Beispiel: Die Sägezahnfunktion.

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1 Beispiel: Die Sägezahnfunktion. Betrachte die Sägezahnfunktion : für t = oder t = π S(t) := 1 (π t) : für < t < π Die Sägezahnfunktion ist ungerade, also gilt (mit ω = 1) a k = und b k = π π und damit bekommt man die Fourier-Reihe S(t) sin(t) + sin(t) π t + sin(3t) 3 sin(kt)dt = 1 k +... Approximation der Sägezahnfunktion durch 1. Partialsumme S 1 (t) = 1 sin(kt). k Analysis II TUHH, Sommersemester 7 Armin Iske 169

2 Beispiel: Die Rechteckschwingung. Betrachte die Rechteckschwingung : für t =, t = π oder t = π R(t) := 1 : für < t < π 1 : für π < t < π Die Funktion ist ungerade, also gilt: a k = b k = π π sin(kt)dt = : für k gerade; 4 kπ : für k ungerade. Die Fourier-Reihe von R(t) lautet daher R(t) 4 ( sin(t) + sin(3t) π sin(5t) 5 ) Analysis II TUHH, Sommersemester 7 Armin Iske 17

3 Noch ein Beispiel. Betrachte f(t) = t, π < t < π mit direkter π-periodischer Fortsetzung. Die Fortsetzung ist gerade, damit folgt a k = π t cos(kt)dt = π π 3 : für k = ( 1) k 4 k : für k = 1,,... Damit bekommt man die Fourier-Reihe f(t) π 3 4cos(t) 1 + 4cos(t)... Analysis II TUHH, Sommersemester 7 Armin Iske 171

4 Rechenregeln für Fourier-Reihen. Für f, g : R C stückweise stetig, T-periodisch mit f(t) γ k e ikωt und g(t) δ k e ikωt gelten die folgenden Rechenregeln. Linearität: αf(t) + βg(t) (αγ k + βδ k )e ikωt Konjugation: f(t) γ k e ikωt Zeitumkehr: f( t) γ k e ikωt Analysis II TUHH, Sommersemester 7 Armin Iske 17

5 Weitere Rechenregeln für Fourier-Reihen. Streckung: f(ct) γ k e ik(cω)t für c > Verschiebung: f(t + a) ( γk e ikωa) e ikωt für a R e inωt f(t) γ k n e ikωt für n Z Analysis II TUHH, Sommersemester 7 Armin Iske 173

6 Noch mehr Rechenregeln für Fourier-Reihen. Ableitung: Ist f(t) stetig und stückweise differenzierbar, so gilt f (t) = (ikωγ k )e ikωt (kω) [b k cos(kωt) a k sin(kωt)] Integration: Gilt a = γ = T t f(τ)dτ 1 T T τf(τ)dτ f(t)dt =, so folgt [ bk kω cos(kωt) a ] k kω sin(kωt) Analysis II TUHH, Sommersemester 7 Armin Iske 174

7 Konvergenzsatz. Satz: Sei f : R C T-periodisch und stückweise stetig differenzierbar. Dann gelten die folgenden Konvergenzaussagen für die zugehörige Fourier-Reihe F f (t) = a + [a k cos(kωt) + b k sin(kωt)] für t R. Die Fourier-Reihe konvergiert punktweise und für alle t R gilt F f (t) = 1 [ f(t + ) + f(t ) ] für t R. In allen kompakten Intervallen [a, b], in denen f(t) stetig ist, ist die Konvergenz der Fourier-Reihe gleichmäßig. Bemerkung: Die Stetigkeit von f(t) reicht für die Konvergenz der Fourier-Reihe nicht aus. Analysis II TUHH, Sommersemester 7 Armin Iske 175

8 Beispiel: Die Sägezahnfunktion. S(t) := : für t = oder t = π 1 (π t) : für < t < π Fehlerfunktion: Definiere für < t < π Es gilt: R n (t) := 1 sin(t) (t π) + sin(t) sin(nt) n Integration: 1 + cos(t) + cos(t)... + cos(nt) = sin [ (n + 1 )t] sin(t/) t π sin [ (n + 1 )t] sin(t/) dt = (t π) + sin(t) + sin(t) sin(nt) n Analysis II TUHH, Sommersemester 7 Armin Iske 176

9 Daraus folgt: R n (t) = t π sin [( n + 1 sin(t/) ) t ] dt = cos [( ) ] n + 1 t (n + 1)sin(t/) + 1 n + 1 t π cos (( n + 1 ) ) d τ dτ = cos [ (n + 1 )t] (n + 1)sin(t/) + cos [ (n + 1 )ξ] ( ) 1 (n + 1) sin(t/) 1 ( 1 sin(τ/) ) dτ für ξ [π, t], und daher Ist t (, π) fest, so gilt: R n (t) (n + 1)sin(t/) R n (t) t Analysis II TUHH, Sommersemester 7 Armin Iske 177

10 Approximation im quadratischen Mittel. Satz: Sei f : R C eine T-periodische, stückweise stetige Funktion, und seien S n (t) := a + n [a k cos(kωt) + b k sin(kωt)] die Partialsummen der zugehörigen Fourier-Reihe von f. Für den linearen Raum { } 1 T n := span,cos(ωt),...,cos(nωt),sin(ωt),...,sin(nωt) C(R) der trigonometrischen Polynome mit dem Skalarprodukt gilt u, v = T T u(t)v(t) dt f S n f ϕ für alle ϕ T n, d.h. S n ist Bestapproximation an f aus T n bezüglich. Analysis II TUHH, Sommersemester 7 Armin Iske 178

11 Beweis: Die Funktionen ϕ (t) 1, ϕ k (t) = cos(kωt), ψ k (t) = sin(kωt) k = 1,,..., n bilden eine Orthonormalbasis des linearen Teilraums T n C(R). Dann ist die Bestapproximation s T n aus T n an f C(R) gegeben durch die orthogonale Projektion von f auf T n : s (t) = < f, ϕ > ϕ (t) + = a ϕ (t) + = S n (t), n [< f, ϕ k > ϕ k (t)+ < f, ψ k > ψ k (t)] n [a k ϕ k (t) + b k ψ k (t)] wobei a = < f, ϕ >, a k =< f, ϕ k > und b k =< f, ψ k > für k = 1,,..., n. Analysis II TUHH, Sommersemester 7 Armin Iske 179

12 Die Besselsche Ungleichung. Satz: Es gilt die Besselsche Ungleichung S n f, d.h. a n [ + ak + b k ] T f(t) dt. T Beweis: Es gilt f S n =< f S n, f S n >= f Re < f, S n > + S n = f Re < f, a n ϕ + (a k ϕ k + b k ψ k ) > + S n ( ) = f Re < f, a n ϕ > + [a k < f, ϕ k > +b k < f, ψ k >] ( = f a n [ + ak + b k ]) + S n = f S n + S n Analysis II TUHH, Sommersemester 7 Armin Iske 18

13 Das Riemannsche Lemma. Folgerung: Aus der Besselschen Ungleichung folgt insbesondere die Konvergenz der beiden Reihen a k und b k und damit gilt das Riemannsche Lemma lim a k = lim b k =. k k Analysis II TUHH, Sommersemester 7 Armin Iske 181

14 Konvergenzgeschwindigkeit. Satz: Ist eine T-periodische Funktion f : R R (oder f : R C) stückweise (m + 1)-fach stetig differenzierbar, und sind die Ableitungen f (), f (1),..., f (m 1) stetig auf R, so gibt es eine Konstante C > mit γ k C k m+1 für k = ±1, ±,... Fazit: Je glatter f, desto schneller konvergiert die Fourier-Reihe F f gegen f. Analysis II TUHH, Sommersemester 7 Armin Iske 18

15 Beweis: Reicht zu zeigen für m =. Sei f(t) stückweise stetig differenzierbar mit Unstetigkeitsstellen = t < t 1 <... < t m = T. Dann bekommt man mit partieller Integration und somit T γ k = T = 1 ikω γ k 1 T 1 k = C k, f(t)e ikωt dt 1 ω m 1 j= [ m 1 j= f(t)e ikωt t j+1 t + j [ f(t j+1 ) + f(t+ j ) ] mit C C(f). tj+1 t j + 1 ω f (t)e ikωt dt T ] f (t) dt Analysis II TUHH, Sommersemester 7 Armin Iske 183

16 Die Parsevalsche Gleichung. Bemerkung. Für n geht die Besselsche Ungleichung in Gleichheit über, d.h. es gilt die Parsevalsche Gleichung lim n S n = f, d.h. a [ + ak + b k ] = T f(t) dt, T denn die Fourier-Reihe konvergiert im quadratischen Mittel gegen f, d.h. lim f S n =. n Beispiel: Für die Rechteckschwingung R(t) gilt T für alle k N, gilt weiterhin b k = 16 ( 1 π ) T f(t) dt =. Da a k = = 16 π π 8 =. Analysis II TUHH, Sommersemester 7 Armin Iske 184

17 Eindeutigkeitssatz. Satz: Seien f(t) und g(t) zwei T-periodische stückweise stetige Funktionen mit f(t) = 1 g(t) = 1 ( f(t ) + f(t + ) ) für alle t [, T]; ( g(t ) + g(t + ) ) für alle t [, T]. Weiterhin besitzen f und g dieselben Fourier-Koeffizienten, d.h. es gilt T T f(t) cos(kωt) dt = f(t) sin(kωt) dt = T T g(t)cos(kωt)dt für alle k N ; g(t) sin(kωt) dt für alle k N. Dann stimmen f und g auf ganz R überein, d.h. es gilt f g. Analysis II TUHH, Sommersemester 7 Armin Iske 185