Elemente der Analysis II

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Elemente der Analysis II"

Transkript

1 Elemente der Analysis II Kapitel 5: Differentialrechnung im R n Informationen zur Vorlesung: wengenroth/ J. Wengenroth () 17. Juni / 31

2 5.1 Erinnerung Kapitel 5: Differentialrechnung im R n 5.1 Erinnerung (a) Für f : R R und x R kann man das Verhältnis Outputdifferenz Inputdifferenz = f x = f (x) f (y) x y betrachten und den Grenzwert für y x (so er denn existiert) Ableitung von f im Punkt x nennen (Elemente der Analysis I). (b) Für f : R R m kann man das fast genauso machen, indem statt des 1 Quotienten das x y fache des Vektors f (x) f (y) betrachtet. (c) Für f : R n R m geht das nicht, weil es keine vernünftige Interpretation des Quotienten gibt. J. Wengenroth () 17. Juni / 31

3 5.1 Erinnerung (d) Zwei Auswege: Statt f x f (x) schreibe f f (x) x und interpretiere das Produkt als Matrixmultiplikation (Vorsicht: Die beiden sind unterschiedlich zu präzisieren). Betrachte f entlang von Geraden durch x: Eine solche Gerade ist durch eine Richtung v R n gegeben und von der Form G = {x + tv : t R}. Man betrachtet daher die Ableitungen in t = 0 der Funktionen f x,v : R R m, t f (x + tv). Problem: Falls f nur auf einer Teilmenge A R n definiert ist, kann man die f x,v natürlich auch nur für gewisse t R so definieren. Um die f x,v in t = 0 abzuleiten, sollte f x,v auf einem kleinen Intervall definiert sein, das die Null enthält. J. Wengenroth () 17. Juni / 31

4 5.2 Offene Mengen 5.2 Offene Mengen (a) Eine Menge A R n heißt offen, wenn jeder Punkt von A Mittelpunkt einer (kleinen) Kugel ist, die ganz in A liegt. Mit der Bezeichnung K(x, r) = {y R n : d n (x, y) < r} heißt das also x A r > 0 K(x, r) A. (b) Interpretation: A hat keine Randpunkte. (c) Beispiel: Für jede stetige Funktion f : R n R und alle a, b R sind die Mengen A = {x R n : f (x) < a} und B = {x R n : f (x) > b} offen. Beweis. ε = a f (x) > 0 = δ > 0 y R n gilt (d(x, y) < δ = f (x) f (y) < ε). Für alle y K(x, δ) gilt dann f (y) = f (y) f (x) + f (x) < ε + f (x) = a, also y A. J. Wengenroth () 17. Juni / 31

5 5.2 Offene Mengen 5.2 Offene Mengen (d) Seien A R n offen und x A. Für jedes v R n gibt es dann δ > 0, so dass t ( δ, δ) = x + tv A. Sei r > 0, so dass K(x, r) A. Falls v = 0, setze δ = 1, und andernfalls δ = r/ v. Für alle t ( δ, δ) ist dann d n(x, x + tv) = x (x + tv) n = tv n = t v < r. Also ist x + tv K(x, r) A. (e) Fazit: Offene Mengen sind also geeigente Definitionsbereiche von Funktionen, die man entlang von Geraden differenzieren will. J. Wengenroth () 17. Juni / 31

6 5.3 Richtungsableitungen 5.3 Richtungsableitungen (a) Seien A R n offen, f : A R m eine Abbildung, x A und v R n eine Richtung. Die Funktion heißt richtungsdifferenzierbar im Punkt x in Richtung v, falls folgender Grenzwert im R m existiert: D v f (x) = lim t t 0 1 (f (x + tv) f (x)) = f x,v (0) (b) In EA I, wurde dieser Grenzwert für reellwertige Funktionen definiert. Hat f die Komponenten f 1,..., f m, so ist D v f (x) der Vektor 1 mit den Komponenten lim t 0 t (f k(x + tv) f (x) k ). Praktisch reicht es deshalb diese und folgende Definitionen im Fall m = 1 zu verstehen. Fast alles weitere geht dann im Fall m > 1 koordinatenweise. J. Wengenroth () 17. Juni / 31

7 5.3 Richtungsableitungen 5.3 Richtungsableitungen (c) Beispiel. Sei f : R 2 R definiert durch x 1 x2 2, falls x x 2 1 x f (x 1, x 2 ) = +x2 2 0, falls x 1 = x 2 = 0 [ ] 0 Wir wollen alle Richtungsableitungen im Punkt 0 = bestimmen: 0 [ ] v1 Sei v = R 2 eine Richtung. Ist v 0, so gilt für alle t R v 2 f 0,v (t) = f (tv 1, tv 2 ) = t3 v 1 v2 2 t 2 (v1 2 + v 2 2) = t v 1 v2 2 v1 2 + v 2 2. J. Wengenroth () 17. Juni / 31

8 5.3 Richtungsableitungen 5.3 Richtungsableitungen Diese lineare Funktion ist differenzierbar mit Ableitung D v f (0) = v 1v2 2 v1 2+v. [ ] Für v = ist (für alle x A) f 0 x,v (t) konstant gleich f (x) und daher D v f (x) = 0. (d) Ein sehr ähnliches Beispiel: Falls v 1 0 ist f (x 1, x 2 ) = f 0,v (t) f 0,v (0) t { x1 x 2 2 x 2 1 +x6 2, falls x 1 x 2 0 0, falls x 1 = x 2 = 0 = t2 v 1 v 2 2 t 2 v t6 v 6 2 = v 1v 2 2 v t4 v 6 2 v 2 2 v 1 Also D v f (0) = v 2 2 v 1. Falls v 1 = 0, ist f 0,v (t) = 0, also D v f (0) = 0. Wieder ist f richtungsdifferenzierbar in 0 in jede Richtung. J. Wengenroth () 17. Juni / 31

9 5.3 Richtungsableitungen 5.3 Richtungsableitungen Aber f ist unstetig [ in ] 0! t ϕ : R R 2 3, t ist stetig aber (f ϕ)(t) = t t5 t 6 +t = 1 6 2t für t 0. Weil Kompositionen [ ] stetiger Funktionen stetig sind, kann f nicht stetig in 0 ϕ(0) = sein. 0 (e) Dieses Beispiel zeigt auch, dass es keine Kettenregel für Richtungsdifferenzierbarkeit geben kann. J. Wengenroth () 17. Juni / 31

10 5.4 Satz (Notwendiges Optimalitätskriterium) 5.4 Satz (Notwendiges Optimalitätskriterium) Seien A R n offen, f : A R eine reellwertige Funktion und x A. Hat f in x ein lokales Maximum (d.h. es gibt r > 0, so dass f (x) f (y) für alle y K(x, r) A), so gilt für jede Richtung v R n, in die f richtungsdifferenzierbar ist, D v f (x) = 0. Dies gilt auch, falls f in x ein lokales Minimum besitzt. Beweis: Die Funktion f x,v (t) = f (x + tv) hat ein lokales Maximum in 0 und wegen EA I, Satz ist D v f (x) = f x,v (0) = 0. J. Wengenroth () 17. Juni / 31

11 5.5 Beispiele Kapitel 5: Differentialrechnung im R n 5.5 Beispiele (a) Die Funktion f : R 2 R, Minimum. (b) Wir betrachten f : R 2 R, [ x1 x 2 [ x1 ] [ ] 0 x1 2 + x 2 2 hat in ein lokales 0 x 2 ] x 1 x 2. Dann ist für v = [ v1 und t R f x,v (t) = (x 1 + tv 1 )(x 2 + tv 2 ) = x 1 x 2 + tv 1 x 2 + [ tv 2 x ] 1 + t 2 v 1 v 2, also x2 D v f (x) = v 1 x 2 + v 2 x 1. Für x 1 x 2 0 und v = folgt D v f (x) = x2 2 + x 1 2 [ 0. ] Für x 1 = x 2 = 0 ist andererseits D v f (x) = 0. 0 Trotzdem hat f in weder ein lokales Maximum noch ein lokales 0 Minimum, sondern einen Sattelpunkt. Wir werden übrigens später sehen, wie man D v f (x) eleganter ausrechnen kann. x 1 v 2 ] J. Wengenroth () 17. Juni / 31

12 5.6 Partielle Ableitungen 5.6 Partielle Ableitungen (a) Erinnerung: Die Einheitsvektoren im R n sind 0 1 e =., e2 = 0,..., e n = , das heißt, nur die j-te Komponente von e j ist Eins, alle anderen sind Null. (b) Eine Funktion f : A R m heißt partiell differenzierbar in x, falls die n Richtungsableitungen D e 1f (x),..., D e nf (x) existieren. Statt D e j f (x) schreibt man D j f (x) und nennt diesen m-dimensionalen Vektor die j-te partielle Ableitung von f in x. J. Wengenroth () 17. Juni / 31

13 5.6 Partielle Ableitungen 5.6 Partielle Ableitungen (c) In der Literatur gibt es diverse Bezeichnungen für die partiellen Ableitungen D j f (x) = j f (x) = x j f (x) = (d) Die Funktionen f x,e j (t) = f (x 1,..., x j 1, x j + t, x j+1,..., x n ) sind sehr einfach, weil nur die j-te Komponente variiert. Für die Berechnung der D j f (x) heißt das: Fixiere alle Variablen bis auf x j. Differenziere diese partielle Funktion in x j. Diese Ableitung nach der Variablen x j ist dann D j f (x). J. Wengenroth () 17. Juni / 31

14 5.6 Partielle Ableitungen 5.6 Partielle Ableitungen (e) Für f : R 2 R m [ schreibt ] man das Argument, also einen Vektor des x R 2, sehr oft als mit den Komponenten x, y R und y ([ ]) x f (x, y) = f. Dann sind folgende Schreibweisen für die y partiellen Ableitungen üblich D 1 f (x, y) = D x f (x, y) = x f (x, y) = d f (x, y) =..., dx D 2 f (x, y) = D y f (x, y) = y f (x, y) = d f (x, y) =.... dy Analog bezeichnet man Vektoren im R 3 oft mit partiellen Ableitungen mit D x, D y, D z etc. x y z und die J. Wengenroth () 17. Juni / 31

15 5.6 Partielle Ableitungen 5.6 Partielle Ableitungen (f) Beispiel: f : R 2 R sei definiert durch f (x, y) = sin(xy). Für die erste 1+y 2 partielle Ableitung fassen wir y als fest auf und differenzieren die partielle Funktion x f (x, y) nach x : D 1 f (x, y) = cos(xy)y 1 + y 2. D 2 f (x, y) ist die Ableitung von y f (x, y) bei festem x, also D 2 f (x, y) cos(xy)x(1 + y 2 ) 2y sin(xy) (1 + y 2 ) 2. J. Wengenroth () 17. Juni / 31

16 5.6 Partielle Ableitungen 5.6 Partielle Ableitungen (g) Für eine in x A (mit A R n ) partiell differenzierbare Funktion f : A R m heißt die m n-matrix mit den Spalten D 1 f (x),..., D n f (x) Jacobi-Matrix von f im Punkt x. Bezeichnungen: J f (x) = Df (x) = [D 1 f (x),..., D n f (x)] = f 1 (x). D 1 f 1 (x)... D n f 1 (x).. D 1 f m (x)... D n f m (x) falls f (x) =. f m (x) Für m = 1 haben die Spalten von Df (x) die Länge 1, in diesem Fall ist die Jacobi-Matrix also ein Zeilenvektor der Länge n und wird auch Gradient von f in x und mit (= nabla) bezeichnet: f (x) = Df (x) = [D 1 f (x),..., D n f (x)]., J. Wengenroth () 17. Juni / 31

17 5.7 Totale Differenzierbarkeit 5.7 Totale Differenzierbarkeit (a) Seien A R n offen, f : A R m eine Funktion und x A. f heißt total differenzierbar in x, falls es eine Matrix D R m n gibt, so dass f (y) f (x) D (y x) m lim y x y x n = 0, das heißt ε > 0 δ > 0 y A\{x} ( y x < δ = Quotient < ε). In diesem Fall heißt D R m n die Ableitung von f in x und man schreibt D = f (x). (b) Die Funktion y f (x) + D (y x) = f (x) + D x + D y ist affin linear, das heißt von der Form konstanter Vektor + lineare Abbildung. Totale Differenzierbarkeit bedeutet also, dass man f in der Nähe von x sehr gut durch eine affin lineare Abbildung approximieren kann. J. Wengenroth () 17. Juni / 31

18 5.7 Totale Differenzierbarkeit 5.7 Totale Differenzierbarkeit (c) Genau wie bei der Definition der Stetigkeit, sollte man auch hier möglichst vermeiden, die ε-δ-bedingung explizit nachzurechnen. Stattdessen führe man den Nachweis der totalen Differenzierbarkeit mit Hilfe der folgenden Sätze vom Typ Was aus differenzierbaren Bausteinen zusammengesetzt ist, ist differenzierbar, und man kann die Ableitung ausrechnen. (d) Trotzdem zwei banale Beispiele Jede konstante Funktion f : R n R m ist überall total differenzierbar mit f (x) = 0 (Nullmatrix R m n ) Jede lineare Funktion f : R n R m, x M x ist überall differenzierbar mit f (x) = M. J. Wengenroth () 17. Juni / 31

19 5.8 Satz Kapitel 5: Differentialrechnung im R n 5.8 Satz Ist f : A R m im Punkt x A total differenzierbar, so existieren alle Richtungsableitungen D v f (x) = f (x) v. Außerdem gilt f (x) = Df (x). Beweis. Wir müssen 1 (f (x + tv) f (x)) f (x) v zeigen, das heißt die Norm der t Differenz konvergiert gegen 0 für t 0. Mit y = x + tv ist aber 1 ( ) f (x + tv) f (x) f (x) v t = f (y) f (x) f (x) (y x) m m t = v f (y) f (x) f (x) (y x) y x 0. Für die Matrix f (x) R m n sind die Spalten die Produkte mit den Einheitsvektoren e j. Also hat f (x) die Spalten f (x) e j = D e j f (x) = D j f (x), und dies sind die Spalten der Jacobi-Matrix Df (x). J. Wengenroth () 17. Juni / 31

20 5.9 Bemerkung Kapitel 5: Differentialrechnung im R n 5.9 Bemerkung (a) Falls f in x total differenzierbar ist, so kann man alle Richtungsableitungen D v f (x) sehr leicht mittels der partiellen Ableitungen, also der Jacobi-Matrix, ausrechnen D v f (x) = f (x) v = Df (x) v. Insbesondere ist v D v f (x) eine lineare { Abbildung R n R m. xy 2, falls x (b) In 5.3 (c) hatten wir für f (x, y) = 2 + y 2 0 x 2 +y 2 0, falls x = y = 0 alle Richtungsableitungen D v f (0) = v 1v2 2 v1 2+v ausgerechnet. Die 2 2 Zuordnung v D v f (0) ist nicht linear, weil D [ 1 0 ] f (0) + D [ 0 1 ] f (0) = = 0 und D [ 1 1 Also ist f in 0 nicht total differenzierbar, obwohl alle Richtungsableitungen existieren. ] f (0) = 1/2. J. Wengenroth () 17. Juni / 31

21 5.9 Kapitel 5: Differentialrechnung im R n 5.9 Bemerkung (c) Wir sehen bald einen großartigen Satz der Form partiell differenzierbar + gute partielle Ableitungen = total differenzierbar. Vorher eine wichtige geometrische Interpretation der Gradienten: J. Wengenroth () 17. Juni / 31

22 5.10 Satz Kapitel 5: Differentialrechnung im R n 5.10 Satz Seien A R n offen, x A und f : A R 1 in x total differenzierbar. Dann ist f (x) die Richtung des stärksten Anstiegs von f in x, das heißt für D 1 f (x) den zu f (x) transponierten Spaltenvektor v =. gilt: D n f (x) D v f (x) = max{d v f (x) : v R n, v n = v n }. Geometrische Vorstellung: f : R 2 R beschreibt Höhe im Punkt [ ] Längengrad x =. Breitengrad Analog: f (x) Richtung des steilsten Abstiegs. Dies ist die Richtung, in der Wasser den Berg hinabfließt. J. Wengenroth () 17. Juni / 31

23 5.10 Satz Kapitel 5: Differentialrechnung im R n 5.10 Satz Ökonomische Interpretation: Beschreibt f : R n R den Gewinn in Abhängigkeit von n Faktoren der Mengen x 1,..., x n, so ist die Gewinnsteigerung maximal, wenn man x in Richtung f (x) ändert (das heißt x durch x + t f (x) mit geeignetem t > 0 ersetzt). Beweis. Für jedes v R n mit v = v gilt wegen der Cauchy-Schwarz-Ungleichung Satz 1.9(f) D v f (x) = Df (x) v = v, v v v = v 2, und für v = v gilt Gleichheit. J. Wengenroth () 17. Juni / 31

24 5.11 Satz Kapitel 5: Differentialrechnung im R n 5.11 Satz Seien A R n offen und x A. (a) f, g : A R m beide total differenzierbar in x und a, b R = af + bg : A R m total differenzierbar in x und (af + bg) (x) = af (x) + bg (x). (b) f : A R 1 und g : A R m beide total differenzierbar in x = fg : A R m total differenzierbar in x und (fg) (x) = g(x) f (x) + f (x)g (x). Bemerkung: f (x) = f (x) R 1 n Zeilenvektor g(x) R m 1 Spaltenvektor = g(x) f (x) R m n f (x) R, g (x) R m n = f (x)g (x) R m n = g(x) f (x) + f (x)g (x) R m n Es hilft bei der Formel für das Produkt, die Dimensionen zu prüfen (ein Produkt f (x) mal g(x)) ist nicht definiert). Oft benutzt man den Satz nur, um die totale Differenzierbarkeit zu zeigen. Die Jacobi-Matrix kann man separat berechnen. J. Wengenroth () 17. Juni / 31

25 5.12 Beispiel Kapitel 5: Differentialrechnung im R n 5.12 Beispiel [ ] x p p Sei f : R 2 R, c y j,k x j y k ein Polynom in zwei Variablen. j=0 k=0 Dann ist f in jedem Punkt [ total differenzierbar mit p p p f (x, y) = Df (x, y) = jc j,k x j 1 y k, kc j,k x j y ]. k 1 j=1 j=0 k=1 [ ] [ ] x x Beweis. Die Funktionen x und y sind linear und daher total y y differenzierbar, und f ist eine Linearkombination von Produkten solcher Funktionen. Also ist f total differenzierbar in jedem Punkt. J. Wengenroth () 17. Juni / 31

26 5.13 Satz (Kettenregel) 5.13 Satz (Kettenregel) Seien A R n und B R m offen und x A. Ist f : A B total differenzierbar in x und ist g : B R p total differenzierbar in f (x) B, so ist die Komposition g f : A R p in x total differenzierbar, und es gilt Plausibilität: (g f ) (x) = g (f (x)) f (x) R p n R p m R m n f (y) f (x) + f (x) (y x) g(z) g(f (x)) + g (f (x)) (z f (x)) g(f (y)) g(f (x)) + g (f (x)) (f (y) f (x)) g(f (x)) + g (f (x)) f (x) (y x). J. Wengenroth () 17. Juni / 31

27 5.14 Anwendung Kapitel 5: Differentialrechnung im R n 5.14 Anwendung (a) A R offen, I R offen, x I. Sind ϕ : I A in t differenzierbar und f : A R in ϕ(t) total differenzierbar, so ist f ϕ : I R in t differenzierbar, und es gilt (f ϕ) (t) = n D j f (ϕ(t))ϕ j(t), j=1 wobei ϕ j : I R die Komponenten von ϕ : I R m sind. (b) Gradienten stehen senkrecht auf Höhenlinien: A R 2 beschreibe einen Teil der Erde in Längen- und Breitengraden und f : A R die Höhe (über dem Meeresspiegel). Für gegebene Höhe h R heißt die Niveaumenge N f (h) = {x A : f (x) = h} auch Höhenlinie. Für jede differenzierbare Funktion ϕ : I A, so dass ϕ(t) N f (h) gilt dann f ϕ(t) = h für alle t I und die Ableitung dieser konstanten Funktion ist natürlich Null. J. Wengenroth () 17. Juni / 31

28 5.14 Anwendung Kapitel 5: Differentialrechnung im R n 5.14 Anwendung Also n 0 = (f ϕ) (t) = D j f (ϕ(x))ϕ j(t) = f (ϕ(t)), ϕ (t) j=1 Interpretation: I = Zeitintervall, ϕ(t) = Position zur [ Zeit t ] I in ϕ Längen- und Breitengrad eines Wanderers. ϕ (t) = 1 (t) ϕ 2 (t) Richtungsvektor des Wanderers zur Zeit t I. Diese Richtung ist also senkrecht zum Gradienten. (c) Landkarten sind zweidimensional und oft mit Höhenlinien zu verschiedenen h versehen. An diesen Höhenlinien sieht man also die Richtung des Gradienten. Die Länge des Gradienten gibt an, wie dicht die Höhenlinien beieinanderliegen. J. Wengenroth () 17. Juni / 31

29 5.14 Anwendung Kapitel 5: Differentialrechnung im R n 5.14 Anwendung (d) Für solche Anwendungen braucht man die totale Differenzierbarkeit und die Kettenregel. Weil die Definition nur sehr schwer nachzurechnen ist, ist folgender Satz von enormen Nutzen (sowohl für die Theorie als auch die Praxis): J. Wengenroth () 17. Juni / 31

30 5.15 Satz Kapitel 5: Differentialrechnung im R n 5.15 Satz Seien A R n offen und f : A R m in jedem Punkt von A partiell differenzierbar. Sind die n partiellen Ableitungen D 1 f,..., D n f : A R m alle stetig im Punkt x A, so ist f in diesem Punkt total differenzierbar. Beweisidee im Fall n = 2: Wir schreiben x = [ x1 x 2 ] und betrachten y = [ y1 y 2 ]. Um f (y) f [ (x) ] f (x) (y x) = D 1f (x)(y 1 x 1) + D 2f (x)(y 2 x 2) zu zeigen, betrachten x1 wir z = und f (y) f (x) = f (y) f (z) + f (z) f (x). Der Mittelwertsatz der y 2 Differentialrechnung (EA I, Satz 5.4) für die Funktionen ϕ(t) = f (t, y 2) und ψ(s) = f (x 1, s) liefert ξ 1 zwischen x 1 und y 1 beziehungsweise ξ 2 zwischen x 2 und y 2 mit f (y) f (z) = ϕ(y 1) ϕ(x 1) = ϕ (ξ 1)(y 1 x 1) = D 1f (ξ 1, 2 2)(y 1 x 1) und f (z) f (x) = ψ(y 2) ψ(x 2) = ψ (ξ [ 2)(y 2 ] x 2) = D 2f (x 1, ξ 2)(y 2 x 2). Wegen der x1 Stetigkeit von D 1f und D 2f in x = sind D 1f (ξ 1, x 2) D 1f (x) und D 2f (x 1, ξ 2) D 2f (x) für y nah bei x. x 2 J. Wengenroth () 17. Juni / 31

31 5.16 Definition Kapitel 5: Differentialrechnung im R n 5.16 Definition Eine Funktion f : A R m heißt stetig differenzierbar auf A, falls sie in jedem Punkt partiell differenzierbar ist und alle partiellen Ableitungen stetig sind. Satz 5.15 besagt also, dass stetig differenzierbare Funktionen total differenzierbar sind. [ ] x Beispiel. f : R 2 R, arctan(xy) ist stetig differenzierbar. y 1+x 2 +y 2 Faustregel: Funktionen, die man mit Formeln ohne Fallunterscheidung unter Benutzen der Grundrechenarten und exp, sin, cos, arctan,... schreiben kann, sind stetig differenzierbar. J. Wengenroth () 17. Juni / 31

Definition: Differenzierbare Funktionen

Definition: Differenzierbare Funktionen Definition: Differenzierbare Funktionen 1/12 Definition. Sei f :]a, b[ R eine Funktion. Sie heißt an der Stelle ξ ]a, b[ differenzierbar, wenn der Grenzwert existiert. f(ξ + h) f(ξ) lim h 0 h = lim x ξ

Mehr

Mathematik II für Inf und WInf

Mathematik II für Inf und WInf Gruppenübung Mathematik II für Inf und WInf 8. Übung Lösungsvorschlag G 28 (Partiell aber nicht total differenzierbar) Gegeben sei die Funktion f : R 2 R mit f(x, ) := x. Zeige: f ist stetig und partiell

Mehr

ε δ Definition der Stetigkeit.

ε δ Definition der Stetigkeit. ε δ Definition der Stetigkeit. Beweis a) b): Annahme: ε > 0 : δ > 0 : x δ D : x δ x 0 < δ f (x δ f (x 0 ) ε Die Wahl δ = 1 n (n N) generiert eine Folge (x n) n N, x n D mit x n x 0 < 1 n f (x n ) f (x

Mehr

Funktionen mehrerer Variabler

Funktionen mehrerer Variabler Funktionen mehrerer Variabler Fakultät Grundlagen Juli 2015 Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Übersicht Funktionsbegriff 1 Funktionsbegriff Beispiele Darstellung Schnitte 2 Partielle Ableitungen

Mehr

18 Höhere Ableitungen und Taylorformel

18 Höhere Ableitungen und Taylorformel 8 HÖHERE ABLEITUNGEN UND TAYLORFORMEL 98 8 Höhere Ableitungen und Taylorformel Definition. Sei f : D R eine Funktion, a D. Falls f in einer Umgebung von a (geschnitten mit D) differenzierbar und f in a

Mehr

Multivariate Analysis

Multivariate Analysis Kapitel Multivariate Analysis Josef Leydold c 6 Mathematische Methoden I Multivariate Analysis / 38 Lernziele Funktionen in mehreren Variablen Graph und Niveaulinien einer Funktion in zwei Variablen Partielle

Mehr

Thema14 Der Satz über inverse Funktionen und der Satz über implizite Funktionen

Thema14 Der Satz über inverse Funktionen und der Satz über implizite Funktionen Thema14 Der Satz über inverse Funktionen und der Satz über implizite Funktionen In diesem Kapitel betrachten wir die Invertierbarkeit von glatten Abbildungen bzw. die Auflösbarkeit von impliziten Gleichungen.

Mehr

Partielle Ableitungen, Gradient, Lineare Näherung, Extrema, Fehlerfortpflanzung

Partielle Ableitungen, Gradient, Lineare Näherung, Extrema, Fehlerfortpflanzung Partielle Ableitungen, Gradient, Lineare Näherung, Extrema, Fehlerfortpflanzung Jörn Loviscach Versionsstand: 29. Juni 2009, 18:41 1 Partielle Ableitungen, Gradient Die Ableitung einer Funktion f an einer

Mehr

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Aufgabe 35: Thema: Singulärwertzerlegung und assoziierte Unterräume Sei A eine m n Matrix mit Rang r und A = UDV T ihre Singulärwertzerlegung.

Mehr

Differentialrechnung

Differentialrechnung Kapitel 7 Differentialrechnung Josef Leydold Mathematik für VW WS 205/6 7 Differentialrechnung / 56 Differenzenquotient Sei f : R R eine Funktion. Der Quotient f = f ( 0 + ) f ( 0 ) = f () f ( 0) 0 heißt

Mehr

6. Funktionen von mehreren Variablen

6. Funktionen von mehreren Variablen 6. Funktionen von mehreren Variablen Prof. Dr. Erich Walter Farkas 24.11.2011 Seite 1 Funktionen von mehreren Variablen n {1, 2, 3,...} =: N. R n := {(x 1,..., x n) x 1,..., x n R} = Menge aller n-tupel

Mehr

Lösungsvorschläge zum 14. Übungsblatt.

Lösungsvorschläge zum 14. Übungsblatt. Übung zur Analysis III WS / Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt. Aufgabe 54 Sei a R\{}. Ziel ist die Berechnung des Reihenwertes k a + k. Definiere dazu f : [ π, π] R, x coshax. Wir entwickeln f in eine

Mehr

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg Zwischenwertsatz Gegeben: f : [a, b] R stetig Dann gilt: f(a) < f(b) y [f(a), f(b)] x [a, b] mit f(x) = y 9.1. Grundbegriffe

Mehr

Funktionsgrenzwerte, Stetigkeit

Funktionsgrenzwerte, Stetigkeit Funktionsgrenzwerte, Stetigkeit Häufig tauchen in der Mathematik Ausdrücke der Form lim f(x) auf. x x0 Derartigen Ausdrücken wollen wir jetzt eine präzise Bedeutung zuweisen. Definition. b = lim f(x) wenn

Mehr

Elemente der Analysis II

Elemente der Analysis II Elemente der Analysis II Kapitel 3: Lineare Abbildungen und Gleichungssysteme Informationen zur Vorlesung: http://www.mathematik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 15. Mai 2009 1 / 35 3.1 Beispiel

Mehr

Wirtschaftsmathematik Plus für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik Plus für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschaftsmathematik Plus für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg Aufgabe 98 12.12.2012 Untersuchen Sie die Funktion f W R! R mit f.x/

Mehr

Kapitel III. Stetige Funktionen. 14 Stetigkeit und Rechenregeln für stetige Funktionen. 15 Hauptsätze über stetige Funktionen

Kapitel III. Stetige Funktionen. 14 Stetigkeit und Rechenregeln für stetige Funktionen. 15 Hauptsätze über stetige Funktionen Kapitel III Stetige Funktionen 14 Stetigkeit und Rechenregeln für stetige Funktionen 15 Hauptsätze über stetige Funktionen 16 Konvergenz von Funktionen 17 Logarithmus und allgemeine Potenz C 1 14 Stetigkeit

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 4

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 4 Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 4 Hausaufgaben Aufgabe 4. Gegeben sei die Funktion f : D R mit f(x) :=

Mehr

Taylorentwicklung von Funktionen einer Veränderlichen

Taylorentwicklung von Funktionen einer Veränderlichen Taylorentwicklung von Funktionen einer Veränderlichen 17. Januar 2013 KAPITEL 1. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN 1 Kapitel 1 Mathematische Grundlagen 1.1 Stetigkeit, Differenzierbarkeit und C n -Funktionen Der

Mehr

Differenzierbarkeit von Funktionen mehrerer Variablen

Differenzierbarkeit von Funktionen mehrerer Variablen Kapitel 1 Differenzierbarkeit von Funktionen mehrerer Variablen 11 Definition und grundlegende Eigenschaften Bemerkung 11 Motivation Auch die Differenzierbarkeit von Funktionen mehrerer Veränderlicher

Mehr

Stetigkeit. Kapitel 4. Stetigkeit. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543

Stetigkeit. Kapitel 4. Stetigkeit. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543 Kapitel 4 Stetigkeit Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2016 254 / 543 Inhalt Inhalt 4 Stetigkeit Eigenschaften stetiger Funktionen Funktionenfolgen und gleichmäßige Konvergenz Umkehrfunktionen

Mehr

Übungen zu Funktionen mehrerer Veränderlicher. Lösungen zu Übung Betrachten Sie die durch. y 1 + x 2. z = gegebene Fläche.

Übungen zu Funktionen mehrerer Veränderlicher. Lösungen zu Übung Betrachten Sie die durch. y 1 + x 2. z = gegebene Fläche. Übungen zu Funktionen mehrerer Veränderlicher 5.1 Betrachten Sie die durch Lösungen zu Übung 5 gegebene Fläche. z = y 1 + x 2 (a) Zeichnen Sie die Höhenlinien in ein Koordinatensystem. (b) Veranschaulichen

Mehr

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2014/15 Hochschule Augsburg : Gliederung 1 Grundlegende 2 Grundlegende 3 Aussagenlogik 4 Lineare Algebra

Mehr

Die komplexen Zahlen und Skalarprodukte Kurze Wiederholung des Körpers der komplexen Zahlen C.

Die komplexen Zahlen und Skalarprodukte Kurze Wiederholung des Körpers der komplexen Zahlen C. Die omplexen Zahlen und Salarprodute Kurze Wiederholung des Körpers der omplexen Zahlen C. Erinnerung an die Definition von exp, sin, cos als Potenzreihen C C Herleitung der Euler Formel Definition eines

Mehr

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 9.. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 Die Grundfrage bei der Anwendung des Satzes über implizite Funktionen betrifft immer die folgende Situation: Wir haben eine Funktion f : V W und eine Stelle x

Mehr

Kapitel VI. Euklidische Geometrie

Kapitel VI. Euklidische Geometrie Kapitel VI. Euklidische Geometrie 1 Abstände und Lote Wiederholung aus Kapitel IV. Wir versehen R n mit dem Standard Skalarprodukt x 1 y 1.,. := x 1 y 1 +... + x n y n x n y n Es gilt für u, v, w R n und

Mehr

Übungen zur Vorlesung MATHEMATIK II

Übungen zur Vorlesung MATHEMATIK II Fachbereich Mathematik und Informatik der Philipps-Universität Marburg Übungen zur Vorlesung MATHEMATIK II Prof. Dr. C. Portenier unter Mitarbeit von Michael Koch Marburg, Sommersemester 2005 Fassung vom

Mehr

INGENIEURMATHEMATIK. 9. Differentialrechnung für Funktionen mehrerer Variablen. Sommersemester Prof. Dr. Gunar Matthies

INGENIEURMATHEMATIK. 9. Differentialrechnung für Funktionen mehrerer Variablen. Sommersemester Prof. Dr. Gunar Matthies Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik INGENIEURMATHEMATIK 9. Differentialrechnung für Funktionen mehrerer Variablen Prof. Dr. Gunar Matthies Sommersemester

Mehr

Übungsaufgaben zu Analysis 2 Lösungen von Blatt V vom 07.05.15. f(x, y) = 2(x + y) + xy + 3x 2, g(x, y) = xy + e xy.

Übungsaufgaben zu Analysis 2 Lösungen von Blatt V vom 07.05.15. f(x, y) = 2(x + y) + xy + 3x 2, g(x, y) = xy + e xy. Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakultät für Matematik Sommersemester 015 Universität Bielefeld Übungsaufgaben zu Analysis Lösungen von Blatt V vom 07.05.15 Aufgabe V.1 + Punkte) Gegeben seien die Funktionen

Mehr

Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen

Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen Kapitel 6 Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen 6.1 Ableitungen (partielle Ableitung; (stetig) partiell differenzierbar; die Klasse C 1 (U); totale Differenzierbarkeit; Nabla-Operator; Gradient;

Mehr

4. DIE ABLEITUNG (DERIVATIVE)

4. DIE ABLEITUNG (DERIVATIVE) 31 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken aus Einführung in die mathematische Behandlung der Naturwissenschaften I von Hans Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie das Buch auch

Mehr

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2013/14 Hochschule Augsburg : Gliederung 1 Aussagenlogik 2 Lineare Algebra 3 Lineare Programme 4 Folgen

Mehr

Mathematik 3 für Informatik

Mathematik 3 für Informatik Gunter Ochs Wintersemester 5/6 Mathematik 3 für Informatik Lösungen zum Hausaufgabenblatt Lösungshinweise ohne Garnatie auf Fehlerfreiheit c 5. Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale: a x 4

Mehr

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Knut Sydsaeter Peter HammondJ Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Basiswissen mit Praxisbezug 2., aktualisierte Auflage Inhaltsverzeichnis Vorwort 13 Vorwort zur zweiten Auflage 19 Kapitel 1 Einführung,

Mehr

Inhaltsverzeichnis. Vorwort Kapitel 1 Einführung, I: Algebra Kapitel 2 Einführung, II: Gleichungen... 57

Inhaltsverzeichnis. Vorwort Kapitel 1 Einführung, I: Algebra Kapitel 2 Einführung, II: Gleichungen... 57 Vorwort... 13 Vorwort zur 3. deutschen Auflage... 17 Kapitel 1 Einführung, I: Algebra... 19 1.1 Die reellen Zahlen... 20 1.2 Ganzzahlige Potenzen... 23 1.3 Regeln der Algebra... 29 1.4 Brüche... 34 1.5

Mehr

Mathematik für das Ingenieurstudium

Mathematik für das Ingenieurstudium Mathematik für das Ingenieurstudium von Martin Stämpfle, Jürgen Koch 2., aktual. Aufl. Hanser München 2012 Verlag C.H. Beck im Internet: www.beck.de ISBN 978 3 446 43232 1 Zu Inhaltsverzeichnis schnell

Mehr

Stetigkeit von Funktionen

Stetigkeit von Funktionen 9 Stetigkeit von Funktionen Definition 9.1 : Sei D R oder C und f : D R, C. f stetig in a D : ε > 0 δ > 0 mit f(z) f(a) < ε für alle z D, z a < δ. f stetig auf D : f stetig in jedem Punkt a D. f(a) ε a

Mehr

Analysis II (FS 2015): Vektorfelder und Flüsse

Analysis II (FS 2015): Vektorfelder und Flüsse Analysis II (FS 215): Vektorfelder und Flüsse Dietmar A. Salamon ETH-Zürich 7. April 215 1 Der Fluss eines Vektorfeldes Sei U R n eine offene Menge und sei f : U R n eine lokal Lipschitz-stetige Abbildung.

Mehr

27 Taylor-Formel und Taylor-Entwicklungen

27 Taylor-Formel und Taylor-Entwicklungen 136 IV. Unendliche Reihen und Taylor-Formel 27 Taylor-Formel und Taylor-Entwicklungen Lernziele: Konzepte: klein o - und groß O -Bedingungen Resultate: Taylor-Formel Kompetenzen: Bestimmung von Taylor-Reihen

Mehr

ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN

ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN CHRISTIAN HARTFELDT. Zweiter Mittelwertsatz Der Mittelwertsatz Satz VI.3.4) lässt sich verallgemeinern zu Satz.. Seien f, g : [a, b] R auf [a,

Mehr

4.7 Der Taylorsche Satz

4.7 Der Taylorsche Satz 288 4 Differenziation 4.7 Der Taylorsche Satz Die Differenzierbarkeit, also die Existenz der ersten Ableitung einer Funktion, erlaubt bekanntlich, diese Funktion lokal durch eine affine Funktion näherungsweise

Mehr

Thema 4 Limiten und Stetigkeit von Funktionen

Thema 4 Limiten und Stetigkeit von Funktionen Thema 4 Limiten und Stetigkeit von Funktionen Wir betrachten jetzt Funktionen zwischen geeigneten Punktmengen. Dazu wiederholen wir einige grundlegende Begriffe und Schreibweisen aus der Mengentheorie.

Mehr

Analysis II. Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2014

Analysis II. Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2014 Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2014 Analysis II Vorlesung 51 Für eine stetig differenzierbare Funktion ϕ: R R mit ϕ (P) > 0 in einem Punkt P R gibt es ein offenes Intervall P I =]P δ,p +δ, auf dem ϕ

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1 Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr

Optimalitätskriterien

Optimalitätskriterien Kapitel 4 Optimalitätskriterien Als Optimalitätskriterien bezeichnet man notwendige oder hinreichende Bedingungen dafür, dass ein x 0 Ω R n Lösung eines Optimierungsproblems ist. Diese Kriterien besitzen

Mehr

Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kap. 9: Funktionen von mehreren Variablen 9.2 Partielle Differentiation

Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kap. 9: Funktionen von mehreren Variablen 9.2 Partielle Differentiation Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kap. 9: Funktionen von mehreren Variablen 9.2 Partielle Differentiation www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/fs2015/other/mathematik2 biol Prof. Dr. Erich Walter

Mehr

Analysis I - Stetige Funktionen

Analysis I - Stetige Funktionen Kompaktheit und January 13, 2009 Kompaktheit und Funktionengrenzwert Definition Seien X, d X ) und Y, d Y ) metrische Räume. Desweiteren seien E eine Teilmenge von X, f : E Y eine Funktion und p ein Häufungspunkt

Mehr

Mathematik für Anwender I. Beispielklausur I mit Lösungen

Mathematik für Anwender I. Beispielklausur I mit Lösungen Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Mathematik für Anwender I Beispielklausur I mit en Dauer: Zwei volle Stunden + 10 Minuten Orientierung, in denen noch nicht geschrieben werden darf.

Mehr

Skript zur Analysis 1. Kapitel 3 Stetigkeit / Grenzwerte von Funktionen

Skript zur Analysis 1. Kapitel 3 Stetigkeit / Grenzwerte von Funktionen Skript zur Analysis 1 Kapitel 3 Stetigkeit / Grenzwerte von Funktionen von Prof. Dr. J. Cleven Fachhochschule Dortmund Fachbereich Informatik Oktober 2003 2 Inhaltsverzeichnis 3 Stetigkeit und Grenzwerte

Mehr

Approximation durch Taylorpolynome

Approximation durch Taylorpolynome TU Berlin Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften Sekretariat MA 4-1 Straße des 17. Juni 10623 Berlin Hochschultag Approximation durch Taylorpolynome Im Rahmen der Schülerinnen- und Schüler-Uni

Mehr

Mathematik II. Vorlesung 49. Der Banachsche Fixpunktsatz

Mathematik II. Vorlesung 49. Der Banachsche Fixpunktsatz Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2010 Mathematik II Vorlesung 49 Der Banachsche Fixpunktsatz Satz 49.1. Es sei M ein nicht-leerer vollständiger metrischer Raum und f :M M eine stark kontrahierende Abbildung.

Mehr

11. Folgen und Reihen.

11. Folgen und Reihen. - Funktionen Folgen und Reihen Folgen Eine Folge reeller Zahlen ist eine Abbildung a: N R Statt a(n) für n N schreibt man meist a n ; es handelt sich also bei einer Folge um die Angabe der Zahlen a, a

Mehr

7.2.1 Zweite partielle Ableitungen

7.2.1 Zweite partielle Ableitungen 72 72 Höhere Ableitungen 72 Höhere Ableitungen Vektorwertige Funktionen sind genau dann differenzierbar, wenn ihre Koordinatenfunktionen differenzierbar sind Es ist also keine wesentliche Einschränkung,

Mehr

Mathematik Übungsblatt - Lösung. b) x=2

Mathematik Übungsblatt - Lösung. b) x=2 Hochschule Regensburg Fakultät Informatik/Mathematik Christoph Böhm Sommersemester 204 Technische Informatik Bachelor IT2 Vorlesung Mathematik 2 Mathematik 2 4. Übungsblatt - Lösung Differentialrechnung

Mehr

Überblick. Kapitel 7: Anwendungen der Differentialrechnung

Überblick. Kapitel 7: Anwendungen der Differentialrechnung Überblick Kapitel 7: Anwendungen der Differentialrechnung 1 Beispiel 1: Kapitel 7.1: Implizites Differenzieren 1 Beispiel 1: Steigung der Tangente Kapitel 7.1: Implizites Differenzieren 2 Beispiel 1: Steigung

Mehr

4.4 Taylorentwicklung

4.4 Taylorentwicklung 4.4. TAYLORENTWICKLUNG 83 4.4 Taylorentwicklung. Definitionen f sei eine reellwertige m + -mal stetig differenzierbare Funktion der n Variablen x bis x n auf einem Gebiet M R n. Die Verbindungsgerade der

Mehr

Der Abschluss D ist die Menge, die durch Hinzunahme der Intervallränder entsteht, in den obigen Beispielen also

Der Abschluss D ist die Menge, die durch Hinzunahme der Intervallränder entsteht, in den obigen Beispielen also Festlegung Definitionsbereich 11.1 Festlegung Definitionsbereich Festlegung: Wir betrachten Funktionen f : D Ñ R, deren Definitionsbereich eine endliche Vereinigung von Intervallen ist, also z.b. D ra,

Mehr

April (Voll-) Klausur Analysis I für Ingenieure. Rechenteil

April (Voll-) Klausur Analysis I für Ingenieure. Rechenteil April (Voll-) Klausur Analysis I für Ingenieure en Rechenteil Aufgabe 7 Punkte (a) Skizzieren Sie die 4-periodische Funktion mit f() = für und f() = für (b) Berechnen Sie für diese Funktion die Fourierkoeffizienten

Mehr

4.1 Grundlegende Konstruktionen Stetigkeit von Funktionen Eigenschaften stetiger Funktionen... 92

4.1 Grundlegende Konstruktionen Stetigkeit von Funktionen Eigenschaften stetiger Funktionen... 92 Kapitel 4 Funktionen und Stetigkeit In diesem Kapitel beginnen wir Funktionen f : Ê Ê systematisch zu untersuchen. Dazu bauen wir auf den Begriff des metrischen Raumes auf und erhalten offene und abgeschlossene

Mehr

2 Stetigkeit und Differenzierbarkeit

2 Stetigkeit und Differenzierbarkeit 2.1) Sei D R. a) x 0 R heißt Häufungspunkt von D, wenn eine Folge x n ) n N existiert mit x n D,x n x 0 und lim n x n = x 0. D sei die Menge der Häufungspunkte von D. b) x 0 D heißt innerer Punkt von D,

Mehr

Lineare Algebra II 9. Übungsblatt

Lineare Algebra II 9. Übungsblatt Lineare Algebra II 9. Übungsblatt Fachbereich Mathematik SS Prof. Dr. Kollross 5./6. Juni Susanne Kürsten Tristan Alex Gruppenübung Aufgabe G (Minitest: ohne Benutzung des Skripts und innerhalb von Minuten!)

Mehr

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. gehalten von Claus Diem

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. gehalten von Claus Diem Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler gehalten von Claus Diem Übungen Die Seminare / Übungsgruppen / Tutorien finden wöchentlich statt. Alle zwei Wochen am Montag wird ein Übungsblatt ausgegeben. Dies

Mehr

Gleichmäßige Konvergenz und Funktionenräume

Gleichmäßige Konvergenz und Funktionenräume Gleichmäßige Konvergenz und Funktionenräume Isabella Lukasewitz und Andreas Brack 07.06.2010 Vortrag zum Proseminar zur Analysis Konvergenz und Funktionenräume INHALTSVERZEICHNIS Bereits in den Vorlesungen

Mehr

Kapitel 5. Stetige Funktionen 5.1. Stetigkeit

Kapitel 5. Stetige Funktionen 5.1. Stetigkeit Kapitel 5. Stetige Funktionen 5.1. Stetigkeit Reelle Zahlen sind ideale Objekte, die es uns ermöglichen, eine transparente und leistungsfähige Theorie aufzubauen. Ein Computer kann jedoch nur mit Approximationen

Mehr

Zusammenfassung Mathematik 2012 Claudia Fabricius

Zusammenfassung Mathematik 2012 Claudia Fabricius Zusammenfassung Mathematik Claudia Fabricius Funktion: Eine Funktion f ordnet jedem Element x einer Definitionsmenge D genau ein Element y eines Wertebereiches W zu. Polynom: f(x = a n x n + a n- x n-

Mehr

Konvexe Mengen und konvexe Funktionen

Konvexe Mengen und konvexe Funktionen Konvexe Mengen und konvexe Funktionen Teilnehmer: Moritz Butz Franziska Ihlefeldt Johannes Jendersie Marie Lambert Eike Müller Gregor Pasemann Konstantin Rohde Herder-Gymnasium Herder-Gymnasium Georg-Forster-Gymnasium

Mehr

Tutorübung 5. Analysis 2 für Lehramt TU Dortmund, Sommersemester 2014

Tutorübung 5. Analysis 2 für Lehramt TU Dortmund, Sommersemester 2014 Tutorübung 5 Analysis 2 für Lehramt TU Dortmund, Sommersemester 24 Aufgabe T Bestimme die Taylorreihen von (a) cos(x) um a. (b) ln(x) um a. (c) um a 2. +x Bestimme in allen Fällen das Taylorpolynom T n,a

Mehr

35 Stetige lineare Abbildungen

35 Stetige lineare Abbildungen 171 35 Stetige lineare Abbildungen Lernziele: Konzepte: Lineare Operatoren und ihre Normen Resultate: Abschätzungen für Matrizennormen Kompetenzen: Abschätzung von Operatornormen 35.1 Lineare Abbildungen.

Mehr

3 Vektorbündel und das Tangentialbündel

3 Vektorbündel und das Tangentialbündel $Id: vektor.tex,v 1.6 2014/06/30 10:20:57 hk Ex $ $Id: fluss.tex,v 1.2 2014/06/30 12:36:06 hk Ex hk $ 3 Vektorbündel und das Tangentialbündel 3.4 Ableitungen von C q -Funktionen In der letzten Sitzung

Mehr

Kapitel III. Lineare Abbildungen

Kapitel III. Lineare Abbildungen Kapitel III. Lineare Abbildungen Beispiele: 1 Lineare Abbildungen a) Seien c 1,..., c n K vorgegeben. Betrachte die Funktion F (x 1,..., x n ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 +... + c n x n in den Variablen x 1,...,

Mehr

ÜBUNGSBLATT 11 LÖSUNGEN MAT121/MAT131 ANALYSIS II FRÜHJAHRSSEMESTER 2011 PROF. DR. CAMILLO DE LELLIS

ÜBUNGSBLATT 11 LÖSUNGEN MAT121/MAT131 ANALYSIS II FRÜHJAHRSSEMESTER 2011 PROF. DR. CAMILLO DE LELLIS ÜBUNGSBLATT 11 LÖSUNGEN MAT121/MAT131 ANALYSIS II FRÜHJAHRSSEMESTER 2011 PROF. DR. CAMILLO DE LELLIS Aufgabe 1. a) Gegeben sei die Gleichung 2x 2 4xy +y 2 3x+4y = 0. Verifizieren Sie, dass diese Gleichung

Mehr

2.12 Potenzreihen. 1. Definitionen. 2. Berechnung 2.12. POTENZREIHEN 207. Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen.

2.12 Potenzreihen. 1. Definitionen. 2. Berechnung 2.12. POTENZREIHEN 207. Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen. 2.2. POTENZREIHEN 207 2.2 Potenzreihen. Definitionen Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen. Eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt x 0 ist eine Reihe a n x x 0 n. Es gilt: es

Mehr

3 Reihen. 3.1 Konvergenz und Divergenz. Die Eindeutigkeit nach Satz 13 ergibt schließlich (5). (6) folgt aus (2) und (1) wegen. 1 a +log ba.

3 Reihen. 3.1 Konvergenz und Divergenz. Die Eindeutigkeit nach Satz 13 ergibt schließlich (5). (6) folgt aus (2) und (1) wegen. 1 a +log ba. Die Eindeutigkeit nach Satz 3 ergibt schließlich (5). (6) folgt aus (2) und () wegen Aussage (7) ergibt sich aus () und (6). 0 = log b = log b ( a a) = log b a +log ba. 3 Reihen 3. Konvergenz und Divergenz

Mehr

Stetige Funktionen. Definition. Seien (X, d) und (Y, ϱ) metrische Räume und f : X Y eine Abbildung. D(f) X sei der Definitionsbereich von f.

Stetige Funktionen. Definition. Seien (X, d) und (Y, ϱ) metrische Räume und f : X Y eine Abbildung. D(f) X sei der Definitionsbereich von f. Stetige Funktionen Abbildungen f : X Y, wobei X und Y strukturierte Mengen sind (wie z.b. Vektorräume oder metrische Räume), spielen eine zentrale Rolle in der Mathematik. In der Analysis sind Abbildungen

Mehr

Analysis II WS 11/12 Serie 9 Musterlösung

Analysis II WS 11/12 Serie 9 Musterlösung Analysis II WS / Serie 9 Musterlösung Aufgabe Bestimmen Sie die kritischen Punkte und die lokalen Extrema der folgenden Funktionen f : R R: a fx, y = x + y xy b fx, y = cos x cos y Entscheiden Sie bei

Mehr

Inhaltsverzeichnis. 1 Lineare Algebra 12

Inhaltsverzeichnis. 1 Lineare Algebra 12 Inhaltsverzeichnis 1 Lineare Algebra 12 1.1 Vektorrechnung 12 1.1.1 Grundlagen 12 1.1.2 Lineare Abhängigkeit 18 1.1.3 Vektorräume 22 1.1.4 Dimension und Basis 24 1.2 Matrizen 26 1.2.1 Definition einer

Mehr

1 Eingebettete Untermannigfaltigkeiten des R d

1 Eingebettete Untermannigfaltigkeiten des R d $Id: unter.tex,v 1.2 2014/04/14 13:19:35 hk Exp hk $ 1 Eingebettete Untermannigfaltigkeiten des R d In diesem einleitenden Paragraphen wollen wir Untermannigfaltigkeiten des R d studieren, diese sind die

Mehr

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg : Gliederung 7 Folgen und Reihen 8 Finanzmathematik 9 Reelle Funktionen 10 Differenzieren 1 11 Differenzieren 2 12 Integration

Mehr

Numerische Ableitung

Numerische Ableitung Numerische Ableitung Die Ableitung kann angenähert werden durch den Differentenquotient: f (x) f(x + h) f(x) h oder f(x + h) f(x h) 2h für h > 0, aber h 0. Beim numerischen Rechnen ist folgendes zu beachten:

Mehr

(geometrische) Anschauung

(geometrische) Anschauung (geometrische) Anschauung Marcus Page Juni 28 In dieser Lerneinheit widmen wir uns dem schon oft angesprochenen Zusammenhang zwischen Matrizen und linearen Abbildungen. Außerdem untersuchen wir Funktionen,

Mehr

7.8. Die Regel von l'hospital

7.8. Die Regel von l'hospital 7.8. Die Regel von l'hospital Der Marquis de l'hospital (sprich: lopital) war der erste Autor eines Buches über Infinitesimalrechnung (696) - allerdings basierte dieses Werk wesentlich auf den Ausführungen

Mehr

WS 2010/ Januar Mathematisches Institut der Universität München Prof. Dr. Rudolf Fritsch

WS 2010/ Januar Mathematisches Institut der Universität München Prof. Dr. Rudolf Fritsch Mathematisches Institut der Universität München Prof. Dr. Rudolf Fritsch WS 2010/2011 14. Januar 2011 Geometrie mit Übungen Übungsblatt 9, Musterlösungen Aufgabe 33. Es werden Kreise in der Euklidischen

Mehr

Inhalt. Vorwort Mittelwertsatz der Integralrechnung... 31

Inhalt. Vorwort Mittelwertsatz der Integralrechnung... 31 Inhalt Vorwort... 5 1 Stammfunktionen... 7 1.1 Erklärung der Stammfunktionen........................................... 7 1.2 Eigenschaften der Stammfunktionen.................................... 10 1.3

Mehr

Stetigkeit an der Stelle X0 2 Rn (Folgen) f : Rn! Rm. Stetigkeit an der Stelle X0 2 Rn

Stetigkeit an der Stelle X0 2 Rn (Folgen) f : Rn! Rm. Stetigkeit an der Stelle X0 2 Rn Body-Mass-nde/Ko rpermasseinde BM = Gewicht (Gro ße) Ko rpermasseinde (betrachte aber nur > 0, y > 0) fu r y = c fest: eine Gerade B() = c fu r = c fest: eine Hyperbel B(y ) = yc BM = Ko rpermasseinde

Mehr

2004, x 0 (e 2x + x) x 1, x > 0. Untersuchen Sie die Funktion auf Stetigkeit an der Stelle x 0 = 0!

2004, x 0 (e 2x + x) x 1, x > 0. Untersuchen Sie die Funktion auf Stetigkeit an der Stelle x 0 = 0! Klausur 25.02.2004 Aufgabe 5 Gegeben ist die Funktion f(x) = 2004, x 0 (e 2x + x) x 1, x > 0. Untersuchen Sie die Funktion auf Stetigkeit an der Stelle x 0 = 0! Klausur 06.08.2003 Aufgabe 5 Gegeben ist

Mehr

2. Stetige lineare Funktionale

2. Stetige lineare Funktionale -21-2. Stetige lineare Funktionale Die am Ende von 1 angedeutete Eigenschaft, die ein lineares Funktional T : D(ú) 6 verallgemeinerten Funktion macht, ist die Stetigkeit von T in jedem n 0 0 D(ú). Wenn

Mehr

lim Der Zwischenwertsatz besagt folgendes:

lim Der Zwischenwertsatz besagt folgendes: 2.3. Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit 35 Wir stellen nun die wichtigsten Sätze über stetige Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen zusammen. Wenn man sagt, eine Funktion f:[a,b] R, definiert

Mehr

Ergänzungen zur Analysis I

Ergänzungen zur Analysis I 537. Ergänzungsstunde Logik, Mengen Ergänzungen zur Analysis I Die Behauptungen in Satz 0.2 über die Verknüpfung von Mengen werden auf die entsprechenden Regelnfür die Verknüpfung von Aussagen zurückgeführt.

Mehr

00. Einiges zum Vektorraum R n

00. Einiges zum Vektorraum R n 00. Einiges zum Vektorraum R n In diesem einleitenden Kapitel werden die in der LV Einführung in die mathematischen Methoden erwähnten Konzepte über Vektoren (im R 2 und R 3 ) im Rahmen des n-dimensionalen

Mehr

Zahlen und metrische Räume

Zahlen und metrische Räume Zahlen und metrische Räume Natürliche Zahlen : Die natürlichen Zahlen sind die grundlegendste Zahlenmenge, da man diese Menge für das einfache Zählen verwendet. N = {1, 2, 3, 4,...} Ganze Zahlen : Aus

Mehr

12. Stetigkeit und Differenzierbarkeit.

12. Stetigkeit und Differenzierbarkeit. 2- Funktionen 2 Stetigkeit und Differenzierbarkeit Wenn man von Analsis spricht, so meint man die Untersuchung von Funktionen in einer oder oder in mehreren Variablen, vor allem denkt man an das Differenzieren

Mehr

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011 Mathematik für Informatiker II Christoph Eisinger Sommersemester 211 Beispiellösungen zur Probeklausur Aufgabe 1 Gegeben sind die Polynome f, g, h K[x]. Zu zeigen: Es gibt genau dann Polynome h 1 und h

Mehr

2. VEKTORANALYSIS 2.1 Kurven Definition: Ein Weg ist eine stetige Abbildung aus einem Intervall I = [a; b] R in den R n : f : I R n

2. VEKTORANALYSIS 2.1 Kurven Definition: Ein Weg ist eine stetige Abbildung aus einem Intervall I = [a; b] R in den R n : f : I R n 2. VEKTORANALYSIS 2.1 Kurven Definition: Ein Weg ist eine stetige Abbildung aus einem Intervall I = [a; b] R in den R n : f : I R n f ist in dem Fall ein Weg in R n. Das Bild f(t) des Weges wird als Kurve

Mehr

Übungen zur Vorlesung Differential und Integralrechnung I Lösungsvorschlag

Übungen zur Vorlesung Differential und Integralrechnung I Lösungsvorschlag MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr. E. Schörner WS 203/4 Blatt 20.0.204 Übungen zur Vorlesung Differential und Integralrechnung I Lösungsvorschlag 4. a) Für a R betrachten wir die Funktion

Mehr

Höhere Mathematik 3. Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2015/16. FB Mathematik

Höhere Mathematik 3. Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2015/16. FB Mathematik Höhere Mathematik 3 Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr FB Mathematik Wintersemester 2015/16 4. Homogene lineare Dierentialgleichungen 4.1. Grundbegrie 4.1.1. Denition. Es sei J R ein Intervall und a 0 ; : :

Mehr

Mathematik-Tutorium für Maschinenbauer II: Differentialgleichungen und Vektorfelder

Mathematik-Tutorium für Maschinenbauer II: Differentialgleichungen und Vektorfelder DGL Schwingung Physikalische Felder Mathematik-Tutorium für Maschinenbauer II: Differentialgleichungen und Vektorfelder Johannes Wiedersich 23. April 2008 http://www.e13.physik.tu-muenchen.de/wiedersich/

Mehr

Modulabschlussklausur Analysis II

Modulabschlussklausur Analysis II Modulabschlussklausur Analysis II. Juli 015 Bearbeitungszeit: 150 min Aufgabe 1 [5/10 Punkte] Es sei a R und f a : R 3 R mit f a (x, y, z) = x cos(y) + z 3 sin(y) + a 3 + (z + ay a y) cos(x) a) Bestimmen

Mehr

Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen

Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen Dr. Nico Düvelmeyer Freitag, 1. Juli 2011 1: 1 [1,1] Inhaltsübersicht für heute 1 Einführung und Wiederholung Beispiel

Mehr

Wir beginnen mit der Definition eines metrischen Raumes, der in diesem Kapitel von zentraler Bedeutung ist. x, y, z X (Dreiecksungleichung).

Wir beginnen mit der Definition eines metrischen Raumes, der in diesem Kapitel von zentraler Bedeutung ist. x, y, z X (Dreiecksungleichung). Kapitel 4 Metrische Räume und Stetigkeit 4.1 Metrische und normierte Räume 4.2 Folgen in metrischen Räumen 4.3 Offene und abgeschlossene Mengen 4.4 Stetige Funktionen 4.5 Grenzwerte von Funktionen 4.6

Mehr

Lösungen zu Aufgabenblatt 7P

Lösungen zu Aufgabenblatt 7P Analysis Prof. Dr. Peter Becker Fachbereich Informatik Sommersemester 205 9. Mai 205 Lösungen zu Aufgabenblatt 7P Aufgabe (Stetigkeit) (a) Für welche a, b R sind die folgenden Funktionen stetig in x 0

Mehr