Formelanhang Mathematik II

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1 Formelanhang Mathematik II Mechatronik 2. Sem. Prof. Dr. K. Blankenbach Wichtige Formeln: - Euler: e j = cos() + j sin() ; e -j = cos() - j sin() - Sinus mit Phase: Übersicht Differentialgleichungen (DGL) Def: Ordnung n einer DGL = höchste vorkommende Ableitung Bsp: - dy/dx = y -> n = (. Ordnung) - d 2 y/dx 2 = y -> n = 2 (2. Ordnung) Erste und zweite Ordnung in der Technik meist ausreichend Def.: Nomenklatur der Ableitungsdarstelluing - Zeitableitung: dy/dt = y oft wird auch y (t) verwendet - Ortsableitung: dy/dx = y (wird oft für Zeit verwendet, s.o.) Gleichungsdefinition von DGLs. Ordnung 2. Ordnung Explizit (meist Technik) y' = f (x, y') z.b. y = x y'' = f (x, y, y') z.b. y ay by (S t) Implizit F(x, y, y') = 0 x + y y = 0 F(x, y, y', y'') = 0 y + y y = 0 Wichtige Unterarten: - Lineare DGLs - enthalten keine Potenzen, nur lineare Glieder z.b. y + f(x) y = g(x) - Technik: oft lineare DGL mit konstantem Koeffizienten z.b. y ay by (S t) (Schwingungsgleichung mit Erregerterm S(t)) - Homogene DGLs: z.b. y ay by 0 (freie Schwingung) - Inhomogene DGLs: z.b. y ay by (S t) (extern angeregte Schwingung) MATHE_2_MEC_FORMELANHANG_SS202.DOCX

2 Lösungen: Def.: Eine Funktion y = y(x) heißt Lösung einer DGL, wenn diese mit ihren Ableitungen die DGL identisch erfüllt Bem: Dies ist gleichzeitig auch die Probe! Lösungsansatz:. Art der DGL identifizieren 2. Lösung nach Kochrezept aus Formelsammlung bzw. zu Fuß (optional Raten ) 3. Ggf. Anfangs- und Randbedingungen einsetzen 4. Optional: Probe allgemeine Lösung: unbestimmte Integrationskonstanten (C, C 2,...) spezielle (partikuläre) Lösung: Integrations-Konstante aus Anfangswerten bzw. Randbedingungen. MATHE_2_MEC_FORMELANHANG_SS202.DOCX 2

3 Vorgehensweisen zur Lösung von Inhomogenen Linearen DGL. Ordnung mit getrennten Veränderlichen DGL: y' + f(x) y = S(x) mit S(x) als inhomogenem Term (Störfunktion) Allgemeine Lösung: y = y h + y p (homogene + partikuläre Lösung) Lösung mit Kochrezept (Methode von Lagrange) Homogene Lösung für S(x) = 0 y h C e (f x ) dx Inhomogene Lösung y p (f x )dx e (S x)e (f x )dx dx Allgemeine Lösung (kann direkt berechnet werden) y y h y p e (f x )dx C (S x)e (f x )dx dx Lösung mit zu Fuß (sequentielle Berechnung). Lösung der homogenen DGL: homogene Lösung: y h C e (f x ) dx 2. Variation der Konstanten C = C(x) in inhomogene DGL eingesetzt ergibt Gleichung für C(x). 3. Allgemeine Lösung: y (C x) e (f x ) dx Die Methode Ansatz einer geeigneten Störfunktion bei DGL getrennte Veränderliche klappt nur für einfachste Fälle; bei Konstantem Koeffizienten dagegen Methode der Wahl. MATHE_2_MEC_FORMELANHANG_SS202.DOCX 3

4 Vorgehensweisen zur Lösung von Inhomogenen Linearen DGL. Ordnung mit konstantem Koeffizienten - Spezialfall der Inhomogenen Linearen DGL. Ordnung mit getrennten Veränderlichen - Methode für spezielle Störfunktionen DGL: y' + a y = S(x) Allgemeine Lösung: y = y h + y p (homogene + partikuläre Lösung).) Homogene Lösung: S(x) = 0 : y h = C e -ax 2.) Partikuläre Lösung der inhomogenen DGL 2 Methoden a) Variation der Konstanten siehe Inhomogene Lineare DGL. Ordnung mit getrennten Veränderlichen b) Geeigneter Lösungsansatz für Störfunktion S(x) in inhomogene DGL einsetzen mit y p : siehe Tabelle. Ist bei konstantem Koeffizienten meist die Methode der Wahl. 3.) Allgemeine Lösung y = y h + y p Der Lösungsansatz für die partikuläre Lösung ist abhängig vom Typ der Störfunktion S(x): S(x) Konstante Funktion Lineare Funktion Polynom P n (x), n: Grad Exponentialfunktion S(x) = Ae bx Sinus bzw. Cosinus S(x) = A sin(x) S(x) = B cos(x) oder Linearkombination S(x) = A sin(x) + B cos(x) Lösungsansatz y p (x) y p = C 0 Parameter: C 0 y p = C x + C 0 Parameter: C, C 0 y p = C n x n C x + C 0 Parameter: C n,..., C, C 0 - für b -a : y p = C e bx - für b = -a : y p = C x e bx Parameter: C y p = C sin(x) + C 2 cos(x) Parameter: C, C 2 oder y p = C sin(x + ) Parameter: C, MATHE_2_MEC_FORMELANHANG_SS202.DOCX 4

5 d) Inhomogene Dgl 2. Ordnung mit konstantem Koeffizienten (Erzwungene Schwingungen) y'' + d y' + o ² y = S(x) Die allgemeine Lösung Y = Y(x) ist hier die Summe aus der Lösung der allgemeinen Lösung y h der zugehörigen homogenen DGL und einer beliebigen partikulären Lösung y p der inhomogenen DGL: y = y h (x) + y p (x) Der Lösungsansatz für die partikuläre Lösung ist abhängig vom Typ der Störfunktion S(x): S(x) Polynom P n (x) n: Grad Exponentialfunktion e cx c kann ohne Koeffizientenvergleich übernommen werden Sinus- bzw. Cosinus sin(ax) bzw. cos(ax) oder Linearkombination Lösungsansatz y p (x) für o ² 0 : y p = Q n (x) ; Q n Polynom Bsp: S(x) = 5 y p = A ; S(x) = 5x y p = A + Bx für o ² = 0, d 0 : y p = x Q n (x) ; Q n Polynom für o ² = 0, d = 0 : y p = x² Q n (x) ; Q n Polynom c ist keine Lösung der Charakteristischen Gleichung (CP) y p = A e cx c ist einfache Lösung der Charakteristischen Gleichung (CP) y p = A x e cx c ist doppelte Lösung der Charakteristischen Gleichung (CP) y p = A x² e cx ja ist keine Lösung der Charakteristischen Gleichung (CP) y p = C sin(ax + ) ; j: imaginär bzw. y p = C sin(ax) + C 2 cos(ax) oder e j(t - ) ja ist eine Lösung der Charakteristischen Gleichung (CP) y p = x [A sin(ax) + B sin(ax)] ; j: imaginär MATHE_2_MEC_FORMELANHANG_SS202.DOCX 5

6 Anmerkungen: Die Parameter (z.b. A, B, ) sind so zu bestimmen, daß die Funktion die lineare DGL löst. Dies führt zu einem linearen Gleichungssystem mit genau einer Lösung Bei periodischen Störfunktionen kann man auch einen komplexen Ansatz y p = C e j(ax+ ) verwenden. Falls Störfunktion nicht in obiger oder anderer Tabelle: Reihen- bzw. Fourierentwicklung Das Vorgehen zur Lösung der inhomogenen linearen DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten lautet: y'' + d y' + o ² y = S(x). Bestimmung der allgemeinen Lösung y h der homogenen DGL y'' + d y' + o ² y = 0 mit charakteristischer Gleichung (charakteristischem Polynom) 2. Lösungsansatz für partikuläre Lösung y p aus obiger Tabelle in DGL einsetzen und Bestimmung der Konstanten 3. Addition von. und 2. zur allgemeinen Lösung y(x) = y h + y p 4. Ggf. spezielle Lösung aus Anfangsbedingungen MATHE_2_MEC_FORMELANHANG_SS202.DOCX 6

7 2. Laplace-Transformation und Rechenregeln f(t) Zeitbereich F(p) Bildbereich Transformation f(t) F(p) j o pt f (t) F(p) e dp (*) F (p) 2j f(t) j o 0 e pt dt Linearität a f (t) + a 2 f 2 (t) a F (p) + a 2 F 2 (p) Ähnlichkeitssatz f(at) mit a > 0 / a F( p / a ) Verschiebungssatz f(t-) mit > 0 e -p F(p) Dämpfungssatz f(t) LT dann p=p+d Sprungfunktion e -dt f(t) F(p+d) / p Deltafunktion (t) Periodische Funktion (T: Periodendauer) f(t) = f(t + T) F(p) p T e Periodizit ät T 0 f(t) e p t dt. Differentiation f (t) pf(p) - f(+0) (**) 2. Differentiation f (t) p²f(p) - pf(+0) - f (+0) (**) t Integrationssatz f ( ) d / p F(p) t 0 Faltungssatz f ( ) f (t ) F (p) F 2 (p) 0 2 d (*) : Rücktransformation statt mit Integral meist mit Korrespondenztabelle, Partialbruchzerlegung bzw. Reihenentwicklung von F(p) (**) : t +0 MATHE_2_MEC_FORMELANHANG_SS202.DOCX 7

8 Korrespondenz-Tabelle zur Laplace-Transformation (I) MATHE_2_MEC_FORMELANHANG_SS202.DOCX 8

9 Korrespondenz-Tabellen zur Laplace-Transformation (II) MATHE_2_MEC_FORMELANHANG_SS202.DOCX 9

10 Vorgehen bei der Partialbruchzerlegung (Kochrezept) (f x ) (Z x ) (N x ). Bestimme Nullstellen des Nennerpolynoms N(x) 2. Jede Nullstelle wird ein Partialbruch ( pb ) zugeordnet A a) x einfache reelle Nullstelle p b(x) x x A A 2 b) x zweifache reelle Nullstelle p b( x) p b( 2 x ) x x ( x x )² c) x r-fache reelle Nullstelle A A 2 Ar... p b( x) p b( 2 x)... p b( r r x x ( x x )² ( x x ) d) komplexe Nullstellen relativ kompliziert x) A i ist/sind unbekannt und somit zu bestimmende Konstanten N 3. f (x) p b i (x) mit N : Anzahl der Nullstellen des Nennerpolynoms i 4. Bestimmung der Konstanten A i (hier als praxisnahe Methode): - alle Brüche auf Hauptnenner bringen - Koeffizientenvergleich MATHE_2_MEC_FORMELANHANG_SS202.DOCX 0

11 Beispiel aus der E-Technik RLC-Netzwerke : Ohmsches Gesetz im Bildbereich: Z(p) = U(p) / I(p) Bildspannungen und Symbolische Widerstände Schaltglied Spannung im Bildspannung Symbolischer Wider- Zeitbereich stand im Bildbereich Ohmscher Widerstand R U R (t) = R I(t) U R (p) = R I(p) Z R (p) = R Kondensator C ) Spule L ) Z L (p) = L p MATHE_2_MEC_FORMELANHANG_SS202.DOCX