Exakte Differentialgleichungen
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- Katja Raske
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1 Exakte Differentialgleichungen M. Vock Universität Heidelberg Seminar Mathematische Modellierung am
2 Gliederung Differentialgleichungen eine erste Begegnung Definition Gewöhnliche DGL Die exakte Differentialgleichung Definition Exakte Differentialgleichung und Einführung Lösungsmethode Randbedingungen Zusammenfassung Heutige Ergebnisse Ausblick (Wunschzettel)
3 Gliederung Differentialgleichungen eine erste Begegnung Definition Gewöhnliche DGL Die exakte Differentialgleichung Definition Exakte Differentialgleichung und Einführung Lösungsmethode Randbedingungen Zusammenfassung Heutige Ergebnisse Ausblick (Wunschzettel)
4 Gewöhnliche DGL Definition: Ω R R n+1, n N und f : Ω R C 0 f ( x, y, y, y,..., y (n)) = 0 heißt gew. DGL n ten Grades Lösungen: n mal stetig diff bare Fktnen y
5 Gewöhnliche DGL Definition: Ω R R n+1, n N und f : Ω R C 0 f ( x, y, y, y,..., y (n)) = 0 heißt gew. DGL n ten Grades Lösungen: n mal stetig diff bare Fktnen y
6 Gewöhnliche DGL Definition: Ω R R n+1, n N und f : Ω R C 0 f ( x, y, y, y,..., y (n)) = 0 heißt gew. DGL n ten Grades Lösungen: n mal stetig diff bare Fktnen y
7 Lösbarkeit Satz von Picard Lindelöf: Globale / Lokale Lösbarkeit Verwendet Lipschitz Bedingung in der zweiten Variablen Liefert Eindeutigkeit mit Heute nicht benötigt
8 Lösbarkeit Satz von Picard Lindelöf: Globale / Lokale Lösbarkeit Verwendet Lipschitz Bedingung in der zweiten Variablen Liefert Eindeutigkeit mit Heute nicht benötigt
9 Lösbarkeit Satz von Picard Lindelöf: Globale / Lokale Lösbarkeit Verwendet Lipschitz Bedingung in der zweiten Variablen Liefert Eindeutigkeit mit Heute nicht benötigt
10 Lösbarkeit Satz von Picard Lindelöf: Globale / Lokale Lösbarkeit Verwendet Lipschitz Bedingung in der zweiten Variablen Liefert Eindeutigkeit mit Heute nicht benötigt
11 Gliederung Differentialgleichungen eine erste Begegnung Definition Gewöhnliche DGL Die exakte Differentialgleichung Definition Exakte Differentialgleichung und Einführung Lösungsmethode Randbedingungen Zusammenfassung Heutige Ergebnisse Ausblick (Wunschzettel)
12 Definition Gewöhnliche Differentialgleichung Form: Erfüllt: p(x, y(x)) + q(x, y(x)) dy dx = 0 F x = p und F y = q (Hier ist F C 1 und heißt Potentialfunktion )
13 Definition Gewöhnliche Differentialgleichung Form: Erfüllt: p(x, y(x)) + q(x, y(x)) dy dx = 0 F x = p und F y = q (Hier ist F C 1 und heißt Potentialfunktion )
14 Definition Gewöhnliche Differentialgleichung Form: Erfüllt: p(x, y(x)) + q(x, y(x)) dy dx = 0 F x = p und F y = q (Hier ist F C 1 und heißt Potentialfunktion )
15 Erste Aufgabe Etwas zum selber denken : Sei E := (P, Q) elektr. Feld (x-y Ebene). E hat Potential U mit E = grad U. Was fällt auf? Benutze Äquipotentiallinien U(x, y(x)) = c bzw. U(x(y), y) = c; leite ab (Kettenregel!).
16 Erste Aufgabe Etwas zum selber denken : Sei E := (P, Q) elektr. Feld (x-y Ebene). E hat Potential U mit E = grad U. Was fällt auf? Benutze Äquipotentiallinien U(x, y(x)) = c bzw. U(x(y), y) = c; leite ab (Kettenregel!).
17 Erste Aufgabe Etwas zum selber denken : Sei E := (P, Q) elektr. Feld (x-y Ebene). E hat Potential U mit E = grad U. Was fällt auf? Benutze Äquipotentiallinien U(x, y(x)) = c bzw. U(x(y), y) = c; leite ab (Kettenregel!).
18 Erste Aufgabe Etwas zum selber denken : Sei E := (P, Q) elektr. Feld (x-y Ebene). E hat Potential U mit E = grad U. Was fällt auf? Benutze Äquipotentiallinien U(x, y(x)) = c bzw. U(x(y), y) = c; leite ab (Kettenregel!).
19 Lösung d Ableiten: dx U(x, y(x)) = 0 = U x(x, y(x)) + U y (x, y(x)) dy dx, nach y analog. Wegen E = grad U ist P = U x und Q = U y Also genügen x, y den Differentialgleichungen P(x, y) + Q(x, y) dy dx = 0 bzw. P(x, y)dx + Q(x, y) = 0 dy Das heißt: x bzw. y sind Lösungen einer exakten DGL
20 Lösung d Ableiten: dx U(x, y(x)) = 0 = U x(x, y(x)) + U y (x, y(x)) dy dx, nach y analog. Wegen E = grad U ist P = U x und Q = U y Also genügen x, y den Differentialgleichungen P(x, y) + Q(x, y) dy dx = 0 bzw. P(x, y)dx + Q(x, y) = 0 dy Das heißt: x bzw. y sind Lösungen einer exakten DGL
21 Lösung d Ableiten: dx U(x, y(x)) = 0 = U x(x, y(x)) + U y (x, y(x)) dy dx, nach y analog. Wegen E = grad U ist P = U x und Q = U y Also genügen x, y den Differentialgleichungen P(x, y) + Q(x, y) dy dx = 0 bzw. P(x, y)dx + Q(x, y) = 0 dy Das heißt: x bzw. y sind Lösungen einer exakten DGL
22 Lösung d Ableiten: dx U(x, y(x)) = 0 = U x(x, y(x)) + U y (x, y(x)) dy dx, nach y analog. Wegen E = grad U ist P = U x und Q = U y Also genügen x, y den Differentialgleichungen P(x, y) + Q(x, y) dy dx = 0 bzw. P(x, y)dx + Q(x, y) = 0 dy Das heißt: x bzw. y sind Lösungen einer exakten DGL
23 Fazit / Motivation der ex. DGL Wir sehen: Exakte DGL sind (hauptsächlich) aus Physik motiviert Lösungen sind konservative Felder
24 Fazit / Motivation der ex. DGL Wir sehen: Exakte DGL sind (hauptsächlich) aus Physik motiviert Lösungen sind konservative Felder
25 Gliederung Differentialgleichungen eine erste Begegnung Definition Gewöhnliche DGL Die exakte Differentialgleichung Definition Exakte Differentialgleichung und Einführung Lösungsmethode Randbedingungen Zusammenfassung Heutige Ergebnisse Ausblick (Wunschzettel)
26 Idee Felder legen Idee nahe: Finde Potential F mit F x = P und F y = Q.
27 Idee Felder legen Idee nahe: Finde Potential F mit F x = P und F y = Q.
28 Herleitung Setzt voraus, dass Exaktheit bekannt ist F(x, y) = P(x, y)dx + ϕ(y) (hier ist ϕ die Integrationskonstante, die nicht von x abhängt. Integration liefert ϕ. F y (x, y) = Q(x, y) = y dϕ (y) = Q(x, y) dy y P(x, y)dx + dϕ dy (y) P(x, y)dx
29 Herleitung Setzt voraus, dass Exaktheit bekannt ist F(x, y) = P(x, y)dx + ϕ(y) (hier ist ϕ die Integrationskonstante, die nicht von x abhängt. Integration liefert ϕ. F y (x, y) = Q(x, y) = y dϕ (y) = Q(x, y) dy y P(x, y)dx + dϕ dy (y) P(x, y)dx
30 Herleitung Setzt voraus, dass Exaktheit bekannt ist F(x, y) = P(x, y)dx + ϕ(y) (hier ist ϕ die Integrationskonstante, die nicht von x abhängt. Integration liefert ϕ. F y (x, y) = Q(x, y) = y dϕ (y) = Q(x, y) dy y P(x, y)dx + dϕ dy (y) P(x, y)dx
31 Herleitung Setzt voraus, dass Exaktheit bekannt ist F(x, y) = P(x, y)dx + ϕ(y) (hier ist ϕ die Integrationskonstante, die nicht von x abhängt. Integration liefert ϕ. F y (x, y) = Q(x, y) = y dϕ (y) = Q(x, y) dy y P(x, y)dx + dϕ dy (y) P(x, y)dx
32 Herleitung Setzt voraus, dass Exaktheit bekannt ist F(x, y) = P(x, y)dx + ϕ(y) (hier ist ϕ die Integrationskonstante, die nicht von x abhängt. Integration liefert ϕ. F y (x, y) = Q(x, y) = y dϕ (y) = Q(x, y) dy y P(x, y)dx + dϕ dy (y) P(x, y)dx
33 Kriterium für Exaktheit Betrachte F (x, y) = P(x, y)dx + ϕ(y), diff nach x: x Q = x F y(x, y) = P(x, y)dx x y }{{} = y x = P(x, y) y R P(x,y)dx + d dϕ dx dy (y) }{{} =0 Q x = P y Das ist das Kriterium ( Integrabilitätsbedingung ).
34 Kriterium für Exaktheit Betrachte F (x, y) = P(x, y)dx + ϕ(y), diff nach x: x Q = x F y(x, y) = P(x, y)dx x y }{{} = y x = P(x, y) y R P(x,y)dx + d dϕ dx dy (y) }{{} =0 Q x = P y Das ist das Kriterium ( Integrabilitätsbedingung ).
35 Kriterium für Exaktheit Betrachte F (x, y) = P(x, y)dx + ϕ(y), diff nach x: x Q = x F y(x, y) = P(x, y)dx x y }{{} = y x = P(x, y) y R P(x,y)dx + d dϕ dx dy (y) }{{} =0 Q x = P y Das ist das Kriterium ( Integrabilitätsbedingung ).
36 Kriterium für Exaktheit Betrachte F (x, y) = P(x, y)dx + ϕ(y), diff nach x: x Q = x F y(x, y) = P(x, y)dx x y }{{} = y x = P(x, y) y R P(x,y)dx + d dϕ dx dy (y) }{{} =0 Q x = P y Das ist das Kriterium ( Integrabilitätsbedingung ).
37 Beispiel Euler suchte 1670/71 die Lösung für die DGL 3x 2 2ax + ay 3y 2 y + axy = 0 Man prüfe auf Exaktheit und bestätige sein Ergebnis: x 3 axx + axy y 3
38 Beispiel Euler suchte 1670/71 die Lösung für die DGL 3x 2 2ax + ay 3y 2 y + axy = 0 Man prüfe auf Exaktheit und bestätige sein Ergebnis: x 3 axx + axy y 3
39 Gliederung Differentialgleichungen eine erste Begegnung Definition Gewöhnliche DGL Die exakte Differentialgleichung Definition Exakte Differentialgleichung und Einführung Lösungsmethode Randbedingungen Zusammenfassung Heutige Ergebnisse Ausblick (Wunschzettel)
40 Einarbeiten der Randbedingungen Randbedingung: y(x 0 ) = y 0 Wir wissen: F(x, y(x)) = const. Löse also die Gleichung F (x, y(x)) = F(x 0, y 0 ) nach y (bzw. zur Not nach x) auf. Ist Q(x 0, y 0 ) 0, ist die Lösung in einer Umgebung von x 0 eind. und stetig diff bar.
41 Einarbeiten der Randbedingungen Randbedingung: y(x 0 ) = y 0 Wir wissen: F(x, y(x)) = const. Löse also die Gleichung F (x, y(x)) = F(x 0, y 0 ) nach y (bzw. zur Not nach x) auf. Ist Q(x 0, y 0 ) 0, ist die Lösung in einer Umgebung von x 0 eind. und stetig diff bar.
42 Einarbeiten der Randbedingungen Randbedingung: y(x 0 ) = y 0 Wir wissen: F(x, y(x)) = const. Löse also die Gleichung F (x, y(x)) = F(x 0, y 0 ) nach y (bzw. zur Not nach x) auf. Ist Q(x 0, y 0 ) 0, ist die Lösung in einer Umgebung von x 0 eind. und stetig diff bar.
43 Einarbeiten der Randbedingungen Randbedingung: y(x 0 ) = y 0 Wir wissen: F(x, y(x)) = const. Löse also die Gleichung F (x, y(x)) = F(x 0, y 0 ) nach y (bzw. zur Not nach x) auf. Ist Q(x 0, y 0 ) 0, ist die Lösung in einer Umgebung von x 0 eind. und stetig diff bar.
44 Beispiel (2xe y 1) + ( x 2 e y + 1 ) dy dx Hinweis: löse geschickt auf! = 0; y(1) = 0
45 Beispiel (2xe y 1) + ( x 2 e y + 1 ) dy dx Hinweis: löse geschickt auf! = 0; y(1) = 0
46 Lösung Prüfe auf Exaktheit: P y = 2xey = Q x F(x, y) = (2xe y 1) dx + ϕ(y) = x 2 e y x + ϕ(y) F y (x, y) = x 2 e y + dϕ dy = x 2 e y + 1 Also dϕ dy = 1, und damit können wir ϕ = y nehmen. Gesuchte Stammfunktion: F(x, y) = x 2 e y x + y. Auflösen nach x (!) ergibt: x(y) = 1 2 e y ( ye y ) für 4ye y 1.
47 Lösung Prüfe auf Exaktheit: P y = 2xey = Q x F(x, y) = (2xe y 1) dx + ϕ(y) = x 2 e y x + ϕ(y) F y (x, y) = x 2 e y + dϕ dy = x 2 e y + 1 Also dϕ dy = 1, und damit können wir ϕ = y nehmen. Gesuchte Stammfunktion: F(x, y) = x 2 e y x + y. Auflösen nach x (!) ergibt: x(y) = 1 2 e y ( ye y ) für 4ye y 1.
48 Lösung Prüfe auf Exaktheit: P y = 2xey = Q x F(x, y) = (2xe y 1) dx + ϕ(y) = x 2 e y x + ϕ(y) F y (x, y) = x 2 e y + dϕ dy = x 2 e y + 1 Also dϕ dy = 1, und damit können wir ϕ = y nehmen. Gesuchte Stammfunktion: F(x, y) = x 2 e y x + y. Auflösen nach x (!) ergibt: x(y) = 1 2 e y ( ye y ) für 4ye y 1.
49 Lösung Prüfe auf Exaktheit: P y = 2xey = Q x F(x, y) = (2xe y 1) dx + ϕ(y) = x 2 e y x + ϕ(y) F y (x, y) = x 2 e y + dϕ dy = x 2 e y + 1 Also dϕ dy = 1, und damit können wir ϕ = y nehmen. Gesuchte Stammfunktion: F(x, y) = x 2 e y x + y. Auflösen nach x (!) ergibt: x(y) = 1 2 e y ( ye y ) für 4ye y 1.
50 Lösung Prüfe auf Exaktheit: P y = 2xey = Q x F(x, y) = (2xe y 1) dx + ϕ(y) = x 2 e y x + ϕ(y) F y (x, y) = x 2 e y + dϕ dy = x 2 e y + 1 Also dϕ dy = 1, und damit können wir ϕ = y nehmen. Gesuchte Stammfunktion: F(x, y) = x 2 e y x + y. Auflösen nach x (!) ergibt: x(y) = 1 2 e y ( ye y ) für 4ye y 1.
51 Lösung Prüfe auf Exaktheit: P y = 2xey = Q x F(x, y) = (2xe y 1) dx + ϕ(y) = x 2 e y x + ϕ(y) F y (x, y) = x 2 e y + dϕ dy = x 2 e y + 1 Also dϕ dy = 1, und damit können wir ϕ = y nehmen. Gesuchte Stammfunktion: F(x, y) = x 2 e y x + y. Auflösen nach x (!) ergibt: x(y) = 1 2 e y ( ye y ) für 4ye y 1.
52 Gliederung Differentialgleichungen eine erste Begegnung Definition Gewöhnliche DGL Die exakte Differentialgleichung Definition Exakte Differentialgleichung und Einführung Lösungsmethode Randbedingungen Zusammenfassung Heutige Ergebnisse Ausblick (Wunschzettel)
53 Zusammenfassung Wir wissen (grob), was eine Differentialgleichung ist. Wir können jetzt die exakte Differentialgleichung erkennen und lösen und Randbedingungen einarbeiten.
54 Zusammenfassung Wir wissen (grob), was eine Differentialgleichung ist. Wir können jetzt die exakte Differentialgleichung erkennen und lösen und Randbedingungen einarbeiten.
55 Zusammenfassung Wir wissen (grob), was eine Differentialgleichung ist. Wir können jetzt die exakte Differentialgleichung erkennen und lösen und Randbedingungen einarbeiten.
56 Gliederung Differentialgleichungen eine erste Begegnung Definition Gewöhnliche DGL Die exakte Differentialgleichung Definition Exakte Differentialgleichung und Einführung Lösungsmethode Randbedingungen Zusammenfassung Heutige Ergebnisse Ausblick (Wunschzettel)
57 Ausblick Allgemeinere Gleichungen verschließen sich uns noch völlig. Further reading : Integrierender Faktor Lineare DGL usw....
58 Ausblick Allgemeinere Gleichungen verschließen sich uns noch völlig. Further reading : Integrierender Faktor Lineare DGL usw....
59 Ausblick Allgemeinere Gleichungen verschließen sich uns noch völlig. Further reading : Integrierender Faktor Lineare DGL usw....
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