Grundlagen der Physik 2 Schwingungen und Wärmelehre

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1 (c) Ulm University p 1/2 Grundlagen der Physik 2 Schwingungen und Wärmelehre Othmar Marti othmarmarti@uni-ulmde Experimentelle Physik Universität Ulm

2 (c) Ulm University p 2/2 Gedämpfter Oszillator x(t) = A 0 e (b/(2m))t cos(ω t + δ) ( ) 2 b ω = ω 0 1 = ω mω 0 4Q 2 tan(δ) = A 0, 2 A 0, 1 A 0, 1 + A 0, 2 A 0 = 2 A 2 0, 1 + A2 0,2 A 0, 1 und A 0,2 sind freie Parameter

3 (c) Ulm University p 3/2 Getriebener gedämpfter Oszillator δ(ω) = arctan ( ) ωω 0 Q (ω0 2 ω2 ) A(ω) = z 0 ω 2 0 (ω 2 0 ω2 ) 2 + ω2 ω 2 0 Q 2

4 (c) Ulm University p 4/2 Getriebener gedämpfter Oszillator Bei der Resonanzfrequenz ω = ω 0 des ungedämpften Systems ist die Phase δ(ω 0 ) = π/2 Die Steigung der Phase dδ(ω)/dω hat an der Stelle ω 0 den Wert dδ(ω) dω = 2 Q ω0 ω 0 Es ist sehr viel einfacher, ω 0 und Q aus der Phase als aus der Amplitude zu bestimmen

5 (c) Ulm University p 5/2 Überlagerung von Schwingungen Zeigerdiagramm Links für zwei Zeiten, in der Mitte das Zeigerdiagramm für zwei Schwingungen (rot) und (blau) mit der Summe (grün) und rechts die Winkel

6 (c) Ulm University p 6/2 Der Sinussatz liefert Überlagerung von Schwingungen A 2 = A A 2 2 2A 1 A 2 cos(π δ 2 + δ 1 ) A = A A A 1 A 2 cos(δ 2 + δ 1 ) A sin (π δ 2 + δ 1 ) = A sin (δ 1 δ 2 ) = A 2 sin(δ δ 1 ) Wenn wir die Zeit zur Berechnung so wählen, dass δ 1 = 0 ist, so ergibt sich sinδ = A 2 A sin δ 2 A = A A A 1 A 2 cosδ 2

7 (c) Ulm University p 7/2 Schwebung Die Frequenzen der beiden Schwingungen sollen um ω verschieden sein x 1 (t) = A 1 cos(ωt + δ 1 ) x 2 (t) = A 2 cos((ω + ω)t + δ 2 ) x(t) = x 1 (t) + x 2 (t) = A 1 cos(ωt + δ 1 ) + A 2 cos((ω + ω)t + δ 2 ) Wir rechnen nun wie folgt um x(t) = A 1 cos(ωt + δ 1 ) + A 2 cos((ωt + δ 1 ) + ωt + δ 2 δ 1 ) = A 1 cos(ωt + δ 1 ) + A 2 cos(ωt + δ 1 ) cos( ωt + δ 2 δ 1 ) A 2 sin(ωt + δ 1 ) sin( ωt + δ 2 δ 1 ) = cos(ωt + δ 1 ) [A 1 + A 2 cos( ωt + δ 2 δ 1 )] A 2 sin(ωt + δ 1 ) sin( ωt + δ 2 δ 1 )

8 (c) Ulm University p 8/2 Schwebung Dies entspricht einer Schwingung der Frequenz ω mit einer aufmodulierten Frequenz ω Wir nennen dieses Verhalten auch Schwebung x 1 (t) = A 1 e i(ωt+δ 1) x 2 (t) = A 2 e i((ω+ ω)t+δ 2) x(t) = x 1 (t) + x 2 (t) = A 1 e i(ωt+δ 1) + A 2 e i((ωt+δ 1)+ ωt+δ 2 δ 1 ) = A 1 e i(ωt+δ 1) + A 2 e i(ωt+δ 1) e i( ωt+δ 2 δ 1 ) = e i(ωt+δ 1) [ A 1 + A 2 e i( ωt+δ 2 δ 1 ) ]

9 (c) Ulm University p 9/2 oder f(t) = f(t) = a k=1 A k cos (kωt + δ k ) k=0 a k cos(kωt) + Fourierreihen b k sin(kωt) k=1 Für gerade Funktionen f(t) = f( t) sind alle b k = 0, für ungerade Funktionen sind alle a k = 0

10 Fourierreihen f(t) f(t) = a k=1 t ( 1) k 1 cos((2k 1)ωt)/(2k 1) (c) Ulm University p 10/2

11 (c) Ulm University p 11/2 Gekoppelte Pendel Zwei mathematische Pendel im Abstand d mit jeweils der Länge L sind mit einer masselosen Feder der Ruhelänge d und der Federkonstante k gekoppelt

12 (c) Ulm University p 12/2 Gekoppelte Pendel Wenn das linke Pendel um φ 1 und das rechte Pendel um φ 2 ausgelenkt wird (in beiden Fällen wird nach rechts positiv gezählt), dann verändert sich die Länge der Feder um d = l (sin φ 1 sin φ 2 ) l(φ 1 φ 2 ) für kleine Auslenkungen Deshalb ist die Kraft, die auf das linke Pendel ausgeübt wird F F,1 = k d kl(φ 1 φ 2 ) Entsprechend ist die Kraft auf das rechte Pendel F F,2 = k( d) kl(φ 1 φ 2 )

13 (c) Ulm University p 13/2 Diese Kräfte entsprechen den Drehmomenten T F,1 = lf F,1 = kl 2 (φ 1 φ 2 ) T F,2 = lf F,2 = kl 2 (φ 1 φ 2 ) Gekoppelte Pendel Die durch die Gravitation hervorgerufenen Momente an den Pendeln sind T G,1 = Lmg sin φ 1 Lmgφ 1 T G,2 = Lmg sin φ 2 Lmgφ 2

14 (c) Ulm University p 14/2 Gekoppelte Pendel Wir beachten, dass für eine Punktmasse m an einem masselosen Faden der Länge L das Trägheitsmoment I = ml 2 ist und erhalten die linearisierte Momentengleichung I φ 1 = ml 2 φ1 = Lmgφ 1 kl 2 (φ 1 φ 2 ) I φ 2 = ml 2 φ2 = Lmgφ 2 + kl 2 (φ 1 φ 2 )

15 (c) Ulm University p 15/2 Fundamentalschwingungen I φ 1 = Lmgφ 1 kl 2 (φ 1 φ 2 ) Die Bewegungsgleichung des letzten Pendels ist I φ N = Lmgφ N + kl 2 (φ N 1 φ N ) Dazwischen lauten die Bewegungsgleichungen für ein Pendel 0 < j < N I φ j = Lmgφ j kl 2 (φ j φ j+1 ) + kl 2 (φ j 1 φ j ) = Lmgφ j + kl 2 φ j 1 2kl 2 φ j + kl 2 φ j+1

16 Fundamentalschwingungen Wir dividieren durch I = ml 2 und setzen ω 2 0 = g L und κ = kl2 ml 2 und schreiben die Gleichung als Matrizengleichung φ 1 φ j φ N = ω 2 0 κ κ κ ω 2 0 2κ κ κ ω 2 0 κ φ 1 φ j φ N (c) Ulm University p 16/2

17 Fundamentalschwingungen Wir setzen nun φ i = φ i,0 e iωt und lösen die obige Gleichung = ω 2 ω 2 0 κ κ κ ω 2 ω 2 0 2κ κ κ ω 2 ω 2 0 κ φ φ φ N Diese Gleichung hat dann eine Lösung, wenn die Determinante ω 2 ω 2 0 κ κ κ ω 2 ω 2 0 2κ κ κ ω 2 ω 2 0 κ = 0 (c) Ulm University p 17/2

18 (c) Ulm University p 18/2 Fundamentalschwingungen Die Lösung mit der tiefsten Resonanzfrequenz ist ω = ω 0, bei der alle Pendel in Phase sind (bei allen anderen Bewegungsmoden ist neben der potentiellen Energie der Pendel auch in den Federn potentielle Energie gespeichert, die Gesamtenergie also für die gleiche Auslenkung grösser) Wenn wir diese Lösung einsetzen, bekommen wir die Gleichung κ κ κ 2κ κ 0 0 = κ κ

19 (c) Ulm University p 19/2 Fundamentalschwingungen Wenn man alle Zeilen dieser Determinante aufsummiert, bekommt man den Null-Vektor Deshalb ist die obige Determinantengleichung erfüllt

20 (c) Ulm University p 20/2 Wellen in einer Dimension Reflexion einer Seilwelle wenn das Ende an der Wand eingespannt ist

21 (c) Ulm University p 21/2 Wellen in einer Dimension Reflexion einer Seilwelle wenn das Ende lose befestigt ist