fj 2 = f n f n+1. fj 2 = 0 2 = 0 = 0 1 = f 0 f 1. f 2 j = f n f n+1 +fn+1 = (f n +f n+1 )f n+1 = f n+2 f n+1 = f n+1 f (n+1)+1.

Transkript

1 Stroppel Musterlösung 4..4, 8min Aufgabe 3 Punkte) Sei f n ) n N die Fibonacci-Folge, die durch f :=, f := und f n+ := f n +f n definiert ist. Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle n N gilt: n fj = f n f n+. j= IA Für n = erhalten wir IH Es gelte fj = = = = f f. j= n fj = f n f n+. j= IS Für n+ erhalten wir n+ n fj = j= j= f j ) }{{} +f n+ =f nf n+ nach IH = f n f n+ +fn+ = f n +f n+ )f n+ = f n+ f n+ = f n+ f n+)+. Seite von

2 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung 4..4, 8min Aufgabe 5 Punkte) Gegeben ist die Funktion x sin x x f: R R: x x = a) Bestimmen Sie die Ableitung von f für x. b) Berechnen Sie den Grenzwert der Folge f ) πn n N. c) Bestimmen Sie mittels Differenzenquotient die Ableitung von f an der Stelle x =. d) Ist f stetig differenzierbar? a) Nach der Produkt- und der Kettenregel berechnen wir für x f x) = xsin )+x x ) cos = xsin x x cos x. x b) Es gilt c) Es gilt lim n f = lim πn n πn sinπn) }{{} f ) = lim h f+h) f) h = ) cosπn) = lim ) =. }{{} n = h sin = lim h) h h = lim h hsin h Nun ist aber lim h h) hsin = lim h h h) sin }{{} also gilt lim h hsin h) =. Alternativ kann der Grenzwert auch in Worten begründet werden: lim h h = Für h konvergiert der Faktor h gegen Null und sin h) ist beschränkt. d) Es ist lim n πn =, aber lim also ist f nicht stetig in. n f = = f ), πn Seite von

3 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung 4..4, 8min Aufgabe 3 6 Punkte) Sei t ein reeller Parameter. Gegeben sei das folgende lineare Gleichungssystem: x+ty +z = x++t)y +t+)z = x+y +tz = a) Bestimmen Sie die Determinante der Koeffizientenmatrix dieses Gleichungssystems. b) Für welche t ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar? c) Bestimmen Sie für jedes t R die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems. a) Die Koeffizientenmatrix dieses linearen Gleichungssystems ist: t +t t+ t Unter Verwendung einiger Gauß-Schritte ergibt sich: t t t det +t t+ = det +t t+ = t+)det t t t t t t t = t+)t )det = t+)t )det = t+)t ) b) Ein lineares Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn die Determinante seiner Koeffizientenmatrix verschieden von Null ist. Hier also für t / {, }. c) Für t / {, } ist das homogene lineare Gleichungssystem eindeutig lösbar und hat deswegen die Lösungsmenge. Seite 3 von

4 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung 4..4, 8min Für die verbleibenden Fälle lösen wir mittels Gauß-Verfahren. Für t = erhalten wir: 3 3 Z Z : Z 3 Z : Z : Z Z : Hieraus ergibt sich L = s s R. Für t = erhalten wir: Z Z : Z 3 Z : Z Z 3 : Z : Z + Z : Es ergibt sich L = s s R. Seite 4 von

5 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung 4..4, 8min Aufgabe 4 4 Punkte) Berechnen Sie jeweils den Wert der folgenden uneigentlichen Integrale: a) b) e x dx lnx)dx a) Es ist b) Wir berechnen e x dx = lim lnx) dx = lim + = lim e x dx = lim [ex ] = lim e e = e. + = lim + lnx) dx ln)+lnx)dx [ ln)x+xlnx) x = lim ln) ) ln) +ln) ) + ] = ln) lim ln) lim + = ln) lim + l Hospital = ln) lim + ln) = ln) lim + ) = ln). Alternativ kann man zur Berechnung des Integrals lnx) dx auch lineare Substitution verwenden und rechnen. lnx)dx = [ ] xlnx) x) + ln)+ lim + = [ ] xlnx) x Seite 5 von

6 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung 4..4, 8min Aufgabe 5 Punkte) Gegeben sei die Quadrik { Q := x,x ) R x x x +x +8 x 4 } x +8 =. Bestimmen Sie die euklidische Normalform und die Gestalt der Quadrik. Geben Sie alle auf dem Weg zur euklidischen Normalform verwendeten Koordinatensysteme an und skizzieren Sie die Quadrik und alle in Zwischenschritten verwendeten Koordinatensysteme im Ausgangskoordinatensystem. Die Gleichung in Matrixschreibweise x Ax+a x+c = lautet ) x x x + 4 ) x +8 =. x Das charakteristische Polynom von A ist χ A λ) = deta λe ) = λ λ = λλ ). Die Eigenwerte von A sind also λ = und λ =. Der Eigenraum zu λ ist der Lösungsraum Vλ ) des LGS [ ]. Dieser Lösungsraum wird aufgespannt durch den normierten Eigenvektor v =. Einen Eigenvektor v zu λ kann man analog durch Lösen des homogenen linearen Gleichungssystems A λ E )x = Ax = bestimmen. Alternativ kann man verwenden, dass A symmetrisch ist: Somit sind die Eigenräume zu λ und λ orthogonal.) Man erhält als normierten Eigenvektor v =. Dies liefert die Transformationsmatrix F :=. Bezüglich des kartesischen Koordinatensystems F = ;v,v ) = ); ), ) hat unsere Quadrik die Gleichung = y F AF)y +F a) y +8 )) = y 4 y + y +8 = y +y +4y +8. Durch quadratische Ergänzung sehen wir, wie wir verschieben müssen, um den linearen Term in y zu beseitigen: y +y +8 = y +6y +9) = y +3). Seite 6 von x

7 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung 4..4, 8min 3 Dies liefert den neuen Ursprung P mit Koordinatenvektor P = und also F P = E P = κ P) = F P = 3 E F F F Wir erhalten das neue Koordinatensystem G = P;v,v ) = In Koordinaten bezüglich G wird die Quadrik beschrieben durch: z +4z =. = ); ) ), ). Durch Multiplikation der Gleichung mit erhalten wir die Gleichung in euklidischer Normalform z +z =. Es handelt sich also um eine Parabel. 6 5 x z G v v 4 3 v y F v x z Q 3 4 y Seite 7 von

8 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung 4..4, 8min Aufgabe 6 3 Punkte) Gegeben sei die lineare Abbildung 3 λ f: R R 3 : λ µ +µ. 3 a) Bestimmen Sie die Matrix von f bezüglich der Standardbasen von R und R 3. b) Untersuchen Sie f auf Injektivität und Surjektivität. a) Es ist ) ) 3 f = und f =. 3 Hieraus ergibt sich die Matrix von f bezüglich der Standardbasen E von R und E 3 von R 3 als b) Alternative : Es ist Bildf) = 3 f = E 3 E. 3 { ) } s s R, also ist f nicht surjektiv, da / Bildf). Es ist f auch nicht injektiv, da f 3 )) = = f )). Alternative : Die lineare Abbildung f ist nicht injektiv, da Die Abbildung ist auch nicht surjektiv, da dimkernf) = dim{s 3 ) s R} =. dimr 3 = 3 = dimbildf) = dimr dimkernf). ) Alternative 3: Die lineare Abbildung f ist nicht injektiv, weil der Rang Rg f = kleiner E3 E als die Zahl der Spalten ist, und nicht surjektiv, weil der Rang kleiner als die Zahl der Zeilen ist. Seite 8 von

9 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung 4..4, 8min Aufgabe 7 8 Punkte) Gegeben sei für jedes α R das Vektorfeld g α : R R x x : α +e x x x x sowie die Parametrisierung des Einheitskreises K cost) C: [,π] R : t. sint) a) Bestimmen Sie, für welche α R das Vektorfeld g α ein Potential hat, und geben Sie für diese α ein Potential an. b) Bestimmen Sie g x) dx und g x) dx. K K x x a) Bestimmung der Rotation: rotg α = g α) x g α) x = α+x x e x x +e x x ) α+x x e x x +e x x ) = α Da R einfach zusammenhängend ist, ist die Existenz eines Potentials äquivalent zu rotg α =. Damit existiert genau dann ein Potential, wenn α = ist. Nun ist für α = noch ein Potential zu bestimmen. Es ist g ) x,x ) = x e x x, also Ux,x ) = g ) x,x )dx = x e x x dx = e x x +cx ). Aus der Bedingung U x x,x ) = g ) x,x ) ergibt sich x e x x +c x x ) = x e x x und somit c x x ) =. Daraus folgt, dass cx ) = C konstant ist. Wir erhalten das Potential U: R R: x,x ) e x x +C, wobei C R eine beliebige Konstante ist. b) Da K ein geschlossener Weg über ein konservatives Vektorfeld also eines mit Potential) ist, ergibt sich sofort g x) dx =. K Es bleibt noch K g x) dx zu berechnen. Dazu wird zuerst C bestimmt: sint) C t) = cost) Seite 9 von

10 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung 4..4, 8min Variante unter Ausnutzung des Potentials). Es gilt x g x,x ) = g x,x )+. Das lässt sich benutzen, um das zu berechnende Integral zu vereinfachen: ) x x g x) dx = g x)+ dx = g x) dx+ dx K K x K } K {{} x = π sint) sint) π = dt = sint)) +cost)) dt cost) cost) = π dt = π. Variante direkte Rechnung). Wir berechnen K g x) dx = = π π π = dt }{{} = π + g Ct)) C t)dt = x π sint)+e cost)sint) sint) cost)+e cost)sint) cost) sint)) sint)) e cost)sint) +cost)) +cost)) e cost)sint) dt = π π π π + cost)) sint)) ) e cost)sint) dt cost)) sint)) ) e cost)sint) dt e = π + cost)sint) cost)sint) dt ] π = π + [e cost)sint) = π +e e ) = π. sint) dt cost) Seite von

11 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung 4..4, 8min Name, Vorname: Nummer: Matrikel- Studiengang: Aufgabe 8 4 Punkte) Bestimmen Sie die Entwicklungspunkte z und die Konvergenzradien ρ folgender Potenzreihen: n= z i) n n n z = i ρ = n+i+z) n z = i ρ = n= 8 n z 3n z = ρ = n= Aufgabe 9 7 Punkte) a) Gegeben sei die Funktion f : R R : x cosx/). Bestimmen Sie die folgenden Ableitungen von f im Punkt x = π: f x ) =, f x ) =, f x ) = Bestimmen Sie das Taylorpolynom der Stufe 3 von f im Punkt x = π. b) Sei D = T 3 f,x,x ) = x π)+ 48 x π)3 {x,y) R 3x+y }. Gegeben sei die Funktion g : D R : x,y) +3x+y. Bestimmen Sie den Gradienten und die Hesse-Matrix von g im Punkt a =,) : 8. gradga) = 3 und Hga) = Bestimmen Sie das Taylorpolynom der Stufe von g im Punkt a =,) : T g,x,y),a) = + 3x+y) 8 9x +6xy +y ) Seite von

12 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung 4..4, 8min Aufgabe 4 Punkte) Gegeben sei die reelle Matrix A =. a) Bestimmen Sie die Spur von A. SpA) = 3 b) Der Vektor,,) ist ein Eigenvektor von A. Bestimmen Sie den zugehörigen Eigenwert λ. λ = 5 c) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom von A. χ A λ) = λ+) 5 λ) d) Welche weiteren Eigenwerte außer λ hat A? Aufgabe 5 Punkte) a) Bestimmen Sie die Partialbruchzerlegung von x+ x 3 +x. x+ x 3 +x = x + x+ x + b) Berechnen Sie x+ x 3 +x dx. x+ x 3 +x dx = [ ln x ] lnx +)+arctanx) Seite von