Rückblick auf die letzte Vorlesung

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1 Rückblick auf die letzte Vorlesung 1. Integration (Fortsetzung) 2. Existenz von Integralen auf Quadern und allgemeineren Mengen 3. Satz von Fubini 4. Berechnung von Integralen 5. Volumina 6. Normalgebiete 7. Pojizierbare Mengen Ausblick auf die heutige Vorlesung 1. Berechnung von Integralen 2. Schwerpunkt 3. Trägheitsmoment 4. Transformationssatz

2 Berechung von Integralen Satz Ist f (x) stetig auf einem Normalbereich = { (x, y) R 2 : a x b g(x) y h(x) } so gilt f (x)dx = b h(x) f (x, y)dydx a g(x) Projizierbare Mengen im R n Bemerkung Analoge Beziehungen gelten für höhere imensionen. Ist R n eine projizierbare Menge, so gilt f (x)dx = B ψ( x) ϕ( x) f (x)dx i d x

3 Berechnung von Integralen II Beispiel Gegeben sei die Funktion f (x, y) := x + 2y Berechne das Integral über der durch zwei Parabeln begrenzten Fläche := {(x, y) : 1 x 1 x 2 y 2 x 2 } Berechnung von Integralen III Beispiel ie Menge ist ein Normalbereich und f (x, y) ist stetig: 1 2 x 2 1 [ f (x, y)dx = (x + 2y)dy dx = xy + y 2 ] 2 x 2 1 x 2 1 x 2 dx = 1 (x(2 x 2 ) + (2 x 2 ) 2 x 3 x 4 )dx 1 = 1 1 ( 2x 3 4x 2 + 2x + 4)dx = 16 3

4 Berechnung von Integralen III Beispiel Zu berechnen ist das Volumen des Rotationsparaboloids: V = {(x, y, z) T : x 2 + y 2 1 x 2 + y 2 z 1}. arstellung von V als Normalbereich V = {(x, y, z) T : x 1 y 1 x 2 x 2 + y 2 z 1}. amit gilt: vol(v) = 1 1 x x 2 1 x 2 +y 2 dzdydx = x 2 (1 x 2 y 2 )dydx 1 x 2 Berechnung von Integralen IV Also hat man vol(v) = (1 x 2 ) 3/2 dx 1 pause = π 2.

5 Allgemeine Integrationsbereiche Sei R n eine kompakte und messbare Menge.Man nennt Z = { 1,..., m } eine allgemeine Zerlegung von, falls die Mengen k kompakt, messbar und zusammenhängend sind und folgende Bedingungen gelten m j = und i j : i j =. j=1 Ferner heißt diam j := sup { x y : x,y } der urchmesser der Menge j und Z := max { diam j : j = 1,...,m } die Feinheit der allgemeinen Zerlegung Z. Riemannsche Summe für allgemeine Zerlegungen efinition Für eine stetige Funktion f : R definiert man die Riemannschen Summen R f (Z) = m f (x j )vol( j ) j=1 mit beliebigen x j j, j = 1,...,m.

6 Riemann Integral und allgemeine Zerlegungen Satz Für jede Folge (Z k ) k N allgemeiner Zerlegungen von mit Z k (k ) und für jede Folge zugehöriger Riemannschen Summen R f (Z k ) gilt: lim R f (Z k ) = f (x)dx k Anwendungen auf Berechnung von Schwerpunkten oder Trägsheitsmomenten A) Schwerpunkt einer Fläche oder eines Körpers: efinition Sei R 2 (bzw. R 3 ) eine messbare Menge, ρ(x), x, eine vorgegebene Massendichte. ann ist der Schwerpunkt der Fläche (bzw. des Körpers) gegeben durch x s := ρ(x)xdx ρ(x)dx as Zählerintegral (über eine vektorwertige Funktion) ist hierbei koordinatenweise zu berechnen.

7 Schwerpunkt einer Pyramide Beispiel Zu berechnen ist der Schwerpunkt der Pyramide P: { P = (x, y, z) T : max( y, z ) ax } 2h, x h. Unter der Annahme konstanter ichte berechnen wir das Volumen von P: vol(p) = h ax 2h ax 2h ax 2h ax 2h dzdydx = h ax 2h ax 2h ax h dydx = h ( ax h ) 2 dx = 1 3 a2 h Schwerpunkt einer Pyramide II Weiter gilt: h ax 2h ax 2h ax 2h ax 2h x y z dzdydx = = = h h ax 2h ax 2h a 2 x 3 h a2 h 2 ax 2 h axy h dx dydx

8 Schwerpunkt einer Pyramide III er Schwerpunkt von P liegt daher im Punkt x s = ( 3 4 h,, )T. Trägheitsmomente von Flächen und Körpern efinition (Trägheitsmoment bezüglich einer Achse) Sei R 2 (bzw. R 3 ) eine messbare Menge, ρ(x) bezeichne für x eine Massendichte und r(x) den Abstand des Punktes x von einer vorgegebenen rehachse. ann besitzt bezüglich dieser Achse das Trägheitsmoment Θ Achse := ρ(x)r 2 (x)dx

9 Trägheitsmomente von Flächen und Körpern II Beispiel Gegeben sei der homogene Zylinder Z: { } Z := (x, y, z) T : x 2 + y 2 r 2, l/2 z l/2 Wir berechnen das Trägheitsmoment bezüglich der x Achse: Θ x Achse = ρ(y 2 + z 2 )d(x, y, z) unter der Annahme konstanter ichte ρ. Z Trägheitsmomente von Flächen und Körpern III Es gilt: Θ x Achse = ρ (y 2 + z 2 )d(x, y, z) = ρ = ρ Z r r 2 x 2 l/2 r r 2 x 2 l/2 r r r 2 x 2 r 2 x 2 (ly (y 2 + z 2 )dzdydx 2 + l3 12 )dydx

10 Trägheitsmomente von Flächen und Körpern IV aher folgt Θ x Achse = ρ πlr2 12 (3r2 + l 2 ). Transformationssatz ies verallgmeinert die Substitutionsregel aus der Analysis II. Satz Sei Φ : U R n, U R n offen, eine C 1 Abbildung. U sei eine kompakte, messbare Menge, so dass Φ auf einen C 1 iffeomorphismus bildet. ann ist auch Φ() kompakt und messbar, und für jede stetige Funktion f : Φ() R gilt: f (x)dx = f (Φ(u)) detjφ(u) du Φ()

11 Transformationssatz II Bemerkung Man beachte, dass im Transformationssatz die Bijektivität von Φ nur auf dem inneren Bereich gefordert wird nicht jedoch auf dem Rand! Schwerpunkt Beispiel Berechne den Schwerpunkt eines homogenen Kugeloktanten: V = {(x, y, z, ) T : x 2 + y 2 + z 2 1 x, y, z } Hier ist es einfacher den Schwerpunkt in Kugelkoordinaten zu berechnen: x r cos ϕ cos ψ y = r sinϕcos ψ = Φ(r, ϕ, ψ) z r sinψ

12 Schwerpunkt II ie Transformation ist auf ganz R 3 definiert und mit [ = [, 1], π ] [, π ] 2 2 gilt Φ() = V. Weiter ist Φ auf der offenen Menge ein C 1 iffeomorphismus und detjφ(r, ϕ, ψ) = r 2 cos ϕ. Schwerpunkt III Nach dem Transformationssatz folgt vol(v) = dx = 1 π/2 π/2 r 2 cos ψdψdϕdr = π 6 V und vol(v) x s = xdx = 1 π/2 π/2 (r cos ϕ cos ψ)r 2 cos ψdψdϕdr V

13 Schwerpunkt IV 1 π/2 π/2 vol(v) x s = r 3 dr cos ϕdϕ cos 2 ψdψ = π 16 araus folgt x s = 3 8. Analog berechnet man y s = z s = 3 8. Trägheitsmomente Beispiel (er Steinersche Satz) Für das Trägheitsmoment eines homogenen Körpers K mit Gesamtmasse m gilt bezüglich einer vorgegebenen rehachse A Θ A = md 2 + Θ S Hierbei ist S die zu A parallele Achse durch den Schwerpunkt x s des Körpers K und d der Abstand des Schwerpunktes x s von der Achse A.

14 Trägheitsmomente Beispiel (er Steinersche Satz Herleitung) Idee zur Herleitung: Setze x := Φ(u) = x s + u. ann gilt: = ρ ( x,x x,a 2 )dx Θ A K = ρ ( x s + u,x s + u x s + u,a 2 )dx wobei := {x x s : x K} Ende 1. Vorlesung