K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 3. Übung WS 17/18: Woche vom

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1 Übungsaufgaben 3. Übung WS 17/18: Woche vom Fourierreihen: 16. b,c,e,o), 16.3 a, b), 16.4 a) auch reelle Fourierreihe) Klausureinsicht zu Mathematik II ): , Uhr, Raum WIL C 307.

2 Fourierreihen - s. Abschn. 3.9) Es sei f : R R π-periodisch immer: [, π]), beliebig. Weitere Eigenschaften: stückweise stetig glatt), beschränkt. beliebige Funktionen - formal) unendlich viele Freiheitsgrade) Ziel: Darstellung mittels eines universellem Funktionensystem Trigonometrisches Funktionensystem: {1, sin nx, cos nx} Reihe: fx) af Praktisch : fx) s N x) = af N a f n cos nx + b f n sin nx ), x π 1) a f n cos nx + b f n sin nx ) Definition: s N heißt die N-te Partialsumme Reihensumme), 1) erfordert Grenzübergang sonst nur formal)

3 Mehrere Fragen bzw. Probleme Wie berechnen sich die Koeffizienten a f 0, af n, b f n? In welchem Sinn gilt fx)... in 1) für welche f)? Welche Manipulationen mit Fourierreihe sind ausführbar? Ist gliedweise Integration bzw. Differentiation möglich?) Abstand, Skalarprodukt und Konvergenz für Vektoren a = a 1,..., a n ) T, b = b 1,..., b n ) T R n a, b := a, b = 0 a b, Norm: a = a, a = n a i b i i=1 n a i, i=1 Konvergenz: a n a a n a 0 a n i a i, i).

4 Die Berechnung der Fourierkoeffizienten a f n = a n = 1 π speziell: a o = 1 π b f n = b n = 1 π fx) cos nx dx, für n = 0, 1,,..., ) fx) dx fx) sin nx, für n = 1,,..., Grundlage dieser einfachen) Berechnung: Orthogonalität ) sin kx cos nx dx = 0, cos nx dx = 0 k, n N, cos kx cos nx dx = δ nk π, sin kx sin nx dx = δ nk π, ) dx = π ) sin kx dx = 0 k, n N k, n N,

5 Beispiel 1: f 1 x) = x, x, π] periodische Fortsetzung: Sägezahnimpuls, ist global) eine unstetige Funktion) +π +π cos nx x sin nx a 0 : xdx = 0, a n : x cos nx dx = n + n f 1 ungerade f 1 cos ist ungerade; f 1 sin ist gerade; b n : +π x sin nx dx = sin nx n x cos nx n +π = ±π n +π = 0 f 1 x) = x n+1 sin nx 1) n Eine ungerade Funktion ergibt eine reine Sinusreihe Koeffizientenberechnung - partielle Integration).

6 Beispiel : f x) = x, x, π] periodische Fortsetzung: ist global) eine stetige Funktion) a 0 / = π /3 +π a n : x x cos nx x cos nx dx = n + π n ) n 3 sin nx +π = ± 4π n f gerade f cos ist gerade; f sin ist ungerade; +π b n : x x sin nx x sin nx dx = n n ) n 3 cos nx f x) = x π 3 4 n+1 cos nx 1) Eine gerade Funktion ergibt eine reine Kosinusreihe. n +π = 0

7 Im Quadratmittel integrierbare Funktionen Eine Funktion f gehört zu L [, π] f x)dx < Skalarpr.: f, g := Norm: f L := f, f := fx)gx)dx, d.h., f g f, g = 0 f x)dx Konvergenz: f n f f n f L 0 ) {1, sin nx, cos nx} bildet eine orthogonale Basis in L Einheitsvekt. : e 0 x) 1, e 1 nx) = cos nx, e nx) = sin nx) alle periodischen, beschränkten und stetigen stck.-w. stetigen, stck.-w. glatten) Funktionen gehören zu L [, π]

8 Fourierreihenentwicklung für f L f L a 0, a n, b n berechenbar s N x) = a N kann für beliebiges N N gebildet werden. Es gilt Satz: f L die s N x) L und s N L π Parsevalsche Gl.: = a 0 + N a n + b ) n a n + b ) n < Reihe konvergiert ), es gilt 1 π Reihenrest verschwindet : f x)dx = f L π n=n+1 = a 0 + a n + b ) n, a n + b ) n 0 für N.

9 Konvergenz der Partialsummen f L ) Betrachten Restsumme r N x) = fx) s N x). Ausrechnen: 1 π r N L = n=n+1 a n + b n) N 0 s N f, siehe ). Satz: Die Folge der Partialsummen der Fourierreihe konvergiert im Quadratmittel gegen die Funktion f f L [, π]. In diesem Sinn kann f L mit der zugehörigen Fourierreihe identifiziert werden. Es existieren andere klassische ) Konvergenzbegriffe punktweise Konvergenz, gleichmäßige Konvergenz usw.), die sind schwieriger zu diskutieren s. Bärwolf,..). Bisher keine Aussage über Konvergenz von gliedweiser) Ableitung bzw. gliedweiser) Integration!)

10 Funktionen mit beliebiger Periodenlänge T = l Sei f : R R T -periodisch l π) Grundperiode: [ l, l). Mittels linearer Argumentreskalierung y = π T x = π l x sieht man sofort): Das Funktionensystem {1, sin π π T nx, cos T nx} ist orthogonal in L l, l) f L l, l) darstellbar als Fourierreihe fx) af mit a f n = 1 l l l a f n cos π T nx + bf n sin π ) T nx, l x < l, fx) cos π T nx dx, für n = 0, 1,,..., analog für die Koeffizienten b f n der Sinusschwingungen. Die Eigenschaften für gerade und ungerade Fkt.nen bleiben erhalten reine Kosinus- bzw. reine Sinusreihe), auch alles andere.

11 Komplexe Fourierreihen f : R C hat Periode T = l, Kreisfrequenz ω = π/t. ft) = f 1 t) + if t) = n=+ n= c n e inωt c n := 1 T +l l ft)e inωt dt Für rein relle Funktionen f t) 0) gelten spezielle Umrechnungsformeln: a) bei reell zu komplex: c 0 = a 0, n > 0 : c n = a n ib n, n < 0 : c n = a n + ib n b) komplex zu reell: a 0 = c 0, a n = c n + c n, b n = ic n c n )

12 Punktweise Konvergenz der Fourierreihe I Def.: f :, π] R heißt stückweise glatt, wenn f stetig diffbar mit Ausnahme endlich vieler Punkte ist. In diesen Ausnahmepunkten x i, i = 11)m 1) einschließlich der Randpunkte x 0/m = ±π, sollen rechts- und linksseitige Grenzwerte fx i ± 0), f x i ± 0), fx 0 + 0), f x 0 + 0), fx m 0), f x m 0) der Funktion und ihrer Ableitung existieren. Definition GW von f : f x i + 0) := lim h 0 fx i + h) fx i + 0) h Bem.: Vergleiche auch Definition 3.19 im Buch Bärwolf). In den Beispielen: f 1 x 0/1 = ±π) und f 3 x 0/ = ±π, x 1 = 0) sind stckw. glatt; f und f a 4 sind stckw. glatt und stetig; f b 4 ist stetig diffbar, f b 4) existiert und ist stckw. glatt.

13 Punktweise Konvergenz der Fourierreihe II Satz: Ist f :, π] R eine stückweise glatte Funktion fortgesetzt mit Periode π), so gilt für N ) s N x) s N ±π) fx + 0) + fx 0) f + 0) + fπ 0) Die Konvergenz ist gleichmäßig in jedem Interval, daß keinen Ausnahmepunkt enthält. Folgerung: i) In jedem Stetigkeitspunkt gilt s N x) fx). ii) Ist f stckw. glatt und stetig, so konvergiert die Fourierreihe gleichmäßig und absolut gegen f. )

14 Konvergenz in den Beispielen In allen Beispielen Konvergenz im Quadratmittel in L, π)): Für alle Reihen gilt a n 0, b n 0, und a n + b n <. Für f 1 und f 3 : Konvergenz punktweise gegen fx) für x ±π s i N ±π) f i + 0) + f i π 0) 0, für i = 1, = π, für i = 3. Für f und f a 4 : Konvergenz gleichmäßig und absolut gegen fx). Für f b 4: Noch bessere Konvergenzordnung als f und f a 4. Punktweise) Konvergenz kritisch an Unstetigkeitsstellen Gibbs-Phänomen).

15 Gliedweise Differentiation bzw. Integration f x) =?!) na n sin nx + nb n cos nx In endlichen Summen klar, aber bei Reihen gilt dies nur bei Konvergenz der formal) differenzierten Reihe!In den Beispielen: Für f 1 und f 3 : Keine Konvergenz von f in s N : b n 0!). Für f und f a 4 : Konvergenz für f in L und punktweise. Für f b 4: Gleichm. Konv. für f, Konv. punktw. für f. Eine punktweise konvergente Fourierreihe kann gliedweise integriert werden dann glm. konvergent): x 0 fs)ds = a 0 x + a n n sin nx b n n cos nx + b n n.