Maß- und Integrationstheorie

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1 Maß- und Integrationstheorie Manuskript zur Vorlesung in SS26 Bálint Farkas

2 Inhaltsverzeichnis Einführung Volumina, Vitali-Menge, Banach-Tarski Paradox 1 σ-algebren Algebra, σ-algebra, Eigenschaften, Mengenoperationen, Erzeugung von σ-algebren, Borel-Mengen, G δ - und F σ-mengen, Erzeugungssysteme für B(R). 2 Maße Maße, Maßräume, Dirac-Maß, Zählmaß, endliche und σ-endliche Maße, Stetigkeit nach unten und nach oben, Vervollständigung eines Maßraums. 3 Äußere Maße Äußere Maße, relative Äußere Maße, Konstruktion von äusseren Maßen, das n-dimensonale äussere Lebesgue-Maß, Satz von Carathédory, µ -messbare Mengen, metrische äußere Maße. 4 Lebesguesche Maße Lebesgue-Maß, Lebesgue-Nullmengen, Charakteriesierung von Lebesgue-Mengen, Translationsinvarianz, Regularität, Borel-Lebesgue Maße, Characterisierung Lebesgueschen Maßen, Transformationssatz 5 Meßbare Funktionen Messbare Funktionen, Borel- und Lebesgue-Messbarkeit, erweiterte reelle Zahlen, wesentliche Eigenschaften und Operationen, Grenzwert, Supremum, Infimum von Folgen messbaren Funktionen, Approximationssatz für einfache Funktionen 6 Integration positiver Funktionen Integral positiver Funktionen, Satz von Beppo Levi, Integration positiver Reihen, Lemma von Fatou, Konvergenzsätze fastüberall. 7 Integrierbare Funktionen Integral für R- und C-wertige Funktionen, Vektorraum Integrierbarer Funktionen, Satz von Lebesgue über dominierte Konvergenz, Vertauschen von Integral und Summe, Differenzierbarkeit von Parameterintegralen, Riemann- vs. Lebesgue-Integral 8 L p Räume Hölder-, Minkowski-Ungleichung, L p -Funktionen, Satz von Riesz Fischer, punktweise Konvergenz in L p, L -Raum, allgemeinere Hölder- und Interpolationsungleichung, Struktur von L p -Funktionen 9 Der Satz von Fubini und Anwendungen Sätze von Fubini und Tonelli, geometrische Bedeutung des Integrals, Cavalierisches Prinzip, Volumina von Zylindern, Kegeln und Kugeln. 1 Der Transformationssatz und Anwendungen Transformationssatz, Polarkoordinaten, Kugelkoordinaten, n-dimensionale Kugelkoordinaten, Volumina von Kugeln 11 Integration über Untermannigfaltigkeiten Oberflächeintegral, Oberflächeinhalt, Immersion Untermannigfaltigkeiten, metrische Fundamentalform, Beispiele, Normaleneinheitsfeld, Satz von Gauß

3 Ziel: Beschreibung von Volumina. Einführung Bezeichne mit P() die Potenzmenge, d.h., die Menge allen Teilmengen von. Suche µ : P(R n ) [, + ) mit folgenden Eigenschaften: i) Für E 1, E 2,..., E m,... endliche oder unendliche Folge von disjunkten Mengen ( ) µ E j = µ(e j ). j j ii) Sind E und F kongruent(translation, Rotation, Spiegelung), dann ist µ(e) = µ(f ). iii) µ([, 1] n ) = 1 (Normalisierung). Vitali-Menge: Wir definieren eine Äquivalenzrelation auf [, 1] durch x y Def. x y Q. Sei N [, 1] diejenige Menge, welche genau einen Representanten jeder Äquivalenzklasse enthält (Auswahlaxiom!). Wir setzen N p := {x + p : x N [, 1 p)} {x + p 1 : x N [1 p, 1)} für p Q [, 1). Wir haben N = (N [, 1 p)) (N [1 p, 1)), und so gilt µ(n) = µ((n [, 1 p)) (N [1 p, 1))) = µ(n [, 1 p)) + µ(n [1 p, 1)) Eigenschaft ii) ergibt µ(n) = µ(n [, 1 p)) + µ(n [1 p, 1)) = µ((n + p) [p, 1)) + µ((n + p) [, p)) = µ(n p ). Bemerke, dass N p N q = für p q, p, q Q [, 1]. Ist z N p N q, so ist z = x + p (oder z = x + p 1) und z = y + q (oder z = y + q 1) mit x, y N. So folgt x y Q, also ist x y. Daher gilt x = y und p = q, oder p 1 = q, oder p = q 1). Aber p, q [, 1) und so gilt p q < 1, d.h., p = q ist die einzige Möglichkeit. Ferner gilt [, 1) = p Q [,1). Denn sei x [, 1), so gibt ein y N mit x y. D.h. p := x y Q, also gilt x = y + p. Sei q = 1 + p falls p < und q = p sonst. Dann ist q Q [, 1) und gilt x N q. Nun verwendet man iii): ( ) µ([, 1)) = µ N p = µ(n p ) = p Q [,1) p Q [,1) So erhält man einen Widerspruch. p Q [,1) µ(n) = {, µ(n) = +, µ(n) >. Folgerung: Es gibt keine Funktion mit Eigenschaften i), ii) und iii). Banach Tarski Paradox: Eine Kugel in endlich vielen Teile zerlegt werden, aus denen sich zwei Kugeln von Größe des Originals zusammensetzen lassen. 1

4 Sei beliebige Menge. 1 σ-algebren 1.1. Definition. Ein Mengensystem A P() heißt σ-algebra (über ), falls gilt: i) A ii) A A = A c A iii) A j A für j N = j N A j A. Ein Mengensystem A P() heißt Algebra (über ), falls i), ii) und iii ) gelten, wobei iii ) A j A für j = 1,..., N = N Bemerkungen, Beispiele: a) iii) kann ersetzt werden durch A j A. A j A, j N = j N A j A [denn: A j = ( A c j )c ] b) A σ-algebra, A j A N N =, A j, A j, A j A d. h. σ-algebra ist abgeschlossen unter abzählbaren Mengenoperationen. Zum Beweis: N A j = { B Aj, 1 j N i mit B i :=, j > N c) Sei A eine Algebra. So ist A genau dann σ-algebra, wenn es unter abzählbaren disjunkten Vereinigungen abgeschlossen ist, d.h., für alle A j A disjunkte Folge gilt A j A. c) {, } und P() sind σ-algebren. d) {A : A oder A c abzählbar} ist σ-algebra. e) {A : A oder A c endlich} ist keine σ-algebra, falls überabzählbar. f) {A α, α I} Familie von σ-algebren über = α I A α ist σ-algebra über 1.2. Definition. Sei = E P(). Dann heißt A σ (E) := {A : A σ-algebra über, E A} die von E erzeugte σ-algebra über. Bemerkung: A σ (E) wegen 1 f) wohldefiniert und die kleinste σ-algebra über, die E enthält. Beispiel: i) E σ-algebra = A σ (E) = E ii) E = {A} = A σ (E) = {, A, A c, } 2

5 1. σ-algebren Definition. Sei R n (oder allgemein topologischer Raum) und Dann heißt: O := {G : G offen in R n }. B() := A σ (O ) Borelsche σ-algebra von. B Borelsche Teilmenge von (Borel-Menge) Def. B B(). Bemerkung: A ist eine G δ -Menge in, falls A := j N G j mit G j R n offen. B ist eine F σ -Menge in, falls B := j N F j mit F j R n abgeschlossen. δ Durchschnitt σ Summe Induktiv erhält man G δσ, F σδ, G δσδ, F δσδ, usw. Mengen Bemerkung. a) E F = E A σ (F) b) E F = A σ (E) A σ (F) Borelmengen spielen wichtige Rolle: Sie werden von folgenden Mengensystemen erzeugt Satz. B(R) wird erzeugt von jedem der folgenden Mengensysteme: i) offene Intervalle E 1 = {(a, b) : a < b} ii) abgeschlossene Intervalle E 2 = {[a, b] : a < b} iii) halboffene Intervalle E 3 = {(a, b] : a < b} oder E 4 := {[a, b) : a < b} iv) E 5 = {(a, ) : a R} oder E 6 := {(, a) : a R} v) E 7 = {[a, ) : a R} oder E 8 := {(, a] : a R} Beweis. Die Mengensysteme E j, j = 1,..., 8 sind alle in B(R) enthalten, denn für j 3, 4 die Mengen in E j sind offen oder abgeschlossen. Ferner sind die Mengen in E 3 und E 4 G δ -Mengen: (a, b] = n=1 (a, b + 1 n ). Also E j B(R), und aus 1.4 folgt A σ (E j ) B(R). Umgekehrt: jede offene Teilmenge G von R ist abzählbare Vereinigung von offenen Intervallen (ÜA), daher ist O A σ (E 1 ), und nach 1.4 gilt B(R) = A σ (O) A σ (E 1 ). D.h. A σ (O) = A σ (E 1 ), also folgt i). Ferner: (a, b) = n=1 [a + 1 n, b 1 n ] A σ(e 2 ). D.h. E 1 A σ (E 2 ), und wegen 1.4 ist A σ (E 1 ) A σ (A σ (E 2 )) = A σ (E 2 ). Schon bekannt ist B(R) = A σ (E 1 ), also folgt B(R) A σ (E 2 ) und damit ii) auch. Andere Fälle (analog) als ÜA Satz. f : Y wobei, Y beliebige nichtleere Mengen. Ist N eine σ-algebra auf Y, so ist {f 1 (A) : A N } σ-algebra auf. Beweis Satz. f : Y wobei, Y beliebige nichtleere Mengen. Ist M eine σ-algebra auf, so ist {A Y : f 1 (A) M} σ-algebra auf Y. Beweis.

6 2 Maße Es sei und A P() eine σ-algebra Definition. a) Eine Abbildung µ : A [, ] heißt Maß (auf A), falls i) µ( ) =, ii) A j A, j N, A j A k = für j k = µ( A j ) = µ(a j ). (diese Eigenschaft heißt σ-additivität) Eigenschaft ii) impliziert ii ) (endlich additiv): A j A, 1 j N, A j A k =, j k = µ( N A j ) = N µ(a j ). [Wähle für j > N, A j = und verwende i) und ii).] b) (, A, µ) heißt Maßraum, falls gilt α) A eine σ-algebra über β) µ Maß auf A. c) Ist µ() < +, so heißt µ endlich Ist µ() = 1, so heißt µ Wahrscheinlichkeitsmaß. d) Falls = j A j mit A j A, µ(a j ) < + für alle j N, so heißt µ σ-endlich Satz [positive Linearkombination von Maßen]. Sei beliebige Menge A σ-algebra über. Ferner sei µ α : A [, + ] Maß und c α für alle α I. Dann definiert auch ein Maß. µ(a) := α I c α µ α (A) Def. := sup { N } c αj µ αj (A), α j I, N N Konstruktion von Maßen ist schwierig, also zunächst einfache Beispiele Beispiele. Sei beliebige Menge A σ-algebra über. a) -Maß: Wir setzen ν(a) := für alle A A. b) -Maß: Wir setzen µ(a) := + für alle A A, A und µ( ) =. c) Dirac-Maß: Wir setzen δ x : P() R +, δ x (A) := So heißt µ := δ x Dirac-Maß oder Punktmaß im Punkt x. d) Zählmaß: Wir setzen µ(a) := { card(a), A endlich, +, Dann heißt µ : P() [, + ] Zählmaß. Es gelten 4 { 1, x A,, x A. A unendlich.

7 2. MASSE 5 α) µ = δ x. x β) µ ist endlich endlich. γ) µ ist σ-endlich abzählbar. e) Sei überabzählbar und {A : A oder A c abzählbar}. Wir setzen {, A abzählbar µ : A [, 1], µ(a) := 1, A überabzählbar. Grundlegende Eigenschaften von Maßen: 2.4. Theorem. Sei (, A, µ) Maßraum. Dann gilt für A, B A: a) (Monotonie): A B = µ(a) µ(b). b) µ(a) < +, A B = µ(b \ A) = µ(b) µ(a). c) µ(a B) + µ(a B) = µ(a) + µ(b). d) (σ-subadditivät): A j A = µ( A j ) µ(a j ). e) (Stetigkeit von unten): A j A, A 1 A 2 A 3... = µ( A j ) = lim j µ(a j ) f) (Stetigkeit von oben): A j A, A 1 A 2 A 3... und µ(a 1 ) < + = µ( A j ) = lim j µ(a j ). Beweis. a), b) A B = µ(b) = µ(a) + µ(b \ A) = µ(b) µ(a). Ist µ(a) < +, so gilt µ(b) µ(a) = µ(b \ A). c) A B = A (B \ A) und B = (A B) (B \ A) µ(a B) = µ(a) + µ(b \ A) und µ(b) = µ(a B) + µ(b \ A) Ist µ(b \ A) < + = µ(a B) = µ(b) µ(b \ A) = µ(a B) + µ(a B) = µ(b) µ(b \ A) + µ(a) + µ(b \ A) = µ(a) + µ(b). Ist µ(b \ A) < +, so ist µ(b) = µ(b A) = + und c) trivial. d) Wir setzen B 1 := A 1, B k := A k \ k 1 A j für k > 1. Dann gilt B k A k und B j B k =, j k. Für n N gilt n A j = n B j. Daher µ( A j ) = µ( B j ) = µ(b j ) µ(a j ). e) Setze A =, B k := A k \ A k 1 für k 1. Dann B j B k =, j k und A m = m k=1 B k, somit ist k=1 B k = k=1 A k. Also m µ( A k ) = µ( B k ) = µ(b k ) = lim µ(b k ) = lim µ(a m). m m k=1 k=1 k=1 f) Setze B j = A 1 \ A j. So ist B j B j+1, und damit ist e) verwendbar: µ(a 1 ) µ( A j ) = µ(a 1 \ A j ) = µ (A 1 ( ) ) ( ) ( ) c A j = µ A 1 A c j = µ A 1 A c j ) = µ ( A 1 \ A j = lim µ(a 1 \ A n ) = µ(a 1 ) lim µ(a n). n n k=1

8 2.5. Definition. Sei (, A, µ) Maßraum. a) N A heißt µ-nullmenge, falls µ(n) =. b) µ heißt vollständig, falls alle Teilmengen von µ-nullmengen zu A gehören Satz. Sei (, M, µ) ein Maßraum. Dann existiert ein vollständiger Maßraum (, M, µ ) mit M M und µ M = µ. Beweis. 6

9 3 Äußere Maße Ziel dieses Paragraphen ist es Techniken zu entwickeln um Maße zu konstruieren Definition. Sei, E P() mit E. Eine Funktion µ : E [, + ] heißt relativ äusseres Maß (outer measure) auf, falls i) µ ( ) =, ii) (Monotonie): A B = µ (A) µ (B), iii) (Subadditivität): A j P(), für alle j N = µ ( A j ) µ (A j ). Ist E = P(), dann heißt ein relativ äusseres Maß auf E äusseres Maß über. Bemerkung: Jedes Maß ist ein relativ äusseres Maß Theorem [Konstruktion äusseren Maßen]. Sei E P() mit E. Sei ρ : E [, ] so daß ρ( ) =. Für A definiere { } µ (A) := inf ρ(e j ); E j E und A E j (Hier benutzt man die Konvention inf = +.) Dann ist µ ein äußeres Maß auf. Beweis. Klar ist µ ( ) =. Zur Monotonie: A B und B j N B j mit B j E = A j N B j mit B j E. Zur Subadditivität: Seien A j P()m und ε >. Wenn µ (A j ) = + für ein j N, dann ist die Ungleichung in iii) trivial. Also für jede N existiert E k j E mit Ferner A j k=1 A j k=1 E k j Ej k = µ( A j ) und ρ(ej k ) µ (A j ) + ε 2 j. k=1 k=1 ρ(ej k ) Da hier ε > beliebig ist, erhält man die Behauptung Beispiel. Für a, b R n nennen wir vol n (a, b) := ( µ (A j ) + ε ) = 2 j µ (A j ) + ε. n (b j a j ) falls a b sonst das n-dimensionale Volumen des Intervalls (a, b). Ferner sei J n := {(a, b) : a, b R n, a b}. Für A R n nennen wir { } λ (A) := inf vol n (I j ) : I j J n und A I j das n-dimensionale äußere Lebesguesche Maß (nach 3.2 wohldefiniert, wobei = R n und E = J n ) Satz. Es gelten λ n([a, b]) = vol n (a, b), λ n((a, b)) = vol n (a, b), λ n([a, b)) = vol n (a, b) und λ n((a, b]) = vol n (a, b). 7

10 3. ÄUSSERE MASSE 8 Beweis. Für ein Intervall I bezeichnen wir mit I ε das um das Mittepunkt des Intervals durch (1 + ε) vergrößerte Intervall. Zum Beispiel für I = [a, b] ist I ε = [a ε b a 2, b + ε b a 2 ]. Wir betrachten das Intervall [a, b], a b. Setze r = (b a)/2 R n und sei ε >. Betrachte die Überdeckung [a, b] (a εr, b+εr) mit (a εr, b+εr) J n und vol n (a εr, b+εr) = (1+ε) n vol n (a, b). Dies gilt für ε > beliebig, so folgt λ n([a, b]) vol n (a, b). Sei jetzt ε > und [a, b] j N I j, I j J n eine Überdeckung mit vol n (I j ) λ n([a, b]) + ε. Da [a, b] kompakt ist können wir eine endliche Teilüberdeckung (a, b) N I j wählen b I j a a j = (a j , a j 2) b j = (b j 1, b j 2) a Ĩ i1,i2 I j b a j = (a j 1, a j 2) b j = (b j 1, b j 2) Hier sind I j = (a j 1, bj 1 ) (aj n, b j n), j = 1,..., N. Setze k := {a j k : a k a j k b k, 1 j N} {b j k : a k a j k b k, 1 j N} die Mengen allen kten Koordinaten der Intervallen. Wir nennen die Elementen in k {a k, b k } um: k = {a k =: t k < t1 k < t2 k < < tn k k := b k }, k = 1,..., n. Wir setzen weiter Ĩi 1,i 2,...,i n := (t i 1 1 1, t i ) (t i n 1 n, t i n 1 n ), 1 i k N k, 1 k n. So ist jedes Intervall Ĩi 1,i 2,...,i n mit mindestens einem I j überdeckt. Ferner sind Ĩi 1,i 2,...,i n paarweise disjunkt. So erhält man vol n (a, b) = i 1,i 2,...,i n vol n (Ĩi 1,i 2,...,i n ) N vol n (I j ) vol n (I j ) λ n([a, b]) + ε. Sei δ >. Durch die Vergrößerung der Intervallen erhalten wir eine Überdeckung [a, b] mit vol n (a, b) i 1,i 2,...,i n vol n (Ĩδ i 1,i 2,...,i n ) = (1 + δ) n i 1,i 2,...,i n Ĩ δ i 1,i 2,...,i n i 1,i 2,...,i n vol n (Ĩi 1,i 2,...,i n ) (1 + δ) n (λ n([a, b]) + ε). Dies gilt für alle δ >, also vol n (a, b) λ n([a, b]) + ε. Da hier ε > beliebig ist, so folgt vol n (a, b) λ n([a, b]). Die andere Fälle kann man mit ähnlichen Techniken beweisen. In Korollar 3.1 geben wir einfachere Beweise. Bemerkung: Das Argument im obigen Beweist zeigt, dass für E = {[a, b] : a, b R n, a b}, und ρ = vol n bekommt man, dasselbe äußere Maß λ n Definition [Carathéodory-Messbarkeit]. Sei µ äußeres Maß auf. A heißt µ Def. -messbar: µ (H) = µ (H A) + µ (H A c ) für alle H.

11 3. ÄUSSERE MASSE 9 Bemerkung: a) H = (H A) (H A c ) = µ (H) µ (H A) + µ (H A c ), d.h., A ist µ -messbar µ (H) µ (H A) + µ (H A c ) für alle H. b) A ist µ -messbar A c µ -messbar Theorem [Carathéodory, 1918]. Es sei µ äußeres Maß auf und M µ := {A : A µ -messbar}. Dann ist M ist σ-algebra über und µ := µ M ist vollständiges Maß auf M (das von µ induzierte Maß). Beweis. Klar ist M µ. Die obige Bemerkung b) gibt, dass A c M µ, falls A M µ. Zunächst zeigen wir, dass M µ eine Algebra ist. Sei also A, B M µ und H beliebig. Es gilt µ (H) = µ (H A) + µ (H A c ) = µ (H A B) + µ (H A B c ) + µ (H A c B) + µ (H A c B c ) µ (H (A B)) + µ (H (A B) c ). So aus Bemerkung a) folgt, A B M µ. Es bleibt zu zeigen, dass M µ unter abzählbaren, disjunkten Vereinigung abgeschlossen ist. Bemerke, dass für A, B M µ mit A B = gilt µ (A B) = µ (A) + µ s (B). In der Tat, für solchen A und B haben wir µ (A B) = µ ((A B) A) + µ ((A B) A c ) = µ (A) + µ (B). Nun seien A j M µ, j N paarweise disjunkt. Zu zeigen ist A j M µ. Setze B n := n A j und B := B j. Für H gilt µ (H B n ) = µ (H B n A n ) + µ (H B n A c n) = µ (H A c n) + µ (H B n 1 ), so erhält man induktiv Da M µ Daraus folgt µ (H B n ) = eine Algebra ist, gilt B n M µ. Daher n µ (H A j ). µ (H) = µ (H B n ) + µ (H B c n) = µ (H) n µ (H A j ) + µ (H B c ). µ (H A j ) + µ (H B c ) σ-subadd. µ ( n µ (H A j ) + µ (H Bn) c H A j ) + µ (H B c ) = µ (H B) + µ (H B c ). So folgt die µ -Messbarkeit von B und µ (B) = µ (B j ) auch. Zur Vollständigkeit: Sei N M µ mit µ (N) = und A N. Dann gilt µ (H) µ (H A) + µ (H A c ) µ (N) + µ (H) = + µ (H). Es gilt hier überall =, und so ist A M µ.

12 3. ÄUSSERE MASSE 1 Notation: Es seien A, B R n. Wir setzen dist(a, B) := inf a b, a A, b B diam(a) := sup x y x,y A 3.7. Definition. Sei µ äußeres Maß auf R n. Dann heißt µ metrisch, falls µ (A B) = µ (A) + µ (B) für alle A, B R n mit dist(a, B) > Satz. Sei µ äußeres Maß auf R n. Dann gilt B(R n ) M µ µ ist metrisch. Beweis. : Es seien A, B R n mit dist(a, B) >. Dann A B =, und nach Voraussetzung gilt A M µ. D.h. µ (A B) = µ ((A B) A) + µ ((A B) A c ) = µ (A) + µ (B). : Wir zeigen, dass, wenn G offen ist, gilt G M µ. Setze G k := {x G : dist(x, R n \ G) 1 k }. Sei ferner U k := G k \ G k 1. Für alle H R n und m N gilt H G = H G m k=m+1 H U k. Setze a k := µ (H G k ). So erhält manµ (H G) µ (H G m ) + k=m+1 a k. Falls k a k < +, dann gilt µ (H G) lim m µ (H G m ). Falls k a k = +, dann gilt k a 2k = + oder k a 2k+1 = +. Wegen Symmetrie können wir OBDA annehmen k a 2k = +. Bemerke, dass dist(u 2k, U 2l ) > falls k l. Nach Voraussetzung ist µ metrisch, also gilt N a 2k = k=1 N N µ (H U 2k ) = µ ( H U 2k ) µ (H G 2N ). k=1 So folgt lim N µ (H G 2N ) = +, und damit µ (H G) lim m µ (H G m ). Wir haben gezeigt, dass µ (H G) lim m µ (H G m ). Daraus folgt: k=1 µ (H) µ ((H G m ) (H \ G)) = µ (H G m ) + µ (H \ G). Für m erhält man µ (H) lim m µ (H G m ) + µ (H \ G) µ (H G) + µ (H \ G), damit die Behauptung Satz. Das n-dimensionale äußere Lebesguesche Maß ist ein metrisches äußeres Maß. Beweis. Es seien A, B R n mit dist(a, B) >. Sei jetzt < δ < dist(a,b) 2. Betrachte den Gitter mit n Seitenlange δ. Wähle die abgeschlossene Würfeln I j, j = 1,..., N bzw. J i, i = 1,..., M in diesem Gitter mit I j A und J i B. Dann sind I j J i = (denn diam(i j ) = diam(j i ) = δ/2 < d). Somit gilt A und N I j, B M J i, i=1 A B N M I j J i, i=1 N M vol n (I j ) + vol n (J i ) λ n(a) + λ n(b). i= A dist(a, B) B δ δ Daher erhält man λ n(a B) λ n(a) + λ n(b). Dies zusammen mit Subadditivität liefert die Behauptung.

13 3. ÄUSSERE MASSE Korollar. Es gelten λ n([a, b]) = vol n (a, b), λ n((a, b)) = vol n (a, b), λ n([a, b)) = vol n (a, b) und λ n((a, b]) = vol n (a, b). Beweis. Den Fall [a, b] wissen wir schon. Die andere Behauptungen folgen daraus, denn gelten: (a, b) = [a + 1 n 1, b 1 n 1], [a, b) = [a, b 1 n 1], n=1 n=1 (a, b] = n=1 [a + 1 n1, b],. So kann man die Monotonie des Maßes λ n B(R n ) verwenden.

14 4 Lebesguesche Maße 4.1. Definition. a) Das vom äußeren Lebesgueschen Maß λ n induzierte Maß λ n heißt n-dimensionales Lebesguesches Maß. b) L n := {A R n : A ist λ n -messbar} heißt die σ-algebra der Lebesgue-messbaren Teilmengen von R n. Folgender Satz läßt sich mit Resultaten aus 3 beweisen Theorem. Es gilt i) (R n, L n, λ n ) ist ein σ-endlicher vollständiger Maßraum mit B(R n ) L n. ii) Für jedes Intervall [a, b] mit a, b R n, (a b) gilt iii) K R n ist kompakt = λ n (K) < +. λ n ([a, b]) = vol n (a, b) = n (b n a n ). k=1 Beweis. Nur iii) is noch nicht bewiesen. Sei K R n kompakt. Dann existieren a, b R n mit K [a, b]. Die Monotonie von λ n liefert λ n (K) λ n ([a, b]) < Korollar. Sei N R n. Dann gilt: N ist Lebesgue-Nullmenge, d.h. λ n (N) = für alle ε > existiert eine Folge von offenen Intervallen (I j ) j 1 mit N I j und vol n (I j ) < ε. Beweis. Da λ n(n) = λ n (N) =, die Behauptung folgt aus der Definition von λ n (siehe 3.2) Korollar. A R n ist abzählbar = A ist Lebesgue-Nullmenge. Beweis. Wir zeigen, dass für x R n gilt λ n ({x}) =. In der Tat: {x} (x ε1, x + ε1), und λ n ((x ε1, x + ε1)) = (2ε) n. Also ist λ n ({x}) =, und die Behauptung folgt aus der σ-additivität von λ n. (Hier ist 1 = (1, 1,..., 1) R n.) 4.5. Satz. Für A L n gilt: λ n (A) i) = inf{λ n (G) : G R n offen, A G} ii) = sup{λ n (K) : K R n kompakt, K A}. Beweis. i): Da A G impliziert λ n (A) λ n (G), so ist offensichtlich. Ist λ n (A) = + so folgt sogar =. Sei also λ n (A) < + und ε >. Nach Definition existiert eine Überdeckung A j N I j, I j J n, mit j N vol n(i j ) λ n (A) + ε. Setze G := j N I j, so ist G R n offen, und wegen σ- Subadditivität gilt λ n (G) j N λ n(i j ) und so λ n (A) λ n (A) + ε. Dies gilt für alle ε >, also ist in i) bewiesen. 12

15 4. LEBESGUESCHE MASSE 13 ii): Sei zunächst A beschränkt. Dann existiert ein C R n kompakt mit A C. Es gilt dann R n \ C L n. Für ε > existiert G R n offen mit C \ A G und λ n (G) λ n (C \ A) + ε (siehe Teil i)). Setze K := C \ G, dann ist natürlich K kompakt und gilt K A, C K G. Ferner λ n (C) λ n (K) + λ n (G) λ n (K) + λ n (C \ A) + ε = λ n (K) + λ n (C) λ n (A) + ε. Damit erhalten wir λ n (A) ε λ n (K), und so folgt die Behauptung. Sei jetzt A unbeschränkt. Setze A j := A (B(, j + 1) \ B(, j)), welche Mengen natürlich disjunkt sind. Für ε > und j N existiert nach dem Obigen K j A j mit λ n (K j ) λ n (A j ) ε/2 j. Wir setzen H N := N K j. Dann ist H N A kompakt und gilt λ n (H N ) λ n ( N A j) ε. Die Stetigkeit von des Maßes λ n liefert λ n (A) = lim n λ n ( N A j), und so die Behauptung Lemma. Sei A L n. Dann existiert eine F σ -Menge F und eine G δ -Menge G derart, dass F A G und λ n (F ) = λ n (A) = λ n (G). Beweis. Sei erst λ n (A) < +. Für jede j N erhält man durch das Verwenden von 4.5 kompakte Mengen K j und offene Mengen G j, mit K j A G j, K j K j+1, G j G j+1 und λ n (A) 1 j λ n(k j ) λ n (A) λ n (G j ) λ(a) + 1 j. Somit hat man für F = j N K j und G := j N G j, dass λ n (F ) = lim j λ n (K j ) = λ n (A) und λ n (G) = lim j λ n (G j ) = λ n (A). Sei jetzt λ n (A) = +. So gilt λ n (G) λ n (A) = + für alle G A G δ -Mengen. Wähle K j K j+1 A kompakt mit λ n (K j ) j (siehe 4.5). Setze F = j N K j. Die Stetigkeit des Maßes λ n von unten liefert λ n (F ) = lim j λ n (K j ) = λ n (A) = +. Bemerkung: In obigen Satz kann F als abzählbare Vereinigung kompakten Mengen gewählt werden (dies ist eigentlich im Beweis gezeigt). Solche Mengen nennen wir σ-kompakt Satz. Für A R n gilt: A L n A = S N, wobei N Lebesgue-Nullmenge und S als abzählbare Vereinigung von kompakten Mengen dargestellt werden kann. Beweis. : Sei S und N wie in der Aussage, so gilt S B(R n ) L n, und so S N L n. : λ n ist σ-endlich: A = j N A j mit λ n (A j ) < +. Für alle j N existiert S j A j, S j abzählbare Vereinigung kompakten Mengen und λ n (S j ) = λ n (A j ). Setze N j := A j \ S j. So gilt λ n (N j ) = λ n (A j \ S j ) =, und N := j N N j ist auch eine Lebesgue-Nullmenge (σ-subadditivität). Es gilt A = j N N j S j = j N N j j N S j = N S, mit S = j N S j. Hier ist S auch abzählbare Vereinigung von kompakten Mengen, also folgt die Behauptung Definition. Sei (R n, A, µ) Maßraum. Das Maß µ heißt (Borel)-regulär, falls i) B(R n ) A (d.h. alle Borel-Mengen sind messbar). ii) µ(a) = inf{µ(g) : G R n offen, A G} = sup{µ(k) : K kompakt, K A} für alle A A. Gilt außerdem iii) µ(k) < + für alle K R n kompakt,

16 4. LEBESGUESCHE MASSE 14 so heißt µ Radon-Maß. Ferner definiert man: Die Restriktion des Lebesguemaßes λ n auf B n heißt n-dimensionales Borel-Lebesgue-Maß. Wir betrachten nun maßtheoretische und topologische Eigenschaften gemeinsam. Erinnerung: Sei R n. f : R n heißt Lipschitz-stetig, falls L existiert mit f(x) f(y) L x y für alle x, y Satz. Sei N R n eine Lebesgue-Nullmenge und f : N R n Lipschitz-stetig. = f(n) ist eine Lebesgue-Nullmenge. Beweis. Wir betrachten auf R n die -Norm: x := max{ x 1, x 2,..., x n } (auf R n sind alle Norme äquivalent). Nach Voraussetzung gibt es ein L mit (1) f(x) f(y) L x y für alle x, y N. Da N eine Nullmenge ist, existiert eine Überdeckung N I j mit j N vol n(i j ) < ε. OBDA können wir annehmen, dass I j alle Würfel mit Kantenlänge l j sind. Wegen (1) existiert ein W j Würfel mit Kantenlänge L l j so, dass f(n I j ) W j. Dann gilt f(n) = f( j N N I j ) = j N f(n I j ) j N W j, und j N vol n (W j ) j N L n l n j = L n j N l n j = L n j N vol n (I j ) < L n ε. Hier ist ε > beliebig, somit folgt die Behauptung Lemma. Jede offene Teilmenge U von R n kann dargestellt werden als abzählbare Vereinigung paarweise disjunkter Intervalle der Form [a, b) mit a, b Q n, oder als abzählbare Vereinigung nicht unbedingt disjunkter aber kompakter Intervalle [a, b] mit a, b Q n. Beweis Satz. Sei G R n offen, f C 1 (G, R n ) (f : G R n stetig differenzierbar) und N G eine Lebesgue-Nullmenge. = f(n) ist eine Lebesgue-Nullmenge. Beweis. Wir schreiben G = j N I j mit I j = [a j, b j ] kompakt (siehe 4.1). Die Ableitung f : G L(R n ) ist nach Voraussetzung stetig, so ist sie auf den kompakten Menge I j beschränkt: f (x) L(R n ) C j für alle x I j. Der Mittelwertsatz zeigt, dass f(x) f(y) sup x Ij x y C j x y. So ist f auf I j Lipschitz, und aus Satz 4.9 folgt, dass f(n I j ) =. Somit ist f(n) = f(n j N I j) = j N f(n I j) = Korollar. Sei G R n, f C 1 (G, R n ) und M G sei Lebesgue-messbar. = f(m) ist Lebesgue-messbar. Beweis. Nach Satz 4.7 läßt M sich als M = S N mit S σ-kompakt und N Lebesgue-Nullmenge zu schreiben. So ist S = j N K j mit K j kompakt, und f(m) = f(s) f(n) = j N f(k j) f(n). Hier ist f(k j ) kompakt (denn f ist stetig) und f(n) Lebesgue-Nullmenge (verwende Satz 4.11). Dies zeigt f(m) L n Satz. (R n, L n, λ n ) ist translationsinvariant, d.h. für alle a R n und A L n gilt a + A L n und λ n (a + A) = λ n (A). Ferner A B(R n ) = a + A B(R n ).

17 4. LEBESGUESCHE MASSE 15 Beweis. Klar, dass vol n translationsinvariant ist. = λ n translationsinvariant = (λ n translationsinvariant und A L n impliziert a + A L n ). Sei a R n. Trivial ist: G offen = a+g offen. Setze f : R n R n, f(x) = x a. So ist f 1 (x) = x+a. Sei ferner A := {A R n : f 1 (A) B(R n )}. Dann ist A eine σ-algebra, und enthält alle offene Mengen, so ist B(R n ) A (siehe 1.4) Theorem [Charakterisierung des Lebesgue Maßes]. Das n-dim. Borel-Lebesgue Maß ist das einzige reguläre, translationsinvariante Maß auf B(R n ) mit µ([, 1)) = 1. Beweis. Schritt 1: Sei a, b Q n mir a b. Translationsinvarianz = µ([a, b)) = µ([, b a) + a) = µ([, b a)). Da b a Q n, so ist b a = ( m 1 m, m 2 m,..., m n m ) für ein m j, m Z. D.h. [, b a) ist darstellbar als paarweise disjunkte Vereinigung von m 1 m 2 m n Intervallen, welche aus [, 1 m1) durch Translation entstehen. Wegen Translationsinvarianz erhalten wir µ([, b a)) = m 1 m 2 m n µ([, 1 m 1)). Schritt 2: Wir bestimmen zunächst µ([, 1 m 1)). Da µ([, 1)) = mn µ([, 1 m 1)), so gilt µ([, 1 m 1) = 1 Dies mit Schritt 1 zeigt µ([a, b)) = µ([, b a)) = m 1m 2 m n m = λ n n ([, b a)) = λ n ([a, b)). Schritt 3: Lemma 4.1 gibt dass λ n (G) = µ(g) für alle G R n offen. Die Regularität liefert dann λ n (B) = µ(b) für alle B B(R n ) Satz. Sei T L(R n ) und A L n. Dann gilt: λ n (T (A)) = det T λ n (A). Beweis. Schritt 1: Sei erst det T. D.h. T : R n R n is invertierbar und sogar ein Homöomorphismus. So gilt B B(R n ) T (B) B(R n ). Setze µ(b) := λ n (T (B)) für alle B B(R n ). Dann ist µ ein Borel-Maß. Ferner ist µ regulär: µ(b) = λ n (T (B)) = inf{µ(g) : T (B) G, G offen} = inf{µ(g) : B T 1 (G), G offen} = inf{µ(g ) : B G, G offen}; µ(b) = λ n (T (K)) = sup{µ(k) : K T (B), K kompakt} = sup{µ(k) : T 1 (K) B, K kompakt} = inf{µ(k ) : K B, K kompakt}. µ ist auch translationsinvariant (bemerke, dass B Borel = B + a Borel): µ(b + a) = λ n (T (B + a)) = λ n (T (B) + T a) = λ n (T (B)) = µ(b). So gilt nach Theorem 4.14 µ(b) = µ([, 1)) λ n (B). für alle B B(R n ). Ferner für A L n gilt A = B N mit B B(R n ) und N Lebesgue-Nullmenge. So folgt λ n (T (A)) = λ n (T (B N)) = λ n (T (B) T (N)) = λ n (T (B)) = µ([, 1))λ n (B) = µ([, 1))λ n (A), wo wir haben auch benutzt, dass T (N) wegen 4.11 eine Lebesgue-Nullmenge ist. Schritt 2: Nun bestimmen wir µ([, 1)), zunächst in speziellen Fällen. Betrachte Matrizen der folgenden Form: a α) Permutationsmatrix, β) 1, oder γ) Sei erst T der Form α). Dann ist T ([, 1)) = [, 1), und somit µ([, 1)) = λ n ([, 1)) = 1 = det(t ). Sei jetzt T der Form β) mit a. Dann ist { [, a) [, 1) [, 1) für a > T ([, 1)) = (a, ] [, 1) [, 1) für a <. m n.

18 So gilt µ([, 1)) = λ n (T ([, 1))) = a = det(t ). Sei T der Form γ). Betrachte e j Standardbasisvektoren und x = x 1 e 1 + x 2 e x n e n [, 1). Dann ist T x = (x 1 + x 2 )e 1 + x 2 e 2 + x n e n. Also gilt Wir setzen T ([, 1)) = {x R n : x j 1, j = 1,..., n, x 2 x 1 < x 2 + 1}. B 1 := {x R n : x j 1, j = 1,..., n, x 2 x 1 < 1} B 2 := {x R n : x j 1, j = 1,..., n, 1 x 1 < 1 + x 2 }. und So gilt T ([, 1)) = B 1 B 2. Ferner ist B 1 (B 2 e 1 ) = [, 1). Wegen Translationsinvarianz und B 1 B 2 = = B 1 (B 2 e 1 ) gilt µ([, 1)) = λ n (T ([, 1)) = λ n (B 1 B 2 ) = λ n (B 1 ) + λ n (B 2 ) = λ n (B 1 ) + λ n (B 2 e 1 ) = λ n (B 1 (B 2 e 1 )) = λ n ([, 1)) = 1 = det(t ). So haben wir gesehen, dass für solche Matrizen T gilt µ([, 1)) = det(t ) und somit µ(b) = det(t )λ n (A) für alle A L n. [,1) 11 1 B B e B B 1 T([,1)) e 1 Schritt 3: Zunächst Erinnerung an Linear Algebra: jede Matrix läßt sich als Produkt T = T 1 T 2 T k von Matrizen T j der Form schreiben α), β) oder γ). So gilt µ(a) = λ n (T (A)) = λ n (T 1 T 2 T k (A)) = det(t 1 )λ n (T 2 T k (A)) = det(t 1 ) det(t 2 )λ n (T 3 T k (A)) = = det(t 1 ) det(t 2 ) det(t k )λ n (A) = det(t ) λ n (A). Schritt 4: In dem Fall det T =, ist T (A) in einem Unterraum V R n enthalten. Damit ist λ n (T (A)) λ n (V ). Wir zeigen nun, dass λ n (V ) = gilt für alle Unterräume V R n mit d := dim V n, und daher folgt die Behauptung auch für det T =. Man betrachtet eine orthonormale (unitäre) Transformation O mit O(V ) = R d {}. So ist λ n (O(V )) = det O λ n (V ) = λ n (V ). Es ist einfach λ n (O(V )) = λ n (R d {}) = zu zeigen. 16

19 5 Meßbare Funktionen Vorbemerkung, siehe 1.6: f : Y wobei, Y beliebige nichtleere Mengen Ist N eine σ-algebra auf Y, so ist {f 1 (A) : A N } σ-algebra auf Definition. a) Sei eine nichtleere Menge, M eine σ-algebra auf. Dann heißt (, M) messbarer Raum. b) Seien (, M) und (Y, N ) messbare Räume. Eine Abbildung f : Y heißt (M, N )-messbar (oder kurz messbar), falls f 1 (E) M für alle E N Lemma. Sei N = A σ (E) die von E P(Y ) erzeugte σ-algebra. Dann gilt: f : Y ist (M, N )-messbar f 1 (E) M für alle E E. Beweis. Setze A := {A Y : f 1 (A) M}. Dann ist A eine σ-algebra auf und E A. So gilt nach 1.4 A σ (E) A Korollar. Sei f : R n R m stetig (allgemeiner: f : Y, wobei, Y topologische Räume). = f ist (B(R n ), B(R m ))-messbar. Beweis. Die Borel-σ-Algebra wird von den offenen Mengen O erzeugt: B(R n ) = A σ (O). Ferner ist das Urbild f 1 (G) einer offenen Menge G R m offen, denn f ist stetig. So endet Lemma 5.2 den Beweis. Weitere Notationen: a) Sei f : K, wobei (, M) messbarer Raum und K = R oder C. Dann heißt f M-messbar oder einfach messbar, falls f (M, B(R)) bzw. (M, B(C))-messbar ist. b) Insbesondere gilt: f : R n C heißt Lebesgue (Borel)-messbar, falls f (L, B(C))-messbar ((B, B(C))-messbar) ist. Vorsicht: f, g Lebesgue-messbar f g Lebesgue-messbar Bemerkung. a) Sei (, M) messbarer Raum, Y = R n, Z = R m und f : Y M-messbar, g : Y Z stetig. Dann ist g f : Z M-messbar. b) Sei (, M) messbarer Raum und f = (f 1,..., f n ) : K n. Dann gilt f messbar f j messbar für j = 1,..., n Folgerungen. Sei (, M) messbarer Raum. Dann gilt: i) f : K n messbar = f : R messbar. ii) f : C messbar = Rf, If : R messbar. iii) f, g : K n messbar = f + g, αf : K n messbar, α K. (Vektorraum-Struktur) iv) f, g : K messbar = f g : K messbar. (Algebra-Struktur) Beweis. Man verwendet Bemerkung 5.4. Zum Beispiel: iii) Betrachte die stetige Funktion P : R n R n R n, P (x, y) = x + y und die, nach Bemerkung 5.4 b) messbare Funktion F : R n R n, F (x) = (f(x), g(x)). So ist f + g = P F, und die Messbarkeit folgt aus Bemerkung 5.4 a) Satz. Sei (, M) messbarer Raum und f : R. Äquivalent sind: 17

20 5. MESSBARE FUNKTIONEN 18 i) f ist M-messbar. ii) f 1 ((a, )) M für alle a R. iii) f 1 ([a, )) M für alle a R. iv) f 1 ((, a]) M für alle a R. v) f 1 ((, a)) M für alle a R. Beweis. Folgt aus 1.5 und Bemerkung. Wir betrachten R = [, + ] und definieren B(R) := {A R : A R B(R)}. (Dies stimmt mit üblichen Definition von Borel-Mengen überein, denn R ist ein metrischer Raum mit d(x, y) = arctg x arctg y.) a) Dann wird B(R) erzeugt durch Intervalle (a, + ] oder [, a), a R. b) f : R heißt M-messbar falls (M, B(R))-messbar. c) f : R ist M-messbar f 1 ({+ }), f 1 ({+ }), f 1 (B) M für alle B B(R). d) 5.5 bleibt richtig für R-wertige Funktionen, wenn die Operationen + bzw. sinnvoll sind. Wir verabreden weiterhin die Konvention =. e) Für f : R definieren wir f + := max{f, }, f := max{ f, }. Es gelten f = f + f, f = f + + f, f = sgn f f Satz. Seien f n : R messbar. Dann sind a) sup n N f n, b) inf n N f n, c) lim sup n f n, d) lim inf n f n auch messbar. Beweis. a) Setze f = sup n N f n. Nach 5.6 ist {x : f(x) > α} M für α R zu zeigen. Es gilt {x : f(x) > α} = {x : existiert n N mit f n (x) > α} = n N{x : f n (x) > α}. Da nach Voraussetzung ist {x : f n (x) > α} M für n N, die Behauptung folgt. c) Ähnlich zu a): setze f = lim sup n f n. Nach 5.6 ist {x : f(x) > α} M für α R zu zeigen. Es gilt {x : f(x) > α} = {x : existieren unendlich vielen n N mit f n (x) > α} = {x : f k (x) > α}. }{{} n N k n M }{{} } M {{ } M Die Andere Aussagen lassen sich analog beweisen Satz. Seien f, f n : R messbar für alle n N. Falls f(x) := lim n f n(x) existiert für alle x, so ist f messbar. Beweis. Folgt aus 5.8 Wir betrachten nun die grundlegenden Funktionen für das Integral.

21 5. MESSBARE FUNKTIONEN Definitionen + Bemerkung. Sei (, M) messbarer Raum und A. a) Die charakteristische Funktion χ A von A (Indikationsfunktion von A, 1 A, etc.) ist definiert durch { 1, x A, χ A (x) :=, sonst. b) ϕ : K heißt einfach, falls ϕ ist messbar und ϕ() ist endliche Teilmenge von K. ϕ ist endliche Linearkombination von χ A mit A M und Koeffizienten aus K. c) ϕ ist einfach = ϕ = N a j χ Aj mit ϕ() = {a 1, a N } und A j := ϕ 1 ({a j }). [Standard-Darstellung] Theorem [Approximationssatz]. Sei (, M) messbarer Raum. a) f : [, + ] ist messbar existiert eine Folge (ϕ n ) von einfachen Funktionen mit ϕ 1 ϕ 2 f und ϕ n f punktweise. b) f : K ist messbar Folge (ϕ n ) von einfachen Funktionen mit ϕ 1 ϕ 2 f und ϕ n f punktweise. Beweis. a) : Folgt aus 5.9. : Für n N und j = 1, 2,..., n2 n setze A j n := f 1 ([ j 1 2 n, j 2 n )), und B n := f 1 ([n, + ]). Dann gilt A j n, B n M für n, j N. Setze ferner ϕ = und ϕ n := n2 n j 1 2 n χ A j n + nχ B n, n 1. Natürlich ist ϕ n einfach und gilt ϕ ϕ 1 ϕ 2 f. Sei x f 1 ([, + )), dann existiert n x N mit f(x) ϕ n (x) 1/2 n für n n x. Ist f(x) = +, dann für ϕ n (x) = n für alle n N. Zusammenfassend: ϕ n (x) f(x) für n und alle x. b) Sei f = g + ıh. Wir wenden Teil a) auf g +, g, h + und h an. So erhält man ξ n g +, ψ n g, η n h +, ζ n h. Setze ϕ n := ξ n ψ n + ı(η n ζ n ). So gilt ϕ n f punktweise für n. Ferner gilt für x ϕ n (x) ϕ n+1 (x) f(x). [n, + ) [n, + ) f f [ i 1 2 n, i 2 n ) [ i 1 2 n, i 2 n ) ϕ n [ j 1, j 2 n [, 1 ) 2 n 2 n ) [ j 1, j 2 n [, 1 ) 2 n 2 n ) A 1 n A i n A j n B n A 1 n A i n A j n B n

22 6 Integration positiver Funktionen In diesem Abschnitt sei (, M, µ) ein Maßraum. Ferner sei M + := {f : [, + ], f messbar}. Erinnerung: ϕ M einfach = ϕ besitzt Standard-Darstellung N ϕ = a j χ Aj, wobei rg(f) := f() = {a 1, a N } und A j = f 1 ({a j }) Definition. a) Sei ϕ M + einfach mit Standard-Darstellung. Wir setzen N ϕ dµ := a j µ(a j ) und nennen diesen Ausdruck das Lebesgue-Integral von ϕ bzgl. µ. b) Falls A M, so nennen wir ϕ dµ := das Lebesgue-Integral von ϕ über A bzgl. µ. A ϕχ A dµ Bemerkung: Sei ϕ = M b k χ Bk k=1 nicht unbedingt in standard Darstellung, b k, dann gilt M ϕ dµ = b k µ(b B k ). B k= Lemma. Seien ϕ, ψ M + einfach. Dann gilt: a) Für α ist αϕ dµ = α ϕ dµ. b) (ϕ + ψ) dµ = ϕ dµ + ψ dµ. c) ϕ ψ = ϕ dµ ψ dµ. d) Die Abbildung A A dµ ist Maß auf M. Beweis. a) Trivial aus Definition. b) Sei ϕ = N a j χ Aj und ψ = M b k χ Bk, mit A j bzw. B k paarweise disjunkt. Dann gilt ϕ dµ + ψ dµ = = k=1 N M a j µ(a j ) + b k µ(b k ) = M k=1 k=1 N N (a j + b k )µ(a j B k ) = a j M k=1 ϕ + ψ dµ, µ(a j B k ) + M N b k k=1 µ(a j B k ) 2

23 6. INTEGRATION POSITIVER FUNKTIONEN 21 wobei wir haben auch benutzt, dass A j = M k=1 (A j B k ) und B k = N (A j B k ). c) Analog zu Teil b): Sei ϕ = N a j χ Aj und ψ = M b k χ Bk, mit A j bzw. B k paarweise disjunkt. Dann gilt ϕ dµ = N a j µ(a j ) = N k=1 k=1 M a j µ(a j B k ) N M M b k µ(a j B k ) = b k µ(b k ) = k=1 wo a j = ϕ(x) ψ(x) = b k für x A j B k gilt nach Voraussetzung. k=1 ψ dµ, d) Sei B = n=1 B n, B n M und B n B k =, n k. Zu zeigen ist B ϕ dµ = n=1 B n ϕ dµ. Wir schreiben einfach die Definition hin: N N N ϕ dµ = a j µ(b n A j ) = a j µ(b n A j ) = a j µ(b A j ) = ϕ dµ. n=1 B n=1 n=1 n B Wir dehnen nun den Integralbegriff aus auf M Definition. Sei f M +, B M. Dann heißt { } f B dµ := sup ϕ dµ : ϕ f, ϕ einfach das Lebesgue-Integral von f über B bzgl. µ. Bemerkung: a) Sei f M + einfach = die Definitionen 6.1 und 6.3 stimmen überein. B b) Definition impliziert, dass für f, g M + gilt f g = f dµ g dµ und αf dµ = α f dµ, α. Erstes fundamentales Resultat ist folgender Konvergenzsatz Theorem [Beppo-Levi, monotone Konvergenz]. Es seien f 1 f 2 f n messbar f = lim f n. n = f ist messbar und f dµ = lim fn dµ. n Beweis. Nach Voraussetzung wissen wir f n dµ f n+1 dµ, also existiert lim n f n dµ. Wegen 5.9 ist f = lim n f n messbar. Ferner gilt f n f und so f n dµ f dµ. Sei jetzt ϕ f einfache Funktion und < α < 1. Definiere die Mengen A n := {x : f n (x) αϕ(x)}. Es gilt = n=1 A n. Denn ist f(x) =, so folgt ϕ(x) auch und damit x A n. Falls f(x) >, so gilt αϕ(x) < f(x) und deswegen f n (x) > αϕ(x) für n genug groß, d.h. x A n. Offensichtlich ist A n A n+1. Theorem 2.4 und Lemma 6.2 d) geben dann α ϕ dµ = lim αϕ dµ lim f n dµ lim f n dµ. n A n n A n n Dies gilt für alle α (, 1) und ϕ f einfach, also nach Definition f dµ lim n f n dµ.

24 6. INTEGRATION POSITIVER FUNKTIONEN 22 Bemerkung: f dµ ist definiert als sup über riesige Menge = f dµ ist schwierig direkt zu berechnen. Theorem 6.4 besagt f dµ = lim f n dµ, wobei f n einfach mit f n f. Der Approximationssatz besagt, dass solche Folgen existieren. Eine Anwendung von 6.4 ist: 6.5. Satz. Sei (f n ) Folge in M + und f = n N f n. = f dµ = n fn dµ. Beweis. Zunächst zeigen wir, dass das Integral endlich additiv ist. Sei ϕ n j f j, j = 1..., N mit ϕ n j ϕn+1 j f j punktweise (siehe Theorem 5.11). Lemma 6.2 b) gibt ϕ n 1 dµ + ϕ n 2 dµ + + ϕ n N dµ = ϕ n 1 + ϕ n ϕ n N dµ. Für n konvergiert hier die linke Seite gegen f f N dµ und die rechte Seite gegen f f n dµ (verwende Theorem 6.4). Nun definiere g n := n f j, dann ist g n g n+1 und Theorem 6.4 liefert n f j dµ = lim g n dµ = lim g n dµ = lim f j dµ = f j dµ. n n n 6.6. Lemma [Fatou]. Sei (f n ) Folge in M +. Dann ist lim inf f n dµ lim inf n n f n dµ. Beweis. Sei g n := inf j n f j, und g := lim inf n f n = lim n g n. Dann g n g und für j n gilt g n f j, und so g n dµ f j dµ. Daher g n dµ inf j n fj dµ, und aus Theorem 6.4 folgt lim inf f n dµ = lim g n dµ = lim g n dµ lim inf f j dµ = lim inf f n dµ. n n n n n j n 6.7. Notation. Es seien f, f n, g : K messbar. a) f = g fast überall, falls eine Menge N M existiert mit µ(n) = und f(x) = g(x) für alle x N c. b) f n f fast überall, falls eine Menge N M existiert mit µ(n) = und f n (x) g(x) für alle x N c Satz. Für f M + gilt f dµ = f = fast überall. Beweis. Sei zunächts f einfach, f = n a jχ Aj. Dann f dµ = a j = oder µ(a j ) =. Also folgt die Behauptung in diesem speziellen Fall. : Sei f = fast überall. Dann für die einfache Funktionen ϕ f gilt ϕ = fast überall, also ϕ dµ = und so f dµ =. : Sei A n := {x : f(x) 1 n }. Dann gilt {x : f(x) > } = n=1 A n. Ist µ(a n ) > für ein n N, so folgt f dµ > 1 n µ(a n) >. D.h. unter die Bedingung f dµ = gilt µ(a n ) = und somit f = fast überall.

25 6. INTEGRATION POSITIVER FUNKTIONEN Korollar. Sei (f n ) M +, f M + und f 1 f 2 f 3 f n fast überall und f n f fast überall. = f dµ = lim f n dµ. Beweis Korollar. Sei (f n ) M +, f M +, f n f fast überall. = f dµ lim inf n fn dµ. Beweis Satz. Sei f M + mit f dµ < + {x : f(x) = + } ist µ-nullmenge. Beweis.

26 7 Integrierbare Funktionen Es sei (, M, µ) ein Maßraum. Wir dehnen den Integralbegriff aus auf messbare Funktionen f : K Definition. Sei f : R messbar mit f + dµ < + und f dµ < +. Wir definieren f dµ := f + dµ f dµ, und nennen obigen Ausdruck Lebesgue Integral von f. In diesem Fall heißt f integrierbar Satz. L 1 (µ, R) := {f : R, f integrierbar} ist Vektorraum und es gilt: f + αg dµ = f dµ + α g dµ. Beweis. Es gilt f +αg f + α g, also ist f +βg integrierbar, und α g = αg, damit ist L 1 (µ, R) Vektorraum wegen Lemma 6.2. Ferner sei h := f + g mit f, g integrierbar. Dann h + h = f + f + g + g, also h + + f + g = h + f + + g +. Satz 6.5 gibt h + + f + g = h + f + + g +, also h = h + h = f + f + g + g = f + g Definition. a) Sei f : C messbar. Dann ist f integrierbar, falls f dµ < +. b) Allgemeiner, für A M heißt f integrierbar über A, falls f dµ < +. A c) Falls f integrierbar über A ist, so heißt A f dµ := A Rf dµ + ı A If dµ das Lebesgue Integral von f bzgl. µ über A. Bemerkung: a) f Rf + If 2 f, also f integrierbar Rf und If integrierbar. b) Wie in 7.2 zeigt man, dass L 1 (µ, C) := {f : C, f integrierbar} ist ein C-Vektorraum Satz. Für f L 1 gilt: f dµ f dµ. Beweis. Ist f =, so folgt die Behauptung. Sei f : R. Dann f = f + f f + + f = f. Sei f : C und f. Setze α = f / f. Dann f = α f = αf = R αf = Rαf Rαf αf = f Korollar. Seien f, g L 1. Dann gilt: f dµ = g dµ A M A A f g dµ = f = g fast überall 24

27 7. INTEGRIERBARE FUNKTIONEN 25 Beweis. Nur die erste Äquivalenz ist zu zeigen. : Gilt f g dµ =, so ist f = g fast überall, und so A f dµ = A g dµ für alle A M. : Wir zeigen z.b., dass Rf = Rg fast überall (If = Ig geht genau so). Nach Voraussetzung A Rf dµ = R A Rg dµ für alle A M. Insbesondere gilt dies für A + := {x : Rf(x) > Rg(x)} und A := {x : Rf(x) < Rg(x)}. So erhält man µ(a ) = und µ(a + ) =, und somit die Behauptung Theorem [Lebesgue, Dominierte Konvergenz]. Sei (f n ) L 1 derart, dass i) Es existiert messbare Funktion f mit f n f fast überall ii) Es existiert g L 1, g mit f n g fast überall für alle n N. = f L 1 und f = lim fn. n Beweis. Es gilt f L 1, denn f g fast überall. Es gilt f n f f n + f 2g, also gilt h n := 2g f n f. Wende nun Lemma von Fatou auf h n an: 2g dµ = lim inf n dµ Fatou lim inf 2g f f n dµ = 2g + lim inf n n n f n f dµ = 2g lim sup n f n f dµ. Dies zeigt, dass lim sup n fn f dµ =, und so lim n fn f dµ =. Also f n dµ f dµ 7.2 = f n f dµ f n f dµ für n. Bemerkung: Existenz einer Majorante in Theorem 7.6 ist wesentlich. Beispiel: = R, µ = λ 1, f n = nχ (, 1 ]. Dann f n punktweise aber n [,1] f n dλ 1 = 1. Anwendung auf gliederweise Integration von Reihen Satz. Sei (f n ) L 1 mit n=1 f n dµ < +. = n=1 f n konvergiert f.ü. gegen ein f L 1 (, µ) und f n dµ = f n dµ. n=1 n=1 Beweis. Setze g := n=1 f n. Satz 6.5 gibt g = f n < +. Satz 6.11 liefert dann f n (x) < + fast überall, und konvergiert f n (x) fast überall. Ferner gilt N f j g für alle N N. Lebesgue-Satz 7.6 zeigt f n = f n Satz [Differenzierbarkeit von Parameterintegralen]. Seien a, b R, a < b, (, M, µ) Maßraum und f : [a, b] C. Es gelte i) f(, t) L 1 (µ, C) für alle t [a, b]. ii) f t existiert auf (a, b) und es existiert g L1 (µ, R) mit f t (x, t) g(x) für alle (x, t) [a, b].

28 7. INTEGRIERBARE FUNKTIONEN 26 Dann ist F : [a, b] C definiert durch F (t) := differenzierbar auf (a, b) und es gilt df dt (t) = d dt f(x, t) dµ(x) f(x, t) dµ(x) = d f(x, t) dµ(x) dt Beweis. Es gilt f t (x, t f(x,t ) = lim n) f(x,t ) tn t t n t, also ist x f t (x, t) für alle t (a, b) messbar. Der Mittelwertsatz und ii) geben f(x, t n) f(x, t ) f (x, s) g(x). t n t So folgt nach dem Satz von Lebesgue 7.6 F f(x, t n ) f(x, t ) f (t ) = lim dµ(x) = t n t t n t t (x, t ) dµ(x). (Dies gilt für alle (t n ) n N mit t n t, und so folgt die Behauptung.) Diskussion [Zusammenhang mit Riemann-Integral]: Sei t = a < t 1 < < t n = b Partition P von [a, b]. Sei f : [a, b] R beschränkt. Setze n n O P f := M j (t j t j 1 ), U P f := m j (t j t j 1 ), wobei M j := sup f(x), and m j := inf f(x) x [t j 1,t j ] x [t j 1,t j ] Falls inf P O P f = sup P U P f, so heißt f Riemann-integrierbar und b a f(s) dx := inf P O P f = sup P U P f heißt das Riemann-Integral von f Theorem. Sei f : [a, b] R beschränkt. Dann gilt: a) f Riemann integrierbar = f ist Lebesgue-messbar (daher auch Lebesgue-integrierbar) und b f(t) dt = f dλ. a [a,b] b) f Riemann integrierbar Menge der Unstetigkeitsstellen von f ist Lebesgue-Nullmenge. Beweis. a) Sei f Riemann-integrierbar, setze G P := n M jχ (tj 1,t j ], g P := n m jχ (tj 1,t j ]. Dann O P f = G P dλ und U P f = g P dλ. Dies gilt für alle Partitionen P von [a, b]. Nun wähle Partitionen P n P n+1 mit O Pn f b a f(x) dx und U P n f b a f(x) dx. Setze G := lim n G Pn und g := lim n g Pn. Dann sind G, g messbar und gilt g f G. Daher b a b a f(x) dx = lim U P n n f = lim n f(x) dx = lim O P n n f = lim n g Pn dλ Lebesgue = G Pn dλ Lebesgue = lim g P n n d = lim G P n n dλ = g dλ und G dλ, d.h. G dλ = g dλ (denn G g), somit G = g fast überall. Ferner g f G, so g = f = G fast überall. Da (R, L, λ) ist vollständig, ist auch f messbar und Integrale stimmen überein. b) Ohne Beweis.

29 7. INTEGRIERBARE FUNKTIONEN 27 Beispiel: f[, 1] [, 1] und Q := Q [, 1]. Dann χ Q ist nicht Riemann-integrierbar (da überall unstetig), aber χ Q = fast überall, also ist auch Lebesgue-Integrierbar und χ Q dλ =. Bemerkung: Vergleich Riemann Integral - Lebesgue-Integral. Riemann: Zerlege Definitionsbereich [a, b] in Teilintervalle und approximiere f von unten nach oben durch Funktion, welche konstant auf jeden Teilintervall ist. Lebesgue: Wähle Folge von einfachen Funktionen (ϕ j ) mit ϕ j f. Wähle ϕ j, insbesondere wie in Approximationssatz 5.11, d. h. zerlege Wertebereich von f in Teilintervalle I j und approximiere f durch Konstante auf f 1 (I j ). Vorteil der Lebesgue-Theorie: Konvergenzsätze wichtige Funktionsräume versehen mit Integralnormen sind vollständig bzgl. Lebesgue-Integral, aber nicht bzgl. Riemann-Integral. Beispiel: L 2 Quantenmechanik.

30 8 L p Räume L p -Räume verallgemeinern L 1 und spielen eine wichtige Rolle in der modernen Analysis. In diesem Abschnitt sei (, M, µ) ein Maßraum Definition. ( a) Sei 1 p <. Setze f p := b) Sei 1 p <. Definiere f p dµ) 1/p. L p := L p (, M, µ, K) := { f : K messbar und f p < + } Bemerkung. a) Sei f L p, f p = f N (µ) := {f : f messbar und f = µ-fast überall}. [ : f p = f p = f p = f.ü. f N (µ). : Klar] b) L p ist ein Vektorraum. [f, g L p f + g p (2 max{ f, g }) p 2 p ( f p + g p ).] c) Notation f p deutet auf Norm hin. f p = f = fast überall, aber f nicht notwendigerweise. d) N (µ) ist Untervektorraum vom Vektorraum aller messbaren Funktionen. f g Def. f g N (µ) ( f = g µ-fast überall) definiert eine Äquivalenzrelation Definition. Für 1 p < definieren wir den Faktorraum L p (, M, µ, K) := L(, M, µ, K)/N (µ) Abkürzende Schreibweise: L p (µ), L p (), L p, usw. STILLSCHWEIGENDE ÜBEREINKUNFT: Anstatt [f] = f + N (µ) schreibt man kurz f, d. h. wir identifizieren Funktionen miteinander, welche µ fast überall übereinstimmen Satz [Höldersche Ungleichung]. Es sei 1 < p, q < mit 1/p + 1/q = 1 (konjugierte Exponente). Dann für alle f L p (, µ) und g L q (, µ), gehört f g zu L 1 (, µ) und f g 1 f p g q. Ferner gilt = genau dann, wenn α f p = β g q fast überall für α, β. Zum Beweis zunächst ein Lemma: Lemma [Youngsche Ungleichung]: Sei a, b R +. Dann gilt = gilt genau dann, wenn a = b. Beweis. ab ap p + bq q, mit 1 p + 1 q = 1. 28

31 8. L p RÄUME 29 Bewies der Hölder-Ungleichung: Natürlich ist fg messbar. Seien G := g/ g q und F := f/ f p (falls wir mit dividieren sollten, folgt g = oder f = fast überall, und die behauptete Ungleichung ist trivial). Anwenden der Young-Ungleichung in jedem Punk x gibt nach Integration f(x)g(x) f p g q dµ = und die Behauptung folgt. F (x)g(x) dµ(x) F (x) p dµ(x) + p G(x) q dµ(x) = 1 q p + 1 q = 1, 8.5. Satz [Minkowskische Ungleichung]. Sei 1 p < und f, g L p (, µ). Dann f + g p f p + g p. Beweis. Verwende die Höldersche Ungleichung: f + g p p f f + g p 1 dµ + g f + g p 1 dµ f p (f + g) p 1 q + g p (f + g) p 1 q = ( f p + g p ) f + g p/q p. Die Behauptung folgt nach Dividieren mit dem rechten Term und p p/q = Korollar. Die Abbildung p : L p (, µ) R + ist eine Norm und (L p, p ) ist ein normierter Vektorraum. Beweis. i) f p = f = fast überall ii) αf p = α f p, α K iii) Dreiecksungleichung: f + g p f p + g p (Minkowski-Ungleichung). Es gilt sogar mehr: Erinnerung: Ein vollständiger normierter Vektorraum (d.h., in dem jede Cauchy Folge konvergiert) heißt Banachraum. Zunächst ein Hilffsatz: 8.7. Satz. Sei (E, ) normierter Vektorraum. Dann ist E vollständig jede absolut konvergente Reihe konvergiert, d.h. für alle (x n ) E mit n=1 x n < + existiert ein x E mit lim m m n=1 x n x =. Beweis. : Da ( m n=1 x ) n eine Cauchyfolge ist, folgt die Behauptung. m : Sei (x n ) eine Cauchyfolge. Zu ε k := 2 k wähle N k N mit x n x m 2 k falls n, m N k. Dann existiert es eine Teilfolge (x nk ) mit x nk+1 x nk 2 k für alle k N. Sei y k := x nk+1 x nk. Dann k=1 y k < +. Nach Voraussetzung existiert es y E mit y m y k = y (xnm+1 x n1 ) als m. k=1 Eine Teilfolge von (x n ) konvergiert und (x n ) ist Cauchy, also konvergiert auch (x n ) Satz [Riesz Fischer]. Sei 1 p <. Dann ist L p (, µ) vollständig.

32 8. L p RÄUME 3 Beweis. Sei f n L p (, µ) mit n=1 f n p = K < +. Nach Satz 8.7 es ist zu zeigen dass n=1 f j konvergiert in L p. Setze G n := n f j und G := f j. Dann G n p n f j p K für alle n N. Satz von monotonen Konvergenz liefert G p dµ = lim G p n dµ K p < +. n Dass heißt G L p (, µ) und G(x) = f j(x) < + µ-fast überall, insbesondere konvergiert F (x) := f j(x) für fast alle x. Dann F G, daher F L p (, µ). Ferner F n p f j (2G) p L 1 (, µ), nach Satz von Lebesgue F n p f j p = F n p f j dµ 8.9. Satz. Sei f n, f L p (, µ) mit f n f in L p (d.h. f n f p ). Dann existiert dann eine Teilfolge f nk, so dass f nk (x) f(x) µ-fast überall. Beweis. Folgt durch die Beweise von 8.7 und 8.8. Erinnerung an Lineare Algebra Sei E komplexer Vektorraum, versehen mit Skalarprodukt. Setze x = (x, x) für x E. Dann ist x Norm auf E. Ist (E, ) vollständig, so heißt E Hilbertraum Satz. L 2 (, µ) ist ein Hilbertraum bezüglich des Skalarprodukts (f, g) := fḡ dµ. Beweis Der Fall p = Sei f : K messbar. Dann heißt f wesentlich beschränkt, falls es ein α > existiert mit µ({x : f(x) > α}) =. Ferner heißt das wesentliche Supremum von f. f := inf{α : µ({x : f(x) > α}) = } Definition. Den L -Raum ist definiert durch: L (, µ) := L (, Σ, µ, K)/N (µ) Theorem [Eigenschaften von L ]. a) f f µ-fast überall. b) Für f L 1 und g L gilt f g 1 f 1 g.

33 8. L p RÄUME 31 c) ist eine Norm. d) f n f = es existiert ein A M mit µ(a c ) = und f n f gleichmässig auf A. e) (L (, µ), ) ist ein Banachraum. Beweis Satz [L p Interpolation Ungleichung]. Seien p, p 1 [1, ], θ (, 1) und 1 p θ := 1 θ p + θ p 1. Sind f L p (, µ) L p 1 (, µ), dann f L p θ(, µ) und gilt f pθ f 1 θ p f θ p 1. Beweis. Setze g := f (1 θ)p θ und h := f θp θ. Dann gh = f (1 θ)p θ+θp θ = f p θ, ferner gilt g L p (1 θ)p θ (, µ) und h L p 1 θp θ (, µ) und f p θ p θ = gh 1 g p (1 θ)p θ h p 1 θp θ mit der Verwendung der Hölderschen Ungleichung. = f (1 θ)p θ p f θp θ p 1, Satz [Allgemeine Hölder-Ungleichung]. Sei n N und 1 p i, f i L p i für i = 1,..., m. Sei ferner 1 p so, dass 1 p = n i=1 1 p i ( 1/ = ). Dann gilt Beweis. Mit Induktion. n f i L p i=1 und n L f i n f p i L p i. i= Satz. Sei (, M, µ) ein endlicher Maßraum und 1 r p. Dann gilt L p (, µ) L r (, µ). Ferner gilt f = lim p f p für f L (, µ). Beweis Satz. Es gilt L p (, µ) L 1 + L (, µ), d.h. jedes f L p läßt sich als f = g + h zerlegen, mit g L 1 und h L. Beweis. Der Fall p = ist trivial, also sei p <. Sei f L p (, µ). Setze A := {x : f 1} und h := χ A f, g := χ \A f. Dann g L (, µ) und h L 1 (, µ), denn f dµ = f dµ f p dµ f p dµ. A A i=1

34 9 Der Satz von Fubini und Anwendungen Problem: Vertauschung der Integralreihenfolge bei Doppelintegralen Beispiele und Motivation Sei I = (, 1) (, 1) R 2, f : I R stetig, dann gilt In Allgemein NEIN! 1 1 f(x, y) dy dx? = 1 1 f(x, y) dx dy Beispiel: f(x, y) = x2 y 2 (x 2 +y 2 ) 2, x, y I Dann: 1 1 Beobachtung: Für < y < 1 ist f(x, y) dy = f(x, y) dx = 1 1 x y x f(x, y)dy = x 1 f(x, y) dy dx = arctg 1 = π 4 f(x, y) dx dy = π 4 f(x, y) dy 1 2x 1 1 f(x, y) dy } {{ } 1 2x dx =, d. h. f L 1 (I). R R Vereinbarung + Notationen: Wir benutzen die Notationen: x R n, y R m, z = (x, y) R n R m = R n+m. Wir schreiben weiterhin R n R n R m R m f(x, y) dx := f(, y) dλ n, f(x, y) dy := f(x, ) dλ m, f(z) dz := f dλ n+m Satz. a) Sei A L n, B L m und λ n (B) =. Dann ist λ n+m (A B) =. b) Sei A L n, B L m. Dann ist A B L n+m. c) Sei A L n, B L m. Dann gilt λ n+m (A B) = λ n (A) λ m (B). Beweis Theorem. Sei f : R n+m R messbar derart, dass R f(z) dz existiert. Dann existiert für n+m fast alle x R n das Integral R f(x, y) dy, und gilt m ( ) f(z) dz = f(x, y) dy dx. R n+m R n R m 32

35 9. DER SATZ VON FUBINI UND ANWENDUNGEN 33 Zum Beweis brauchen wir folgende Definition: Fubini-Eigenschaft: Eine messbare Funktion besitzt die Fubini-Eigenschaft, falls für fast alle x R n das Integral R f(x, y) dy und das Integral m R f(z) dz existiert, und es gilt n+m ( ) f(z) dz = f(x, y) dy dx. R n+m R n R m Notation dafür: f F. Beweis. Umformulierung der Aussage: jedes f : R n+m R messbar derart, dass R f(z) dz n+m existiert, besitzt die Fubini-Eigenschaft. Schritt 1: Für A L n, B L m gilt χ A B F. Schritt 2: Für F und c R gilt cf F. Schritt 3: Für f 1, f 2 F so, dass R n+m f 1 (z) dz + R n+m f 2 (z) dz sinnvoll ist. Dann ist f 1 + f 2 F. Schritt 4: Sei f 1 f 2, f 2 F und R n+m f 2 (z) dz =. Dann ist f 1 F. Schritt 5: Sei f k F und f k f. So gilt f F auch. Schritt 6: Sei G R n+m offen. Dann ist χ G F. Schritt 7: Sei G R n+m eine G δ -Menge mit λ n+m (G) < +, d.h. G = G j mit G j offen, G j G j+1 und λ n+m (G 1 ) < +. Dann ist χ G F. Schritt 8: Sei N L n+m eine Nullmenge. Dann gelten a) χ N F b) λ m (N x ) = für fast alle x R n. Schritt 9: Sei A L n+m mit λ n+m (A) < +. Dann ist χ A F. Schritt 1: Für A L n+m gilt χ A F. Schritt 11: Sei ϕ einfache, messbare Funktion. Dann ϕ F. Schritt 12: Sei f messbare Funktion. Dann ist f F. Schritt 13 [Beweis des Theorems]: Definition: Sei A R n+m und x R n. Dann heißt A x := {y R m : (x, y) A}. Schnitt von A an der Stelle x Lemma. i) A R n+m messbar A x ist messbar für fast alle x R n. ii) f : R n+m K messbar f(x, ) : R m K messbar für fast alle x R n Beweis Theorem [Fubini]. Sei M R n+m messbar und f : M K messbar. Dann gilt i) f(x, ) : M x K ist messbar für fast alle x R n, und

36 9. DER SATZ VON FUBINI UND ANWENDUNGEN 34 ii) Für ( f L 1 (M) gilt f(x, ) L 1 (M x ) für fast alle x R n, x ) f(x, y) dy L 1 (R n ) und M x M ( f(z) dz = R n M x ) f(x, y) dy dx. Beweis Theorem [Tonelli]. Sei M R n+m messbar und f : M [, ] messbar. Dann gilt i) f(x, ) : M x [, ] messbar für fast alle x R n ii) x f(x,, y) dy, definiert auf R n ist messbar und M x ( R n M x ) f(x, y) dy dx = M f(z) dz [, + ]. Beweis Korollar [Fubini Tonelli]. Sei M R n+m messbar, f : M K messbar und f die triviale Fortsetzung von f auf R n+m. Ist eines der 3 Integrale f(x, y) dy dx, f(x, y) dx dy, f(z) dz R n R m R m R n endlich, so sind alle endlich und einander gleich. R n+m Beweis Geometrische Interpretation des Integrals. Sei M R n messbar und f : M R + messbar. Dann gilt f(x) dx = λ n+1 ({(x, t) R n+1 : t f(x), x M} ) }{{} M =:A = Maß der Punktmenge unter dem Graphen. Denn: wende Tonelli auf f = χ A an. ( λ n+1 Tonelli (A) = χ A d(x, t) = R n+1 R n A x ) χ A (x, t) dt dx = R n R χ [,f(x)] (t) dt dx = M f(x) dx 9.9. Cavalierisches Prinzip. Sei M R n+1 messbar = λ n+1 (M) = λ n (M t ) dt mit R M t = {x R n : (x, t) M} Denn: Tonelli mit χ M : λ n+1 (M) = χ M d(x, t) R n+1 Tonelli = R χ M (x, t) dx dt = R n R χ Mt (x) dx dt = R n R λ n (M t ) dt.

37 9. DER SATZ VON FUBINI UND ANWENDUNGEN Bemerkung. a) Es seien (, M, µ) und (Y, N, ν) σ-endliche Maßräume. Analog zu der Definition des Lebesgue- Maßes definiert man das Produktmaß µ ν von µ und ν. 1) Setze E := {A B : A M, B N }, und ρ(a B) := µ(a) ν(b). 2) Setze ρ mit der Hilfe des Satzes 3.2 fort: ϕ ist das von ρ induzierte äusseres Maß. 3) Betrachte die ϕ messbare Mengen A und die Einschränkung von ϕ von ϕ auf A. So erhält man ( Y, A, ϕ) ein vollsändiger, σ-endlicher Maßraum (siehe Theorem 3.6). 4) Für ϕ und A M, B N } gilt ϕ(a B) := µ(a) ν(b). Setze µ ν := ϕ. So heißt ( Y, A, µ ν) der Produktmaßraum von (, M, µ) und (Y, N, ν). b) Für µ = λ m und ν = λ n ist das Produktmaß λ m λ n = λ m+n. c) Die Analoge Aussagen zu den Sätzen von Fubini und Tonelli gelten auch in dieser allgemeinen Situation. d) Man kann das Produkt von beliebig vielen Maßräumen definieren Beispiele. a) Volumina von Zylindern. Sei M R n Lebesgue-messbar, a R n+1. Die Menge Z := {(x, ) + ta R n+1, x M, t 1} heißt Zylinder mit Basis M und Kante a. Setze T : R n+1 R n+1, T (x, t) := (x, ) + ta. = T L(R n+1 ) = Z = T (M [, 1]) L n+1 nach 4.12 und 1 λ n+1 (Z) 4.15 = det T λ n+1 (M [, 1]) = det T Für die Determinante von T hat man: 1 a 1... a2 det T =..... = a n+1,. 1 a n a n+1 also λ n+1 (M) = a n+1 λ n (M) = Höhe Fläche der Basis. λ n (M) dt = det T λ n (M). b) Volumina von Kegeln. M R n messbar, a R n+1. Setze K := {(1 t)(x, ) + ta R n+1 : t 1, x M} (Kegel mit Basis M und Kante a). Wähle T : R n+1 R n+1, (x, t) ((1 t)x + t(a 1, a n ), t a n+1 ). Dann ist T C und K = T (M [, 1]); 4.12 K messbar. λ n+1 ist Bewegungsinvariant = obda a = (, k), k. Cavalieri 9.9 = λ n+1 (K) = = R k {, t k oder t < λ n (K t ) dt mit K t = ( ) 1 t k M, t k λ n( ( ) ) 1 t n M dt

38 ( Setze S t (M) := (1 t n )M mit S tx := ( nλ det S t λ n (M) = 1 n) t n (M) also: λ n+1 (K) = λ n (M) = k 1 t n 1 n + 1 λn (Z). ) x, x R n. Es gilt S t L(R n ) und λ n (S t (M)) 4.15 = ( ) 1 n 1 t k dt = λ n (M)k s n ds = λ n (M) k n + 1 c) Volumen der Einheitskugel in R n. Für x R n und r > o setze B n (x, r) := {x : x R n, x x r}, und B n := N n (, 1). Es gilt ω n := λ n (B n ) Cavalieri = Hier gilt λ n 1 (Bt n ) = ( 1 t 2 ) n 1 λ n 1 (B n 1 ) = }{{} =ω n λ n 1 (B n t ) dt mit B n t = B n 1 (, 1 t 2 ) ( ) ω n = ω n (1 t 2 ) n 1 2 dt } {{ } =:b n Berechne b n via Substitution t := cos x, dt = sin x dx. b n = π sin n x dx = 2 π 2 sin n x dx Analysis II: b 2n = π n 2l 1 2l, b 2n+1 = 2 n 2l 2l+1 l=1 l=1 = b n b n 1 = 2π n. Einsetzen in ( ) liefert ω n = b n b n 1, ω n 2 = 2π n ω n 2. Nun: ω 1 = λ 1 (( 1, 1)) = 2 = ω 2 = b 2 ω 1 = 2 b 2 = π = ω 2n = πn n!, ω 2n+1 = 2 n (2n + 1) πn zusammenfassend: da Γ( 1 2 ) = π, Γ(n ) = Γ( 1 2 ) n l= ω n = vol(b n ) = 2l+1 2. Γ( n 2 π n 2 + 1), n 1, 36

39 1 Der Transformationssatz und Anwendungen Erinnerung: Seien U, V R n offen und g : U V eine Funktion. g heißt C 1 -Diffeomorphismus, falls g bijektiv und g als auch g 1 stetig differenzierbar. Die Ableitung von g wird durch g bezeichnet Theorem [Transformationssatz]. Seien U, V R n offen und g : U V ein C 1 -Diffeomorphismus. Dann gilt f L 1 (V ) (f g) det g L 1 (U) und in diesem Fall gilt f(x) dx = (f g)(y) det g (y) dy. V Der Beweis ist etwas mühsam also nur in einem einfachen Fall: U Satz [Spezieller Transformationssatz]: Sei T GL(R n ) (also T : R n R n linear und invertierbar), M R n messbar, a R n und f L(a + T (M)). Dann gilt f(x) dx = f(a + T y) det T dy. a+t (M) Mit anderen Worten: Sei g(x) := a + T x, g : R n R n. Dann (f g)(y) det g (y) dy = für f L 1 (g(m)). M M g(m) f(x) dx Beweis. Es reicht die Aussage nur für positive Funktionen zu beweisen. Bemerke zunächst, dass g (y) = T. Setze B := {(x, t) : x g(m), t f(x)} und B := {(y, t) : y M, t (f g)(y)}. Definiere T : R n+1 R n+1 durch T (x, t) := (T x, t). So ist T linear und det T = det T und gilt B = a + T ( B). Satz 4.15 liefert λ n+1 (a + T ( B)) = det T λ n+1 ( B). Aus 9.8 wissen wir λ n+1 (B) = g(m) f(x) dx und λ n+1( B) = M (f g)(x) dx. Diese zusammen liefern die Behauptung Beispiel [Ebene Polarkoordinaten]. Sei (x, y) R 2 \ {(, )}. Dann existiert eindeutig ein r >, ϕ [, 2π) mit r (x,y) x = r cos ϕ y = r sin ϕ, r := (x2 + y 2 ) 1 2 ϕ Definiere g : R 2 R 2 via (r, ϕ) (r cos ϕ, r sin ϕ) und U : = {(r, ϕ) R 2 : r >, < ϕ < 2π} V : = R 2 \ {x R : x } geschlitzte Ebene = g U ist ein C 1 -Diffeomorphismus von U auf V und [ ] cos ϕ r sin ϕ g (r, ϕ) = sin ϕ r cos ϕ = det g (r, ϕ) = r > für alle (r, ϕ) U. Da R 2 \ V und U \ U Nullmengen in R 2 sind gilt: Korollar: Eine Funktion f : R 2 R ist Lebesgue-integrierbar die Funktion ( (r, ϕ) rf(r cos ϕ, r sin ϕ) ) L 1 (R + [, 2π]). Es gilt in diesem Fall R 2 f(x, y) dx dy = 2π f(r cos ϕ, r sin ϕ)r dr dϕ. 37

40 1. DER TRANSFORMATIONSSATZ UND ANWENDUNGEN Beispiel [Kugelkoordinaten]. Definiere g : R 3 R 3 durch r (x,y, z) und g(r, ϕ, ϑ) = (r cos ϕ cos ϑ, r sin ϕ cos ϑ, r sin ϑ) ϑ ϕ U : = R + (, 2π) ( π 2, π 2 ) V : = R 3 \ R + {} R So ist die Jacobi-Determinante: Dann ist g U ein C 1 -Diffeomorphismus von U auf V. g (r, ϕ, ϑ) = cos ϕ cos ϑ r sin ϕ cos ϑ r cos ϕ sin ϑ sin ϕ cos ϑ r cos ϕ cos ϑ r sin ϕ sin ϑ sin ϑ r cos ϑ det g (r, ϕ, ϑ) = sin ϑ [r 2 sin 2 g sin ϑ cos ϑ + r 2 cos 2 g sin ϑ cos ϑ] +r 2 cos ϑ [cos 2 g cos 2 ϑ + sin 2 g sin 2 ϑ] = = r 2 cos ϑ > Korollar: Eine Funktion f : R 3 R ist Lebesgue-integrierbar die Funktion (r, ϕ, ϑ) f(r cos ϕ cos ϑ, r sin ϕ cos ϑ)r 2 cos ϑ L 1 (R + [, 2π] [ π 2, π 2 ]), und es gilt dann 2π π 2 f(z) dz = f(r cos ϕ cos ϑ, r sin ϕ cos ϑ, r sin ϑ)r 2 cos ϑ dϑ dϕ dr. R 3 π 2 Beweis. Verwende den Transformationssatz 1.1, den Satz von Fubini 9.3 und ähnliche Argumente wie in Beispiel [n-dimensionale Kugelkoordinaten]. Analog zu Kugelkoordinaten führen wir die folgende Transformation ein: g : R n R n durch Dann ist g(r, ϕ 1, ϕ 2,... ϕ n 1 ) = (x 1, x 2,..., x n ) x 1 = r sin ϕ n 1, mit x 2 = r cos ϕ n 1 sin ϕ n 2, x 3 = r cos ϕ n 1 cos ϕ n 2 sin ϕ n 3,. x n 1 = r cos ϕ n 1 cos ϕ n 2 cos ϕ n 3 cos ϕ 2 sin ϕ 1, x n = r cos ϕ n 1 cos ϕ n 2 cos ϕ n 3 cos ϕ 2 cos ϕ 1. g : R + (, 2π) ( π 2, π 2 ) ( π 2, π 2 ) ( π 2, π 2 }{{} ) R n n 2 ein C 1 -Diffeomorphismus. Die Jacobi-Determinante det g (r, ϕ 1,..., ϕ n 1 ) ist sin ϕ n 1 r cos ϕ n 1... cos ϕ n 1 sin ϕ n 2 r sin ϕ n 1 sin ϕ n 2 r cos ϕ n 1 cos ϕ n 2... cos ϕ n 1 cos ϕ n 2 sin ϕ n 3 r sin ϕ n 1 cos ϕ n 2 sin ϕ n 3 r cos ϕ n 1 sin ϕ n 2 sin ϕ n cos ϕ n 1 cos ϕ 2 sin ϕ 1 r sin ϕ n 1 cos ϕ 2 sin ϕ 1 r cos ϕ n 1 sin ϕ n 2 cos ϕ 2 sin ϕ 1... cos ϕ n 1 cos ϕ 2 cos ϕ 1 r sin ϕ n 1 cos ϕ 2 cos ϕ 1 r cos ϕ n 1 sin ϕ n 2 cos ϕ 2 cos ϕ

41 1. DER TRANSFORMATIONSSATZ UND ANWENDUNGEN 39 Daher erhält man det g (r, ϕ 1,..., ϕ n 1 ) = r n 1 A n (ϕ 1,..., ϕ n 1 ). (Bemerkung: hier gilt eigentlich A n (ϕ 1,..., ϕ n 1 ) = det g (1, ϕ 1,..., ϕ n 1 ).) Man kann A n (ϕ 1,..., ϕ n 1 ) genau bestimmen durch Entwicklung der Determinante nach der ersten Zeile: A n (ϕ 1,..., ϕ n 1 ) = sin ϕ n 1 ( sin ϕ n 1 ) (cos ϕ n 1 ) n 2 A n 1 (ϕ 1,..., ϕ n 2 ) So bekommt man rekursiv cos ϕ n 1 (cos ϕ n 1 ) n 1 A n 1 (ϕ 1,..., ϕ n 2 ) = (cos ϕ n 1 ) n 2 A n 1 (ϕ 1,..., ϕ n 2 ). A n (ϕ 1,..., ϕ n 1 ) = (cos ϕ n 1 ) n 2 A n 1 (ϕ 1,..., ϕ n 2 ) = = (cos ϕ n 1 ) n 2 (cos ϕ n 2 ) n 3 cos ϕ 2. Damit ist det g (r, ϕ 1,..., ϕ n 1 ) = r n 1 (cos ϕ n 1 ) n 2 (cos ϕ n 2 ) n 3 cos ϕ 2. Im Folgenden werden wir aber den genaue Wert der Jacobi-Determinante nicht verwenden. Korollar: Eine Funktion f : R n R ist Lebesgue-integrierbar die Funktion h(r, ϕ 1,..., ϕ n 1 ) := f(g(r, ϕ 1,..., ϕ n 1 ))r n 1 A n (ϕ 1,..., ϕ n 1 ) in L 1 (R + [, 2π] [ π 2, π 2 ] [ π 2, π 2 ]) liegt. Es gilt dann f(z) dz = R n 2π π 2 π 2 π 2 π 2 f(g(r, ϕ 1,..., ϕ n 1 ))r n 1 A n (ϕ 1,..., ϕ n 1 ) dϕ n 1... dϕ 2 dϕ 1 dr. Beweis. Analog zu Beispiel [rotationssymmetrische Funktionen]. Eine Funktion f : R n C, n 2 heißt rotationssymmetrisch, falls f : R + C existiert mit f(x) = f( x ), x R n. Satz: Für eine rotationssymmetrische Funktion f gilt: f L 1 (R n ) [r r n 1 f(r)] L 1 (R + ) und R n wobei σ n 1 R + nur von n abhängt. f(x) dx = σ n 1 f(r)r n 1 dr, Beweis. Sei f rotationssymmetrisch und f wie in der Definition. Wir verwenden 1.4. Dazu bemerke zuerst, dass g(r, ϕ 1,..., ϕ n 1 ) = r. So erhalten wir R n f(z) dz = = = 2π π 2 π 2 2π π 2 = σ n 1 π 2 π 2 π 2 π 2 π 2 2π f(r)r n 1 f(g(r, ϕ 1,..., ϕ n 1 ))r n 1 A n (ϕ 1,..., ϕ n 1 ) dϕ n 1... dϕ 2 dϕ 1 dr f(r)r n 1 A n (ϕ 1,..., ϕ n 1 ) dϕ n 1... dϕ 2 dϕ 1 dr π 2 π 2 f(r)r n 1 dr, π 2 π 2 A n (ϕ 1,..., ϕ n 1 ) dϕ n 1... dϕ 2 dϕ 1 dr

42 wobei σ n 1 Def. := 2π π 2 π 2 π 2 π 2 A n (ϕ 1,..., ϕ n 1 ) dϕ n 1... dϕ 2 dϕ 1. Um σ n zu bestimmen könnten wir direkt die Form von A n (ϕ 1,..., ϕ n 1 ) verwenden, aber wir geben einen anderen Zugang: 1.6. Beispiel [Berechnung von R e n a x 2 dx]. Für a > gilt ( π ) π e a x 2 2 dx =. a Denn: Satz von Fubini liefert: I n := e a x 2 dx == R n Nun bestimmen wir I 2. Es gilt I 2 = R 2 So gilt I n = I1 n = In/2 2 = ( ) π n/2. a R R R n a x e 2 dx Polar.Koord = e a(x x2 n ) dx 1 dx n = 2π R e ax2 1 dx1 re ar2 dr dϕ = 2π e ar2 2a r= R e ax2 n dx n = I n Beispiel [Berechnung von σ n 1 ]. Für n 2 gilt σ n 1 = 2π n 2 Γ( n 2 ). Denn: sei a = 1 und betrachte I n aus 1.6. Da e x 2 rotationssymmetrisch ist, gilt nach 1.5 I n = σ n 1 r n 1 e r2 dr. Nach Definition der Gamma-Funktion Γ erhalten wir I n = σ n 1 r n 1 e r2 dr s = r2 σ n 1 Erinnerung Γ(x) = s x 1 e s ds. s n 1 2 e s 1 2 s ds = σ n Beispiel [Volumen der Einheitskugel]. Es gilt ω n := λ n ({x R n : x 1}) = σ n 1 da Γ(x + 1) = x Γ(x) durch partielle Integration. 1 r n 1 dr = σ n 1 n = 2π n 2 nγ( n 2 ) = = π a. s n 2 1 e s ds Def! = σ n 1 2 Γ( n 2 ). n π 2 Γ( n 2 + 1), 4

43 11 Integration über Untermannigfaltigkeiten Ziel: Flächeninhalt gekrümmter Flächen; Integral auf gekrümmten Flächen Definition [Parallelotop]. Es seien a 1, a 2,..., a d R n, d n. Das von a 1, a 2,..., a d erzeugte Parallelotop ist { d } P (a 1, a 2,..., a d ) := α j a j : α j 1. Oberfläche eines Parallelotops: Eigenschaften Wir suchen eine Funktion vol d (a 1, a 2,..., a d ) : R n R + mit 1) vol d (a 1, a 2,..., λa i,... a d ) = λ vol d (a 1, a 2,..., a i,..., a d ) für 1 i d und λ R. 2) vol d (a 1, a 2,..., a i + a j,... a d ) = vol d (a 1, a 2,..., a i,... a d ) für 1 i, j d, i j. 3) Für a 1, a 2,..., a d R n orthogonale Einheitsvektoren gilt vol d (a 1, a 2,..., a d ) = 1. Satz: Es gibt eine eindeutige Funktion vol d (a 1, a 2,..., a d ) : R n R + mit Eigenschaften 1), 2) und 3), welche durch ( det A A ) 1/2 gegeben werden kann, hier ist A die n d -Matrix mit Spalten a1, a 2,..., a d Definition. a) Sei Ω R d offen. Dann heißt γ C 1 (Ω, R n ) Immersion oder reguläre Parameterdarstellung, falls γ (x) : R d R n injektiv für alle x Ω (oder falls Rang γ (x) = d für alle x Ω). So heißt γω Oberflächenstück. b) Eine Immersion γ : Ω R n heißt Einbettung, falls f : Ω f(ω) ein Homöomorphismus ist Definition [Der Maßtensor einer Immersion]. a) Sei A : R d R n linear. Definiere quadratische Form q auf R d via q(x) = Ax, Ax = x T A T Ax, x R d. Falls A injektiv ist, so ist q positiv definit. [denn x = Ax = q(x) > ] A T A heißt der von, (Skalarprodukt auf R d ) induzierte Maßtensor von A oder auch Gramsche Matrix von A. b) Sei speziell A := γ (x) und γ Immersion, x Ω. Dann heißt die induzierte quadratische Form q auf R d metrische Fundamentalform mit Matrixdarstellung γ (x) T γ (x). Diese d d-matrix heißt Gramsche Matrix oder Maßtensor. q ist positiv definit, da γ injektiv nach Voraussetzung Definition. Sei γ : Ω U eine Einbettung. Eine Funktion f : U C integrierbar über U, wenn die Funktion (f γ) g γ über Ω integrierbar ist. Der Ausdruck f dσ := f(γ(x)) g γ (x) dx U heißt Oberflächenintegral. Ist die Funktion f, x 1 über U integrierbar, so heißt ν d (U) := 1 dσ = g γ (x) dx U Ω 41 Ω

44 11. INTEGRATION ÜBER UNTERMANNIGFALTIGKEITEN 42 der Flächeninhalt oder das d-dimensionale Maß von U. Bemerkung: Es seien γ i : Ω i U Einbettungen i = 1, 2. Man zeigt dann, dass f(γ 1 (x)) g γ1 (x) dx = f(γ 2 (x)) g γ2 (x) dx Ω 1 Ω 2 gilt. Damit ist die obige Definition von der Parametrisierung unabhängig. Denn: Sei Φ : γ1 1 γ 2 : Ω 2 Ω 1. Man zeigt, dass Φ ein C 1 -Diffeomorphismus ist. So gilt γ 1 φ = γ 2, und so folgt nach der Anwendung des Kettenregel: γ 2 = (γ 1 Φ)Φ. Daher ist g γ2 = det(φ ((γ 1 γ 1 ) Φ) Φ ) = (det Φ ) 2 g γ1 Φ. Der Transformationssatz 1.1 liefert f(γ 1 (x)) Ω 1 g γ1 (x) dx = Ω 2 = f(γ 1 (Φ(x))) g γ1 (Φ(x)) det Φ (x) dx f(γ 2 (x)) g γ1 (Φ(x)) det Φ (x) dx Ω 2 = f(γ 2 (x)) g γ2 (x) dx Beispiele. Ω 2 a) Bogenlänge, Kurveintegral. Sei γ : I R n Einbettung, I = (a, b), M = γ(i). So heißt γ reguläre Kurve. = γ γ = γ 2 (vergleich Analysis II) x γ 3 x y γ 3 y = M f dσ = I f(γ(t)) γ (t) dt b) Zweidimensionalen Oberflächen in R 3. Sei Ω R 2, γ : Ω R 3 Einbettung. Dann gilt γ(x, y) = (γ 1 (x, y), γ 2 (x, y), γ 3 (x, y)) und γ 1 γ 1 [ ] 2 [ ] 2 [ ] 2 γ x y γ1 γ = 2 γ 2 und so γ γ = x + γ2 x + γ3 γ 1 γ 1 x x y + γ 2 γ 2 x y + γ 3 γ 3 x y [ ] 2 [ ] 2 [ ] 2. γ 1 γ 1 x y + γ 2 γ 2 x y + γ 3 γ 3 γ1 x y y + γ2 y + γ3 y So erhält man durch Rechnen g γ = det γ γ = γ x γ x 2 (Kreuzprodukt). c) Oberfläche eines Paraboloids. γ : Ω R 3, Ω = {(u, v) : u 2 + v 2 2}, P = γ(ω) 1 + 4u 2 + 4v 2 also u γ(u, v) = (1,, 2u), v γ 1 (u, v) = u γ 2 (u, v) = v γ 3 (u, v) = 2 u 2 v 2 γ(u, v) = (, 1, 2v) also u γ v γ = (2u, 2v, 1) = u γ v γ = P dσ = Ω 2π (1 + 4u 2 + 4v 2 ) 1 2 d(u, v) = 2 2 = 2π (1 + 4r 2 ) 1 π 2 r dr = 6 (1 + 4r2 ) 3 2 (1 + 4r 2 cos 2 ϕ + 4r 2 sin 2 ϕ) 1 2 r dr dϕ 2 r= = π 26 6.

45 11. INTEGRATION ÜBER UNTERMANNIGFALTIGKEITEN 43 d) Fundamentaltensor von Graphen. Sei Ω R n 1 offen und f C 1 (Ω, R) Parameterdarstellung γ(x) = ( x f(x)), x Ω. Dann gilt g(x) = 1 + f (x) 2. Dies zu zeigen brauchen wir folgenden Begriff. Definition [äusseres Produkt]: Es seien a 1, a 2,..., a n 1 R n. Betrachte die n (n 1)- Matrix A mit Spalten a 1, a 2,..., a n 1, und deren (n 1) (n 1) Teilmatrizen A k die aus A durch Weglassen der kten Zeile entstehen. Setze α k := ( 1) k 1 det A k. So definiert man das äusseres Produkt a 1 a 2 a n 1 der Vektoren a 1, a 2,..., a n 1 a 1 a 2 a n := (α 1, α 2,..., α n ). Sei jetzt b R n und betrachte die Matrix B mit Spalten b, a 1, a 2,..., a n 1. Nun entwickelt man det B nach der ersten Spalte: n (1) det B = ( 1) j 1 b j det A j = b, a 1 a 2 a n 1. Insbesondere gilt det B = für b = a k, so sieht man, dass a k, k = 1,..., n 1 auf a 1 a 2 a n 1 orthogonal sind. Sei jetzt b = a 1 a 2 a n 1 und betrachte die obige Matrix B. So gilt dann ( ) ( b B (b ) b ) b B = A = A A. A Damit gilt (det B) 2 = det(b B) = b 2 det(a A). Aus (1) wissen wir b 2 = det B, und daher det A A = b. Nun zurück zu unserem ursprünglichen Problem. Sei γ(x) = ( x f(x)). So gilt 1 1 γ 1 = f x 3... f x 1 f x 2 f x n 1 Sei jetzt A = γ (x). Die Spalten von A bezeichnen wir mit a 1, a 2,..., a n 1. Es ist leicht zu zeigen, dass a 1 a 2 a n 1 = ( 1) n f(x) x 1 f(x) x 2. f(x) x n 1 1 Wir wenden die Obigen auf A an: det(a A) = a 1 a 2 a n 1 = 1 + f (x) 2, so folgt die Behauptung. e) Integration über Sphäre. Betrachte die Sphäre Sr 2 = {x R 3 : x 2 = r} und die Menge A := {(x,, z) Sr 2 : x } die längs A geschlitzte Sphäre Sr 2 \ A hat Darstellung γ(ϕ, θ) = r(cos θ cos ϕ, cos θ sin ϕ, sin θ) R 3, (ϕ, θ) Ω := ( π, π) ( π 2, π 2 ). So gilt ( γ (ϕ, θ) cos γ (ϕ, θ) = r 2 2 ) θ = g γ (ϕ, θ) = r 2 cos θ 1 = f dσ = r 2 f(γ(ϕ, θ)) cos θ d(ϕ, θ). S 2 r \A Ω

46 11. INTEGRATION ÜBER UNTERMANNIGFALTIGKEITEN 44 Für f 1 ergibt sich r 2 π 2 π π π 2 cos θ dϕ dθ = 4πr 2. f) Oberfläche der n-sphäre. Sei n 1 und S n := {x R n+1 : x = 1}, und S+ n := {x S n : x n+1 > }. So ist S+ n darstellbar als Graph von k : Ω R, k(x) = 1 x 2, Ω := {x R n : x < 1}. Es gilt damit ist ( k (x) = x1, x 2,..., 1 x 2 1 x 2 ) x n, 1 x 2 g γ (x) = 1 + x x x n 2 = 1. 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 Mit Verwenden der Rotationssymmetrie gilt nach 1.5 Ferner gelten (2) (3) 1 1 κ n := S n 1 + dσ = Ω 1 r n 1 g γ (x) dx = σ n 1 dr. 1 r 2 r n+1 1 Part.Int. dr = n r n 1 1 r 2 dr 1 r 2 r n+1 1 dr = 1 r 2 So erhalten wir aus (2) und (3) = 1 1 (n + 1) Aber wegen Rotationssymmetrie σ n 1 1 So erhält man (siehe auch 1.8) κ n = n r n 1 1 r 2 dr = ω n+1 = n r 2 r n 1 1 dr = 1 r 2 r n 1 1 dr 1 r 2 r n 1 1 r 2 dr = Ω r n 1 (1 r2 )r n 1 dr 1 r 2 1 r 2 r n 1 1 r 2 dr. 1 r n 1 1 r 2 dr. 1 x 2 dx = 1 2 vol n+1(b n+1 ) = 1 2 ω n+1. π n+1 2 Γ( n ) = n π n+1 2 n+1 n+1 2 Γ( 2 ) = π n+1 2 Γ( n+1 2 ) Definition. a) Sei = M R n. M heißt d-dimensionale (differenzierbare) Untermannigfaltigkeit von R n, falls für alle a M eine offene Umgebung U R n von a existiert, sowie ein Diffeomorphismus ϕ : U V auf eine offene Teilmenge des R n mit ϕ(m U) = U (R d {}). (Ist d = n so versteht man R d {} als R n ).

47 11. INTEGRATION ÜBER UNTERMANNIGFALTIGKEITEN 45 b) Ein solcher Diffeomorphismus ϕ heißt Karte für M und M U deren Kartengebiet. c) (n 1)-dimensionale Untermannigfaltigkeiten des R n heißen Hyperflächen. U U M R n d V ϕ V (R d {}) R d M Satz. Sei f C 1 (Ω, R n ) wobei Ω R d offen ist. = Graph f ist d-dimensionale Untermannigfaltigkeit des R n+d. Beweis. Sei U := Ω R n, und ϕ : U R d R n, ϕ(x, y) = (x, y f(x)). Dann ist ϕ ein Diffeomorphismus mit ϕ(u) U und ϕ(u Graph f) = Ω {} Definition. Sei U R n und f : U R m differenzierbar. Dann heißt x U regulärer Punkt von f, falls f (x) : R n R m surjektiv ist. Weiter: y R m heißt regulärer Wert von f, falls alle Elemente von f 1 (y) reguläre Punkte sind. Bemerkung: Ist y R m ein regulärer Wert von f, so hat f (x) in allen Punkten x f 1 (y) den Rang m. Falls f (x) nicht surjektiv ist, so heißt x singulärer Punkt und f(x) singulärer Wert von f. Satz von Morse Sard zeigt, dass singuläre Werte von C 1 -Abbildungen Lebesgue-Maß haben Theorem [implizite Funktion]. Sei Ω R n R m offen und f : Ω R m stetig differenzierbar. Ferner sei (x, y ) = z Ω eine Nullstelle von f, d.h., f(x, y ) =. Sei y f(x, y ) : R m R m invertierbar. Dann gibt es offene Mengen U R n, U R m, (x, y ) U U Ω und g : U U stetig differenzierbare Funktion so, dass f(x, y) =, (x, y) U U genau dann, wenn y = g(x), x U Satz [Satz von regulärem Wert]. Sei U R n offen, f C 1 (U, R m ), c R m sei regulärer Wert von f. Dann ist f 1 (c) Untermannigfaltigkeit des R n der Dimension n m. Beweis. Verwende den Satz von impliziten Funktionen Korollar. Sei m = 1 in 11.1 und f (x) für alle x f 1 (c). Dann ist f 1 (c) ist Hyperebene des R n Beispiel. a) S n := {x R n+1 : x = 1} ist n-dimensionale Hyperfläche des R n+1. Denn: f : R n+1 R, x x 2 ist differenzierbar und S n = f 1 (1), da f (x) = 2x für alle x f 1 (1) ist 1 regulärer Wert von f und liefert die Behauptung. S n heißt n-sphäre. b) orthogonale Gruppe O(n) = {A R n+1 : A A = Id} ist Untermannigfaltigkeit des R n+1 der Dimension 1 2n(n 1) Lemma. Sei M eine d-dimensionale Untermannigfaltigkeit des R n. Dann ist jedes Kartengebiet U M das Bild einer offenen Menge Ω R d unter einer Einbettung.

48 11. INTEGRATION ÜBER UNTERMANNIGFALTIGKEITEN 46 Beweis. Sei ϕ : U V Karte und U M = U, U R n. Sei Ω R d derart, dass Ω {} = V (R d {}). Setze γ(x) := ϕ 1 (x, ). Dann gilt γ : Ω U Einbettung (der Rang von γ (x) = d für alle x Ω) Satz [Zerlegung der Eins]. Sei M eine Untermannigfaltigkeit des R n und M = i=1 U i offene Überdeckung mit Kartengebieten U i (solche Überdeckungen heißen Atlas). Zusätzlich nehmen wir an, dass die Überdeckung lokal finit ist, d.h., für alle x M existiert eine Umgebung V x, die nur endlich viele Mengen U i schneidet. Dann existieren Funktionen ϕ i C 1 (M), i N derart, dass i) ϕ i 1. ii) i=1 ϕ i(x) = 1 für x M. iii) Für den Träger supp ϕ i gilt supp ϕ i U i. Bemerkung: a) Man kann zeigen, dass Überdeckungen mit den im Satz stehenden Eigenschaften immer existieren. b) Das System (ϕ i ) i N heißt der Überdeckung untergeordnete Zerlegung der Eins zu M Definition [Integral auf Untermannigfaltigkeiten]. Sei M eine Untermannigfaltigkeit des R n und f : M K eine Funktion. Betrachte eine Überdeckung (U i ) i N von M und eine zu dieser Überdeckung untergeordnete Zerlegung der Eins (ϕ i ) i N aus Satz Die Funktion heißt integrierbar auf M, falls die Funktionen (f ϕ i ) Ui, i N integrierbar sind. In diesem Falls definiert man das Integral von f über M durch M f dσ := i=1 U i (f ϕ i ) Ui dσ. Bemerkung: Es ist möglich zu zeigen, dass der Begriff f ist integrierbar und das Integral von f über M hängen nicht von dem Wahl der Überdeckung oder der Zerlegung der Eins ab Definition. Sei M R n Untermannigfaltigkeit des R n und x M. Wir nennen a R n Tangentialvektor an M in x, falls Kurve γ : ( ε, ε) M existiert, stetig differenzierbar mit γ() = x und γ () = a. T x M := {v R n : v Tangentialvektor an M in x } heißt Tangentialraum von M im Punkt x Lemma. Sei M d-dimensionale Untermannigfaltigkeit des R n und x M. Dann gilt a) T x M ist d-dimensionaler Untervektorraum des R n. b) Ist U R n offen, f C 1 (U, R m ), c R m regulärer Wert von f und M = f 1 (c) = T x M = ker f (x ) = {v R n : f (x )v = }. c) Sei N x M := (T x M) (Orthogonalkomplement) der Normalenraum in x. Dann ist N a M Untervektorraum des R n der Dimension n d. d) Ist m = n d in b), so bilden f 1 (x ), f n d (x ) eine Basis um N x M. (Hier ist f = (f 1,..., f n d )) Notation und Diskussion. Sei K R n kompakt. Wir sagen K hat glatten Rand, falls für alle x K eine offene Umgebung U R n von x und ϕ C 1 (U, R) existiert mit

49 11. INTEGRATION ÜBER UNTERMANNIGFALTIGKEITEN 47 K U = {x U : ϕ(x) } und ϕ (x) für alle x U. Es gilt dann: K U = {x U : ϕ(x) = } Unter diesen Bedingungen ist K eine kompakte Hyperfläche des R n und es existiert genau ein Vektor ν(x ) R n mit K K x ν(x ) i) ν(x ) T x ( K), ii) ν(x ) = 1, iii) es existiert ε > : x + tν(x ) K für alle t (, ε). Es existiert deshalb eine stetige Abbildung ν : K R n so, dass ν(x ) für x K der äußere Normaleneinheitsvektor an x ist. Diese Abbildung heißt Normaleneinheitsfeld. Notationen: a) Für die Ableitung einer Funktion f : R n R m an der Stelle x sind neben dem üblichen f (x) die alternative Notationen f(x), Df(x), f(x) oder gradf(x) im Literatur oft benutzt. Dabei heißt f (x) Gradient von f. b) Der Laplace-Operator ist definiert durch f := 2 f 2 x f 2 x f 2 x n. c) Die Divergenz von f : R n R n ist definiert durch Formal ist div f = f. div f := f 1 x 1 + f 2 x f n x n Theorem [Satz von Gauß]. Sei K R n kompakt mit glattem Rand, ν : K R n äußeres Normaleneinheitsfeld. Ferner sei K U, U R n offen und F C 1 (U, R n ). Dann gilt div F dλ n = F, ν dσ. Obiger Satz gilt in wesentlich allgemeineren Rahmen auch noch. K Korollar [Satz von Green]. Voraussetzung: Wie oben in 11.19, f, g C 2 (U, R). Dann ( (f g g f) dλ n = f g ν g f ) dσ, ν K wobei g ν (x) = f (x), ν(x) die Ableitung in Normalenrichtung bezeichnet. K K