6. Erzwungene Schwingungen

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1 6. Erzwungene Schwingungen Ein durch zeitveränderliche äußere Einwirkung zum Schwingen angeregtes (gezwungenes) System führt erzwungene Schwingungen durch. Bedeutsam sind vor allem periodische Erregungen und im Besonderen die harmonische Anregung. Erzwungene Schwingungen sind von großer praktischer Bedeutung, z.b. führen mechanischen Uhren und auch Musikinstrumente erzwungene Schwingungen durch. Reale schwingenden Systeme unterliegen natürlich einer Dämpfung. Sie benötigen deshalb für eine dauerhafte Schwingung mit konstanter Amplitude immer einen äußeren Antrieb. 03

2 Das einfachste System ist ein D harmonischer Oszillator, der durch eine äußere Kraft f(t) angetrieben wird. Die äußere Kraft soll von der Zeit abhängen. Dieser Kraft lässt sich ein Potenzial zuordnen: U e = f t x f t = grad U = U e x = f t x x Die Lagrange-Funktion des harmonischen Oszillators mit dieser äußeren Kraft f(t) lautet: L x, ẋ, t = m 2 ẋ2 k 2 x2 f t x Rein prinzipiell ist dieses Modellsystem von allgemeiner Bedeutung, da es für beliebige Schwingungen um eine Ruhelage mit kleinen Amplituden angewandt werden kann. Dieses Modell könnte zum Beispiel auf die Schwingung eines zweiatomigen Moleküls in einem elektromagnetischen Feld angewandt werden. 04

3 Aus den Lagrangegleichungen 2. Art folgt die Bewegungsgleichung d d t L ẋ =m ẍ= L x ẍ 0 2 x = = k x f t f t m mit der Eigenfrequenz 0 = k m Die Eigenfrequenz entspricht der freien Schwingung des Systems ohne äußere Anregung. Da jedes System Verluste hat, lassen wir als Verallgemeinerung noch eine Reibungskraft zu, die zu einer Dämpfung der Schwingung führt. Die Reibungskraft kann durch die Rayleighsche Dissipationsfunktion beschrieben werden. D = m ẋ 2 Die zu lösenden DGL lautet dann: D ẋ = 2 m ẋ ẍ 2 ẋ 0 2 x = f t m 05

4 Allgemeine Lösung Wir bestimmen die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung, also die Lösung des gedämpften, harmonischen Oszillators mit einer äußeren Kraft. Dazu betrachten wir zunächst eine periodische Kraft f(t) = f ω cos ω t. Die Erregerfrequenz ω ist im allgemeinen unterschiedlich zur Eigenfrequenz ω 0. ẍ 2 ẋ 0 2 x = f m cos t Alle Größen in dieser Gleichung sind reell. Daher ist der Realteil (Re) von Z 2 Ż 0 2 Z = f m exp i t identisch mit x t = Re Z t Wir können also eine komplexe Kraft ansetzen und anschließend den Realteil der Lösung nehmen. Dieser Lösungsweg ist üblich und etwas einfacher. Er beruht darauf, dass die DGL linear in x ist und dass alle Koeffizienten reell sind. 06

5 Die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung ist von der Form Z t = Z hom t Z part t Dabei ist Z part (t) eine partikuläre (also irgendeine spezielle) Lösung, und Z hom (t) ist die allgemeine Lösung der homogenen Differenzialgleichung. Z hom 2 Ż hom 0 2 Z hom = 0 Homogene Lösung Wir setzen Z hom t = C exp i v t mit einer komplexen Amplitude C ein und erhalten v 2 2i v 0 2 = 0 Diese Bedingung hat die Lösungen v,2 = ± i = ± 0 i Dabei haben wir κ 0 = (ω 02 - λ 2 ) ½ eingeführt. 07

6 A) Für ω 0 > λ ist κ 0 reell, und die Lösung x(t) lautet x hom t = Re C exp t i 0 t Mit reellen Konstanten A und A 2 in C = A 2 + ia wird dies zu x hom t = A sin 0 t exp t A 2 cos 0 t exp t Das Vorzeichen in sin(± κ t) = ± sin(κ t) wird in der Konstante A absorbiert. 0 0 Anstelle der Konstanten A und A 2 können wir auch eine Amplitude A und eine Phase α verwenden: x hom t = A exp t cos 0 t 0 Diese Lösung beschreibt eine gedämpfte, periodische Bewegung. Die Amplitude der Schwingung nimmt exponentiell mit der Zeit ab. 08

7 B) Für λ > ω 0 erhalten wir zwei imaginäre Lösungen: v,2 = ± i = ±i 0 i ν = - iλ und ν = - iλ, wobei λ und λ beide positiv sind. Damit erhalten wir eine exponentiell abfallende Lösung der Form x hom t = A exp t B exp 2 t 0 Es findet keine Schwingung im eigentlichen Sinne statt, sondern das System kriecht in die Ruhelage zurück. C) Zwischen der periodischen Lösung für ω 0 < λ und der exponentiell abfallenden für ω 0 > λ gibt es den Grenzfall ω 0 = λ. Dann fallen die beiden Frequenzen zusammen und die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung lautet x hom t = A B t exp t = 0 Dies ist der Grenzfall der aperiodischen Bewegung. Ein Beispiel für schwingende Systeme in diesem Zustand sind die Stoßdämpfer von Autos. 09

8 Partikuläre Lösung Die Lösungen für die Fälle A), B) und C) hängen von zwei Integrationskonstanten ab. Sie sind daher im jeweiligen Fall die allgemeine homogene Lösung. Man überprüft leicht, dass eine Lösung unserer DGL Z part t = f m exp i t Z 2 Ż 0 2 Z = f m exp i t ist, wenn = i Damit haben wir eine partikuläre Lösung gefunden. Die Funktion χ(ω) wird dynamische Suszeptibilität genannt. Sie hängt von den Eigenschaften (ω 0 und λ ) des Systems ab und bestimmt das dynamische (zeitabhängige) Verhalten. Der Grenzwert χ(0) heißt statische Suszeptibilität. Die Suszeptibilität ist das Verhältnis zwischen der Auslenkung Z part (t) des Systems und der antreibenden Kraft f ω exp(iωt). 0

9 Suszeptibilität Der Begriff Suszeptibilität wird allgemein dann verwendet, wenn ein System einer äußeren Störung (etwa einer Kraft oder einem Feld) ausgesetzt wird. Das Verhältnis zwischen der Reaktion oder Antwort (Response) des Systems und der äußeren Störung ist dann die Suszeptibilität. Die Funktion χ wird auch Response- Funktion genannt. Ein bekanntes Beispiel ist die Polarisation von Materie, wenn ein äußeres elektromagnetisches Feld angelegt wird. So bestimmt die elektrische Suszeptibilität χ e die Polarisation P = χ E im e elektrischen Feld E. Für kleine Störungen ist die Reaktion des Systems im Allgemeinen proportional zur Störung. Die Response-Funktion ist dann unabhängig von der Stärke der Störung. Dies bedeutet zum Beispiel, dass χ e nicht vom angelegten elektrischen Feld abhängt. = i

10 Allgemeine Lösung Die allgemeine Lösung für eine beliebige Kraft f(t) erhalten wir durch die Zerlegung der Kraft in periodische Anteile, also durch die Fouriertransformation f t = d f exp i t, f = 2 d t f t exp i t Da die Bewegungsgleichung linear in Z(t) ist, erhalten wir eine partikuläre Lösung als Überlagerung (linear Kombination) vieler partikulärer Lösungen. x part t = Re d f m exp i t Für λ < ω 0 lautet die allgemeine Lösung dann: x t = Re C exp t i 0t d f m exp i t Die zwei Integrationskonstanten stecken in Re C und Im C. Für λ ω 0 müssen wir die homogene Lösung x hom des Falles B) bzw. C) nehmen. 2

11 Diskussion Wir betrachten eine periodische Kraft f(t) = f ω exp(iω t) mit einer festen Erregerfrequenz ω im Fall kleiner Dämpfung λ < ω 0. Die komplexwertige Suszeptibilität kann durch ihren Betrag und Phase beschrieben werden. = exp i a i b = a i b a i b a i b = a i b a 2 b 2 = i = i = 2, tan = Für diese periodische Kraft lautet die Lösung dann: x t = Re C exp t i 0t f m exp i t 0 =

12 Der Realteil ergibt sich dann als x t = A exp t cos 0 t f m cos t Die Konstanten A und α werden durch die Anfangsbedingungen festgelegt. Für große Zeiten wird die Lösung unabhängig von Anfangsbedingungen, da der erste Term verschwindet: x t = B cos t t / Diese Lösung entspricht der durch die äußere Kraft erzwungenen Schwingung im eingeschwungenen Zustand. Die Amplitude der Schwingung ist B = f m Die Phase δ(ω) ist die Phase der komplexen Suszeptibilität 2 =, tan =

13 Phase Eigenfrequenz Erregerfrequenz B = f m Das Maximum der Amplitude B(ω) liegt bei res = = arctan = Die Resonanzfrequenz liegt unter der Eigenfrequenz des Systems, die Breite der Resonanzkurve ist proportional zu λ, die Höhe des Maximums proportional /λ. 5

14 Im statistischen Fall (ω=0) ist die Auslenkung B(0)=f 0 /m ω 02, die Phase ist Null und die Auslenkung erfolgt in Richtung der Kraft. Für kleines ω und ω << ω 0 gilt 2 = arctan Die kleine negative Phase bedeutet, das die Auslenkung etwas hinter der antreibenden Kraft zurück bleibt. Je langsamer die Kraft oszilliert, desto kleiner ist die Phase. Für ω=ω 0 beträgt die Phase -π/2, die Auslenkung und die Kraft sind außer Phase: x t = B cos t / 2 = B sin t f t ~ cos t Für großes ω >> ω 0 geht die Phase gegen -π und die Schwingung ist gegenläufig zur antreibenden Kraft. x t = B cos t = B cos t f t ~ cos t Der D Übergang zwischen gleich- und gegenläufiger Auslenkung findet in einem Bereich e der Größe λ um ω 0 herum statt. r Ü 6

15 Energiebilanz F diss = 2 m ẋ Durch die Reibungskraft wird Energie absorbiert. Im eingeschwungenen Zustand wird die absorbierte Leistung laufend durch die äußere Kraft in das System eingespeist. Während der Bewegung um dx wird die Energie f diss dx absorbiert. Die absorbierte Leistung P=-f diss v oszilliert mit der Schwingung. P = f diss ẋ = 2 m ẋ 2 = 2 m B 2 2 sin 2 t x t = B cos t ẋ t = B sin t Wir benötigen die zeitliche Mittelung über eine Schwingsperiode. Das zeitliches Mittel einer Größe A(t) über eine Schwingungsperiode T ist definiert als: T A t = T 0 A t d t Damit erhalten wir als pro Schwingungsperiode absorbierte Leistung: P = f diss ẋ = 2 m B 2 2 sin 2 t = m B 2 2 T T 0 sin 2 t d t= T T 0 sin 2 t d t = T T sin 2 x dx= [ T T 4 2 x sin 2x = ] 2 7

16 Mit Hilfe der Ausdrücke für die Amplitude und Suszeptibilität können wir dieses Ergebnis noch umschreiben. B = f m Im = Im i = = 2 2 Nach Einsetzen und zusammenfassen erhalten wir: 2 P = f diss ẋ = m B 2 2 = m f 2 m = f 2 2 m Im Der Imaginärteil der Suszeptibilität bestimmt die absorbierte Leistung. Die Energieabsorption erfolgt überwiegend im Frequenzbereich ω ω 0 ± λ. 8

17 Resonanzkatastrophe Die Resonanzkatastrophe bezeichnet die Zerstörung eines Bauwerkes oder einer technischen Einrichtung durch angeregte Schwingungen aufgrund von Resonanz. Die Energie wird bei periodischer Anregung in der Nähe der Eigenfrequenz des Systems optimal übertragen und im System gespeichert. Durch weitere Energiezufuhr schwingt das System immer stärker, bis die Belastungsgrenze überschritten ist. Tacoma-Narrows-Brücke Galloping Gertie Eröffnet: Einsturz: Bauten sollten Eigenfrequenzen besitzen, die normalerweise nicht angeregt werden. In Erdbebengebieten richtet man sich dabei nach lokal typischen Schwingungsfrequenzen der Erderschütterungen. Beim höchsten Bauwerk 2005, dem Taipei 0, wurde ein massives Pendel über mehrere Stockwerke zum Schutz als Schwingungsdämpfer verbaut. Im Jahr 850 marschierten 730 französische Soldaten im Gleichschritt über die Hängebrücke von Angers. Die Brücke geriet in heftige Schwingungen und stürzte ein. 226 Soldaten fanden dabei den Tod. 9

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