Testvorbereitung: Integrierender Faktor

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1 Testvorbereitung: Integrierender Faktor Markus Nemetz, TU Wien, Voraussetzung: Kenntnis der exakten Differentialgleichungen! Theoretische Grundlagen Eine nicht exakte Differentialgleichung in der Form A(x, y) + (x, y)y = 0 geht durch die Multiplikation mit einer Funktion M(x, y) in die exakte Differntialgleichung M(x, y) A(x, y) + M(x, y) (x, y)y = 0 über. M(x, y) ist der integrierende Faktor oder Euler-Multiplikator. Allgemein lautet der Lösungsweg für A(x, y) + (x, y)y = 0 mit integrierendem Faktor vom Typ M(x, y) = m(u(x, y)):. erechnung von A y x. Wenn 0 herauskommt, dann liegt eine exakte Differentialgleichung vor, die wie gehabt gelöst werden kann. (siehe 2.2.) 2. Wenn u(x, y) nicht explizit vorgegeben so versuchen wir ausgehend von folgender Konstellation: Wir prüfen, ob A(x, y) + (x, y)y = 0 A y x nur von x abhängt. Sollte das der Fall sein, setzen wir µ x = A y x µ und erhalten als Lösung dieser Differentialgleichung einen nur von x abhängigen integrierenden Faktor µ. Wir prüfen, ob A y x A nur von y abhängt. Sollte das der Fall sein, setzen wir µ y = A y x µ A und erhalten als Lösung dieser Differentialgleichung einen nur von y abhängigen integrierenden Faktor µ.

2 Wenn der Hinweis vorhanden ist, dass der integrierende Faktor m(x, y) eine bestimmte Gestalt hat, z.. m(x, y) = x a y b, so löst man folgende Gleichung (evtl. ist Koeffizientenvergleich notwendig): d m(x, y) d m(x, y) d A(x, y) A(x, y) (x, y) + m(x, y)( dy dy d(x, y) ) = 0 Sollte keiner der o.g. Punkte zutreffen, so bleibt nur die Auswahl verschiedener Funktionen u(x, y) und dazu erechnung von H(x, y) := Ay x U x Au y Wenn H(x, y) = h(u(x, y)) weiter mit nächstem Schritt, ansonsten anderes u(x, y) wählen. Standard-Ansätze für u(x, y): u(x, y) H(x, y) A x y x A y y x x + y x y xy y 2 + y 2 x 2 y 2 A A y x A A y x +A A y x y ya 2 Ay x x ya 2 Ay x x+ya. erechne m(u) = e h(u) du. M(x, y) = m(u(x, y)) ist der Euler-Multiplikator 4. Lösung der exakten Differentialgleichung M(x, y) A(x, y)+m(x, y) (x, y)y = 0 2 eispielangaben 2. eispiel Quelle: pdf, eispiel. 2.2 eispiel 2 (x 4 + x 2 y 2 ) + (y x + yx )dy = 0 Quelle: (y 2 2x 2) + (2y)dy = 0 2

3 2. eispiel Quelle: (y 2 xy) + (2xy + xy + x 2 )dy = 0 Hinweis: Integrierender Faktor in der Form m(x, y) = x a y b. 2.4 eispiel 4 Quelle: Meyberg und Vachenauer, Höhere Mathematik 2, 4. Auflage, Springer, erlin 200, S. 0, eispiel 2.b., UE Runde, eispiel eispiel 5 Quelle: UE Runde, eispiel 6. Die Differentialgleichung 4 4x 2 y 2 xyy = 0 y + x( x 2 y 2 )dy = 0 ist nicht exakt, aber mittels integrierendem Faktor M(x, y) = (xy) geht sie in eine exakte Dgl. über. Man verifiziere dies und gebe dann die allgemeine Lösung der Differentialgleichung an. 2.6 eispiel 6 Quelle: UE Runde 2, eispiel 0 Man ermittle für die Dgl. 4xy + y 4 + (2x 2 + 5xy )y = 0 Konstante α und β, sodaß der integrierende Faktor M(x, y) = x α y β diese Differentialgleichung in eine exakte überführt und gebe sodann die allgemeine Lösung derselben an.

4 Lösungen. eispiel Quelle: pdf, eispiel. (x 4 + x 2 y 2 ) + (y x + yx )dy = 0 Wir prüfen zunächst die Integrabilitätsbedingung: A(x, y) = x 4 + x 2 y 2, (x, y) = y x + yx, da(x, y) dy da(x, y) = 2x 2 y d (x, y) = y + x 2 y d (x, y) Überprüfen mit Standardansatz Ay x : A y x = 2x2 y y x 2 y y x + yx Der integrierende Faktor hängt nur von x ab, daher: = y x 2 y yx(y 2 + x 2 = y(y2 + x 2 ) yx(y 2 + x 2 ) = x µ x = A y x µ µ x = x µ Diese DGL kann man wie eine trennbare behandeln: µ x µ = x lnµ = lnx + c µ = c x Wir wählen c = und erhalten somit den integrierenden Faktor µ = x, den wir sogleich verifizieren: x (x4 + x 2 y 2 ) + x (y x + yx )dy = 0 (x + xy 2 ) + (y + yx 2 )dy = 0 A(x, y) = x + xy 2, da(x, y) = 2xy (x, y) = y + yx 2, d (x, y) = 2xy da(x, y) d(x, y) = 4

5 erechnen nach der Formel (exakte DGL): ( (x + xy 2 )) y + c (y) = y + yx 2 ( x4 4 + x2 y 2 ) y + c (y) = y + yx 2 }{{ 2 } x 2 y + c (y) = y + yx 2 c (y) = y Allgemeine Lösung: c(y) = y4 4 + c y = x4 4 + x2 y 2 + y4 }{{ 2 } 4 + c 5

6 .2 eispiel 2 Quelle: (y 2 2x 2) + (2y)dy = 0 Wie man sieht ist diese DGL nicht exakt. Wir suchen also einen integrierenden Faktor der diese DGL exakt macht. Wir probieren erst einmal einen Faktor der Form m(x). Es ist A(x, y) = y 2 2x 2 und (x, y) = 2y. Nach ist d m(x, y) d m(x, y) d A(x, y) A(x, y) (x, y) + m(x, y)( d (x, y) ) = 0 d x (y 2 2x 2)0 2ym (x) + m(x)(2y 0) = 0 2ym (x) + 2ym(x) = m (x) = m(x) Also ist bekommen wir nun als integrierenden Faktorm(x) = e x. Somit ist die DGL exakt. Wir verifizieren: e x (y 2 2x 2) + e x 2y = 0 A(x, y) = e x (y 2 da(x, y) 2x 2), = 2ye x dy (x, y) = e x d(x, y) 2y, = 2ye x d x da(x, y) d(x, y) = erechnen nach der Formel (exakte DGL): ( (e x y 2 2xe x 2e x )) y + c (y) = 2ye x Die allgemeine Lösung lautet somit: (e x y 2 + 2e x x 2e x 2e x ) + c (y) = 2ye x }{{} 2ye x + c (y) = 2ye x c(y) = 0 e x y 2 + 2e x x 2e x 2e x = 0 }{{} 6

7 . eispiel Quelle: (y 2 xy) + (2xy + xy + x 2 )dy = 0 Hinweis: Integrierender Faktor in der Form m(x, y) = x a y b. Wir prüfen auf Exaktheit: Nach A(x, y) = y 2 xy, da(x, y) = 2y x (x, y) = 2xy + xy + x 2, d(x, y) = 2y + y d x da(x, y) d (x, y) dy d m(x, y) d m(x, y) d A(x, y) A(x, y) (x, y) + m(x, y)( d (x, y) ) = 0 d x erhalte ich mit A(x, y) = y 2 xy und (x, y) = 2xy + xy + x 2 und m(x, y) = x a y b : (y 2 xy)bx a y ( b ) (2xy + xy + x 2 )ax ( a )y b + x a y b ((2y x) (2y + y)) = 0 bx a y b+ bx a+ y b 2ax a y b+ ax a y b+ + ax a+ y b + 2x a y b+ x a+ y b 2x a y b+ x a y b+ = 0 Die gesamte Gleichung teile ich nun durch x a y b by bx 2ay ay + ax + 2y x 2y y = 0 by ay + 2y y bx + ax x 2ay 2y = 0 Damit diese Gleichung Null wird, müssen sich die Summanden gegenseitig aufheben. Es muss also gelten 2ay 2y = 0. Daraus erhalten wir a =. Ebenso muss bx+ax x = 0 gelten. a kennen wir schon, und b können wir nun auch bestimmen: bx x x = 0, daher b = 2. Zum Test müssen unser a und b auch by ay + 2y y = 0 erfüllen: 2y + y + 2y y = 0. Stimmt! Also ist unser integrierender Faktor m(x, y) = (xy 2 ). Wir verifizieren den integrierenden Faktor durch den Test auf Exaktheit: (xy 2 ) (y2 xy) + (xy 2 ) (2xy + xy + x 2 )dy = 0 A(x, y) = x y, da(x, y) = 2 y 2 (x, y) = 2y + y + x d(x, y) y 2, = 2 y 2 da(x, y) = d(x, y) 7

8 erechnen nach der Formel (exakte DGL): ( ( x y )) y + c (y) = 2y + y + x y 2 Die allgemeine Lösung lautet somit: (lnx x ) y + c (y) = 2y + y y + x y }{{} 2 x y 2 + c (y) = 2y + y + x y 2 c (y) = 2y + y c(y) = y 2 + lny + c lnx x +y 2 + lny + c = 0 y }{{} 8

9 .4 eispiel 4 Quelle: Meyberg und Vachenauer, Höhere Mathematik 2, 4. Auflage, Springer, erlin 200, S. 0, eispiel 2.b., UE Runde, eispiel 7.4. Exaktheitstest ( original -Funktion) 4 4x 2 y 2 xyy = 0 A = 4 4x 2 y 2, = xy y x y = 2y x = y.4.2 Euler-Multiplikator finden und Exaktheitstest Standardansatz für m(x) = x: Ay x m(x) = e A y x darf lt. Angabe nur von x abhängig sein: A y x = m(x) = e 2y + y xy x = e = x ln x = nur von x abh. = e ln x (e ln x = x) x Exaktheitstest mit neuer Funktion: A = x (4 4x 2 y 2 ) = x ( xy) y = x y = 2y x x = 2y x 9

10 .4. Lösung der nun exakten Differentialgleichung U(x, y) = x (4 4x 2 y 2 ) + x ( xy)y = 0 U x = A, U y = A(x, y) + c(y) = (4 4x 2 y 2 ) + c(y) = x 4x 4x 5 x + c(y) = 6x 2 2 x8 + 2 x2 y 2 + c(y) U y (x, y) = (6x 2 2 x8 + 2 x2 y 2 ) y + c (y) = x 2 y x 2 y + c (y) = x 2 y c (y) = 6x 2 y c(y) = 2 y 2 6x 2 2 x8 + 2 x2 y 2 x 2 y + c = 0 6x 2 2 x8 2 x2 y 2 + c = 0 0

11 .5 eispiel 5 Quelle: UE Runde, eispiel 6. Die Differentialgleichung y + x( x 2 y 2 )dy = 0 ist nicht exakt, aber mittels integrierendem Faktor M(x, y) = (xy) geht sie in eine exakte Dgl. über. Man verifiziere dies und gebe dann die allgemeine Lösung der Differentialgleichung an..5. Exaktheitstest ( original -Funktion) A = y, = x ( x 2 y 2 ) y x y = x = 6xy2.5.2 Exaktheitstest (Funktion mit integrierendem Faktor M(x, y) = (xy) multipliziert) A = x y 2 = x2 y 2 x 2 y y = x y = 2 x y x = 2 x y

12 .5. Lösung der nun exakten Differentialgleichung U(x, y) = U x = A, U y = A(x, y) + c(y) = x y 2 = 2x 2 y 2 + c(y) U y (x, y) = ( 2x 2 y 2) y + c (y) = x 2 y y x 2 y + c (y) = x 2 y y c(y) = ln(y) c (y) = y U(x, y) = 2x 2 y 2 + c(y) = 2x 2 y 2 ln(y) 2

13 .6 eispiel 6 Quelle: UE Runde 2, eispiel 0 Man ermittle für die Dgl. 4xy + y 4 + (2x 2 + 5xy )y = 0 Konstante α und β, sodaß der integrierende Faktor M(x, y) = x α y β diese Differentialgleichung in eine exakte überführt und gebe sodann die allgemeine Lösung derselben an. Die Differentialgleichung (nicht exakt) hat die allgemeine Form A(x, y) + (x, y)y = 0 und wird durch die Multiplikation mit einem Faktor µ(x, y) zu einer exakten Differentialgleichung: µ(x, y)a(x, y) + µ(x, y)(x, y)y = 0 µ(x, y)a(x, y) = p(x, y) = F x µ(x, y)(x, y) = q(x, y) = F y Ich sehe nicht, wo die Differentialgleichung kein nicht zusammenhängendes Gebiet umfasst und kann daher sagen: F xy = F yx µ y A + µa y = µ x + µ x Das wäre eine partielle Differentialgleichung. Ordnung, die zu lösen wäre - aber der Hinweis ist ja da: µ = x α y β. Konkret sieht die Lösung wie folgt aus: F x = µ A = 4x α+ y β+ + x α y β+4 F y = µ = 2x α+2 y β + 5x α+ y β+ F xy = F yx 4 (β + ) x α+ y β + (β + 4) x α y β+ = 2 (α + 2) x α+ y β + 5 (α + ) x α y β+ Durchführung des Koeffizientenvergleichs (Lösung des Gleichungssystems): 4 (β + ) = 2 (α + 2) (β + 4) = 5 (α + ) α = 2, β =, M x = 4x y 2 + y 2 y 4, M y = 2x 4 y + 5x y 4 F(x,y) = x 4 y 2 + x y 5 + C