Gedämpfte harmonische Schwingung
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- Rudolf Linden
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1 Gedämpfte harmonische Schwingung Die Differentialgleichung u + 2ru + ω 2 0u = c cos(ωt) mit r > 0 modelliert sowohl eine elastische Feder als auch einen elektrischen Schwingkreis. Gedämpfte harmonische Schwingung 1-1
2 k Feder m Masse c Dämpfer f Kraft 2r = c m, ω2 0 = k m Gedämpfte harmonische Schwingung 1-2
3 C Kondensator k Feder m Masse L Spule c Dämpfer R Widerstand f Kraft V 2r = c m, ω2 0 = k m 2r = R L, ω2 0 = 1 LC Gedämpfte harmonische Schwingung 1-3
4 Je nach Typ der Lösungen u h der homogenen Differentialgleichung (c = 0) unterscheidet man Gedämpfte harmonische Schwingung 1-4
5 Je nach Typ der Lösungen u h der homogenen Differentialgleichung (c = 0) unterscheidet man starke Dämpfung (r > ω 0 ): u h = a exp(λ 1 t) + b exp(λ 2 t) mit λ 1,2 = r ± r 2 ω0 2 Gedämpfte harmonische Schwingung 1-5
6 Je nach Typ der Lösungen u h der homogenen Differentialgleichung (c = 0) unterscheidet man starke Dämpfung (r > ω 0 ): u h = a exp(λ 1 t) + b exp(λ 2 t) mit λ 1,2 = r ± r 2 ω0 2 kritische Dämpfung (r = ω 0 ): u h = (a + bt) exp( rt) Gedämpfte harmonische Schwingung 1-6
7 Je nach Typ der Lösungen u h der homogenen Differentialgleichung (c = 0) unterscheidet man starke Dämpfung (r > ω 0 ): u h = a exp(λ 1 t) + b exp(λ 2 t) mit λ 1,2 = r ± r 2 ω0 2 kritische Dämpfung (r = ω 0 ): u h = (a + bt) exp( rt) schwache Dämpfung (r < ω 0 ): u h = exp( rt) (a cos(λt) + b sin(λt)) mit λ = ω0 2 r 2. Gedämpfte harmonische Schwingung 1-7
8 Eine partikuläre Lösung ist u p (t) = c cos(ωt + δ) mit der Amplitude und der Phase c = c/ (ω0 2 ω2 ) 2 + (2rω) 2 δ = arg(ω 2 0 ω 2 i2rω) Gedämpfte harmonische Schwingung 1-8
9 Eine partikuläre Lösung ist u p (t) = c cos(ωt + δ) mit der Amplitude c = c/ (ω0 2 ω2 ) 2 + (2rω) 2 und der Phase δ = arg(ω 2 0 ω 2 i2rω) Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung erhält man durch Addition von u h : u = u p + u h. Gedämpfte harmonische Schwingung 1-9
10 u u u t t t u u u t t t Das qualitative Verhalten von Lösungen kann sehr unterschiedlich sein. Gedämpfte harmonische Schwingung 1-10
11 Beweis: (i) Lösung der homogenen Differentialgleichung: Gedämpfte harmonische Schwingung 2-1
12 Beweis: (i) Lösung der homogenen Differentialgleichung: Der Typ der Lösungen ist durch das charakteristische Polynom λ 2 + 2rλ + ω 2 0 bestimmt. Gedämpfte harmonische Schwingung 2-2
13 Beweis: (i) Lösung der homogenen Differentialgleichung: Der Typ der Lösungen ist durch das charakteristische Polynom λ 2 + 2rλ + ω 2 0 bestimmt. (ii) Partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung: Gedämpfte harmonische Schwingung 2-3
14 Beweis: (i) Lösung der homogenen Differentialgleichung: Der Typ der Lösungen ist durch das charakteristische Polynom λ 2 + 2rλ + ω 2 0 bestimmt. (ii) Partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung: Einsetzen von u p = Re ( c exp(iωt + iδ) ) Re ( c exp(iδ)( ω 2 + 2rωi + ω 2 0) exp(iωt) ) = c cos(ωt) Gedämpfte harmonische Schwingung 2-4
15 Beweis: (i) Lösung der homogenen Differentialgleichung: Der Typ der Lösungen ist durch das charakteristische Polynom λ 2 + 2rλ + ω 2 0 bestimmt. (ii) Partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung: Einsetzen von u p = Re ( c exp(iωt + iδ) ) Re ( c exp(iδ)( ω 2 + 2rωi + ω 2 0) exp(iωt) ) = c cos(ωt) cos(ωt) = Re exp(iωt) = ω 2 0 ω 2 + 2rωi = c c exp( iδ), Gedämpfte harmonische Schwingung 2-5
16 Beweis: (i) Lösung der homogenen Differentialgleichung: Der Typ der Lösungen ist durch das charakteristische Polynom λ 2 + 2rλ + ω 2 0 bestimmt. (ii) Partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung: Einsetzen von u p = Re ( c exp(iωt + iδ) ) Re ( c exp(iδ)( ω 2 + 2rωi + ω 2 0) exp(iωt) ) = c cos(ωt) cos(ωt) = Re exp(iωt) = ω 2 0 ω 2 + 2rωi = c c exp( iδ), d.h. c = c ω0 2 ω2 + 2rωi, δ = arg ( ω0 2 ω2 + 2rωi ) Gedämpfte harmonische Schwingung 2-6
17 Beispiel: Schwingungsgleichung u + 5u + 6u = 2 cos t 2r = 5, ω 0 = 6, ω = 1, c = 2) Gedämpfte harmonische Schwingung 3-1
18 Beispiel: Schwingungsgleichung u + 5u + 6u = 2 cos t 2r = 5, ω 0 = 6, ω = 1, c = 2) starke Dämpfung: r > ω 0 Gedämpfte harmonische Schwingung 3-2
19 Beispiel: Schwingungsgleichung u + 5u + 6u = 2 cos t 2r = 5, ω 0 = 6, ω = 1, c = 2) starke Dämpfung: r > ω 0 Nullstellen des charakteristischen Polynoms λ 2 + 5λ + 6: λ 1,2 = 5 ± 1 2 Gedämpfte harmonische Schwingung 3-3
20 Beispiel: Schwingungsgleichung u + 5u + 6u = 2 cos t 2r = 5, ω 0 = 6, ω = 1, c = 2) starke Dämpfung: r > ω 0 Nullstellen des charakteristischen Polynoms λ 2 + 5λ + 6: λ 1,2 = 5 ± 1 2 allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung u h = a exp( 3t) + b exp( 2t) Gedämpfte harmonische Schwingung 3-4
21 partikuläre Lösung mit c = u p = c cos(ωt + δ) c (ω 20 ω2 ) 2 + (2rω) 2 = 2 (6 1) 2 + (5 1) = d.h. δ = arg(ω 2 0 ω 2 2rωi) = arg((6 1) (5 1)i) = π 4 u = u h + u p = a exp( 3t) + b exp( 2t) cos(t π/4) Gedämpfte harmonische Schwingung 3-5
22 Anfangsbedingungen u(0) = 6 5, u (0) = 6 5 u(t) = 3 exp( 3t) + 4 exp( 2t) cos(t π/4) 2 Gedämpfte harmonische Schwingung 3-6
23 Anfangsbedingungen u(0) = 6 5, u (0) = 6 5 u(t) = 3 exp( 3t) + 4 exp( 2t) cos(t π/4) u π 2π 3π 4π t starke Dämpfung schneller Übergang in eine harmonische Schwingung Gedämpfte harmonische Schwingung 3-7
24 Beispiel: Schwingungsgleichung u + 2ω 0 u + ω 2 0u = 0 Gedämpfte harmonische Schwingung 4-1
25 Beispiel: Schwingungsgleichung u + 2ω 0 u + ω 2 0u = 0 kritische Dämpfung: r = ω 0 u h = (a + bt) exp( ω 0 t) Gedämpfte harmonische Schwingung 4-2
26 Beispiel: Schwingungsgleichung u + 2ω 0 u + ω 2 0u = 0 kritische Dämpfung: r = ω 0 starkes Anfangswachstum möglich u h = (a + bt) exp( ω 0 t) Gedämpfte harmonische Schwingung 4-3
27 Beispiel: Schwingungsgleichung u + 2ω 0 u + ω 2 0u = 0 kritische Dämpfung: r = ω 0 u h = (a + bt) exp( ω 0 t) starkes Anfangswachstum möglich u u(t ) a = u(0) t Gedämpfte harmonische Schwingung 4-4 t
28 ω 0 = 1 u(t) = (a + bt) exp( t) Gedämpfte harmonische Schwingung 4-5
29 ω 0 = 1 maximal für t = b a b und u(t) = (a + bt) exp( t) u(t ) u(0) = b ( a ) a exp b 1 Gedämpfte harmonische Schwingung 4-6
30 ω 0 = 1 maximal für t = b a b und u(t) = (a + bt) exp( t) u(t ) u(0) = b ( a ) a exp b 1 für a/b 0 Gedämpfte harmonische Schwingung 4-7
31 ω 0 = 1 maximal für t = b a b und u(t) = (a + bt) exp( t) u(t ) u(0) = b ( a ) a exp b 1 für a/b 0 (hohe Spannungen beim Ausschalten von Stromkreisen!) Gedämpfte harmonische Schwingung 4-8
32 Beispiel: Schwingungsgleichung u + 2u + 50u = e iωt Gedämpfte harmonische Schwingung 5-1
33 Beispiel: Schwingungsgleichung u + 2u + 50u = e iωt schwache Dämpfung: 1 = r < ω 0 = 50 Gedämpfte harmonische Schwingung 5-2
34 Beispiel: Schwingungsgleichung u + 2u + 50u = e iωt schwache Dämpfung: 1 = r < ω 0 = 50 charakteristisches Polynom λ 2 + 2λ + 50 mit den komplex konjugierten Nullstellen λ 1,2 = 1 ± 7i Gedämpfte harmonische Schwingung 5-3
35 Beispiel: Schwingungsgleichung u + 2u + 50u = e iωt schwache Dämpfung: 1 = r < ω 0 = 50 charakteristisches Polynom λ 2 + 2λ + 50 mit den komplex konjugierten Nullstellen λ 1,2 = 1 ± 7i allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung u h = e t (a cos(7t) + b sin(7t)) Gedämpfte harmonische Schwingung 5-4
36 Beispiel: Schwingungsgleichung u + 2u + 50u = e iωt schwache Dämpfung: 1 = r < ω 0 = 50 charakteristisches Polynom λ 2 + 2λ + 50 mit den komplex konjugierten Nullstellen λ 1,2 = 1 ± 7i allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung u h = e t (a cos(7t) + b sin(7t)) partikuläre Lösung u p = ce iωt Gedämpfte harmonische Schwingung 5-5
37 Beispiel: Schwingungsgleichung u + 2u + 50u = e iωt schwache Dämpfung: 1 = r < ω 0 = 50 charakteristisches Polynom λ 2 + 2λ + 50 mit den komplex konjugierten Nullstellen λ 1,2 = 1 ± 7i allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung partikuläre Lösung Einsetzen in die Differentialgleichung u h = e t (a cos(7t) + b sin(7t)) c = u p = ce iωt 1 ω 2 + 2ωi + 50 Gedämpfte harmonische Schwingung 5-6
38 Real- und Imaginärteil von u = u h + u p für a = 1/10, b = 0, ω = 3 Gedämpfte harmonische Schwingung 5-7
39 Real- und Imaginärteil von u = u h + u p für a = 1/10, b = 0, ω = 3 schwache Dämpfung langsames Abklingen des homogenen Lösungsanteils Gedämpfte harmonische Schwingung 5-8
40 Real- und Imaginärteil von u = u h + u p für a = 1/10, b = 0, ω = 3 schwache Dämpfung langsames Abklingen des homogenen Lösungsanteils u Re u Im u π 2π 3π 4π t Gedämpfte harmonische Schwingung 5-9
41 Betrag der komplexen Amplitude c = 1 (ω0 2 ω2 ) + 2ωi = 1 (50 ω 2 ) 2 + (2ω) 2 Gedämpfte harmonische Schwingung 5-10
42 Betrag der komplexen Amplitude c = maximal für ω = 48, denn W = ω 2, 0 = 1 (ω0 2 ω2 ) + 2ωi = 1 (50 ω 2 ) 2 + (2ω) 2 d dw (50 W )2 + 4W = 2(50 W ) + 4 = W = 48 Gedämpfte harmonische Schwingung 5-11
43 Betrag der komplexen Amplitude c = maximal für ω = 48, denn W = ω 2, 0 = 1 (ω0 2 ω2 ) + 2ωi = 1 (50 ω 2 ) 2 + (2ω) 2 d dw (50 W )2 + 4W = 2(50 W ) + 4 = W = 48 relativ kleiner Dämpfungskoeffizient 2r = 2 = Resonanzfrequenz ω nahe bei ω 0 = 50 Gedämpfte harmonische Schwingung 5-12
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