Einführung in die Differentialtopologie

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1 Einführung in die Differentialtopologie Universität Freiburg, WS 2015/16 Nadine Große Skript - Version vom Wenn Sie (Tipp-)Fehler finden, bin ich dankbar, wenn Sie mir diese mitteilen.

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3 Inhaltsverzeichnis I. Reguläre Werte 1 1. Untermannigfaltigkeiten Tangentialvektoren und Tangentialraum Abbildungen von M aus Abbildungen zwischen Untermannigfaltigkeiten und Tangentialabbildung Immersionen und Submersionen Reguläre Werte II. Satz von Sard und Brown und Anwendungen Wie häufig sind reguläre und kritische Werte? Anwendungen von Sard Morsefunktionen Mannigfaltigkeiten mit Rand und der Brouwersche Fixpunktsatz III. Grad einer Abbildung Grad modulo Orientierte Mannigfaltigkeiten und der Brouwer Grad IV. Transversalität und Schnitttheorie Transversalität Schnitttheorie mod Orientierte Schnitttheorie Lefschetz Fixed-Point Theory Vektorfelder Literatur 33 iii

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5 I. Reguläre Werte 1. Untermannigfaltigkeiten Vorl. 1 Definition 1.1. Sei M R m. Dann heißt M m-dimensionale Untermannigfaltigkeit von R m falls es für jeden Punkt p M eine offene Umgebung V R m von p, eine offene Umgebung U R m und eine glatte Abbildung F : U V gibt, so dass gilt: i) F (U) = M V und F : U M V ist ein Homöomorphismus. ii) Die Jacobimatrix D u F = ( ) F u 1 (u),..., F u m (u) = F 1 u 1 (u) F m u (u)... 1 F 1 u (u) m. F m u (u) m (m m Matrix) hat für alle u = (u 1,..., u m ) U maximalen Rang (wobei F (u) = (F 1 (u),..., F m (u)) T ). Die Abbildung F heißt lokale Parametrisierung von M. Die Umkehrabbildung F 1 : M V U nennt man Karte von M. Man nennt m m die Kodimension der Untermannigfaltigkeit und u = (u 1,..., u m ) T lokale Koordinaten von M. F V R m p F (U) = M V U R m M Abb. I.1.: lokale Parametrisierung Beispiel Hyperebene H im R m =m+1 : Die Hyperebene H gehe durch den Punkt p R m und werde durch die linear unabhängigen Vektoren X 1,... X m aufgespannt: H = {p + u i X i u i R}. i Hier reicht eine Parametrisierung F : R m R m, u = (u 1,..., u m ) p + i u i X i. Dabei ist F offensichtlich glatt und ein Homöomorphismus aufs Bild und D u F = (X 1,..., X m ) hat Rang m da die Vektoren linear unabhängig sind. 1

6 I. Reguläre Werte 2. S 1 = {x 2 + y 2 = 1} R 2 : Beispiele für lokale Parametrisierung um (1, 0): a) b) F : ( π, π) S 1 (R 2 \ {(0, 1)}), α (cos α, sin α) (D α F = ( sin α, cos α) hat Rang 1) Hier ist F sogar für alle p S 1 \ {(0, 1)} eine lokale Parametrisierung. Um {(0, 1)} kann man ganz analog eine Parametrisierung bauen. Also ist S 1 eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit von R 2. F : ( 1, 1) S 1 {(x, y) y > 0}, x (x, 1 x 2 ) In der Übung (D x F = (1, x 1 x2 = x 1 x 2 ) hat Rang 1) Analog erhält man mittels F : ( 1, 1) S1 {(x, y) y < 0}, x (x, 1 x 2 ). Damit hat man schon um alle Punkte in S 1 \ {( 1, 0), (1, 0)} eine lokale Parametrisierung. Auflösen nach y (statt x wie bisher) liefert dann ganz analog lokale Parametrisierungen für die verbleibenden Punkte. 3. Sei U R m offen und sei f : (u 1,..., u m ) U f(u 1,..., u m ) R k glatt. Dann ist der Funktionsgraph M = {(u, f(u)) T R m =m+k u U} eine Untermannigfaltigkeit. Es reicht hier sogar eine lokale Parametrisierung für ganz M aus: D u F = f 1 f u u m.. f k f u k 1 u m F : U R m, u (u, f(u)) T. hat Rang m Bemerkung 1.3. a) In Definition 1.1 muss immer m m gelten, da sonst die lokale Parametrisierung F nicht bijektiv aufs Bild sein kann. b) (LinAlg-Wdh) Sei f : R n R m eine differenzierbare Funktion. Dann ist die Jacobimatrix D u f eine m n- Matrix, bzw. eine lineare Abbildung D u f : R n R m. Ist D u f injektiv (bzw. surjektiv), dann ist der Rang von D u f gleich n (bzw. m). Im Falle von Definition 1.1 ist F : U R m R n mit m n (da F ein Homöomorphismus aufs Bild ist). Damit bedeutet D u F habe maximalen Rang, dass D u F injektiv sein muss. Man sagt, dazu dass F eine Immersion ist. c) Wir werden oft die Kurzschreibweise M m R n verwenden. Das bedeutet, das M m-dimensional ist und nicht M... M. }{{} m-mal d) Ab sofort sind sofern nichts anderes gesagt Mannigfaltigkeiten immer glatte Untermannigfaltigkeiten eines R m (Nur manchmal werden wir es noch explizit dazu sagen.) Nach dem Satz von Whitney kann aber auch jede (abstrakte) Mannigfaltigkeit als eine Untermannigfaltigkeit eines R m, für m groß genug, aufgefasst werden. 2. Tangentialvektoren und Tangentialraum Sei F : U R m V R m eine lokale Parametrisierung von M um p = F (u 0 ). Die Bedingung, dass D u0 F = ( F u (u 1 0 ),..., F u (u m 0 ) ) Rang m hat, bedeutet, dass die Vektoren F u (u 1 0 ),..., F u (u m 0 ) R m unabhängig sind. linear 2

7 Anschauung von F u (u i 0 ). Also ist und 2. Tangentialvektoren und Tangentialraum Es ist F u i (u 0 ) = D u0 F (e i ), wobei e i der Einheitsvektor zur Koodinate u i darstellt. e i = d dt t=0(u 1 0,..., u i 1 0, u i 0 + t, u i+1 0,..., u m 0 ) F u i (u 0) = D u0 F (e i ) = d dt t=0f (u 0 + te i ). Hierbei ist γ(t) := u 0 + te i eine Kurve (sogar eine Gerade) in R m und c(t) := F γ(t) = F (u 0 + te i ) eine Kurve in M R m, also insbesondere eine Kurve in R m. Also ist c (0) = F u (u i 0 ) der Tangentialvektor an c in p = c(0) = F (u 0 ). Da für t klein genug Spur(c) M ist, nennt man c (0) = F u (u i 0 ) auch tangential an M in p = c(0). F V R n γ(t) = u 0 + te i u 0 u i D u0 F (e i) = F u i (p) = c (0) p M c(t) = F γ(t) Abb. I.2.: Tangentialvektor Lemma und Definition 2.1. Ist M R m eine m-dimensionale Untermannigfaltigkeit und p M. Sei F : U V eine lokale Parametrisierung von M um p = F (u 0 ), so ist der durch T p M := D u0 F (R m ) definierte Untervektorraum unabhängig von der Wahl der lokalen Parametrisierung und heißt Tangentialraum von M an p. V V V R n V R n p F F U u 0 u 0 (F ) 1 F U Abb. I.3.: Wechsel der lokalen Parametrisierung Bevor wir das Lemma beweisen, brauchen wir noch eine Hilfsaussage: Lemma 2.2. Sei M R m eine m-dimensionale Untermannigfaltigkeit. Sei F : U V eine lokale Parametrisierung von M. Sei W R l eine offene Menge und ϕ: W R m eine Abbildung mit ϕ(w ) M V. Dann ist ϕ als Abbildung von W nach R m genau dann glatt, wenn F 1 ϕ: W U R m glatt ist. 3

8 I. Reguläre Werte Bemerkung 2.3. Das letzte Lemma sagt uns insbesondere für den Fall, dass ϕ eine Karte ist, dass bei der Frage der Differenzierbarkeit einer Abbildung mit Werten in M egal ist, ob wir diese Abbildung als eine nach R n oder mittels Koordinaten als eine Abbildung mit Werten in R m auffassen. Insbesondere gilt: Sei M eine Untermannigfaltigkeit von R m F 2 : U 2 V 2. Sei V 1 V 2. Dann ist zusammen mit zwei lokalen Parametrisierungen F 1 : U 1 V 1 und F 1 2 F 1 : F 1 1 (V 1 V 2 ) F 1 2 (V 1 V 2 ) glatt. Beweis: Wir verwenden Lemma 2.2 auf W = F 1 1 (V 1 V 2 ), ϕ = F 1 und F = F 2 an. In der Übung Beweis von Lemma 2.2. Ist F 1 ϕ glatt, dann ist ϕ = F (F 1 ϕ) als Verkettung zweier glatter Abbildungen wieder glatt. Sei nun ϕ: W R m glatt. Sei p W. Dann ist q := ϕ(p) M V und u 0 := F 1 (q) U. Sei F (u 1,..., u m ) = (F 1 (u 1,..., u m ),..., F m (u 1,..., u m )) T. Das Differential D u0 F hat maximalen Rang, also Rang m. O.B.d.A. habe (D u0 (F 1,..., F m ) T ) maximalen Rang. Wir definieren und berechnen Dann ist G: U R k:=m m R m { G j (u 1,..., u m, t m+1 Fj (u,..., t m ) = 1,..., u m ) j m F j (u 1,..., u m ) + t j j > m D (u 1 0,...,u m 0,0,...,0) G = ( D (u 1 0,...,u m 0 ) F ) 0 Id k detd (u0,0)=(u 1 0,...,um 0,0,...,0) G = detd u0=(u 1 0,...,um 0 ) (F 1,..., F m ) T 0 und damit gibt es nach dem Umkehrsatz eine offene Umgebung U 1 U R k von (u 1 0,..., u m 0, 0,..., 0) und eine offene Umgebung V 1 V von q, so dass G U1 : U 1 V 1 ein Diffeomorphismus ist. Sei W 1 := ϕ 1 (V 1 ). Dann ist W 1 eine offene Umgebung von p. Für p W 1 gilt Da G 1 ϕ glatt ist, gilt das auch für F 1 ϕ. G 1 ϕ(p ) = (F 1 ϕ(p ), 0,..., 0). Beweis von Lemma 2.1. Sei F : U V eine weitere lokale Parametrisierung um p = F (u 0). Nach Folgerung 2.3 ist w := (F ) 1 F : F 1 (V V ) (F ) 1 (V V ) ein Diffeomorphismus. Damit ist F = F w : F 1 (V V ) V V und nach Kettenregel Also ist D u0 F = D w(u0)=f 1 (p)=u 0 F D u0 w. D u0 F (R m ) = D u 0 F (D u0 w(r m )) = D u 0 F (R m ), wobei die zweite Gleichheit folgt, da w ein Diffeomorphismus ist. Vorl. 2 Bemerkung 2.4. Sei v T p M. Dann gibt es eine glatte Kurve c: I = ( ɛ, ɛ) M mit c(0) = p und c (0) = v: Sei F : U V eine lokale Parametrisierung um p = F (u) und sei v = m F i=1 ai u (p). Wähle für c = F γ mit i γ(t) = u + t m i=1 ai e i. Wegen Linearität der Ableitung gilt c (0) = D u F (γ (0)) = m a i D u F (e i ) = v. i=1 4

9 2.1. Abbildungen von M aus 2. Tangentialvektoren und Tangentialraum Sei M R m eine m-dimensionale Untermannigfaltigkeit, p M und f : M R l. Wir wollen einen Begriff von Glattheit für f einführen. Definition 2.5. Sei W M offen (hier: offen in der von R m induzierten Topologie auf M. ) Eine Funktion f : W M R l heißt glatt, falls es zu jedem p W eine Umgebung Ŵ Rm von p und eine glatte Funktion f : Ŵ R l gibt, so dass f W Ŵ = f W Ŵ. Lemma 2.6. Sei f : M R l glatt und F : U V eine lokale Parametrisierung von M. Dann ist f F : U R l glatt. Beweis. Sei u 0 U beliebig. Wir setzen p := f(u 0 ). Da f glatt ist, gibt es eine offene Umgebung W von p und eine glatte Funktion f : W R l mit f M W = f M W. Dann gilt für all u F 1 (V W ): f F (u) = f F (u). Nun ist f F als Verkettung zweier glatter Funktionen wieder glatt, und damit ist auch f F glatt auf F 1 (V W ), also insbesondere in u 0. Lemma 2.7. Sei M m R m eine Untermannigfaltigkeit und F : U V eine lokale Parametrisierung. Dann ist F 1 : V M U glatt. Insbesondere ist F : U F (U) ein Diffeomorphismus. Beweis. Sei p V M beliebig. Setze u 0 := F 1 (p) U. Da D u0 F = ( F u (u 1 0 ),..., F u (u m 0 ) ) Rang m hat, sind die Vektoren F u (u 1 0 ),..., F u (u m 0 ) linear unabhängig im R m. Wir ergänzen diese Vektoren zu einer Basis vom R m und definieren F u 1 (u F 0),..., u m (u 0), w m+1,..., w m G(u 1,..., u m, t m+1,..., t m ) = F (u 1,..., u m ) + m i=m+1 Dann ist G((u, 0) = (u 1,..., u m, 0,..., 0)) = F (u 1,..., u m ) und G: U R m m R m R m ist glatt. Da ( ) D (u0,0)=(u 1 0,...,um 0,0,...,0) G = D u0 F w m+1,..., w m für alle u U eine nichtverschwindende Determinante hat, ist nach dem Umkehrsatz G auf einer Umgebung W R m von (u 0, 0) ein Diffeomorphismus aufs Bild. Sei G 1 : G(W ) W die Umkehrabbildung. Wegen G 1 M G(W ) = F 1 M G(W ), ist F 1 glatt nahe p = F (u 0 ). Da p M V beliebig ist, ist F 1 glatt. Folgerung 2.8. Sei M R m eine m-dimensionale Untermannigfaltigkeit, p M und f : M R l. Sei F : U V eine lokale Parametrisierung von M um p. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: 1. ( Lokale Existenz einer glatten Fortsetzung ) Es gibt eine offene Umgebung W von p in R m und eine Fortsetzung f von f M W auf W, die glatt ist. 2. ( Glatt in lokaler Parametrisierung ) Die Abbildung f F : U R l ist glatt. Beweis. 1 = 2 : siehe Lemma = 1 : Sei p M. Nach Lemma 2.7 ist F 1 glatt, d.h. es gibt eine offene Umgebung W R m von p und eine glatte Funktion G: W U mit G M W = F 1 M W. Setze f = f F G: W R m m. Dann ist f als Hintereinanderausführung von glatten Abbildungen (hier wieder glatt im Sinne der Analysis) und f W M = f F G W M = f F F 1 W M = f W M. Induzierte Topologie (= Spurtopologie = Relativtopologie): Sei (X, T ) ein topologischer Raum. Sei Y X. Dann ist die durch T auf Y induzierte Topologie definiert durch: T := {U Y U T }. Man überprüft leicht, dass (Y, T ) ein topologischer Raum ist. t i w i. 5

10 I. Reguläre Werte Bemerkung 2.9. Sei f : M N eine Abbildung zwischen Untermannigfaltigkeiten M m R m und N n R n. Sei p M. Sei F : U V eine lokale Parametrisierung von M um p und sei F : U V eine lokale Parametrisierung von N um f(p). Dann ist nach Lemma 2.2 und Folgerung 2.8 f um p genau dann glatt, wenn (F ) 1 f F : f 1 (U ) U V glatt um u := F 1 (p) ist. Beispiel (i) id: M M R m ist glatt. (ii) Sei M m R n. Ein (glattes) Vektorfeld ist eine (glatte) Abbildung X : M R n. Gilt zusätzlich X(p) T p M für alle p M, so ist X ein (glattes) tangentiales Vektorfeld oder Tangentialfeld auf M Abbildungen zwischen Untermannigfaltigkeiten und Tangentialabbildung Seien M m R m und N n R n Untermannigfaltigkeiten. Sei f : M N eine glatte Abbildung, sei p M. Nach Definition gibt es eine Umgebung W R m von p und eine glatte Abbildung f : W R n, so dass f W M = f W M. Lemma D p f(tp M) T f(p) N Beweis. Sei v T p M gegeben. Wir wählen eine Kurve c: ( ɛ, ɛ) M mit c(0) = p und c (0) = v. Dann gilt D p f(v) = Dc(0) f(c (0)) = d dt t=0( f c(t)) = d dt t=0( f c(t) ) T }{{} f(p) N. (I.1) Kurve in N Definition Das Differential von f and der Stelle p sei d p f := D p f : Tp M T f(p) N. Diese Abbildung wird Tangentialabbildung genannt. Wegen (I.1) hängt diese Definition nicht von der Wahl von f ab. Bemerkung a) d p f ist linear b) Für eine Folge glatter Abbildungen zwischen Untermannigfaltigkeiten M m f N n g P p gilt die Kettenregel d p (g f) = (d f(p) g) (d p f). c) In lokalen Koordinaten (vgl. Abb. I.4): Es sei F (u 0 ) = p, f(p) = p, F (ũ 0 ) = p. Wegen der Linearität von d p f gibt es a j i R mit ( ) F dpf u j (u 0) = a i F j ũ i (ũ 0) T p=f(p) N. i Dann gilt D u0 ( F 1 f F )(e i ) = n a j i e j, wobei (e i ) i die Standardbasis des R n (hier einmal im Punkt u 0 und einmal im Punkt ũ 0 ) bezeichnet, Übungsaufgabe 9: j a j i j=1 F ( ) ( ) F F ũ j (ũ 0) =d p f u i (u 0) = D p f u i (u 0) =D u0 ( f F ) (e i ) = D u0 (f F ) (e i ) =D u0 ( F ( F 1 f F ) (e i ) = Dũ0 F Du0 ( F 1 f F )(e i ) =Dũ0 F n n ( b j i e j) = b j i D ũ 0 F (ej ) = n j=1 Koeffizientenvergleich liefert a j i = bj i. b j i j=1 F ũ j (ũ 0) j=1 6

11 3. Immersionen und Submersionen f N p Ṽ N p V M M F F Ũ ũ 0 F 1 f F u 0 U Abb. I.4.: f : M N in lokalen Parametrisierungen. O.B.d.A. sei f(v M) = Ṽ N Notation Abkürzend verwendet man auch häufig: 3. Immersionen und Submersionen u i p := F u i (F 1 (p)) Satz 3.1. Sei f : M N eine glatte Abbildung zwischen Mannigfaltigkeiten, deren Ableitung d x f für x M ein Isomorphismus ist. Dann ist f lokal ein Diffeomorphismus bei x, d.h. es gibt eine Umgebung von x, die durch f diffeomorph auf eine Umgebung von f(x) abgebildet wird. Beweis. Wir nutzen lokale Karten, um diesen Satz auf den Satz über die lokale Umkehrfunktionen für den R n zurückzuführen: Seien κ: W M U und κ : W N U Karten um x M bzw. y = f(x) N mit κ(x) = u und κ (y) = u. Sei g := κ f κ 1 : U U. Da κ und κ Diffeomorphismen sind, ist d u g ein Isomorphismus. Nach dem Umkehrsatz der Analysis ist damit g ein lokaler Diffeomorphismus in u. Wegen f = κ 1 g κ: W W ist dann f lokaler Diffeomorphismus in x = κ 1 (u). Damit der Satz über Implizite Funktionen auf eine Abbildung f : M N anwendbar ist, ist dim M = dim N notwendig. Wir stellen uns jetzt der Frage, was das beste lokale Verhalten, falls dim M < dim N ist. Die Ableitung d x f : T x M T f(x) N kann zwar kein Isomorphismus mehr sein, aber zumindestens injektiv. Falls dem so ist, nennt man f eine Immersion in x. Ist f eine Immersion in allen x M, so nennt man f eine Immersion. Beispiel 3.2. Die kanonische Immersion von R k in R l mit l k ist die Standardinklusionsabbildung (x 1,..., x k ) (x 1,..., x k, 0,..., 0). Satz 3.3 (Satz über lokale Immersionen). Sei f : M N eine Immersion in x M und sei y = f(x). Dann gibt es lokale Koordinaten um x und y, so dass f(x 1,..., x k ) = (x 1,..., x k, 0,..., 0). (Kurz gesagt: f ist lokal äquivalent zur kanonischen Immersion in x.) Beweis. Wir wählen lokale Koordinaten um x M und y = f(x) N: ϕ: U M mit ϕ(0) = x und ψ : U N mit ψ(0) = y, s. Abb. I.5. Wir setzen g := ψ 1 f ϕ: U R m U R n. Da d x f und damit Abb. I.5.: Lokale Immersion d 0 g : R m R n injektiv ist, können wir durch einen Basiswechsel in R n immer erreichen, dass d 0 g die Form der n m-matrix ( Idm 0 (n m) m ) hat. Wir definieren G: U R n m R n durch G(x, z) = g(x) + (0, z). Dann bildet G eine offene Teilmenge von R n in den R n ab und d 0 G = Id n. Nach dem Satz über Umkehrfunktionen ist damit G ein lokaler 7

12 I. Reguläre Werte Diffeomorphismus in 0 R n. Nach Definition von G gilt g = G (kanonische Immersion). Da ψ G ein lokaler Diffeomorphismus ist, ergibt er durch Einschränken von Definitions- und Wertebereich eine neue Karte um y bzgl. derer dann f die kanonische Immersion ist. Vorl. 3 Folgerung 3.4. Ist f eine Immersion in x, dann ist f auch eine Immersion in einer Umgebung von x. Bemerkung 3.5. Haben M und N die gleiche Dimension, dann ist f : M N genau dann eine Immersion, wenn f eine lokaler Diffeomorphismus ist. Daran sieht man, dass Immersion zu sein eine strikt lokale Eigenschaft ist. Im Gegensatz dazu ist Diffeomorphismus zu sein, etwas Globales. f ist genau dann Diffeomorphismus, wenn f lokaler Diffeomorphismus ist und bijektiv ist. Das heißt auch: Will man, dass die Immersion schöne globale Eigenschaften hat, braucht man zusätzlich topologische Bedingungen. Wir haben das schon am Beispiel der Untermannigfaltigkeiten gesehen, vgl. Definition 1.1 und Übungsaufgabe 1 gesehen. Definition 3.6. Eine Immersion f : M N, die M homöomorph auf ihr Bild abbildet, heißt Einbettung. Folgerung 3.7. Sei f : M m N n eine Einbettung zwischen Mannigfaltigkeiten. Dann ist f(m) eine zu M diffeomorphe Untermannigfaltigkeit. Beweis. Ist y f(m), Dann gibt es ein eindeutiges x M mit f(x) = y. Sei F : U V eine lokale Parametrisierung von M um x. Dann ist f F : U V als Hintereinanderausführung von Immersionen wieder eine Immersion und als Hintereinanderausführung von Homöomorphismen aufs Bild wieder Homöomorphismus aufs Bild mit f(f (U)) = f(v M). Also ist f(m) eine Untermannigfaltigkeit von N mit Dimension m. Da eine Immersion zwischen Mannigfaltigkeiten gleicher Dimension, ein lokaler Diffeomorphismus ist und f homöomorph aufs Bild ist, ist f(m) diffeomorph zu M. Wir betrachten nun den Fall dim M dim N. Definition 3.8. Sei f : M N glatt und sei d x f : T x M T x N surjektiv für alle x M. Dann heißt f Submersion. Satz 3.9. Sei f : M N eine Submersion in x M und sei y = f(x). Dann existieren Karten von M bzw. N um x bzw. y, so dass in f in diesen lokalen Koordinaten die Form f(x 1,..., x m ) = (x 1,..., x n ) hat. Beweis. (Übungsaufgabe 12) Wir wählen lokale Koordinaten um x M und y = f(x) N: ϕ: U M mit ϕ(0) = x und ψ : U N mit ψ(0) = y, s. Abb. I.6. Wir setzen g := ψ 1 f ϕ: U R m U R n. Da d x f Abb. I.6.: Lokale Submersion und damit d 0 g : R m R n surjektiv ist, können wir durch einen Basiswechsel in R n immer erreichen, dass d 0 g die Form der n m-matrix ( Idn 0 m (m n) ) hat. Wir definieren G: U U R m n durch G(x 1,..., x m ) = (g(x), x n+1,..., x m ). Dann bildet G eine offene Teilmenge von R m in den R m ab und d 0 G = Id m. Nach dem Satz über Umkehrfunktionen ist damit G ein lokaler Diffeomorphismus in 0 R m. Nach Definition von G gilt g = (kanonische Submersion) G. Da ϕ G ein lokaler Diffeomorphismus ist, ergibt er durch Einschränken von Definitions- und Wertebereich eine neue Karte um x bzgl. derer dann f die kanonische Submersion ist. Bemerkung Die wichtigste Anwendung von Satz 3.9 ist: Sei f : M N eine glatte Abbildung zwischen Mannigfaltigkeiten und sei y N. Wir interessieren uns für die Menge f 1 (y) = {x M f(x) = y}. Diese ist im Allgemeinen kein schönes geometrisches Objekt. Ist allerding f eine Submersion in x, dann haben wir nach Satz 3.9 lokale Koordinaten um x und y, so dass in diesen f(x 1,..., x m ) = (x 1,... x n ) gilt, wobei x die Koordinaten (0,..., 0) habe. D.h. dass nahe x jeder Punkt in f 1 (y) die Gestalt (0,..., 0, x m+1,..., x n ) hat. Also gibt es eine Umgebung V von x, wo die Koordinaten (x 1,..., x m ) definiert sind und f 1 (y) V die Menge der Punkte mit x 1 =... = x m = 0 ist. Damit ist die glatte Abbildung F : U R m n V in lokalen Koordinaten gegeben durch (y 1,..., y m n ) (0,..., 0, y 1,..., y m n ) eine lokale Parametrisierung um x und somit f 1 (y) eine Mannigfaltigkeit. 8

13 4. Reguläre Werte f x f 1 (y) M y N Abb. I.7.: Urbild eines regulären Wertes 4. Reguläre Werte Durch Bemerkung 3.10 zeichnen sich für f : M N also Punkte x M aus, für die f eine Submersion ist. Deshalb definieren wir: Definition 4.1. Sei f : M m N n eine glatte Abbildung zwischen Mannigfaltigkeiten. Jedes x M mit RangD x f < n heißt kritischer Punkt von f und das zugehörige y = f(x) N heißt kritischer Wert von f. Alle anderen Punkte in N heißen reguläre Werte von f. Bemerkung Ist m < n, so sind alle Werte kritisch. 2. Ist ein Punkt y N nicht im Bild f(m), so ist y regulärer Wert. Nach Bemerkung 3.10 gilt also Lemma 4.3. Ist y N regulärer Wert von f, so ist f 1 (y) eine Mannigfaltigkeit der Dimension m n oder f 1 (y) =. Insbesondere folgt aus Bemerkung 3.10, dass für eine Abbildung f : R m R m m mit y R m m das Urbild f 1 (y), wenn nichtleer, eine m-dimensionale Untermannigfaltigkeit von R m ist. { Beispiel 4.4. i) Die m-dimensionale Sphäre S m = x = ( x 1,..., x m+1) R m+1 } m+1 j=1 (xj ) 2 = 1 R m+1 ist das Urbild S m = f 1 (0) der Funktion f : R m+1 \ {0} R, f ( x 1,..., x m+1) = m+1 j+1 (xj ) 2 1. Wegen D x f = ( ) f x 1 (x),..., f (x) = 2 ( x 1,..., x m+1) = 2x xm+1 hat D x f genau dann maximalen Rang, wenn x 0 ist. Da jedoch 0 f 1 (0) ist, ist 0 regulärer Wert von f und damit S m = f 1 (0) R m+1 eine m-dimensionale Untermannigfaltigkeit des R m+1. ii) S 1 = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 = 1} Wir wissen schon, dass S 1 eine Untermannigfaltigkeit ist. Wählt man aber f : R 2 R, (x, y) (x 2 + y 2 1) 2, dann ist zwar f 1 (0) = S 1, aber D (x,y) f = ( 2x(x 2 + y 2 1), 2y(x 2 + y 2 1) ) ist die Nullabbildung auf S 1. Daran sieht man, dass nur weil 0 kein regulärer Wert für f ist, f 1 (0) trotzdem Untermannigfaltigkeit sein kann. Es kommt auf die richtige Wahl von f an. iii) Die Gruppen O(n) und SO(n) sind Untermannigfaltigkeiten des R n2 der Dimension n 2 (n 1). Beweis. Wir betrachten f : M R (n, n) Sym(n), A f(a) = AA T Id, 9

14 I. Reguläre Werte wobei Sym(n) = { A M R (n, n) A = A } T = R n(n+1)/2 die symmetrische Matrizen sind. Dann ist O(n) = f 1 (0). Wir müssen zeigen, dass 0 Sym(n) ein regulärer Wert ist. f(a + sh) f(a) D A f(h) = lim s 0 s (A + sh)(a + sh) T AA T = lim s 0 s 1 ( = lim AA T + s ( HA T + AH T ) + s 2 HH T AA T ) s 0 s = HA T + AH T. Wir zeigen, dass D A f : M R (n, n) Sym(n) surjektiv ist, d.h. maximalen Rang hat. Sei A O(n), S Sym(n). Wir wählen H = 1 2 S ( A 1) T. Dann ist D A f(h) = 1 2 D Af ( S ( A 1) ) T = 1 ( S ( A 1) T A T + A (S ( A 1) ) T T ) ((AB) ) T = B T A T 2 = 1 ( ( ) S AA 1 T 2 }{{} + AA 1 }{{} S T ) = S. Id Id Also ist O(n) eine Untermannigfaltigkeit von M R (n, n) = R n2 mit dim O(n) = dim M R (n, n) dim Sym(n) = n 2 n 2 (n + 1) = n (n 1). 2 Da die Abbildung M R (n, n) R, A det A stetig und für A O(n) die Determinante ±1 ist, zerfällt O(n) in zwei Zusammenhangskomponenten (eine davon ist SO(n)), die beide wiederum Untermannigfaltigkeiten der Dimension n 2 (n 1) sind. Sei M eine Mannigfaltigkeit, die in M enthalten ist. Dann ist T x M T x M. Das orthogonale Komplement von T x M in T x M ist ein Vektorraum der Dimension m m und ist der Normalraum von M in M an x. Abb. I.8.: Implizit gegebene Mannigfaltigkeiten Lemma 4.5. Sei f : M N eine glatte Abbildung zwischen Mannigfaltigkeiten. Sei x M und f(x) = y. Sei y regulärer Wert von f. Dann gilt für M = f 1 (y) ker d x f = T x M und d x f eingeschränkt aufs orthogonale Komplement von T x M ist ein Isomorphismus. Beweis. Da f M nur den Wert {y} annimmt, sehen wir d x f TxM = d x(f M ): T x M T f(x) {y} = {0}, vgl. Abbildung I.8. Demnach ist T x M ker d x f. Weiterhin hat aber die Abbildung d x f : T x M = T x M (T x M ) T f(x) N maximalen Rang. Da sowohl T f(x) N als auch (T x M ) n-dimensional sind, muss d x f (TxM ) ein Isomorphismus sein. Zusammenhangskomponente = maximal zusammenhängende Teilmenge (wobei eine Teilmenge (weg-)zusammenhängend heißt, falls je zwei Punkte der Teilmenge durch einen stetigen Weg miteinander verbunden werden können.) [Im Allgemeinen sind zusammenhängend und wegzusammenhängend zwar verschiedene Begriffe, bei uns spielt aber nur wegzusammenhängend eine Rolle.] 10

15 II. Satz von Sard und Brown und Anwendungen 1. Wie häufig sind reguläre und kritische Werte? Beispiel 1.1. Wir betrachten den aufrechten Torus mit der Höhenfunktion. f Abb. II.1.: Die Höhenfunktion des Torus hat vier kritische Punkte (die blauen) und vier kritische Werte (die roten). Alle anderen nicht roten Punkte in R sind reguläre Werte. Das Urbild eines regulären Wertes ist nichtleer oder eine Mannigfaltigkeit - zwei Beispiele solcher Urbilder sind gelb eingezeichnet. Die blauen Punkte sind die kritischen Punkte. Eine Möglichkeit, dass zu sehen ist: f : R 3 R, (x 1, x 2, x 3 ) x 3 ist eine glatte Erweiterung von f : T 2 R. Dann ist D x f = (0, 0, 1) und d x f = D x f TxT 2. Also ist x kritischer Punkt genau dann, wenn d x f = 0 ist, also genau dann wenn T x T 2 ker D x f ist. Das ist genau dann der Fall, wenn T x T 2 die (x 1, x 2 ) Ebene ist, also genau für die blauen Punkte in der Abbildung II.1. Satz 1.2 (Satz von Sard - lokal). Sei f : U R n eine glatte Abbildung, wobei U R m offen ist und n 1. Sei C die Menge der kritischen Punkte von f. Dann hat f(c) R n Maß Null. Im Beweis werden wir folgenden Satz benutzen; für den Beweis siehe [1, Appendix 1]. Satz 1.3. (Fubini Theorem für Nullmengen) Sei A eine geschlossene Teilmenge von R m, so dass A ({c} R l ) für alle c R k:=m l Maß Null hat. Dann hat A in R m Maß Null. Beweis von Satz 1.2. Wir beweisen den Satz mittels Induktion. Für m = 0 ist er offensichtlich wahr. Wir nehmen an, er stimmt auch für m 1. Sei C i C die Menge aller x U für die alle partiellen Ableitungen von f in x der Ordnung i verschwinden. Alle C i sind geschlossen und es gilt C C 1 C 2. Behauptung a) Das Bild f(c \ C 1 ) hat Maß Null.: Vorl. 4 Sei x C \ C 1. Wir werden zeigen, dass es eine offene Umgebung V R m von x gibt, so dass f(v C) Maß Null hat. Da R m eine abzählbare Basis besitzt, kann C \ C 1 durch abzählbar viele solcher Umgebungen überdeckt werden kann und wir erhalten dadurch, dass auch f(c \ C 1 ) Maß Null hat. Da x C 1, gibt es eine partielle Ableitung, o.b.d.a. f1 x die in x nicht Null ist. Wir definieren 1 h: U R m, h(x) = (f 1 (x), x 2,..., x n ) T. Dann ist D x h = ) x ( x) 0 1 Id n 1 ( f1 11

16 II. Satz von Sard und Brown und Anwendungen nicht singulär und damit bildet h eine Umgebung V von x diffeomorph auf eine offene Menge V ab. Die Komposition g := f h 1 bildet damit V nach R n ab. Die Menge der kritischen Werte von g gleich der Menge der kritischen Werte von f h 1 (V )=V. Weiterhin bildet g einen Punkt der Form (t, x 2,..., x m ) in einen Punkt der Form (t, y 2,..., y n ) ab. Für festes t erhalten wir somit eine Abbildung g t := g ({t} R m 1 ) V : ({t} Rm 1 ) V {t} R n 1 und es gilt ( ) 1 0 D x g = D x g t für alle x ({t} R m 1 ) V. Damit ist ein Punkt x ({t} R m 1 ) V kritisch für g, genau dann wenn er auch kritisch für g t ist. Wegen der Induktionsvoraussetzung hat die Menge der kritischen Werte von g t Maß Null. Damit hat nach dem Satz von Fubini auch die Menge der kritischen Werte von g Maß Null. Behauptung b) Das Bild f(c k \ C k+1 ) hat Maß Null für k 1. Für jedes x C k \C k+1 gibt es eine (k+1)te Ableitung, die nicht verschwindet. Damit gibt es eine k.te Ableitung ρ := D α f i, für geeignetes α = k und i {1,..., p}, so dass ρ auf C k verschwindet aber ρ x nicht. O.B.d.A. sei j j = 1. Wir definieren jetzt ähnlich wie oben eine Abbildung h: U R m, h(x) = (ρ(x), x 2,..., x m ) T. Analog zu oben bildet h eine Umgebung V von x diffeomorph auf eine offene Menge v R m. Nach Konstruktion bildet h die Menge C k V in die Hyperebene {0} R m 1 ab. Sei g := f h 1. Sei ḡ : ({0} R m 1 ) V R m die Einschränkung von g. Nach Induktion hat die Menge aller kritischen Werte von ḡ das Maß Null. Jeder kritische Punkt g vom Typ C k ist ein kritischer Punkt von ḡ. Demnach hat f(c k V ) Maß Null Behauptung c) Das Bild f(c k ) hat Maß Null für k > m n 1. Sei S U ein m-dimensionaler Würfel der Seitenlänge δ. Wir werden zeigen, dass für k > m n 1 die Menge f(c k S) Maß Null hat. Da C k durch abzählbar viele solcher Würfel überdeckt werden kann, folgt dann die Behauptung. Nach Satz von Taylor gilt für x C k S und x + h S f(x + h) = f(x) + R(x, h) mit R(x, h) < a h k+1, wobei die Konstante a nur von f und S abhängt. Wir zerlegen S in r m kleinere Würfel der Länge δ r. Sei S 1 ein solcher Würfel mit x C k. Dann gilt für jedes x + h S 1 h < m δ r. Damit liegt die Menge f(s 1) in einem b Ball um f(x) vom Radius (für geeignetes b). Also ist f(c r k+1 k S) in der Vereinigung von r m solcher Bälle enthalten: ( ) n 2b vol(f(c k S)) r m r k+1 =: cr m (k+1)n. Für k + 1 > m n und r geht die rechte Seite gegen Null, Also muss f(c k S) Maß Null haben. Satz 1.4 (Satz von Sard). Sei f : M m N n eine glatte Abbildung zwischen Mannigfaltigkeiten. Sei C die Menge der kritischen Punkte von f, also die Menge aller x M mit rankd x f < n. Dann hat f(c) N Maß Null. Beweis. Da R m eine abzählbare Basis besitzt, finden wir eine abzählbare Familie von offenen Mengen U i in M und zugehörigen offenen Mengen V i in N, so dass i U i = M, i V i = N und f(u i ) = V i gilt und die U i bzw. V i diffeomorph zu offenen Teilmengen in R m bzw. R n sind. Damit folgt der Satz von Sard aus der lokalen Version. Folgerung 1.5. Die Menge der regulären Werte einer glatten Abbildung f : M N ist dicht in N. Sind f i : M i N abzählbar viele glatte Abbildungen, dann ist die Menge der Punkte in N, die für alle f i regulärer Wert sind, dicht in N. Beweis. Die erste Behauptung folgt aus dem Satz von Sard. Die zweite Behauptung folgt aus der ersten, weil eine abzählbare Vereinigung von Nullmengen, noch immer eine Nullmenge ist. Bemerkung 1.6. Der Satz von Sard sagt nur, dass die Menge der kritischen Werte Maß Null hat, nicht die der kritischen Punkte. Ein triviales Beispiel ist durch konstante Abbildungen gegeben: f : M N, x y, mit y N fest. Dann ist y kritischer Wert, aber ganz M ist hier die Menge der kritischen Punkte. 12

17 2. Anwendungen von Sard 2. Anwendungen von Sard 2.1. Morsefunktionen In diesem Abschnitt betrachten wir Funktionen f : M R. Bemerkung 2.1. Sei x M. Dann ist y kritischer Punkt von f : M R genau dann, wenn d x f = 0 ist. Definition 2.2. Sei f : M m R glatt und x ein kritischer Punkt von x. Seien (x 1,..., x m ) lokale Koordinaten um x. Die Hessische von f ist die Matrix H = ( 2 ) f x i x j. Ist die Hessische nichtsingulär im kritischen Punkt x, heißt x nichtdegenerierter kritischer Punkt von f. Bemerkung 2.3. Die Eigenschaft nichtdegenerierter kritischer Punkt zu sein hängt nicht von der Wahl der Koordinaten ab (Übungsaufgabe 17): Seien (y 1,..., y m ) weitere lokale Koordinaten um x. Dann gilt f y i = k x k f y i x k und damit 2 f y i y j = k,l x k x l y i y i 2 f x k x l + k 2 x k f y i y j x k. Da x kritischer Punkt von f ist, gilt 2 f y i y j (x) = k,l x k x l y i y i 2 f x k x l. Da x i und y i beide lokale Koordinatensysteme bilden, ist die Matrix ( xk y ) i ik invertierbar. Damit ist die Matrix 2 f y i y (x) genau dann nichtsingulär, wenn 2 f j x i x (x) nichtsingulär ist. j Lemma 2.4. Nichtdegenerierte kritische Punkte sind isoliert, d.h.: Sei x nichtdegenerierter kritischer Punkt von f : M R. Dann gibt es eine offene Umgebung U von x, so dass x der einzige kritische Punkt von f U ist. ( f Beweis. Sei g : M R m f definiert als g = x,..., 1 x ). Dann ist d m x f = 0 genau dann, wenn g(x) = 0 ist. Weiterhin ist d x g in obigen Koordinaten gleich H. Ist als x nichtdegeneriert, dann bildet g eine Umgebung U von x diffeomorph auf eine Umgebung der 0 ab. Damit kann g in keinem anderen Punkt von U verschwinden und demnach kann f U nur in x einen kritischen Punkt haben. Satz 2.5. (Morse Lemma) Sei a M ein nichtdegenerierter kritischer Punkt von f : M R. Sei (h ij ) = Dann gibt es lokale Koordinaten (x 1,..., x m ) um a ( 2 ) f x i x j (a). f(x) = f(a) + ij h ij x i x j. Das ist Kurzschreibweise für: Sei ϕ: U M V R m eine Karte um x mit lokalen Koordinaten (x 1,..., x m ). Dann ist kurz für 2 (f ϕ 1 ) x i x j 2 f x i x j 13

18 II. Satz von Sard und Brown und Anwendungen Beweis. O.B.d.A. sei f(a) = 0. Seien (x 1,..., x m ) U R m lokale Koordinaten nahe a. O.B.d.A. sei U konvex und (0,..., 0) die Koordinaten von a. Da a kritischer Punkt ist, ist d a f = 0. Weiterhin gilt 1 f(x 1,..., x m df ) = 0 dt (tx1,..., tx m )dt m 1 = x i f x i (tx1,..., tx m )dt. i=1 0 Setzen wir g i (x 1,..., x m ) = 1 f 0 x (tx 1,..., tx m )dt. Dann sind die g i i glatt auf U mit g i (0) = f x (0) und i f(x 1,..., x m ) = m i=1 xi g i (x 1,..., x m ). Da a kritischer Punkt ist, gilt g i (0) = 0. Analog wie oben können jedes g i schreiben als g i (x 1,..., x m ) = m j=1 xj H ij (x 1,..., x m ) mit H ij (x 1,..., x m ) = 1 0 dt 1 0 ds 2 f x i x (tsx 1,..., tsx m ). j Damit ist f(x 1,..., x m ) = m i,j=1 xi x j H ij (x 1,..., x m ), und es gilt H ij (0,..., 0) = 2 f x i x (0,..., 0) = h j ij. Da a nichtdegeneriert ist, H ij (0,..., 0) nichtsingulär. Es bleibt zu zeigen, dass es eine Koordinatentransformation gibt, so dass in diesen neuen Koordinaten obige Gestalt hat. Das geschieht mittels Induktion. Sei f(x 1,..., x m ) = ±(x 1 ) 2 ±... ± (x r 1 ) 2 + i,j r xi x j H ij (x 1,..., x m ). Nach einer linearen Koordinatentransformation in den letzten m r + 1 Koordinaten kann man o.b.d.a. H rr (0) 0 annehmen. Wir führen neue Koordinaten v i ein mit v i = x i für i r und v r (x 1,..., x m ) = ( H rr (x 1,..., x m ) x r + ) H ir (x 1,..., x m ) H i>r rr (x 1,..., x m. ) Man kann nachrechnen, dass die Jacobimatrix der Koordinatentransformation nichtsingulär ist. Damit folgt mit dem Umkehrsatz, dass v i in einer kleinen Umgebung von 0 lokale Koordinaten geben. Weiterhin ist f = i r ±(vi ) 2 + i,j>r vi v j H ij (v1,..., v m ). Vorl. 5 Bemerkung 2.6. Letzter Satz sagt aus, dass das Verhalten einer Funktion nach eines nichtdegenerierten kritischen Punktes äquivalent zu einem quadratischen Polynom ist. Eigentlich erhält man so direkt die Gestalt: f(x) = f(a) (x 1 ) 2... (x p ) 2 + (x p+1 ) (x m ) 2. In der Übung Den Exponenten p nennt man dann den Index von f in x. Definition 2.7. Eine glatte Funktion f : M R, deren kritische Punkt alle nichtdegeneriert sind, heißt Morsefunktion. Satz 2.8. Sei f : M R glatt mit M m R m. Seien (x 1,..., x m ) Standardkoordinaten des R m. Dann ist die Menge der a R m, für welche die Funktion f a = f + a 1 x a m x m auf M keine Morsefunktion ist, eine Nullmenge. Beweis. ( Wir beweisen ) den Satz zunächst für den Fall f : U R m R glatt, U offen. Wir definieren g = f f x,..., 1 x : U R m. Dann ist d m p f a = g(p) + a. Also ist p genau dann kritischer Punkt von f a wenn g(p) = a. Da f a und f die gleichen zweiten Ableitungen besitzen, ist die Hessische f im Punkt p gleich d p g. Sei nun a ein regulärer Wert für g. Dann ist d p g für alle p mit g(p) = a nichtsingulär. Also ist jeder kritische Punkt von f a nichtdegeneriert. Nach dem Satz von Sard hat die Menge der kritischen Werte a R m von g das Maß Null und die Behauptung folgt. Sei nun f : M R glatt. Wir wählen abzählbar viele Karten ϕ i : U i M V i R m, die M überdecken (also i U i = M). O.B.d.A. seien die lokalen Koordinaten als x i1,..., x im gewählt, wobei x 1,..., x m Standardkoordinaten des R m sind. O.B.d.A. sei {i 1,..., i m } = {1,..., m}. Für c = (a, b) R m = R m R m m betrachten wir die Funktion f c. Nach obigem Fall ist für festes b R m m die Funktion f (a,b) = f (0,b) + a 1 x a m x m für fast alle a R m eine Morsefunktion. Nach dem Satz von Fubini, Satz 1.3, ist damit auch f c für fast alle c R m eine Morsefunktion. Dass das immer möglich ist, sagt folgender Satz. Satz. Sei M m R m Untermannigfaltigkeit. Seien x 1,..., x m die Standardkoordinaten auf R m mit zugehöriger Basis des Tangentialraumes e 1,..., e m. Sei p M. Dann gibt es i 1,..., i m {1,..., m } und eine Umgebung U M von p, so dass (x i 1,..., x im ) lokale Koordinaten auf U bilden. Beweis. T pm R m ist m-dimensional und sei durch ẽ 1,..., ẽ m aufgespannt. Da e i eine Basis von R m ist, gilt ẽ i = a j i e j 14

19 2.2. Mannigfaltigkeiten mit Rand und der Brouwersche Fixpunktsatz 2. Anwendungen von Sard Wir wollen Mannigfaltigkeiten mit Rand einführen. Für innere Punkte soll dabei eine Umgebung immer noch durch einen eine offene Teilmenge des euklidischen Raumes modelliert werden. Umgebungen von Randpunkten sollen jedoch durch H m := {x = (x 1,..., x m ) R m x m 0} modelliert werden, wobei der Randpunkt dann einem Punkt auf dem Rand H m = R m 1 {0} R m entspricht. Definition 2.9. Eine Menge M R m ist eine m-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand falls es für jedes x M eine offene Umgebung U R m und eine offene Menge V H m gibt, so dass U M diffeomorph zu V ist. Der Rand von M, M, ist die Menge aller Punkte in M, welche unter solch Diffeomorphismen Punkten in H m entsprechen. Das Innere von M ist M = M \ M. Beispiel (i) H m ist eine m-dimensionale Untermannigfaltigkeit mit Rand H m = R m 1 {0}. (ii) B m = {x R m x 2 = 1} mit Rand B m = S m 1, vgl. Übungsaufgabe 21 und Beispiel (iii) Z = {(x, y, z) T R 3 x 2 + y 2 = 1, z [ 1, 1]}, Z = {(x, y, z) T R 3 x 2 + y 2 = 1, z { 1, 1}}, vgl. Beispiel Bemerkung (1) Der topologische Rand von M R m entspricht nicht unbedingt dem Rand als Mannigfaltigkeit, siehe Beispiel 2.10.iii wo der topologische Rand ganz Z ist. (2) Das Innere M = M \ M ist eine m-dimensionale Mannigfaltigkeit. (3) Tangentialräume und Tangentialabbildungen können auch immer noch für Mannigfaltigkeiten mit Rand definiert werden. Für innere Punkte bleiben die alte Definition gültig. Es bleibt die Randpunkte zu behandeln. Sei x M. Sei ϕ: V H m U M R m ein Diffeomorphismus für x U. Dann gibt es eine glatte Erweiterung ϕ: V R m R m mit V offene Umgebung von ϕ 1 (x). Wir setzen T x M = d v=ϕ 1 (x)ϕ(r m ). Die Definition ist unabhängig von der Wahl von ϕ, denn für eine Folge v i V v gilt d v=ϕ 1 (x) ϕ = lim i d vi ϕ = lim i d vi ϕ. Insbesondere ist der Tangentialraum eines Randpunktes einer m-dimensionalen Mannigfaltigkeit immer noch ein m-dimensionaler Vektorraum. Sei U M offen mit x U M und sei g : U R l glatt. Da g glatt ist, kann es in einer Umgebung U von x in R m zu einer glatten Abbildung ḡ : U R m R l erweitert werden. Wir definieren dann d x g := d x ḡ TxM : T x M R m R l. Die Definition ist unabhängig der gewählten Erweiterung, denn: Sei g eine andere Erweiterung. Seien x i Punkte im Inneren von U mit x i x. Da auf U die Abbildung ḡ und g übereinstimmen, gilt d xi ḡ = d xi g. Wegen Stetigkeit ist dann auch d x ḡ = d x g. Satz Sei M m eine Mannigfaltigkeit mit Rand. Dann ist M eine (m 1)-dimensionale Mannigfaltigkeit. Beweis. Sei x M. Dann gibt es lokale Koordinaten um x, d.h. einen Diffeomorphismus ϕ: U H m V M. Wir zeigen ϕ( U) = V. Dann ist ϕ U ein Diffeomorphismus von der offenen Menge U = U H m R m 1 auf eine Umgebung V = M V von x in M und ergibt die Behauptung. Nach Definition ist ϕ( U) V und es bleibt die umgekehrte Inklusion zu zeigen: Sei v V. Dann gibt es einen Diffeomorphismus ψ : W H m V und ein w W H m mit ψ(w) = v. Sei g := ϕ 1 ψ : W U. Dann ist g ein Diffeomorphismus. Wir nehmen an, dass u g(w) ein innerer Punkt von U ist. Dann bildet jedoch auch g 1 eine Umgebung von u U diffeomorph auf eine Umgebung von w W ab. Das ist ein Widerspruch zu w W. Also gilt u U und V ϕ( U). für geeignete a j i. Da die ẽ i linear unabhängig sind, hat A = (a j i ) 1 i m,1 j m Rang m. D.h. es gibt i 1,..., i m {1,..., m }, so dass A 1 := (a j i ) i {i 1,...,i m},1 j m nichtsingulär ist. O.B.d.A. sei i j = j. Sei pr : R m R m, (x 1,..., x m ) (x 1,..., x m ). Dann ist D xpr = (Id m 0 m (m m)). Damit gilt für κ := pr M : M R m, dass d pκ: T pm R m bzgl. der Basis ẽ i für T pm und e i für R m die Form A 1 1 hat. Also ist d pκ ein Isomorphismus und demnach nach dem Umkehrsatz κ ein lokaler Diffeomorphismus in p M und damit für eine Umgebung U M um p eine Karte. Eine Abbildung f einer beliebigen Teilmenge X R m nach R l ist glatt, falls es eine offene Umgebung U von X in R m und eine glatte Abbildung F : U R l mit F X = f existiert. Es gibt keinen Diffeomorphismus von R m nach H m 15

20 II. Satz von Sard und Brown und Anwendungen Das Produkt zweier Mannigfaltigkeiten mit Rand ist im Allgemeinen keine Mannigfaltigkeit mit Rand. Beispiel: [0, 1] [0, 1] ist ein Beispiel einer Mannigfaltigkeit mit Ecken. Satz Sei M m eine Mannigfaltigkeit mit Rand und N n eine Mannigfaltigkeit ohne Rand. Dann ist M N eine (m + n)-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand M N. Beweis. (Übungsaufgabe 22) Sei (x, y) M N. Dann gibt es eine Karte ϕ: U M V H m um x und eine Karte ψ : U N V R n um y. Wir setzen h := ϕ ψ : U U M N V V H m R n = H m+n. Dann ist h eine Karte von M N um (x, y). Der Rand (M N) (U U ) sind alle Punkte (x, y) mit h(x, y) H m+n, also alle mit x M U. Insgesamt ist also (M N) = M N. Lemma Sei M eine Mannigfaltigkeit ohne Rand und g : M R glatt mit 0 als regulären Wert. Dann ist M := {x M g(x) 0} eine Mannigfaltigkeit mit Rand M = g 1 (0). Vorl. 6 Beweis. Da 0 regulärer Wert ist, ist g 1 (0) eine Mannigfaltigkeit. Weiterhin ist {x M g(x) > 0} wegen Stetigkeit von g offene Teilmenge von M und damit Mannigfaltigkeit. Um zu zeigen, dass M Mannigfaltigkeit mit Rand ist, muss man noch die Punkte in g 1 (0) betrachten. Sei x M mit g(x) = 0. Da 0 regulärer Wert ist, ist d x g : T x M T g(x)=0 R = R surjektiv. Nach dem Satz über lokale Submersionen kann man lokale Koordinaten um x auf M so wählen, dass g die Form (x 1,..., x m ) x m hat. Also ist g 1 ( 0) diffeomorph zu H m. Beispiel Sei g : R m R, x x 2 1. Dann ist B m = {x R m g(x) 0}. 2. Sei C = {(x, y, z) T R 3 x 2 +y 2 = 1} und g : C R, (x, y, z) z 2 1. Dann ist Z = {p C g(p) 0}. Lemma Sei f : M m N n eine glatte Abbildung von einer Mannigfaltigkeit M mit Rand in eine Mannigfaltigkeit N. Sei y N regulärer Wert für f und f M. Dann ist f 1 (y) M eine glatte (m n)- dimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand. Weiterhin gilt (f 1 (y)) = f 1 (y) M. Beweis. Da wir eine lokale Eigenschaft beweisen, reicht es die Eigenschagt für den Spezialfall f : H m R m R n zu beweisen. Sei x f 1 (y). Ist x ein innerer Punkt von M sieht man wie bisher, dass f 1 (y) in einer Umgebung von x eine glatte Mannigfaltigkeit ist. Sei nun x M f 1 (y) ein Randpunkt. Wähle eine Umgebung U R m von x und eine glatte Abbildung g : U R n, so dass f U H m = g U H m. Wählt man U klein genug, kann man erreichen, dass g auf U eine Submersion ist. Damit ist g 1 (y) eine glatte Mannigfaltigkeit der Dimension m n. Sei nun π : g 1 (y) R die Projektion π(x 1,..., x m ) = x m. Dann gilt nach Konstruktion f 1 (y) U = π 1 ({x m 0}). Es bleibt zu zeigen, dass 0 ein regulärer Wert von π ist; dann folgt mit Lemma 2.14 die Behauptung: Es gilt d x π = (0,..., 0, 1): T x g 1 (y) R m R mit T x g 1 (y) = ker(d x g = d x f : R m R n ). Sei x π 1 (0). Da f H m auch regulär in x ist, ist d x (f H m) = d x f Tx H m =R m 1 {0} : R m 1 {0} R surjektiv. D.h. T x g 1 R m+1 {0}. Damit ist 0 regulärer Wert von π. Insbesondere haben wir gesehen, dass (f 1 (y)) = f 1 (y) M gilt. R π H m f 1 (y) R m f R n 0 x g y g 1 (y) U Abb. II.2.: f : H m R n, x f 1 (y). Die Abbildung g : U R m R n ist eine lokale Erweiterung von g. 16

21 2. Anwendungen von Sard Lemma Sei M m eine Mannigfaltigkeit mit Rand. Dann gibt es keine glatte Abbildung f : M M, so dass f M die Identität ist. Beweis. Wir nehmen an, dass es eine solche Abbildung f existiert. Sei y X ein regulärer Wert von f. Da y natürlich auch ein regulärer Wert für f X = id M ist, ist nach Lemma 2.16 f 1 (y) eine eindimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand. Wegen f X = id M ist f 1 (y) M = {y}. Da jedoch f 1 (y) auch kompakt ist und die einziges kompakten 1-Mannigfaltigkeiten mit Rand endliche Vereinigungen von Kreisen und abgeschlossenen Intervallen ist muss f 1 (y) endlich viele Punkte enthalten. Das ist ein Widerspruch. Lemma Jede glatte Abbildung g : B n B n hat einen Fixpunkt. Beweis. Wir nehmen an, dass g keinen Fixpunkt habe. Wir definieren eine Funktion f : B n B n = S n 1 durch: f(x) sei der Schnittpunkt der Geraden durch x und g(x) mit S n 1 der näher an x als an g(x) ist. Da g keinen Fixpunkt ist g wohldefiniert. Weiterhin rechnet man direkt nach, dass g glatt ist und dass f(x) = x für x S n 1 gilt. Das ist jedoch ein Widerspruch zu letztem Lemma. f(x) x g(x) Abb. II.3.: Satz 2.19 (Brouwerscher Fixpunktsatz). Jede stetige Funktion g : B n B n hat einen Fixpunkt. Beweis. Dank des Weierstrass schen Approximationssatz gibt es für jedes ɛ > 0 ein Polynom p 1 : R n R n mit p 1 (x) g(x) < ɛ für alle x B n. Allerdings muss p 1 (x) für x B n selbst nicht mehr in B n sein. Deshalb definieren wir p(x) = (1 + ɛ) 1 p 1 (x). Dann ist p(b n ) B n und p(x) g(x) < 2ɛ für x B n. Sei nun g(x) x für alle x B n. Dann muss die stetige Funktion g(x) x auf B n ein Minimum µ > 0 annehmen. Wählen wir ɛ = µ/2 und p wie oben. Dann gilt p(x) x für alle x B n und p: B n B n ist eine glatte Abbildung ohne Fixpunkte. Das ergibt den Widerspruch zum letzten Lemma. Die Klassifikation eindimensionaler Mannigfaltigkeiten mit Rand beweisen wir hier nicht. Schöne Beweise finden sich z.b. in den Anhängen von [2, 1] 17

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23 III. Grad einer Abbildung 1. Grad modulo 2 Wir betrachten Abbildungen f : M N zwischen Mannigfaltigkeiten gleicher Dimension, M sei kompakt ohne Rand und N sei zusammenhängend. Definition 1.1. Zwei Abbildungen f, g : M N heißen glatt homotop (kurz: f g) falls es eine glatte Abbildung F : M [0, 1] }{{} Mfg. mit Rand N mit F (x, 0) = f(x) und F (x, 1) = g(x) für alle x X gibt. Diese Abbildung F heißt glatte Homotopie zwischen f und g. Bemerkung 1.2. Das ist eine Äquivalenzrelation: Reflexiv und symmetrisch ist klar. Transitiv: Die Grundidee ist zwei Homotopien F von f nach g und G nach g nach h einfach hintereinander zu schalten also: F (x, t) = F (x, 2t) für t [0, 1 2 ] und F (x, t) = G(x, 2t 1)) für t [ 1 2, 1]. Nur verliert man so i.a. Glattheit an der Klebestelle. Deshalb wählen wir ϕ: [0, 1] [0, 1] so, dass ϕ(t) = { 0 0 t 1/3 1 2/3 t 1 gilt. Aus einer glatten Homotopie F von f nach g definieren wir so eine neue glatte Homotopie von f nach g durch F (x, t) = F (x, ϕ(t)). Diese hat jetzt die Eigenschaft F (x, t) = f(x) für t [0, 1/3] und F (x, t) = g(x) für t [2/3, 1]. Nun können F und G wie oben zusammengeklebt werden und wir erhalten eine glatte Homotopie von f nach h. Definition 1.3. Seien f, g : X Y Diffeomorphismen und sei F : X [0, 1] Y eine glatte Homotopie von f und g, so dass für alle t [0, 1] die Abbildung F t : X Y, x F (x, t) ein Diffeomorphismus ist. Dann nennen wir f und g glatt isotop und F eine glatte Isotopie. Satz 1.4 (Homotopie-Lemma). Sei M eine geschlossene Mannigfaltigkeit. Seien f, g : M N glatt homotope Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten gleicher Dimension. Sei y N ein regulärer Wert sowohl für f als auch für g. Dann gilt #f 1 (y) #g 1 (y) mod 2. Beweis. Sei F : M [0, 1] N eine glatte Homotopie zwischen f und g. Sei zunächst auch y ein regulärer Wert von F. Dann ist F 1 (y) eine kompakte Mannigfaltigkeit mit Rand F 1 (y) (M {0, 1}) = f 1 (y) {0} g 1 (y) {1}. Die Anzahl der Randpunkte in F 1 (y) ist gleich #f 1 (y) + #g 1 (y). Da die Anzahl der Randpunkte einer eindimensionalen Mannigfaltigkeit mit Rand gerade ist, folgt die Behauptung. Sei nun y kein regulärer Wert von F. Dann gibt es eine Umgebung V 1 N bzw. V 2 N von y, die nur aus regulären Werten von f bzw. g besteht. Wir setzen V = V 1 V 2. Die Anzahlen #f 1 (y ) und #g 1 (y ) sind weg von den kritischen Punkte (also insbesondere auf V ) lokal konstante Funktionen in y (Vgl. z.b. Übungsaufgabe 15). Da die Menge der regulären Werte von F dicht liegt, haben wir die Behauptung auf den ersten Fall zurückgeführt. Lemma 1.5. (Homogenitätslemma) Seien y und z innere Punkte von einer zusammenhängenden Mannigfaltigkeit N. Dann gibt es einen Diffeomorphismus h: N N, der glatt isotop zur Identität ist und y auf z abbildet. Beweis. Hier nur die Beweisidee: 1.Schritt: Man konstruiert glatte Isotopien von R n auf sich selbst, die außerhalb eines Balles die Identität ist und den Ursprung des Balles auf einen beliebigen Punkt im Inneren des Balles abbildet. 2.Schritt: Überdecken der Mannigfaltigkeit durch Karten, in den Karten Schritt 1 verwenden. 19

24 III. Grad einer Abbildung Definition 1.6. Sei f : M N glatte Abbildung zwischen Mannigfaltigkeit der gleichen Dimension. M sei kompakt ohne Rand und N sei zusammenhängend und y N regulärer Wert von f. Der mod 2 Grad von f ist deg 2 f = #f 1 (y) mod2. Lemma 1.7. deg 2 f hängt nicht von der Wahl des regulären Wertes ab. Vorl. 7 Beweis. Seien y und z zwei reguläre Werte. Sei h ein Diffeomorphismus von N nach N, der glatt isotop zur Identität ist und y auf z abbildet (Existiert nach Homogenitätslemma). Dann ist z ein regulärer Wert von h f. Da h f und id f glatt homotop sind, folgt mit dem Homotopielemma, dass #(h f) 1 (z) #f 1 (z) mod 2 ist. Wegen (h f) 1 (z) = f 1 h 1 (z) = f 1 (y) folgt die Behauptung. Lemma 1.8. Der mod 2 Grad hängt nur von der glatten Homotopieklasse der Funktion ab. Beweis. Sei f : M N glatt homotop zu g : M N. Nach dem Satz von Sard gibt es ein Element y N, welches sowohl für f als auch g regulär ist. Damit ist deg 2 f #f 1 (y) #g 1 (y) deg 2 g mod 2. Beispiel 1.9. (a) c: M M sei die konstante Abbildung. Dann ist deg 2 c = 0 (b) Ist die Abbildung f : M m N m nicht surjektiv, ist deg 2 f = 0. (c) Id: M M hat ungeraden Grad. Also ist die Identitätsabbildung einer geschlossenen Mannigfaltigkeit nicht glatt homotop zu einer konstanten Abbildung. Insbesondere zeigt das nochmal, dass es keine glatte Abbildung f : B n+1 S n mit f B n+1 =S n = id gibt. Denn sonst wäre F : Sn [0, 1] S n, F (x, t) = f(tx) eine glatte Homotopie von der konstanten Abbildung zur Identität. Das ist ein Widerspruch zu (a) und (b) und dem letzten Lemma. 2. Orientierte Mannigfaltigkeiten und der Brouwer Grad Definition 2.1. Orientierung eines Vektorraumes = Äquivalenzrelation of geordnetes Basen des Vektorraums, wobei zwei geordnete Basen äquivalent seien, wenn ihre Transformationsmatrix positive Determinante hat. Orientierung einer Mannigfaltigkeit M = eine Wahl einer Orientierung eines jeden Tangentialraumes, so dass es um jeden Punkt p der Mannigfaltigkeit M eine Karte ϕ: U M V H m gibt, die orientierungserhaltend ist, d.h. d x ϕ bildet eine positiv orientierte Basis des T x M auf eine positiv orientierte Basis des R m ab. Existiert eine Orientierung auf M, nennt man M orientierbar. M mit einer Wahl einer Orientierung heißt orientiert. Bemerkung 2.2. auf M. (i) Ist M zusammenhängend und orientierbar, so existieren genau zwei Orientierungen (ii) Sei M Mannigfaltigkeit mit Rand, x M, v T x M. Dann gibt es erst einmal drei Möglichkeiten für v: (a) v T x M (b) v ist ein innerer Vektor, d.h. v T x M und es existiert eine glatte Kurve c: [0, ɛ) M, c(0) = x, c (0) = v. (c) v ist weder in (a) noch (b), dann heißt v äußerer Vektor. Jede Orientierung von M induziert eine von M: Für x M wähle eine positiv orientierte Basis v i von T x M, so dass v 2,..., v m T x M und v 1 ein äußerer Vektor ist. Dann bestimmt (v 2,..., v m ) eine Orientierung von T x M. Zusammen erhält man eine Orientierung in M. (iii) Wenn wir sagen, dass X m+1 eine orientierte Mannigfaltigkeit mit Rand M ist, dann haben wir M immer implizit mit der durch X induzierten Orientierung versehen. Für die zu M diffeomorphe orientierte Mannigfaltigkeit, die mit der anderen Orientierung als M versehen ist, schreiben wir M. 20