Tutorium Mathematik II, M Lösungen

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Ruth Geisler
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1 Tutorium Mathematik II, M Lösungen 24. Mai 2013 *Aufgabe 1. Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen jeweils die Gleichung der Tangentialebene für alle Punkte auf der Fläche. Wann ist die Tangentialebene parallel zur Ebene E? (a) f(x, y) = ln(x 2 y 2 ), E : 2x + y z = 0 (b) f(x, y) = e x( 1 + ln(y) ), (c) f(x, y) = e x( 1 + ln(y) ), E : y + z = 0 Lösung: Die Gleichung der Tangentialebene ist im Allgemeinen z = f(x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ). (a) Wir benötigen zuerst die partiellen Ableitungen von f. Es ist f x (x, y) = 2x und f x 2 y 2 y (x, y) = 2y x 2 y, 2 die Gleichung der Tangentialebene lautet also z = ln() 2 + 2x 0 (x x 2 0 ) 2y 0 (y y 2 0 ). Parallel zur Ebene E ist die Tangentialebene, falls die Normalvektoren parallel sind. Der Normalvektor von E ist (2, 1, 1) t, der der Tangentialebene ist ( f x (x 0, y 0 ), f y (x 0, y 0 ), 1) t. Wir suchen also x 0, y 0 mit f x (x 0, y 0 ) = 2 und f y (x 0, y 0 ) = 1. Aus 2x 0 = 2 und 2y 0 = 1 Die mit * markierten Aufgaben wurden vom Vortragenden präsentiert, die restlichen Aufgaben waren von den Studierenden zu bearbeiten. 1

2 folgt x 0 = und 2y 0 =. Insbesondere ist also x 0 = 2y 0. Setzen wir dies in eine der beiden Gleichungen ein, erhalten wir 2y 0 = 3y0, 2 also y 0 = 2. Daraus ergibt 3 sich x 0 = 4. 3 (b) Die partiellen Ableitungen von f sind f x (x, y) = e x( 1 + ln(y) ) und f y (x, y) = 1 y ex, die Gleichung der Tangentialebene ist daher z = e ( x ln(y 0 ) ) + e ( x ln(y 0 ) ) (x x 0 ) + 1 e x 0 (y y 0 ) y ) 0 = e x 0 (ln(y 0 )(x x 0 + 1) + yy0. Der Normalvektor der x, y-ebene ist (0, 0, 1) t, damit die Tangentialebene also f x (x 0, y 0 ) = f y (x 0, y 0 ) = 0 gelten. Allerdings ist f y nie Null, also ist die Tangentialebene nirgends parallel zur x, y-ebene. (c) Die Gleichung der Tangentialebene wurde bereits im vorigen Aufgabenteil angegeben. Der Normalvektor der Ebene E ist (0, 1, 1) t. Damit der Normalvektor der Tangentialebene f x (x 0, y 0 ) = 0 und f y (x 0, y 0 ) = 1 gelten. Achtung: Im Gegensatz zum ersten Aufgabenteil sind die z- Koordinaten der beiden Normalvektoren diesmal nicht identisch, sondern haben unterschiedliche Vorzeichen. Daher muss das Gleiche auch für die anderen Koordinaten gelten. Aus e x 0 ( 1 + ln(y 0 ) ) = 0 folgt 1 ln(y 0 ) = 0, also y 0 = e 1. Somit ist 1 y 0 e x 0 = 1 e x 0+1 = 1 x = ln(1) = 0 x 0 = 1. 2

3 Aufgabe 2. Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen jeweils die Gleichung der Tangentialebene für alle Punkte auf der Fläche. Wann ist die Tangentialebene parallel zur Ebene E? (a) f(x, y) = xy 2 e x+y, (b) f(x, y) = cos(x + y), E : x + y z = 0 (c) f(x, y) = cos(x + y), E : 2x 3y + z = 0 (d) f(x, y) = ln(x 2 y 2 ), E : 2y z = 0 (e) f(x, y) = x y, (f) f(x, y) = x 2 + xy + 2y 2, E : 6x + 4y + z = 0 (g) f(x, y) = x 2 e y x, (h) f(x, y) = x 2 y 3y, E : 4x + y z = 0 Lösung: (a) Wie in der ersten Aufgabe müssen wir auch hier zuerst die partiellen Ableitungen berechnen. Es ist f x (x, y) = y 2 e x+y + xy 2 e x+y = (x + 1)y 2 e x+y und f y (x, y) = 2xye x+y + xy 2 e x+y = x(y 2 + 2y)e x+y. Die Gleichung der Tangentialebene lautet also z = x 0 y0e 2 x 0+y 0 + (x 0 + 1)y0e 2 x 0+y 0 (x x 0 ) + x 0 (y y 0 )e x 0+y 0 (y y 0 ). Damit die Tangentialebene parallel zur x, y-ebene ist, muss f x (x 0, y 0 ) = 0 und f y (x 0, y 0 ) = 0 gelten. Da e x 0+y 0 nie Null ist, entspricht dies (x 0 + 1)y 2 0 = 0 und x 0 (y y 0 ) = 0. Aus der ersten Gleichung folgt x 0 = 1 oder y 0 = 0. Im Fall y 0 = 0 ist automatisch auch die zweite Gleichung wahr. Im Fall x 0 = 1 muss y y 0 = 0 gelten, also y 0 = 0 oder y 0 = 2. Die gesuchten Punkte sind also alle Punkte der Form (x 0, 0) sowie der Punkt ( 1, 2). 3

4 (b) Die partiellen Ableitungen sind f x (x, y) = sin(x + y) und f y (x, y) = sin(x + y), die Gleichung der Tangentialebene ist also z = cos(x 0 + y 0 ) sin(x 0 + y 0 )(x x 0 ) sin(x 0 + y 0 )(y y 0 ). Der Normalvektor der Ebene E ist (1, 1, 1) t. Damit die Tangentialebene f x (x 0, y 0 ) = 1 und f y (x 0, y 0 ) = 1 gelten, also sin(x 0 + y 0 ) = 1 beziehungsweise sin(x 0 + y 0 ) = 1. Dies ist genau dann der Fall, wenn x 0 + y 0 = 2kπ π mit k Z. 2 (c) Die Gleichung der Tangentialebene ist wie im vorigen Aufgabenteil z = cos(x 0 + y 0 ) sin(x 0 + y 0 )(x x 0 ) sin(x 0 + y 0 )(y y 0 ). Der Normalvektor der Ebene E ist (2, 3, 1) t. Damit die Tangentialebene f x (x 0, y 0 ) = 2 und f y (x 0, y 0 ) = 3 gelten. (Man beachte, dass die z-koordinate des Normalvektors von E 1 und nicht 1 ist.) Da aber die beiden partiellen Ableitungen identisch sind, können nie beide Gleichungen erfüllt sein. Also gibt es keinen Punkt, an dem die Tangentialebene parallel zu E ist. (d) Die Gleichung der Tangentialebene ist z = ln() 2 + 2x 0 (x x 2 0 ) 2y 0 (y y 2 0 ) wie in der ersten Aufgabe berechnet. Der Normalvektor der Ebene E ist (0, 2, 1) t. Damit die Tangentialebene gelten, es ist also f x (x 0, y 0 ) = 0 und f y (x 0, y 0 ) = 2 2x 0 = 0 und 2y 0 = 2. Hieraus folgt x 0 = 0 und somit 2y 0 y 2 0 = 2, also y 0 = 1. 4

5 (e) Die partiellen Ableitungen sind f x (x, y) = yx y 1 und f y (x, y) = ln(x)x y, die Gleichung der Tangentialebene ist also z = x y y 0 x y (x x 0 ) + ln(x 0 )x y 0 0 (y y 0 ). Damit die Tangentialebene parallel zur x, y-ebene ist, muss gelten, also f x (x 0, y 0 ) = f y (x 0, y 0 ) = 0 y 0 x y = 0 und ln(x 0 )x y 0 0. Der Faktor x y 0 0 ist nur dann Null, wenn x 0 = 0, dann ist aber der Logarithmus nicht definiert und somit existiert f y nicht. Also muss ln(x 0 ) Null sein, was genau für x 0 = 1 der Fall ist. Aus der ersten Gleichung folgt y 0 = 0. (f) Die partiellen Ableitungen sind f x (x, y) = 2x + y und f y (x, y) = x + 4y, die Gleichung für die Tangentialebene lautet also z = x x 0 y 0 + 2y (2x 0 + y 0 )(x x 0 ) + (x 0 + 4y 0 )(y y 0 ). Der Normalvektor der Ebene ist ( 6, 4, 1) t. Damit die Tangentialebene f x (x 0, y 0 ) = 6 und f y (x 0, y 0 ) = 4 gelten (Achtung, Vorzeichen!), also 2x 0 + y 0 = 6 und x 0 + 4y 0 = 4. Die einzige Lösung dieses Gleichungssystems ist (x 0, y 0 ) = (4, 2). (g) Die partiellen Ableitungen sind f x (x, y) = 2xe y x + x2 = (2x y)e y x und f y (x, y) = x 2 1 x e y x = xe y x. ( y x 2 ) e y x 5

6 Damit die Tangentialebene parallel zur x, y-ebene verläuft, muss gelten, also Es folgt also x 0 = y 0 = 0. (h) Die partiellen Ableitungen sind f x (x 0, y 0 ) = f y (x 0, y 0 ) = 0 (2x 0 y 0 )e y 0 x 0 = 0 und x 0 e y 0 x 0 = 0. f x (x, y) = 2xy und f y (x, y) = x 2 3, die Gleichung der Tangentialebene ist also z = x 2 0y 0 3y 0 + 2x 0 y 0 (x x 0 ) + (x 2 0 3)(y y 0 ). Der Normalvektor der Ebene E ist (4, 1, 1) t. Damit die Tangentialebene gelten, also f x (x 0, y 0 ) = 4 und f y (x 0, y 0 ) = 1 2x 0 y 0 = 4 und x = 1. Es ist also x 0 = ±2 und daher y 0 = ±1. Die gesuchten Punkte sind also (2, 1) und ( 2, 1). 6

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