Mathematik 3 für Informatik

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1 Gunter Ochs Wintersemester 5/6 Mathematik 3 für Informatik Lösungen zum Hausaufgabenblatt Lösungshinweise ohne Garnatie auf Fehlerfreiheit c 5. Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale: a x 4 x + dx 5 x5 x + x + c mit x α dx α+ xα+ und Linearität des Integrals x + x dx 3 3 b x4 dx x 4/3 dx 3 7 x7/3 + c 3 x7 + c 7 x + 4x x + 4x dx x dx + 4 x 3/ dx + 4x dx 3 x x5/ + x + c 3x d + 5 dx 3x / + c mit linearer Substitution y 3x + 5 e sin 3x+4 cos 5x dx sin 3x dx+4 cos 5x dx cos 3x+ 4 sin 5x+c lin. Substitution 3 5 x f + x dx y dy ln y + c ln + x + c Substitution y + x e /x g x dx e y dy e y + c e /x + c mit y dy dx x x h x 3 ln x dx 4 x4 ln x 4 x4 x 4 x4 ln x 4 x3 4 x4 ln x 6 x4 + c 4 x4 ln x 4 + c 7. Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale: d π e a b π x 4 x + dx 5 x5 x + x sin 3x dx cos 3x π cos 3π cos dx c 5x 5 5x x + sin x dx x + cos x + sin x sin π π + cos π sin + cos 4 + π + + π + 5, 4 x 3 4x dx 3 8 4x /3 4 f e /x 3 8 π 63 /3 5 /3 3 5, 83 6, 8 3, 66 8 x dx e/x e e, 7 Zur Bestimmung der Stammfunktionen: a und f siehe Aufgabe 5, b und c mit linearer Substitution, d mit partieller Integration ux x + und v x sin x, e mit Substitution y 4x.

2 . a Bestimmen Sie den Gradienten und die HesseMatrix der Funktion Die partiellen Ableitungen sind f x x, y, z 4x + yz cos xyz, f z x, y, z xy cos xyz + e y+z. f x x, y, z Damit ist grad fx, y, z f y x, y, z f z x, y, z fx, y, z x + sin xyz + e y+z f y x, y, z xz cos xyz + e y+z und 4x + yz cos xyz xz cos xyz + e y+z xy cos xyz + e y+z Durch Berechnung der. partiellen Ableitungen erhält man die HesseMatrix H f f xxx, y, z f xy x, y, z f xz x, y, z f yx x, y, z f yy x, y, z f yz x, y, z f zx x, y, z f zy x, y, z f zz x, y, z 4 y z sin xyz z cos xyz xyz sin xyz y cos xyz xy z sin xyz z cos xyz xyz sin xyz x z sin xyz + e y+z x cos xyz x yz sin xyz + e y+z y cos xyz xy z sin xyz x cos xyz x yz sin xyz + e y+z x y sin xyz + e y+z b Geben Sie den Gradienten an der Stelle x ; y ; z ; ; an. cos grad f; ; cos + e cos + e c Bestimmen Sie an der Stelle x ; y ; z ; ; die Richtungsableitungen in Richtung der Vektoren u ; ;, v ; ; und w 3; ; Mit g grad f; ; ; ; aus b ist ; ; g, u, u v ; ; g, v und w ; ; g, w d Geben Sie die Gleichung für den Tangentialraum an der Stelle x ; y ; z ; ; an. Die allgemeine Gleichung für den Tangentialraum ist T x, y, z fx, y, z + grad fx, y, z, Mit f; ; + sin + e und grad f; ; T x, y, z +, aus b erhält man x y z + x x y y z z x + y + z + e Bestimmen Sie die dritten partiellen Ableitungen f xyz, f xzy und f yxz. f xyz xy f z xzy f yxz x y z cos xyz 3xyz sin xyz die Reihenfolge der Ableitungen ist vertauschbar, daher ist nur eine Rechnung erforderlich.

3 . Gemessen werden Gröÿen x ±, und y ±, 3. Bestimmen Sie mittels einer linearen Approximation des Fehlers, mit welcher Genauigkeit sich daraus a z x y b w 3 + y berechnen lassen. a Aus dz z x dx + z y dy y dx + x dy folgt in linearer Näherung z y x + x y, +, 3, 7. b Aus dz 3x x dx + y 3 +y x 3 +y dy mit Kettenregel folgt z 3 x + x 3 +y x y y 3 4, +, 3, +,, y Sei fx, y e x y + x lny + x + ln. a Bestimmen Sie den Gradienten und die HesseMatrix von f. grad f H f f x f y f xx f xy f yx f yy e x y + lny + x + ln e x y + x y+ e x y + ln e x y + y+ e x y + y+ e x y x y+ b Bestimmen Sie die Gleichung für die Tangentialebene an der Stelle x, y,. x Mit f, und grad f, erhält man T x, y +, y + x y. c Geben Sie an der Stelle x, y, die Richtungsableitungen in Richtung von v und w an., grad f,, v, und, grad f,, w v w,. c Prüfen Sie, ob in x, y, ein lokales Maximum, Minimum oder ein Sattelpunkt vorliegt. Es ist grad f, und H f, det H f, ln <. ln Es folgt, dass f an der Stelle, einen Sattelpunkt hat.

4 6. Bestimmen Sie eine Funktion F x mit F x cosx und F sowie F. Es muss gelten F x cosx dx sinx + c Berechnung mit linearer Substitution, wobei c so zu wählen ist, dass F sin + c, also c. Dann folgt F x sinx + dx cosx + x + c 4, wobei c so zu wählen ist, dass F cos + + c c c 4, also c 3. 4 Somit erfüllt F x 4 cosx + x 3 4 die geforderten Bedingungen. 8. Prüfen Sie, ob die folgenden uneigentlichen Integrale existieren und berechnen Sie sie gegebenenfalls: a x dx Mit y x dy x dx folgt x dx y / dy y + c x + c, wobei der linksseitige Grenzwert lim b b existiert. Es folgt, dass das uneigentliche Integral existiert mit b sin dx x x Mit der Substitution y dy dx erhält man x x b sin dx /b x x sin y dy cos y /b cos b cos mit lim b cos b cos lim b b cos. Es folgt, dass das uneigentliche Integral existiert mit c π cos x dx Hier ist der Integrand an der unteren Grenze x nicht deniert. Mit der Substitution y cos x dy sin x dx erhält man cos x dx cos π cos a y / dy y cos a cos a π a x dx sin dx cos, 46. x x mit lim a cos a lim a cos a cos. Es folgt, dass auch hier das uneigentliche Integral existiert mit π 4. Bestimmen alle lokalen Extremwerte der folgenden Funktionen a fx, y xy + 7y x y, cos x dx. Die partiellen Ableitungen sind f x x, y y 4x und f y x, y x + 7 y. Für grad fx, y muss also gelten y 4x und x + 7 y. Dieses lineare Gleichungssystem hat die eindeutige Lösung x und y 4. die. Gleichung liefert y 4x, dies in die. Gleichung eingesetzt ergibt 7 7x x und somit mit der. Gleichung y 4 4. Um festzustellen, ob es sich um ein lokales Minimum, Maximum oder einen Sattelpunkt handelt, ist die HesseMatrix zu bestimmen: fxx f H f x, y xy 4. Es ist det H f yx f yy f 7 > und f xx ; 4 4 <. Somit liegt an der Stelle x, y ; 4 ein lokales Maximum vor, der zugehörige Funktionswert ist f;

5 b fx, y x 3 3x y + 3xy + y 3 3x y Damit der Gradient der Nullvektor ist, muss gelten fx 3x grad fx, y 6xy + 3y 3 f y 3x + 6xy + 3y f x 3x 6xy + 3y 3 3x 6xy + 3y 3 x xy + y x y x y ± y x ± sowie 3x + 6xy + 3y x + xy + y 7. Für die erste Gleichung gibt es somit zwei Möglichkeiten i y x + und ii y x. Beide können in die zweite Gleiichung eingesetzt werden: Für i erhält man x + x x + + x + 7 x + x + x + x + x + 7 x + 4x 6 x + x 3 x ± + 3 ±. x 3 x Mit y x+ liefert dies zwei Nullstellen des Gradienten und. y y Mit ii wird die zweite Gleichung zu x + x x + x 7 x + x x + x x + 7 x 4x 6 x x 3 x ± + 3 ±, woraus man zwei weitere Nullstellen des Gradienten erhält: x3 x4 und. y 3 y 4 3 Diese vier Kandidaten werden nun in die HesseMatrix fxx f H f xy 6x 6y 6x + 6y eingesetzt: f yx f yy 6x + 6y 6x + 6y H f x, y det H f x, y >. Wegen f xx x, y 6 < liegt ein lokales Maximum vor, der zugehörige Funktionswert ist f 3; H f x, y det H 6 8 f x, y < und 6 6 H f x 3, y 3 det H 6 8 f x 3, y <. Somit bendet sich an den Stellen x, y und x 3, y 3 jeweils ein Sattelpunkt. H f x 4, y det H f x 4, y >. Wegen f xx x, y +6 > liegt ein lokales Minimum vor, der zugehörige Funktionswert ist f3; 34.