10 Untermannigfaltigkeiten
|
|
- Insa Brodbeck
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 10. Untermannigfaltigkeiten 1 10 Untermannigfaltigkeiten Definition. Eine Menge M R n heißt k-dimensionale Untermannigfaltigkeit des R n, 1 k n, falls es zu jedem a M eine offene Umgebung U R n von a und einen Diffeomorphismus ψ : U V von U auf eine offene Teilmenge V R n gibt, so dass ψ(u M) = V (R k {0}), 0 R n k, gilt. Dabei sei im Allg. ψ ein C 1 -Diffeomorphismus (d.h. ψ C 1 (U) mit ψ 1 C 1 (V )); deshalb heißt M auch k-dimensionale C 1 -Untermannigfaltigkeit. M R 3 x 3 U a U M ψ x 2 V (R 2 {0}) x 1 Beispiel. (1) Der Einheitskreis S 1 = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 = 1} ist eine 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit des R 2. (2) Die Einheitskugel S 2 = {x R 3 : x 2 = 1} ist eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit des R 3. (3) Der Weg parametrisiert durch γ(t) = (t 3, t 2 ), t R, die sog. Neilsche Parabel, ist keine 1-dimensionale C 1 -Untermannigfaltigkeit, weil man zum Punkt a = (0, 0) keinen geeigneten C 1 -Diffeomorphismus ψ findet. γ definiert aber einen C -Weg. (4) Ein C -Weg mit einer Selbstdurchdringung ist keine 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit. (5) Sei D R n 1 offen und f : D R eine C 1 -Funktion. Dann ist der Graph M = G(f) = {(x, f(x )) : x D} R n eine (n 1)-dimensionale Untermannigfaltigkeit des R n. Zum Punkt a = (x 0, f(x 0)), x 0 D, definiert man ψ(x) = ψ(x, x n ) = ( x, x n f(x ) )
2 2 R. Farwig: Analysis IV: Maß- und Integrationstheorie mit U = D R, V = D R, ψ(m) = ψ(u M) = V (R n 1 {0}) = D {0}. Hier gilt x M x löst die Gleichung F (x, x n ) := f(x ) x n! = 0. Satz Eine Teilmenge M R n ist genau dann eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit des R n, wenn es zu jedem a M eine offene Umgebung U R n von a und eine C 1 -Funktion f : U R n k gibt, so dass (i) M U = {x U : f(x) = 0}, (ii) die Ableitung f (a) = Df(a) : R n R n k hat den maximalen Rang n k (oder äquivalent: f (a) : R n R n k ist surjektiv). Der obige Satz besagt also, dass eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit lokal durch das Lösen von n k (nichtlinearen) Gleichungen beschrieben werden kann. Beweis. Wir zeigen zuerst die Richtung. Sei zu a M eine offene Umgebung U R n und ein C 1 -Diffeomorphismus ψ : U V mit ψ(u M) = V (R k {0}) gegeben. Wir definieren f = (f 1,..., f n k ) : U R n k, f := (ψ k+1,..., ψ n ). Dann ist f C 1 (U) n k und die Ableitung f (a) = ( ψ k+1 (a),..., ψ n (a) ) besteht aus n k linear unabhängigen Vektoren, nämlich n k Zeilenvektoren der invertierbaren Jacobi-Matrix Dψ(a) R n,n von ψ in a. Außerdem ist x M U genau dann, wenn (ψ k+1,..., ψ n )(x) = f(x) = 0 gilt. Für den Beweis der Richtung seien a M, U eine offene Umgebung von a und U M = {x U : f(x) = (f 1,..., f n k )(x) = 0} sowie f 1 (a),..., f n k (a) linear unabhängig. Ohne Einschränkung können wir annehmen, dass f 1 (a),..., f n k (a) im R n senkrecht auf e 1,..., e k stehen, so dass also e 1,..., e k, f 1 (a),..., f n k (a) eine Basis des R n bildet. Wir definieren ψ : U R n durch ψ(x) = (x 1,..., x k, f(x)), x = (x 1,..., x k,..., x n ). Dann ist Dψ(a) = (e 1,..., e k, f 1 (a),..., f n k (a)) invertierbar, und nach dem Satz über Umkehrfunktionen bildet ψ eine offene Umgebung Ũ U von a bijektiv auf eine offene Umgebung V von ψ(a) ab. Folglich ist ψ : Ũ V ein C 1 - Diffeomorphismus. Schließlich erhalten wir x M Ũ f(x) = 0 (x Ũ) ψ(x) = (x, 0) V (R k {0}).
3 10. Untermannigfaltigkeiten 3 Definition (reguläre Parametrisierungen). Sei U R k, 1 k n, offen. Eine stetig differenzierbare Abbildung φ : U R n heißt Immersion (reguläre Parametrisierung), wenn die lineare Abbildung φ (x) = Dφ(x) : R k R n für jedes x U injektiv ist (oder äquivalent: rang φ (x) = k = max.). Beispiel. (1) Ein Weg γ : (a, b) R n ist genau dann eine Immersion, wenn γ (t) 0 für alle t (a, b); d.h. genau dann, wenn für alle t (a, b) der Weg γ einen nichttrivialen Tangentialvektor besitzt. (2) Die Neilsche Parabel ist ein C -Weg, aber wegen γ (0) = (0, 0) keine Immersion. (3) Der C -Weg γ : (0, 2π) R 2, γ(t) = (1 + 2 cos t)(cos t, sin t) ist eine Immersion, aber wegen der Selbstdurchdringung an der Stelle t = π ± π/3 keine 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit. (4) Der Graph G(f) einer C 1 -Funktion ist eine Immersion, denn für die Abbildung φ(x ) = (x, f(x )), x D R n 1, hat 1 φ (x ) = Dφ(x.. ) =. 1 Rn,n 1 1 f... n 1 f den maximalen Rang n 1. Bemerkung. Anhand des dritten Beispiels sieht man also, dass der Begriff der Immersion zu schwach ist, um Untermannigfaltigkeiten zu charakterisieren. Satz 10.2 (Parametrisierungssatz). M R n ist genau dann eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit, wenn es zu jedem a M eine offene Umgebung V von a, eine offene Menge U R k und eine Immersion φ : U R n mit φ(u) = V M derart gibt, dass φ : U φ(u) (mit der Relativtopologie des R n auf M) ein Homöomorphismus ist, d.h., φ ist bijektiv, stetig und φ 1 ist stetig. Insbesondere folgt, dass φ(u) = V M relativ offen in M ist. In diesem Fall heißt φ auch Einbettung. Ohne Beweis. (s. H. Amann-J. Escher: Analysis II, Satz VII 9.10 und 9.12) Definition. Sei M R n eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit. Dann ist eine Karte von M eine auf einer offenen Menge U R k definierte Immersion φ : U M, die zugleich als Abbildung φ : U φ(u) ein Homöomorphismus ist (φ ist eine Einbettung). In dieser Situation heißen (φ 1 (p)) 1,..., (φ 1 (p)) k für p φ(u) Koordinaten von p bzgl. der Karte φ, die Funktionen (φ 1 ) 1,..., (φ 1 ) k : φ(u) R heißen lokale Koordinaten.
4 4 R. Farwig: Analysis IV: Maß- und Integrationstheorie Offensichtlich sind lokale Koordinaten zu p M nicht eindeutig. Für zwei Karten (ϕ 1, U 1 ), (ϕ 2, U 2 ) kann ohne Weiteres ϕ 1 (U 1 ) ϕ 2 (U 2 ) (relativ offen in M) gelten. Welche Eigenschaften hat dann ϕ 1 2 ϕ 1 auf dem R k? M R n ϕ 2(U 2) V ϕ 2 ϕ 1(U 1) ϕ 1 W 1 W 2 U 1 U 2 R k Satz 10.3 (Kartenwechsel). Sei M R n eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit und seien ϕ 1 : U 1 M und ϕ 2 : U 2 M Karten von M mit V := ϕ 1 (U 1 ) ϕ 2 (U 2 ). Dann ist V relativ offen in M, W j = ϕ 1 j (V ), j = 1, 2, ist offene Teilmenge von U j und ψ := (ϕ 2 W2 ) 1 ϕ 1 W1 : W 1 W 2 ist ein C 1 -Diffeomorphismus auf R n. Beweis. Weil ϕ 1, ϕ 2 Karten sind, sind die Mengen ϕ 1 (U 1 ), ϕ 2 (U 2 ) relativ offen in M. Folglich ist auch V = ϕ 1 (U 1 ) ϕ 2 (U 2 ) relativ offen in M. Daraus erhalten wir, dass W j = ϕ 1 j (V ) offen in U j, j = 1, 2, ist. Außerdem liefern die Eigenschaften von ϕ 1, ϕ 2 die Bijektivität und Stetigkeit von ψ : W 1 W 2. Es bleibt nun zu zeigen, dass ψ ein C 1 -Diffeomorphismus ist. Dazu fixieren wir a W 1 und zeigen, dass ψ in einer offenen Umgebung A W 1 von a stetig differenzierbar ist. Weil ϕ 1 eine Immersion ist, sind die k Vektoren 1 ϕ 1 (a),..., k ϕ 1 (a) R n linear unabhängig. Ohne Einschränkung (nach Drehung des Koordinatensystems) können wir also annehmen, dass 1 ϕ 1 (a),..., k ϕ 1 (a), e 1,..., e n k eine Basis des R n bildet. Wir definieren die Abbildung n k φ 1 : W 1 R n k R n, φ 1 (x, t 1,..., t n k ) = ϕ 1 (x) + t j e j. Dann ist die Ableitung Dφ 1 (a, 0) = ( 1 ϕ 1 (a),..., k ϕ 1 (a), e 1,..., e n k ) R n,n invertierbar. Also gibt es nach dem Satz über inverse Funktionen eine offene Umgebung A 1 W 1 von a und eine offene Umgebung N 1 R n k von 0, so dass φ 1 : A 1 N 1 Ω 1 j=1
5 10. Untermannigfaltigkeiten 5 mit Ω 1 R n offen, ϕ 1 (a) Ω 1, ein C 1 -Diffeomorphismus ist. Dabei gilt φ 1 (x, 0) = ϕ 1 (x) für alle x A 1. Analog definiert man einen C 1 -Diffeomorphismus φ 2 : A 2 N 2 Ω 2 mit offener Umgebung A 2 R k von ψ(a), offener Nullumgebung N 2 R n k und offener Umgebung Ω 2 R n von ϕ 1 (a). Verkleinert man ggf. A 1, N 1, Ω 1, erreicht man Ω 1 Ω 2, und wir erhalten, dass φ 1 2 φ 1 : A 1 N 1 A 2 N 2 ein C 1 -Diffeomorphismus auf einer geeigneten offenen Umgebung von (a, 0) A 1 N 1 ist. Schließlich ist die Abbildung x (x, 0) (φ 1 2 φ 1 )(x, 0) ( (φ 1 2 φ 1 )(x, 0) ) k j=1 = ψ(x) stetig differenzierbar und ihre Umkehrfunktion ist vom Typ C 1. Definition. (1) Den C 1 -Diffeomorphismus ϕ 1 2 ϕ 1 = (ϕ 2 W2 ) 1 (ϕ 1 W1 ) in Satz 10.3 nennt man einen Kartenwechsel. (2) Eine Familie von Karten (ϕ α, U α ) (mit Karten ϕ α : U α R k M) mit der Eigenschaft M = α ϕ α(u α ) heißt Atlas von M. Lemma Zu jeder k-dimensionalen Untermannigfaltigkeit M R n existiert ein Atlas aus abzählbar vielen Karten. Beweis. Die Existenz eines Atlas folgt aus dem Parametrisierungssatz Sei also (ϕ α, U α ) ein Atlas von M. Dann gibt es zu jedem a M eine Karte (ϕ a, U a ), U a R k offen, ϕ a (U a ) = V a M, V a R n offen, mit a V a M. Also ist a innerer Punkt von V a. Da Q n dicht in R n (und dicht für M) liegt, gibt es zu a einen rationalen Punkt q a Q n und einen Radius 0 < r a Q, so dass gilt. Dann ist die Abbildung ϕ a ϕ 1 a (B ra (q : a) M) ϕ 1 a a B ra (q a ) V a eine Karte, und die abzählbar vielen Mengen (B ra (q a ) M) B ra (q a ) M {B ra (q a ) M : a M} überdecken M. Also besitzt M einen Atlas aus höchstens abzählbar vielen Karten. Bemerkung. Häufig werden nur endlich viele Karten benötigt, um die k-dimensionale Untermannigfaltigkeit M zu überdecken. Beispielsweise kann die Untermannigfaltigkeit S 1, S 2 und allgemein S n R n+1, n N, durch zwei Karten überdeckt werden.
Analysis II. Vorlesung 52. Diffeomorphismen
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2014 Analysis II Vorlesung 52 Diffeomorphismen Der Satz über die lokale Umkehrbarkeit gibt Anlass zu folgender Definition. Definition 52.1. EsseienV 1 undv 2 endlichdimensionalereellevektorräume
Mehr12 Der Gaußsche Integralsatz
12. Der Gaußsche Integralsatz 1 12 Der Gaußsche Integralsatz Das Ziel dieses Abschnitts ist die folgende zentrale Aussage der mehrdimensionalen Analysis und der Theorie der partiellen Differentialgleichungen:
Mehr4. Übungsblatt zur Differentialgeometrie
Institut für Mathematik Prof. Dr. Helge Glöckner Dipl. Math. Rafael Dahmen SoSe 11 06.05.2011 4. Übungsblatt zur Differentialgeometrie Aufgaben und Lösungen Gruppenübung Aufgabe G7 Der Tangentialraum an
Mehr1 Liesche Gruppen: Grundlegendes und Beispiele
1 Liesche Gruppen: Grundlegendes und Beispiele In dieser Vorlesung verstehen wir unter einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit einen Hausdorff- Raum mit abzählbarer Basis und mit einem maximalen C -Atlas.
Mehr11 Untermannigfaltigkeiten des R n und lokale Extrema mit Nebenbedingungen
11 Untermannigfaltigkeiten des R n und lokale Extrema mit Nebenbedingungen Ziel: Wir wollen lokale Extrema von Funktionen f : M R untersuchen, wobei M R n eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit des
Mehr(x, x + y 2, x y 2 + z 3. = e x sin y. sin y. Nach dem Umkehrsatz besitzt f dann genau auf der Menge
ÜBUNGSBLATT 0 LÖSUNGEN MAT/MAT3 ANALYSIS II FRÜHJAHRSSEMESTER 0 PROF DR CAMILLO DE LELLIS Aufgabe Finden Sie für folgende Funktionen jene Punkte im Bildraum, in welchen sie sich lokal umkehren lassen,
Mehr2 Extrema unter Nebenbedingungen
$Id: lagrangetex,v 18 01/11/09 14:07:08 hk Exp $ $Id: untermfgtex,v 14 01/11/1 10:00:34 hk Exp hk $ Extrema unter Nebenbedingungen Lagrange-Multiplikatoren In der letzten Sitzung hatten wir begonnen die
Mehr2. Übungsblatt zur Differentialgeometrie
Institut für Mathematik Prof. Dr. Helge Glöckner Dipl. Math. Rafael Dahmen SoSe 11 15.04.2011 2. Übungsblatt zur Differentialgeometrie (Aufgaben und Lösungen) Gruppenübung Aufgabe G3 (Atlanten) (a) In
Mehr1 Eingebettete Untermannigfaltigkeiten des R d
$Id: unter.tex,v 1.2 2014/04/14 13:19:35 hk Exp hk $ 1 Eingebettete Untermannigfaltigkeiten des R d In diesem einleitenden Paragraphen wollen wir Untermannigfaltigkeiten des R d studieren, diese sind die
MehrAbbildung 10.1: Das Bild zu Beispiel 10.1
Analysis 3, Woche Mannigfaltigkeiten I. Definition einer Mannigfaltigkeit Die Definition einer Mannigfaltigkeit braucht den Begriff Diffeomorphismus, den wir in Definition 9.5 festgelegt haben. Seien U,
Mehr2.10 Lokale Funktionsanalyse
2.1 Lokale Funktionsanalyse Aufgabe Gegeben sei die Abbildung g : R 2 R 2 mit g(x, y) : (x 3 yx, y). Man bestimme alle Mengen M k : {(ξ, η) R 2 g 1 (ξ, η) hat genau k Elemente}. Wie verhält g sich in der
MehrLösungen zu den Hausaufgaben zur Analysis II
Christian Fenske Lösungen zu den Hausaufgaben zur Analysis II Blatt 6 1. Seien 0 < b < a und (a) M = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 4 + z 4 = 1}. (b) M = {(x, y, z) R 3 x 3 + y 3 + z 3 = 3}. (c) M = {((a+b sin
Mehr8 1. GEOMETRIE DIFFERENZIERBARER MANNIGFALTIGKEITEN
8 1. GEOMETRIE DIFFERENZIERBARER MANNIGFALTIGKEITEN (vi) Konvergenz von Folgen ist in topologischen Räumen folgendermaßen definiert: Ist (a n ) M eine Folge, so heißt sie konvergent gegen a M, wenn es
Mehr1.6 Implizite Funktionen
1 1.6 Implizite Funktionen Wir werden uns jetzt mit nichtlinearen Gleichungen beschäftigen, f(x) = 0, wobei f = (f 1,..., f m ) stetig differenzierbar auf einem Gebiet G R n und m < n ist. Dann hat man
Mehr8 Beispiele von Koordinatentransformationen
8 Beispiele von Koordinatentransformationen Wir diskutieren nun diejenigen Koordinatentransformationen, die in der Praxis wirklich gebraucht werden (ebene und räumliche Polarkoordinaten sowie Zylinderkoordinaten).
MehrDer Fundamentalsatz der Algebra
Der Fundamentalsatz der Algebra Vortragsausarbeitung im Rahmen des Proseminars Differentialtopologie Benjamin Lehning 17. Februar 2014 Für den hier dargelegten Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra
MehrImplizite Funktionen, der Umkehrsatz und Extrema unter Nebenbedingungen
Kapitel XII Implizite Funktionen, der Umkehrsatz und Extrema unter Nebenbedingungen 53 Implizite Funktionen und allgemeine partielle Differenzierbarkeit 54 Der Umkehrsatz 55 Lokale Extrema unter Nebenbedingungen,
Mehr10 Der Satz über implizite Funktionen und Umkehrfunktionen
Vorlesung SS 9 Analsis Prof. Dr. Siegfried Echterhoff SATZ ÜBER IMPLIZITE FKT UND UMKEHRFKT Der Satz über implizite Funktionen und Umkehrfunktionen Motivation: Sei F : U R R eine differenzierbare Funktion
MehrProbeklausur zur Analysis II
Probeklausur zur Analysis II Prof. Dr. C. Löh/M. Blank 3. Februar 2012 Name: Matrikelnummer: Vorname: Übungsleiter: Diese Klausur besteht aus 8 Seiten. Bitte überprüfen Sie, ob Sie alle Seiten erhalten
MehrImplizite Funktionen. Ist für eine stetig differenzierbare Funktion f : R n R m R n. so lässt sich das Gleichungssystem
Implizite Funktionen Ist für eine stetig differenzierbare Funktion f : R n R m R n f (x, y ) = (0,..., 0) t, det f x (x, y ) 0, so lässt sich das Gleichungssystem f k (x 1,..., x n, y 1,..., y m ) = 0,
MehrThema14 Der Satz über inverse Funktionen und der Satz über implizite Funktionen
Thema14 Der Satz über inverse Funktionen und der Satz über implizite Funktionen In diesem Kapitel betrachten wir die Invertierbarkeit von glatten Abbildungen bzw. die Auflösbarkeit von impliziten Gleichungen.
Mehr3 Vektorbündel und das Tangentialbündel
$Id: vektor.tex,v 1.6 2014/06/30 10:20:57 hk Ex $ $Id: fluss.tex,v 1.2 2014/06/30 12:36:06 hk Ex hk $ 3 Vektorbündel und das Tangentialbündel 3.4 Ableitungen von C q -Funktionen In der letzten Sitzung
MehrDifferentialgeometrie von Kurven und Flächen
Differentialgeometrie von Kurven und Flächen Inhaltsverzeichnis:. Hilfsmittel Fritzsche 2. Parametrisierte Kurven Ballnus, 29.0. 3. Ebene Krümmung Ballnus, 05.. 4. Raumkurven Stergiou, 2.. 5. Globale Eigenschaften
MehrDefinition 1.2. Eine kontinuierliche Gruppe mit einer endlichen Menge an Parametern heißt endliche kontinuierliche Gruppe. x cosξ sinξ y sinξ cosξ
8 Gruppentheorie 1 Lie-Gruppen 1.1 Endliche kontinuierliche Gruppe Definition 1.1. Eine Menge G mit einer Verknüpfung m heißt Gruppe, falls folgende Axiome erfüllt sind: (i) Die Operation m, genannt Multiplikation,
Mehrf(x 0 ) = lim f(b k ) 0 0 ) = 0
5.10 Zwischenwertsatz. Es sei [a, b] ein Intervall, a < b und f : [a, b] R stetig. Ist f(a) < 0 und f(b) > 0, so existiert ein x 0 ]a, b[ mit f(x 0 ) = 0. Wichtig: Intervall, reellwertig, stetig Beweis.
MehrKapitel 5 Untermannigfaltigkeiten. 5.1 Glatte Flächen in R 3
Kapitel 5 Untermannigfaltigkeiten 5.1 Glatte Flächen in R 3 Bisher haben wir unter einem glatten Weg im R n stets eine differenzierbare Abbildung γ:i R n, definiert auf einem Intervall I R, verstanden.
Mehr17 Lineare Abbildungen
Chr.Nelius: Lineare Algebra II (SS2005) 1 17 Lineare Abbildungen Wir beginnen mit der Klärung des Abbildungsbegriffes. (17.1) DEF: M und N seien nichtleere Mengen. Eine Abbildung f von M nach N (in Zeichen:
MehrAnalysis II. 8. Klausur mit Lösungen
Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Analysis II 8. Klausur mit en 1 2 Aufgabe 1. Definiere die folgenden kursiv gedruckten) Begriffe. 1) Eine Metrik auf einer Menge M. 2) Die Kurvenlänge
MehrKapitel 13 UNTERMANNIGFALTIGKEITEN IMPLIZITE FUNKTIONEN
Kapitel 3 UNTERMANNIGFALTIGKEITEN DES R n UND DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN Fassung vom 23. Februar 2006 Claude Portenier ANALYSIS 345 3. Di eomorphismen 3. Di eomorphismen Seien X und Y o ene Mengen
MehrAnalysis II 14. Übungsblatt
Jun.-Prof. PD Dr. D. Mugnolo Wintersemester 01/13 F. Stoffers 04. Februar 013 Analysis II 14. Übungsblatt 1. Aufgabe (8 Punkte Man beweise: Die Gleichung z 3 + z + xy = 1 besitzt für jedes (x, y R genau
Mehrφ(ζ, η) = (ζ η, η) = (x, y), bijektiv und stetig differenzierbar ist. Die Jacobi-Matrix von φ lautet: f(ζ) det(dφ(ζ, η)) dζ dη f(ζ) dζ dη.
Übungen (Aufg und Lösungen zu Mathem u Lin Alg II SS 6 Blatt 9 66 Aufgabe 43: Sei f : R R eine stetige Funktion Formen Sie das Integral f(x + y dx dy in ein einfaches Integral um Lösung: Führe neue Koordinaten
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2014/15): Differential und Integralrechnung 6
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 204/5): Differential und Integralrechnung 6 6. (Frühjahr 2009, Thema, Aufgabe 3) Sei r > 0. Berechnen Sie die Punkte auf der Parabel y = x 2 mit dem
MehrFolgerungen aus dem Auflösungsatz
Folgerungen aus dem Auflösungsatz Wir haben in der Vorlesung den Satz über implizite Funktionen (Auflösungssatz) kennen gelernt. In unserer Formulierung lauten die Resultate: Seien x 0 R m, y 0 R n und
Mehr3 Topologische Gruppen
$Id: topgr.tex,v 1.4 2010/05/31 08:41:53 hk Exp hk $ 3 Topologische Gruppen Nachdem wir jetzt gezeigt haben das Quotienten G/H topologischer Gruppen wieder topologische Gruppen sind, wollen wir das Ergebnis
Mehr8 Lineare Abbildungen und Matrizen
8 Lineare Abbildungen und Matrizen 8.1 Lineare Abbildungen Wir beschäftigen uns nun mit Abbildungen zwischen linearen Räumen. Von besonderem Interesse sind Abbildungen, die die Struktur der linearen Räume
MehrParametrisierung und Integralsätze
Parametrisierung und Integralsätze 2. März 2 Integration in der Ebene. Defintion: eien w,..., w n stückweise reguläre, einfach geschlossene Kurven in R 2, seien W,..., W n die von diesen Wegen umschlossene
MehrWiederholungsklausur zur Analysis II
Wiederholungsklausur zur Analysis II Prof. Dr. C. Löh/M. Blank 11. April 2012 Name: Matrikelnummer: Vorname: Übungsleiter: Diese Klausur besteht aus 8 Seiten. Bitte überprüfen Sie, ob Sie alle Seiten erhalten
MehrOft gebraucht man einfach nur das Wort Mannigfaltigkeit, und meint eine topologische Banachmannigfaltigkeit. Das kommt auf den Kontext an.
Mannigfaltigkeiten (Version 19.11. 14:30) Eine n-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit ist ein topologischer Raum, der lokal homöomorph zum R n ist. Entsprechend könnten wir natürlich auch eine topologische
Mehr7 Der Gaußsche Integralsatz
7 Der Gaußsche Integralsatz Im Folgenden sei eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit des R n und a. 7.1 Tangentialvektoren. Ein Vektor v R n heißt Tangentialvektor an in a, falls es eine stetig differenzierbare
Mehr1 Definition und Grundeigenschaften
Christian Bönicke Vektorbündel I Im Folgenden sei immer F = R, C oder H. 1 Definition und Grundeigenschaften 1.1 Definition Ein k-dimensionales Vektorbündel ξ über F ist ein Bündel (E, p, B) mit folgenden
Mehr1.2 Differenzierbare Strukturen
29 1.2 Differenzierbare Strukturen Ausgangspunkt sei ein hausdorffscher topologischer Raum X. Ist U X offen und ϕ : U B ein Homöomorphismus auf eine offene Teilmenge B R n, so nennt man ϕ eine (n-dimensionale)
Mehr1. und 2. Fundamentalform
1. und 2. Fundamentalform regulärer Flächen Proseminar Differentialgeometrie Von Daniel Schliebner Herausgabe: 05. Dezember 2007 Daniel Schliebner 1. und 2. Fundamentalform regulärer Flächen Seite 1 6.1
MehrTechnische Universität München. Aufgaben Mittwoch SS 2012
Technische Universität München Andreas Wörfel Ferienkurs Analysis 2 für Physiker Aufgaben Mittwoch SS 2012 Aufgabe 1 Äquivalente Aussagen für Stetigkeit( ) Beweisen Sie folgenden Satz: Seien X und Y metrische
MehrTopologische Grundbegriffe I. 1 Offene und Abgeschlossene Mengen
Topologische Grundbegriffe I Vortrag zum Proseminar Analysis, 26.04.2010 Nina Neidhardt und Simon Langer Im Folgenden soll gezeigt werden, dass topologische Konzepte, die uns schon für die Reellen Zahlen
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Differential und Integralrechnung 6
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 205): Differential und Integralrechnung 6 6. (Frühjahr 2009, Thema, Aufgabe 3) Sei r > 0. Berechnen Sie die Punkte auf der Parabel y = x 2 mit dem
MehrKomplexe Zahlen und konforme Abbildungen
Kapitel 1 Komplexe Zahlen und konforme Abbildungen 1.0 Geometrie der komplexen Zahlen Die Menge C der komplexen Zahlen, lässt sich mithilfe der bijektiven Abbildung C := {x + iy : x,y R}, C z = x + iy
MehrEtwas Topologie. Handout zur Vorlesung Semi-Riemannsche Geometrie, SS 2004 Dr. Bernd Ammann
Etwas Topologie Handout zur Vorlesung Semi-Riemannsche Geometrie, SS 2004 Dr. Bernd Ammann Literatur Abraham, Marsden, Foundations of Mechanics, Addison Wesley 1978, Seiten 3 17 Definition. Ein topologischer
Mehri j m f(y )h i h j h m
10 HÖHERE ABLEITUNGEN UND ANWENDUNGEN 56 Speziell für k = 2 ist also f(x 0 + H) = f(x 0 ) + f(x 0 ), H + 1 2 i j f(x 0 )h i h j + R(X 0 ; H) mit R(X 0 ; H) = 1 6 i,j,m=1 i j m f(y )h i h j h m und passendem
Mehr3 Vektorräume abstrakt
Mathematik I für inf/swt Wintersemester / Seite 7 Vektorräume abstrakt Lineare Unabhängigkeit Definition: Sei V Vektorraum W V Dann heißt W := LH(W := Menge aller Linearkombinationen aus W die lineare
MehrKapitel 6 Vektoranalysis. 6.1 Glatte Kurven und Flächen in R 3
Kapitel 6 Vektoranalysis 6. Glatte Kurven und Flächen in R 3 Bisher haben wir unter einem glatten Weg im R n stets eine differenzierbare Abbildung γ:i R n, definiert auf einem Intervall I R, verstanden.
MehrUmkehrfunktion. g (y) = f (x) 1, x = g(y), Umkehrfunktion 1-1
Umkehrfunktion Ist für eine stetig differenzierbare n-variate Funktion f : D R n die Jacobi-Matrix f (x ) für einen Punkt x im Innern des Definitionsbereiches D R n nicht singulär, so ist f lokal invertierbar,
Mehr2.2. Die Tangentialebene. Definition 2.12 (Tangentialebene). Sei S eine reguläre Fläche, sei p S. Dann heißt
2.2. Die Tangentialebene. Definition 2.12 (Tangentialebene). Sei S eine reguläre Fläche, sei p S. Dann heißt { } T p S = X R 3 es gibt ein ε > 0 und eine glatte parametrisierte Kurve c : ( ε,ε) S mit c(0)
MehrEigenwerte und Diagonalisierung
Eigenwerte und Diagonalisierung Wir wissen von früher: Seien V und W K-Vektorräume mit dim V = n, dim W = m und sei F : V W linear. Werden Basen A bzw. B in V bzw. W gewählt, dann hat F eine darstellende
Mehr6. Normale Abbildungen
SKALARPRODUKE 1 6 Normale Abbildungen 61 Erinnerung Sei V ein n-dimensionaler prä-hilbertraum, also ein n-dimensionaler Vektorraum über K (R oder C) versehen auch mit einer Skalarprodukt, ra K Die euklidische
Mehrf 1 (U) = i I V i (1) f Vi : V i U Eine Überlagerung ist ein lokaler Homöomorphismus. {s S f(s) = g(s)} (2)
Liftung von Kurven Def inition 0.1 Eine stetige Abbildung f : Y X topologischer Räume heißt ein lokaler Homöomorphismus, wenn jeder Punkt y Y eine offene Umgebung V beseitzt, so dass die Einschränkung
Mehr1 Ableitungen. Definition: Eine Kurve ist eine Abbildung γ : I R R n, γ besteht also aus seinen Komponentenfunktionen. a 1 + tx 1. eine Kurve.
1 Ableitungen Definition: Eine Kurve ist eine Abbildung γ : I R R n, γ besteht also aus seinen Komponentenfunktionen γ 1 (t) γ(t) = γ n (t) Bild(γ) = {γ(t) t I} heißt auch die Spur der Kurve Beispiel:1)
Mehr1, 0 < y < x 2 0, sonst f besitzt alle Richtungsableitungen in (0, 0), ist aber unstetig dort
ANALYSIS II Lösung der. Klausur vom /7 (von D. Reding Aufgabe (a Richtig sind die Aussagen (iii, (iv und (vii. (b Gegenbeispiel zu (i: f: R R, (x, y x ist stetig, aber nicht partiell differenzierbar nach
MehrAnalysis auf Mannigfaltigkeiten
Analysis auf Mannigfaltigkeiten SS 2016 Franz Schuster franz.schuster@tuwien.ac.at Einleitung Diese Vorlesung soll als eine Einführung in die Theorie glatter Mannigfaltigkeiten dienen. Mannigfaltigkeiten
Mehr1 Lineare Abbildungen
1 Lineare Abbildungen Definition 1 Sei K ein Körper und V und W K-Vektoräume. Eine Abbildung f : V W heisst linear oder Homomoprhismus, wenn gilt: fv 1 + v 2 = fv 1 + fv 2 v 1, v 2 V fλv = λfv λ K, v V
MehrDer Laplace-Operator auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit
Der Laplace-Operator auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit (Eine kurze Einführung im Rahmen des Seminars Spektraltheorie des Laplace-Operators, Sommersemester 2009) Inhalt: 1) Einführung 2) (Unter-)
Mehr53 Der Satz über implizite Funktionen
53 Der Satz über implizite Funktionen 229 53 Der Satz über implizite Funktionen 53.1 Implizit definierte Kurven. In diesem Abschnitt wird zunächst die implizite Definition von Kurven durch Gleichungen
MehrFunktionen. Definition. Eine Funktion (oder Abbildung) ist eine Vorschrift, die jedem Element einer Menge A genau ein Element einer Menge B zuordnet.
1 Der Funktionsbegriff Funktionen Definition. Eine Funktion (oder Abbildung) ist eine Vorschrift, die jedem Element einer Menge A genau ein Element einer Menge B zuordnet. Dabei nennt man die Menge A Definitionsmenge
MehrAnalysis III Gewöhnliche Differentialgleichungen 3. Übungsblatt (mit Lösungshinweisen)
Analysis III Gewöhnliche Differentialgleichungen 3. Übungsblatt (mit Lösungshinweisen) Fachbereich Mathematik Wintersemester 0/0 Prof. Dr. Burkhard Kümmerer./3. November 0 Andreas Gärtner Walter Reußwig
Mehr3 Das n-dimensionale Integral
3 Das n-dimensionale Integral Ziel: Wir wollen die Integrationstheorie für f : D R n R entwickeln. Wir wollen den Inhalt (beziehungsweise das Maß ) M einer Punktmenge des R n definieren für eine möglichst
MehrMathematische Grundlagen für die Vorlesung. Differentialgeometrie
Mathematische Grundlagen für die Vorlesung Differentialgeometrie Dr. Gabriele Link 13.10.2010 In diesem Text sammeln wir die nötigen mathematischen Grundlagen, die wir in der Vorlesung Differentialgeometrie
MehrImplizite Funktionen
Implizite Funktionen Durch die Bedingung F (x, y) = C, C R wird eine bestimmte Teilmenge des R 2 festgelegt, zb durch die Bedingung x y = 4 Dabei können wir obda C = 0 annehmen, da wir stets zur Betrachtung
Mehrtechnische universität dortmund Dortmund, im Dezember 2011 Fakultät für Mathematik Prof. Dr. H. M. Möller
technische universität dortmund Dortmund, im Dezember 2011 Fakultät für Mathematik Prof. Dr. H. M. Möller Lineare Algebra für Lehramt Gymnasien und Berufskolleg Zusammenfassung der Abschnitte 4.3 und 4.4
MehrSurjektive, injektive und bijektive Funktionen.
Kapitel 1: Aussagen, Mengen, Funktionen Surjektive, injektive und bijektive Funktionen. Definition. Sei f : M N eine Funktion. Dann heißt f surjektiv, falls die Gleichung f(x) = y für jedes y N mindestens
MehrEinführung in die Differentialtopologie
Einführung in die Differentialtopologie Universität Freiburg, WS 2015/16 Nadine Große Skript - Version vom 22.01.2016 Wenn Sie (Tipp-)Fehler finden, bin ich dankbar, wenn Sie mir diese mitteilen. Inhaltsverzeichnis
MehrMusterlösungen Aufgabenblatt 1
Jonas Kindervater Ferienkurs - Höhere Mathematik III für Phsiker Musterlösungen Aufgabenblatt Montag 6. Februar 9 Aufgabe (Vivianische Kurve) x = (sin t cos t, sin t, cos t), t π, ist wegen x + + z = eine
MehrSeminarvortrag über die Euler-Charakteristik einer Fläche
Dies ist eine Ausarbeitung für einen Seminarvortrag, den ich im Sommersemester 2013/14 an der Humboldt-Universität im Proseminar Differentialgeometrie von Kurven und Flächen bei Christoph Stadtmüller gehalten
MehrLösung zu den Übungsaufgaben zur Lebesgueschen Integrationstheorie. Tobias Ried
Lösung zu den Übungsaufgaben zur Lebesgueschen Integrationstheorie Tobias Ried. März 2 2 Aufgabe (Messbarkeit der Komposition zweier Abbildungen). Seien (X, A), (Y, B) und (Z, C) Messräume und f : (X,
Mehr8 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN
8 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN Beweis. 1. Sei A X abgeschlossen, dann ist X \ A offen und jede offene Überdeckung von A lässt sich durch Hinzunahme von X \ A auf ganz X fortsetzen. Die Kompaktheit von X erlaubt
MehrMonotone Funktionen. Definition Es sei D R. Eine Funktion f : D R heißt. (ii) monoton fallend, wenn für alle x, x D gilt. x < x f (x) f (x ).
Monotone Funktionen Definition 4.36 Es sei D R. Eine Funktion f : D R heißt (i) monoton wachsend, wenn für alle x, x D gilt x < x f (x) f (x ). Wenn sogar die strikte Ungleichung f (x) < f (x ) folgt,
Mehr4.1. Vektorräume und lineare Abbildungen
4.1. Vektorräume und lineare Abbildungen Mengen von Abbildungen Für beliebige Mengen X und Y bezeichnet Y X die Menge aller Abbildungen von X nach Y (Reihenfolge beachten!) Die Bezeichnungsweise erklärt
MehrV04A3: Version 1 vom Montag,
V04A3: Version 1 vom Montag, 28.10.02 40 Inhaltsverzeichnis 1.14 Volumina relativ zu C 1 Abbildungen..................... 41 1.14.1 Tangentialräume zu C 1 Abildungen.................. 41 1.14.2 Erste rundform
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 5): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5 5. (Herbst 9, Thema 3, Aufgabe ) Betrachtet werde die Matrix A := 3 4 5 5 7 7 9 und die lineare Abbildung
MehrAnalysis für Informatiker
Analysis für Informatiker Wintersemester 2017/2018 Carsten.Schneider@risc.jku.at 1 Bemerkung: Dies ist kein Skript, welches den gesamten Inhalt der Vorlesung abdeckt. Es soll den Studierenden aber während
Mehr5 Quadriken. K = { R 2 ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0} wobei a, b, c, d, e, f reelle Zahlen sind mit (a, b, c) (0, 0, 0).
5 Quadriken Kegelschnitte Ein Kegelschnitt ist eine Teilmenge K R 2, welche durch eine quadratische Gleichung in zwei Unbestimmten beschrieben werden kann: x K = { R 2 ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f =
Mehr: das Bild von ) unter der Funktion ist gegeben durch
% 1.3 Funktionen Seien und Mengen nennt man Funktion oder Abbildung. Beachte: Zuordnung ist eindeutig. Bezeichnungen: : Definitionsbereich : Bildbereich (Zielmenge) von Der Graph einer Funktion: graph!
Mehr2 Implizite Funktionen
2 Implizite Funktionen Wir betrachten jetzt den Fall eines unterbestimmten Systems, wenn es also weniger Gleichungen gibt als Unbekannte. Wir können die Funktion dann wie folgt schreiben, indem wir die
MehrÜbungen zu Höhere Analysis und elementare Differentialgeometrie, WS 2015
Übungen zu Höhere Analysis und elementare ifferentialgeometrie, WS 215 Ulisse Stefanelli 27. Januar 216 1 Wiederholung 1. Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale dx (arctan x) 3 (log x) 2 (2
Mehr(b) Man nennt die Menge M beschränkt, wenn sie nach oben und unten beschränkt ist.
8 Punktmengen Für die Menge M = { 1 n ; n N } ist 1 = max(m), denn 1 M und 1 n 1 für alle n N. Die Menge M besitzt aber kein Minimum, denn zu jeder Zahl x = 1 n M existiert ein y M mit y < x, etwa y =
Mehr12 Gewöhnliche Differentialgleichungen
2 2 Gewöhnliche Differentialgleichungen 2. Einleitung Sei f : D R wobei D R 2. Dann nennt man y = f(x, y) (5) eine (gewöhnliche) Differentialgleichung (DGL) erster Ordnung. Als Lösung von (5) akzeptiert
MehrVektorräume und lineare Abbildungen
Kapitel 11. Vektorräume und lineare Abbildungen 1 11.1 Vektorräume Sei K ein Körper. Definition. Ein Vektorraum über K (K-Vektorraum) ist eine Menge V zusammen mit einer binären Operation + einem ausgezeichneten
Mehr3. Mai Zusammenfassung. g x. x i (x).
3. Mai 2013 Zusammenfassung 1 Hauptsatz Satz 1.1 Sei F C 1 (D) für eine offene Teilmenge D von R q+1 = R q R. Für (x 0, u 0 ) D gelte F (x 0, u 0 ) = 0, (x 0, u 0 ) 0. Dann gibt es eine Umgebung V von
MehrNeilsche Parabel. Wieso ist die Neilsche Parabel N = { (x,y) R 2 x 3 = y 2} keine UMF von R 2?
Inhalt vom 23.6. In dieser Übung soll zum einen die Parametrisierung von Flächen als auch die Berechnung von Flächeninhalten im Mittelpunkt stehen. Bevor wir jedoch damit anfangen, wollen wir noch beantworten,
Mehr1 Eigenschaften von Abbildungen
Technische Universität München Christian Neumann Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker Vorlesung Dienstag WS 2008/09 Thema des heutigen Tages sind zuerst Abbildungen, dann spezielle Eigenschaften linearer
MehrKörper- und Galoistheorie
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2011 Körper- und Galoistheorie Vorlesung 8 Erzeugte Algebra und erzeugter Körper Satz 8.1. Sei K L eine Körpererweiterung und sei f L ein algebraisches Element. Dann ist
Mehr(1.18) Def.: Eine Abbildung f : M N heißt
Zurück zur Mengenlehre: Abbildungen zwischen Mengen (1.17) Def.: Es seien M, N Mengen. Eine Abbildung f : M N von M nach N ist eine Vorschrift, die jedem x M genau ein Element f(x) N zuordnet. a) M = N
Mehr12.1 Kurven und Parametertransformationen. Wir untersuchen in diesem Abschnitt so genannte Kurven, die in der nachstehenden Definition
Kapitel 1 Kurven im R n 1.1 Kurven und Parametertransformationen 1. Funktionen von beschränkter Schwankung 1.3 Die Bogenlänge von Kurven 1.4 Parametrisierung nach der Bogenlänge 1.1 Kurven und Parametertransformationen
MehrKapitel 1. Holomorphe Funktionen
Kapitel 1 Holomorphe Funktionen Zur Erinnerung: I IR sei ein offenes Intervall, und sei z 0 I. Eine Funktion f : I IR heißt differenzierbar in z 0, falls der Limes fz fz 0 lim =: f z 0 z z 0 z z 0 existiert.
MehrSkript und Übungen Teil II
Vorkurs Mathematik Herbst 2009 M. Carl E. Bönecke Skript und Übungen Teil II Das erste Semester wiederholt die Schulmathematik in einer neuen axiomatischen Sprache; es ähnelt damit dem nachträglichen Erlernen
MehrMathematik II. Vorlesung 46. Der Gradient
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2010 Mathematik II Vorlesung 46 Der Gradient Lemma 46.1. Es sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum, der mit einer Bilinearform, versehen sei. Dann gelten folgende Aussagen
MehrElemente der Analysis II
Elemente der Analysis II Kapitel 5: Differentialrechnung im R n Informationen zur Vorlesung: http://www.mathematik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 17. Juni 2009 1 / 31 5.1 Erinnerung Kapitel
MehrMathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 25. April 2016 Die Dimensionsformel Definition 3.9 Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen zwei K-Vektorräumen. Der Kern
Mehr19.3 Oberflächenintegrale
19.3 Oberflächenintegrale Definition: Sei D R 2 ein Gebiet und p : D R 3 eine C 1 -Abbildung x = p(u) mit x R 3 und u = (u 1, u 2 ) T D R 2 Sind für alle u D die beiden Vektoren und u 1 linear unabhängig,
Mehr1 Linearkombinationen
Matthias Tischler Karolina Stoiber Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker WS 14/15 A 1 Linearkombinationen Unter einer Linearkombination versteht man in der linearen Algebra einen Vektor, der sich durch
MehrTotale Ableitung und Jacobi-Matrix
Totale Ableitung und Jacobi-Matrix Eine reelle Funktion f : R n R m ist in einem Punkt x differenzierbar, wenn f (x + h) = f (x) + f (x)h + o( h ) für h 0. Totale Ableitung 1-1 Totale Ableitung und Jacobi-Matrix
MehrMathematik III. Vorlesung 74. Folgerungen aus dem Satz von Fubini. (( 1 3 x3 1 2 x2 y +2y 3 x) 1 2)dy. ( y +2y y +4y3 )dy
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2010/2011 Mathematik III Vorlesung 74 Folgerungen aus dem Satz von Fubini Beispiel 74.1. Wir wollen das Integral der Funktion f :R 2 R, (x,y) x 2 xy +2y 3, über dem Rechteck
Mehr