4. Schwingungen und Wellen

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1 Bei manchen Systemen (z.b. Fadenpendel) führt die Krafteinwirkung zu sich wiederholenden Vorgängen. Sind diese periodisch, so spricht man von Schwingungsvorgängen (um ortsfeste Ruhelage). Breiten sich Schwingungen räumlich aus, so spricht man von Wellen. Schwingungen und die eng verwandten Wellen sind zwei grundlegende weit verbreitet Phänomene der Physik: Elektromagnetische Wellen: Elektromagnetische Wellen (schwingende elektrische und magnetische Felder): Rundfunk, Mikrowelle, Infrarot, Licht, UV, Röntgen- und γ-strahlung Schwingungen von Atomen in Festkörpern: Wärme, Gitterschwingungen (Phononen) Schwingungen in Atomkernen: Kernspaltung Materiewelle (Welle-Teilchen-Dualismus) Mechanische Schwingungen und Wellen: z.b. Pendel, Wasserwellen, Schallwellen Schwingungen entstehen, wenn es eine rücktreibende Kraft bei Auslenkung um eine Gleichgewichtslage gibt Schwingungen Harmonischer Oszillator Wir beginnen mit dem Federpendel als klassischem Beispiel für eine Schwingung. Die Kraft der idealen Feder ist proportional und entgegengesetzt der Auslenkung: F = kx Wir erhalten die Bewegungsgleichung mẍ = kx Mit c = k m erhalten wir die DGL ẍ + cx =0 Der komplexe Lösungsansatz x(t) =Ãent führt auf die charakteristische Gleichung n + c =0 n 1, = ± c = ±i ω 0 d.h. Die Dauer der Schwingung ist somit x 1 = Ã1e iω 0t x = Ãe iω 0t T = π m =π ω 0 k 31

2 Für die reelle DGL bilden Imaginär- und Realteil von x ein Fundamentalsystem (Sinus und Cosinus). Ein Ansatz mit diesen Funktionen hätte zum gleichen Ergebnis geführt, als eine weitere Formulierung der allgemeinen Lösung erhält man mittels Additionstheoreme x(t) =C 1 cos (ω 0 t + ϕ 0 ) Mit den Anfangsbedingungen x(0) = A, ẋ(0) = 0 erhält man x(t) =A cos (ω 0 t) Harmonische Schwingung mit Reibung Im nächsten Schritt behandeln wir eine Schwingung mit einer zusätzlichen, Geschwindigkeitsabhängigen Kraft, in diesem Fall der Stocke schen Reibung F R =6πηR k v. Die gesamte Kraft ist somit gegeben durch F Ges = F R + F F eder Die Bewegungsgleichung lautet nun mẍ = kx 6πηR k ẋ Mit b = 6πηR k m =γ und c = k m = ω 0 erhält man die Differentialgleichung der Form ẍ + bẋ + cx =0 Der Lösungsansatz x(t) =Ãent führt auf die charakteristische Gleichung n +γn + ω0 =0 n 1, = γ ± γ ω0 Die Lösung dieser Gleichung ändert sich mit dem Wert von γ ω Schwingfall: γ ω 0 < 0 (kleine Reibung) n 1, = γ ± i ω 0 γ x(t) =Ã1e γt e i ω 0 γt + Ãe γt e i ω 0 γ t Ein reelles Fundamentalsystem erhalten wir wieder durch Real- und Imaginärteil der Lösung: ( ) ( )) x(t) =e (A γt sin ω0 γ t + B cos ω0 γ t 3

3 4.1. Schwingungen und mit den Anfangsbedingungen ergibt sich: x(t) =Ae γt cos ( ) ω0 γ t Die Amplitude der Schwingung nimmt exponentiell ab. e γt bezeichnet man als Dämpfungskoeffizient, γ als Dämpfung. Die Schwingungsenergie wird durch die Reibung dissipiert. Der Oszillator schwingt mit der Periode: T = π ω = π ω 0 γ Die Periodendauer nimmt also, wie man auch anschaulich erwarten würde, mit steigender Reibung zu.. Aperiodischer Grenzfall: γ = ω 0 n 1, = γ x 1 (t) =Ce γt Aus Analysis +3 (für Physiker) ist bekannt, dass noch eine Lösung für die Konstruktion des Lösungsfundamentalsystems nötig ist und diese durch x (t) =Dte γt gegeben ist. Die allgemeine Lösung ist damit: x(t) =Ce γt + Dte γt Die Konstanten müssen wieder durch die Anfangsbedingungen bestimmt werden. Für x(0) = x 0 und ẋ(0) = 0 erhalten wir C = x 0 und D = C = x 0 und somit: x(t) =x 0 e γt (1 + γt) Da (1 + γt) > 0 für t>0und e γt > 0 ist die Lösung immer größer als Null. Systeme mit diesem Ausschwingverhalten kehren nach einer Auslenkung schnell in die Ruhelage zurück und werden beispielsweise als Stoßdämpfer und in der Regelungstechnik eingesetzt. Nun bleibt noch der einfachste Fall: 3. Kriechfall: γ >ω0 n 1, sind reell. keine Schwingung, sondern eine in die Ruhelage führende kriechende Bewegung mit: x(t) =Ae n 1t + Be n t, n 1, < 0 A und B bestimmt man wieder aus Anfangsbedingungen. ( Die Lösung ist wieder größer als Null. Da n 1 und n kleiner als Null sind n 1, = γ ± ) γ ω0 ist sie auch streng monoton fallend. Da γ + γ ω0 >γfällt das System langsamer ab. 33

4 Erzwungene Schwingung Im nächsten Schritt untersuchen wir die Reaktion eines Schwingenden Systems auf eine äußere periodische Kraft: mẍ = F ges = mbẋ mcx + F extern mit c = ω 0,b=γ Das ist wegen der von x unabhängigen und von t abhängigen äußeren Kraft eine inhomogene DGL: ẍ +γx + ω 0 = F ext m Die Lösung einer inhomogenen Differentialgleichung erhält man durch Lösung der homogenen DGL und durch eine spezielle Lösung der inhomogenen DGL. Die Gesamtlösung ist dann x hom +x part. Die Lösung der homogenen DGL ẍ+γx+ω 0 =0haben wir gerade berechnet. Da sie mit fortschreitender Zeit abklingt (x e γt ) bringt nach eine komplizierten Einschwingvorgang nur noch die partikuläre Lösung einen Beitrag zur Gesamtlösung x ges = x hom + x part Für die Lösung nehmen wir an, dass wir die Kraft als Summe von Cosinus oder Sinus darstellen können. Das ist eine zulässige Annahme, da wir jede periodische Funktion in eine Fourierreihe Entwickeln können und die partikuläre Lösung einer Summe von Inhomogenitäten als Summe der partikulären Lösungen der einzelnen Terme der Inhomogenität darstellen können. Also untersuchen wir die partikuläre Lösung der Differentialgleichung Wenn man den Ansatz in die Differentialgleichung einsetzt ergibt sich: ẍ +γx + ω 0 = K cos(ω ext t) x(t) =A cos(ω ext t + ϕ) [(ω 0 ω ext)a cos ϕ γaω ext sin ϕ K] cos(ω ext t) [(ω 0 ω ext)a sin ϕ γaω ext cos ϕ] sin(ω ext t)=0 Da diese Gleichung für beliebige Zeiten t gelten muss, müssen die Vorfaktoren verschwinden. Dadurch erhalten wir Gleichungen: Aus der ersten Gleichung erhalten wir (ω 0 ω ext)a sin ϕ γaω ext cos ϕ =0 (ω 0 ω ext)a cos ϕ γaω ext sin ϕ K =0 tan ϕ = γω ext ω 0 ω ext Das heißt die Phasenverschiebung phi einer erzwungenen Schwingung wächst (γ 0)für ω ext ω 0 von 0 bis π/, für ω ext ω 0 von π/ bis π. Sie ist negativ, das System hinkt also der äußeren Kraft hinterher. Löst man die Gleichungen nach A cos ϕ und A sin ϕ auf, quadriert die Gleichungen und addiert sie, ergibt sich mit K = F 0 /m: A(ω) = F/m (ω 0 ω ) +(γω) 34

5 4.1. Schwingungen Die partikuläre Lösung und damit die Beschreibung der Bewegung nach dem Einschwingvorgang ist somit: ( )) F/m x(t) = (ω (ω 0 ωext) +(γω ext ) cos γωext ext t + arctan ω0 ωext Analyse des Ergebnisses: Für ω ext ω 0 : A = K/ω0 und ϕ =0, m bewegt sich in Phase mit dem Antrieb Für ω ext ω 0 : A 0. Die Masse m kann der schnellen Bewegung des Antriebs nicht folgen. Für ω ext ω 0 : Resonanz Maximum der Amplitude A liefert ωres = ω0 γ. ω res entspricht dabei nicht der Kreisfrequenz der freien Schwinung ω0 γ. Die maximale Amplitude für ω ext = ω res ist K A(ω res )= γ ω0 γ D.h. die Amplitude divergiert für ω ext = ω res, wenn die Dämpfung γ 0 geht (Resonanzkatastrophe) Bei Resonanz ω ext = ω res und γ 0 ist ( ) ω0 γ ϕ = arctan = π γ Wegen x(t) cos ( ω ext t π ), ẋ(t) sin ( ωext t π ) = cos (ωext t) wirkt F ext zu jeder Zeit in Richtung der Geschwindigkeit der schwingenden Masse m. Es wird laufend Energie in das System gepumpt. Die maximale Amplitude wird im Resonanzfall vor allem durch die Reibung bestimmt. Die Energie des Systems (E =1/kx ) nimmt um de = Fdx zu. Mit F ext = mk cos(ω ext t), x(t) =A cos(ω ext t + ϕ) ist die absorbierte Leistung P = de dt = F extẋ = mω ext AK cos(ω ext t) sin(ω ext t + ϕ) = = mω ext AK[sin(ω ext t) cos(ω ext t) cos ϕ cos (ω ext t) sin ϕ] Für die über eine Periode T =π/ω ext absorbierte Leistung ergibt sich: P T = 1 mω extak sin ϕ γ ω 0 P (ω ext ) T K m 4γ 4γ (ω 0 ω ext ) +4γ welche eine Lorentzkurve (f L (x) =a /[(x x 0 ) + a ]; FWHM a) darstellt Das heißt ein gedämpfter Oszillator absorbiert in der Nähe der Resonanzfrequenz sehr gut, die Absorption geht aber bei größeren Abweichungen davon gegen Null. Mit der Zeit stellt sich 35

6 eine stationäre Schwingung ein, bei der die Verlustleistung gerade der zugeführten Leistung entspricht Gekoppelte Oszillatoren Gekoppelte Schwingungssystem spielen eine große Rolle in Physik und Technik. Durch die Kopplung kann Energie zwischen den einzelnen Oszillatoren Übertragen werden. Der einfachste Fall gekoppelter Oszillatoren sind zwei mit einer Feder verbundenen schwingende Massepunkte: Im Extremfall (abhängig von den Anfangsbedingungen) erhalten beide Pendel abwechselnd die ganze Energie, die Schwingung eines Pendels hat dann folgende Form, welche als Schwebung bezeichnet wird: Es gibt auch Schwingungen, bei denen sich die Bewegung mit der Zeit nicht ändert, dies sind die Eigenschwingungen des Systems, die je eine Eigenfrequenz haben. Die Bewegungsgleichung für das obige System ist: I mẍ 1 = mg x 1 + k(x x 1 ) l II mẍ = mg x k(x x 1 ) l 36

7 4.. (Mechanische) Wellen Die Eigenfrequenzen sind die Frequenz des Pendels sind: ω 1 = g l und ω = g l + k m Die Lösung der Bewegungsgleichung ist (ohne Herleitung, ist aber trivial): ( ) ( ) ω1 ω ω1 + ω x 1 (t) =a cos t cos t ( ) ( ) ω1 ω ω1 + ω x 1 (t) =a sin t sin t Beide Massen schwingen mit gleicher Amplitude um π phasenverschoben mit der mittleren Kreisfrequenz 1(ω 1 + ω ) Dabei wird die Schwingungsenergie periodisch mit der Schwingungsfrequenz 1 (ω 1 + ω ) zwischen den beiden Oszillatoren übertragen. 4.. (Mechanische) Wellen Wenn sich Schwingungen durch die Kopplung von Oszillatoren ausbreiten, spricht man von einer Welle. Eine Welle transportiert Energie und Impuls, ohne gleichzeitig Materie zu transportieren. Je nachdem in welche Richtung im Vergleich zur Amplitude erfolgt unterscheidet man die: Longitudinale Welle Transversale Welle 37

8 4..1. Wellengleichung Transversale Wellen (in einer Dimension) werden durch die partielle Differentialgleichung (Wellengleichung) y t = y v x Beschrieben. Die Lösungen dieser Gleichung haben die Form y(x, t) =f(x vt)+g(x+vt). Für verschiedene Medien kann man durch Herleitung einer Wellengleichung aus den Bewegungsgleichungen des Mediums die Geschwindigkeit der Welle im Medium erhalten: Für ein Seilwelle ist v t = σ/ρ. Für eine Scherwelle in einem Festkörper ist v t = G/ρ, für eine longitudinale Welle im Festkörper v L = E/ρ. In Flüssigkeiten und Gasen gibt es keine stationären Scherkräfte und damit auch keine transversalen Wellen. Die Geschwindigkeit einer longitudinale Welle in Flüssigkeit ist v L = K/ρ. In Gasen ergibt sich für höhere Frequenzen (z.b) Schall v l = γp/ρ mit dem Adiabatenkoeffizient gamma. Die Geschwindigkeit einer Frequenz kann auch von ihrer Wellenlänger abhängen, man spricht dann von Dispersion. Ein wichtiger Spezialfall sind sinusförmige (harmonische) Wellen: y(x, t) =A sin [ ] π (x vt) λ = A sin [ π λ x π ] λ vt) Oft werden die Konstanten ω =π/t =πf und k =π/λ verwendet. Die Welle lautet dann: y(x, t) =A sin(kx ωt) Für die Periodizität erhält man: y(x, t 0 )=y(x + λ, t 0 ) und y(x 0,t)=y(x 0,t+ T ) Jetzt setzen wir die Funktion in die Wellengleichung ein: Also y t y x = Aω sin(kx ωt) = Ak sin(kx ωt) v = ω k Aω sin(kx ωt) =v ( Ak sin(kx ωt) ) und ω k = πf π/λ mit v = λf Das Verhalten an einem festen Ort oder bei einer festen Zeit erhalten wir, wenn wir x =0oder t =0 38

9 4.. (Mechanische) Wellen wählen, wir erhalten dann eine normale Sinusschwingung Dopplereffekt Werden Wellen der Frequenz f von einer ruhenden Quelle Q ausgesandt, registriert ein ebenfalls ruhender Beobachter B genau f Schwingungen pro Sekunde. Bewegen sich aber Sender oder Empfänger, nimmt der Beobachter B eine andere Frequenz f wahr. Wir betrachten zuerst den Fall eines bewegten Beobachters: Bewegt sich der Beobachter B mit der Geschwindigkeit v relativ zum schwingenden Medium (z.b. Luft) entgegen der Quelle oder von der Quelle weg, so beträgt die Geschwindigkeit der Wellenberge relativ zum Beobachter c = c ± v Die Zeit T zwischen Wellenbergen wird dadurch T = λ/(c ± v) Mit f =1/T =(c ± v)/λ ist die vom Beobachter wahrgenommene Frequenz zu: ( f = f 1 ± v ) c Im Fall der bewegten Quelle (Geschwindigkeit v auf den Beobachter zu/von diesem weg) ändert sich der Abstand zwischen zwei Wellenbergen von λ auf λ = λ vt Mit λ = c/f erhält man c/f = c/f v/f und damit: f = f 1 v c Das heißt, die Frequenz erscheint dem Beobachter größer, wenn sich die Quelle auf ihn zubewegt und kleiner, wenn sich die Quelle vom Beobachter wegbewegt. Die Formel für eine gemeinsame Bewegung von Beobachter und Quelle ist: f = f c ± v B c v Q Es ist wichtig zu beachten, dass nicht nur die Relativgeschwindigkeit die Frequenz ändert, sondern auch davon abhängt, ob sich die Quelle, der Beobachter oder das Medium bewegt. Sehr gut erkennen lässt sich das am Beispiel v = c: Bewegt sich der Beobachter mit c auf die Quelle zu, erreichen ihn die Wellenberge doppelt so schnell, und er hört einen Ton doppelter Frequenz. Bei einer Bewegung der Schallquelle jedoch wird der Abstand der Wellenberge praktisch null und es kommt zu einer extremen Verdichtung der Luft. Da alle Wellenberge auf einmal beim Beobachter eintreffen, wäre die Frequenz nach obiger Formel unendlich, praktisch hört man nur noch den Überschallknall. 39

10 4..3. Überlagerung von Wellen Da die Wellengleichung linear ist, ist eine Summe von zwei Lösungen der Wellengleichung wieder eine Lösung der Wellengleichung. Eine Überlagerung von Wellen gleicher Frequenz ergibt eine harmonische Welle gleicher Frequenz. Bei unterschiedlichen Frequenzen entsteht eine komplizierte Schwingung mit zeitabhängiger Amplitude, bei Wellen mit nicht zu weit entfernten Frequenzen kommt es zu Schwebungen. Ein weiteres mögliches Ergebnis der Überlagerung von Wellen sind stehende Wellen: Wird die in negative z-richtung laufende Welle h 1 = A cos(ωt + kz) an einer zu ihr senkrechten Fläche reflektiert entsteht die in entgegengesetzte Richtung laufende Welle h = A cos(ωt kz + ϕ) (ϕ ist ein möglicher Phasensprung). Das Ergebnis ist die Summe der beiden Wellen: h ges = h 1 + h = A cos(ωt + kz)+a cos(ωt kz + ϕ) =A cos ( kz ϕ ) cos ( ωt + ϕ ) h ges ist eine stehende Welle (sie hat eine räumlich verteilte Amplitude), deren Amplitude sich (an allen Orten gleichzeitig) periodisch ändert. Zu einem Phasensprung kommt es immer bei Übergang in ein dichteres Medium (Medium mit kleinerer Ausbreitungsgeschwindigkeit). Ein weiterer Effekt bei der Überlagerung von Wellen ist die Interferenz. Man unterscheidet dabei konstruktive (bei einem Gangunterschied von nλ) und destruktive Interferenz. 40