Maßtheorie und Integralrechnung mehrerer Variablen

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1 Maßtheorie und Integralrechnung mehrerer Variablen Jan Swoboda 29. März 2014 Inhaltsverzeichnis Einleitung 1 1 Maßtheorie Messbare Räume und messbare Abbildungen Maße und Maßräume Konstruktion von Maßen Prämaße Fortsetzung eines Prämaßes zu einem Maß Lebesgue-Borel-Maß Bildmaße Integrationstheorie Messbare numerische Funktionen Integral von Elementarfunktionen Integral nichtnegativer messbarer Funktionen Integrierbarkeit Fast überall bestehende Eigenschaften Die Räume L p (µ) Konvergenzsätze Produktmaße - Satz von Fubini Transformationssatz Differentialformen und der Satz von Stokes Differenzierbare Mannigfaltigkeiten Differentialformen Zerlegung der Eins Orientierungen Mannigfaltigkeiten mit Rand Der Integralsatz von Stokes Integralsätze der klassischen Vektoranalysis Fourieranalysis Fourierreihen (Fourieranalysis auf T) Konvergenz in L p (T) und der Satz von Plancharel Fejér-Mittel Fourieranalysis auf R n

2 Einleitung Das vorliegende Skriptum ist aus der Vorlesung Maßtheorie und Integralrechnung mehrerer Variablen entstanden, die ich im Wintersemester 2012/13 an der LMU München gehalten habe. Eine erste Version hiervon wurde von den Studenten Kilian Lieret und Marcel Schaub erstellt, denen ich an dieser Stelle für ihre Mühe danken möchte. Für vielfältige Hinweise, Anregungen und Verbesserungsvorschläge bin ich Herrn Dipl.-Math. Robert Schmidt, der als Assistent die Vorlesung betreut hat, zu großem Dank verpflichtet. Schließlich gilt mein herzlicher Dank Herrn Privatdozent Dr. Hartmut Weiß für die freundliche Überlassung der Aufzeichnungen zu seiner Vorlesung Analysis III. Stanford, den 23. Mai 2013 Jan Swoboda 2

3 1 Maßtheorie Grundlegende Fragestellung Gegeben sei eine beliebige Menge A R n. Ist es möglich, A ein n-dimensionales Volumen µ(a) [0, ] zuzuordnen? Vernünftige Forderungen an einen solchen Inhalt µ: P(R n ) [0, ]: (i) endliche Additivität: Für A, B R n, A B = ist µ(a B) = µ(a) + µ(b). (ii) Bewegungsinvarianz 1 : Sei ϕ: R n R n eine Bewegung, d.h. ϕ(x) = T x + b, mit T O(n) 2, b R n. Dann ist µ(ϕ(a)) = µ(a) für alle A R n. (iii) Normiertheit: µ([0, 1] n ) = 1. Maßproblem Gibt es ein µ: P(R n ) [0, ] mit den Eigenschaften (i)-(iii)? Hausdorff hat 1914 gezeigt, dass es ein solches µ für n 3 nicht geben kann. Banach konnte 1923 die Existenz für n = 1, 2 nachweisen, allerdings ist sie nicht eindeutig. Eine Verschärfung des Inhaltsproblems macht die Ersetzung von (i) zu (i ) nötig: (i ) σ-additivität: Seien A j R n, j N, paarweise disjunkt, so ist µ ( ) A j = µ(a j ). j N Dieses Problem entwickelte sich zum Maßproblem: Gibt es ein Maß µ: P(R n ) [0, ] mit (i ), (ii), (iii)? Die Antwort von Vitali 1905 lautet nein für n = 1. Banach und Tarski zeigten 1924 für beliebiges n: Satz 1.1 Seien n 1, A, B R n mit Å, B. Dann existieren C j R n und Bewegungen ϕ j : R n R n, j N, sodass A = j N C j und B = j N ϕ j (C j ). Konsequenz Versuche, µ: A [0, ] mit Eigenschaften (i ), (ii), (iii) nur für geeignete Teilmengensysteme A P(R n ) zu konstruieren. 1.1 Messbare Räume und messbare Abbildungen Im folgenden sei X eine Menge und P(X) die Potenzmenge von X. Definition 1.2 Ein Teilmengensystem A P(X) heißt σ-algebra über X, falls 1 Eine Abbildung ϕ: R n R n heißt (euklidische) Isometrie, falls gilt: d(ϕ(x), ϕ(y)) = d(x, y) x, y R n. Dabei ist d(x, y) := ` P n i=1 xi yi der euklidische Abstand zwischen x und y. Man kann zeigen (Übung): ϕ ist eine Isometrie genau dann, wenn ϕ eine Bewegung wie in (ii) ist. 2 Hierbei bezeichnet die orthogonale Gruppe. O(n) = {g R n n gg = 1} = {g R n n gv, gw = v, w v, w R n } 3

4 (i) X A; (ii) A A = A c := X \ A A; (iii) sind A j A, j N, so folgt j N A j A. Für eine σ-algebra A über X heißt das Paar (X, A) messbarer Raum, die Mengen A A messbare Mengen. Beispiel. Sei X eine Menge. (1) A = P(X) ist eine σ-algebra. (2) A = {, X} ist eine σ-algebra. Erinnerung: Regeln von De Morgan. Für jede Familie A i, i I (I beliebige Indexmenge), ist ( ) c A i = A c ( ) c i, A i = A c i. i I Lemma 1.3 Sei A P(X) eine σ-algebra. Dann gilt: (i) A; (ii) A, B A = A \ B A; (iii) A j A, j N = j N A j A. i I i I i I Beweis. (i) Folgt wegen = X c A aus Definition 1.2. (ii) Es ist A \ B = A B c = (A c B) c A. (iii) Es gilt j N A j = ( j N Ac j )c A. Lemma 1.4 Seien A i, i I (I beliebige Indexmenge), σ-algebren über X. Dann ist auch A := i I A i = {A X A A i i I} eine σ-algebra über X. Beweis. Übung. Definition 1.5 Für ein Teilmengensystem S P(X) heißt A σ (S) := A die von S erzeugte σ-algebra. S A P(X), A σ-algebra Bemerkung. (i) A σ (S) ist eine σ-algebra (die kleinste σ-algebra, die S enthält). (ii) S ist eine σ-algebra genau dann, wenn A σ (S) = S gilt. (iii) S T = A σ (S) A σ (T ). (iv) S = { } = A σ (S) = {, X}. (v) S = {A} = A σ (S) = {, A, A c, X}. Erinnerung: Ein Teilmengensystem T P(X) heißt Topologie (auf X), falls gilt: (i), X T ; 4

5 (ii) für U i T, i I (I beliebige Indexmenge), gilt: i I U i T ; (iii) für U, V T gilt U V T. Das Paar (X, T ) heißt topologischer Raum, die Mengen U T heißen offen. Definition 1.6 Sei (X, T ) ein topologischer Raum. Die von T erzeugte σ-algebra B(X) := A σ (T ) heißt Borelsche σ-algebra, die Mengen in B(X) heißen Borel-messbar. Im Falle des topologischen Raumes (R n, T std ) schreiben wir auch B n := B(R n ). Für eine Abbildung f : X X und A P(X ) bezeichne f 1 (A ) := {f 1 (A ) A A }. Ist A eine σ-algebra (auf X ), so ist f 1 (A ) eine σ-algebra (auf X): das Urbild von S unter f. Ist umgekehrt A P(X) eine σ-algebra, so auch f (A) := {A X f 1 (A ) A} P(X ) das direkte Bild von A unter f. Beweis: Übung. Definition 1.7 Seien (X, A) und (X, A ) messbare Räume. Eine Abbildung f : X X heißt (A, A )-messbar, falls für alle A A gilt f 1 (A ) A (d.h. f heißt messbar genau dann, wenn Urbilder messbarer Mengen messbar sind). Lemma 1.8 (i) Seien (X, A) und (X, A ) messbare Räume. Ist A = A σ (S ) für ein Teilmengensystem S P(X ), so ist f : X X bereits dann (A, A )-messbar, falls f 1 (S ) A. (ii) Sind (X, T ), (X, T ) topologische Räume und f : X X stetig, so ist f (B(X), B(X ))- messbar (man sagt dann: f sei Borel-messbar). Beweis. Übung. 1.2 Maße und Maßräume Definition 1.9 Sei S P(X) ein Teilmengensystem mit S. Eine Abbildung µ: S [0, ] mit µ( ) = 0 heißt eine Mengenfunktion. Eine Mengenfunktion µ auf S heißt (i) subadditiv, falls aus A, B S, A B S folgt: µ(a B) µ(a) + µ(b); (ii) additiv, falls gilt: A, B S, A B S, A B = = µ(a B) = µ(a) + µ(b); (iii) σ-subadditiv, falls gilt: sind A j S, j N, j N A j S, so folgt µ ( ) A j µ(a j ). j N (iv) σ-additiv, falls gilt: sind A j S, j N, paarweise disjunkt und j N A j S, so folgt j N µ ( ) A j = µ(a j ). j N j N 5

6 Weiterhin heißt die Mengenfunktion µ endlich, falls µ(a) < für alle A S ist, und σ-endlich, falls A j S, j N, existieren mit µ(a j ) < und X = j N A j. Bemerkung. Ist µ σ-subadditiv (σ-additiv), so ist µ bereits subadditiv (additiv). Dies folgt wegen S und der Annahme µ( ) = 0. Definition 1.10 Sei (X, A) ein messbarer Raum. Eine σ-additive Mengenfunktion µ: A [0, ] heißt Maß auf (X, A). Das Tripel (X, A, µ) heißt Maßraum. Ferner nennt man µ ein Wahrscheinlichkeitsmaß, falls µ(x) = 1 ist. Beispiel. Sei X eine Menge. (1) Für x X sei δ x (A) := { 0, x / A, 1, x A. Dies definiert ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf P(X), das Dirac-Maß (in x). (2) Die Mengenfunktion { #A = A, A endlich, µ: P(X) [0, ], µ(a) :=, A unendlich. ist ein Maß auf (X, P(X)). Es ist endlich genau dann, wenn X endlich ist, und σ-endlich genau dann, wenn X abzählbar ist. Lemma 1.11 Sei (X, A, µ) ein Maßraum. Dann gilt: (i) Seien A, B A, dann ist µ(a) + µ(b) = µ(a B) + µ(a B). (ii) Für A, B A, A B ist µ(a) µ(b) ( Isotonie). (iii) Seien A, B A, A B, µ(a) <. Dann gilt µ(b\a) = µ(b) µ(a) ( Subtraktivität). (iv) Für jede Folge A j, j N, in A gilt µ ( ) A j µ(a j ) (σ-subadditivität). j N j N Beweis. (i) Aus der endlichen Additivität folgt: µ(a \ B) + µ(b \ A) + µ(a B) = µ(a B), µ(a \ B) + µ(b) = µ(a B) µ(a \ B) = µ(a B) µ(b), µ(b \ A) + µ(a) = µ(a B) µ(b \ A) = µ(a B) µ(a). Durch Kombination der Gleichungen folgt: µ(a B) µ(b) + µ(a B) µ(a) + µ(a B) = µ(a B) µ(a) + µ(b) = µ(a B) + µ(a B). (ii) Das folgt aus (i), denn für A B ist A B = B und weiter: µ(b \ A) + µ(a) = µ(a B) = µ(a) = µ(b) µ(b \ A) µ(b). (iii) Wegen A B ist (B \ A) A = B und weiter nach (i): (iv) Übung. µ(b \ A) = µ((b \ A) A) + µ((b \ A) A) µ(a) = µ(b) µ(a). 6

7 1.3 Konstruktion von Maßen Prämaße Ziel: Wir möchten auf einem Teilmengensystem S P(X) eine Mengenfunktion geeignet vorschreiben und diese dann zu einem Maß auf der von S erzeugten σ-algebra A σ (S) fortsetzen. Definition 1.12 Ein Teilmengensystem R P(X) heißt Ring über X, falls (i) R; (ii) A, B R = A \ B R; (iii) A, B R = A B R. Bemerkung. (i) Jede σ-algebra ist gleichzeitig ein Ring. (ii) A, B R = A B R, denn A B = A \ (A \ B). }{{} R Definition 1.13 Sei R P(X) ein Ring. Eine Mengenfunktion µ: R [0, ] heißt Prämaß, falls µ σ-additiv ist, d.h. für A j R, j N, paarweise disjunkt mit j N A j R gilt: µ ( ) A j = µ(a j ). j N Falls µ nur additiv ist, so nennen wir µ einen Inhalt. Sei A 1 A 2 X eine aufsteigende Folge von Mengen in X. Wir schreiben A j A, falls A = j N A j. Analog schreiben wir A j A für eine absteigende Folge A 1 A 2, falls A = j N A j ist. Lemma 1.14 (Charakterisierung des Prämaßes) Für einen Inhalt µ auf einem Ring R betrachte man folgende Eigenschaften: (i) µ ist ein Prämaß. (ii) µ ist stetig von unten: Für jede aufsteigende Folge A j, j N, in R mit A j A R gilt µ(a) = lim j µ(a j ). (iii) µ ist stetig von oben: Für jede absteigende Folge A j R, j N, mit A j A R und µ(a j ) < für alle j N gilt: µ(a) = lim j µ(a j ). (iv) µ ist -stetig: Für jede absteigende Folge A j R, j N, mit µ(a j ) < für alle j N und A j gilt: lim j µ(a j) = 0. Dann gilt: (i) (ii) = (iii) (iv). Für einen endlichen Inhalt µ auf R (d.h. µ(a) < für alle A R) folgt sogar 7

8 d.h. in diesem Fall sind (i)-(iv) äquivalent. (iii) = (ii), Beweis. (i) (ii) Wir setzen A 0 :=. Dann sind die Mengen B j := A j \ A j 1, j N, paarweise disjunkt und in R enthalten. Für alle n N gilt A n = B 1 B n und A = j N B j. Somit folgt aus der σ-additivität von µ: µ(a) = µ(b j ) = lim n n µ(b j ) = lim n µ(a n). (ii) (i) Seien A j R, j N, paarweise disjunkt mit A = j N A j R. Mit B n := A 1 A n gilt B n A und daher µ(a) = lim n µ(b n ). Da µ endlich-additiv ist, folgt µ(b n ) = µ(a 1 ) + + µ(a n ), mithin µ(a) = µ(a j ), wie behauptet. (ii) (iii) Aus A j A folgt (A 1 \ A j ) (A 1 \ A) und alle auftretenden Mengen liegen in R. Nach (ii) und aufgrund der Subtraktivität (µ(a j ) < ) ist somit µ(a 1 \ A) = lim j µ(a 1 \ A j ) = lim j (µ(a 1 ) µ(a j )) = µ(a 1 ) lim j µ(a j ). Damit folgt wegen µ(a 1 \ A) = µ(a 1 ) µ(a) die Behauptung. (iii) (iv) ist klar, denn (iv) ist ein Spezialfall von (iii). (iv) (iii) Aus A j A folgt (A j \ A). Aus der Isotonie folgt Wegen (iv) gilt dann µ(a j \ A) µ(a j ) < und µ(a) µ(a j ) <. Da µ(a j \ A) = µ(a j ) µ(a) ist, zeigt dies lim µ(a j \ A) = 0. j lim µ(a j) = µ(a), j wie behauptet. Es sei nun µ ein endlicher Inhalt. Wir zeigen (iv) (ii). Sei A j R, j N, A j A R. Dann folgt (A \ A j ). Da µ endlich ist, folgt hieraus 0 = lim j µ(a \ A j ) = µ(a) lim j µ(a j ), und es folgt (ii). 8

9 Im folgenden sei X = R n. Für a = (a 1,..., a n ), b = (b 1,..., b n ) R n verwenden wir die Konvention a < b : a i < b i für alle 1 i n, a b : a i b i für alle 1 i n. Wir nennen die Mengen [a, b) := {x R n a x < b} (nach rechts halboffene) Intervalle im R n. Beachte: [a, b) nur, falls a < b ist. Falls a b ist, nennt man die nichtnegative Zahl (b 1 a 1 )(b 2 a 2 ) (b n a n ) den n-dimensionalen Elementarinhalt von [a, b). Die Menge aller nach rechts halboffenen Intervalle in R n bezeichnen wir mit I n, und mit F n das System der endlichen Vereinigung von Intervallen in I n. Die Elemente von F n heißen n-dimensionale Figuren. Lemma 1.15 Für je zwei Intervalle I, J I n gilt I J I n sowie J \ I F n. Jede Figur ist die Vereinigung endlich vieler, paarweise disjunkter Intervalle. Beweis. Übung. Satz 1.16 F n ist ein Ring über R n. Beweis. Noch zu zeigen: A, B F n = A \ B F n. Definitionsgemäß existieren Intervalle I 1,..., I m, I 1,..., I n mit m n A = I j, B = I k. Damit ist A \ B = k=1 m ( n ) I j \ I k und es bleibt zu zeigen, dass jede der Mengen n k=1 I j \ I k eine Figur ist. Dies folgt, wenn gezeigt ist, dass der Schnitt zweier Figuren C = l k=1 I j, D = l k=1 I k eine Figur ist. Es gilt C D = 1 j l 1 k l woraus die Behauptung aus Lemma 1.15 folgt. (I j I k ) Satz 1.17 Es existiert genau ein Inhalt λ auf F n derart, dass λ(i) für jedes I I n gleich dem Elementarinhalt von I ist. Beweis. Nach Lemma 1.15 besitzt jede Figur A F n eine Darstellung A = m I j mit paarweise disjunkten Intervallen I j I n. Eindeutigkeit folgt damit aus der Additivität des Inhalts. Es bleibt die Existenz von λ zu zeigen. 9

10 Schritt 1 Sei I I n. Zerlegt man I durch endlich viele Hyperebenen, die parallel zu einer der Koordinatenhyperebenen sind, in paarweise disjunkte Intervalle I 1,..., I k, so folgt aus der Definition des Elementarinhalts, dass λ(i) = λ(i 1 ) + + λ(i k ). Schritt 2 Seien F = I 1 I k = I 1 I l zwei Darstellungen von F F n als Vereinigung paarweise disjunkter Intervalle. Dann gilt: Für jedes 1 j k ist nämlich λ(i 1 ) + + λ(i k ) = λ(i 1) + + λ(i l ). (1) I j = l (I j I i). Somit (weil die I j I i paarweise disjunkte Intervalls sind) folgt aus Schritt 1, dass i=1 λ(i j ) = l λ(i j I i). i=1 Analog (durch Vertauschen der Rollen von i und j) folgt für jedes 1 i l, dass λ(i i) = Beide Gleichungen zusammen liefern (1). k λ(i i I j ). Schritt 3 Durch die Festsetzung λ(f ) := k k=1 λ(i j) für eine Figur F = I 1 I k F n wie oben wird λ nach Schritt 2 zu einer wohldefinierten, additiven Mengenfunktion auf F n fortgesetzt. Satz 1.18 Der Inhalt λ auf F n ist ein Prämaß. Beweis. Da der Inhalt λ endlich ist, genügt es nach Lemma 1.14, die -Stetigkeit von λ nachzuweisen. Wir führen den Beweis durch Kontraposition. Sei F 1 F 2 eine absteigende Folge von Figuren im F n. Es wird nun gezeigt, dass aus der Annahme δ := lim j λ(f j ) = lim inf j λ(f j) > 0 folgt, dass F j. (2) j N Da jede Figur F j F n als endliche Vereinigung paarweiser disjunkter Intervalle I i I n darstellbar ist, findet man durch geeignetes Verkleinern der I i eine Figur G j F n mit G j F j und λ(f j ) λ(g j ) 2 j δ. 10

11 Das Entscheidende and dieser Verkleinerung ist, dass wir nun mit abgeschlossenen Mengen G j arbeiten können. Setze H j := G 1 G j F n. Für alle j N ist dann H j+1 H j und H j G j F j und damit auch F j. (3) j N H j j N Es genügt also zu zeigen, dass der Schnitt der H j nicht leer ist, um (2) zu erhalten. Da F j beschränkt ist, ist H j kompakt 1, also ist H 1 H 2 eine absteigende Folge kompakter Mengen. Angenommen, es ist H j für alle j N. Nach bekannten Aussagen aus der Analysis 2 folgt dann j N H j, also wegen (3) auch j N F j, wie behauptet. Es bleibt, diese Annahme zu zeigen. Dafür genügt es, die folgende Abschätzung zu beweisen: λ(h j ) λ(f j ) δ(1 2 j ) j N, (4) woraus wie gewünscht λ(h j ) δ 1 2δ > 0 für alle j N folgt. Beweis von (4) mittels vollständiger Induktion: Für j = 1 ist (4) richtig, denn H 1 = G 1 und λ(f 1 ) λ(g 1 ) 1 2 δ. Sei (4) bereits bewiesen für ein festes j N. Wir zeigen (4) für j + 1. Da H j+1 = G j+1 H j ist, folgt λ(h j+1 ) = λ(g j+1 ) }{{} λ(f j+1 ) 2 j 1 δ λ(f j+1 ) δ(1 2 j 1 ) }{{} δ 2 j 1 δ, + λ(h j ) λ(g j+1 H j ) }{{}}{{} (4) λ(f j ) (da G j+1 H j F j ) λ(f j ) δ(1 2 j ) also (4) für j + 1. Damit ist die Annahme bewiesen, der Beweis also vollständig. Definition 1.19 Das Prämaß λ aus Satz 1.18 heißt Lebesgue-Prämaß (in R n ). 1.4 Fortsetzung eines Prämaßes zu einem Maß Im Hinblick auf Satz 1.18 stellt sich die Frage, ob sich das Lebesgue-Prämaß λ zu einem Maß auf der Borel-σ-Algebra B n fortsetzen läßt. Wir wollen dieses Problem gleich allgemeiner betrachten und fragen nach der Fortsetzbarkeit eines Prämaßes auf einem Ring R (über einer Menge X) zu einem Maß auf der von R erzeugten σ-algebra A σ (R). Definition 1.20 Eine Abbildung µ: P(X) [0, ] heißt äußeres Maß, falls gilt: (i) µ( ) = 0 (d.h. µ ist eine Mengenfunktion); (ii) für A B folgt µ(a) µ(b) (Isotonie); (iii) µ ( A j) µ(a j) (σ-subadditivität). Eine Teilmenge A X heißt µ-messbar, falls gilt: (iv) µ(a B) + µ(b \ A) µ(b) B X. Bemerkung. 1 Auf R n ist kompakt gleichbedeutend mit beschränkt und abgeschlossen. 2 Zum Beispiel wie folgt: Man wähle x i H S i 1 i\ Hj (funktioniert wegen Hj und betrachte die Folge (x i), die nach dem Satz von Bolzano Weierstraß eine konvergente Teilfolge (x ij ) besitzt, d.h. lim j x ij = x. Aber wegen (x ij ) j k A k und A k kompakt, muss auch x A k sein (Folgenkompaktheit). Da dies aber für alle k gilt, ist auch x T k N A k. 11

12 (i) Die Eigenschaften (i) und (ii) implizieren, dass µ 0 ist. (ii) Wegen (iii) gilt sogar = in (iv). Satz 1.21 Sei µ ein äußeres Maß auf X. Dann ist das System A aller µ-messbaren Mengen A X eine σ-algebra über X. Ferner ist die Einschränkung von µ auf A ein Maß. Beweis. Aus Eigenschaften (i) und (iv) eines äußeren Maßes folgt X A. Wegen Symmetrie von A und A c in (iv) ist mit A A auch A c A. Wir zeigen, dass mit A, B A auch A B A gilt. Mit (iv) gilt für alle Q X µ(q) = µ(q A) + µ(q A c ). Wir wenden nun (iv) an auf Q = Q A und Q = Q A c. Es folgt µ(q ) = µ(q B) + µ(q B c ) und analog für µ(q ). Dies ergibt eingesetzt: µ(q) = µ(q A B) + µ(q A B c ) + µ(q A c B) + µ(q A c B c ) für alle Q X. Ersetzt man hierin Q durch Q (A B), so erhält man: µ(q (A B)) = µ(q A B) + µ(q A B c ) + µ(q A c B). (5) Beide Gleichungen zusammen liefern µ(q) = µ(q (A B)) + µ(q (A B) c = µ(q (A B)) + µ(q \ (A B)). Somit erfüllt A B die Bedingung (iv), d.h. A B A. Sei A, B A. Dann folgt A c, B c A also A B = (A c B c ) c A. Wir zeigen nun, dass mit jeder Folge A j, j N, paarweise disjunkter Mengen in A auch A := j N A j A gilt. Aus (5) unter Beachtung von A 1 A 2 = folgt für alle Q X: µ(q (A 1 A 2 )) = µ(q A 1 ) + µ(q A 2 ). Per Induktion folgt hieraus für alle n N, dass Damit gilt µ(q (A 1 A }{{ n )) = } =:B n A µ(q) = µ(q B n ) + µ(q \ B n ) Nach Grenzübergang n folgt wegen (iii): µ(q) n µ(q A j ). n µ(q A j ) + µ(q \ A). µ(q A j ) + µ(q \ A) (iii) µ(q A) + µ(q \ A). (6) 12

13 Dies zeigt A A. Es folgt, dass A eine σ-algebra ist, wegen (6) und der Stabilität unter endlichen Schnitten (vgl. Übung). Da in (6) sogar Gleichheit gilt, folgt mit Wahl von Q = A, dass µ(a) = µ(a j ), also die σ-additivität von µ. Satz 1.22 (Fortsetzungssatz von Carathéodory) Jedes Prämaß µ auf einem Ring R kann auf mindestens eine Weise zu einem Maß auf der von R erzeugten σ-algebra A σ (R) fortgesetzt werden. Beweis. Für Q P(X) bezeichne U(Q) die Menge aller Folgen (A j ) j N in R, welche Q überdecken, also Q j N A j erfüllen. Wir definieren nun die Mengenfunktion µ : P(X) [0, ] durch { µ inf { (Q) = µ(a j) (A j ) j N U(Q) }, falls U(Q),, falls U(Q) =. Schritt 1 µ (Q) ist ein äußeres Maß auf P(X). Eigenschaft (i) eines äußeren Maßes ist klar. Wegen U(Q 1 ) U(Q 2 ) für Q 1 Q 2 folgt (ii). Zum Beweis von (iii) können wir µ (Q n ) < für alle n N annehmen, d.h. U(Q n ) (denn für µ (Q n ) = für mindestens ein n N ist (iii) trivial). Zu ε > 0 und n N existiert dann eine Folge (A n,m ) m N in U(Q n ) mit µ(a n,m ) µ (Q n ) + 2 n ε. m N Da die Doppelfolge (A n,m ) n,m N in U( n N Q n) enthalten ist (d.h. die Menge n N Q n überdeckt), gilt nach Definition von µ : µ ( ) Q n n N m,n=1 µ(a n,m ) µ (Q n ) + 2 n ε = n=1 n=1 µ (Q n ) + ε. Da ε > 0 beliebig gewählt war, folgt hieraus Eigenschaft (iii) eines äußeren Maßes. Schritt 2 Jede Menge A R ist µ -messbar, d.h. n=1 µ (Q) µ (Q A) + µ (Q A c ) (7) für alle Q X. Die σ-algebra der µ -messbaren Mengen umfaßt somit den Ring R. Sei A R und Q X. Wir können wieder U(Q) annehmen. Sei (A j ) j N R eine Folge in U(Q), also Q j N A j. Dann liegt (A j A) j N in U(Q A) und (A j \ A) j N in U(Q \ A). Hieraus folgt aus der Definition von µ : µ (Q A) + µ (Q \ A) µ(a j A) + µ(a j \ A) = µ(a j ). 13

14 Diese Ungleichung wird von jeder Folge (A j ) j N U(Q) erfüllt. Damit folgt (7) aus { } µ (Q A) + µ (Q\A) inf µ(a j ) (A j ) j N U(Q) = µ (Q). Schritt 3 µ (A) = µ(a) für alle A R. j N Sei (A j ) j N eine Folge in U(A), also A j N A j. Da µ ein Prämaß ist, gilt (vgl. Übungsblatt 2 Aufgabe 2) µ(a) µ(a j ), woraus µ(a) µ (A) folgt. Mit Wahl der trivialen Folge A 1 = A und A j = für j 2 (man beachte, dass A j R für alle j N ist) folgt jedoch auch die umgekehrte Abschätzung also die behauptete Gleichheit. Schritt 4 Abschluß des Beweises. µ (A) µ(a j ) = µ(a), Nach Satz 1.21 bildet die Menge der µ -messbaren Mengen eine σ-algebra, die aufgrund der Aussage von Schritt 2 den Ring R enthält. Damit ist aber auch die von R erzeugte σ-algebra A σ (R) in der σ-algebra der µ -messbaren Mengen enthalten. Gleichzeitig ist nach Schritt 3 µ R = µ, mithin µ eine Fortsetzung des Prämasses µ auf R zu einem Maß auf A σ (R). Es stellt sich die Frage nach der Eindeutigkeit der in Satz 1.22 konstruierten Fortsetzung des Prämaßes µ. Beispiel. Sei X eine Menge und R := { }, versehen mit dem Prämaß µ: R [0, ], µ( ) = 0. Dann lässt sich µ auf viele verschiedene Weisen zu einem Maß µ auf A σ (R) = {, X} fortsetzen, zum Beispiel durch µ(x) = 0 oder µ(x) = 1, etc. Im Beweis von Satz 1.22 ist µ (X) =, da U(X) =. Erinnerung (an Definition 1.9): Eine Mengenfunktion µ: S [0, ] heißt σ-endlich, falls es eine Folge (A j ) j N in S gibt mit X = j N A j und µ(a j ) < für alle j N. Beispiel. Das Lebeguesche Prämaß λ n auf dem Ring F n der Figuren ist σ-endlich, denn R n = j N I j für geeignete Intervalle I j. Satz 1.23 Jedes σ-endliche Prämaß µ auf einem Ring R kann auf genau eine Weise zu einem Maß auf die von R erzeugte σ-algebra A σ (R) fortgesetzt werden. Beweis. Übung 14

15 1.5 Lebesgue-Borel-Maß Wie in Abschnitt 1.3 sei nun I n die Menge der nach rechts halboffenen Intervalle im R n, F n der Ring der n-dimensionalen Figuren, λ n das Lebesgue-Prämaß. Definition 1.24 Die von F n (bzw. gleichwertig damit, I n ) erzeugte σ-algebra B n heißt Borel-σ-Algebra von R n. Bemerkung. Wir werden bald sehen (vgl. Satz 1.26 unten), dass diese Definition mit Definition 1.6 konsistent ist. Satz 1.25 Es gibt genau ein Maß λ n auf B n, welches jedem Intervall I I n seinen n-dimensionalen Elementarinhalt zuordnet. Das Maß λ n nennen wir Lebesgue-Borel-Maß (auf R n ). Beweis. Da λ n auf F n ein Prämaß ist, existiert nach Satz 1.22 eine Fortsetzung von λ n zu einem Maß auf A σ (F n ) = B n. Wegen Satz 1.17 setzt λ n den n-dimensionalen Elementarinhalt eindeutig zum Lebesgue-Prämaß auf F n fort. Die Eindeutigkeit des Maßes λ n auf B n folgt nun aus Satz 1.23 und der σ-endlichkeit des Lebesgue-Prämaßes. Bemerkung. Das Lebesgue-Borel-Maß λ n ist σ-endlich, da bereits das Lebesgue-Prämaß σ-endlich ist. Ferner gilt für jede beschränkte Borel-Menge B B n, dass λ n (B) <. Denn: B I für ein geeignetes Intervall I I n und λ n (B) λ n (I) <. Satz 1.26 Es bezeichne O n, C n bzw. K n das System der offenen, abgeschlossenen bzw. kompakten Teilmengen von R n. Dann gilt A σ (O n ) = A σ (C n ) = A σ (K n ) = B n. Beweis. Wegen K n C n gilt A σ (K n ) A σ (C n ). Da umgekehrt jede abgeschlossene Menge die Vereinigung einer Folge von kompakten Mengen ist, gilt A σ (C n ) A σ (K n ). Ferner sind die offenen Mengen die Komplemente der abgeschlossenen Mengen, woraus A σ (O n ) = A σ (C n ) folgt. Wir zeigen nun A σ (O n ) = B n. Wähle hierzu ein halboffenes Intervall [a, b) R n. Für eine geeignete Folge (a j, b), j N offener Intervalle ist [a, b) = j N(a j, b). Das zeigt [a, b) A σ (O n ), also I n A σ (O n ). Es folgt B n = A σ (I n ) A σ (O n ). Schließlich ist jede offene Menge die Vereinigung abzählbar vieler offener und beschränkter Intervalle (etwa solcher mit lauter rationalen Eckpunkten). Nun ist jedes beschränkte offene Intervall (a, b) die Vereinigung (a, b) = j N[a j, b) für geeignete a j. Dies zeigt O n A σ (I n ) = B n, also die Behauptung. 15

16 1.6 Bildmaße Erinnerung (an Definition 1.7): Seien (X, A), (X, A ) messbare Räume. Dann heißt f : X X messbar, falls f 1 (A ) A ist, für alle A A. Satz und Definition 1.27 Es sei f : X X (A, A )-messbar. Dann wird für jedes Maß µ auf A durch µ (A ) := µ(f 1 (A )) A A ein Maß µ auf A erklärt. Dieses nennen wir Bildmaß von µ unter der Abbildung f. Wir schreiben hierfür µ = f(µ). Beweis. Wir zeigen, dass die Mengenfunktion µ σ-additiv ist. Dazu wählen wir eine Folge A j, j N, von paarweise disjunkten Mengen in A. Dann gilt ( µ j N A j ) ( ( )) = µ f 1 A j j N ( = µ = = j N ) f 1 (A j) µ(f 1 (A j)) µ (A j), (da f 1 (A j ) paarweise disjunkt) wie behauptet. Bemerkung. Sei f : X X (A, A )-messbar und f : X X (A, A )-messbar. Dann ist f f : X X (A, A )-messbar und für jedes Maß µ auf (X, A) gilt (f f)(µ) = f (f(µ)). Beispiel. (1) Es sei (R n, B n ) die Borelsche σ-algebra und λ n das Lebesgue-Borel-Maß. Betrachte zu a R n die Translationsabbildung T a : R n R n, x x + a. T a ist stetig und damit messbar. Es gilt T a (λ n ) = λ n (Übung). Dies zeigt die Translationsinvarianz des Lebesgue-Borel-Maßes. (2) Zu γ R \ {0} und 1 i n sei D i γ : R n R n, x = (x 1,..., x n ) (x 1,..., γx i,..., x n ). Dann gilt D i γ(λ n ) = γ 1 λ n (Übung). Für die Homothetie D γ = D 1 γ D n γ, x γx folgt D γ (λ n ) = D 1 γ(d 2 γ(... (D n γ λ n )...)) = γ n λ n (3) Für eine lineare Abbildung T GL n (R) gilt allgemeiner T (λ n ) = det T 1 λ n. Bemerkung. 16

17 (1) Aus Beispielen (1) und (3) oben folgt die Invarianz von λ n unter Bewegungen x T x + a wobei T O n (R) und a R n ist. Allgemeiner ist λ n invariant unter affin-linearen Translationen x T x + a, d.h. T SL n (R) und a R n. (2) Das Lebesgue-Borel-Maß λ n ist durch folgenden Satz charakterisiert: λ n ist das einzige translationsinvariante Maß µ auf B n mit µ([0, 1) n ) = 1. (3) Ein analoges Maß existiert auf jeder lokalkompakten, hausdorffschen topologischen Gruppe. Hierbei heißt eine Gruppe G topologisch, falls G eine Topologie trägt, sodass die Abbildungen i: G G, g g 1 und m: G G G, (g, h) gh stetig sind. (Hierbei sei G G mit der Produkttopologie versehen). Die topologische Gruppe G heißt lokalkompakt, falls das Einselement e G (und damit jedes g G) eine kompakte Umgebung besitzt. Insbesondere ist (R n, +) eine lokalkompakte abelsche Gruppe. Ein Maß µ auf der Borel-σ-Algebra B(G) heißt linksinvariant, falls für alle Mengen A B(G) und alle g G gilt: µ(ga) = µ(a). Analog erklären wir rechtsinvariante Maße. Man kann zeigen, dass jede lokalkompakte, hausforffsche topologische Gruppe ein linksinvariantes Maß trägt. Dieses Maß heißt Haarsches Maß und ist bis auf einen Normierungsfaktor eindeutig bestimmt. Zum Abschluß zeigen wir noch, dass nicht jede Teilmenge A R n Borel-messbar ist. Satz 1.28 Es gilt B n P(R n ) für alle n N. Beweis. Wir zeigen die Existenz einer nicht-borelschen Teilmenge K R n. Hierzu betrachte die Untergruppe Q n von R n. Auf R n definieren wir die Äquivalenzrelation x y : x y Q n. (D.h. die Äquivalenzklassen sind die Nebenklassen von R n modulo Q n ). Jede Äquivalenzklasse x + Q n besitzt einen Repräsentanten in [0, 1) n. Es gibt also eine Menge K [0, 1) n so, dass K mit jeder Äquivalenzklasse genau ein Element gemeinsam hat. Es folgt R n = (k + Q n ) = (K + y). y Q n Ferner ist für y 1, y 2 Q n, y 1 y 2, k K (K + y 1 ) (K + y 2 ) =. (8) Angenommen K B n. Wegen der σ-additivität von λ n gilt y Q n λ n (K + y) = λ n (R n ) =. Aufgrund der Translationsinvarianz von λ n gilt λ n (K+y) = λ n (K). Dies zeigt, dass λ n (K) > 0. Andererseits gilt K [0, 1) n, also y [0,1) n Q n (K + y) [0, 1) n. 17

18 Aus der σ-additivität und (8) folgt y [0,1) n Q n λ n (K + y) λ n ([0, 2) n ) = 2 n. Dies zeigt (wegen λ n (K + y) = λ n (K)), dass λ n (K) = 0. Widerspruch. Damit kann K nicht in B n enthalten sein. 2 Integrationstheorie 2.1 Messbare numerische Funktionen Im folgenden verwenden wir die folgenden Konventionen. Es sei R := R {, }. Wir nennen eine Teilmenge A R Borelsch, falls A R B(R) gilt. In diesem Fall schreiben wir A B( R). Eine Menge A R ist damit Borelsch genau dann, wenn es eine Menge B B(R) gibt mit A = B, A = B { }, A = B { } oder A = B {, }. Für einen messbaren Raum (X, A) und eine Funktion f : X R ist somit die (A, B( R))- Messbarkeit erklärt. Solche Funktionen nennen wir A-messbare numerische Funktionen. Beispiel. Sei (X, A) ein messbarer Raum und A X. Die numerische Funktion { 1 x A, 1 A (x) = 0 x / A, heißt charakteristische Funktion von A. Es ist 1 A genau dann eine A-messbare numerische Funktion, wenn A A gilt. Lemma 2.1 Sei (X, A) ein messbarer Raum. Eine numerische Funktion f auf X ist genau dann A-messbar, wenn gilt: {x X f(x) α} A für alle α R. (9) Beweis. Sei f A-messbar. Da die Intervalle [α, ] in B( R) enthalten sind, folgt (9). Nach Lemma 1.8 genügt es, die Eigenschaft f 1 (E) A für ein Mengensystem E mit A σ (E) = B( R) nachzuweisen. Das System E der Mengen [α, ], α R, besitzt diese Eigenschaft. Denn: Wegen [α, ] B( R) folgt A σ (E) B( R). Da diese Mengen B(R) erzeugen, folgt B(R) = A σ (E) R. Da auch die Mengen { } = j N [j, ] und { } = j N [ j, ]c in A σ (E) liegen, folgt die Behauptung. Lemma 2.2 Sei (X, A) ein messbarer Raum. Gleichwertig mit A-Messbarkeit einer Funktion f : X R ist jede der folgenden Eigenschaften: (i) {f α} A für alle α R, (ii) {f > α} A für alle α R, (iii) {f α} A für alle α R, (iv) {f < α} A für alle α R. Beweis. Übung. 18

19 Lemma 2.3 Sei (X, A) ein messbarer Raum. Mit f, g : X R sind auch die Funktionen f ± g (falls überhaupt definiert) und fg A-messbar. Beweis. Übung. Lemma 2.4 Sei (f j ) j N eine Folge A-messbarer Funktionen. Dann ist jede der folgenden Funktionen A-messbar: sup f j, j N inf f j, j N lim sup f j, j lim inf j f j. Beweis. Sei g := sup j N f j. Dann ist für jedes α R: {g α} = j N{f j α} A, also g messbar. Dann ist aber auch inf j N f j = sup j N ( f j ) eine A-messbare Funktion. Dies folgt schließlich auch für lim sup f j = inf j sup j N k j f k und lim inf j f j = sup inf f k, k j j N wie zu zeigen war. Bemerkung. Aus Lemma 2.4 folgt, dass die Grenzfunktion f = lim j f j einer punktweise konvergenten Folge messbarer Funktionen messbar ist. Ferner folgt aus Lemmata 2.3 und 2.4 die A-Messbarkeit der Funktionen f, f + und f, falls f messbar ist. Hierbei ist f + (x) = { f(x), f(x) 0, 0, f(x) < 0, 2.2 Integral von Elementarfunktionen und f (x) = { 0, f(x) 0, f(x), f(x) < 0. Definition 2.5 Sei (X, A) ein messbarer Raum. Eine Funktion f : X R heißt Elementarfunktion (bzw. Treppenfunktion), falls gilt: (i) f 0, (ii) f ist A-messbar, (iii) f nimmt nur endlich viele Werte an. Wir bezeichnen mit E = E(X, A) die Menge der Elementarfunktionen auf X. Ist f E eine Elementarfunktion mit Werten {α 1,..., α n }, so sind die Mengen A j := f 1 (α j ) A, 1 j n, paarweise disjunkt und es gilt: n f = α j 1 Aj. (10) Die Darstellung (10) von f nennen wir (eine) Normaldarstellung 1. Umgekehrt definiert die rechte Seite von (10) zu jeder endlichen Mengen {α 1,..., α n } mit α j 0 und paarweise disjunkten A j A eine Funktion f E(X, A). Sei nun (X, A, µ) ein Maßraum. 1 Diese Darstellung ist natürlich nicht eindeutig, da einzelne Stufen der Treppenfunktion aufgespaltet werden können. 19

20 Proposition 2.6 Für je zwei Normaldarstellungen f = m i=1 α i1 Ai = n β j1 Bj einer Funktion f E gilt: m n α i µ(a i ) = β j µ(b j ). i=1 Beweis. Aus X = A 1 A m = B 1 B n (disjunkte Vereinigungen) folgt n m A i = (A i B j ) und B j = (B j A i ) mit paarweise disjunkten Mengen A i B j. Damit folgt: und somit m µ(a i ) = i=1 α i µ(a i ) = i,j i=1 n µ(a i B j ) und µ(b j ) = α i µ(a i B j ) und n m µ(b j A i ), i=1 β j µ(b j ) = i,j Hieraus folgt die Behauptung, denn α i = β j für alle i, j mit A i B j. β j µ(a i B j ). Definition 2.7 Sei f E(X, A). Dann heißt die nach Proposition 2.6 von der speziell gewählten Normaldarstellung f = m i=1 α i1 Ai unabhängige Zahl m α j µ(a j ) =: f dµ das µ-integral von f über X. Das µ-integral ist somit eine Abbildung g : E R + (und g : E R + genau dann, wenn das Maß µ endlich ist). Diese Abbildung besitzt die folgenden Eigenschaften (Übungsaufgabe): (i) 1 A dµ = µ(a) für alle A A; (ii) Homogenität: αf dµ = α f dµ für alle f E und α 0; (iii) Additivität: (f + g) dµ = f dµ + g dµ für alle f, g E; (iv) Monotonie: f g f dµ g dµ für alle f, g E. Aus (i)-(iii) folgt, dass für eine beliebige Darstellung f = n α j1 Aj E, wobei A j A nicht notwendigerweise paarweise disjunkt sind, ebenfalls gilt: n f dµ = α j µ(a j ). 2.3 Integral nichtnegativer messbarer Funktionen Sei wie bisher (X, A, µ) ein Maßraum. Satz 2.8 Es sei (f j ) j N eine monoton steigende Folge von Funktionen f j E(X, A) sowie f E(X, A). Dann gilt: f sup f j f dµ sup f j dµ. j N j N D.h. das Supremum darf in diesem Fall vor das Integral gezogen werden. 20

21 Beweis. Sei f = n i=1 α i1 Ai eine Normaldarstellung von f und α (0, 1). Für jedes n N ist dann die Menge B n := {f n αf} in A enthalten. Wegen f n αf 1Bn gilt f n dµ α f 1 Bn dµ (11) für alle n N. Ferner ist m m f dµ = α i µ(a i ) = lim α i µ(a i B n ) = lim n n sup n N i=1 i=1 f 1 Bn dµ. Hierbei folgt die zweite Gleichheit aus der Stetigkeit von µ von unten und der Eigenschaft A i B n A i für n. Zusammen mit (11) folgt jetzt f n dµ sup α f 1 Bn dµ = α lim f 1 Bn dµ = α f dµ. n N n Weil α (0, 1) beliebig gewählt war, folgt die Behauptung nach Grenzübergang α 1. Korollar 2.9 Für je zwei monoton steigende Folgen (f j ) j N und (g j ) j N aus E gilt: sup f j = sup g j = sup f j dµ = sup g j dµ. j N j N j N j N Beweis. Für jedes i N ist g i sup j N f j und f i sup j N g j. Nach Satz 2.8 gilt deshalb g i dµ sup j N f j dµ und f i dµ sup j N g j dµ Die Behauptung folgt damit nach Übergang zum Supremum über i. Im folgenden bezeichnen wir mit E = E (X, A) die Menge der Funktionen f : X R + 0, zu welchen eine monoton steigende Folge (f j ) j N von Elementarfunktionen existiert mit f = lim sup f j. (12) j Definition 2.10 Es sei f E mit f = lim sup j f j wie in (12). Dann heißt f dµ := sup f j dµ j N das (µ-)integral von f (über X). Nach Korollar 2.9 ist dieses unabhängig von der Darstellung (12) von f. Bemerkung. Es ist E(X, A) E (X, A), und das Integral aus Definition 2.10 setzt das über Elementarfunktionen fort. Dabei bleiben die bekannten Eigenschaften (wie Additivität, Homogenität, Monotonie) erhalten. Satz 2.11 (Satz von der monotonen Konvergenz) Für jede monoton steigende Folge (f j ) j N von Funktionen in E ist f := lim f j E und f dµ = lim f j dµ. j j 21

22 Beweis. Für jedes j N existiert nach Definition von E eine monoton steigende Folge (u ij ) i N von Funktionen in E mit f j = sup u ij. i Es sei v i definiert durch v i (x) := max{u i1 (x),..., u ii (x)}. Es ist v i E und (v i ) i N ebenfalls monoton steigend. Aus der Monotonie der Folge der f j folgt v i f i für alle i N und damit sup i N v i f. Für jedes j N folgt wegen u ij v i für alle i j, dass sup i N u ij = f j sup v i. i N Somit ist f = sup j N f j sup i N v i, also insgesamt f = sup i N v i. Dies zeigt, dass f E ist, sowie (per Definition des Integrals) f dµ = sup v i dµ. i N Da außerdem v i f i für alle i N, d.h. v i dµ f i dµ ist, folgt f dµ sup f i dµ. i N Umgekehrt ist wegen f i f auch f i dµ f dµ, d.h. sup i N fi dµ f dµ, also insgesamt f dµ = sup f i dµ, i N wie behauptet. check dµ Korollar 2.12 Für jede Folge (f j ) j N von Funktionen in E ist ( ) f j E und f j dµ = f j dµ. Beweis. Die Aussage folgt aus Satz 2.11, angewandt auf die Folge (f 1 + +f n ) n N monoton steigender Funktionen. Bemerkung. Wir werden bald Funktionen betrachten, die nicht mehr unbedingt nur positive Funktionswerte annehmen. Dann ist der Satz von der monotonen Konvergenz nicht mehr ohne weiteres anwendbar und zunächst keine Aussage über die Grenzfunktion und deren Integral möglich. Beispiel. (1) Sei (X, A) ein messbarer Raum, x X, sowie das Dirac-Maß µ = δ x definiert durch durch { 1 x A, µ(a) := 0 x / A. (vgl. das Beispiel nach Definition 1.10). Dann gilt für jedes f E : f dµ = f(x). 22

23 Es sei zunächst f E eine Elementarfunktionen, d.h. für f = m α j1 Aj mit paarweise disjunkten Mengen A j A so, dass m A j = X ist. Es folgt f dµ = m α j µ(a j ) = α k = f(x), wobei A k {A 1,..., A m } diejenige Menge ist, die x enthält. Für eine allgemeine Funktion f = sup j N f j E, f j E, folgt nun f dµ = sup j N f j dµ = sup f j (x) = f(x). j N (2) Sei X = N und A = P(X). Durch die Wahl einer Folge (α n ) n N in [0, ] und der Fortsetzung von µ({n}) = α n per σ-additivität wird ein Maß auf (X, A) erklärt. Dabei besteht die Menge E aus allen Funktionen nichtnegativen Funktionen f 0. Denn: Sei f 0 und f n := f(n)1 {n} für n N. Damit ist f n E (sogar in E, falls f(n) < ). Wegen f = n=1 f n folgt f E und es gilt f dµ = n=1 Hierbei haben wir Korollar 2.12 verwendet. f j dµ = α n f(n). n=1 Es stellt sich die Frage, welche Funktionen die Menge E umfasst. Satz 2.13 E ist die Menge der numerischen, A-messbaren Funktionen f 0 auf X. Beweis. Da jede Elementarfunktion A-messbar ist, überträgt sich diese Eigenschaft nach Lemma 2.4 auf die Funktionen aus E. Sei jetzt f 0 eine A-messbare numerische Funktion. Zu jedem n N definieren wir die Mengen { {f 2 n j} {f < 2 n (j + 1)}, j = 0,..., 2 n n 1, A jn := {f n}, j = 2 n n. check proof Die Mengen A jn sind paarweise disjunkt und messbar. Damit ist 2 n n µ n := j2 n 1 Ajn E. Man stellt fest, dass die Folge (µ n ) n N monoton steigend ist. Ferner gilt für jedes x X entweder f(x) = = lim n = lim µ n(x) n n oder µ n (x) f(x) < µ n (x) + 2 n n > f(x), also auch hier f(x) = lim n µ n (x). Damit ist f der punktweise Grenzwert der monoton steigenden Folge (µ n ) n, also f E. 23

24 Beispiel. Es sei X eine überabzählbare Menge, A die σ-algebra der Mengen A, für die entweder A oder A c abzählbar ist. Wir betrachten auf (X, A) das Maß µ mit { 1 A c abzählbar, µ(a) :=. 0 A abzählbar. Eine numerische Funktion f auf X ist genau dann messbar, wenn f konstant ist auf dem Komplement einer höchstens abzählbare Menge A X. Zum Beweis betrachte eine solche Funktion f. Wir wählen eine abzählbare Menge A X so, dass f(x) = α für alle x A c gilt. Diese Konstante α hängt dabei nicht von A ab, da A c B c für jede abzählbare Menge B X ist. Es folgt, dass für β R stets {f β} A (falls β > α) oder A c {f β} (falls β α) gilt. Damit ist {f β} A, da entweder {f β} oder {f β} c abzählbar ist. Die Meßbarkeit von f folgt nun aus Lemma 2.1. Um die Umkehrung zu zeigen, sei f 0 zunächst eine Elementarfunktion, also f = m α jf 1Aj mit A j A für alle j = 1,..., m. Nicht alle der Mengen A j können abzählbar sein. Somit ist f konstant auf dem Komplement einer höchstens abzählbaren Menge. Sei jetzt f E beliebig, also f j f für eine Folge (f j ) j N in E. Jede Funktion f j ist konstant auf dem Komplement einer höchstens abzählbaren Menge A j mit Wert α j. Es folgt f(x) = sup f j (x) für alle x ( ) c A c j = A j, j j N j N weshalb f konstant ist mit Wert α = sup j α j auf dem Komplement der höchstens abzählbaren Menge j N A j, wie behauptet. Nun können wir noch f dµ für f E bestimmen. Für f = m α j1 Aj E ist f dµ = m α j µ(a j ) = α j (mit der Konstanten α j wie oben). Für allgemeines f E wie oben gilt ebenso f dµ = α (mit α = sup α j wie oben). j 2.4 Integrierbarkeit Bislang haben wir das Integral f dµ nur für nichtnegative A-messbare numerische Funktionen f 0 eingeführt. Ab jetzt sei allgemeiner f eine Funktion mit Werten in R = [, ]. Wie bisher sei (X, A, µ) ein Maßraum. Lemma 2.14 Eine numerische Funktion f auf X ist genau dann A-messbar, wenn sowohl f + := max{f, 0} als auch f := ( f) + A-messbar sind. Falls f A-messbar ist, so auch die Funktion f. 24

25 Beweis. Übung. Definition 2.15 Eine numerische Funktion f auf X heißt µ-integrierbar (kurz: integrierbar), falls sie A-messbar ist und die Integrale f + dµ und f dµ endlich sind. Dann heißt f dµ := f + dµ f dµ das µ-integral von f über X. Diese Definition von f dµ ist verträglich mit der früheren Definition des Integrals über Funktionen aus E (A, µ). Allerdings ist f E nur dann integrierbar (im Sinne dieser Definition), falls f dµ < gilt. Im Fall µ = λ n nennt man f dλ n das Lebesgue-Integral von f (und falls es existiert, so nennt man f Lebesgueintegrierbar). Wir werden später auf den Zusammenhang mit dem aus der Vorlesung Analysis I bekannten Riemann-Integral eingehen. Beispiel. (1) Sei (X, A) ein beliebiger messbarer Raum und wie in vorigen Beispielen µ = δ x das Dirac-Maß in x X. Dann sind genau diejenigen A-messbaren numerischen Funktionen f µ-integrierbar, für die f(x) ± ist. In diesem Fall ist f dµ = f(x). (2) Es sei X = N und A = P(N). Wie in einem früheren Beispiel wird durch jede Folge (a j ) j N in [0, ] ein Maß definiert, indem wir µ({j}) = a j erklären. Genau diejenigen Funktionen f : N R sind µ-integrierbar, für die a j f(j) < ist. (3) Sei (X, A, µ) ein endlicher Maßraum (d.h. µ(x) < ). Dann ist jede konstante reellwertige Funktion, und allgemeiner jede beschränkte µ-messbare Funktion µ-integrierbar. Lemma 2.16 Seien f, g integrierbar. Dann sind auch die Funktionen αf (α R) und f +g (sofern definiert) integrierbar. Es gilt: αf dµ = α f dµ (Homogenität), f + g dµ = f dµ + g dµ (Additivität). Ebenso sind die Funktionen max{f, g} und min{f, g} integrierbar. Gilt f g, so ist f dµ g dµ. Ferner ist f dµ f dµ. Beweis. Die Homogenität folgt für α 0 aus (αf) + = αf +, (αf) = αf bzw. für α < 0 aus (αf) + = αf und (αf) = αf +. Die Additivität folgt aus f + g = f + + g + (f + g ). }{{}}{{} integrierbar integrierbar Die Integrierbarkeit der messbaren Funktionen max{f, g}, min{f, g} folgt mit der Ungleichung max{f, g}, min{f, g} f + g aus folgender Behauptung: Eine messbare Funktion f ist genau dann integrierbar, wenn es eine integrierbare Funktion g gibt mit f g (Beweis: Übung). Seien f g integrierbar. Dann gilt f + g +, f g, also f dµ g dµ aufgrund der Monotonie des Integrals auf E. Mit g = f (d.h. f g) und f dµ = max{± f dµ} folgt hieraus auch f dµ f dµ. 25

26 Häufig möchte man nur reellwertige integrierbare Funktionen betrachten (also die Funktionswerte ± ausschließen). Hierzu definieren wir L 1 (µ) := {f : X R f ist µ-integrierbar}. Aus Lemma 2.16 folgt, dass L 1 (µ) ein Vektorraum ist. Ferner ist die Abbildung f f dµ ein lineares Funktional auf L 1 (µ). 2.5 Fast überall bestehende Eigenschaften Sei (X, A, µ) ein Maßraum. Eine Menge N A heißt µ-nullmenge, falls µ(n) = 0. Es folgt, dass jede abzählbare Vereinigung von Nullmengen eine Nullmenge ist. Ebenso ist jede messbare Teilmenge einer Nullmenge wieder eine Nullmenge. Wir verwenden die Sprechweise f = g (µ)-fast überall bzw. f < (µ)-fast überall etc., falls diese Eigenschaften auf dem Komplement einer µ-nullmenge gelten. Satz 2.17 Es sei f E (X, A) und µ ein Maß auf X. Dann gilt f dµ = 0 genau dann, wenn f = 0 µ-fast überall ist. Beweis. Da f messbar ist, gilt N := {f 0} = {f > 0} A. Zu zeigen ist also f dµ = 0 µ(n) = 0. Sei f dµ = 0. Für jedes j N definieren wir die Menge A j := {f 1 j } A. Es gilt A j N. Es ist µ(a j ) = 0 für alle j, denn aus f 1 j 1 A j folgt 0 = f dµ 1 j µ(a j), also µ(a j ) = 0. Damit ist µ(n) = lim n µ(a j ) = 0, da A j N. Es sei umgekehrt µ(n) = 0. Für jede der Funktionen µ j := 1 N j, j N, gilt µ j E(X, A) und µ j dµ = jµ(n) = 0. Es sei g := lim j µ j E (X, A). Dann folgt g dµ = sup j N µ j dµ = 0 per Definition des Integrals. Da 0 f g ist, folgt 0 f dµ g dµ = 0, also die Behauptung. Satz 2.18 Seien f, g messbare numerische Funktionen und f = g µ-fast überall. Dann gilt: (i) f dµ = g dµ, falls f, g 0 erfüllt ist; (ii) die Funktion f ist integrierbar genau dann, wenn g integrierbar ist. In diesem Fall ist f dµ = g dµ. Beweis. Übung. 2.6 Die Räume L p (µ) Sei (X, A, µ) ein Maßraum. Erinnerung: Seien f, g µ-messbare numerische Funktionen. Dann ist f g nach Lemma 2.3 ebenfalls µ-messbar. Im Gegensatz dazu ist aber f g nicht notwendigerweise integrierbar, wenn f, g integrierbar sind. Denn f und g sind integrierbar genau dann, wenn f ± dµ und g ± dµ gilt, und diese Eigenschaft setzt sich nicht notwendig auf das Produkt fort. 26

27 Beispiel. (Vgl. mit Beispiel (2) nach Definition 2.15). Sei X = N, µ({n}) = n 3. Dann ist die Funktion f : N R, n n, µ-integrierbar mit f dµ = n 3 1 n = n 2 <, nicht aber die Funktion f 2 : n n 2, denn n=1 n 3 n 2 = n=1 1 n =. n=1 Ab jetzt sei p 1 eine reelle Zahl. Ist f eine messbare numerische Funktion, so sind auch f und f p messbare Funktionen; letzteres da für jedes α R die Menge { X, α 0, {x X f(x) p α} = { f α 1 p }, α > 0, messbar ist. Satz 2.19 (Höldersche Ungleichung) Sei p > 1 und q > 1 (der zu p duale Exponent) definiert durch 1 p + 1 q = 1. Dann gilt für je zwei messbare numerische Funktionen f und g auf X: ( ) 1 ( ) 1 fg dµ f p p dµ g q q dµ. Beweis. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir f, g 0 annehmen. Es sei a := ( f p dµ) 1 p, b := ( f q dµ) 1 q. Wir nehmen noch an, dass a, b > 0 ist, denn andernfalls folgt die Behauptung sofort. Für t 0 gilt die Bernoullische Ungleichung woraus für s := t folgt: s 1 p s 1 p n=1 (1 + t) 1 p t p + 1, + 1 = s p 1 p + 1 = s p + 1 q. Seien x, y > 0 und ohne Beschränkung der Allgemeinheit s := xy 1 1 (andernfalls vertausche die Rollen von x und y). Es folgt x 1 p y 1 p xy 1 p + 1 q, also wegen y 1 p = y 1 q 1 = y 1 q y 1 x 1 p y 1 q x p + y q. Sei z X mit f(z), g(z) <. Wegen f, g 0 ist f(z), g(z) 0 und ohne Einschränkung nehmen wir f(z), g(z) > 0 an. Mit x := ( f(z) ) p, ( a y := g(z) ) q b folgt nun Nach Integration erhalten wir und das ist genau die Behauptung. 1 f(z)p f(z)g(z) ab a p p + g(z)q b q q. 1 ab fg dµ 1 p + 1 q = 1, 27

28 Im Falle p = q = 2 reduziert sich die Höldersche Ungleichung auf die Cauchy Schwarzsche Ungleichung. Diese zeigt, dass das Produkt zweier quadratintegrierbarer Funktionen integrierbar ist. Satz 2.20 (Minkowskische Ungleichung) Seien f, g messbare Funktionen und f + g überall definiert. Dann gilt für jedes p 1 die Minkowskische Ungleichung ( ) 1 ( f + g p p dµ ) 1 ( f p p dµ + Beweis. Da f + g f + g gilt, genügt es, die Ungleichung ( ) 1 ( ( f + g ) p p dµ ) 1 ( f p p dµ + ) 1 g p p dµ. ) 1 g p p dµ. zu zeigen. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir annehmen, dass die Menge der Punkte x X mit f(x) > 0 und g(x) > 0 positives Maß hat (also keine µ-nullmenge ist), da andernfalls die behauptete Ungleichung in trivialer Weise erfüllt ist. Unter dieser Annahme folgt f dµ > 0 und g dµ > 0. Weiterhin können wir annehmen, dass f p und g p integrierbar sind. Dann ist auch (f + g) p integrierbar, denn aus f, g max{f, g} folgt (f + g) p ( 2 max{ f, g } ) { p 2 p f p, f = max{ f, g } = 2 p g p, g = max{ f, g } 2 p ( f p + g p ). Es sei q > 1 durch 1 p + 1 q = 1 definiert. Mittels der Hölderschen Ungleichung folgt nun (f + g) p dµ = f(f + g) p 1 dµ + g(f + g) p 1 dµ Wegen 1 p + 1 q = 1, also p q ( f p dµ ) 1 p ( (f + g) q(p 1)) 1 q + ( g p dµ ) 1 p ( (f + g) q(p 1)) 1 q. ( ( (f + g) p dµ = p 1 bzw. q(p 1) = p folgt f p dµ ) 1 p + ( g p dµ ) 1 p ) ( ) 1 (f + g) p q dµ. Mit 1 1 q = 1 p folgt die Behauptung, indem wir auf beiden Seiten durch 0 < ( (f + g) p dµ ) 1 q < dividieren. Definition 2.21 Sei (X, A, µ) ein Maßraum. Eine Funktion f : Y R heißt integrierbar von der Ordnung p (bzw. p-fach integrierbar), wenn sie messbar ist und wenn die Funktion f p µ-integrierbar ist. Wir bezeichnen mit L p (µ) die Menge der reellen p-fach integrierbaren Funktionen. Satz 2.22 L p (µ) ist ein R-Vektorraum. Sind f L p (µ), g L q (µ) mit 1 p + 1 q = 1, so ist fg L 1 (µ). Falls das Maß µ endlich ist, so gilt für je zwei Zahlen 1 p 1 p 2 die Inklusion L p 2 (µ) L p 1 (µ). 28

29 Beweis. Die Abgeschlossenheit von L p (µ) unter Addition folgt aus der Minkowskischen Ungleichung (Satz 2.20). Die übrigen Vektorraumaxiome sind klar. Sind f L p (µ), g L q (µ), so folgt aus der Hölderschen Ungleichung (Satz 2.19), dass fg dµ ( f p dµ ) 1 p ( g q dµ ) 1 q <, und damit fg L 1 (µ). Ist schließlich das Maß µ endlich, so folgt mittels der Hölderschen Ungleichung aus der Annahme 1 p 1 p 2, dass f p 1 dµ = f p1 1 dµ ( f p 2 dµ ) p 1 ( p 2 1 p 2 p 2 p 1 dµ ) p 2 p 1 p 2 µ(x) p 2 p 1 p 2 ( f p 2 dµ ) p 1 p 2 <, wie behauptet. Definition 2.23 Es sei V ein R- oder C-Vektorraum. Eine Norm ist eine Abbildung : V R + 0 mit den Eigenschaften (i) αv = α v für alle v V und α R (bzw. α C); (ii) v + w v + w für alle v, w V ; (iii) v = 0 v = 0. Falls nur die Eigenschaften (i) und (ii) gelten, so nennt man eine Halbnorm. Aus Satz 2.20 und 2.22 folgt, dass durch ( ) 1 L p (µ) : L p (µ) R + 0, f f L p (µ) = f p p dµ eine Halbnorm erklärt wird. Man nennt L p (µ) die L p (µ)-halbnorm. Im allgemeinen ist dies jedoch keine Norm, da aus f L p (µ) = 0 nur f = 0 µ-fast überall folgt, vgl. Satz Ist (f j ) j N eine Folge in L p (µ) und f L p (µ), so heißt (f j ) j N L p (µ)-konvergent gegen f, falls lim j f j f L p (µ) = 0 (13) gilt. Warnung: Der Grenzwert ist nicht eindeutig bestimmt. Konvergiert f j gegen f, so auch gegen jede Funktion f L p (µ), die mit f µ-fast überall übereinstimmt. In Ergänzung zu den Räumen L p (µ) mit 1 p < führen wir noch den Raum L (µ) ein. Hierzu definieren wir: Durch L (µ) := {f : X R f ist A-messbar und µ-fast überall beschränkt}. f L (µ) := inf{α R + f α µ-fast überall} ist auf L (µ) ebenfalls eine Halbnorm definiert. Wir nennen f L (µ) auch das essentielle Supremum von f. Konvergenz in L (µ) ist analog zu 13 erklärt. 29

30 2.7 Konvergenzsätze Im folgenden sei (X, A, µ) ein Maßraum. Konvergenzsät für p = Lemma 2.24 (Lemma von Fatou) Für jede Folge (f j ) j in E (X, A) (also von A-messbaren numerischen Funktionen f j 0, vgl. Satz 2.13) gilt lim inf j f j dµ lim inf j f j dµ. Beweis. Es sei f := lim inf j f j und g i := inf j i f j (i N). Nach Lemma 2.4 sind die Funktionen f und g i (i N) nicht-negativ und µ-messbar, und damit nach Satz 2.13 in E (X, A) enthalten. Aus der Definition von g i und der Monotonie des Integrals folgt g i dµ f j dµ für alle j i, also g i dµ inf j i f j dµ. Wegen g i f folgt aus dem Satz von der monotonen Konvergenz, dass f dµ = lim g i dµ lim inf f j dµ, i j wie behauptet. Aus dem Lemma von Fatou leiten wir nun eine Reihe von Konvergenzsätzen ab, die es uns unter bestimmten Voraussetzungen erlauben werden, aus der nur punktweisen fast-überall- Konvergenz auf die Konvergenz in L p (µ) zu schließen. Satz 2.25 (Satz von Riesz) Sei 1 p und (f j ) j eine Folge in L p (µ), die µ-fast überall gegen eine Funktion f L p (µ) konvergiert. Dann gilt lim f j j L p (µ) = f L p (µ) f j f in L p (µ) für j. Beweis. Es gelte f j f in L p (µ) für j. Aus der Minkowskischen Ungleichung folgt für alle j N f j L p (µ) = f j f + f L p (µ) f j f L p (µ) + f L }{{} p (µ) 0, j bzw. mittels der umgekehrten Dreiecksungleichung f j L p (µ) f L p (µ) f j f L p (µ) 0 für j, wie behauptet. Es gelte nun umgekehrt lim j f j L p (µ) positive Zahlen α, β gilt die elementare Ungleichung = f L p (µ). Für Somit ist für jedes j N die Funktion α β p α + β p 2 p ( α p + β p ). g j := 2 p ( f j p + f p ) f j f p 30