Stetigkeit an der Stelle X0 2 Rn (Folgen) f : Rn! Rm. Stetigkeit an der Stelle X0 2 Rn

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1 Body-Mass-nde/Ko rpermasseinde BM = Gewicht (Gro ße) Ko rpermasseinde (betrachte aber nur > 0, y > 0) fu r y = c fest: eine Gerade B() = c fu r = c fest: eine Hyperbel B(y ) = yc BM = Ko rpermasseinde Probleme m l Funktionen mehrerer Vera nderlicher. f : D R! R 7! f () eine reelle Variable, reellwertig BM = Gewicht (Gro ße) 3 a Alle Dimensionen mit a multipliziert BM = a BM : a gro ßere Menschen mit demselben Verha ltnis Ko rperfett/muskelmasse haben einen gro sseren BM. Sportler haben einen gro sseren BM. Vereinfachung: Viele andere Parameter spielen eine Rolle. Anpassung: man a ndert die Grenzen fu r bestimmte Kategorien von Menschen (d.h. man versucht die zusa tzlichen Gro ßen festzulegen). Zwei Variablen Der Graph (falls die Funktion genu gend gut ist) ist eine zwei-dimensionale Fla che im Raum R3.. f : D R! R (, y ) 7! f (, y ) zwei reelle Variablen, reellwertig z.b. die La nge der Diagonale eines Rechtecks mit Seiten, y : p (, y ) 7! + y, y > 0 n. f : D Rn! R (,..., n ) 7! f (,..., n ) n reelle Variablen, reellwertig z.b. das arithmetische Mittel: (,,..., n ) 7! n n

2 sothermen: Linien beschreiben Orte mit derselben Temperatur Ein Berg auf einer Karte: je dichter die Niveaulinien sind, desto gro ßer ist die Steigung. Niveaulinie (Ho he c) := das Urbild von c {(, y ) : f (, y ) = c} BESPEL: f (, y ) = Niveaulinie, Ho he c BESPEL: f (, y ) = + y {(, y ) : + y = c} (Kreis fu r c > 0; Punkt fu r c = 0; leer fu r c < 0) Die Stelle (0, 0) ist ein Minimum. f : Rn! Rm Stetigkeit an der Stelle X0 Rn Fu r jede Umgebung U von f (X0 ) gibt es eine Umgebung U von X0 mit f (U ) U n R Umgebung n R Umgebung n R3 Umgebung o enes ntervall o ene Kreisscheibe o ene Kugel Sei > 0 beliebig. Dann muss es f : Rn! Rm Stetigkeit an der Stelle X0 Rn (Folgen) Eine Folge von Vektoren konvergiert, falls die Folgen der Koordinaten konvergieren. Beispiel in R : n ) Abstand zwischen f (X ) und f (X0 ) kleiner als y = c} (Hyperbel fu r c > 0 und fu r c < 0; die Geraden y = ± fu r c = 0) Die Stelle (0, 0) ist ein Sattelpunkt: Maimum bzgl. einer Richtung, Minimum bzgl. einer anderen Richtung. > 0 geben, so dass: Abstand zwischen X und X0 kleiner als {(, y ) :, 7! (0, 7) Alternative Definition Stetigkeit: jede Folge mit Grenzwert X0 hat als Bild unter f eine Folge mit Grenzwert f (X0 )

3 Einschränkungen auf Geraden Sei f : R! R, (, y) 7! f (, y). Für jedes feste = 0 ist die Funktion y 7! f ( 0, y) Partielle Ableitungen Was macht die Einschränkung der Funktion auf horizontalen bzw. vertikalen Geraden der Definitionsmenge? die Einschränkung auf die vertikale Gerade = 0 Für jedes feste y = y 0 ist die Funktion 7! f (, y 0 ) die Einschränkung auf die horizontale Gerade y = y 0 Für jedes feste c ist die Funktion t 7! f (t, ct) = t die Einschränkung auf die Gerade y = c $ y = ct Die Linien auf der Fläche sind das Bild von horizontalen bzw. vertikalen Geraden. Partielle Ableitungen Partielle Ableitungen: Beispiele Sei f : R! R, (, y) 7! f (, y). f : R! R f ( 0, y 0 )= d d f (, y 0) =0 f = d f (, y) d y f : R! R y f = d dy f ( 0, y) y=y0 f = d f (, y) dy f f y Sei f : R! R, (, y) 7! y + 3 y. f = d d (y + 3 y )=y +3 y f (, ) = + 3 = 4 y f = d dy (y + 3 y )= + 3 y y f (, ) = + 3 =6 Höhere partielle Ableitungen: Beispiele Sei f : R! R, (, y) 7! y + 3 y. Etremwerte f y f f = f = y +3 y f = d d (y +3 y )=6y y f = d dy (y +3 y )=+3 y =+6 y y f = + 3 y Sei f : R! R. Definition: Die Stelle ( 0, y 0 )isteinetremwertfür f,fallsbeide partiellen Ableitungen f und y f in ( 0, y 0 )nullsind. Z.B. Maima und Minima sind Etremwerte. Aber auch Sattelpunkte. y f = y f Satz von Schwarz (falls die partiellen Ableitungen stetig sind) f yy y f = y y f = 3

4 Kriterium fu r Etremwerte Bo ses Beispiel MATRX M= a b c d Diese Funktion ist in (0, 0) nicht di erentierbar DETERMNANTE = ad bc Die Matri der zweiten Ableitungen im Punkt f (0, y0 ) fy (0, y0 ) fy (0, y0 ) fyy (0, y0 ) > 0, a > 0, d > 0 lokales Minimum > 0, a < 0, d < 0 lokales Maimum < 0 Sattelpunkt =0? Taylor-Entwicklung fu r Funktionen f : R! R Gradient fu r Funktionen f : Rn! R Benutze die partielle Ableitungen an der Stelle. Das Taylor-Polynom hat zwei Variabeln: ( 0 ) ( 0 ) (y y0 ) ) (y z.b. hat der Term ( 0 den Koeffizienten fyyy (0, y0 )!3! y0 (y y0 ) )3 ( ( 0 )(y y0 ) 0 )a (y y0... )b f... y... y (0, y0 ) a!b! {z } {z } a b Der Vektor der partiellen Ableitungen in einem Punkt heisst Gradient: 0 f B C rf =... A n f Geometrisch steht der Gradient auf der Niveaufla che senkrecht. Der Gradient ergibt die Richtung mit maimaler Steigung. Die Richtungsableitung in der Richtung v ist das Skalarprodukt zwischen rf und v Mit den ersten partiellen Ableitungen: Na herung durch eine Ebene. Gradient fu r Funktionen f : Rn! R Funktionen mehrerer Vera nderlicher f : Rn! R skalare Funktion (die Bilder sind Zahlen) Niveaufla chen: alle Punkte in Rn mit einem selben Bild c. f : Rn! Rm (die Bilder sind Vektoren in Rm ) (,..., n ) (y,..., ym ) TRCK: Betrachte separat die m skalaren Funktionen (,..., n ) yi

5 Zusatz: Quantile Ein bestimmter Anteil der Werte (Prozent, oder eine reelle Zahl zwischen 0 und ) ist kleiner als das Quantil, der Rest ist größer. Das 5%-Quantil ist der Wert, für den gilt, dass 5% aller Werte kleiner sind als dieser Wert: 5% aller Frauen sind kleiner als,6m,6m Median 50%-Quantil Zusatz: Änderung der BM-Quantilen mit der Alter (50th=Median)