Fourier-Reihen, Fourier- und Laplace - Transformation

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1 Fourier-Reihen, Fourier- und Laplace - Transformation Prof. Dr. Karlheinz Blankenbach Hochschule Pforzheim Tiefenbronner Str Pforzheim Überblick / Anwendungen: - Fourier: Analyse von Schwingungen bzw. Signalen - Laplace: Lösen von DGL, Übertragungsfunktion, Regelungstechnik Empfohlene Literatur: - Latussek et al. : Lehr- und Übungsbuch Mathematik V, Fachbuchverlag Leipzig-Köln - Papula : Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Band 2, Vieweg - Westermann : Mathematik für Ingenieure mit MAPLE, Band 2, Springer - Burg et al. : Höhere Mathematik für Ingenieure, Band III, Teubner - Tilman Butz: Fouriertransformation für Fußgänger, Teubner - Weber/Ulrich: Laplace-Transformation, Teubner Blankenbach / WS2 / 9.9.2

2 . Fourier Reihenentwicklung Fourier-Reihenentwicklung warum, wozu?: - Methode zur Darstellung von Funktionen durch (unendliche) Reihen gut für Mikrocontroller falls mathematische Funktion nicht im Compiler implementiert ist oder eingebaute Compilerfunktion zu langsam. - Anwendungen: Differentiation, Integration, Spektrum,. Einschub zur Wiederholung: Allgemeines zu Reihen Anwendungen: - Darstellung von Funktionen mit Reihen Numerik - Integrierbarkeit von 'unlösbaren' Integralen - Frequenzanalyse nach FOURIER - In der Technik sind viele Zusammenhänge als Reihen angenähert (oft auch, weil keine exakte Formel existiert bzw. experimentell ermittelt) Bsp: Hooke sches Gesetz, T-abhängiger Längenausdehnung bzw. elektrischer Widerstand: X = X o ( + T) Definition: a + a 2 + a a n +... = a n a n : n-tes Reihenglied n (R - ) Reihe ist - konvergent, wenn a n n = S (Grenzwert S existiert, S < ) (R - 2) - divergent: Grenzwert S existiert nicht a n = n Ideal: Unendliche Reihe Reale Numerik: endliche Reihe a n N n = <s N > (R - 3) Partialsumme Blankenbach / WS2 /

3 Vorgehensweise bei Reihen: ) existiert S? 2) wenn ja (konvergent), bestimme S bzw. <s N > Beispiele: n n = = divergent... = konvergent? 2 n n Reihendefinitionen: - geometrisch : a n = a q n- - alternierend : a - a 2 + a Potenzreihe : a + a x + a 2 x² + (Polynom) - arithmetisch : a n = a + (n-) d - harmonisch : a n = / n Geometrische Reihen Def.: n a q = a + aq + aq² + aq³ +... (R - 4) n Konvergenzbed.: q < Summe: S a für q < (R - 5) q n Bsp:... n n q = /2 also konvergent, a = S 2 2 Blankenbach / WS2 /

4 Alternierende Reihen n Def.: n a = a - a 2 + a 3 - a (R - 6) n Leibnitz - Konvergenzkriterium: ) a n > a n+ (R - 7) 2) lim a n n alternierende Reihe konvergent, wenn beide Bed. erfüllt n n n Bsp: a n = /n Leibnitz: ) n n 2) lim n n Reihe ist konvergent Potenzreihen Def.: n a x n = a n o + a x + a 2 x 2 + a 3 x (R - 8) mit a n R Potenzreihe = Polynom Konvergenzradius r a n lim (R - 9) n an - konvergent : x < r - divergent : x > r - keine Aussage : x = r n 2 x x x Bsp:... n! 2 n r a lim a n n n lim n (n )! n! lim(n ) n Reihe konvergent für alle x R (Fakultät > Potenz) Blankenbach / WS2 /

5 Potenzdarstellung von Funktionen konvergente Potenzreihe stellt eine reelle Zahl dar: y f(x) n a x n (R - ) n somit gilt auch: d - Differential y' f'( x) dx n an x n n n a x n n - Integral F x f x dx a x dx a x n n ( ) ( ) n n n n n C Bsp: ( ) n x n - x + x² - x³ +... mit a =, q = -x : geometrische Reihe n ( x) x n für x < f(x) = / (+x) (Summe) Diff. und Int. Mit obiger Reihendefinition und Summe Diff: f (x) = -/(+x)² = - + 2x - 3x² +... = ( ) n n n x n (so erhält man auch Summen von neuen Reihen) Int : dx f( x) dx ln( x) x zu Fuß unmöglich aus Formelsammlung n ( x) n dx x x² 2 x³ 3... C = ln(+x)! C aus ln = für x= C = ln(+x) x x²/2 + x³/3 Anwendung: Numerik Blankenbach / WS2 /

6 Beispiele von Potenzreihen (aus Papula Formelsammlung) Blankenbach / WS2 /

7 Näherungspolynome (aus Papula Formelsammlung) liefern (nur) in der Nähe des Nullpunkte brauchbare Ergebnisse! (Bsp: sinx = x und e -x = - x geht für größere x, z.b. 2 schief ) Blankenbach / WS2 /

8 .2 Fourier Reihen Vorteil Fourier im Vergleich zu Taylor- und MacLaurin-Reihe: - basiert auf periodischen Vorgängen, welche technische Schwingungen besser als Potenzreihen beschreiben! - Analyse des Frequenzspektrums ( Fouriertrafo) Fourier-Analyse von Musikinstrumenten rel. Lautstärke Trompete rel. Lautstärke Horn f o 2f o 3f o 4f o 5f o Frequenz f o 2f o 3f o 4f o 5f o Frequenz rel. Lautstärke Oboe rel. Lautstärke Clarinette f o 2f o 3f o 4f o 5f o Frequenz f o 2f o 3f o 4f o 5f o Frequenz Allerdings: Idealisierte Betrachtung (scharfe Peaks) für Reihen. Bei Messung und Fourier-Transformation verbreitern sich diese Peaks. Blankenbach / WS2 /

9 .2. Definition der Fourier Reihe Ziel: Zerlegung einer periodischen Funktion nach Sinus und Cosinus k Def.: f (t) a a coskt b sinkt o k k f(x) a o k a k cosk x b sink x k mit den Fourier Koeffizienten (k reelle ganze Zahlen): relative Zeit t Ort x Amplitude (Periode T mit T = 2/) a (DC-Anteil) T T f(t) dt 2 2 f(x) dx a 2 k f(t) cos(k t) dt T T 2 f(x) coskx dx b 2 k f(t) sin(k t) dt T T 2 f(x) sinkx dx Bemerkungen Die Integrationsgrenzen können verschoben werden. Salopp formuliert: Man muß nur darauf achten, dass über eine ganze Periode integriert wird: T To T To f(t)dt T T f(t)dt Man findet auch oft eine Fourier-Reihenentwicklung nach x. In der Technik meist zeitabhängige Messwerte etc. deshalb Zeit (Periode T) verwenden! Vereinfachung für folgende Fälle (Symmetrie): Funktion Definition alle Bsp. gerade f(-t) = f(t) b k = cos ungerade f(-t) = - f(t) a k = (inkl. a o ) sin d.h. Approximation nur durch Sinus bzw. Cosinus! Blankenbach / WS2 /

10 Vereinfachung für Rechnung mit Periode T: Def.: f (t) ao a k coskt bk sinkt ao Ak sin kt k k k mit A k 2 2 k ak bk ; tan k, Rest siehe oben ak b Anmerkung: Dirichletsche Bedingungen Die Entwicklung einer periodischen Funktion in eine Fourier-Reihe ist unter folgenden Voraussetzungen (sog. Dirichletsche Bedingungen) möglich:. Das Periodenintervall lässt sich in endlich viele Teilintervalle zerlegen, in denen die Funktion stetig und monoton ist 2. In den Unstetigkeitsstellen existiert sowohl der links- als auch rechtsseitige Grenzwert (es kommen nur Sprungunstetigkeiten mit endlichen Sprüngen in Betracht) Diese Bedingung ist z.b. nicht für Tangens als periodische Funktion erfüllt! Beispiele: zu. : Rechteck- bzw. Sägezahnsignal sind stetig und monoton in Teilintervallen zu 2. : Dreiecksfunktion an der Spitze Unstetigkeit mit endlichem Sprung Hilfreiche Integrale und Definitionen : T für k cos dt T für k - k t T sin - k t dt für alle k 2 - sin sin cos ( ) cos ( ) 2 - cos cos cos ( ) cos ( ) 2 - sin cos sin( ) sin( ) Blankenbach / WS2 / 9.9.2

11 Fourier-Darstellung Sägezahn y 4 Sägezahn (nicht maßstäblich) bis k= bis k=2 bis k= t Nullstellen-Versatz durch EXCEL-Schrittweite b k Fourier - Koeffizienten Sägezahn (Spektrum) 2,8,6,4,2,8,6,4, Liniendiagramm, da einzelne diskrete 'x-werte', hier k k Die b k s fallen relativ langsam, da die Spitzen des Sägezahnes nachgebildet werden müssen. b = da kein DC-Anteil. Blankenbach / WS2 / 9.9.2

12 Beispiele für Fourier-Reihen (aus Papula Mathematische Formelsammlung) Blankenbach / WS2 /

13 Blankenbach / WS2 /

15 Rechteck-Signal durch Fourier-Reihe approximiert Blankenbach / WS2 /

16 Vergleich Fourier- Reihe und Fourier Transformation Blankenbach / WS2 /

17 Fourier Transformation Bezeichnung: f(t) F() komplexe Darstellung (e jt = cost jsint) Definition der Integrale Summe Integral Einzelglieder Fourier-Transformierte diskret kontinuierlich Fourier- Reihe f(t) k c k e - für c.c. jkt C k T T f(t) e j k t dt Fourier- Integral jt f( t) F( ) e d 2 jt F( ) f( t) e dt F() ist Fouriertransformierte von f(t) : Spektraldarstellung im Allgemeinen komplex, d.h. Amplitude + Phase ACHTUNG: - Nie = 2 / T verwenden wie bei Fourier-Reihe! - Vereinfachung für reelle gerade bzw. ungerade Funktionen f(t) siehe 9! Aufsplittung von F() in Real- und Imaginärteil e -jt = cost - jsint : F( ) jt f ( t) e dt f ( t) cos( t) dt j f ( t) sin( t) dt F( ) R( ) j I( ) F( ) R²( ) I ²( ) : Betrag ( ) I R ( ) ( ) : Phase A() = F() : Amplitudenspektrum : Praxis! Blankenbach / WS2 /

19 Beispiele Rechteck-Signale vs. Optik (Beugung) Blankenbach / WS2 /

20 Tabelle Fourier-Transformierte (aus Föllinger, HÜTHIG) Vergleiche Rechteckimpuls und sinx/x (Si) Blankenbach / WS2 /

24 Fourier-Transformierte und Fensterfunktionen Vorgehensweise: Erfassung (z.b. Oszi) und Multiplikation im Zeitbereich mit Fensterfunktion Fensterfunktionen dämpfen die Nebenzipfel (Frequenz im Original nicht vorhanden!) zu Lasten der Amplitude des Hauptmaximums Blankenbach / WS2 /

25 Fourier-Fenster-Funktion: Rechteck Spaltfunktion (Zoom, s.u.) Verbreiterung des Hz-Peaks F (Amplitudenspektrum),2 Fouriertransformierte einer zeitlich begrenzten Cosinusschwingung fo = Hz, Meßdauer s : gemessene Schwingungen,8,6,4, f /Hz F (Amplitudenspektrum) Fouriertransformierte einer zeitlich begrenzten Cosinusschwingung fo = Hz, Meßdauer s : gemessene Schwingungen f /Hz Nebenzipfeldämpfung durch mehr Perioden, aber Gefahr der Unterabtastung Blankenbach / WS2 /

26 Beispiel: Fourier-Transformation eines RLC-Schwingkreis mit schwacher Dämpfung Amplitude Gedämpfte Schwingungen Einhüllende, Zeit -,5 - schw ach gedämpft Kriechfall Aperiodischer Grenzfall rel. Amplitude FT gedämpfte Schwingung 8 6 A (d=,) A (d =,25) A (d = ) 4 2,5,5 2 2,5 rel. Frequenz (w/w s ) Blankenbach / WS2 /

27 Übungsaufgaben Fourier-Reihen und -Transformation. Entwickle die Funktion a f (t) a für t t 2 t,, 2 mit f(t+2) = f(t) in eine Fourier-Reihe und skizziere das Ergebnis. a k 2, 4,... 4a sint sin3t sin5t Lsg: b k f(t)... mit k 4 k, 3, sin t 2. Entwickle die Funktion f( t) für sin t t t mit f(t+2) = f(t) in eine Fourier-Reihe (Tipp: k = 2k und skizziere das Ergebnis. 2 4 cos2t cos4t sin6t Lsg: f(t)... mit a ungerade = ; a gerade = 4/(-k²) Berechne Fouriertransformierte eines Dreieckimpulses und skizziere das Ergebnis f(t) A - Tmess/2 t 4A T ² Lösung: F( ) cos Tmess / 2 mess 4. Berechne die FT des doppelten Rechteckpuls und skizziere das Ergebnis f(t) -3 T -T T 3T t Lösung: F( ) 4 sint cos2 T Blankenbach / WS2 /

28 2.2. Laplace-Transformation und Rechenregeln f(t) F(p) Transformation f(t) F(p) f (t) 2j j o j o F(p) e pt dp F (p) f(t) e pt dt (*) Linearität a f (t) + a 2 f 2 (t) a F (p) + a 2 F 2 (p) Ähnlichkeitsatz f(at) mit a > / a F( p / a ) Verschiebungssatz f(t-) mit > e -p F(p) Dämpfungssatz e -dt f(t) F(p+d) Sprungfunktion _ / p Deltafunktion (t). Differentiation f (t) pf(p) - f(+) (**) 2. Differentiation f (t) p²f(p) - pf(+) - f (+) (**) t Integrationssatz f ( ) d / p F(p) t Faltungssatz f ( ) f2(t ) d F (p) F 2 (p) (*) : Rücktransformation besser mit Partialbruchzerlegung bzw. Reihenentwicklung von F(p) und Korrespondenztafel (**) : t + Blankenbach / WS2 /

31 Partialbruchzerlegung (Einschub) wird zur Laplace-Rücktransformation benötigt, um gebrochen rationale Funktionen zu zurlegen, um die Korrespondenztafeln anwenden zu können. Auch hilfreich bei Integration Beispiel : gebrochen rationale Funktion: 5x x² 3x allgemein: f(x) Z(x) N(x) a n n m x x b a x x b a o o mit n < m ; m, n N ; a i, b i R ; a n b m = durch Kürzen Prinzip (zunächst rückwärts) 3 x 2 2 x 5 3 (x 5) 2 (x 2) (x 2) (x 5) 5x x² 3x < Partialbruchzerlegung Ziel: Faktorzerlegung Nenner N(x) = (x - x )(x - x 2 ) (bei quadratischem Nenner) Bem.: Partialbruchzerlegung immer möglich Blankenbach / WS2 /

32 Vorgehen: f(x) N(x) Z(x). Bestimme Nullstellen des Nennerpolynoms N(x) 2. Jeder Nullstelle wird ein Partialbruch zugeordnet A a) x einfache reelle Nullstelle p b(x) x x A A 2 b) x zweifache reelle Nullstelle p b(x) x x (x x )² A A2 Ar c) x r-fache reelle Nullstelle... p b(x) r x x (x x )² (x x ) d) komplexe Nullstellen relativ kompliziert A i unbekannt, sind zu bestimmende Konstanten N 3. f (x) p b i (x) mit N : Anzahl der Nullstellen des Nennerpolynoms i 4. Bestimmung der Konstanten A i : - alle Brüche auf Hauptnenner bringen - geeignete x-werte ansetzen, z.b. Nennernullstellen, ergibt Lineares Gleichungssystem - Lösung des LG mit Gauß oder Koeffizientenvergleich Blankenbach / WS2 /

33 a) zweifache Nullstellen f( x) x 5 x² 6x 9 N( x) Z( x). Bestimme Nullstellen N(x) = x² - 6x + 9 = x / 2 3 x = x 2 = 3 2 N(x) = (x - 2) (x + 5) 2. Zuordnung Partialbruch A x = x 2 = 3 : pb ( x) x A 3 ( x 3)² f( x) pb ( x) i i A x A 3 ( x 3)² 2 4. Bestimmung der Konstanten A ( x 3) A f( x) ( x 3)² 2 A x 3A A x 5 2! (*) Methode Koeffizientenvgl. mit (*) A = 3 - A 2 = 5 A 2 = -2 x 5 2 f( x) x² 6x 9 x 3 ( x 3)² Methode geeignete x-werte mit (*) x = 3 : 3A - 3A + A 2 = 3-5 A 2 = -2 s.o. A? A x - 3A - 2 = x - 5 A (x - 3) = x - 3 A = s.o. Übung : 5x² 26x 5 x³ 3x² 4 4 x ( x 2) ( x 2)² Blankenbach / WS2 /

34 2.2.5 Anwendung der Laplace-Transformation Zweck: Leichteres Lösen komplizierter Gleichungen Anwendungen in- E-Technik, Informationstechnik, Maschinenbau, Regelungstechnik, : - Übertragungsfunktion eines Systems (Signalverarbeitung, siehe zugehörige Vorlesung) - Regelungstechnik (siehe zugehörige Vorlesung) - Lösen von Differentialgleichungen (hier): Vorgehensweise:. Die DGL y n (linear mit konstantem Koeffizienten) wird mit Laplace-Transformation in eine algebraische Gleichung übergeführt 2. Als Lösung dieser Gleichung erhält man die Bildfunktion Y(p) der gesuchten Originalfunktion y(t) 3. Die gesuchte Lösung y(t) der DGL erhält man durch Rücktransformation der Bildfunktion Y(p). (Korrespondenztabellen, Partialbruchzerlegung, Reihenentwicklung,...) Vorteil: Rechenoperationen im Bildbereich meist leichter ausführbar! Blankenbach / WS2 /

35 Beispiel aus der E-Technik RLC-Netzwerke : Ohmsches Gesetz im Bildbereich: Z(p) = U(p) / I(p) Bildspannungen und Symbolische Widerstände Schaltglied Spannung im Bildspannung Symbolischer Wider- Zeitbereich stand im Bildbereich Ohmscher Widerstand R U R (t) = R I(t) U R (p) = R I(p) Z R (p) = R Kondensator C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Spule L ( ) ( ) ) ( ) ( ) ZL (p) = L p Blankenbach / WS2 /

36 2.2.6 Übungsaufgaben Laplace - Transformation. Berechnen Sie die Laplace-Transformierte von f(t) = t für t, sonst. Lsg.: F(p) =/p² 2. Berechnen Sie die Laplace-Transformierte von f(t) = sint für t, sonst. Lsg.: F(p) =/(p²+²) 3. Lösen Sie mit DGL-Methoden und mit Laplace-Trafo: y = e -t mit y() = Lsg.: y = - e -t 4. Lösen Sie mit DGL-Methoden und mittels Laplace-Transformation y + y = x mit y(/2) = und y (/2) =. Lsg.: y = x - (/2)sinx 5. Lösen Sie mit DGL-Methoden und mittels Laplace-Transformation y + 2y + y = mit y() = ; y () =. Lsg.: y = x e -x 6. Lösen Sie mit DGL-Methoden und mittels Laplace-Transformation y + y = cos2x erst allgemein und dann mit y() = und y () = Hinweis: Verwenden Sie erweiterte Korrespondenztabellen! Lsg.: y = y h + y p = (/3 + y())cosx + y ()sinx - /3 cos2x = 4/3 cosx - /3 cos2x Blankenbach / WS2 /