Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
|
|
- Kajetan Fuhrmann
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester Juli 2016
2 Ableitungen im Höherdimensionalen Im Eindimensionalen war die Ableitung f (x 0 ) einer Funktion f : R R die Steigung der Tangente an die Kurve f im Punkt (x 0, f (x 0 )). Die Gleichung dieser Tangente lautet y = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). Zum Beispiel im Zusammenhang mit dem Newtonverfahren haben wir die Funktion x f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) als gute Näherung der Funktion f im Punkt x 0 aufgefasst. Wir verallgemeinern diesen Ansatz ins Höherdimensionale.
3 Definition 7.16 Es sei D R n und f : D R m eine Funktion. Dann heißen die Funktionen f 1,..., f m : D R mit f (x 1,..., x n ) = (f 1 (x 1,..., x n ),..., f m (x 1,..., x n )) die Komponentenfunktionen von f. Die Funktion f heißt partiell differenzierbar im Punkt a = (a 1,..., a n ), falls die partiellen Ableitungen aller Komponentenfunktionen von f nach allen Variablen im Punkt (a 1,..., a n ) existieren.
4 In diesem Falle heißt die (m n)-matrix f 1 x 1 (a) Jf (a) =.... f m x 1 (a)... f 1 x n (a). f m x n (a) die Jakobi-Matrix von f im Punkt a. Die Jakobi-Matrix ist die Ableitung von f im Punkt a. Ist m = 1, so ist die Jakobi-Matrix einfach der Gradient von f, geschrieben als Zeilenvektor.
5 Wie im eindimensionalen Fall können wir im Mehrdimensionalen eine Funktion mit Hilfe der Ableitung approximieren. Die lineare Approximation von f : D R m mit D R n im Punkt a D ist die Funktion R n R m ; x f (a) + Jf (a) (x a). Hierbei werden die Vektoren a und x als Spaltenvektoren geschrieben.
6 Beispiel 7.17 Die Abbildung f : R 2 R 2 ; (x, y) (x + y, xy) hat die Jakobi-Matrix ( ) 1 1 Jf (x, y) =. y x Wir betrachten die Stelle ( 1, 2). Es gilt Jf ( 1, 2) = ( ) und f ( 1, 2) = (1, 2). Damit ist die lineare Approximation von f im Punkt ( 1, 2) die Funktion (x, y) ( ) ( ) (( ) x y ( )) 1 2
7
8 Wir übertragen unsere Definition bestimmter Integrale auf Funktionen die auf einer Teilmenge von R 2 definiert sind. Unter einem Intervall in R 2 verstehen wir eine Punktmenge I = {(x, y) R 2 : a x b c y d} = [a, b] [c, d] mit a, b, c, d R, a < b und c < d. Intervalle in R 2 nennen wir auch achsenparallele Rechtecke oder einfach Rechtecke.
9 Wir definieren zunächst zweidimensionale Integrale über Intervallen. Sei I ein Intervall und f : I R eine beschränkte Funktion. Wir wollen das Integral f (x, y)dxdy von f über dem Intervall I definieren. I
10 Dazu wählen wir Zerlegungen a = x 0 < x 1 < < x n = b und c = y 0 < y 1 < < y m = d von [a, b] und [c, d], die wir mit Z 1 und Z 2 bezeichnen. Hierdurch wird I in die n m Teilintervalle I ij = [x i 1, x i ] [y j 1, y j ], i {1,..., n}, j {1,..., m}], unterteilt. Für jedes Teilintervall I ij sei m ij der minimale Funktionswert von f auf I ij und M ij der maximale Funktionswert auf diesem Intervall.
11 Die Fläche von I ij ist (x i x i 1 ) (y j y j 1 ). Wir definieren daher die Untersumme für die Zerlegungen Z 1 und Z 2 als U(Z 1, Z 2 ) = n m m ij (x i x i 1 ) (y j y j 1 ) i=1 j=1 und die entsprechende Obersumme als O(Z 1, Z 2 ) = n m M ij (x i x i 1 ) (y j y j 1 ). i=1 j=1
12 Definition 8.1 Wieder nennen wir f : I R integrierbar, falls für jedes ε > 0 und genügend feine Zerlegungen Z 1 und Z 2 gilt: O(Z 1, Z 2 ) U(Z 1, Z 2 ) < ε Sei nun n N und seien Z 1 und Z 2 die äquidistanten Zerlegungen von [a, b] und [c, d] in n Teilintervalle. Wir setzen U n = U(Z 1, Z 2 ) und O n = O(Z 1, Z 2 ). Ist f integrierbar, so setzen wir f (x, y)dxdy = lim U n = lim O n. n n I
13 Zweidimensionale Integrale über Mengen, die nicht unbedingt Intervalle sind, können wir wie folgt berechnen: Definition 8.2 Es sei G R 2 eine beschränkte Menge und I R 2 ein abgeschlossenes Intervall mit G I. Die Funktion f : G R sei beschränkt. Dann definieren wir { f (x, y), falls (x, y) G, und f I (x, y) = 0, sonst. Nun sei f (x, y)dxdy = f I (x, y)dxdy. G I Dabei hängt der Wert des Integrals nicht von der Wahl von I ab.
14 Praktisch berechnen lassen sich zweidimensionale Integrale mit Hilfe des folgenden Satzes. Satz 8.3 (Fubini) Sei I = [a, b] [c, d] und f : I R integrierbar. Dann gilt I f (x, y)dxdy = b a ( d c ) d ( b ) f (x, y)dy dx = f (x, y)dx dy. c a
15 Beispiel 8.4 Ein wichtiges Beispiel ist die Berechnung des Flächeninhalts einer beschränkten Menge G R 2. Sei f : G R die Funktion, die konstant den Wert 1 hat. Dann ist der Flächeninhalt von G einfach das Integral f (x, y)dxdy. G Sei zum Beispiel G der Einheitskreis in R 2, f : G R die Funktion, die konstant den Wert 1 hat und I = [ 1, 1] [ 1, 1]. Die Fläche des Kreises ist dann G f (x, y)dxdy. Wir berechnen dieses Integral nun mit Hilfe des Satzes von Fubini.
16 Es gilt G f (x, y)dxdy = f I (x, y)dxdy = I f I (x, y)dydx. Für fest vorgebenes x [ 1, 1] ist f (x, y) genau dann von 0 verschieden, wenn das Paar (x, y) im Einheitskreis liegt, wenn also x 2 + y 2 1 gilt. Das ist aber genau dann der Fall, wenn y [ 1 x 2, 1 x 2 ] gilt. Damit ist 1 1 f I (x, y)dy = 2 1 x 2. Also gilt G wie wir bereits wissen. f (x, y)dxdy = x 2 dx = π,
17 Beispiel 8.5 Wir berechnen das Volumen einer Kugel um den Nullpunkt mit Radius 1. Den Rand der Kugel bilden die Punkte (x, y, z) R 3 mit x 2 + y 2 + z 2 = 1. Das Volumen ist genau das zweifache des Volumens der oberen Halbkugel. Die obere Halbkugel ist genau die Menge von Punkten, die zwischen der xy-ebene und dem Graphen der Funktion f : D R : (x, y) 1 x 2 y 2 liegen, wobei D der Einheitskreis in der xy-ebene ist.
18 Wir wählen I = [ 1, 1] [ 1, 1]. Dann gilt D Nun ist 1 x 2 y 2 dydx = 1 1 x 2 = 1 f D (x, y)dydx x x 2 1 x 2 y 2 dy 1 x 2 1 x 2 y 2 dydx. genau die Hälfte der Fläche eines Kreises mit dem Radius 1 x 2, also π 2 (1 x 2 ).
19 Damit gilt D 1 1 x 2 y 2 π dydx = 1 2 (1 x 2 )dx = π [ x 1 ] x 3 = π = 2 3 π. Es folgt, dass das Volumen der ganzen Kugel 4 3 π beträgt.
20 Zum Schluss diskutieren wir noch einen wichtigen Satz, der das mehrdimensionale Analogon zur Substitutionsregel ist. Bisher habe wir noch nicht gesagt, was wir unter Stetigkeit einer Funktion f : D R m mit D R n verstehen.
21 Definition 8.6 Sei D R n und f : D R n eine Funktion. Dann ist f stetig im Punkt (a 1,..., a n ) D, falls für jede Folge (a 1i,..., a ni ) i N mit Folgengliedern in D und lim i (a 1i,..., a ni ) = (lim i a 1i,..., lim i a ni ) = (a 1,..., a n ) und alle j {1,..., m} gilt: lim f j(a 1i,..., a ni ) = f j (a 1,..., a n ) i Die Funktion f ist stetig, falls f in jedem Punkt seines Definitionsbereichs stetig ist. Die Funktion f ist stetig differenzierbar, falls auf ganz D die partiellen Ableitungen der Komponentenfunktionen von f nach allen Variablen existieren und stetig sind.
22 Für ein Intervall I = [a, b] [c, d] sei int(i ) das Innere von I, also die Menge (a, b) (c, d) der ( inneren ) Punkte von I. a b Für eine 2 2-Matrix A = sei det(a) = ad bc die c d Determinante von A. Satz 8.7 (Transformationsformel) Sei I = [a, b] [c, d] und ϕ : I R 2 stetig differenzierbar. Für alle x int(i ) sei det(jf (x)) 0. Außerdem sei ϕ auf der Menge int(i ) umkehrbar. Schließlich sei f : ϕ[i ] R stetig. Dann gilt f (y 1, y 2 )dy 1 dy 2 = f (ϕ(x)) det(jϕ(x 1, x 2 )) dx 1 dx 2. ϕ[i ] I
23 Beispiel 8.8 Sei I = [0, 1] [0, 2π] und ϕ : I R 2 ; (r, α) (r cos α, r sin α) die Polarkoordinatenabbildung. Dann gilt ( ) cos α r sin α Jϕ(r, α) = sin α r cos α Es gilt det(jϕ(r, α)) = r cos 2 α + r sin 2 α = r. Insbesondere ist det(jϕ(r, α)) 0 für r 0.
24 Die Abbildung ϕ ist auf int(i ) invertierbar. Die Menge ϕ[i ] ist der Einheitskreis. Wir benutzen die Polarkoordinatenabbildung, um noch einmal die Fläche des Einheitskreises zu berechnen. Sei f : ϕ[i ] R die Abbildung, die konstant den Wert 1 hat. Dann ist die Fläche des Kreises genau = ϕ[i ] 2π 1 0 f (x, y)dxdy = f (ϕ(r, α))rdrdα 0 rdrdα = 2π 0 I [ 1 2 r 2 ] 1 dα = 0 2π 0 [ ] 1 1 2π 2 dα = 2 α = π. 0
15. Bereichsintegrale
H.J. Oberle Analysis III WS 212/13 15. Bereichsintegrale 15.1 Integrale über uadern Ziel ist die Berechnung des Volumens unterhalb des Graphen einer Funktion f : R n D R, genauer zwischen dem Graphen von
MehrANALYSIS 3. Carsten Schütt WS 2008/9
1. Es sei f : R 3 R 3 durch f 1 (r, φ 1,φ 2 ) = r cos φ 1 f 2 (r, φ 1,φ 2 ) = r sin φ 1 cos φ 2 f 3 (r, φ 1,φ 2 ) = r sin φ 1 sin φ 2 gegeben. Für welche (r, φ 1,φ 2 ) ist f lokal invertierbar? Ist f global
MehrMehrdimensionale Analysis
KAPITEL IV Mehrdimensionale Analsis 15 Mehrdimensionale Differentialrechnung Wir wollen in diesem Abschnitt einige Aspekte der Differentialrechnung von Abbildungen von R n nach R oder nach R m ansprechen
MehrMathematik II für Studierende der Informatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2018
(Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2018 2. Juli 2018 1/1 Wir geben einige wesentliche Sätze über bestimmte Integrale an, deren Beweise man in den Standardlehrbüchern der Analysis findet.
MehrHöhere Mathematik Vorlesung 4
Höhere Mathematik Vorlesung 4 März 217 ii In der Mathematik versteht man die inge nicht. Man gewöhnt sich nur an sie. John von Neumann 4 as oppelintegral Flächen, Volumen, Integrale Ob f für a x b definiert
MehrHöhere Mathematik 3. Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2017/18. FB Mathematik
Höhere Mathematik 3 Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr FB Mathematik Wintersemester 2017/18 1. Integration von Funktionen in zwei Variablen 1.1. Integral auf Rechtecken Wir betrachten ein beschränktes Rechteck
MehrFormelsammlung Analysis I & II
Formelsammlung Analysis I & II Wichtige eindimensionale Integrale: { x s dx = s+ xs+ + C falls s log x + C falls s = exp(x dx = exp(x + C cos(x dx = sin(x + C sin(x dx = cos(x + C sinh(x dx = cosh(x +
MehrVon mathematischer Modellierung und Computeralgebra - Die Lösung eines handfesten mathematischen Problems
Von mathematischer Modellierung und Computeralgebra - Die Lösung eines handfesten mathematischen Problems Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Institut für Mathematik
MehrVorlesung Mathematik für Ingenieure II (Sommersemester 2008)
Vorlesung Mathematik für Ingenieure II (Sommersemester 8) Kapitel : Differenzialrechnung R n R m Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 8. Mai 8) Differenzialrechnung R R 4
Mehr4 Differenzierbarkeit
4 Differenzierbarkeit 16 4 Differenzierbarkeit Wir wollen nun Differenzierbarkeit von Funktionen mehrerer Veränderlicher definieren Dazu führen wir zunächst den Begriff der partiellen Ableitung ein Definition
MehrDas mehrdimensionale Riemann-Integral. 1. Volumenintegrale
Das mehrdimensionale Riemann-Integral. Volumenintegrale Es sei ein uader im R n gegeben durch := [a, b ] [a 2, b 2 ] [a n, b n ] = {(x,... x n ) a j x j b j } mit rellen Zahlen a j, b j, j =,... n. Offenbar
Mehr1 Ableitungen. Definition: Eine Kurve ist eine Abbildung γ : I R R n, γ besteht also aus seinen Komponentenfunktionen. a 1 + tx 1. eine Kurve.
1 Ableitungen Definition: Eine Kurve ist eine Abbildung γ : I R R n, γ besteht also aus seinen Komponentenfunktionen γ 1 (t) γ(t) = γ n (t) Bild(γ) = {γ(t) t I} heißt auch die Spur der Kurve Beispiel:1)
MehrMathematik für Anwender II
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 212 Mathematik für Anwender II Vorlesung 58 Der Satz von Green Wir betrachten eine kompakte eilmenge R 2, deren Rand R sich stückweise durch reguläre Kurven parametrisieren
MehrVorlesung Mathematik für Ingenieure 2 (Sommersemester 2009)
1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure 2 (Sommersemester 2009) Kapitel 10: Differenzialrechnung R n R m Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 27. März 2009) Differenzialrechnung
Mehr1 Definition und Konstruktion vektorwertiger Funktionen und Funktionen mehrerer Variabler
Zusammenfassung Kapitel IV: Funktionen mehrerer Veränderlicher und vektorwertige Funktionen 1 Definition und Konstruktion vektorwertiger Funktionen und Funktionen mehrerer Variabler Definition vektorwertige
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Prof. Dr. Michael Wolf Daniel Stilck França Stefan Huber Zentralübung TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Mathematik 4 für Physiker (Analysis 3) MA94 Z4.. Parametrisierungsinvarianz des Oberflächenintegrals
Mehr12. Übungsblatt zur Analysis II
Facbereic atematik Prof. Dr. R. Farwig C. omo J. Prasiswa R. Sculz SS 29 6.7.29 2. Übungsblatt zur Analysis II Gruppenübung Aufgabe G (Jordan-essbarkeit Die enge R n sei Jordan-messbar. Zeigen Sie, dass
Mehr28. Lineare Approximation und Differentiale
28. Lineare Approximation und Differentiale Sei y = f(x) differenzierbar. Die Gleichung der Tangente t im Punkt x 0 lautet t : y f(x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) Für x nahe bei x 0 können wir f(x) durch den
MehrMathematik 2 für Wirtschaftsinformatik
für Wirtschaftsinformatik Sommersemester 2012 Hochschule Augsburg : Gliederung 1 Folgen und Reihen 2 Komplexe Zahlen 3 Reelle Funktionen 4 Differenzieren 1 5 Differenzieren 2 6 Integration 7 Zinsen 8
Mehr7 Integralrechnung für Funktionen einer Variablen
7 Integralrechnung für Funktionen einer Variablen In diesem Kapitel sei stets D R, und I R ein Intervall. 7. Das unbestimmte Integral (Stammfunktion) Es sei f : I R eine Funktion. Eine differenzierbare
Mehr1 Integrale von Funktionen in mehreren Variablen
$Id: integral.tex,v.0 009//0 :4:35 hk Exp $ Integrale von Funktionen in mehreren Variablen.3 Integration über Jordan-meßbare Mengen Als ein zweites Beispiel der Integration über Jordan-meßbare Mengen wollen
MehrAbbildung 10.1: Das Bild zu Beispiel 10.1
Analysis 3, Woche Mannigfaltigkeiten I. Definition einer Mannigfaltigkeit Die Definition einer Mannigfaltigkeit braucht den Begriff Diffeomorphismus, den wir in Definition 9.5 festgelegt haben. Seien U,
MehrLösungsblatt Aufgabe 1.32
Aufgabenstellung: Die Geschwindigkeit eines Körpers ist für t 1 durch v t = 10 10 gegeben. t 1. Schätze die Länge des im Zeitintervall [1 4] zurückgelegten Weges durch Ober- und Untersumme ab, wobei das
MehrMehrfachintegrale 1-E1. Ma 2 Lubov Vassilevskaya
Mehrfachintegrale 1-E1 1-E2 Mehrfachintegrale c Die Erweiterung des Integralbegriffs führt zu den Mehrfachintegralen, die in den naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen u.a. bei der Berechnung der
MehrAnleitungsaufgaben zu. Analysis III für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe 2011/12 Dr. K. Rothe Anleitungsaufgaben zu Analysis III für Studierende der Ingenieurwissenschaften Aufgabe 1: Für die folgenden Funktionen f : IR 2
MehrAM3: Differenzial- und Integralrechnung im R n. 1 Begriffe. 2 Norm, Konvergenz und Stetigkeit. x 1. x 2. f : x n. aus Platzgründen schreibt man:
AM3: Differenzial- und Integralrechnung im R n 1 Begriffe f : x 1 f 1 (x 1, x 2,..., x n ) x 2... f 2 (x 1, x 2,..., x n )... x n f m (x 1, x 2,..., x n ) }{{}}{{} R n R m aus Platzgründen schreibt man:
MehrAnalysis in mehreren Variablen
Analysis in mehreren Variablen Eine Vorlesung für das Lehramtsstudium Franz Hofbauer WS 9 I. Funktionen in mehreren Variablen Stetigkeit, Integration und Ableitung von Funktion in mehreren Variablen werden
Mehrf(x, y) = 0 Anschaulich bedeutet das, dass der im Rechteck I J = {(x, y) x I, y J}
9 Der Satz über implizite Funktionen 41 9 Der Satz über implizite Funktionen Wir haben bisher Funktionen g( von einer reellen Variablen immer durch Formelausdrücke g( dargestellt Der Zusammenhang zwischen
MehrAnalysis II - 1. Klausur
Analysis II -. Klausur Sommersemester 25 Vorname: Name: Aufgabe Aufgabe 2 Aufgabe 3 Aufgabe 4 Aufgabe 5 Aufgabe 6 Aufgabe 7 Aufgabe 8 Aufgabe 9 Summe Analysis II -. Klausur 2.5.25 Aufgabe 2 Punkte Berechnen
MehrDifferential- und Integralrechnung
Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2016 Differential- und Integralrechnung Schwerpunkte: Differentiation Integration Eigenschaften und Anwendungen Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik
MehrIntegralrechnung. Alexander F,Christoph K, Jasmin L, Dominik M, Monica P & Sarah S. 20. April 2016
Alexander F,Christoph K, Jasmin L, Dominik M, Monica P & Sarah S. 20. April 2016 Alexander F,Christoph K, Jasmin L, Dominik M, Monica P & Sarah S. Riemann-Integral Eine Funktion f : [a, b] R heiÿt Riemann
MehrNichtlineare Gleichungssysteme
Nichtlineare Gleichungssysteme Jetzt: Numerische Behandlung nichtlinearer GS f 1 (x 1,..., x n ) =0. f n (x 1,..., x n ) =0 oder kurz f(x) = 0 mit f : R n R n Bemerkung: Neben dem direkten Entstehen bei
Mehr2 Koordinatentransformationen
Mathematik für Ingenieure III, WS 9/ Mittwoch 8. $Id: transform.tex,v.8 //4 :9: hk Exp $ Koordinatentransformationen. Lineare Koordinatentransformationen Wir überlegen uns dies zunächst im Spezialfall
MehrAM3: Differenzial- und Integralrechnung im R n. 1 Begriffe. 2 Norm, Konvergenz und Stetigkeit. x 1. x 2. f : x n. aus Platzgründen schreibt man:
AM3: Differenzial- und Integralrechnung im R n 1 Begriffe f : x 1 f 1 x 1, x 2,..., x n ) x 2... f 2 x 1, x 2,..., x n )... x n f m x 1, x 2,..., x n ) }{{}}{{} R n R m aus Platzgründen schreibt man: f
MehrElemente der Analysis II
Elemente der Analysis II Kapitel 5: Differentialrechnung im R n Informationen zur Vorlesung: http://www.mathematik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 17. Juni 2009 1 / 31 5.1 Erinnerung Kapitel
MehrAnalysis I. Arbeitsblatt 25. Übungsaufgaben. π x sin x 2 dx.
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 23/24 Analysis I Arbeitsblatt 25 Übungsaufgaben Aufgabe 25.. Berechne das bestimmte Integral π x sin x 2 dx. In den folgenden Aufgaben, bei denen es um die Bestimmung
MehrMathematik. für das Ingenieurstudium. 10 Funktionen mit mehreren Variablen. Jürgen Koch Martin Stämpfle.
10 Funktionen mit mehreren Variablen www.mathematik-fuer-ingenieure.de 2010 und, Esslingen Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des Nachdruckes und der Vervielfältigung
MehrMathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 5. Juni 2016 Definition 5.21 Ist a R, a > 0 und a 1, so bezeichnet man die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion x a x als
MehrAnalysis II. Mehrdimensionale Differenzialund Integralrechnung
Übungen zur Vorlesung Analysis II Aufgaben Mehrdimensionale Differenzialund Integralrechnung gelesen von Prof. Dr. Heinrich Freistühler Martin Gubisch Konstanz, Sommersemester 28 Übungsaufgaben. Aufgabe
MehrProbeklausur zur Analysis 2, SoSe 2017
BERGISCHE UNIVERSITÄT WUPPERTAL 21717 Fakultät 4 - Mathematik und Naturwissenschaften Prof N V Shcherbina Dr T P Pawlaschyk wwwkanauni-wuppertalde Probeklausur zur Analysis 2, SoSe 217 Hinweis Die Lösungen
MehrKlausur HM II/III F 2003 HM II/III : 1
Klausur HM II/III F 3 HM II/III : Aufgabe : (7 Punkte) Untersuchen Sie die Funktion f : R R gegeben durch x 3 y 3 f(x, y) x + y sin, (x, y) (, ) x + y, (x, y) (, ) auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit.
MehrLösung zur Klausur zur Analysis II
Otto von Guericke Universität Magdeburg 9.7.4 Fakultät für Mathematik Lösung zur Klausur zur Analysis II Vorlesung von Prof. L. Tobiska, Sommersemester 4 Bitte benutzen Sie für jede Aufgabe ein eigenes
MehrKapitel 7. Differentialrechnung. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 7 Differentialrechnung 1 / 56
Kapitel 7 Differentialrechnung Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 7 Differentialrechnung 1 / 56 Differenzenquotient Sei f : R R eine Funktion. Der Quotient f x = f (x 0 + x) f (x 0 ) x = f (x)
Mehr1.3 Differenzierbarkeit
1 1.3 Differenzierbarkeit Definition Sei B R n offen, a B, f : B R eine Funktion und v 0 ein beliebiger Vektor im R n. Wenn der Grenzwert D v f(a) := lim t 0 f(a + tv) f(a) t existiert, so bezeichnet man
MehrHöhere Mathematik III für Physiker Analysis 2
Ralitsa Bozhanova Jonas Kindervater Ferienkurs im Anschluss an das Wintersemester 2008 Höhere Mathematik III für Physiker Analysis 2 16. bis 20. Februar 2009 1 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Der
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2016/17): Differential und Integralrechnung 3
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 206/7): Differential und Integralrechnung 3 3. (Herbst 20, Thema 3, Aufgabe 2) Gegeben ist für m R die Funktion f m : ], 2π[ R; f m (x) = Folgende
MehrTechnische Universität München. Probeklausur Lösung SS 2012
Technische Universität München Andreas Wörfel & Carla Zensen Ferienkurs Analysis für Physiker Probeklausur Lösung SS Aufgabe Differenzierbarkeit / Punkte: [4,, 3, 4] Es sei f(x, y) = sin(x3 + y 3 ) x +
MehrMusterlösung zu den Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker II. x 2
Musterlösung zu den Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker II Wiederholungsblatt: Analysis Sommersemester 2011 W. Werner, F. Springer erstellt von: Max Brinkmann Aufgabe 1: Untersuchen Sie, ob die
MehrVorlesung: Analysis II für Ingenieure. Wintersemester 09/10. Michael Karow. Thema: Herleitung der Transformationsformel für Gebietsintegrale
Vorlesung: Analysis II für Ingenieure Wintersemester 9/ Michael Karow Thema: Herleitung der Transformationsformel für Gebietsintegrale Auf den folgenden Seiten wird die Transformationsformel für Gebietsintegrale
MehrVorlesung: Analysis II für Ingenieure. Wintersemester 07/08. Michael Karow. Themen: Niveaumengen und Gradient
Vorlesung: Analysis II für Ingenieure Wintersemester 07/08 Michael Karow Themen: Niveaumengen und Gradient Wir betrachten differenzierbare reellwertige Funktionen f : R n G R, G offen Zur Vereinfachung
Mehri j m f(y )h i h j h m
10 HÖHERE ABLEITUNGEN UND ANWENDUNGEN 56 Speziell für k = 2 ist also f(x 0 + H) = f(x 0 ) + f(x 0 ), H + 1 2 i j f(x 0 )h i h j + R(X 0 ; H) mit R(X 0 ; H) = 1 6 i,j,m=1 i j m f(y )h i h j h m und passendem
Mehr1. Funktionen und Stetigkeit
1. Funktionen und Stetigkeit Um Funktionen mit mehreren Variablen auf ihr Grenzwertverhalten, wie Stetigkeit und Differenzierbarkeit, untersuchen zu können, ist es sinnvoll, sie auf kleinen Umgebungen,
Mehr1 Integrale von Funktionen in mehreren Variablen
$Id: integral.tex,v 1.2 2009/10/28 20:24:48 hk Exp hk $ 1 Integrale von Funktionen in mehreren Variablen 1.1 Das Rieman Integral im R n Im letzten Semester hatten wir die Differentialrechnung auf Funktionen
MehrRückblick auf die letzte Vorlesung
Rückblick auf die letzte Vorlesung 1. Integration (Fortsetzung) 2. Existenz von Integralen auf Quadern und allgemeineren Mengen 3. Satz von Fubini 4. Berechnung von Integralen 5. Volumina 6. Normalgebiete
MehrSerie 4: Gradient und Linearisierung
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik II FS 5 Dr. Ana Cannas Serie 4: Gradient und Linearisierung Bemerkungen: Die Aufgaben der Serie 4 bilden den Fokus der Übungsgruppen vom 7./9. März.. Wir betrachten die
MehrLösungen zu Mathematik I/II
Dr. A. Caspar ETH Zürich, August BIOL-B GES+T PHARM Lösungen zu Mathematik I/II. ( Punkte) a) Wir führen Polynomdivision durch und erhalten (x 3 5) : (x ) = x +x+ 4 x. Also ist g(x) die Asymptote von f(x)
MehrMATHEMATIK 2 FÜR DIE STUDIENGÄNGE CHEMIE UND LEBENSMITTELCHEMIE
Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik MATHEMATIK 2 FÜR DIE STUDIENGÄNGE CHEMIE UND LEBENSMITTELCHEMIE Integralrechnung für Funktionen mehrerer Variablen
Mehr(a), für i = 1,..., n.
.4 Extremwerte Definition Sei M R n eine Teilmenge, f : M R stetig, a M ein Punkt. f hat in a auf M ein relatives (oder lokales) Maximum bzw. ein relatives (oder lokales) Minimum, wenn es eine offene Umgebung
MehrDas heißt, Γ ist der Graph einer Funktion von d 1 Veränderlichen.
Kapitel 2 Der Gaußsche Satz Partielle Differentialgleichung sind typischerweise auf beschränkten Gebieten des R d, d 1, zu lösen. Dabei sind die Eigenschaften dieser Gebiete von Bedeutung, insbesondere
Mehrf(x) = 2 3 x3 + 3x 2 + 4x. Stellen Sie fest ob es sich jeweils um ein lokales Maximum oder Minimum handelt. ( 9 4 ) 8 4
Übungen zur Mathematik II für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Analysis und Lineare Algebra) im Sommersemester 017 Fachbereich Mathematik, Stefan Geschke, Mathias Schacht A: Präsenzaufgaben
MehrLösungen zu Mathematik I/II
Dr. A. Caspar ETH Zürich, Januar D BIOL, D CHAB Lösungen zu Mathematik I/II. ( Punkte) a) Wir benutzen L Hôpital lim x ln(x) L Hôpital x 3 = lim 3x + x L Hôpital = lim x ln(x) x 3x 3 = lim ln(x) x 3 x
Mehr7.4. Gradient, Niveau und Tangentialebenen
7.4. Gradient Niveau und Tangentialebenen Wieder sei f eine differenzierbare Funktion von einer Teilmenge A der Ebene R -dimensionalen Raumes R n ) nach R. (oder des n Der Anstieg von f in einem Punkt
MehrGrundlagen der Mathematik (BSc Maschinenbau)
Priv.-Doz. Dr. J. Ruppenthal Wuppertal, 5.9.7 Grundlagen der Mathematik (BSc Maschinenbau) Aufgabe. (6+8+6 Punkte) a) Zeigen Sie durch Induktion nach n N: n (k ) = n k= b) Stellen Sie die folgenden Mengen
MehrTechnische Universität Berlin
Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik WS /5 G. Bärwol, A. Gündel-vom-Hofe..5 Februar Klausur Analysis II für Ingenieurswissenschaften Lösungsskizze. Aufgabe 6Punkte Bestimmen
MehrKommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler
Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Wintersemester 26/7 (2.3.27). (a) Bestimmen Sie die kartesische Form von z = 5i 2i und z 2 = ( ) 9 3 2 2 i. (b) Bestimmen Sie sämtliche
MehrKapitel 6 Differential- und Integralrechnung in mehreren Variablen
Kapitel 6 Differential- und Integralrechnung in mehreren Variablen Inhaltsverzeichnis FUNKTIONEN IN MEHREREN VARIABLEN... 3 BEISPIELE UND DARSTELLUNGEN... 3 GRENZWERT UND STETIGKEIT (ABSTANDSBEGRIFF)...
Mehr(u, v) z(u, v) u Φ(u, v) (v = const.) Parameterlinie v = const. v Φ(u, v) (u = const.) Parameterlinie u = const.
13 Flächenintegrale 64 13 Flächenintegrale Im letzten Abschnitt haben wir Integrale über Kurven betrachtet. Wir wollen uns nun mit Integralen über Flächen beschäftigen. Wir haben bisher zwei verschiedene
MehrFlächen und ihre Krümmungen
Flächen und ihre Krümmungen Teilnehmer: Levi Borodenko Anna Heinrich Jochen Jacobs Robert Jendersie Tanja Lappe Manuel Radatz Maximilian Rogge Käthe-Kollwitz-Oberschule, Berlin Käthe-Kollwitz-Oberschule,
MehrWenn man den Kreis mit Radius 1 um (0, 0) beschreiben möchte, dann ist. (x, y) ; x 2 + y 2 = 1 }
A Analsis, Woche Implizite Funktionen A Implizite Funktionen in D A3 Wenn man den Kreis mit Radius um, beschreiben möchte, dann ist { x, ; x + = } eine Möglichkeit Oft ist es bequemer, so eine Figur oder
MehrAnalysis II. Vorlesung 44. Partielle Ableitungen
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2015 Analysis II Vorlesung 44 Sei f: K n K eine durch Partielle Ableitungen (x 1,...,x n ) f(x 1,...,x n ) gegebene Abbildung. Betrachtet man für einen fixierten Index
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2014/15): Differential und Integralrechnung 6
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 204/5): Differential und Integralrechnung 6 6. (Frühjahr 2009, Thema, Aufgabe 3) Sei r > 0. Berechnen Sie die Punkte auf der Parabel y = x 2 mit dem
MehrIntegration über allgemeine Integrationsbereiche.
Integration über allgemeine Integrationsbereiche. efinition: Sei R n eine kompakte und messbare Menge. Man nennt Z = { 1,..., m } eine allgemeine Zerlegung von, falls die Mengen k kompakt, messbar und
MehrAnalysis I. 1. Beispielklausur mit Lösungen
Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Analysis I. Beispielklausur mit en Aufgabe. Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe. () Das Bild einer Abbildung F: L M. (2) Eine Cauchy-Folge
MehrAnalysis III. Teil I. Rückblick auf das letzte Semester. Themen aus dem SS Inhalt der letzten Vorlesung aus dem SS.
Analysis III für Studierende der Ingenieurwissenschaften Technische Universität Hamburg-Harburg Reiner Lauterbach Teil I Rückblick auf das letzte Semester Fakultät für Mathematik, Informatik und Naturwissenschaften
MehrTechnische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik SS 13 G. Bärwolff, C. Mehl, G. Penn-Karras
Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik SS 3 G. Bärwolff, C. Mehl, G. Penn-Karras 9..3 Oktober Klausur Analysis II für Ingenieure Rechenteil. Aufgabe Punkte i) Wir berechnen zunächst
MehrB Lösungen. Aufgabe 1 (Begriffe zur Differenziation) Sei (x, y) R 2 Berechnen Sie zur Abbildung. f(x, y) := x sin(xy) f : R 2 R,
B en Aufgabe 1 (Begriffe zur Differenziation) Sei (x, y) R Berechnen Sie zur Abbildung f : R R, f(x, y) : x sin(xy) das totale Differenzial f df, die Jacobi-Matrix J f (x, y) und den Gradienten ( f)(x,
Mehrb) Definieren Sie den Begriff Cauchy-Folge. c) Geben Sie zwei Beispiele für konvergente Folgen und deren jeweilige Grenzwerte an.
Repetitorium zur Ingenieur-Mathematik I, WS 00/ Aufgabe : Bestimmen Sie das quadratische Polynom, auf dessen Graph die Punkte (, 4), (0, ), (, 7) liegen. Aufgabe : a) Wann ist eine Folge konvergent (Definition)?
MehrPrüfer: Dr. M. Lenz, Prof. Dr. M. Rumpf. Klausurdauer: 180 Minuten. Bitte Namen, Vornamen und Matrikel-Nr. einsetzen. Name:... Vorname:...
Klausur zum Modul Ingenieurmathematik II (B22) 20. März 2014 für den Bachelorstudiengang Geodäsie und Geoinformation In der Klausur können 10 Punkte pro Aufgabe, also insgesamt 100 Punkte erreicht werden.
MehrMathematik für Ingenieure A III Wintersemester 2008
1 / 61 Mathematik für Ingenieure A III Wintersemester 2008 J. Michael Fried Lehrstuhl Angewandte Mathematik III 17.10.2008 2 / 61 Wiederholung Parameterintegrale Zweidimensionale Riemann Integrale 3 /
Mehr25. Differenzierbarkeit im Mehrdimensionalen
25 Differenzierbarkeit im Mehrdimensionalen 317 25 Differenzierbarkeit im Mehrdimensionalen Wie im eindimensionalen Fall in Kapitel 10 wollen wir uns nach der Stetigkeit von Abbildungen jetzt mit der Differenzierbarkeit
MehrMehrdimensionale Differentialrechnung Übersicht
Mehrdimensionale Differentialrechnung Übersicht Partielle und Totale Differenzierbarkeit Man kann sich mehrdimensionale Funktionen am Besten für den Fall f : R 2 M R vorstellen Dann lässt sich der Graph
MehrEin Integral einer stetigen Funktion über einem Elementarbereich. lässt sich durch Hintereinanderausführung eindimensionaler Integrationen berechnen:
Satz von Fubini Ein Integral einer stetigen Funktion über einem Elementarbereich V : a j (x 1,..., x j 1 ) x j b j (x 1,..., x j 1 ) lässt sich durch Hintereinanderausführung eindimensionaler Integrationen
MehrHTWD, FB Informatik/Mathematik. Mathematik für Bauingenieure. Wiederholungsaufgaben: Mathematik I
HTWD, FB Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Mathematik I Wiederholung Mathematik für Bauingenieure Wiederholungsaufgaben: Mathematik I Aufgabe : Für die Aussagenverbindung T = (A B) ( A) gebe man
Mehr14.3 Berechnung gekrümmter Flächen
4.3 Berechnung gekrümmter Flächen Gekrümmte Flächen werden berechnet, indem sie als Graph einer Funktion zweier Veränderlicher aufgefasst werden. Fläche des Graphen einer Funktion zweier Veränderlicher
Mehr2 Koordinatentransformationen
$Id: transform.tex,v.7 29//25 2::59 hk Exp $ $Id: kurven.tex,v.2 29//26 3:3:25 hk Exp hk $ 2 Koordinatentransformationen 2.5 Uneigentliche Rieman-Integrale Bisher haben wir das Rieman-Integral nur für
MehrAnalysis 2, Woche 9. Mehrdimensionale Differentialrechnung I. 9.1 Differenzierbarkeit
A Analysis, Woche 9 Mehrdimensionale Differentialrechnung I A 9. Differenzierbarkeit A3 =. (9.) Definition 9. Sei U R m offen, f : U R n eine Funktion und a R m. Die Funktion f heißt differenzierbar in
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Prof. Dr. Simone Warzel Max Lein TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Mathematik 4 für Physik (Analysis 3) Wintersemester 29/2 Lösungsblatt 2 (27..29) Zentralübung 4. Parametrisierung einer
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Differential und Integralrechnung 3
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 25/6): Differential und Integralrechnung 3 3. (Herbst 2, Thema 3, Aufgabe 2) Gegeben ist für m R die Funktion f m : ], 2π[ R; f m (x) = Folgende Tatsachen
Mehr3 Das n-dimensionale Integral
3 Das n-dimensionale Integral Ziel: Wir wollen die Integrationstheorie für f : D R n R entwickeln. Wir wollen den Inhalt (beziehungsweise das Maß ) M einer Punktmenge des R n definieren für eine möglichst
MehrLösungen zur Serie 5
Dr. P. Thurnheer Grundlagen der Mathematik I ETH Zürich D-CHAB, D-BIOL (Analysis B) FS 10 Lösungen zur Serie 5 1. a) Die erste Kurve ist eine Kardioide (Herzkurve). i) Wenn man t durch t erstezt, kriegt
MehrKlausur Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik
Karlsruher Institut für Technologie (KIT Institut für Analysis Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick Breuning WS /3 4.3.3 Klausur Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik Aufgabe ((4+3+3 Punkte a Welche
MehrSBP Mathe Aufbaukurs 3. Imaginäre und komplexe Zahlen. Komplexe Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene. Darstellungen komplexer Zahlen.
SBP Mathe Aufbaukurs 3 # 0 by Clifford Wolf # 0 Antwort Diese Lernkarten sind sorgfältig erstellt worden, erheben aber weder Anspruch auf Richtigkeit noch auf Vollständigkeit. Das Lernen mit Lernkarten
MehrSBP Mathe Aufbaukurs 3 # 0 by Clifford Wolf. SBP Mathe Aufbaukurs 3
SBP Mathe Aufbaukurs 3 # 0 by Clifford Wolf SBP Mathe Aufbaukurs 3 # 0 Antwort Diese Lernkarten sind sorgfältig erstellt worden, erheben aber weder Anspruch auf Richtigkeit noch auf Vollständigkeit. Das
MehrLösung zu den Übungsaufgaben zur Lebesgueschen Integrationstheorie. Tobias Ried
Lösung zu den Übungsaufgaben zur Lebesgueschen Integrationstheorie Tobias Ried. März 2 2 Aufgabe (Messbarkeit der Komposition zweier Abbildungen). Seien (X, A), (Y, B) und (Z, C) Messräume und f : (X,
MehrSchein-Klausur HM II F 2003 HM II : S-1
Schein-Klausur HM II F 3 HM II : S- Aufgabe : Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte: a) lim x ln ( + x) x b) lim (coshx) sin x Lösung: Wir verwenden in beiden Fällen die Regel von de l Hospital. a) Es
Mehr