (f), da quadrierbare Mengen beschränkt sind (für unbeschränkte Mengen hatten wir gar keinen Jordan Inhalt definiert). i Eine besondere Rolle spielen wieder die Nullmengen. Definition 19.8 Eine Menge A R n mit λ(a) = 0 heißt Lebesgue Nullmenge. Einige Bemerkungen und Beispiele zu diesem Begriff. Bemerkung 19.9 (a) Gemäß Definition ist A R n genau dann eine Lebesgue Nullmenge, wenn es zu jedem ε > 0 (höchstens) abzählbar viele Quader Q i gibt mit A i Q i und i Q i < ε, so dass die obige Definition einer Lebesgue Nullmenge mit jener aus dem Abschnitt 15.2 übereinstimmt. (b) Die Vereinigung von höchstens abzählbar vielen Lebesgue Nullmengen N i R n ist wieder eine L Nullmenge, denn wegen Lemma 19.7 (c) gilt dann ( ) 0 λ N i ( ) λ(n i ) = 0 = λ N i = 0. i i Diese Aussage ist zwar schon aus der Bemerkung bekannt gewesen, der hier angegebene Beweis ist aber kürzer. (c) Sei Q := r Q r [0, 1] i

10 158 KAPITEL 19. DAS LEBESGUE MASS die Menge aller rationalen Zahlen in [0, 1]. Wegen Beispiel ist dann µ(q) = 0 und µ(q) = 1, insbesondere ist Q somit nicht quadrierbar. Wegen (a), (b) gilt für Q hingegen λ(q) = 0. Insbesondere zeigt dieses Beispiel, dass der Jordan Inhalt nicht σ additiv sein kann, denn für jeden Punkt r Q gilt µ(r) = 0 und aus der σ Additivität würde dann auch µ(q) = 0 folgen, also wäre Q eine J Nullmenge und daher Jordan messbar im Widerspruch zur obigen Beobachtung. (d) Aus (c) erhalten wir als Konsequenz die folgende (anschaulich schwer nachvollziehbare) Tatsache: Sei Q wie dort definiert und Q = r 1, r 2,... eine Abzählung dieser Menge. Sei ferner ε = i ε i > 0 beliebig gegeben und U i := (r i ε i, r i + ε i ) die ε i Umgebung von r i. Die Vereinigung G := i U i ist dann eine offene Menge, von der man vermuten würde, dass G [0, 1] gilt. Tatsächlich ist aber λ(g) i U i = 2 i ε i = 2ε. (e) Wenn eine Eigenschaft, welche die Punkte einer Menge A R n betrifft, für alle Punkte von A mit Ausnahme einer Lebesgue Nullmenge gilt, so sagt man, diese Eigenschaft gelte fast überall (kurz: f.ü.). Die Aussage f(x) > 0 f.ü. in A bedeutet beispielsweise: Es gibt eine Menge N R n mit λ(n) = 0 und f(x) > 0 für alle x A\N Das Lebesgue Maß Das äußere Lebesgue Maß λ ist für jede Menge A R n definiert und somit eine Abbildung λ : P(R n ) [0, + ], wobei P(R n ) die Potenzmenge (Menge aller Teilmengen) des R n bezeichnet. Allerdings handelt es sich hierbei um kein Maß, da man Beispiele konstruieren kann, in der die hierfür benötigte σ Additivität ( ) λ A i = i i λ(a i ) für paarweise disjunkte A i R n verletzt ist. Um aus dem äußeren Maß λ ein Maß zu erhalten, benutzen wir nun einen auf Carathéodory zurückgehenden Weg und betrachten nur die Einschränkung von λ auf eine gewisse Teilmenge L von P(R n ), wobei L, grob gesagt, nur die gutartigen Teilmengen des R n enthält. Wir werden sehen, dass diese Menge L praktisch alle relevanten Teilmengen des R n beinhaltet und insbesondere eine σ Algebra ist. Wir werden anschließend zeigen, dass die Einschränkung des äußeren Lebesgue Maßes auf diese Menge L tatsächlich ein Maß im Sinne der Definition 19.3 darstellt.

11 19.3. DAS LEBESGUE MASS 159 Definition Sei λ das äußere Lebesgue Maß. Die Menge A R n heißt Lebesgue messbar (kurz: L messbar), wenn λ(e) = λ(e A) + λ(e A c ) für alle Mengen E R n (19.6) gilt, wobei A c := R n \A das Komplement von A bezeichnet. Mit L := L n := A R n A ist Lebesgue messbar bezeichnen wir die Menge aller Lebesgue messbaren Teilmengen des R n. Wir notieren zunächst zwei einfache Konsequenzen aus der Definition Bemerkung (a) Aus der definierenden Gleichung (19.6) ergibt sich sofort, dass eine Menge A R n genau dann Lebesgue messbar ist, wenn das Komplement A c Lebesgue messbar ist. (b) Die Menge A := R n (und damit nach Teil (a) auch die leere Menge A := ) ist Lebesgue messbar. Wegen Lemma 19.7 (a) gilt nämlich λ( ) = 0, so dass sich die Gleichung (19.6) für A = R n auf die triviale Identität λ(e) = λ(e) für alle Teilmengen E R n reduziert. Definition Seien λ das äußere Lebesgue Maß und A R n Lebesgue messbar. Dann heißt λ(a) (etwas präziser auch als λ n (A) geschrieben) das (n-dimensionale) Lebesgue Maß von A und die Abbildung λ : L n [0, + ] das Lebesgue Maß im R n. Das Symbol λ(a) bzw. λ n (A) hat im Folgenden also zwei Bedeutungen: Im Falle einer beliebigen Teilmenge A R n ist λ(a) das äußere Lebesgue Maß von A; im Falle einer Lebesgue messbaren Teilmengen A L n bezeichnet λ(a) das Lebesgue Maß von A. Diese Unterscheidung sollte im Folgenden keine Probleme bereiten, so dass wir hier auf die Verwendung von verschiedenen Symbolen für das äußere Lebesgue Maß einerseits und für das Lebesgue Maß andererseits verzichten. Wegen Lemma 19.7 (c) gilt für jede Menge A R n stets die Ungleichung λ(e) λ(e A) + λ(e A c ) für alle Mengen E R n. Daher ist die Bedingung (19.6) für die Lebesgue Messbarkeit von A R n äquivalent zu der Forderung λ(e) λ(e A) + λ(e A c ) für alle Mengen E R n. (19.7) Einige wichtige Eigenschaften von Lebesgue messbaren Mengen sind in dem folgenden Lemma enthalten.

12 160 KAPITEL 19. DAS LEBESGUE MASS Lemma (a) Gilt λ(a) = 0 für eine Teilmenge A R n, so ist A L n, d.h., jede L Nullmenge ist L messbar. (b) Jede quadrierbare Menge A R n ist Lebesgue messbar mit µ(a) = λ(a), d.h., Jordan Inhalt und Lebesgue Maß stimmen auf der Menge der quadrierbaren Teilmengen des R n überein. Beweis: (a) Aus λ(a) = 0 sowie Lemma 19.7 (a), (b) folgt 0 λ(e A) λ(a) = 0 = λ(e A) = 0 für alle E R n. Somit reduziert sich die Bedingung (19.7) auf die Forderung λ(e) λ(e A c ) für alle E R n, die aber erneut wegen der Monotonie des äußeren Lebesgue Maßes erfüllt ist. Folglich ist A L n. (b) Seien A R n quadrierbar, E R n beliebig und ε > 0 gegeben. Gemäß Definition des äußeren Lebesgue Maßes existieren dann höchstens abzählbar viele Quader Q i R n mit E i Q i und i Q i λ(e) + ε. Die Mengen J i := Q i A und K i := Q i A c = Q i \ A sind disjunkt und wegen Korollar quadrierbar. Ferner werden E A und E A c durch i J i und i K i überdeckt. Unter Verwendung von µ(q i ) = µ(j i ) + µ(k i ) nach Lemma folgt mit Lemma 19.7 (b) und (g) daher (λ bezeichnet zunächst noch das äußere Lebesgue Maß) λ(e A) + λ(e A c ) i λ(j i ) + i λ(k i ) = i = i µ(j i ) + i µ(q i ) µ(k i ) λ(e) + ε. Da ε > 0 beliebig gewählt war, ist die Bedingung (19.7) erfüllt und A somit Lebesgue messbar. Die zweite Aussage folgt aus dem Lemma 19.7 (g). Wir kommen nun zu dem ersten Hauptresultat dieses Abschnitts. Satz ( Menge aller messbaren Mengen bildet eine σ Algebra ) Die Familie L n aller messbaren Mengen im R n ist eine σ Algebra, welche die quadrierbaren Mengen umfasst. Beweis: Wegen Lemma (b) ist jede quadrierbare Menge auch Lebesgue messbar, so dass für L n nur die Eigenschaft einer σ Algebra zu verifizieren bleibt.

13 19.3. DAS LEBESGUE MASS 161 Aufgrund der Bemerkung (b) ist R n L n, und Teil (a) der Bemerkung zeigt insbesondere, dass mit A L n auch A c L n gilt. Damit ist lediglich zu zeigen, dass mit abzählbar vielen Mengen A i L n auch deren Vereinigung i A i zu L n gehört. Der Beweis dieser Aussage wird in drei Schritte zerlegt, wobei insbesondere der Schritt 2 auch im nachstehenden Resultat sinnvoll verwendet werden kann. Schritt 1: Wir zeigen hier, dass mit je zwei Mengen A, B L n auch deren Vereinigung A B und deren Durchscnitt A B zu L n gehört. Seien also A, B L n beliebig gegeben. Wir beweisen zunächst, dass dann auch die Vereinigung dieser beiden Mengen Lebesgue messbar ist. Zu zeigen ist dazu die Gültigkeit von λ(e) = λ ( E (A B) ) + λ ( E (A B) c) für alle E R n. (19.8) Aus A L n und (19.6) (mit E (A B) statt der Menge E) folgt zunächst λ ( E (A B) ) = λ ( E (A B) A ) +λ ( E (A B) A c) = λ(e A)+λ(E B A c ), (19.9) wobei die zweite Gleichung elementar einzusehen ist. Wegen B L n und (19.6) (mit E A c statt E sowie B statt A) folgt außerdem Wegen (A B) c = A c B c impliziert dies λ(e A c B) + λ(e A c B c ) = λ(e A c ). λ(e A) + λ(e A c B) + λ(e (A B) c ) = λ(e A) + λ(e A c ) = λ(e); die letzte Gleichheit folgt hierbei aus (19.6) wegen der vorausgesetzten Lebesgue Messbarkeit von A. Zusammen mit (19.9) ergibt sich somit die Gültigkeit von (19.8), so dass A B L n gilt. Hieraus folgt aber auch, dass der Durchschnitt zweier Mengen A, B L n wieder Lebesgue messbar ist, denn aus A, B L n folgt zunächst A c, B c L n wegen Bemerkung 19.11, also auch A c B c L n nach der soeben bewiesenen Aussage und daher A B = ( A c B c) c L n. Schritt 2: Wir zeigen hier, dass für alle abzählbaren Mengen A i L n, die paarweise disjunkt sind, auch deren Vereinigung S := i A i zu dem Mengensystem L n gehört. Seien also A i L n paarweise disjunkt gegeben (i N) und S := i A i. Da die Vereinigung von zwei und somit endlich vielen messbaren Mengen nach Schritt 1 wieder in L n liegt, ist S p := p i=1 A i L n. Wegen (19.7) gilt daher λ(e) λ(e S p ) + λ(e S c p) E R n. Nun ist aber S p S, folglich S c Sp c und daher auch E Sc E Sp c. Die Monotonie des äußeren Lebesgue Maßes liefert deshalb λ(e) λ(e S p ) + λ ( E S c ). (19.10)

14 162 KAPITEL 19. DAS LEBESGUE MASS Nun sind A 1, A 2 disjunkt. Aus (19.9) folgt daher λ ( E (A 1 A 2 ) ) = λ(e A 1 ) + λ(e A 2 ) wegen A 2 A c 1 = A 2. Induktiv ergibt sich hieraus λ(e S p ) = λ(e A 1 ) λ(e A p ). Also erhalten wir aus (19.10) die für alle p N gültige Ungleichung λ(e) p λ(e A i ) + λ(e S c ). i=1 Mit p + ergibt sich hieraus λ(e) λ(e A i ) + λ(e S c ) E R n. (19.11) i=1 Aus ( ) E S = E A i = (E A i ) i=1 i=1 und der σ Subadditivität des äußeren Lebesgue Maßes bekommen wir sofort λ(e S) λ(e A i ). i=1 Gemeinsam mit (19.11) liefert dies λ(e) λ(e S) + λ(e S c ) für alle Teilmengen E R n. Mit (19.7) folgt daher die Messbarkeit der Menge S, so dass hiermit auch die Aussage im Schritt 2 bewiesen ist. Schritt 3: Wir beweisen hier die eigentliche Aussage, dass nämlich für abzählbar viele Mengen A i L n (nicht notwendig paarweise disjunkt) auch deren Vereinigung i A i zu L n gehört. Der Beweis geschieht durch Zurückführung auf die Situation des Schrittes 2 mittels eines mittlerweile bekannten Standardtricks. Seien also A i L n (i N) beliebig gegeben. Definiere dann gewisse Mengen B i (i N) durch B 1 := A 1, B 2 := A 2 \ B 1, B 3 := A 3 \ ( B 1 B 2 ),...,Bi+1 := A i+1 \ ( B 1... B i ),.... Dann sind die Mengen B i allesamt Lebesgue messbar, was man induktiv wie folgt einsieht: Zunächst ist B 1 = A 1 Lebesgue messbar nach Voraussetzung. Sind nun B 1,...,B i schon Lebesgue messbar, so ist das Komplement ( B 1... B i ) c wegen Bemerkung (a) und

15 19.3. DAS LEBESGUE MASS 163 Schritt 1 ebenfalls Lebesgue messbar, woraus sich wegen B i+1 = A i+1 \ ( ) B 1... B i = A i+1 ( ) c B 1... B i sowie Schritt 1 auch die Lebesgue Messbarkeit von B i+1 ergibt. Gemäß Definition ist i B i aber eine paarweise disjunkte Zerlegung der Vereinigungsmenge i A i, so dass wir Schritt 2 anwenden können und A i = B i L n i i erhalten. Wegen des Satzes ist die Menge L n aller Lebesgue messbaren Mengen im R n eine σ Algebra. Insbesondere sind damit abzählbare Durchschnitte und Vereinigungen von Mengen aus L n wieder Lebesgue messbar, ebenso ist auch die Differenz B \A zweier Mengen A, B L n ebenfalls ein Element von L n. Der nächste Satz enthält das zweite Hauptresultat dieses Abschnitts. Satz ( Äußeres Lebesgue Maß ist Maß auf L n ) Die Restriktion des äußeren Lebesgue Maßes λ auf die σ Algebra L n ist ein Maß im Sinne der Definition 19.3, das für quadrierbare Mengen mit dem Jordan Inhalt übereinstimmt. Beweis: Wir haben wegen Lemma nur zu zeigen, dass λ den Eigenschaften eines Maßes genügt. Im Hinblick auf das Lemma 19.7 ist hierfür wiederum nur noch die σ Additivität zu überprüfen. Seien also A i L n (i N) paarweise disjunkte Mengen und S := i=1 A i deren Vereinigung. Die σ Subadditivität des äußeren Lebesgue Maßes zeigt dann λ(s) λ(a i ), so dass wir im Folgenden nur noch die umgekehrte Ungleichung i=1 λ(s) λ(a i ) i=1 verifizieren müssen. Dazu argumentiert man wie im vorigen Beweis und wählt in (19.11) speziell die Menge E := S. Dann folgt λ(s) λ(a i ) i=1 wegen λ(s S c ) = λ( ) = 0. Hiermit ist der Beweis auch schon erbracht. Aufgrund des Satzes ist der Begriff des Lebesgue Maßes insbesondere gerechtfertigt. Außerdem gelten für das Lebesgue Maß λ auf der σ Algebra alle Eigenschaften aus

16 164 KAPITEL 19. DAS LEBESGUE MASS dem Abschnitt Hingegen sprechen wir nur von einem Jordan Inhalt, da µ kein Maß darstellt! Das Mengensystem L n ist zwar nicht gleich der Potenzmenge des R n, es enthält aber alle praktisch relevanten Teilmengen des R n, beispielsweise, wie wir bereits wissen, alle quadrierbaren Mengen. Tatsächlich sind auch alle offenen und alle abgeschlossenen (insbesondere damit auch alle kompakten) Teilmengen des R n in L n. Dies soll im Folgenden noch gezeigt werden. Als Vorbereitung beweisen wir hierfür zunächst das nachstehende Resultat. Lemma Jede (höchstens) abzählbare Vereinigung von Quadern G = i Q i besitzt eine disjunkte Darstellung G = j Q j durch (höchstens) abzählbar viele Quader Q j. Beweis: Die Menge G = i Q i hat offenbar die disjunkte Darstellung G = i K i mit K 1 := Q 1, K 2 := Q 2 \Q 1,..., K p := Q p \(Q 1... Q p 1 ) (p N). Es genügt also zu zeigen, dass jede Menge K p Vereinigung von endlich vielen, paarweise disjunkten Quadern ist. Dies folgt aber unmittelbar aus dem Lemma 16.3 in Kombination mit dem Lemma Das vorstehende Resultat erlaubt nun die Formulierung des nächsten Lemmas. Lemma ( Darstellung offener Mengen durch Quader ) Jede offene Menge O R n besitzt eine Darstellung O = i Q i durch höchstens abzählbare viele, paarweise disjunkte Quader Q i. Beweis: Wir betrachten rationale Quader Q r = [a, b] R n mit Eckpunkten a, b Q n. Da Q abzählbar ist, gibt es nur abzählbare viele rationale Quader. Da zu jedem Punkt x O ein ε > 0 mit B ε (x) O existiert, gibt es auch einen Quader Q r O mit x Q r. Also ist O die Vereinigung aller in O enthaltenen rationalen Quader. Die Behauptung folgt daher unmittelbar aus dem Lemma Korollar Alle offenen, alle abgeschlossenen und alle kompakten Teilmengen des R n gehören zu L n. Beweis: Sei O R n eine offene Menge. Wegen Lemma existieren dann höchstens abzählbar viele und paarweise disjunkte Quader Q i R n mit O = i Q i. Wegen Q i L n für alle i N folgt dann O L n, denn aufgrund des Satzes ist L n eine σ Algebra.

17 19.4. CHARAKTERISIERUNGEN DES LEBESGUE MASSES 165 Sei nun A R n eine abgeschlossene Menge. Dann ist A c offen und somit A c L n nach dem gerade beweisenen Teil. Also ist A = (A c ) c L n, wobei wir erneut ausgenutzt haben, dass L n eine σ Algebra ist. Ist schließlich K R n eine kompakte Teilmenge, so ist K insbesondere abgeschlossen und somit K L n Charakterisierungen des Lebesgue Maßes Zunächst geben wir eine alternative Definition des äußeren Lebesgue Maßes an. Satz ( Charakterisierung des äußeren Lebesgue Maßes ) Für eine beliebige Menge A R n ist λ(a) = infλ(o) O R n offen mit A O. Beweis: Für jede offene Menge O R n mit A O gilt λ(a) λ(o) aufgrund der Monotonie des äußeren Lebesgue Maßes. Hieraus folgt λ(a) infλ(o) O R n offen mit A O. Zum Nachweis der umgekehrten Ungleichung sei ε > 0 beliebig gegeben. Gemäß Definition des äußeren Lebesgue Maßes existieren dann Quader Q i R n mit A i Q i und i Q i λ(a) + ε. Wie im Beweis von Lemma 19.7 (f) bilden wir etwas größere offene Quader Q i Q i mit µ( Q i ) µ(q i ) + ε i, wobei i ε i = ε > 0 gelte. Für die spezielle offene Menge O := Q i i A gilt dann aufgrund der σ Subadditivität des äußeren Lebesgue Maßes λ(o) i λ( Q i ) i ( λ(qi ) + ε i ) λ(a) + 2ε. Da ε > 0 beliebig gewählt war, ergibt sich hieraus λ(a) infλ(o) O R n offen mit A O. Insgesamt erhalten wir die behauptete Gleichheit. Mittels des Satzes sind wir in der Lage, die Messbarkeit einer Menge zu charakterisieren. Zu diesem Zweck führen wir noch zwei Begriffsbildungen ein. Definition (a) Eine Menge H R n heißt G δ Menge, wenn es abzählbar viele offene Mengen O i R n gibt mit H = i=1 O i. (b) Eine Menge L R n heißt F σ Menge, wenn es abzählbar viele abgeschlossene Mengen A i R n gibt mit L = i=1 A i.

18 166 KAPITEL 19. DAS LEBESGUE MASS Da jede offene und jede abgeschlossene Menge Lebesgue messbar ist sowie die Vereinigung und der Durchschnitt von abzählbar vielen Lebesgue messbaren Mengen wieder eine Lebesgue messbare Menge liefert, erhalten wir aus der Definition sofort die nachfolgende Feststellung. Bemerkung Jede G δ Menge H und jede F σ Menge L ist Lebesgue messbar. Nach diesen Vorbereitungen kommen wir nun zu unserem (ersten) Hauptresultat, welches die Lebesgue Messbarkeit einer gegebenen Menge charakterisiert. Satz ( Charakterisierung Lebesgue messbar durch offene Mengen ) Für eine Menge A R n sind die folgenden Aussagen äquivalent: (a) A ist Lebesgue messbar. (b) Für alle ε > 0 existiert eine offene Menge O A mit λ(o \ A) < ε. (c) Es gibt eine G δ Menge H A mit λ(h \ A) = 0. Beweis: (a) = (b): Seien A Lebesgue messbar und ε > 0 beliebig gegeben. Wir zerlegen ε wieder in der Gestalt ε = k ε k mit ε k > 0, etwa ε k = 1 ε. Ferner schreiben wir A = 2 k k N A k mit Lebesgue messbaren und beschränkten Teilmengen A k, z.b. A k := A B k (0), wobei B k (0) die offene Kugelumgebung vom Radius k um den Nullpunkt bezeichnet (wobei A k wegen Korollar in der Tat L messbar ist). Wegen Satz existiert zu jedem A k eine offene Menge O k R n mit A k O k und λ(o k \ A k ) = λ(o k ) λ(a k ) < ε k, vergleiche Lemma 19.4 und beachte, dass L n eine σ Algebra ist. Dann ist die Menge O := k N O k offen mit O = k N O k k N A k = A. Wegen O \ A k N O k \ A k folgt aus der Monotonie des Lebesgue Maßes somit λ(o \ A) λ( k N O k \ A k ) k N λ(o k \ A k ) < k N ε k = ε, so dass die Aussage (b) erfüllt ist. (b) = (c): Nach Voraussetzung existiert zu ε := 1 k (k N) eine offene Menge O k A mit λ(o k \ A) < 1 k. Definiere dann H := k N O k. Dann ist H eine G δ Menge mit H A und λ(h \ A) λ(o k \ A) 1 k für alle k N, also λ(h \ A) = 0, so dass die Aussage (c) gilt. (c) = (a): Sei H eine G δ Menge mit λ(h \ A) = 0. Als Nullmenge ist H \ A dann Lebesgue messbar. Wegen Bemerkung ist auch die G δ Menge H Lebesgue messbar. Dann ist wegen Lemma 19.2 (e) aber auch A = H \ (H \ A) Lebesgue messbar (beachte

19 19.4. CHARAKTERISIERUNGEN DES LEBESGUE MASSES 167 hierbei erneut, dass L n eine σ Algebra ist). Durch Komplementbildung erhalten wir eine ähnliche Charakterisierung von Lebesgue messbaren Mengen mittels abgeschlossener bzw. F σ Mengen. Satz ( Charakterisierung Lebesgue messbar durch abgeschlossene Mengen ) Für eine Menge A R n sind die folgenden Aussagen äquivalent: (a) A ist Lebesgue messbar. (b) Für alle ε > 0 existiert eine abgeschlossene Menge F A mit λ(a \ F) < ε. (c) Es gibt eine F σ Menge L A mit λ(a \ L) = 0. Beweis: Der Beweis geschieht durch Zurückführung auf die schon bekannten Charakterisierungen Lebesgue messbarer Mengen aus dem vorigen Resultat. (a) (b) : Es gelten die folgenden Äquivalenzen: A ist Lebesgue messbar Bem (a) Satz A c := R n \ A ist Lebesgue messbar ε > 0 offene Menge O A c mit λ(o \ A c ) < ε F:=O c ε > 0 abgeschlossene Menge F A mit λ(a \ F) < ε. Hierbei haben wir die Definition von F als Komplement der offenen Menge O sowie die Identität O \ A c = A \ F verwendet, die sich wie folgt einsehen lässt: x O \ A c x O und x / A c x O und x A x / O c und x A x A und x / F x A \ F. Damit ist die Äquivalenz der beiden Aussagen (a) und (b) gezeigt. (a) (c) : Es gelten die folgenden Äquivalenzen: A ist Lebesgue messbar Bem (a) Satz A c ist Lebesgue messbar G δ Menge H A c mit λ(h \ A c ) = 0, etwa H = i NO i mit gewissen offenen Mengen O i. L:=H c F σ Menge L A mit λ(a \ L) = 0.

20 168 KAPITEL 19. DAS LEBESGUE MASS Bei der letzten Äquivalenz gilt dabei ( L = H c = i N O i)c = i N so dass L in der Tat eine F σ Menge darstellt. Ferner ging in die letzte Äquivalenz noch die Identität H \ A c = A \ L ein, die man wie folgt einsehen kann: O c i, x H \ A c x H und x / A c x H und x A x / H c und x A x A und x / L x A \ L, womit der Satz endgültig bewiesen ist Messbare Funktionen In den nachfolgenden Untersuchungen bezeichnen wir mit R := R ± weiterhin die um die beiden Punkte und + erweiterte reelle Zahlengerade. Definition Ist A R n messbar, so heißt eine Funktion f : A R messbar (auf A), wenn die Mengen f(t) > c für alle reellen Zahlen c R messbare Teilmengen des R n sind. Man beachte, dass wir in der Definition ausdrücklich auch solche Funktionen zulassen, die nicht notwendig reellwertig sind, sondern auch die Funktionswerte + und annehmen können. Eine Charakterisierung der messbaren Funktionen wird durch das folgende Resultat angegeben. Lemma ( Charakterisierung messbarer Funktionen ) Seien A R n messbar und f : A R eine gegebene Funktion. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: (a) Die Mengen f(t) > c sind messbar für alle c R. (b) Die Mengen f(t) c sind messbar für alle c R. (c) Die Mengen f(t) < c sind messbar für alle c R.

21 19.5. MESSBARE FUNKTIONEN 169 (d) Die Mengen f(t) c sind messbar für alle c R. Beweis: Offenbar gelten die folgenden Gleichungen: f(t) > c = 1 f(t) c + c R, (19.12) k k=1 f(t) c = A \ f(t) > c c R, (19.13) f(t) < c = 1 f(t) c c R, (19.14) k k=1 f(t) c = A \ f(t) < c c R. (19.15) Nach diesen vorbereitenden Identitäten kommen wir nun zum eigentlichen Beweis. (a) = (b): Sei f(t) > c messbar für alle c R. Gemäß Lemma 19.2 (e) ist dann auch die Differenz A \ f(t) > c eine messbare Menge. Wegen (19.13) ist f(t) c daher für alle c R messbar. (b) = (c): Sei f(t) c messbar für alle c R. Dann sind insbesondere die Mengen f(t) c 1 k für alle k N messbar. Wegen Definition 19.1 ist daher auch die abzählbare Vereinigung k=1 f(t) c 1 k messbar. Aus (19.14) folgt nun die Behauptung (c). (c) = (d): Sei f(t) < c messbar für alle c R. Wegen Lemma 19.2 (e) ist dann auch die Differenz A \ f(t) < c für alle c R messbar, so dass die Aussage (d) aus (19.15) folgt. (d) = (a): Sei f(t) c für alle c R messbar. Dann sind insbesondere auch die Mengen f(t) c + 1 k für alle k N messbar. Wegen Definition 19.1 ist somit auch deren Vereinigung k=1 f(t) c + 1 eine messbare Menge. Die Aussage (a) k folgt daher aus der Identität (19.12). Für den Nachweis der Messbarkeit von einigen weiteren Funktionen stellen wir noch das nachstehende Resultat zur Verfügung. Lemma ( Beispiele messbarer Mengen durch messbare Funktionen ) Seien A R n messbar sowie f, g : A R messbare Funktionen. Dann ist auch jede der folgenden Mengen messbar: f < g := f(t) < g(t), f g := f(t) g(t), f = g := f(t) = g(t), f g := f(t) g(t).

22 170 KAPITEL 19. DAS LEBESGUE MASS Beweis: Da Q dicht in R liegt, ergibt sich die mengentheoretische Identität f(t) < g(t) = f(t) < r r < g(t). r Q Da f, g nach Voraussetzung messbar sind, folgt aus dem Lemma die Messbarkeit der beiden Mengen f(t) < r und r < g(t) für alle r Q. Wegen Lemma 19.2 (d) ist dann auch deren Durchschnitt messbar. Gemäß Definition 19.1 (c) ist somit auch die abzählbare Vereinigung über alle r Q messbar. Dies beweist die Messbarkeit der ersten Menge aus der Behauptung. Wegen f(t) g(t) = A \ f(t) > g(t) folgt hieraus wegen Lemma 19.2 (e) bereits die Messbarkeit der zweiten Menge. Dies wiederum impliziert die Messbarkeit der dritten Menge wegen f(t) = g(t) = f(t) g(t) f(t) g(t) und Lemma 19.2 (d). Schließlich folgt hieraus die Messbarkeit der vierten Menge wegen f(t) g(t) = A \ f(t) = g(t) und Lemma 19.2 (e). Die wichtigsten Eigenschaften messbarer Funktionen sind in dem folgenden Satz zusammengefasst. Satz ( Summe, Produkt, Limes etc. messbarer Funktionen sind messbar ) Sei A R n messbar. Dann gelten: (a) Ist f : A R messbar, so sind auch die Funktionen f, f + := max0, f, f := max0, f und f 2 messbar. (b) Sind f, g : A R messbar, so sind auch die Funktionen f + g und f g messbar. Im Falle g(t) 0 für alle ist auch f/g messbar. (c) Sind f k : A R messbare Funktionen für alle k N, so sind auch die Funktionen sup k N f k, inf k N f k, lim sup k f k und lim inf k f k messbar. Insbesondere ist lim k f k messbar, sofern dieser punktweise Grenzwert existiert. Beweis: (a), (b) Für jedes c R gilt die Identität f(t) < c = f(t) < c f(t) > c. Da f nach Voraussetzung messbar ist, sind die beiden Mengen auf der rechten Seite nach Definition bzw. Lemma messbar. Daher ist auch deren Durchschnitt messbar und somit f eine messbare Funktion.

23 19.5. MESSBARE FUNKTIONEN 171 Ist f messbar, so ist auch jede der Mengen f 2 (t) c = f(t) c f(t) c messbar für jedes c 0. Die Mengen f 2 (t) c sind aber auch messbar für jedes c < 0 (da es sich dann um die leere Menge handelt), also folgt insgesamt die Messbarkeit der Abbildung f 2. Ebenfalls aus der Definition der Messbarkeit ergibt sich sofort, dass mit f auch die Funktionen αf sowie f + γ für jedes α, γ R messbar sind. Sind daher f, g messbar, so sind die Mengen f(t) + g(t) > c = f(t) > c g(t) wegen Lemma für alle c R messbar. Aus der Definition folgt daher die Messbarkeit von f + g. Dies wiederum impliziert die Messbarkeit von f + und f wegen f + = f + f 2 und f = f f 2 und der schon bewiesenen Messbarkeit von f. Ebenso folgt nun die Messbarkeit von f g aus der Darstellung f g = 1 ( f + g 2 f g 2) 4 und den schon bewiesenen Resultaten. Zum Nachweis der Messbarkeit von f/g daher lediglich zu zeigen, dass mit g auch 1/g messbar ist. Dies folgt aber unmittelbar aus einer Aufgabe. (c) Betrachte die Abbildung g(t) := sup k N f k (t). Dann gilt g(t) > c = fk (t) > c c R, weshalb die Messbarkeit aller f k die Messbarkeit von g impliziert. Wegen k=1 inf f k(t) = sup f k (t) k N ist dann auch inf k N f k eine messbare Funktion. Definitionsgemäß gilt außerdem k N lim sup f k = inf k lim inf f k = sup k sup f m k N m k k N inf f m, m k und woraus sich aufgrund der schon bewiesenen Aussagen von Teil (c) die Messbarkeit der Abbildungen lim inf k f k und lim sup k f k ergibt. Dies wiederum liefert die Messbarkeit der Grenzfunktion lim k f k, sofern dieser punktweise Grenzwert existiert.

24 172 KAPITEL 19. DAS LEBESGUE MASS Im Satz (b) könnte man auch Funktionen f, g : A R zulassen, müsste dann in der Definition von f+g, f g und f/g allerdings darauf achten, dass etwa die Fälle, 0 ± und ± / ± nicht auftreten. Außerdem müssten in diesem Fall die Beweise zum Teil etwas anders geführt werden. Aufgrund des folgenden Resultates ist insbesondere jede stetige Funktion messbar. Wegen der geforderten Stetigkeit wird dabei lediglich eine reellwertige Abbildung betrachtet, da wir für Funktionen mit Werten in R keinen Stetigkeitsbegriff eingeführt haben. Lemma ( Stetige Funktionen sind messbar ) Sei f : R n R stetig. Dann ist f messbar. Beweis: Wir erinnern zunächst daran, dass die Menge A := R n messbar ist, der Begriff einer messbaren Funktion somit also Sinn macht. Betrachte nun die offene Menge O := (c, + ) R für ein beliebiges c R. Wegen der vorausgesetzten Stetigkeit von f ist das Urbild f 1 (O) wieder offen im R n. Als offene Menge ist f 1 (O) aber messbar aufgrund des Korollars Nun ist aber f 1 (O) = t R n f(t) > c. Die Behauptung folgt daher unmittelbar aus der Definition Zur Formulierung des nächsten Resultates bezeichnen wir mit M(A) := f : A R f ist messbar die Menge aller messbaren Funktionen auf einer gegebenen messbaren Menge A R n. Lemma ( Messbare Funktionen auf messbaren Teilmengen etc. ) (a) Seien A R n messbar, f : A R messbar und B A messbar. Dann ist auch f M(B). (b) Ist A k R n eine (eventuell auch nur endliche) Folge von messbaren Mengen und A := k N A k sowie f M(A k ) für alle k N, so ist f M(A). (c) Sind A messbar, f, g : A R gegebene Funktionen mit f M(A) und f = g fast überall auf A, so ist auch g M(A). Beweis: (a) Nach Voraussetzung ist f M(A), also f(t) > c für alle c R eine messbare Teilmenge des R n. Als Durchschnitt zweier messbarer Mengen ist t B f(t) > c = f(t) > c B dann ebenfalls eine messbare Menge für alle c R. Definitionsgemäß bedeutet dies gerade f M(B). (b) Für ein beliebiges c R haben wir f(t) > c = k f(t) > c. k N

25 19.5. MESSBARE FUNKTIONEN 173 Dabei ist jede der Mengen k f(t) > c nach Voraussetzung messbar, also auch deren Vereinigung. Dies impliziert aber f M(A). (c) Nach Voraussetzung existiert eine Lebesgue Nullmenge N R n mit f(t) = g(t) für alle \ N. Da N als Nullmenge insbesondere messbar ist, vergleiche die Bemerkung 19.11, handelt es sich bei der Differenz B := A\N wegen Lemma 19.2 ebenfalls um eine messbare Menge. Nach Teil (a) ist somit f M(B) und damit auch g M(B). Da auf einer Nullmenge aber jede Funktion messbar ist (denn die zugehörigen Mengen t N f(t) > c sind als Teilmengen der Nullmenge N selbst Nullmengen und daher insbesondere messbar), gilt auch g M(N). Mit Teil (b) folgt nun g M(A) wegen A = B N.