Lösung der Prüfung Sommer 2009

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1 Prof. D. Salamon Analysis I/II D-MATH, D-PHYS, D-CHAB ETH Zürich. Juni 9 Lösung der Prüfung Sommer 9. Berechnen Sie folgende Grenzwerte: (a) (b) Hinweis: Regel von de l Hospital. ( ( )) lim n n cos n lim n n k= Hinweis: Riemannsche Summen. n n + k (a) ( ( )) cos(x) lim n n cos = lim n x x sin(x) = lim x x cos(x) = lim x = (b) lim n n k= n n + k = lim n n = n k= dx + x + ( k n ) = arctan() arctan() = π 4

2 . Wir betrachten die alternierende Reihe k= ( ) k k(log k) a, a. (a) Für welche a konvergiert diese Reihe? (b) Für welche a konvergiert sie absolut? Hinweis: Untersuchen Sie die Summen n+ k= n + ( ) k k(log k) a, n. (a) Die Folge k(log k) a ist für alle a eine Nullfolge, denn k(log k) a = e log k (log k) a. Ausserdem ist sie für grosse k monoton fallend wegen d dx x(log x)a = (log x) a (a + log x) für x e a Nach dem Kriterium von Leibniz konvergiert die Reihe somit für alle a (b) Sei zunächst a. Dann gilt n x n n (log n ) a = (log ) a n a n x n n+ (log n+ ) a = (log ) a (n + ) a Da n a < a >, konvergiert die Reihe absolut für a > und nicht absolut für a. Sie konvergiert ebenfalls nicht absolut für a, da dann k(log k) a k.

3 3. Berechnen Sie folgende Integrale: (a) artanh(x) x dx (b) π cos(t) sin(t) log(sin(t))dt (c) x( + x) dx (a) Da artanh (x) = x ist, gilt Letzte Gleichung: artanh(x) x dx = artanh ( ) (log 3) = 8 c := artanh(/) = ec e c e c + e c ec = 3e c c = log 3 (b) Mit der Substitution x := sin(t), dx = cos(t)dt folgt π cos(t) sin(t) log(sin(t))dt = xlog(x)dx = xdx = 4 (c) Substitution: x := t, dx = tdt. Wegen dx x = dt und arsinh (t) = +t folgt dx = = arsinh() = log( + ) x( + x) + t Letzte Gleichung: c := arsinh() e c e c = e c e c + = e c = + c = log(+ ) 3

4 4. Sei a := und a n := n n a n für n. (a) Berechnen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe a n z n n= Hinweis: Quotientenkriterium. (b) Was ist das Konvergenzverhalten auf dem Rand des Konvergenzgebiets? (a) Es gilt a n z n a n z n = n n z z für n Also konvergiert die Reihe absolut für z < und divergiert für z >. Damit ist ρ =. (b) Für z = ρ = gilt a n z n. Also ist (a n z n ) keine Nullfolge. Daher divergiert die Reihe dort. 4

5 5. Sei f : durch { x f(x) := sin ( ) x, falls x, falls x = definiert. (a) Ist f differenzierbar? (b) Ist f stetig differenzierbar? (a) Ja. Die einzige problematische Stelle ist x =, aber dort gilt f(x) f() x = xsin( ) x x. Also ist f auch an der Stelle x = differenzierbar mit f () =. (b) Nein, denn f (x) = { xsin( x ) cos( x ), falls x, falls x = und damit ist f : unstetig an der Stelle x =. 5

6 6. Sei Ω := { (x, y) x + y < } und f n : Ω durch definiert (für n ). f n (x,y) := (x + y ) n+ n (a) Zeigen Sie, dass f n stetig differenzierbar ist. (b) Konvergiert die Folge (f n ) gleichmässig auf Ω? ( ) ( ) (c) Konvergieren die partiellen Ableitungen fn x und fn y gleichmässig auf Ω? (a) fn x = n+ n (x + y ) n n x und fn y = n+ n (x + y ) n n y sind stetig auf Ω, insbesondere an der Stelle x = y =, da f n (x, y) x, f n y (x,y) n + n r n, r := x + y. (b) Es gilt f(x, y) := lim f n(x,y) = x + y n ist gleichmässig, da (x,y) Ω. Die Konvergenz f(x, y) f n (x,y) = r r + n =: h(r) n + Beweis der letzten Ungleichung: Es gilt h(r) = h(), h(), also nimmt h sein Maximum bei r (,) an. Dort gilt = h (r ) = n + ( ) n n r n n r = n + Es folgt was zu beweisen war. max h = h(r ) = r ( r n ) = r n + n + (c) Nein, da f nicht stetig differenzierbar ist. 6

7 7. (a) Berechnen Sie die Fourier-Koeffizienten ˆf(k) := π π π f(x)e ikx dx der Funktion f(x) := x, π x π. (b) Beweisen Sie Hinweis: Satz von Fejer. k= k = π 6 (c) Beweisen Sie k= Hinweis: Parsevalsche Gleichung. (a) und, für k, ˆf(k) = π = π k 4 = π4 9 ˆf() = π x dx = π π π 3 π π π = kπ π x e ikx dx x cos(kx)dx xsin(kx)dx = k π xcos(kx) π k π = cos(kπ) k = ( )k k π cos(kx)dx (b) Da k= ˆf(k) < konvergiert die Fourier-Reihe absolut. Also gilt nach dem Satz von Fejer also π = k= ˆf(k)e ikx = π 3 + π 3 = k= k= ( ) k 4 k 4 k k= cos(kπ) = π k k = π 6 k= 7

8 (c) π 4 5 = π x 4 dx = π π k= k= ˆf(k) = π k 4 ( k 4 = π4 8 5 ) = π4 9 9 k= 8

9 8. Bestimmen Sie das Minimum und Maximum der Funktion f(x,y) := x 4 x + y auf dem Gebiet B := { (x,y) x + y }. Für y = und < x < gilt f(x,y) <. Für (x,y) B gilt y = x und damit f(x, y) = x 4 x + = (x ) (x,y) B. Also wird das Minimum im Inneren von B angenommen, damit also an einem kritischen Punkt von f. Da f x (x, y) = x(x ) f (x,y) = y y sind die kritischen Punkte (,), (±,) mit Daher gilt f(,) =, f(,) = f(,) = 4 min (x,y) B f(x,y) = 4 Da max B f > ist, wird das Maximum an keinem der kritischen Punkte angenommen. Daher gilt max f(x,y) = max f(x,y) = = f(, ±) (x,y) B (x,y) B 9

10 9. Es bezeichne die euklidische Norm auf dem n. Sei B := { x n x } und f : B n eine C -Abbildung mit f(), df(x) x B. Beweisen Sie: f besitzt genau eine Nullstelle x B und es gilt x f(). Aξ Hinweis: Hier bezeichnet A := sup die zur euklidischen Norm gehörige Matrix-Norm von A n n. Wenden Sie den Banachschen Fixpunktsatz auf ξ n ξ die Abbildung g(x) := x f(x) an. Mit g(x) := x f(x) folgt dg(x) = df(x) dg(x) x B g(x) g(y) x y x,y B Ausserdem x g(x) g(x) g() + g() x + f(). Also ist g : B B eine Kontraktion und somit besitzt g nach dem Banachschen Fixpunktsatz genau einen Fixpunkt x B. Für diesen gilt x = g(x ) = x f(x ), also f(x ) =. Ausserdem x = g(x ) x + f() und somit x f().

11 . Wir betrachten die Differentialgleichung in. ẋ = y ẏ = x x 3 () (a) Finden Sie eine Hamiltonfunktion H :, so dass () die dazugehörige Hamiltonsche Differentialgleichung ist. (b) Welche Lösungen von () sind konstant? (c) Skizzieren Sie die Niveaulinien H (c) = { (x,y) H(x,y) = c }. (d) Zeigen Sie, dass H (c) für jedes c kompakt ist. (e) Welche Lösungen von () sind periodisch? (a) H(x, y) = y x + 4 x4 (b) (x, y) = (,), (,), (, ) (c) : (d) H = c y + 4 (x ) = c + 4 c + 4, y c + 4, x + c + 4 Also ist H (c) abgeschlossen und beschränkt, somit kompakt. (e) Alle Lösungen mit H sind periodisch da H (c) invariant unter dem Fluss von () ist.

12 . Wir betrachten die lineare Differentialgleichung ( 7 ẋ = Ax, A := 5 8 im. ) () (a) Bestimmen Sie die Lösungen x(t) von () mit lim t x(t) =. (b) Bestimmen Sie die Lösungen x(t) von () mit lim x(t) =. t (c) Skizzieren Sie die Lösungen von (). (a)/(b) Die Eigenwerte von A sind die Lösungen λ der Gleichung ( ) λ + 7 = det(λ A) = det = λ λ 6 5 λ 8 (c) : also λ = 3 und λ = Ax = x 7x + x = x 5x + 8x = x x = x Ax = 3x 7x + x = 3x 5x + 8x = 3x x = x Also lim t x(t) = x () = x () lim t x(t) = x () = x ()

13 . Es bezeichne die Euklidische Norm auf 3. Wir betrachten die Menge M := { (x,y,z) 3 x + y = z } (a) Zeigen Sie, dass M eine Untermannigfaltigkeit von 3 ist. (b) Sei q := (3,3,). Zeigen Sie, dass es einen Punkt p M gibt mit q p q p p M. (c) Finden Sie den Punkt p. (a) M = h (), wobei h(x,y,z) := x +y z. Da h(x,y,z) = (x, y, ) (x, y,z) 3 ist ein regulärer Wert von h. (b) Sei p n M eine Folge mit lim n q p n = inf p M q p. Dann ist (p n ) beschränkt und besitzt daher eine konvergente Teilfolge (p ni ) i. Sei p := lim i p ni M (da M abgeschlossen ist). Dann gilt q p = lim q p ni = inf q p i p M (c) Sei f(x, y,z) := ((x 3) + (y 3) + (z ) ). Ist p = (x,y,z) so gibt es ein λ mit = f(x,y,z) + λ h(x,y,z) x 3 + xλ = y 3 + yλ = z λ = x + y = z x = y = 3 +λ 8 (+λ) = z = + λ λ = p = (x,y,z) = (,,) 3

14 3. Sei f : durch definiert. f(x, y) := ( x ) cos(y) e x sin(y) log( + x + y ) (a) Zeigen Sie, dass es einen glatte (d.h. C -) Funktion ϕ : U offenen Umgebung U von gibt, so dass auf einer ϕ() = π, f(x,ϕ(x)) = x U. (b) Berechnen Sie ϕ (). f ist glatt und f x = xcos(y) ex sin(y) log( + x + y ) e x x sin(y) + x + y f y = (x ) sin(y) e x cos(y) log( + x + y ) e x y sin(y) + x + y Es gilt also f(, π) =, f y (, π) = e log( + π ), f (, π) = x (a) Da f(, π) =, Funktionen. (b) Nach der Kettenregel gilt f y (, π), existiert ϕ nach dem Satz über implizite ( ) f ϕ f () = (, π) y x (, π) = e log( + π ). 4

15 4. Sei v : 3 3 das durch v(x, y,z) := (x + e y z, y + e x z,log( + x + y ) z) definierte Vektorfeld und M 3 die Untermannigfaltigkeit { } M := (x, y,z) 3 x + y 4 + z 9 =. Berechnen Sie das Integral 3 das nach aussen gerichtete Einheitsnormalenvektorfeld be- wobei ν : M zeichnet. Es gilt und M v, ν ds div(v) = { M = E, E := (x,y,z) Also gilt nach dem Satz von Gauss v, ν ds = M Nun ist E = ΦB, wobei Φ = Also gilt E 3 } 3 x + y 4 + z 9 dxdydz = µ 3 (E) µ 3 (E) = det Φ µ 3 (B) = 6µ 3 (B) = 8π. und B = { (x,y, z) 3 x + y + z }. 5

16 5. Sei M := { (x,y,z) 3 x + y = z }, G := { (x,y,z) M z }. (a) Berechnen Sie den Flächeninhalt µ (G). (b) Sie M so orientiert, dass die Vektoren e = (,,), e = (,,) eine positive Basis von T (,,) M bilden. Welche Orientierung hat der Rand G (bezüglich der Relativtopologie von M)? (c) Sei ω := dx dy + dy dz + dz dx Ω ( 3 ). Berechnen Sie das Integral ω bezüglich der Orientierung in b). G (a) Es ist M = graph(h) wobei h : D = { (x,y) x + y } h(x,y) := x + y Somit µ (G) = + h D = + 4x + 4y dxdy = π = π 4 D 5 + 4r rdr tdt (b) G = { (x, y,z) positiv. = π 6 t 3 5 = π 6 (5 5 ) 3 x + y = = z } und ( y, x,) T (x,y,) G ist (c) Es ist ω = dα, α := xdy + ydz + zdx und γ(t) := (cos(t),sin(t),) durchläuft G in positiver Richtung. Es folgt π π ω = dα = α = α(γ(t);γ (t))dt = (cos(t) ddt sin(t) + ddt ) cos(t) dt = π G G G 6

17 6. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Gebiets G := { (x, y) y, x + ( y ) } Hinweis: Finden Sie eine Kurve γ : [,π] durchläuft. Benutzen Sie den Satz von Stokes., die den Rand G (einmal) Für (x, y) G gilt x + ( y ) =. Also gibt es ein t [,π), so dass x = cos(t), y = sin(t), d.h. y = ( + sin(t)). Wir definieren mit Nach dem Satz von Stokes gilt µ (G) = dx dy G = xdy γ(t) := (x(t), y(t)) x(t) := cos(t) y(t) := ( + sin(t)) = = = G π π π x(t)ẏ(t)dt cos (t)( + sin(t))dt cos (t)dt + } {{ } =π = π π cos (t) sin(t)dt } {{ } = 7