1 falls x 2. falls x = 1 und. 0 falls x > 1. eine Lebesgue-integrierbare Majorante. Somit können wir den Satz von Lebesgue anwenden:

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1 Lösungsvorschläge zur Klausur 045 Maß- und Integrationstheorie WS 205/6 Lösungsvorschlag zu Aufgabe Sei f n der Integrant 0 falls x > 2 und f n x) falls x 2. 3+sin 2n)+x x 4n Sein punktweiser Grenzwert ist gegeben durch falls x <, 3 lim f nx) fx) : falls x und n 4 0 falls x > Da 0 f n x) für alle n N nach Konstruktion, ist die Funktion 0 falls x > 2 und gx) falls x 2. eine Lebesgue-integrierbare Majorante. Somit können wir den Satz von Lebesgue anwenden: Es gilt lim n [ 2,2] 3 + sin ) dλx) x 2n + x 4n ) lim n 3 + sin ) x 2n + x 4n [ 2,2] [ 2,2],) fx) dλx) 3 dλx) + {,} dλx) 4 dλx) + 2, ),2) 0 dλx)

2 Lösungsvorschläge zur Klausur 045 Maß- und Integrationstheorie WS 205/6 Lösungsvorschlag zu Aufgabe 2. Nach Beispiel: Polarkoordinaten für d 2 haben wir Φ : [0, ) [0, 2π) R 2 ; r, θ) Φr, θ) : r cosθ), r sinθ) siehe 6.4) im Skript zu 045, mit Φ r, θ) cosθ) r sinθ) sinθ) r cosθ) und det Φ r, θ) r. 2. Definiere f : χ D0 R), also falls x, y) D f : R 2 0 R) und R; x, y) χ D0 R)x, y) 0 falls x, y) / D 0 R). Da D 0 R) ein Kreis mit Radius R um den Ursprung ist, f χ D0 R) rotationssymmetrisch. Es gilt falls x, y) R und fx, y) 0 falls x, y) > R mit x, y) : x2 + y 2 die euklidische Norm in R 2. Da f χ D0 R) eine Treppenfunktion mit messbarer Menge D 0 R) ist, kann λ 2 D0 R) ) als λ 2 D0 R) ) χ D0 R)x, y) dλ 2 x, y) fx, y) dλ 2 x, y) geschrieben werden. 3. Da f messbar ist und Φ oben behandelt wurde, kann der Transformationssatz angewendet werden. Insbesondere können wir auch Proposition anwenden.)

3 Wir erhalten mit U [0, R] [0, 2π) und V ΦU) D 0 R) fx, y) dλ 2 x, y) fx, y) dλ 2 x, y) ΦU) f r cosθ), r sinθ) ) r dλ 2 r, θ) U f r cosθ), r sinθ) ) r dλ 2 r, θ). [0,R] [0,2π) 4. Da f als Treppenfunktion positiv und messbar, und r, θ) r als stetige Funktion positiv und messbar ist r 0), können wir den Satz von Fubini in der ersten Variante anwenden. Wir erhalten f r cosθ), r sinθ) ) r dλ 2 r, θ) [0,R] [0,2π) χ {r R} r, θ) f r cosθ), r sinθ) ) r dλ 2 r, θ) [0, ) [0,2π) χ {r R} r, θ) r dλ 2 r, θ) [0, ) [0,2π) χ {r R} r, θ) r dλ θ) dλ r) Fubini) [0, ) [0,2π) 2π χ {r R} r) r dλ r) da gilt. 2π 2π [0, ) R 0 [ 2 r2 r dλ r) ] rr r0 2π 2 R2 πr 2, f r cosθ), r sinθ) ) χ B0 R) r cosθ), r sinθ) ) χ{r R} r, θ) 5. Nun setzten wir alle Schritte zusammen und erhalten λ 2 D0 R) ) fx, y) dλ 2 x, y) f r cosθ), r sinθ) ) r dλ 2 r, θ) πr 2. [0,R] [0,2π)

4 Lösungsvorschläge zur Klausur 045 Maß- und Integrationstheorie WS 205/6 Lösungsvorschlag zu Aufgabe 3 Sei E { {}, {2}, {3} } ein Erzeugendensystem über der Grundmenge Ω {, 2, 3}.. Berechnen Sie die von E erzeugte σ-algebra σe) über der Grundmenge Ω. Da E alle -elementrigen Teilmengen der endlichen Menge Ω enthält, gilt σe) PΩ). Wir haben also σe) {, {, 2, 3}, {}, {2, 3}, {2}, {, 3}, {3}, {, 2} } PΩ). 2. Vergleichen Sie σe) mit der Potenzmenge PΩ). Welche Relation erfüllen beide Mengensysteme zueinander? Wie bereits oben erwähnt haben wir σe) PΩ). 3. Sei µ : σe) R ein Wahrscheinlichkeitsmaß, das µ {} ) µ {2} ) erfüllt. 3 Zeigen Sie, dass µ bereits eindeutig festgelegt ist und geben Sie µ vollständig an. Wir haben µ ) 0, µ {, 2, 3} ) da µ W-Maß), µ {} ) 3 µ {2} ) 3 nach Aufgabenstellung), nach Aufgabenstellung), µ {3} ) µ {, 2} ) µ {} ) µ {2} ) 3 3 3, µ {, 2} ) µ {} ) + µ {2} ) , µ {, 3} ) µ {} ) + µ {3} ) und µ {2, 3} ) µ {2} ) + µ {3} )

5 Lösungsvorschläge zur Klausur 045 Maß- und Integrationstheorie WS 205/6 Lösungsvorschlag zu Aufgabe 4 Hinweis zur Punktevergabe: Jede richtige Antwort wird mit +2 Punkten, jede e Antwort wird mit 2 Punkten bewertet. Keine Antwort wird mit 0 Punkte bewertet. Sie können jedoch insgesammt in dieser Aufgabe keine negative Punkte erziehlen. Ein Beispiel: Sie haben 4 von 6 Fragen beantwortet, richig, 3. Sie erhalten daher +3 Punkte, Punkte und Punkte. Insgesammt wären das 4 Punkte. Da Sie jedoch mindestens 0 Punkte für die Aufgabe bekommen, erhalten Sie für die gesammte Aufgabe 0 Punkte. Sei [, ), B [, ) )) der Messraum mit Grundmenge [, ) und den Borelmengen B [, ) ) { A [, ); A B R )}. Wir definieren ein Maß µ auf diesen Messraum durch µa) : A x dλ x) für alle A B [, ) ) ). Bitte kreuzen Sie entweder Richtig oder Falsch an:. Es gilt B [, ) )) P [, ) ). 2. Der Maßraum [, ), B [, ) ), µ ) ist endlich. 3. Der Maßraum [, ), B [, ) ), µ ) ist σ-endlich. 4. Die durch [, ) R; x x gegebene Funktion ist λ integrierbar.

6 5. Die durch [, ) R; x gegebene Funktion ist µ integrierbar. x 6. Es gilt µ, 2) ) log2).

7 Lösungsvorschläge zur Klausur 045 Maß- und Integrationstheorie WS 205/6 Lösungsvorschlag zu Aufgabe 5. Wir testen die 3 Eigenschaften aus der Definition eines Maßes: δ x0 ist offenbar eine positive Mengenfunktion, da ihr Wertebereich nur {0, } ist. Also gilt δ x0 A) 0 für alle A PR). Da x 0 / gilt, folgt δ x0 ) 0. Seien {A n } disjunkte Teilmengen von R, dann gilt entweder x 0 / A n für alle n N ) δ x0 A n 0 δ x0 A n ), oder x 0 A n für genau ein n 0 N Die A n sind disjunkt!), ) δ x0 A n δ x0 A n ), da δ x0 A n ) 0 für alle n n 0. Also ist δ x0 σ-additiv. Somit ist δ x0 2. a) Es gilt ein Maß. x 2 + e x2 dδ x0 x) x 0 ) 2 + e x 0) 2) δ x0 {x0 } ) Proposition ) x 0 ) 2 + e x 0) 2 R, da δ x0 ein Punktmaß ist. Es wird nur an den Punkten ausgewertet, wo das Maß nicht verschwindet.) Insbesondere zeigt dies, dass dieses Integral existiert wie haben es ja bereits ausgerechnet.) b) Der Integrand, also die Funktion x x 2 + e x2, ist durch die positive, aber nicht Lebesgue-integrierbare Funktion x x 2 nach unten begrenzt. Also ist x x 2 + e x2 nicht Lebesgue-integrierbar; das Integral x 2 + e x2 dλx) existiert nicht.