Mathematik 1 für Naturwissenschaften
|
|
- Innozenz Frei
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Hans Walser Mathematik 1 für Naturwissenschaften Modul 112 Lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung
2 Hans Walser: Modul 112, Lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung ii Inhalt 1 Lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung Beispiele Allgemeiner Fall Erster Fall: zwei reelle Lösungen Zweiter Fall: eine reelle Lösung Dritter Fall: keine reelle Lösung Dritter Fall: komplexe Bearbeitung Physikalische Anwendungen Das Federpendel Beispiel Gedämpfte Schwingung Bremswirkung durch Luftreibung Stoßdämpfer Zusammenfassung Lineare homogene Differenzialgleichung zweiter Ordnung Physikalische Anwendungen Modul 112 für die Lehrveranstaltung Mathematik 1 für Naturwissenschaften Winter 2002/03 Probeausgabe Winter 2003/04 Ergänzungen, Fehlerkorrekturen, neue Moduleinteilung Winter 2004/05 Technische Überarbeitung Winter 2005/06 Geändertes Layout. Fehlerkorrekturen Winter 2006/07 MathType Herbst 2007 Geändertes Layout. Kleine Ergänzung. Fehlerkorrekturen Herbst 2009 Fehlerkorrektur Herbst 2013 Ergänzung und Straffung last modified: 23. September 2013 Hans Walser Mathematisches Institut, Rheinsprung 21, 4051 Basel
3 Hans Walser: Modul 112, Lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung 1 1 Lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung 1.1 Beispiele Beispiel 1 Differenzialgleichung: y Lösung: Kontrolle: ( t) = 0 y( t) = At + B Beispiel 2 Differenzialgleichung: y ( t) = Lösung: Kontrolle: y( t) = Ae t + Be t
4 Hans Walser: Modul 112, Lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung 2 Beispiel 3 Differenzialgleichung: y Lösung: Kontrolle: ( t) = y( t) = sin( t) oder y( t) = cos( t), allgemein: y( t) = Asin( t) + Bcos( t) Bemerkung Wir haben zwei Konstanten, A und B. Wir werden sehen, dass wir deshalb auch zwei Anfangsbedingungen benötigen, zum Beispiel y 0 y 0 und. 1.2 Allgemeiner Fall Wir untersuchen die homogene lineare Differenzialgleichung zweiter Ordnung: a y + b y + cy = 0 Versuch: y = e λt. Durch Einsetzen in die Differenzialgleichung erhalten wir: soll a y + b y + cy = aλ 2 e λt + bλe λt + ce λt = e λt ( aλ 2 + bλ + c) = 0 Wegen e λt 0 ist dies nur möglich, wenn der Klammerausdruck ( aλ 2 + bλ + c) Null wird. Wir erhalten die so genannte charakteristische Gleichung: aλ 2 + bλ + c = 0 Diese quadratische Gleichung hat entweder zwei verschiedene reelle Lösungen oder eine reelle (Doppel-)Lösung oder keine reelle Lösungen (sondern zwei konjugiert komplexe Lösungen). Für den dritten Fall erinnern wir uns an die Eulersche Formel: e iϕ = cos( ϕ) + i sin( ϕ)
5 Hans Walser: Modul 112, Lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung 3 In diesem Fall werden also die Funktionen cos und sin zur Lösung führen. Wir haben diesen Fall schon im Beispiel mit den Luchsen und Hasen angetroffen. Wir werden nun die drei Fälle systematisch untersuchen Erster Fall: zwei reelle Lösungen Es sei a y + b y + cy = 0 mit b 2 4ac > 0. Die charakteristische Gleichung aλ 2 + bλ + c = 0 hat die beiden Lösungen: λ 1 = b+ b2 4ac und λ 2 = b b2 4ac Für die Differenzialgleichung a y + b y + cy = 0 erhalten wir die allgemeine Lösung: Kontrolle: y( t) = Ae λ 1t + Be λ 2 t Beispiel Differenzialgleichung: 2 y 10 y + 12y = 0 Anfangsbedingungen: y 0 Wir erhalten: = 7 und y ( 0) = 19
6 Hans Walser: Modul 112, Lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung 4 Also: y( t) = 5e 3t + 2e 2t Lösungskurve y( t) = 5e 3t + 2e 2t, Kontrolle der Anfangsbedingungen Zweiter Fall: eine reelle Lösung Es sei a y + b y + cy = 0 mit b 2 4ac = 0. Die charakteristische Gleichung aλ 2 + bλ + c = 0 hat die Lösung: λ 0 = b Für die Differenzialgleichung a y + b y + cy = 0 erhalten wir die allgemeine Lösung: Kontrolle: y( t) = ( At + B)e λ 0t
7 Hans Walser: Modul 112, Lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung Beispiel Differenzialgleichung: 3 y 30 y + 75y = 0 Anfangsbedingungen: y 0 Wir erhalten: = 3 und y ( 0) = 13 Also: y( t) = ( 2t + 3)e 5t Lösungskurve y( t) = ( 2t + 3)e 5t
8 Hans Walser: Modul 112, Lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung Dritter Fall: keine reelle Lösung Es sei a y + b y + cy = 0 mit b 2 4ac < 0. Die charakteristische Gleichung aλ 2 + bλ + c = 0 hat keine reelle Lösung. Wir erinnern uns an den Sonderfall y = y, also y + y = 0 mit der charakteristischen Gleichung λ = 0, welche nur die beiden komplexen Lösungen λ = ±i hat. Andererseits fanden wir für diesen Sonderfall die Lösung = Asin( t) + Bcos( t). Dies macht für den allgemeinen Fall a y + b y + cy = 0 mit b 2 4ac < 0 folgende Lösung plausibel: (der Ausdruck unter der Wurzel ist nun posi- Wir definieren: ρ = b und ω = tiv!) 4ac b2 Damit erhalten wir für die Differenzialgleichung a y + b y + cy = 0 folgende allgemeine Lösung: = e ρt Asin( ωt) + Bcos( ωt) Die Kontrolle ist ziemlich aufwändig und wird der geduldigen Leserin / dem geduldigen Leser anheim gestellt Dritter Fall: komplexe Bearbeitung Die charakteristische Gleichung aλ 2 + bλ + c = 0 hat die beiden Lösungen λ 1 = b+ b2 4ac und λ 2 = b b2 4ac Da die Radikanden negativ sind, haben wir keine reellen Lösungen. Mit unseren Definitionen ρ = b und ω = gen: 4ac b2 erhalten wir die beiden konjugiert komplexen Lösun- λ 1 = ρ + iω und λ 2 = ρ iω Wir schreiben nun die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung in der Form: y( t) = ( C + id)e λ 1t + ( C id)e λ 2 t Die aus den reellen Zahlen C und D zusammengesetzten Koeffizienten C + id und C id sind ebenfalls konjugiert komplex. Damit erreichen wir, dass die Lösungsfunktion reell wird. Wir haben nun: y( t) = ( C + id)e ( ρ+iω )t + ( C id)e ( ρ iω )t y( t) = ( C + id)e ρt e iωt + ( C id)e ρt e iωt = e ρt C + id e iωt + ( C id )e iωt
9 Hans Walser: Modul 112, Lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung 7 Die eckige Klammer bearbeiten wir separat. Zunächst ist auf Grund der Eulerschen Formel: ( C + id)e iωt + ( C id )e iωt cos( ωt) + i sin( ωt) = C + id + C id cos( ωt ) + i sin( ωt ) Da der Kosinus eine gerade und der Sinus eine ungerade Funktion ist, erhalten wir: ( + i sin( ωt) ) + ( C id) cos( ωt ) + i sin( ωt ) cos( ωt) + i sin( ωt) cos( ωt) i sin( ωt) ( C + id) cos ωt = C + id Ausmultiplizieren und Vereinfachen ergibt: ( C + id) cos ωt C cos ωt = +C cos ωt = 2C cos ωt Somit erhalten wir: + C id ( + i sin( ωt) ) + ( C id) cos( ωt) i sin( ωt) + Ci sin( ωt) + id cos( ωt) Dsin ( ωt ) Ci sin( ωt) id cos( ωt) Dsin( ωt) 2Dsin( ωt) = e ρt 2C cos( ωt) 2Dsin( ωt) Das hat dieselbe Form wie unsere oben angegeben Lösung: = e ρt Asin( ωt) + Bcos( ωt) Beispiel Differenzialgleichung: 32 y 8 y + 113y = 0 Anfangsbedingungen: y 0 Wir erhalten: = 3 und y ( 0) = 3 2
10 Hans Walser: Modul 112, Lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung 8 Wir erhalten (mit Umrechnung auf eine einzige Schwingung): = e 1 8 t sin 15 8 t ( 3cos( 15 8 t )) = e 1 8 t 10 sin( 15 t + arctan ( 3 ) 8 ) Lösungskurve ( 3cos( 15 8 t )) = 10 e 1 8 t sin( 15 t + arctan ( 3 ) 8 ) = e 1 8 t sin 15 8 t 2 Physikalische Anwendungen 2.1 Das Federpendel Bei einem Federpendel sei y( t) die Auslenkung aus der Ruhelage nach oben. Die rücktreibende Kraft der Feder ist proportional zur Auslenkung. Somit gilt die Differenzialgleichung: m Masse In welchem Fall sind wir? y t Beschleunigung = k m y = ky m y + ky = 0 Federkonstante Auslenkung Wir sind im dritten Fall mit:
11 Hans Walser: Modul 112, Lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung 9 ρ = 0 und ω = Wir erhalten eine Schwingung von der Form: Beispiel Daten: m = 0.15 kg k = 42 N m = 42 kg s 2 Anfangsbedingungen: y( 0) = m y ( 0) = 0.4 m s = e 0 Asin =1 Wir erhalten nach einiger Rechnung: 4mk 2m = k m k ( m ) t + Bcos k ( m ) t y( t) = sin( t) cos( t) t Bemerkungen dazu: Federpendel Diese Schwingungsfunktion kann durch eine einzige Sinus- oder Kosinusfunktion geschrieben werden, zum Beispiel als Sinusfunktion: y( t) = sin( t ) In dieser Darstellung tritt eine Phasenverschiebung auf; dies ist der Nachteil. Der Vorteil ist, dass wir die Amplitude direkt ablesen können. Die Frequenz ist die Kreisfrequenz ω ; sie misst den Winkel (im Bogenmaß) pro Sekunde. Zwischen dieser Kreisfrequenz und der gewöhnlichen Frequenz f (Anzahl Schwingungen pro Sekunde) gilt die Beziehung: ω = 2π f
12 Hans Walser: Modul 112, Lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung 10 In unserem Beispiel gilt: Frequenz f = ω 2π = s Periodenlänge (Wellenlänge) T = 2π ω = s 2.2 Gedämpfte Schwingung Die Bremswirkung durch die Reibung, zum Beispiel die Luftreibung, ist proportional zur Geschwindigkeit. Wir erhalten somit die erweiterte Differentialgleichung: m Masse y t Beschleunigung = k Federkonstante Auslenkung m y = ky ρ y m y + ρ y + ky = 0 ρ Reibungskoeffizient y t Geschwindigkeit Für die weitere Untersuchung ist wesentlich, ob b 2 4ac = ρ 2 4mk größer, gleich oder kleiner als Null ist. Je nach Größe des Reibungskoeffizienten ergibt sich somit ein unterschiedliches Verhalten. Bemerkung: Wir haben nun den Buchstaben ρ in zwei verschiedenen Bedeutungen: Im physikalischen Kontext ist ρ der Reibungskoeffizient. Im mathematischen Kontext ist ρ = b Bremswirkung durch Luftreibung Beispiel: m = 0.15 kg ρ = 0.1 kg s k = 42 N m = 42 kg s 2 Anfangsbedingungen: Hier ist: y( 0) = m y ( 0) = 0.4 m s b 2 4ac = ρ 2 4mk = < 0 Wir sind also im dritten Fall (gedämpfte Schwingung).
13 Hans Walser: Modul 112, Lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung 11 Für y( t) erhalten wir nach einiger Rechnung: = e 1 3 t sin( t) cos( t) Dies kann wiederum so umgeformt werden, dass die Schwingung direkt sichtbar wird. Wir erhalten: = e 1 3 t Dämpfung sin t Schwingung t Stoßdämpfer Dämpfung durch Luftreibung Bei einem Stoßdämpfer ist die Reibung groß und daher b 2 4ac = ρ 2 4mk > 0. Wir sind also im ersten Fall mit zwei reellen Lösungen der charakteristischen Gleichung. Die beiden Lösungen sind: λ 1 = ρ+ ρ2 4mk 2m und λ 2 = ρ ρ2 4mk 2m Für die Differenzialgleichung m y + ρ y + ky = 0 erhalten wir die allgemeine Lösung: Beispiel: m = 0.15 kg ρ = 6 kg s k = 42 kg s 2 Anfangsbedingungen: = 0 m = 0.4 m s y 0 y 0 Stoß aus Ruhelage Mit einiger Rechnung erhalten wir: y( t) = Ae λ 1t + Be λ 2 t
14 Hans Walser: Modul 112, Lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung 12 y( t) = e t e t t Stoßdämpfer 3 Zusammenfassung 3.1 Lineare homogene Differenzialgleichung zweiter Ordnung a y + b y + cy = 0 Ansatz y = e λt gibt charakteristische Gleichung aλ 2 + bλ + c = 0 Erster Fall: zwei reelle Lösungen λ 1 = b+ b2 4ac, λ 2 = b b2 4ac y( t) = Ae λ 1t + Be λ 2 t Zweiter Fall: eine reelle Lösung λ 0 = b y( t) = ( At + B)e λ 0t Dritter Fall: keine reelle Lösung. Wir setzen ρ = b und ω = = e ρt Asin( ωt) + Bcos( ωt) 4ac b2 3.2 Physikalische Anwendungen Pendel, Schwingungsvorgänge, Stoßdämpfer Federpendel: erster Fall Gedämpfte Schwingung, Reibung: alle drei Fälle möglich.
Mathematik 1 für Naturwissenschaften
Hans Walser Mathematik 1 für Naturwissenschaften Modul 111 Systeme von Differenzialgleichungen Luchs und Hase Hans Walser: Modul 111, Systeme von Differenzialgleichungen. Luchs und Hase ii Inhalt 1 Lineare
Mehr6.2 Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung
98 6.2 Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung Eine Differentialgleichung erster Ordnung heisst linear, wenn sie auf die Form y = p(x)y +q(x) (I) gebracht werden kann. Die DGL y = p(x)y (H) heisst
MehrMathematik 2 für Naturwissenschaften
Hans Walser Mathematik für Naturwissenschaften Modul Lineare Abbildungen. Eigenwerte Lernumgebung. Teil Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen. Eigenwerte. Lernumgebung. Teil ii Inhalt Lineare Abbildung
MehrLösung der harmonischen Oszillator-Gleichung
Lösung der harmonischen Oszillator-Gleichung Lucas Kunz 8. Dezember 016 Inhaltsverzeichnis 1 Physikalische Herleitung 1.1 Gravitation................................... 1. Reibung.....................................
Mehr2.9 Gedämpfter Harmonischer Oszillator
72 KAPITEL 2. DYNAMIK EINES MASSENPUNKTES 2.9 Gedämpfter Harmonischer Oszillator In diesem Abschnitt wollen wir die Bewegung eines Massenpunktes betrachten, der sich in einer Raumrichtung x in einer Harmonischen
MehrMathematik 1 für Naturwissenschaften
Hans Walser Mathematik für Naturwissenschaften Modul 0 Differenzialgleichungen, Wachstum Hans Walser: Modul 0, Differenzialgleichungen, Wachstum ii Inhalt Einführung: Wachstum.... Beispiel: 50% Wachstum
MehrDifferentialgleichungen 2. Ordnung
Differentialgleichungen 2. Ordnung 1-E1 1-E2 Einführendes Beispiel Freier Fall Viele Geschichten ranken sich um den schiefen Turm von Pisa: Der Legende nach hat der aus Pisa stammende Galileo Galilei bei
MehrExperimentalphysik E1
Experimentalphysik E1 Gedämpfte & erzwungene Schwingungen Alle Informationen zur Vorlesung unter : http://www.physik.lmu.de/lehre/vorlesungen/index.html 16. Dez. 16 Harmonische Schwingungen Auslenkung
MehrGewöhnliche Differentialgleichungen am Beispiel des harmonischen Oszillators
Gewöhnliche Differentialgleichungen am Beispiel des harmonischen Oszillators Horst Laschinsky 12. Oktober 1999 Inhaltsverzeichnis 1 Gewöhnliche lineare homogene Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten
MehrEinführung in die Physik I. Schwingungen und Wellen 1
Einführung in die Physik I Schwingungen und Wellen O. von der Lühe und U. Landgraf Schwingungen Periodische Vorgänge spielen in eine große Rolle in vielen Gebieten der Physik E pot Schwingungen treten
MehrF R. = Dx. M a = Dx. Ungedämpfte freie Schwingungen Beispiel Federpendel (a) in Ruhe (b) gespannt: Auslenkung x Rückstellkraft der Feder
6. Schwingungen Schwingungen Schwingung: räumlich und zeitlich wiederkehrender (=periodischer) Vorgang Zu besprechen: ungedämpfte freie Schwingung gedämpfte freie Schwingung erzwungene gedämpfte Schwingung
Mehr7. Übungsblatt Physik I für MWWT Komplexe Zahlen, gewöhnliche Differentialgleichungen
Prof. Dr. Walter Arnold Lehrstuhl für Materialsimulation Universität des Saarlandes 5. Januar 2016 7. Übungsblatt Physik I für MWWT Komplexe Zahlen, gewöhnliche Differentialgleichungen Abgabe des Übungsblattes
Mehr11.4. Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung
4 Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung Bei vielen geometrischen, physikalischen und technischen Problemen hat man nicht nur eine Funktion (in einer Variablen) und ihre Ableitung zueinander in
MehrProbestudium der Physik 2011/12
Probestudium der Physik 2011/12 1 Schwingungen und Wellen: Einführung in die mathematischen Grundlagen 1.1 Die Sinus- und die Kosinusfunktion Die Sinusfunktion lässt sich genauso wie die Kosinusfunktion
MehrMathematik 1 für Naturwissenschaften. Bernoulli
Hans Walser Mathematik 1 für Naturwissenschaften Bernoulli Nicolaus 1623-1708 Jacob I 1654-1705 Nicolaus 1662-1716 Johann I 1667-1748 Nicolaus I 1687-1759 Nicolaus II 1695-1726 Daniel 1700-1782 Johann
MehrMathematik 2 für Naturwissenschaften
Hans Walser Mathematik 2 für Naturwissenschaften Modul 202 Regressionsgerade und Korrelation Lernumgebung. Teil Hans Walser: Modul 202, Regressionsgerade und Korrelation. Lernumgebung. ii Inhalt Messwertpaare...
MehrMathematik 1 für Naturwissenschaften
Hans Walser Mathematik für Naturwissenschaften Modul 0 Einführung Hans Walser: Modul 0, Einführung ii Inhalt Zahlen.... Natürliche Zahlen.... Ganze Zahlen.... Rationale Zahlen.... Reelle Zahlen... Smbole....
Mehr5. Vorlesung Wintersemester
5. Vorlesung Wintersemester 1 Bewegung mit Stokes scher Reibung Ein dritter Weg, die Bewegungsgleichung bei Stokes scher Reibung zu lösen, ist die 1.1 Separation der Variablen m v = αv (1) Diese Methode
MehrMathematik 1 für Naturwissenschaften
Hans Walser Mathematik für Naturwissenschaften y x Modul 09 Integrationstechniken Hans Walser: Modul 09, Integrationstechniken ii Inhalt Partielle Integration.... Typische Fragestellung.... Herleitung
Mehr2. Schwingungen eines Einmassenschwingers
Baudynamik (Master) SS 2017 2. Schwingungen eines Einmassenschwingers 2.1 Freie Schwingungen 2.1.1 Freie ungedämpfte Schwingungen 2.1.2 Federzahlen und Federschaltungen 2.1.3 Freie gedämpfte Schwingungen
MehrSchwingungen. Antonia Blachnik und Jörg Laubersheimer. Wintersemester 2008/2009,
Universität Heidelberg Proseminar Analysis Leitung: PD Dr. Gudrun Thäter Wintersemester 2008/2009, 09.12.2008 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 2 ohne Reibung mit Reibung 3 4 Einführung Denition Eine Schwingung
MehrMR Mechanische Resonanz
MR Mechanische Resonanz Blockpraktikum Herbst 2007 (Gruppe 2b) 24. Oktober 2007 Inhaltsverzeichnis Grundlagen 2. Freie, ungedämpfte Schwingung....................... 2.2 Freie, gedämpfte Schwingung........................
MehrHarmonische Schwingungen
Kapitel 6 Harmonische Schwingungen Von periodisch spricht man, wenn eine feste Dauer zwischen wiederkehrenden ähnlichen oder gleichen Ereignissen besteht. Von harmonisch spricht man, wenn die Zeitentwicklung
MehrSchwingwagen ******
5.3.0 ****** Motivation Ein kleiner Wagen und zwei Stahlfedern bilden ein schwingungsfähiges System. Ein Elektromotor mit Exzenter lenkt diesen Wagen periodisch aus seiner Ruhestellung aus. Die Antriebsfrequenz
Mehr3 Lineare DGlen mit konstanten Koeffizienten
3 Lineare DGlen mit konstanten Koeffizienten In diesem wichtigen Fall linearer DGlen, dem wir ein eigenes Kapitel widmen wollen, sind die Koeffizientenfunktionen a k (t) a k Konstanten, n 1 x (n) (t)+
MehrHochschule Düsseldorf University of Applied Sciences. 12. Januar 2017 HSD. Physik. Schwingungen III
Physik Schwingungen III Wiederholung Komplexe Zahlen Harmonischer Oszillator DGL Getrieben Gedämpft Komplexe Zahlen Eulersche Formel e i' = cos ' + i sin ' Komplexe Schwingung e i!t = cos!t + i sin!t Schwingung
MehrInhalt der Vorlesung A1
PHYSIK Physik A/B1 A WS SS 17 13/14 Inhalt der Vorlesung A1 1. Einführung Methode der Physik Physikalische Größen Übersicht über die vorgesehenen Themenbereiche. Teilchen A. Einzelne Teilchen Beschreibung
Mehra) Wir nutzen den Drallsatz für die Rolle und horizontale Komponente des Schwerpunktsatzes, für kleine Auslenkungen: Abb.
Tutoriumsaufgaben. Aufgabe a) Wir nutzen den Drallsatz für die olle und horizontale Komponente des Schwerpunktsatzes, für kleine Auslenkungen: Θ S φ = M(t) rs + cos(φ) F c + F H () m x = S + F H F c Gl.
Mehr9. Periodische Bewegungen
Inhalt 9.1 Schwingungen 9.1.2 Schwingungsenergie 9.1.3 Gedämpfte Schwingung 9.1.4 Erzwungene Schwingung 9.1 Schwingungen 9.1 Schwingungen Schwingung Zustand y wiederholt sich in bestimmten Zeitabständen
MehrBiostatistik, Winter 2018/19
1/37 Biostatistik, Winter 2018/19 Differentialgleichungen 2. Ordnung Prof. Dr. Achim Klenke http://www.aklenke.de 5. Vorlesung: 16.11.2018 2/37 Inhalt 1 Differentialgleichungen 1. Ordnung Michaelis-Menten
MehrMathematik 1 für Naturwissenschaften
Hans Walser Mathematik für Naturwissenschaften Modul 07 Fixpunkte Hans Walser: Modul 07, Fixpunkte ii Inhalt Fixpunkte.... Worum es geht....2 Geometrische Beispiele von Fixpunkten....2. Stadtplan....2.2
MehrMathematik 2 für Naturwissenschaften
Hans Walser Mathematik 2 für Naturwissenschaften Modul 205 Binomialverteilung Hans Walser: Modul 205, Binomialverteilung ii Inhalt Die Qual der Wahl: Binomialkoeffizienten.... Ordnung muss sein....2 Auswählen
MehrMathematik 2 für Naturwissenschaften
Hans Walser Mathematik 2 für Naturwissenschaften Spender A B AB 0 Empfänger A B AB 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 verträglich 0 unverträglich Modul 210 Koordinatensysteme. Matrizen Lernumgebung Hans
MehrGewöhnliche Differentialgleichungen. Teil II: Lineare DGLs mit konstanten Koeffizienten
- 1 - Gewöhnliche Differentialgleichungen Teil II: Lineare DGLs mit konstanten Koeffizienten Wir wenden uns jetzt einer speziellen, einfachen Klasse von DGLs zu, die allerdings in der Physik durchaus beträchtliche
MehrMathematik 2 für Naturwissenschaften
Hans Walser Mathematik 2 für Naturwissenschaften Modul 203 Stochastische Unabhängigkeit Hans Walser: Modul 203, Stochastische Unabhängigkeit ii Inhalt 1 Bedingte Wahrscheinlichkeit... 1 1.1 Feuermeldeanlage,
MehrLineare Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung
Lineare Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung Jörn Loviscach Versionsstand: 11. Mai 2009, 18:13 1 DGLn erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten Eine Differentialgleichung hat zwei Zutaten:
MehrKartografie I. Hans Walser Koordinatensysteme und Transformationen Lernumgebung
Kartografie I Hans Walser Koordinatensysteme und Transformationen Lernumgebung Hans Walser: Koordinatensysteme und Transformationen ii Inhalt 1 Rechts- oder Linkssystem?... 1 Rechtssystem... 3 Polarwinkel...
Mehr8. Periodische Bewegungen
8. Periodische Bewegungen 8.1 Schwingungen 8.1.1 Harmonische Schwingung 8.1.2 Schwingungsenergie 9.1.3 Gedämpfte Schwingung 8.1.4 Erzwungene Schwingung 8. Periodische Bewegungen Schwingung Zustand y wiederholt
MehrFerienkurs Experimentalphysik 1
Ferienkurs Experimentalphysik 1 Julian Seyfried Wintersemester 2014/2015 1 Seite 2 Inhaltsverzeichnis 3 Energie, Arbeit und Leistung 3 3.1 Energie.................................. 3 3.2 Arbeit...................................
MehrHausaufgabe 2: Differenzialgleichungen n-ter Ordnung
Höhere Mathematik II für den Studiengang BAP Hausaufgabe 2 04.11.2008 1 Hausaufgabe 2: Differenzialgleichungen n-ter Ordnung Lösungen 1. Geben Sie die allgemeine Lösung der folgenden Differenzialgleichungen
MehrSerie 13. Analysis D-BAUG Dr. Cornelia Busch FS 2016
Analysis D-BAUG Dr. Cornelia Busch FS 2016 Serie 13 1. Prüfungsaufgabe 4, Winter 2014. Bestimmen Sie die Funktion, für die gilt: An jeder Stelle des Definitionsbereichs ist die Steigung des Graphen der
MehrSerie 9, Musterlösung. Klasse: 2Ub Semester: 2 Datum: 30. Mai z 3 = i z 4 = 15 Z 4 Z Re(z) z 4 = 1 e i 7π 4
anu donat.adams@fhnw.ch www.adams-science.com Serie 9, Musterlösung Klasse: Ub Semester: Datum: 3. Mai 17 1. Die komplee Zahlenebene Stelle die Zahlen als Punkte in der kompleen Zahlenebene dar. Berechne
MehrDie Differentialgleichung :
Die Differentialgleichung : Erstellt von Judith Ackermann 1.) Definition, Zweck 1.1) verschiedene Arten von Differentialgleichungen 2.) Beispiele und Lösungswege 2.1) gewöhnliche Differentialgleichungen
MehrMathematik 1 für Naturwissenschaften
Hans Walser Mathematik für Naturwissenschaften Modul 07 Fipunkte Lernumgebung Teil Hans Walser: Modul 07, Fipunkte. Lernumgebung Teil ii Inhalt Bei welcher Temperatur ist es gleich warm?... Ein blödsinnig
Mehr3. Erzwungene gedämpfte Schwingungen
3. Erzwungene gedämpfte Schwingungen 3.1 Schwingungsgleichung 3.2 Unwuchtanregung 3.3 Weganregung 3.4 Komplexe Darstellung 2.3-1 3.1 Schwingungsgleichung F(t) m Bei einer erzwungenen gedämpften Schwingung
MehrHarmonische Schwingung
Harmonische Schwingung Eine harmonische Schwingung mit Amplitude c 0, Phasenverschiebung δ und Frequenz ω bzw. Periode T = 2π/ω hat die Form x x(t) = c cos(ωt δ). δ/ω c t T=2π/ω Harmonische Schwingung
MehrMathematik 2 für Naturwissenschaften
Hans Walser Mathematik für Naturwissenschaften Modul Lineare Abbildungen. Eigenwerte Hans Walser: Modul, Lineare Abbildungen. Eigenwerte ii Modul für die Lehrveranstaltung Mathematik für Naturwissenschaften
MehrSkript zum Ferienkurs Experimentalphysik 1
Skript zum Ferienkurs Experimentalphysik 1 Christoph Buhlheller, Rebecca Saive, David Franke Florian Hrubesch, Wolfgang Simeth, Wolfhart Feldmeier 17. Februar 009 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung: Schwingungen
MehrLineare Differenzen- und Differenzialgleichungen
Lineare Differenzen- und Differenzialgleichungen Fakultät Grundlagen April 2011 Fakultät Grundlagen Lineare Differenzen- und Differenzialgleichungen Übersicht 1 Beispiele Anwendung auf Fragen der dynamischen
MehrMathematik 1 für Naturwissenschaften. Bernoulli
Hans Walser Mathematik für Naturwissenschaften Bernoulli Nicolaus 63-708 Jacob I 654-705 Nicolaus 66-76 Johann I 667-748 Nicolaus I 687-759 Nicolaus II 695-76 Daniel 700-78 Johann II 70-790 Johann III
MehrLösungen Aufgabenblatt 11
Ludwig Maximilians Universität München Fakultät für Physik Lösungen Aufgabenblatt 11 Übungen E1 Mechanik WS 2017/2018 ozent: Prof. r. Hermann Gaub Übungsleitung: r. Martin Benoit und r. Res Jöhr Verständnisfragen
MehrSchwingungen. Inhaltsverzeichnis. TU München Experimentalphysik 1 DVP Vorbereitungskurs. Andreas Brenneis; Rebecca Saive; Felicitas Thorne
TU München Experimentalphysik 1 DVP Vorbereitungskurs Andreas Brenneis; Rebecca Saive; Felicitas Thorne Schwingungen Donnerstag, der 31.07.008 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung: Schwingungen und Wellen 1
MehrTrignonometrische Funktionen 6a
Schuljahr 2015/16 andreas.kucher@uni-graz.at Institute for Mathematics and Scientific Computing Karl-Franzens-Universität Graz Graz, November 23, 2015 Winkelmaße Winkelmaß bis 6. Klasse: Grad (0 360 )
MehrMathematik 2 für Naturwissenschaften
Hans Walser Mathematik 2 für Naturwissenschaften Modul 212 Determinanten Hans Walser: Modul 212, Determinanten ii Modul 212 für die Lehrveranstaltung Mathematik 2 für Naturwissenschaften Sommer 2003 Probeausgabe
MehrKlassische und relativistische Mechanik
Klassische und relativistische Mechanik Othmar Marti 15. 02. 2008 Institut für Experimentelle Physik Physik, Wirtschaftsphysik und Lehramt Physik Seite 2 Physik Klassische und relativistische Mechanik
MehrDas führt zu einer periodischen Hin- und Herbewegung (Schwingung) Applet Federpendel (http://www.walter-fendt.de)
Elastische SCHWINGUNGEN (harmonische Bewegung) Eine Masse sei reibungsfrei durch elastische Kräfte in einer Ruhelage fixiert Wenn aus der Ruhelage entfernt wirkt eine rücktreibende Kraft Abb. 7.1 Biologische
Mehr9 Lineare Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten
9 Lineare Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten Jörn Loviscach Versionsstand: 28. März 2015, 21:40 Die nummerierten Felder sind absichtlich leer, zum Ausfüllen
MehrDifferentialgleichungen. Aufgaben mit Lösungen. Jörg Gayler, Lubov Vassilevskaya
Differentialgleichungen Aufgaben mit Lösungen Jörg Gayler, Lubov Vassilevskaya ii Inhaltsverzeichnis. Tabelle unbestimmter Integrale............................... iii.. Integrale mit Eponentialfunktionen........................
MehrPHYSIK FÜR MASCHINENBAU SCHWINGUNGEN UND WELLEN
1 PHYSIK FÜR MASCHINENBAU SCHWINUNEN UND WELLEN Vorstellung: Professor Kilian Singer und Dr. Sam Dawkins (Kursmaterie teilweise von Dr. Saskia Kraft-Bermuth) EINFÜHRUN Diese Vorlesung behandelt ein in
MehrÜbungsaufgaben Mathematik III MST
Übungsaufgaben Mathematik III MST Lösungen zu Blatt Differentialgleichungen Prof. Dr. B.Grabowski Zu Aufgabe ) Zu a) lassifizieren Sie folgende Differentialgleichungen nach folgenden riterien: -Ordnung
MehrMathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13: Vorlesung 1
TU München Prof. P. Vogl Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13: Vorlesung 1 Komplexe Zahlen Das Auffinden aller Nullstellen von algebraischen Gleichungen ist ein Grundproblem, das in der Physik
MehrFakultät Grundlagen. Februar 2016
Schwingungsdifferenzialgleichung Fakultät Grundlagen Hochschule Esslingen Februar 016 Fakultät Grundlagen Schwingungsdifferenzialgleichung Übersicht 1 Schwingungsdifferenzialgleichung Fakultät Grundlagen
MehrExperimentalphysik E1
Experimentalphysik E1 Erzwungene & gekoppelte Schwingungen Alle Informationen zur Vorlesung unter : http://www.physik.lmu.de/lehre/vorlesungen/index.html 10. Jan. 016 Gedämpfte Schwingungen m d x dt +
MehrKlassische und relativistische Mechanik
Klassische und relativistische Mechanik Othmar Marti 13. 02. 2008 Institut für Experimentelle Physik Physik, Wirtschaftsphysik und Lehramt Physik Seite 2 Physik Klassische und relativistische Mechanik
Mehr3. Berechnen Sie auch die Beschleunigung a als Funktion der Zeit t. 4. Erstellen Sie ein SIMULINK Modell, das x(t) numerisch berechnet.
unit 1 / Seite 1 Einführung Differenzialgleichungen In physikalischen Anwendungen spielt oft eine Messgrösse in Abhängigkeit von der Zeit die Hauptrolle. Beispiele dafür sind Druck p, Temperatur T, Geschwindigkeit
MehrMathematik 1 für Naturwissenschaften
Hans Walser Mathematik für Naturwissenschaften Modul 02 Funktionen, Folgen, Grenzwerte Lernumgebung Teil 2 Hans Walser: Modul 02, Funktionen, Folgen, Grenzwerte. Lernumgebung, Teil 2 ii Modul 02 für die
MehrHöhere Mathematik III für die Fachrichtung Elektrotechnik und Informationstechnik
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analsis Dr. I. Anapolitanos Dipl.-Math. Sebastian Schwarz SS 07.05.07 Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Elektrotechnik und Informationstechnik
Mehr2. Freie gedämpfte Schwingungen
2. Freie gedämpfte Schwingungen Bei realen Systemen werden die Schwingungsausschläge mit der Zeit kleiner, und die Schwingung kommt zum Stillstand. Ursache sind Energieverluste durch Reibungs- und Dämpfungskräfte:
Mehr2. Freie Schwingungen
2. Freie Schwingungen Die einfachsten schwingungsfähigen Systeme sind lineare Systeme: Die Rückstellkräfte sind proportional zur Auslenkung. Die Dämpfungskräfte sind proportional zur Geschwindigkeit. Bei
Mehr2. Einmassenschwinger. Inhalt:
. Einmassenschwinger Inhalt:.1 Bewegungsdifferentialgleichung. Eigenschwingung.3 Harmonische Anregung.4 Schwingungsisolation.5 Stossartige Belastung.6 Allgemeine Belastung.7 Nichtlineare Systeme.8 Dämpfungsarten
MehrErzwungene Schwingungen
Fachrichtung Physik Physikalisches Grundpraktikum Versuch: ES Erstellt: M. Kauer B. Scholz Aktualisiert: am 28. 06. 2016 Erzwungene Schwingungen Inhaltsverzeichnis 1 Aufgabenstellung 2 2 Theoretische Grundlagen
MehrAusarbeitung Pohlsches Rad / Chaos Autoren: Simone Lingitz, Sebastian Jakob
Ausarbeitung Pohlsches Rad / Chaos Autoren: Simone Lingitz, Sebastian Jakob 1. Vorarbeiten zu Hause 1.1 Erzwungene Schwingung einer Feder mit Dämpfung Bewegungsgleichung: m & x + b x& + k x m g = F cos(
MehrHochschule Düsseldorf University of Applied Sciences. 05. Januar 2017 HSD. Physik. Schwingungen II
Physik Schwingungen II Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung x(t) = cos! 0 t v(t) =ẋ(t) =! 0 sin! 0 t t a(t) =ẍ(t) =! 2 0 cos! 0 t Energie In einem mechanischen System ist die Gesamtenergie immer gleich
Mehr4.2 Der Harmonische Oszillator
Dieter Suter - 208 - Physik B3, SS03 4.2 Der Harmonische Oszillator 4.2.1 Harmonische Schwingungen Die Zeitabhängigkeit einer allgemeinen Schwingung ist beliebig, abgesehen von der Periodizität. Die mathematische
MehrLösung - Schnellübung 13
D-MAVT/D-MATL Analysis II FS 7 Dr. Andreas Steiger Lösung - Schnellübung 3. Gegeben sei die Differentialgleichung y + λ 4 y + λ y = 0. Für welche Werte des reellen Parameters λ gibt es eine von Null verschiedene
MehrD-ITET Analysis I HS 2018 Prof. Alessandra Iozzi. Musterlösung 10. y(x) = Ae ( 3+2i)x + Be ( 3 2i)x. λ 2 2λ + 1 = (λ 1) 2. y(x) = Ae x + Bxe x.
D-ITET Analysis I HS 2018 Prof. Alessandra Iozzi Musterlösung 10 1. a) Das charakteristische Polynom ist λ 2 + λ 2 = (λ + 2)(λ 1) mit den beiden verschiedenen Nullstellen λ = 2 λ = 1. Die allgemeine Lösung
Mehr3. Kinematik und Schwingungen
3. Kinematik und Schwingungen 1 3.1. Kinematik Als Nächstes wollen wir Bewegungen beschreiben z.b. die einer Cataglyphis 2 Zuallererst brauchen wir ein Koordinatensystem um die Positionen überhaupt zu
MehrAnwendungen komplexer Zahlen
nwendungen komplexer Zahlen rbeitsblatt Dieser bschnitt eignet sich für fächerübergreifenden Unterricht mit Physik. In der Physik, speziell der Elektrotechnik, ist das chnen mit komplexen Zahlen ein wichtiges
MehrProjektarbeit Simulation eines Mathematischen Pendel
Vorlesung: Numerische Mathematik SS04 Projektarbeit Simulation eines Mathematischen Pendel Heinrich Mellmann Matey Mateev Leiter: Dr. René Lamour 15. Oktober 2004 2 Inhaltsverzeichnis 1 Aufgabenstellung
MehrLineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten Wir betrachten nun Lu = u (n) + a n 1 u (n 1) +... + a 1 u + a 0 u = b(t) wobei a 0, a 1,..., a n 1 R. Um ein FS für die homogene
Mehr9 Periodische Bewegungen
Schwingungen Schwingung Zustand y wiederholt sich in bestimmten Zeitabständen Mit Schwingungsdauer (Periode, Periodendauer) T Welle Schwingung breitet sich im Raum aus Zustand y wiederholt sich in Raum
MehrMathematik 2 für Naturwissenschaften
Hans Walser Mathematik 2 für Naturwissenschaften Modul 212 Determinanten Lernumgebung Hans Walser: Modul 212 Determinanten. Lernumgebung ii Modul 212 für die Lehrveranstaltung Mathematik 2 für Naturwissenschaften
MehrVorbereitung. Resonanz. Carsten Röttele. 17. Januar Drehpendel, freie Schwingungen 3. 2 Drehpendel, freie gedämpfte Schwingungen 3
Vorbereitung Resonanz Carsten Röttele 17. Januar 01 Inhaltsverzeichnis 1 Drehpendel, freie Schwingungen 3 Drehpendel, freie gedämpfte Schwingungen 3 3 Messung der Winkelrichtgröße D 4 4 Drehpendel, erzwungene
MehrBlatt 11.1: Fourier-Integrale, Differentialgleichungen
Fakultät für Physik R: Rechenmethoden für Physiker, WiSe 204/5 Dozent: Jan von Delft Übungen: Benedikt Bruognolo, Katharina Stadler http://homepages.physik.uni-muenchen.de/~vondelft/lehre/4t0/ Blatt.:
MehrHans Walser. Raumgeometrie. Modul 4 Die Ebene
Hans Walser Raumgeometrie Modul 4 Die Ebene Hans Walser: Modul 4, Die Ebene ii Modul 4 für die Lehrveranstaltung Raumgeometrie Sommer 2000 Erstausgabe Sommer 2002 Überarbeitung Sommer 2003 Fehlerkorrekturen,
MehrAufgabe1 EStrich ist Lennard Jones Potential mit Exponentialfunktion
Aufgabe EStrich ist Lennard Jones Potential mit Exponentialfunktion Ansatz: Exponentialfunktion mit 3 Variablen einführen: a: Amplitude b:stauchung c:verschiebung_entlang_x_achse EStrich r_, ro_, _ : a
MehrKomplexe Zahlen. Allgemeines. Definition. Darstellungsformen. Umrechnungen
Komplexe Zahlen Allgemeines Definition Eine komplexe Zahl z x + y i besteht aus einem Realteil Re(z) x und einem Imaginärteil Im(z) y. Der Imaginärteil wird mit der Imaginären-Einheit i multipliziert.
MehrGrundlagen der Physik 2 Schwingungen und Wärmelehre
(c) Ulm University p 1/2 Grundlagen der Physik 2 Schwingungen und Wärmelehre 30 04 2007 Othmar Marti othmarmarti@uni-ulmde Experimentelle Physik Universität Ulm (c) Ulm University p 2/2 Gedämpfter Oszillator
MehrStabilität linearer Differentialgleichungssysteme 1-1
Stabilität linearer Differentialgleichungssysteme Ein lineares homogenes Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten u = Au, u = (u 1,..., u n ) t, ist Stabilität linearer Differentialgleichungssysteme
MehrHochschule Düsseldorf University of Applied Sciences. 22. Dezember 2016 HSD. Physik. Schwingungen
Physik Schwingungen Zusammenfassung Mechanik Physik Mathe Einheiten Bewegung Bewegung 3d Newtons Gesetze Energie Gravitation Rotation Impuls Ableitung, Integration Vektoren Skalarprodukt Gradient Kreuzprodukt
MehrVorlesung 10+11: Roter Faden:
Vorlesung 10+11: Roter Faden: Heute: Harmonische Schwingungen Erzwungene Schwingungen Resonanzen Gekoppelte Schwingungen Schwebungen, Interferenzen Versuche: Computersimulation, Pohlsches Rad, Film Brücke,
MehrÜbungen zur Theoretischen Physik 2 Lösungen zu Blatt 13
Prof. C. Greiner, Dr. H. van Hees Sommersemester 014 Übungen zur Theoretischen Physik Lösungen zu Blatt 13 Aufgabe 51: Massenpunkt auf Kugel (a) Als generalisierte Koordinaten bieten sich Standard-Kugelkoordinaten
MehrThema 10 Gewöhnliche Differentialgleichungen
Thema 10 Gewöhnliche Differentialgleichungen Viele Naturgesetze stellen eine Beziehung zwischen einer physikalischen Größe und ihren Ableitungen (etwa als Funktion der Zeit dar: 1. ẍ = g (freier Fall;
MehrVorkurs Mathematik-Physik, Teil 8 c 2016 A. Kersch
Aufgaben Dynamik Vorkurs Mathematik-Physik, Teil 8 c 6 A. Kersch. Ein D-Zug (Masse 4t) fährt mit einer Geschwindigkeit von 8km/h. Er wird auf einer Strecke von 36m mit konstanter Verzögerung zum Stehen
MehrVORBEREITUNG: GALVANOMETER
VORBEREITUN: ALVANOMETER FREYA NAM, RUPPE 6, DONNERSTA SCHWINVERHALTEN DES ALVANOMETERS Das alvanometern ist ein sensibles Messgerät mit dem auch kleine Ströme und Spannungen gemessen werden können. Es
Mehr