Differentialgleichungen. Aufgaben mit Lösungen. Jörg Gayler, Lubov Vassilevskaya

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1 Differentialgleichungen Aufgaben mit Lösungen Jörg Gayler, Lubov Vassilevskaya

2 ii Inhaltsverzeichnis. Tabelle unbestimmter Integrale iii.. Integrale mit Eponentialfunktionen iii.. Integrale trigonometrischer Funktionen iv... Integrale mit Sinusfunktionen iv... Integrale mit Kosinusfunktionen iv. Gewöhnliche Differentialgleichungen (DGL): Grundbegriffe Gewöhnliche Differentialgleichungen. Ordnung Integration durch Trennung der Variablen Integration durch Substitution Integration einer Differentialgleichung vom Typ y = f (y/) Variation der Konstanten Die Bernoulli-Differentialgleichung Gewöhnliche Differentialgleichungen. Ordnung Homogene lineare DGL. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Gewöhnliche Differentialgleichungen, Grundbegriffe: Lösungen Gewöhnliche Differentialgleichungen. Ordnung Integration durch Trennung der Variablen Integration durch Substitution Variation der Konstanten Die Bernoulli-Differentialgleichung Gewöhnliche Differentialgleichungen. Ordnung Homogene lineare DGL. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

3 iii Tabelle unbestimmter Integrale. Tabelle unbestimmter Integrale n = cos n+ n + = tan, sinh = cosh, cosh = tanh, (n ), = ln sin = cot cosh = sinh sinh = coth a + = a arctan (a 0) a a = a ln a + a (a 0, a ) a ± a = ± ln a ± = arcsin a (a > 0) ± a = ln + ± a (a > 0) a ± = ± a ± (a > 0) a = ± a = a + a arcsin a (a > 0) ± a ± a ln + ± a (a > 0).. Integrale mit Eponentialfunktionen e = e, a = a ln a e a = a ea () e a = ea (a ) a (3) ( e a = e a a a + ) a 3 (4) ()

4 Tabelle unbestimmter Integrale + e a = a ln e a + e a (5) b + ce a = b ab ln (b + cea ) (6) e a b + ce a = ac ln (b + cea ) (7).. Integrale trigonometrischer Funktionen... Integrale mit Sinusfunktionen... Integrale mit Kosinusfunktionen sin (a) = cos (a) (8) a sin (a) = sin (a) (9) 4a sin 3 (a) = a cos (a) + 3a cos3 (a) (0) sin 4 (a) = 3 8 sin (a) + sin (4a) () 4a 3a sin (a) cos (a) sin (a) = a () a sin (a) = ( sin (a) a a ) a 3 cos (a) (3) sin (a) = cot (a) (4) a cos (a) = a cos (a) = + 4a cos 3 (a) = a sin (a) (5) sin (a) (6) sin (a) 3a sin3 (a) (7) cos 4 (a) = sin (a) + sin (4a) (8) 4a 3a cos (a) sin (a) cos (a) = a + (9) a cos (a) = ( cos (a) a a ) a 3 sin (a) (0) cos (a) = tan (a) () a

5 Gewöhnliche Differentialgleichungen. Ordnung. Gewöhnliche Differentialgleichungen (DGL): Grundbegriffe A Eine Differentialgleichung ist gegeben. Prüfen Sie, ob gegebene Funktion die Lösung der DGL ist.. y + + y = 0, y () = C. y + y + y = 0, y ( + C) = 3. ( 3 ) y + ( ) y 3 = 0, y () = 4. y = y + e, y () = ( e + C ) + 5. = ln y + sin y, = ln t + sin t, y = t ( + sin t) + cos t 3. Gewöhnliche Differentialgleichungen. Ordnung 3.. Integration durch Trennung der Variablen Die Differenzialgleichung. Ordnung mit getrennten Variablen hat die Gestalt = f () g (y) () die Variablen und y sind insofern getrennt, als die rechte Seite von Eq () ein Produkt zweier Faktoren ist, von denen der eine allein von, der andere allein von y abhängt. Ganz speziell haben die folgenden Differenzialgleichungen getrennte Variablen = f (), g (y) =, (3) = g (y), f () =, (4) = f () y, homogene lineare Differenzialgleichung (5) Wie schreiben Differenzialgleichung () in der Form g (y) = f () (6) Satz Sei f () im Intervall I und g (y) im Intervall I y stetig, ferner sei g (y) dort ständig 0. Ist nun 0 in I und y 0 in I y, so ist die Anfangswertaufgabe = f () g (y), y ( 0) = y 0 (7) in einer hinreichend kleinen Umgebung von 0 eindeutig lösbar g (y) = f () + C (8) Die Integrationskonstante ist so zu wählen, dass die Anfangsbedingung erfüllt wird. Für die Lösung einer Differenzialgleichung durch Trennung der Variablen gibt es folgendes Schema:

6 Gewöhnliche Differentialgleichungen. Ordnung Erster Schritt: Man bringt die Differenzialgleichung Eq () auf die Form Eq (6) Zweiter Schritt: g (y) = f () g (y) = f () Man integriert diese Gleichung g (y) = f () Dritter Schritt: Man löst die Gleichung nach y auf, erhält die allgemeine Lösung y (, C) und passt die Lösung der Anfangsbedingung an. Lösen Sie folgende Anfangsprobleme durch Trennung der Variablen A. ( ) + 3 y = 0, y () =. y = (y ), y (0) = 3. y + (y ) = 0, y (0) = A3. y = 0, a) y ( 3) =, b) y () = 5. y = + 4 3, a) y () =, b) y ( 3) = 3 3. y = 4 + y, a) y (0) =, b) y () = 3 A4 Beispiel: y 3 = y 5 3 = y 5, u = y 5, du =, = du ln du u = y 5 C 3, ln u = y 5 = 3, y 5 = 3 + ln C ln y 5 = + ln C = y 5 = C e y = C e +.5, C = C Allgemeine Lösung: y = C e +.5 Aufgaben:. y = + y, y ( ) =. 4 y = 3 y, y () = 3. ( ) y = 3 y, a) y (0) =, b) y (0) =

7 Gewöhnliche Differentialgleichungen. Ordnung 3.. Integration durch Substitution A5. y = 4 y, a) y () = 4, b) y (0) =. y = + y, a) y (0) =, b) y ( ) = Integration einer Differentialgleichung vom Typ y = f (y/) In einigen Fällen ist es möglich, eine eplizite Differenzialgleichung. Ordnung y = f (, y) mit Hilfe einer geeigneten Substitution auf eine separable Differenzialgleichung. Ordnung zurückzuführen, die dann durch Trennung der Variablen gelöst werden kann. In diesem Abschnitt behandeln wir Differenzialgleichungen von Typ ( y y = f ) Eine Differenzialgleichung von diesem Typ wird durch die Substitution u = y, d.h. y = u gelöst. Wir differenzieren diese Gleichung nach und erhalten: y = u + u = u + u (wiederum sind y und u Funktionen von ). Da y = f (u) ist, geht die Differenzialgleichung y = f (y/) schließlich in die separable Differenzialgleichung u + u = f (u) oder u = f (u) u über, die durch Trennung der Variablen gelöst werden kann. Anschließend erfolgt die Rücksubstitution. A6 Beispiel: ( y) + = 0 ( y ) + = 0 y = + y u = y, y = u, y = = u + du = u + u y = + u u + u = + u u = u = du =, u = ln + C, y = ln + C, y = (C ln ) Aufgaben:. y = y (ln y ln ). = (y y + )

8 Gewöhnliche Differentialgleichungen. Ordnung A7. y = + y. y = y + y A8 Beispiel: y = y e y, a) y () = 0, b) y () = y = y e y, u + u = u e u, u = + eu u = y, y = u, y = u + u du + e u = ln e u ( C + e u = ln + ln C = ln ln + e u = ln ( C ) ln + e u = C + e u, C = + e u, e u = y = ln C C = ln Allgemeine Lösung: a) y () = 0 : y = ln b) y () = : y = ln ( C ) = ln ( ) C ) (Eq. (6)) C C = ln = ln C, C = C C y = ln 3 C (e + ) Aufgaben:. y = y e y, a) y () = 0, b) y () =. y = y e y, a) y () = 0, b) y () = 3. y = y + 3 e y, y () = 0 4. y = y 4 e y, a) y () = 0, b) y () =

9 Gewöhnliche Differentialgleichungen. Ordnung 3.3. Variation der Konstanten A9. y + y = m e n, y (0) =, a) m = n =, b) m =, n =, c) m =, n =. y + y = sin (m), y (π) =, a) m =, b) m = 3. y + m y =, y () =, a) m =, b) m =, c) m = 4 4. y + m y =, y () = 0, a) m =, b) m = 5. y y = m, y () =, a) m =, b) m =, c) m = Die Bernoulli-Differentialgleichung Die Bernoulli-Differentialgleichung ist eine Differentialgleichung, die sich auf lineare zurückführen lässt. Eine Differentialgleichung vom Typ y + p() y = q() y n (9) mit n 0, heißt Bernoulli-Differentialgleichung. Wir schließen mit den Bedingungen an die Konstante n die bisher bekannten Fälle aus (mit n = 0, n = ist die Gleichung Eq. (9) linear). Die Bernoulli-Differentialgleichung (9) ist eine nichtlineare Differentialgleichung erster Ordnung. Mit welcher Substitution kann man die Bernoulli-Differentialgleichung auf eine lineare Differentialgleichung zurückführen? Zunächst würde man versuchen, in (9) die beiden Potenzen von y zusammenzufassen, dies gelingt durch Multiplikation mit y n und führt zu y n. Damit wird die anzuwendende Substitution plausibel: u = y n (y 0), u = ( n) y n y (30) Wir dividieren die beiden Seiten der Gleichung (9) durch y n : y n y + p() y n = q() y = u ( n) y n = n u y n n u + p() u = q() u + ( n) p() u = ( n) q() A0 Beispiel: Wir bestimmen die Lösung der DGL: y + y = y Diese Gleichung ist eine Bernoulli-Differenzialgleichung (9): y + p() y = q() y n.

10 Gewöhnliche Differentialgleichungen. Ordnung Mit der Substitution n =, u = y n = y (y 0), u = ( n) y n y, u = y y kann man die Bernoulli-Differenzialgleichung auf eine lineare Differenzialgleichung zurückführen ( y + y = y ) y y y + y = u + u = u du = (u ) u = ln u = + ln C ln u C = u = + C e y = + C e, y = + C e Aufgaben: Bestimmen Sie die Lösungen folgender Bernoulli-Differenzialgleichungen: a) y y = 3y, y (0) =, y (0) = b) y + y = y, y (0) = c) y + y = 3 y, y (0) =, y (0) = 3 A Beispiel: y y = y : y y y y = n =, u = y n = y, u = y y u + u = u + u = 0 u = u du = u du u = ln u = ln + ln C = ln C u = C C(), C C(), u = u = C(), u = C () C() 3 u + u = C () u = C() C() 3 + C() 3 = C () = 4, C() = C = C y = C = 5 + 5C 5, y = C Aufgaben: a) y y = y, y () =, y () = b) y y = 43 y, y () =, y () = c) y y = 4 y, y () =, y () =

11 Gewöhnliche Differentialgleichungen. Ordnung 4. Gewöhnliche Differentialgleichungen. Ordnung 4.. Homogene lineare DGL. Ordnung mit konstanten Koeffizienten A Lösen Sie folgende DGL. Ordnung mit konstanten Koeffizienten a) y y + 5y = 0, y (0) =, y (0) = b) y y + 0y = 0, y (0) =, y (0) = 0 c) y + 4y + y = 0, y (0) = 0, y (0) = d) y + 6y + 9y = 0, y (0) =, y (0) = e) y + 4y + 4y = 0, y (0) =, y (0) = f ) y + 4y 3y = 0, y (0) =, y (0) = 0

12 Gewöhnliche Differentialgleichungen. Ordnung 5. Gewöhnliche Differentialgleichungen, Grundbegriffe: Lösungen L 5. = ln y + sin y, = ln t + sin t, y = t ( + sin t) + cos t y = y = y (t) (t) (t) = t + cos t, y (t) = + sin t sin t + t ( + cos t) = + t cos t y = + t cos t = + t cos t = t, t > 0 + cos t ( + t cos t) t t ln t + sin t = ln t + sin t 6. Gewöhnliche Differentialgleichungen. Ordnung 6.. Integration durch Trennung der Variablen L. ( ) + 3 y = 0, y () = ( ) + 3 y = 0, ( ) + y 3 = C Allgemeine Lösung: ( ) + y 3 = C y () = : C =, ( ) + y 3 =. y = (y ), y (0) = y =, ln y = + ln C, ln y C = Allgemeine Lösung: y = + C e y (0) = : C =, y = e 3. y + (y ) = 0, y (0) = y =, ln y = ln C Allgemeine Lösung: y = + C e 3 3 y (0) = : C = 4, y = 4 e 3 3

13 Gewöhnliche Differentialgleichungen. Ordnung L3. y = 0, a) y ( 3) =, b) y () = 5 Allgemeine Lösung: a) y ( 3) = : y = 3 3 y = C + 0, b) y () = 5 : y = y = + 4 3, a) y () =, b) y ( 3) = 3 Allgemeine Lösung: y = C a) y () = : y = b) y ( 3) = 3 : y = y = 4 + y, a) y (0) =, b) y () = 3 Allgemeine Lösung: y = C e 4 a) y (0) = : y = 5 e 4, b) y () = 3 : y = 7 e e 4 = 7 e 4 L4. y = + y, y ( ) = Allgemeine Lösung: y = C e y ( ) = : y = 3 e e = 3 e. 4 y = 3 y, y () = Allgemeine Lösung: y = C e y () = : y = ( ) e ( ) y = 3 y, a) y (0) =, b) y (0) = Allgemeine Lösung: y = 3 + C +, a) y (0) = : y = 3 7 +, b) y (0) = : y =

14 Gewöhnliche Differentialgleichungen. Ordnung 6.. Integration durch Substitution L5. y = 4 y, a) y () = 4, b) y (0) = u = 4 y, du = 4 u = 4 y y = 4 y = u in Eq. u = 4 y einsetzen: u = 4 u du = 4 u, du 4 u =, ln (4 u) = + ln C, 4 u = C e weiter folgt die Rücksubstitution Allgemeine Lösung: y = C e a) y () = 4 : y = 4 4, b) y (0) = : y = e y = + y, a) y (0) =, b) y ( ) = 3 Allgemeine Lösung: y = C e a) y (0) = : y = 3 e, b) y ( ) = 3 : y = e + L6. y = y (ln y ln ) y = y ln y = u ln u u = y, y = u, y = = u + du = u + u u = du = u (ln u ) du u (ln u ) = v = ln u, v = dv du = u, du = u dv, dv v = ln v = ln + ln C = ln C, v = C ln u = C ln y = + C, y = e+c, y = e +C ( y ). = (y y + ) y y = +, u = y u + u = u u +, u = u u + = (u ) u, (u ) = du dτ (u ) =, τ =, τ = u, dτ = du τ = ln C, τ = ln C y = ln C y = ln C

15 Gewöhnliche Differentialgleichungen. Ordnung L7 ( y ). y = + y, y y = +, u =, (u + u ) = + u u = ( + u ) u = ( u + u ) = (u ) u = (u ) du = (u ), dτ τ =, τ = ln + ln C = y = ln C, y = ln C du (u ) = ln C, τ = ln C, τ = u. y = y + y y = y + ( y ) u = y, y = u, y = u + u u + u = u + ln u + y + u, du = u, u = ln C, u + u = C, y = C, y = ± y = C y, du u = y + ( y ) = ( C y ), y = ( y ) = C ( C + ) C Bei der Trennung der Variablen haben wir durch Wurzel u dividiert und dabei Löseungen mit Wurzel u verloren.

16 Gewöhnliche Differentialgleichungen. Ordnung L8. y = y e y, a) y () = 0, b) y () = Allgemeine Lösung: y = ln (C ) = ln a) y () = 0 : y = ln b) y () = : y = ln ( + e) C. y = y e y, a) y () = 0, b) y () = ( ( ) ) Allgemeine Lösung: y = ln e C + C = ( ) ( ) a) y () = 0 : y = ln = ln ( ) ( + e b) y () = : y = ln = ln + e ( ( ) ) ln ec C ) 3. y = y + 3 e y, y () = 0 ( ) ( 3 Allgemeine Lösung: y = ln C 3 = ln 3 C ) 3 3 ( ) ( 3 y () = 0 : y = ln + 3 = ln 3 + ) y = y 4 e y, y () = 0 Allgemeine Lösung: ( ) 4 y = ln C 4 ( ) 4 a) y () = 0 : y = ln 5 4 ( ( )) 4 b) y () = : y = + ln (4 + e) 4 e

17 Gewöhnliche Differentialgleichungen. Ordnung 6.3. Variation der Konstanten L9. a) m = n = : y + y = e, y = ( + C) e y (0) = : y = ( + ) e b) m =, n = : y + y = e, y = ( e + C ) e y (0) = : y = ( e ) e c) m =, n = : y + y = e, y = ( + C) e y (0) = : y = ( + ) e. a) m = : y + y = sin, y = (sin cos + C) y (π) = : y = (sin cos ) b) m = : y + y = sin (), y = 4 (sin () cos () + 4 C) y (π) = : y = 4 sin () cos () + 3π 3. a) m = : y + y =, y = C, y () = : y = 3 b) m = : y + y =, y = 3 + C, y () = : y = c) m = 4 : y + 4 y =, y = 5 + C 4, y () = : y = a) m = : y + y =, y = 4 + C, y () = 0 : y = 4 4 b) m = : y y =, y = (ln + C), y () = 0 : y = ln 5. a) m = : y y =, y = (ln + C), y () = : y = (ln + ) b) m = : y y =, y = ( + C), y () = : y = c) m = 3 : y y = 3, y = 3 + C, y () = : y = 3 +

18 Gewöhnliche Differentialgleichungen. Ordnung 6.4. Die Bernoulli-Differentialgleichung L0 y + p () y = q () y, n =, u = y n = y, u = ( n) y n y = y y a) p () =, q () = 3, y y = 3y u + u = 3 y (0) = u (0) =, u = y = 3 e y = 3 e y (0) = u (0) =, u = y = 3 5e y = 3 5 e b) p () =, q () =, y + y = y u u = y = + C e, y (0) = : y = e c) p () =, q () = 3, y + y = 3 y u u = 3 du homogene lineare DGL: u u = 0, u =, ln u = u = C e, C C (), u = C () e in DGL: u u = 3 + ln C C () e = 3, C () = 3 e ( ) C () = 3 e = z e z dz = e z ( z) + C = e ( + ) + C z = u = C () e = + + C e, y = y (0) = : y = + e + + C e, y (0) = 3 : y = e L a) y y = y, p () =, q () = : y = y () =, y = 4, y () =, y = 3 C 4 b) y y = 43 y, p () =, q () = : y = 5 C y () =, y =, y () =, y = c) y y = 4 y, p () =, q () = 3 4 : y = 3 C y () =, y =, y () =, y =

19 Gewöhnliche Differentialgleichungen. Ordnung 7. Gewöhnliche Differentialgleichungen. Ordnung 7.. Homogene lineare DGL. Ordnung mit konstanten Koeffizienten L a) y y + 5y = 0, y (0) =, y (0) = y () = (C sin () + C cos ()) e y (0) =, y (0) = : y () = e cos () b) y y + 0y = 0, y (0) =, y (0) = 0 y () = (C sin (3) + C cos (3)) e y (0) =, y (0) = 0 : y () = ( 3 ) sin (3) + cos (3) e c) y + 4y + y = 0, y (0) = 0, y (0) = y () = ( C sin ( ) + C cos ( ) ) e y (0) = 0, y (0) = : y () = e sin ( ) d) y + 6y + 9y = 0, y (0) =, y (0) = y () = (C + C ) e 3 y (0) =, y (0) = : y () = ( + 4) e 3 e) y + 4y + 4y = 0, y (0) =, y (0) = y () = (C + C ) e y (0) =, y (0) = : y () = e f ) y + 4y 3y = 0, y (0) =, y (0) = 0 y () = C e ( + 7) + C e (+ 7) ( y (0) =, y (0) = 0 : y () = + ) 7 e ( + ( 7) + ) e (+ 7) 7