Ferienkurs Analysis 3. Ari Wugalter März 2011
|
|
- Astrid Rothbauer
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Ari Wugalter März
2 1 Hilberträume Im ersten Kapitel wollen wir uns mit den grundlegenden Eigenschaften von Hilberträumen beschäfitgen. Hilberträume habe die herausragende Eigenschaft, dass trotz ihrer sehr allgemeinen Form, auf ihnen sehr viele Aussagen gelten, die wir auch schon aus dem R n in ähnlicher Form gesehen haben. Durch die Verallgemeinerung dieser Aussagen auf beliebige Hilberträume und die anschließende Anwendung auf andere bekannte Hilberträume führt zu vielen neuen Erkenntinissen, so zum Beispiel in der Theorie der gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen oder in der Theorie der Konvergenz von Funktionenfolgen. Für den Physiker sind Hilberträume von fundamentaler Bedeutung für die mathematische Modellierung der Quantenmechanik. Definition 1.1 (Skalarprodukt). Sei V K -VR. Eine Abbildung V V K, (x, y) x, y heißt Skalarprodukt, wenn gilt 1. (Linearität) x, λy + λỹ = λ x, y + λ x, ỹ 2. (Antisymmetrie) x, y = y, x 3. (Positivität) x, x 0, x, x = 0 x = 0. Aus der Definition lassen sich unmittelbar einige Eigenschaften ableiten. Korollar 1.1 (Eigenschaften des Skalarprodukts). 1. x, 0 = 0, x = 0 2. λx + λ x, y = λ x, y + λ x, y 3. Wir können über x = x, x eine Norm auf dem vorliegendem Vektorraum definieren. 4. Das Skalarprodukt ist stetig, und sogar gleichmäßig stetig in den einzelnen Komponenten. Die Beweise von 1. und 2. erfolgen jeweils durch einfaches nachrechnen. Für die den Beweis der Dreieckunsungleichung in 3. und der Stetigkeiten in 4. brauchen wir die sogenannte Cauchy-Bunjakowski-Schwarz-Ungleichung. Satz 1.1 (Cauchy-Schwarz-Ungleichung). Sei V K -VR mit Skalarprodukt, dann gilt für alle x, y V x, y 2 x, x y, y = x 2 y 2 2
3 Beweis. Die Aussage ist erfüllt, wenn y = 0. Sei daher o.b.d.a y 0.Für beliebige λ gilt 0 x + λy, x + λy = x, x + 2R (λ x, y ) + λ 2 y, y Wir können λ = x,y y,y wählen und erhalten 0 x, x + 2R ( ) x, y 2 x, y 2 + y, y y, y x, y 2 x, x y, y Mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung wird der Beweis der Normeigenschaften und der Stetigkeit zu einer einfachen Übung. Wir sehen, dass jeder Vektorraum mit Skalarprodukt automatisch auch ein normierter Vektorraum ist. Wenn wir noch zusätzlich fordern, dass der Raum vollständig ist, d.h, dass alle Cauchy-Folgen in diesem Raum konvergieren, dann können wir in diesem Raum schon recht gut Analysis betreiben. Definition 1.2 (Hilbertraum). Sei V K -VR, auf dem ein Skalarprodukt definiert ist. V heißt Hilbertraum, falls V vollständig bezüglich der durch das Skalarprodukt induzierten Norm ist. Satz 1.2 (Polaridentität, Parallelogrammgleichung). Sei V K -VR,, ein Skalarprodukt auf V und die dazu korrespondierende Norm. Es gilt 1. die Polaridentiät für K = R oder für K = C x, y = 1 4 x, y = 1 4 ( x + y 2 x y 2), ( x + y 2 x y 2 i x + iy 2 + i x iy 2), sowie 2. die Parallelogrammgleichung Beweis. diy. x + y 2 + x y 2 = 2 ( x 2 + y 2) 3
4 Mann kann sogar weiter gehen und zeigen, dass die Parallelogrammgleichung notwendiges und hinreichendes Kriterium dafür ist, dass zu einer Norm ein induzierendes Skalarpordukt existiert. Und daher insbesondere auch dafür, ob ein Banachraum (vollständiger, normierter Vektorraum) auch ein Hilbertraum ist. Definition 1.3 (Orthogonalität und orthogonales Komplement). Sei V Hilbertraum. Zwei Elemente x, y heißen orthogonal, wenn x, y = 0. Die Menge {x V x, y = 0 y Y V } =: Y heißt orthogonales Komplement von Y. Korollar 1.2 (Eigenschaften orthogonaler Vektoren und orthogonaler Komplemente). 1. (Satz von Pythagoras) x + y 2 = x 2 + y 2, falls x y 2. Y ist abgeschlossener Untervektorraum von V. 3. V = {0} ; V = {0}. Beweis. Der Beweis erfolgt zum Teil in den Übungen bzw. ist dem Leser überlassen. Wie eingangs erwähnt lassen sich viele Eigenschaften, die aus dem R n bekannt sind auf beliebige Hilberträume verallgemeinern. Dazu wollen wir zum Abschluss unseres Kapitels zu Hilberträume den Projektionssatz und den Satz von der Existenz von Orthogonalbasen kennenlernen. Satz 1.3 (Projektionssatz). Sei V Hilbertraum, Y V abgeschlossener Untervektorraum. Für jedes x V exisitieren eindeutige Elemente y Y und y Y, sodass x = y + y. Der Punkt y heißt orthogonale Projektion und ist derjenige aus Y mit dem geringsten Abstand zu x, d.h. x y x ỹ, ỹ Y. (y ist Bestapproximation von x in Y ) Beweis. Der Beweis benutzt einige nicht-triviale Techniken, die sich auch in anderen Fällen hilfreich gezeigt haben. Daher wollen wir ihn näher betrachten. Wir werden die Aussage in drei Schritten beweisen. Zunächst zeigen wir die Eindeutigkeit der orthogonalen Projektion, im zweiten Schritt zeigen wir die Existenz eines bestapproximierenden Elements in Y und zum Schluss zeigen wir mit Hilfe eines Variationsansatzes, dass dieses bestapproximierende Element tatsächlich eine orthogonale Projektion von x in Y darstellt. 4
5 Sei x = y + y = ỹ + ỹ, dann gilt 0 = (y ỹ) + (y ỹ ) 0 = y ỹ, y ỹ + y ỹ, y ỹ = y ỹ }{{} =0 y = ỹ y = ỹ. Sei d := infỹ Y x ỹ und {y n } n N Minimalfolge, d.h. x ỹ n d. Wir müssen zeigen, dass y n eine konvergente Folge ist, also eine Cauchy-Folge. Wir benutzen dazu die Parallelogrammgleichung aus Satz 1.2 mit x x ym und 2 y x yn. Wir erhalten 2 x y 2 m + y n 2 }{{} d y m y n 2 }{{} 0 = 1 2 ( x ym 2 + x y n 2) } {{ } d 2 Wir sehen, dass der erste Term auf der linken Seite per Definition größer gleich d 2 ist, und, dass die rechte Seite gegen d 2 konvergiert, d.h. der rechte Term auf linken Seite gegen 0 konvergieren muss. Also ist {y n } n N eine Cauchy- Folge. Wir wissen bereits, dass y := lim n y n den Abstand x ỹ minimiert. Das heißt insbesondere auch, dass die Funktion f(ɛ) := x (y + ɛw), w Y bezüglich der reellen Variable ɛ ein Minimum bei ɛ = 0 hat. Aus der Analysis I wissen wir, dass die Ableitung am Ort eines Minimums eine Nullstelle hat. Daraus folgt d dɛ x (y + ɛw), x (y + ɛw) ɛ=0 = 0 d dɛ x y 2 ɛ w, x y ɛ x y, w + ɛ 2 w 2 ɛ=0 = 0 2R w, x y = 0. Da w beliebig ist können wir auch insbesondere w 1 w einsetzen und i erhalten 2I w, x y = 0 w, x y = 0. Die Existenz einer orthogonalen Projektion ist ein Alleinstellungsmerkmal von Hilberträumen gegenüber beliebigen Banachraum. Daraus resultiert die Folgende mächtige Aussage zur Existenz von Basen in Hilberträumen. 5
6 Definition 1.4 (Seperable Vektorräume). Ein Vektorraum V heißt seperabel, wenn es eine abzählbare dichte Teilmenge in V gibt. Satz 1.4 (Existenz von Orthogonalbasen). Sei V seperabler Hilbertraum. Dann existiert eine Menge S := {e n } n I, I = {0, 1,..., N} oder I = N, sodass gilt 1. e n, e m = δ nm 2. Span S = V. Beweis. Die Aussage stimmt wirklich! 6
7 2 Funktionentheorie Funktionentheorie ist die Analysis von Funktionen, die von komplexen Variablen abhängen. Im Vergleich zum Hilbertraumkapitel wollen wir hier das Augenmerk wirklich ausschließlich auf die gängigen Definitionen, Eigenschaften und Rechentechniken setzen und auf allgemeinere topologische Aussagen verzichten. Definition 2.1 (Komplexe Differenzierbarkeit, Holomorphie). Sei U C offen. Eine Funktion f : U C heißt komplex differenzierbar an der Stelle z 0 U, wenn der Grenzwert f(z 0 + h) f(z 0 ) lim h 0,h 0 h in erhalten C existiert. f (z 0 ) heißt dann Ableitung von f an der Stelle z 0. Wenn f an jeder Stelle z 0 U differenzierbar ist, dann nennen wir f holomorph. Korollar 2.1 (Rechenregeln für komplexe Ableitungen). Durch die Ähnlichkeit der Definition der komplexen Ableitung zur Definition der rellen Ableitung in einer Variable erhalten wir durch analoge Überlegungen die uns bekannten Rechenregeln für Ableitungen. 1. (Linearität) (λf + µg) (z 0 ) = λf (z 0 ) + µg (z 0 ) 2. (Produktregel) (fg) (z 0 ) = f (z 0 )g(z 0 ) + f(z 0 )g (z 0 ) 3. (Kettenregel) (g f) (z 0 ) = g (f(z 0 ))f (z 0 ) Tatsächlich ist C = R 2. Daher können wir die Funktionen komplexer Variablen in Verbindung zu Funktionen zweier reeller Variablen bringen. Definition 2.2 (Reelle Differenzierbarkeit). ( ) R(z) Sei Φ : C R 2, z, U C offen. Zu einer Funktion f : U C können I(z) wir durch f := Φ f Φ 1 die korrespondierende Funktion R 2 R 2 definieren. Wir sagen f ist reel differenzierbar in z 0, wenn f total differenzierbar in Φ(z 0 ) ist. Ist f in jedem Punkt z 0 U reell differenzierbar, so sagen wir f ist reell differenzierbar auf U. Totale Differentiation ist definiert über die Existenz einer bestapproximierenden linearen Abbildung, der Ableitung D (manchmal Jacobi-Matrix J f genannt). Man kann zeigen, dass sich komplexe Differenzierbarkeit ebenso charakterisieren lässt, wobei wir in diesem Fall eine lineare Abbildung in einem C -VR betrachten. Alle 7
8 linearen Abbildungen C C lassen sich in der Form l(z) = c z, c C darstellen und es gilt l(x + iy) = (a + ib)(x + iy) = (ax by) + i(bx + ay). Daher gilt für die korrespondierende Abbildung l = Φ l Φ 1 ( ) x l = y ( a b b a ) ( x y Wir sehen also, dass nicht zu jeder linearen Abbildung R 2 R 2 eine lineare Abbildung C R gehört. Weiter lässt sich zeigen Korollar 2.2 (Äquivalenz von reeller und komplexer Differenzierbarkeit). Sei U C und f : U C eine Funktion. Die Funktion f ist genau dann in z 0 komplex differenzierbar, wenn f in z 0 reell differenzierbar ist und die Ableitung von f in der Form ( ) a b D f = b a darstellbar ist. Beweis. Recht technisch und für diesen Ferienkurs uninteressant. Satz 2.1 (Cauchy-Riemann-Gleichungen). Sei U C und f : U C eine Funktion. Dann sind äquivalent 1. f ist holomorph in U 2. f ist reell differenzierbar auf U und u(x, y) := R(f(x + iy)) und v(x, y) := I(f(x + iy)) erfüllen die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen: ). x u(x, y) = y v(x, y) y u(x, y) = x v(x, y) Beweis. Der Beweis folgt direkt aus Korollar 2.2. Wir können ablesen ( ) ( ) x u(x, y) D f = y u(x, y) a b = x v(x, y) y v(x, y) b a a = x u(x, y) = y v(x, y) b = y u(x, y) = x v(x, y). 8
9 Wir erhalten mit den Cauchy-Schwarz-Gleichungen eine weitere Methode um holomorphe Funktionen zu charakterisieren. Neben dem neuen Ableitungsbegriff ergibt sich durch die Isomorphie von C und R 2 auch ein neuer Integralbegriff für Funktionen komplexer Veränderlicher. Definition 2.3 (Integrationsweg, Kurvenintegral). 1. Eine stückweise stetig differenzierbare Kurve γ : [a, b] C nennen wir auch einen Integrationsweg. 2. Zu einem Integrationsweg γ definieren wir das komplexe Kurvenintegral von f entlang γ durch b f(z)dz = f(γ(t))γ (t)dt. γ Betrachten wir folgendes als Beispiel folgendes wichtiges Korollar. Korollar 2.3 (Kurvenintegrale von (z c) p längs Kreislinien). Sei c C, r > 0, K r (c) := {z C z c = r}. Wir parametrisieren γ(t) = c + re it, t [0; 2π]. K r(c) (z c) p dz = 2π 0 a ir p+1 e it(p+1) dt = { 0 if p 1; 2πi if p = 1. 9
x, y 2 f(x)g(x) dµ(x). Es ist leicht nachzuprüfen, dass die x 2 setzen. Dann liefert (5.1) n=1 x ny n bzw. f, g = Ω
5. Hilberträume Definition 5.1. Sei H ein komplexer Vektorraum. Eine Abbildung, : H H C heißt Skalarprodukt (oder inneres Produkt) auf H, wenn für alle x, y, z H, α C 1) x, x 0 und x, x = 0 x = 0; ) x,
Mehr10 Hilberträume. (b) λx,y = λ x,y für x,y X, λ K. (c) x, y = y, x für x, y X (Komplexe Konjugation nur im Falle K = C)
10 Hilberträume 10.1. Definition. Sei X ein Vektorraum über K. Eine Abbildung, : X X K heißt Skalarprodukt, falls (a) x 1 + x,y = x 1,y + x,y für x 1,x,y X (b) λx,y = λ x,y für x,y X, λ K (c) x, y = y,
MehrKapitel 7. Funktionentheorie. 7.1 Holomorphe und harmonische Funktionen. 1. Definitionen
Kapitel 7 Funktionentheorie In diesem Kapitel geht es meistens um Funktionen, die auf einem Gebiet G C definiert sind und komplexe Werte annehmen. Nach Lust, Laune und Bedarf wird C mit R identifiziert,
MehrKapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen
Kapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen 3.1. Normierte Vektorräume Definition: Sei V ein Vektorraum (oder linearer Raum) über (dem Körper) R. Eine Abbildung : V [0, ) heißt Norm auf V, falls die folgenden
MehrEinige Standard-Aufgabentypen der Funktionentheorie I
Matthias Stemmler SS 6 stemmler@mathematik.uni-marburg.de Einige Standard-Aufgabentypen der Funktionentheorie I I. Untersuchung von Funktionen auf komplexe Differenzierbarkeit/Holomorphie gegeben: gesucht:
MehrKonvergenz im quadratischen Mittel - Hilberträume
CONTENTS CONTENTS Konvergenz im quadratischen Mittel - Hilberträume Contents 1 Ziel 2 1.1 Satz........................................ 2 2 Endlich dimensionale Vektorräume 2 2.1 Defintion: Eigenschaften
Mehr2. Stetigkeit und Differenzierbarkeit
2. Stetigkeit Differenzierbarkeit 9 2. Stetigkeit Differenzierbarkeit Wir wollen uns nun komplexen Funktionen zuwenden dabei zunächst die ersten in der Analysis betrachteten Eigenschaften untersuchen,
Mehr= ( n x j x j ) 1 / 2
15 Skalarprodukte 77 15 Skalarprodukte 15.1 Einführung. a) Ab jetzt sei stets K = R oder K = C, da Wurzeln eine wichtige Rolle spielen werden. b) Nach dem Satz des Pythagoras ist die Länge eines Vektors
MehrHöhere Mathematik für Physiker II
Universität Heidelberg Sommersemester 2013 Wiederholungsblatt Übungen zur Vorlesung Höhere Mathematik für Physiker II Prof Dr Anna Marciniak-Czochra Dipl Math Alexandra Köthe Fragen Machen Sie sich bei
MehrKlausur zur Höheren Mathematik IV
Düll Höhere Mathematik IV 8. 1. 1 Klausur zur Höheren Mathematik IV für Fachrichtung: kyb Bitte beachten Sie die folgenden Hinweise: Bearbeitungszeit: 1 Minuten Erlaubte Hilfsmittel: 1 eigenhändig beschriebene
Mehr30 Metriken und Normen
31 Metriken und Normen 153 30 Metriken und Normen Lernziele: Konzepte: Metriken, Normen, Skalarprodukte, Konvergenz von Folgen Frage: Versuchen Sie, möglichst viele verschiedene Konvergenzbegriffe für
MehrAufgaben zu Kapitel 20
Aufgaben zu Kapitel 20 Aufgaben zu Kapitel 20 Verständnisfragen Aufgabe 20 Sind die folgenden Produkte Skalarprodukte? (( R ) 2 ( R 2 )) R : v w,, v v 2 w w 2 (( R ) 2 ( R 2 )) R : v w, 3 v v 2 w w + v
MehrSatz 2.3. Jeder lineare normierte Raum wird durch Einführung einer Metrik
Kapitel Lineare normierte Räume.1 Allgemeiner Überblick Definition.1. Eine Menge X, in der über einem Zahlenkörper K (K = R oder K = C) die Addition und λ-multiplikation mit den üblichen Verbindungsaxiomen
Mehrist reelles lineares Funktional. x(t) ϕ(t) dt ist reelles lineares Funktional für alle ϕ L 2 (0, 1).
Kapitel 4 Stetige lineare Funktionale 4.1 Der Satz von Hahn - Banach Definition 4.1. Sei X ein linearer normierter Raum über dem Körper K (R oder C). Ein linearer Operator f : X K heißt (reelles oder komplexes)
MehrKomplexe Zahlen und konforme Abbildungen
Kapitel 1 Komplexe Zahlen und konforme Abbildungen 1.0 Geometrie der komplexen Zahlen Die Menge C der komplexen Zahlen, lässt sich mithilfe der bijektiven Abbildung C := {x + iy : x,y R}, C z = x + iy
MehrRand der Fläche = Linie. suggestive Notation. "Zirkulation pro gerichteter Fläche" Vorschau: Eine komplexe Funktion sei nur von der Kombination
Zusammenfassung: Satz von Stokes Satz v. Stokes: Flussintegral der Rotation = Linienintegral Fläche Rand der Fläche = Linie Symbolisch: suggestive Notation Geometrische Definition der Rotation: "Zirkulation
MehrÜbungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester Lösungshinweise zum Klausurvorbereitungsblatt. (z) i f. 2xe (x2 +y 2) i2ye (x2 +y 2 ) 2
UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6. MATHEMATIK Prof. Dr. Roland Speicher M.Sc. Tobias Mai Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie Sommersemester 0 Lösungshinweise zum Klausurvorbereitungsblatt (3
MehrLösungsvorschlag zu den Hausaufgaben der 8. Übung
FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK Prof Dr Patrizio Ne Frank Osterbrink Johannes Lankeit 9503 Lösungsvorschlag zu den Hausaufgaben der 8 Übung Hausaufgabe : Beweise den Satz über die Parallelogrammgleichung Sei H
Mehr1 Euklidische und unitäre Vektorräume
1 Euklidische und unitäre Vektorräume In diesem Abschnitt betrachten wir reelle und komplexe Vektorräume mit Skalarprodukt. Dieses erlaubt uns die Länge eines Vektors zu definieren und (im Fall eines reellen
MehrEinführung in die Grundlagen der Numerik
Einführung in die Grundlagen der Numerik Institut für Numerische Simulation Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn Wintersemester 2014/2015 Normierter Vektorraum Sei X ein R-Vektorraum. Dann heißt
MehrDas Newton Verfahren.
Das Newton Verfahren. Ziel: Bestimme eine Nullstelle einer differenzierbaren Funktion f :[a, b] R. Verwende die Newton Iteration: x n+1 := x n f x n) f x n ) für f x n ) 0 mit Startwert x 0. Das Verfahren
MehrKapitel 5. Vektorräume mit Skalarprodukt
Kapitel 5 Vektorräume mit Skalarprodukt 119 120 Kapitel V: Vektorräume mit Skalarprodukt 5.1 Elementare Eigenschaften des Skalarprodukts Dienstag, 20. April 04 Wollen wir in einem Vektorraum wie in der
MehrVon Skalarprodukten induzierte Normen
Von Skalarprodukten induzierte Normen Niklas Angleitner 4. Dezember 2011 Sei ein Skalarproduktraum X,, gegeben, daher ein Vektorraum X über C bzw. R mit einer positiv definiten Sesquilinearform,. Wie aus
Mehr5 Stetigkeit und Differenzierbarkeit
5 Stetigkeit und Differenzierbarkeit 5.1 Stetigkeit und Grenzwerte von Funktionen f(x 0 ) x 0 Graph einer stetigen Funktion. Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 127 Häufungspunkt und Abschluss.
MehrKapitel 5. Die trigonometrischen Funktionen Die komplexen Zahlen Folgen und Reihen in C
Kapitel 5. Die trigonometrischen Funktionen 5.1. Die komplexen Zahlen 5.. Folgen und Reihen in C 5.10. Definition. Eine Folge (c n n N komplexer Zahlen heißt konvergent gegen c C, falls zu jedem ε > 0
Mehr4 Fehlerabschätzungen und Konvergenz der FEM
4 Fehlerabschätzungen und Konvergenz der FEM 4 Fehlerabschätzungen und Konvergenz der FEM 153 Es sei V der Lösungsraum und V N V ein endlich dimensionaler Unterraum. Weiters sei u V die exakte Lösung und
Mehr4 Fehlerabschätzungen und Konvergenz der FEM
4 Fehlerabschätzungen und Konvergenz der FEM 4 Fehlerabschätzungen und Konvergenz der FEM 153 Es sei V der Lösungsraum und V N V ein endlich dimensionaler Unterraum. Weiters sei u V die exakte Lösung und
Mehr20.4 Gleichmäßige Konvergenz von Folgen und Reihen von Funktionen
20 Gleichmäßige Konvergenz für Folgen und Reihen von Funktionen 20.1 Folgen und Reihen von Funktionen 20.3 Die Supremumsnorm 20.4 Gleichmäßige Konvergenz von Folgen und Reihen von Funktionen 20.7 Das Cauchy-Kriterium
Mehr(b) Folgern Sie, dass f auf C \{±i} keine Stammfunktion besitzt, indem Sie f entlang einer passenden Kreislinie mit Mittelpunkt in i integrieren.
Musterlösung noch: Funktionentheorie Aufgabe 2.5 (Holomorphe Stammfunktion. Sei f : C \{±i} C gegeben durch f( + 2. (a Zeigen Sie, dass f ( + i eine Stammfunktion auf K 2 (i besitt. Hinweis: Zeigen Sie
MehrSS 2016 Höhere Mathematik für s Studium der Physik 21. Juli Probeklausur. Die Antworten zu den jeweiligen Fragen sind in blauer Farbe notiert.
SS 6 Höhere Mathematik für s Studium der Physik. Juli 6 Probeklausur Die Antworten zu den jeweiligen Fragen sind in blauer Farbe notiert. Fragen Sei (X, d) ein metrischer Raum. Beantworten Sie die nachfolgenden
MehrMathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 5. Juni 2016 Definition 5.21 Ist a R, a > 0 und a 1, so bezeichnet man die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion x a x als
MehrBrückenkurs Rechentechniken
Brückenkurs Rechentechniken Dr. Jörg Horst Technische Universität Dortmund Fakultät für Mathematik SS 2014 1 Vollständige Induktion Vollständige Induktion 2 Funktionenfolgen Punktweise Konvergenz Gleichmäßige
MehrDie komplexen Zahlen und Skalarprodukte Kurze Wiederholung des Körpers der komplexen Zahlen C.
Die omplexen Zahlen und Salarprodute Kurze Wiederholung des Körpers der omplexen Zahlen C. Erinnerung an die Definition von exp, sin, cos als Potenzreihen C C Herleitung der Euler Formel Definition eines
MehrEuklidische und unitäre Vektorräume
Kapitel 7 Euklidische und unitäre Vektorräume In diesem Abschnitt ist der Körper K stets R oder C. 7.1 Definitionen, Orthonormalbasen Definition 7.1.1 Sei K = R oder C, und sei V ein K-Vektorraum. Ein
MehrLösungen der Übungsaufgaben von Kapitel 3
Analysis I Ein Lernbuch für den sanften Wechsel von der Schule zur Uni 1 Lösungen der Übungsaufgaben von Kapitel 3 zu 3.1 3.1.1 Bestimmen Sie den Abschluss, den offenen Kern und den Rand folgender Teilmengen
Mehr10 Aus der Analysis. Themen: Konvergenz von Zahlenfolgen Unendliche Reihen Stetigkeit Differenzierbarkeit
10 Aus der Analysis Themen: Konvergenz von Zahlenfolgen Unendliche Reihen Stetigkeit Differenzierbarkeit Zahlenfolgen Ein unendliche Folge reeller Zahlen heißt Zahlenfolge. Im Beispiel 2, 3, 2, 2 2, 2
MehrVorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13)
1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13) Kapitel 5: Konvergenz Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 15. Dezember 2011) Folgen Eine Folge x 0, x 1,
MehrSeminar Einführung in die Kunst mathematischer Ungleichungen
Seminar Einführung in die Kunst mathematischer Ungleichungen Geometrie und die Summe von Quadraten Clara Brünn 25. April 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 1.1 Geometrie allgemein.................................
MehrMusterlösung. Aufgabe 1 a) Die Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist die Funktion f : [0, 1] R, die folgendermaßen definiert ist:
Musterlösung Aufgabe a) Die Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist die Funktion f : [, ] R, die folgendermaßen definiert ist: f(x) := { für x R \ Q für x Q f ist offensichtlich beschränkt. Wir zeigen,
Mehr2. Dezember Lineare Algebra II. Christian Ebert & Fritz Hamm. Skalarprodukt, Norm, Metrik. Matrizen. Lineare Abbildungen
Algebra und Algebra 2. Dezember 2011 Übersicht Algebra und Algebra I Gruppen & Körper Vektorräume, Basis & Dimension Algebra Norm & Metrik Abbildung & Algebra I Eigenwerte, Eigenwertzerlegung Singulärwertzerlegung
MehrMathematik II für Inf und WInf
Gruppenübung Mathematik II für Inf und WInf 8. Übung Lösungsvorschlag G 28 (Partiell aber nicht total differenzierbar) Gegeben sei die Funktion f : R 2 R mit f(x, ) := x. Zeige: f ist stetig und partiell
Mehr5 Teilmengen von R und von R n
5 Teilmengen von R und von R n Der R n ist eine mathematische Verallgemeinerung: R n = {x = (x 1,...,x n ) : x i R} = R }... {{ R }. n mal Für x R ist x der Abstand zum Nullpunkt. Die entsprechende Verallgemeinerung
MehrBestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems. y (x) 4y (x) 5y(x) = 6e x. y(0) = y (0) = 0.
Aufgabe Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems y (x) 4y (x) 5y(x) = 6e x y(0) = y (0) = 0. Zunächst bestimmen wir die Lösung der homogenen DGL. Das charakteristische Polynom der DGL ist λ 2 4λ
MehrTopologische Grundbegriffe I. 1 Offene und Abgeschlossene Mengen
Topologische Grundbegriffe I Vortrag zum Proseminar Analysis, 26.04.2010 Nina Neidhardt und Simon Langer Im Folgenden soll gezeigt werden, dass topologische Konzepte, die uns schon für die Reellen Zahlen
MehrOrthonormalisierung. ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum. Wir setzen
Orthonormalisierung Wie schon im Falle V = R n erwähnt, erhalten wir durch ein Skalarprodukt eine zugehörige Norm (Länge) eines Vektors und in weiterer Folge eine Metrik (Abstand zwischen zwei Vektoren).
MehrFolgen und Reihen. Thomas Blasi
Folgen und Reihen Thomas Blasi 02.03.2009 Inhaltsverzeichnis Folgen und Grenzwerte 2. Definitionen und Bemerkungen............................. 2.2 Konvergenz und Beschränktheit.............................
MehrFUNKTIONENTHEORIE I. 1. Komplexe Differenzierbarkeit In dieser Vorlesung werden die folgenden Standard-Symbole verwendet: - C für die komplexe Ebene,
FUNKTIONENTHEORIE I VORLESUNG 4+2 IM WS 06/07 VON J. LEITERER STAND 24.0.2007. Komplexe Differenzierbarkeit In dieser Vorlesung werden die folgenden Standard-Symbole verwendet: - C für die komplexe Ebene,
Mehrε δ Definition der Stetigkeit.
ε δ Definition der Stetigkeit. Beweis a) b): Annahme: ε > 0 : δ > 0 : x δ D : x δ x 0 < δ f (x δ f (x 0 ) ε Die Wahl δ = 1 n (n N) generiert eine Folge (x n) n N, x n D mit x n x 0 < 1 n f (x n ) f (x
MehrAnalysis II (FS 2015): ZUSAMMENHÄNGENDE METRISCHE RÄUME
Analysis II (FS 2015): ZUSAMMENHÄNGENDE METRISCHE RÄUME Dietmar A. Salamon ETH-Zürich 23. Februar 2015 1 Topologische Grundbegriffe Sei (X, d) ein metrischer Raum, d.h. X ist eine Menge und d : X X R ist
MehrOptimale Steuerung, Prof.Dr. L. Blank 1. II Linear-quadratische elliptische Steuerungsprobleme
Optimale Steuerung, Prof.Dr. L. Blank 1 II Linear-quadratische elliptische Steuerungsprobleme Zuerst: Zusammenstellung einiger Begriffe und Aussagen aus der Funktionalanalysis (FA), um dann etwas über
MehrKonstruktion der reellen Zahlen
Konstruktion der reellen Zahlen Zur Wiederholung: Eine Menge K (mit mindestens zwei Elementen) heißt Körper, wenn für beliebige Elemente x, y K eindeutig eine Summe x+y K und ein Produkt x y K definiert
MehrLineare Algebra. Mathematik II für Chemiker. Daniel Gerth
Lineare Algebra Mathematik II für Chemiker Daniel Gerth Überblick Lineare Algebra Dieses Kapitel erklärt: Was man unter Vektoren versteht Wie man einfache geometrische Sachverhalte beschreibt Was man unter
Mehr3 Lineare Differentialgleichungen
3 Lineare Differentialgleichungen In diesem Kapitel behandeln wir die allgemeine Theorie linearer Differentialgleichungen Sie werden zahlreiche Parallelen zur Theorie linearer Gleichungssysteme feststellen,
Mehr4.1 Grundlegende Konstruktionen Stetigkeit von Funktionen Eigenschaften stetiger Funktionen... 92
Kapitel 4 Funktionen und Stetigkeit In diesem Kapitel beginnen wir Funktionen f : Ê Ê systematisch zu untersuchen. Dazu bauen wir auf den Begriff des metrischen Raumes auf und erhalten offene und abgeschlossene
MehrFunktionentheorie I. M. Griesemer
Funktionentheorie I M. Griesemer Übersicht der wichtigsten Definitionen und Sätze der Vorlesung Funktionentheorie I, SS 2001, Fachbereich Mathematik, Johannes Gutenberg - Universität Mainz. Inhalt der
MehrStetigkeit. Kapitel 4. Stetigkeit. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543
Kapitel 4 Stetigkeit Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2016 254 / 543 Inhalt Inhalt 4 Stetigkeit Eigenschaften stetiger Funktionen Funktionenfolgen und gleichmäßige Konvergenz Umkehrfunktionen
MehrSkalarprodukt, Norm & Metrik
Skalarprodukt, Norm & Metrik Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 11. Mai 2016 Stefan Ruzika 5: Skalarprodukt, Norm & Metrik 11. Mai 2016 1 / 13 Gliederung 1
MehrKlausur zu Analysis II - Lösungen
Mathematisches Institut der Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf Dr. Axel Grünrock WS 1/11 11..11 Klausur zu Analysis II - Lösungen 1. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind.
MehrElemente der Analysis II
Elemente der Analysis II Kapitel 5: Differentialrechnung im R n Informationen zur Vorlesung: http://www.mathematik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 17. Juni 2009 1 / 31 5.1 Erinnerung Kapitel
MehrEigenschaften kompakter Operatoren
Eigenschaften kompakter Operatoren Denition Seien X, Y normierte Räume und sei A : X Y linear. Dann heiÿt A kompakt (vollstetig), wenn für jede beschränkte Menge B X die Menge A(B) kompakt ist. Eigenschaften
Mehr00. Einiges zum Vektorraum R n
00. Einiges zum Vektorraum R n In diesem einleitenden Kapitel werden die in der LV Einführung in die mathematischen Methoden erwähnten Konzepte über Vektoren (im R 2 und R 3 ) im Rahmen des n-dimensionalen
MehrMathematik 2, SS 2015 Prof. F. Brock Zusammenfassung. Permutationen, Inversionen. Explizite Formel für die Determinante einer n n-
I. Lineare Algebra Mathematik 2, SS 2015 Prof. F. Brock Zusammenfassung 1. Determinanten (siehe Fischer/Kaul I, S.329-339) Matrix. Determinanten von 2 2- und 3 3-Matrizen. Alternierende Multilinearformen
Mehralso ist Sx m eine Cauchyfolge und somit konvergent. Zusammen sagen die Sätze 11.1 und 11.2, dass B (X) ein abgeschlossenes zweiseitiges
11. Kompakte Operatoren Seien X, Y Banachräume, und sei T : X Y ein linearer Operator. Definition 11.1. T heißt kompakt, enn T (B) eine kompakte Teilmenge von Y ist für alle beschränkten Mengen B X. Wir
Mehr25. Differenzierbarkeit im Mehrdimensionalen
25 Differenzierbarkeit im Mehrdimensionalen 317 25 Differenzierbarkeit im Mehrdimensionalen Wie im eindimensionalen Fall in Kapitel 10 wollen wir uns nach der Stetigkeit von Abbildungen jetzt mit der Differenzierbarkeit
MehrKonvergenz, Filter und der Satz von Tychonoff
Abschnitt 4 Konvergenz, Filter und der Satz von Tychonoff In metrischen Räumen kann man topologische Begriffe wie Stetigkeit, Abschluss, Kompaktheit auch mit Hilfe von Konvergenz von Folgen charakterisieren.
MehrLineare Algebra und analytische Geometrie II
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2016 Lineare Algebra und analytische Geometrie II Auf dem R n gibt es sehr viele verschiedene Normen, allerdings hängen sehr viele wichtige Begriffe wie die Konvergenz
Mehr3.3 Skalarprodukte 3.3. SKALARPRODUKTE 153
3.3. SKALARPRODUKTE 153 Hierzu müssen wir noch die Eindeutigkeit (Unabhängigkeit von der Wahl der Basis bzw. des Koordinatensystems) zeigen. Sei hierzu β eine Bilinearform und q die entsprechende quadratische
MehrBeispiel 11.2. Wenn p ein Polynom vom Grad größer gleich 1 ist, ist q : C Ĉ definiert durch q (z) =
Funktionentheorie, Woche Funktionen und Polstellen. Meromorphe Funktionen Definition.. Sei U C offen und sei f : U gilt, nennt man f meromorph auf U: Ĉ eine Funktion. Wenn folgendes. P := f hat keine Häufungspunkte;.
MehrLösungen zu Übungsblatt 9
Analysis : Camillo de Lellis HS 007 Lösungen zu Übungsblatt 9 Lösung zu Aufgabe 1. Wir müssen einfach das Integral 16 (x + y d(x, y x +y 4 ausrechnen. Dies kann man einfach mittels Polarkoordinaten, da
MehrMusterlösung. TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik. Probeklausur Mathematik 4 für Physik (Analysis 3) I...
................ Note I II Name Vorname Matrikelnummer Studiengang (Hauptfach) Fachrichtung (Nebenfach) 2 3 Unterschrift der Kandidatin/des Kandidaten 4 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik
MehrTechnische Universität München
Technische Universität München Michael Schreier Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker Vorlesung Montag WS 2008/09 1 komplexe Zahlen Viele Probleme in der Mathematik oder Physik lassen sich nicht oder
MehrTopologische Aspekte: Eine kurze Zusammenfassung
Kapitel 1 Topologische Aspekte: Eine kurze Zusammenfassung Wer das erste Knopfloch verfehlt, kommt mit dem Zuknöpfen nicht zu Rande J. W. Goethe In diesem Kapitel bringen wir die Begriffe Umgebung, Konvergenz,
MehrC orthogonal und haben die Länge 1). Dann ist die Länge von w = x u + y v gegeben durch w 2 Def. = w,w =
1 v Die Länge Def. Sei (V,, ) ein Euklidscher Vektorraum. Für jeden Vektor v V heißt die Zahl v,v die Länge von v und wird v bezeichnet. Bemerkung. Die Länge des Vektors ist wohldefiniert, da nach Definition
MehrLösungsvorschlag zur Übungsklausur zur Analysis I
Prof. Dr. H. Garcke, Dr. H. Farshbaf-Shaker, D. Depner WS 8/9 NWF I - Mathematik 9..9 Universität Regensburg Lösungsvorschlag zur Übungsklausur zur Analysis I Frage 1 Vervollständigen Sie die folgenden
MehrLineare Algebra II 8. Übungsblatt
Lineare Algebra II 8. Übungsblatt Fachbereich Mathematik SS 11 Prof. Dr. Kollross 1./9. Juni 11 Susanne Kürsten Tristan Alex Gruppenübung Aufgabe G1 (Minitest) Sei V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum.
Mehr11 Untermannigfaltigkeiten des R n und lokale Extrema mit Nebenbedingungen
11 Untermannigfaltigkeiten des R n und lokale Extrema mit Nebenbedingungen Ziel: Wir wollen lokale Extrema von Funktionen f : M R untersuchen, wobei M R n eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit des
Mehr16 Vektorfelder und 1-Formen
45 16 Vektorfelder und 1-Formen 16.1 Vektorfelder Ein Vektorfeld v auf D R n ist eine Abbildung v : D R n, x v(x). Beispiele. Elektrisches und Magnetisches Feld E(x), B(x), Geschwindigkeitsfeld einer Strömung
MehrÜbungsblatt 2 - Analysis 2, Prof. G. Hemion
Tutor: Martin Friesen, martin.friesen@gmx.de Übungsblatt 2 - Analysis 2, Prof. G. Hemion Um die hier gestellten Aufgaben zu lösen brauchen wir ein wenig Kentnisse über das Infimum bzw. Supremum einer Menge.
MehrKapitel VI. Euklidische Geometrie
Kapitel VI. Euklidische Geometrie 1 Abstände und Lote Wiederholung aus Kapitel IV. Wir versehen R n mit dem Standard Skalarprodukt x 1 y 1.,. := x 1 y 1 +... + x n y n x n y n Es gilt für u, v, w R n und
MehrL3 Euklidische Geometrie: Längen, Winkel, senkrechte Vektoren...
L3 Euklidische Geometrie: Längen, Winkel, senkrechte Vektoren... (benötigt neue Struktur über Vektorraumaxiome hinaus) Sei Länge von nach Pythagoras: Länge quadratisch in Komponenten! - Für : Skalarprodukt
MehrVektorräume und Lineare Abbildungen
Vektorräume und Lineare Abbildungen Patricia Doll, Selmar Binder, Lukas Bischoff, Claude Denier ETHZ D-MATL SS 07 11.04.2007 1 Vektorräume 1.1 Definition des Vektorraumes (VR) 1.1.1 Grundoperationen Um
Mehrf f(x ɛξ) f(x) 0, d.h. f (x)ξ = 0 für alle ξ B 1 (0). Also f (x) = 0. In Koordinaten bedeutet dies gerade, dass in Extremstellen gilt: f(x) = 0.
Mehrdimensionale Dierenzialrechnung 9 Optimierung 9 Optimierung Definition Seien U R n oen, f : U R, x U x heiÿt lokales Maximum, falls eine Umgebung V U von x existiert mit y V : fx fy x heiÿt lokales
MehrMusterlösung zu Blatt 11, Aufgabe 1
Musterlösung zu Blatt, Aufgabe Analysis II MIIA SoSe 7 Martin Schottenloher Musterlösung zu Blatt, Aufgabe I Aufgabenstellung Berechnen Sie folgende komplexe Kurvenintegrale vgl. 3.9: a zn dz für n N,
MehrBild, Faser, Kern. Stefan Ruzika. 23. Mai Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz
Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 23. Mai 2016 Stefan Ruzika 7: Bild, Faser, Kern 23. Mai 2016 1 / 11 Gliederung 1 Schulstoff 2 Körper 3 Vektorräume 4 Basis
MehrCauchy-Folgen und Kompaktheit. 1 Cauchy-Folgen und Beschränktheit
Vortrag zum Seminar zur Analysis, 10.05.2010 Michael Engeländer, Jonathan Fell Dieser Vortrag stellt als erstes einige Sätze zu Cauchy-Folgen auf allgemeinen metrischen Räumen vor. Speziell wird auch das
MehrAbbildung 10.1: Das Bild zu Beispiel 10.1
Analysis 3, Woche Mannigfaltigkeiten I. Definition einer Mannigfaltigkeit Die Definition einer Mannigfaltigkeit braucht den Begriff Diffeomorphismus, den wir in Definition 9.5 festgelegt haben. Seien U,
Mehr5 Potenzreihenansatz und spezielle Funktionen
5 Potenzreihenansatz und spezielle Funktionen In diesem Kapitel betrachten wir eine Methode zur Lösung linearer Differentialgleichungen höherer Ordnung, die sich anwenden läßt, wenn sich alle Koeffizienten
MehrDas Singularitätentheorem von Hawking Teil 2
Das Singularitätentheorem von Hawking Teil Jakob Hedicke 0.06.06 In diesem Vortrag werden wir den Beweis des Singularitätentheorems von Stephen Hawking vervollständigen. Im letzten Vortrag wurde bereits
MehrAnalysis I. 4. Beispielklausur mit Lösungen
Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Analysis I 4. Beispielklausur mit en Aufgabe 1. Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe. (1) Eine bijektive Abbildung f: M N. () Ein
MehrAnalysis II. Vorlesung 44. Partielle Ableitungen
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2015 Analysis II Vorlesung 44 Sei f: K n K eine durch Partielle Ableitungen (x 1,...,x n ) f(x 1,...,x n ) gegebene Abbildung. Betrachtet man für einen fixierten Index
Mehri=1 i=1,...,n x K f(x).
2. Normierte Räume und Banachräume Ein normierter Raum ist ein Vektorraum, auf dem wir Längen messen können. Genauer definieren wir: Definition 2.1. Sei X ein Vektorraum über C. Eine Abbildung : X [0,
MehrLebesgue-Integral und L p -Räume
Lebesgue-Integral und L p -Räume Seminar Integraltransformationen, WS 2012/13 1 Treppenfunktionen Grundlage jedes Integralbegriffs ist das geometrisch definierte Integral von Treppenfunktionen. Für A R
Mehr6 Komplexe Integration
6 Komplexe Integration Ziel: Berechne für komplexe Funktion f : D W C Integral der Form f(z)dz =? wobei D C ein Weg im Definitionsbereich von f. Fragen: Wie ist ein solches komplexes Integral sinnvollerweise
MehrWiederholung: lineare Abbildungen
Wiederholung: lineare Abbildungen Def Es seien (V,+, ) und (U, +, ) zwei Vektorräume Eine Abbildung f : V U heißt linear, falls für alle Vektoren v 1, v 2 V und für jedes λ R gilt: (a) f (v 1 + v 2 ) =
MehrFerienkurs Analysis 1, SoSe Unendliche Reihen. Florian Beye August 15, 2008
Ferienkurs Analysis 1, SoSe 2008 Unendliche Reihen Florian Beye August 15, 2008 1 Reihen und deren Konvergenz Definition 1.1. Eine reelle bzw. komplexe Reihe ist eine unendliche Summe über die Glieder
Mehr9. Übung zur Linearen Algebra II -
9. Übung zur Linearen Algebra II - en Kommentare an Hannes.Klarner@Fu-Berlin.de FU Berlin. SS 00. Aufgabe 33 (i) Beweise oder widerlege: In einem euklidischen VR gilt x + y = x + y x y (Satz von Pythagoras).
MehrPrüfung zur Vorlesung Mathematik I/II
Dr. A. Caspar ETH Zürich, August 2011 D BIOL, D CHAB Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II Bitte ausfüllen! Name: Vorname: Legi-Nr.: Nicht ausfüllen! Aufgabe Punkte Kontrolle 1 2 3 4 5 6 Total Vollständigkeit
Mehr18 Höhere Ableitungen und Taylorformel
8 HÖHERE ABLEITUNGEN UND TAYLORFORMEL 98 8 Höhere Ableitungen und Taylorformel Definition. Sei f : D R eine Funktion, a D. Falls f in einer Umgebung von a (geschnitten mit D) differenzierbar und f in a
MehrLaurent-Reihen und isolierte Singularitäten
Laurent-Reihen und isolierte Singularitäten Seminar Analysis III (SoSe 203) Pascal Niehus - Vortrag vom 27.05.203 - Kontaktdaten: Name: Studiengang: Fächer: E-Mail: Pascal Niehus BfP Mathematik, Physik
MehrModulteilprüfung Geometrie (BaM-GS, L3M-RF)
Modulteilprüfung Geometrie (BaM-GS, L3M-RF) Prof. Dr. Martin Möller SoSe 2011 // 05. Juli 2011 Kontrollieren Sie, ob Sie alle Blätter (12 einschließlich zweier Deckblätter) erhalten haben, und geben Sie
Mehr