Kapitel 8 Probabilistische und Possibilistische Logik. 23. Juni 2005

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1 Kapitel 8 Probabilistische und Possibilistische Logik 23. Juni 2005

2 Zusammenfassung Kapitel 1-2 Grundlagen, Kapitel 3 Fuzzy-Mengen und -Relationen, Kapitel 4 Erweiterung des klassischen Beweisbegriffes, Kapitel 5 Abstrakte Fuzzy-Logik, Kapitel 6 Fuzzy-Logik zur Modellierung von Vagheit, Kapitel 7 kanonische Erweiterungen zweiwertiger Operatoren,

3 Plan für heute Kapitel 8: Fuzzy-Logik zur Modellierung von Unsicherheit, - Possibilistisches Schließen, - Probabilistisches Schließen.

4 Zufallsgrößen mit Hilfe von Zufallsgröße wird der (unsichere) Ausgang eines Zufallsexperimentes beschrieben, die Zufallsgröße X nimmt Werte aus einem Grundbereich Ω an, falls Ω endlich oder abzählbar: diskrete Zufallsgröße, Zufallsexperiment des Würfelns: Ω = {1,.., 6}, Information über den Würfel Wahrscheinlichkeitsverteilung.

5 Beispiel Würfel Wahrscheinlichkeiten für einen gleichverteilten Würfel: { 1/6, falls 1 ωi 6; P(ω i ) = 0, sonst. Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten in Ω muß 1 ergeben. Die Wahrscheinlichkeit mit einem Würfel eine Sechs zu würfeln: P(6) = P(X = 6) = 1/6.

6 Stetige Zufallsgrößen falls Ω nicht diskret ist, ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines konkreten Ergebnisses häufig gleich 0, stattdessen die Wahrscheinlichkeit für gewisse Teilmengen A von Ω, P(A) = P(X A), Definition Sei Ω eine Menge. Eine σ-algebra B ist eine nichtleere Familie von Teilmengen von Ω so daß folgende Bedingungen erfüllt sind: 1. B, 2. falls A in B liegt, dann liegt auch das Komplement von A in B, 3. für eine Folge {A i } i I, A i B, ist auch i I A i in B.

7 Wahrscheinlichkeitsraum Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, B, P), mit: Ω: Grundmenge der Elementarereignisse, B: σ-algebra der zu bewertenden Ereignisse, P: Wahrscheinlichkeitsmaß. Definition Eine Funktion P : B [0, 1], mit 1. P( ) = 0, P(Ω) = 1 2. P( i I A i) = i I P(a i) für paarweise disjunkte Mengen A i. heißt Wahrscheinlichkeitsmaß P auf (Ω, B). P(A) ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Ausgang des Experimentes in A liegt.

8 Wahrscheinlichkeitverteilung und Dichte Sei Ω = R, (kumulative) Verteilungsfunktion F : R [0, 1] : F (x) = P(X x) X heißt stetige Zufallsgröße, falls F stetig ist. Wahrscheinlichkeitsdichte: f (x) = F (x) P(A) = P(X = x A) = [a,b] f (x)dx.

9 Gleichverteilung auf einem Intervall [a, b] 0, falls x a; 1 f(x) = b a, falls a < x b; 0, falls x > b. f(x) 1 b a Dichtefunktion a b

10 (µ, σ)-normalverteilung Dichte f (x) = 1 σ 2π e 1 2 ( x µ σ )2 F (x) = 1 σ 2π µ: Erwartungswert, σ: Standardabweichung Verteilungsfunktion x e 1 2 ( t µ σ )2 dt µ = 0,σ = 1 µ = 1,σ = π π

11 Possibilistisches Schließen eingeführt von Dubois und Prade, Grade für die Möglichkeit des Wahrseins Möglichkeitsgrad einer Formel ist dual zu ihrem Notwendigkeitsgrad: falls ϕ mindestens zum Grad a notwendig ist, dann ist ϕ höchstens zum Grad 1 a möglich.

12 Possibilitätsverteilung Idee: auf einer Grundmenge Ω sei eine Verteilung der Möglichkeiten gegeben. Definition Eine Possibilitätsverteilung π über Ω ist eine Funktion π : Ω [0, 1], für die mindestens ein ω Ω existiert, so daß π(ω) = 1 (Normalisiertheit). POSS(Ω) Menge aller Possibilitätsverteilungen über Ω.

13 Possibilitätsverteilung Bei gegebener Possibilitätsverteilung fragen wir nach der Möglichkeit, daß für einen bestimmten Objektzustand ω gilt: ω Σ. Semantik von Probabilistischen und Possibilistischen Verteilungen ist verschieden: großer Unterschied zwischen der Möglichkeit z.b. jeden Morgen schwimmen zu gehen und der Wahrscheinlichkeit dafür.

14 Possibilitätsmaße Definition Sei π 0 POSS(Ω) eine Possibilitätsverteilung, dann ist POSS π : P(Ω) [0, 1], mit heißt Possibilitätsmaß von π. NEC π : P(Ω) [0, 1], mit POSS π (A) := sup{π(ω) ω A} NEC π (A) := inf{1 π(ω) ω Ω \ A} heißt Notwendigkeitsmaß von π. Ein hoher Grad POSS π0 (A) ist nicht ausreichend, um sicher feststellen zu können, daß ω 0 tatsächlich zu A gehört.

15 Beispiel π 0 u wolkig Ω = [1, 100] Possibilitätsverteilung für den Bedeckungsgrad am in Potsdam. Grundbereich Prozent u wolkig

16 Beispiel wähle A = [65, 70] POSS π0 (A) = 1 und NEC π0 (A) = 0 ein Bedeckungsgrad zwischen 65 und 70 Prozent wird als uneingeschränkt möglich angesehen, aber nicht als sicher.

17 Wahrscheinlichkeit und Möglichkeit die Möglichkeit eines Ereignisses folgt aus seiner (positiven) Wahrscheinlichkeit, Wahrscheinlichkeitstheorie und Possibilitätstheorie modellieren das Phänomen der Unsicherheit auf verschiedene Weise, π0 ist keine Dichtefunktion, das Integral [0,100] π 0(ω)dω = 35 ist verschieden von 1. Auch nach Normalisierung mit π π 0 ergibt das von π 0 induzierte Wahrscheinlichkeitsmaß P den Wert P(A) = 1 7 POSS π 0 (A)

18 Eigenschaften von Possibilitäts- und Necessity-Maßen Satz Für alle π POSS(Ω) und alle A, B Ω gilt: 1. Poss π ( ) = Nec π ( ) = 0, 2. Poss π (Ω) = Nec π (Ω) = 1, 3. Poss π (A B) = max{poss π (A), Poss π (B)}, 4. Nec π (A B) max{nec π (A), Nec π (B)}, 5. Poss π (A B) min{poss π (A), Poss π (B)}, 6. Nec π (A B) = min{nec π (A), Nec π (B)}, 7. Nec π (A) Poss π (A).

19 Possibilistisches Schließen u F(FL ) Fuzzy-Menge von Formeln. u(ϕ) ist untere Schranke für den Notwendigkeitsgrad von ϕ, ein Notwendigkeitsmaß N erfüllt ϕ, wenn N(ϕ) u(ϕ), jedes Paar (ϕ, u(ϕ)) ist ein Konstraint für die Menge der Notwendigkeitsmaße, Ω Menge der klassischen aussagenlogischen Modelle, π : Ω [0, 1] Possibilitätsverteilung, π(ω)ist der Grad zu dem ω möglicherweise die reale Welt ist.

20 Induzierte Maße Definition Das von π induzierte Möglichkeitsmaß ist eine Funktion Π : F L [0, 1] ist definiert durch: Π π (ϕ) = sup{π(ω) ω = ϕ}. Das von π induzierte Notwendigkeitsmaß ist eine Funktion N : F L [0, 1], die definiert ist durch: N π (ϕ) = 1 Π( ϕ) = inf{1 π(ω) ω = ϕ}.

21 Possibilistisches Schließen Definition 1. Eine Possibilitätsverteilung π erfüllt das Paar (ϕ, a), π = (ϕ, a), falls N π (ϕ) a. 2. π erfüllt die Fuzzy-Menge u, falls für alle ϕ supp(u) gilt π = (ϕ, u(ϕ)). 3. (ψ, b) ist eine logische Konsequenz von u, falls für alle π mit π = u gilt π = (ψ, b). Schreibweise: u = (ψ, b). D P (u)(ϕ) := sup{a (0, 1], u = (ϕ, a)}

22 Prinzip der minimalen Spezifität für jedes u existiert eine größte Possibilitätsverteilung πu, mit π u = u, π u (ω) = { min{1 u(ϕ i ) ω = ϕ i, ϕ i supp(u)}, 1 falls ω = ϕ 1... ϕ n. falls supp(u) = {ϕ 1,... ϕ n } Satz Eine Possibilitätsverteilung π erfüllt eine Fuzzy-Menge u genau dann, wenn π π u, d.h. für alle ω gilt π u (ω) π(ω).

23 Probabilistische Logiken Modellierung von Unsicherheit im Sinne von (subjektiver) Wahrscheinlichkeit, klassische Tautologien werden stets mit 1 bewertet, logisch äquivalente Formeln erhalten denselben Grad, Klasse der Formeln, die betrachtet wird, ist die Lindenbaum-Algebra B der klassischen Logik mit dem größten Element 1 und kleinsten Element 0

24 Probabilistische Semantiken Msa der konstante-summen-super-additiven Maße, Mul der upper-lower Wahrscheinlichkeiten, Mp der endlich-additiven Maße, Wir konzentrieren uns auf endlich-additive Wahrscheinlichkeitsmaße.

25 endlich-additive Wahrscheinlichkeitsmaße Definition Ein endlich-additives Wahrscheinlichkeitsmaß ist eine Abbildung P : B [0, 1] mit 1. P(1) = 1, 2. für alle ϕ, ψ B mit ϕ ψ = 0 gilt: P(ϕ ψ) = P(ϕ) + P(ψ), 3. für alle ϕ B gilt: 1 = P(ϕ) + P( ϕ).

26 Probabilistische Information die Wahl von Wahrscheinlichkeitsmaßen als Modelle erscheint vernünftig, da ein Wahrscheinlichkeitsmaß vollständige Information über ein Zufallsphänomen enthält, d.h. eine vollständige Theorie ist, die Information, die von einer Anfangsbelegung u gegeben wird ist, daß für jede Formel ϕ die Wahrscheinlichkeit größer oder gleich u(ϕ) ist, eine probabilistische Theorie JMP ist die größte untere Schranke der Wahrscheinlichkeitsmaße, die größer oder gleich u sind, eine Abbildung, die als größte untere Schranke von Wahrscheinlichkeitsmaßen bestimmt wird heißt eine untere Hülle (envelope)

27 Probabilistisches Schließen MP ist balanciert, d.h. m M P gilt stets m(ϕ) + m( ϕ) = 1, damit gibt eine Fuzzy-Menge immer ein Intervall-Constraint für eine unbekannte Wahrscheinlichkeitsverteilung, JMP erlaubt uns, dieses Intervall-Constraint zu verbessern, bzw. das bestmögliche Intervall-Constraint für u zu finden. Suche nach einem Fuzzy-H-System zu dieser Semantik ist äquivalent zur Suche nach einem Algorithmus, mit dessen Hilfe das beste Intervall-Constraint für eine gegebene Information u gefunden werden kann, Problem ist eng mit der Entwicklung von Diagnose-Systemen verbunden.

28 Konsistenzbegriff für probabilistische Information durch Einführung einer neuen Familie von Junktoren Definition Sei h N, k N 0. Ein h k-junktor ist eine h-stellige Operation C k auf B, die wie folgt definiert wird: 1. C 0 : B h B ist die konstante Abbildung mit C 0 (ϕ 1... ϕ h ) = 1, 2. falls k 0 ist für beliebige ϕ 1,..., ϕ h B C k (ϕ 1... ϕ h ) = sup{ϕ i(1)... ϕ i(k) i(1)... i(k) paarweise disjunkt aus {1,..., h}}

29 Interpretation der Junktoren als Spiel - ein Spieler kann auf eine Folge von Ereignissen ϕ 1... ϕ h aus B wetten, - die Bank bezahlt einen Euro für irgendein eingetretenes Ereignis ϕ i. In diesem Fall ist C k (ϕ 1... ϕ h ) die Menge der Elementarereignisse für die eine Mehrfachwette auf ϕ 1... ϕ h uns ermöglicht zumindestens k Euros zu gewinnen.

30 Interpretation der Junktoren als Spiel II C 0 (ϕ 1... ϕ h ) C 1 (ϕ 1... ϕ h )... C h (ϕ 1... ϕ h ), C 1 (ϕ 1... ϕ h ) = ϕ 1... ϕ h, C h (ϕ 1... ϕ h ) = ϕ 1... ϕ h, C h+1 (ϕ 1... ϕ h ) = C h+2 (ϕ 1... ϕ h ) =... = 0, C k (ϕ 1... ϕ h ) C k (ϕ 1... ϕ h 1 ), C k (ϕ 1... ϕ h ) = C k (ϕ 1... ϕ h, 0) = C k+1 (ϕ 1... ϕ h, 1).

31 Wahrscheinlichkeitsmaße und h k-junktoren Satz Eine Abbildung P : B [0, 1] ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß, gdw. 1. P(0 = 0 und P(1 = 1, und 2. P(ϕ 1 ) P(ϕ h ) = P(C 1 (ϕ 1... ϕ h )) P(C h (ϕ 1... ϕ h )). Beispiel: Seien ϕ 1,..ϕ 4 paarweise disjunkt, dann gilt: P(ϕ 1 ) P(ϕ 4 ) = P(C 1 (ϕ 1... ϕ 4 ))

32 Maximaler Gewinn Sei ϕ 1... ϕ h gegeben. Wir definieren: M(ϕ 1... ϕ h ) = max{k N C k (ϕ 1... ϕ h ) 0}, oder äquivalent dazu: M(ϕ 1... ϕ h ) = min{k N C k (ϕ 1... ϕ h ) = 0} 1. C k (ϕ 1... ϕ h ) 0 bedeutet, daß es möglich ist, k Euros zu gewinnen, M(ϕ1... ϕ h ) ist der maximal mögliche Gewinn für einen Spieler, der auf ϕ 1... ϕ h wettet.

33 Konsistenz für Probabilistische Interpretation Satz Die Semantik M P ist logisch kompakt. Eine Anfangsbelegung ist erfüllbar, gdw. ϕ 1... ϕ h B gilt: u(ϕ 1 ) u(ϕ h ) M(ϕ 1... ϕ h ) die Bedingung des Satzes erlaubt es, allein den Träger von u zu berücksichtigen, falls der Träger endlich ist, ist die Überprüfung auf Erfüllbarkeit sehr einfach, falls die ϕ1... ϕ h paarweise disjunkt sind u genau dann erfüllbar, wenn u(ϕ 1 ) u(ϕ h ) 1.

34 Hilbert-Kalkül und Probabilistische Theorien Satz Sei τ eine Fuzzy-Menge von Formeln, so daß τ(1) = 1. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: 1. τ ist eine J MP -Theorie, 2. τ(ϕ 1 ) τ(ϕ h ) (M(ϕ 1... ϕ h ) k + 1) τ(c k (ϕ 1... ϕ h )) + k 1 für jedes h N, k N 0 und Formelmengen {ϕ 1... ϕ h }, 3. für jede Formel ϕ B gibt es ein Wahrscheinlichkeitsmaß P mit P(ϕ) = τ(ϕ).

35 Hilbert-Kalkül und Fuzzy-Inferenzregeln Aussage (2) kann man auch schreiben als: τ(c k (ϕ 1... ϕ h )) τ(ϕ 1) τ(ϕ h ) k + 1. M(ϕ 1... ϕ h ) k + 1 h, m, k N 0 mit h m k definieren wir eine h-m-k-fuzzy-inferenzregel r hmk = (r, r ) durch: ϕ 1... ϕ h C k (ϕ 1... ϕ h ) a 1... a h n( (a a h k+1) m k+1 ) Dom(r hmk ) = {ϕ 1... ϕ h M(ϕ 1... ϕ h ) = m}.

36 Fuzzy-Inferenzregeln Die Bedeutung der Ableitungsregeln ist nur in einigen Fällen klar. für paarweise disjunkte ϕ1... ϕ h ist h 1 1-Regel ist eine verallgemeinerte Disjunktionsregel ϕ 1... ϕ h C k (ϕ 1... ϕ h ) a 1... a h n( (a a h k+1) m k+1 ) für ϕ1... ϕ h 0 erhält man bei h = k = m eine verallgemeinerte Konjunktionsregel ϕ 1... ϕ h ϕ 1... ϕ h a 1... a h a 1... a h

37 Wenn wir Formeln ϕ 1... ϕ h mit den Graden a 1,... a h abgeleitet haben, die die Konsistenzbedingung verletzen, dann können wir die Kontradiktion 0 zum Grad 1 beweisen. m-collapsing-regeln Wir haben für jede Anfangsbelegung u u(ϕ 1 ) u(ϕ h ) M(ϕ 1... ϕ h ) Definition Sei m, h N mit h m. Eine m-collapsing-regel r C = (r C, r C ) wird definiert durch: r C (ϕ 1... ϕ h ) = 0 { r C (a 1 falls a a h m, 1,... a h ) = 0 sonst.

38 Vollständigkeitssatz Satz Das Fuzzy-Hilbertsystem bestehend aus der Fuzzy-Menge der Axiome Ax(1) = 1 und der Menge der h m k-fuzzy-inferenzregeln und m collapsing Regeln ist eine vollständige und korrekte Axiomatisierung für die Semantik M P der additiven probabilistischen Maße. Offenbar ist die Axiomatisierung von MP nur theoretisch interessant, es ist ein offenes Problem, ob sich der Fuzzy-Hilbert-Kalkül noch verkleinern läßt.

39 Der Spieler M(ϕ1... ϕ h ) stellt dann den maximal möglichen Gewinn bei einer Wette auf die Menge ϕ 1... ϕ h Anfangsinformation u als eine Wettfunktion interpretieren, u(ϕ) den Wetteinsatz für ϕ, u(ϕ 1 ) u(ϕ h ) der Einsatz für die Gesamtwette Wette ist Spieler-vernünftig, wenn es Belegungen u gibt, sd. u(ϕ 1 ) u(ϕ h ) M(ϕ 1... ϕ h ) Spieler hat die Chance zumindestens den Betrag zu gewinnen, den er eingesetzt hat, Wettfunktion ist Spieler-vernünftig, falls alle Mehrfachwetten Spieler-vernünftig sind, wegen der 0-Regel ist Roulette nicht Spieler-vernünftig, eine Wettfunktion ist Spieler-vernünftig, wenn sie erfüllbar ist.

40 Die Bank vernünftig für die Bank: m(ϕ 1,..., ϕ h ) = max{t N 0 C t (ϕ 1,..., ϕ h ) = 1} m(ϕ1,..., ϕ h ) stellt den kleinstmöglichen Geldbetrag dar, den ein Spieler bei einer Wette auf ϕ 1,..., ϕ h sicher gewinnt, eine Wettfunktion u ist Bank-vernünftig, wenn m(ϕ 1,..., ϕ h ) u(ϕ 1 ) u(ϕ h ), eine Wettfunktion ist Bank-vernünftig, wenn es keine Mehrfachwette gibt, bei der ein Spieler sicher gewinnt.

41 Probabilistische Maße als Wettfunktionen Satz Eine Abbildung P : B [0, 1] ist ein additives Wahrscheinlichkeitsmaß, genau dann wenn für alle ϕ 1,..., ϕ h B gilt: m(ϕ 1,..., ϕ h ) P(ϕ 1 ) P(ϕ h ) M(ϕ 1... ϕ h ) Wahrscheinlichkeitsmaße sind Wettfunktionen, die sowohl Spieler-vernünftig, als auch Bank-vernünftig sind, bei denen also weder ein sicheres Gewinnen noch Verlieren möglich sind.