FUNKTIONENTHEORIE I. 1. Komplexe Differenzierbarkeit In dieser Vorlesung werden die folgenden Standard-Symbole verwendet: - C für die komplexe Ebene,

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1 FUNKTIONENTHEORIE I VORLESUNG 4+2 IM WS 06/07 VON J. LEITERER STAND Komplexe Differenzierbarkeit In dieser Vorlesung werden die folgenden Standard-Symbole verwendet: - C für die komplexe Ebene, - C := C \ {0}, - R für die reelle Achse, - N für die Menge der natürlichen Zahlen, die Null eingeschlossen, - N := N \ {0}, - Z für die Menge der ganzen Zahlen. Es sei daran erinnert, dass sich C von der euklidischen Ebene R 2 nur dadurch unterscheidet, dass man eine Multiplikation zwischen je zwei Vektoren von R 2 erklärt hat. Die Struktur des euklidischen Raumes R 2 wird dabei nicht angetastet. Man bezeichnet diese Struktur auch als die unterliegende euklidische Struktur von C. Obwohl diese Stuktur nicht angetastet wurde, haben sich besondere Sprechweisen herausgebildet. So bezeichnet man die Elemente aus C meist nicht mehr als Vektoren sondern als komplexe Zahlen oder einfach als Zahlen, aber auch als Punkte. Die euklidische Länge einer komplexen Zahl z heißt jetzt Betrag von z und wird stets mit z bezeichnet im Unterschied zu z, was in der Theorie der euklidischen Vektorräume meistens verwendet wird. Begriffe wie Abstand, Offenheit, Abgeschlossenheit und Konvergenz beziehen sich immer auf die unterliegende euklidische Struktur von C. Zum Beispiel: Dass eine in C enthaltene Folge z n n N gegen einen Punkt a C konvergiert, bedeutet lim z n a = 0. n Gegenstand der Funtkionentheorie sind Abbildungen f, die auf einer offenen Menge U C definiert sind und deren Werte in C liegen, was wir durch f : U C symbolisieren. Diese Abbildungen nennt man in der Funktionentheorie Funktionen oder komplexe Funktionen. Vergisst man den Teil der Struktur von C, wodurch sich C von R 2 unterscheidet, so handelt es sich also um Abbildungen, die auf einer offenen Teilmenge des R 2 definiert sind und deren Werte in R 2 liegen. Solche Abbildungen kennen wir schon aus der Analysis II. In der Funktionetheorie interessiert man sich für eine sehr spezielle Klasse davon, nämlich für die so genannten holomorphen oder komplex analytischen Funktionen, die wir jetzt definieren. Sei eine Funktion f : U C, U C offen, gegeben, und sei w U. Aus der Analysis mehrerer reeller Veränderlicher kennen wir dann bereits den Begriff des Grenzwertes. lim z w fz fw z w

2 2 VORLESUNG 4+2 IM WS 06/07 VON J. LEITERER STAND bzw. den Begriff der Existenz dieses Grenzwertes. Es sei hier trotzdem daran erinnert: Man sagt, dass der Grenzwert. existiert, wenn es eine Zahl a C gibt, so dass für jede gegen w konvergente Folge z n n N mit z n w für alle n N fz n fw lim = a. n z n w gilt. Diese Zahl a bezeichnet man als den Grenzwert von.. Schreibt man fz fw a = lim, z w z w so sind damit gleich zwei Aussagen gemeint, nämlich erstens, dass der Grenzwert. existiert, und zweitens, dass er gleich a ist. Weiß man schon, dass der Grenzwert. existiert und schreibt man fz fw a := lim, z w z w so meint man, dass dieser Grenzwert ab jetzt a genannt wird... Definition. Sei f : U C eine Funktion, U C offen. Man sagt, dass die Funktion f in einem Punkt w U komplex differenzierbar ist, wenn der Grenzwert f fz fw w := lim z w z w existiert. Dieser Grenzwert f w heißt komplexe Ableitung oder einfach Ableitung von f im Punkt w. Man sagt, dass die Funktion f auf U holomorph oder komplex analytisch ist, wenn sie in jedem Punkt aus U komplex differenzierbar ist. Die dann wohldefinierte Funktion U z f z heißt komplexe Ableitung oder einfach Ableitung von f und wird mit f bezeichnet. Die identische Abbildung id C : C C, d.h. die Funktion, die durch id C z := z, z C, definiert ist, ist holomorph auf C, und zwar gilt id Cz = für alle z C. Um das einzusehen, muss man sich davon überzeugen, dass für jeden Punkt w C und jede gegen w konvergente Folge z n n N mit z n 0 für alle n id C z n id C w lim = n z n w gilt. Das ist natürlich trivial, denn nach Definition von id C gilt für jedes n id C z n id C w z n w = z n w z n w =. Verabredung: In der Funktionentheorie ist es üblich, die Funktion id C mit z zu bezeichnen so wie man in der reellen Analysis die Funktion id R mit x bezeichnet. Wir sprechen also auch von der Funktion z, wenn wir die Funktion id C meinen weil es kürzer ist. Andererseits ist es auch üblich, die Punkte von C mit z zu bezeichnen. Wir sprechen also oft auch von dem oder einem Punkt z. Dies führt

3 FUNKTIONENTHEORIE I 3 nicht zu Verwechslungen, wenn man darauf achtet, dass aus dem Zusammenhang hervorgeht, was gemeint ist. Die obige Aussage über id C hört sich dann so an: Die Funktion z ist holomorph auf C, und ihre Ableitung ist überall gleich. Etwas verwirrend wäre dagegen die folgende Formulierung: Die Funktion z ist holomorph auf C, und es gilt z z = für alle z C, weil hier der Buchstabe z in einem Atemzug zwei verschiedene Bedeutungen hat. Besser ist, wenn man dann auch verschiedene Buchstaben verwendet, z.b. so: Die Funktion z ist holomorph auf C und es gilt z ζ = für alle ζ C. Mit z bezeichnet man die Abbildung von C auf C, die jeder Zahl ζ C ihre konjugiert komplexe Zahl zuordnet. Zur Erinnerung: Ist ζ eine komplexe Zahl mit dem Realteil x und dem Imaginärteil y, d.h. ζ = x + iy, x, y R, so bezeichnet man die Zahl ζ := x iy als die konjugiert komplexe Zahl von ζ. Die Funktion z ist ein Beispiel für eine Funktion, die nicht holomorph ist. Sie ist in keinem Punkt w C komplex differenzierbar. In der Tat, sei w C. Dann betrachten wir die Folgen ζ n := w + n und η n := w + i, n =, 2,.... n Beide Folgen konvergieren gegen w die erste in Richtung der reellen Achse und die zweite in Richtung der imaginären Achse. Wäre z in w komplex differenzierbar, so müssten die Grenzwerte ζ lim n w n ζ n w und η lim n w n η n w existieren und gleich sein. Dies ist aber nicht der Fall, denn die beiden Grenzwerte existieren zwar, sie sind aber nicht gleich: ζ lim n w n ζ n w = lim n n n η = aber lim n w n η n w = lim i n n i n =..2. Satz Stetigkeit holomorpher Funktionen. Sei f : U C eine Funktion, U C offen. Ist f in einem Punkt w U komplex differenzierbar, so ist f in diesem Punkt w stetig. Folglich gilt: Ist f auf U holomorph, so ist f auf U stetig. Beweis. Aus fz fw lim = f w z w z w folgt insbesondere, dass es ein ε > 0 gibt mit fz fw z w f w + für alle z U mit z w ε. Folglich gilt fz fw f w + z w für alle z U mit z w ε. Damit haben wir gezeigt, dass f im Punkt w nicht nur stetig, sondern sogar Lipschitz-stetig ist..3. Satz Komplexe Ableitung von Linearkombinationen. Es seien f, g : U C zwei auf einer offenen Menge U C definierte Funktionen, die in einem Punkt

4 4 VORLESUNG 4+2 IM WS 06/07 VON J. LEITERER STAND w U beide komplex differenzierbar sind. Dann ist für je zwei komplexe Zahlen α, β auch die Funktion αf + βg im Punkt w komplex differenzierbar und es gilt Beweis. αf + βg w = αf w + βg w. αf w + βg fz fw gz gw w = α lim + β lim z w z w z w z w αf + βgz αf + βgw = lim = αf + βg w. z w z w.4. Satz Produktregel für die komplexe Ableitung. Es seien f, g : U C zwei auf einer offenen Menge U C definierte Funktionen, die in einem Punkt w U komplex differenzierbar sind. Dann ist auch das Produkt fg im Punkt w komplex differenzierbar und es gilt fg w = f wgw + fwg w. Beweis. Da f und g in w komplex differenzierbar sind, gilt f w = lim z w fz fw z w Da g in w stetig ist Satz.2, gilt Zusammen ergibt das und gw = lim z w gz f wgw + fwg w = lim z w fz fw z w g gz gw w = lim. z w z w gz gw lim gz + fw lim z w z w z w = lim z w fzgz fwgz + fwgz fwgw z w fgz fgw = lim = fg w. z w z w Aus den Sätzen.3 und.4 und der Tatsache, dass die Funktion z holomorph ist, erhalten wir nun bereits einen gewissen Vorrat an holomorphen Funktionen auf C, nämlich die komplexen Polynome. Dabei versteht man unter einem komplexen Polynom eine Funktion p : C C der Form.2 pz = a 0 + a z + a 2 z a n z n, z C, wobei die a 0,..., a n gewisse Konstanten sind, die man als die Koeffizienten des Polynoms p bezeichnent. Außerdem folgt aus diesen beiden Sätzen, dass die komplexe Ableitung eines Polynoms der Form.2 durch gegeben ist. p z = a + 2a 2 z + 3a 3 z na n z n, z C,

5 FUNKTIONENTHEORIE I 5.5. Satz Quotientenregel für die komplexe Ableitung. Sei f : U C eine Funktion, U C offen, die in einem Punkt w U komplex differenzierbar ist. Ist außerdem fw 0, so ist die Funktion /f die dann wohldefiniert ist in einer gewissen Umgebung von w, wegen der Stetigkeit von f in w Satz.2 ebenfalls komplex differenzierbar in w und es gilt.3 f w = f w fw 2. Beweis. Da f in w komplex differenzierbar und stetig ist, gilt f w lim z w 2 = fw was.3 ist. fz fw z w fw lim fz = lim z w z w fz fw fwfzz w = lim z w fz fw z w,.6. Satz Kettenregel für die komplexe Ableitung. Sei f : U C eine auf einer offenen Menge U C definierte Funktion, und g : V C sei eine auf einer offenen Menge V C definierte Funktion mit gv U. Weiter sei w V ein Punkt, so dass die Funktion g in w komplex differenzierbar ist und die Funktion f in gw komplex differenzierbar ist. Dann ist die Komposition f g im Punkt w komplex differenzierbar und es gilt f g w = f gw g w. Beweis. Sei z n n N eine beliebige gegen w konvergente Folge mit z n w für alle n. Wir müssen zeigen, dass die Folge f gz n f gw.4 z n w gegen f gw g w konvergiert.. Fall: gz n gw für alle n. Dann gilt für alle n f gz n f gw = f gz n f gw z n w gz n gw gz n gw, z n w wobei bereits klar ist da g in w komplex differenzierbar ist, dass der zweite Faktor für n gegen g w konvergiert. Da g in w stetig ist und f in gw komplex differenzierbar ist, konvergiert aber auch der erste Faktor, und zwar gegen f gw. 2. Fall: Es gibt unendlich viele n mit gz n = gw. Dann gilt g gz n gw w = lim = 0, n z n w denn wir wissen, dass dieser Grenzwert existiert da g in w komplex differenzierbar ist und, da die Folge unendlich viele Nullen enthält, kann das nur die Null sein. Wir müssen also zeigen, dass auch die Folge.4 gegen null konvergiert. Für die Teilfolge mit gz n = gw ist das sicher der Fall, denn diese besteht aus lauter Nullen. Für die andere Teilfolge ergibt sich aus dem schon behandelten. Fall, dass diese gegen f gw g w konvergiert, was wegen g w = 0 ebenfalls gleich null ist.

6 6 VORLESUNG 4+2 IM WS 06/07 VON J. LEITERER STAND Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen Aus der Analysis II kennen wir schon die Begriffe partielle und totale Differenzierbarkeit. Wir wollen das jetzt mit dem neuen Begriff der komplexen Differenzierbarkeit vergleichen. Dazu seien x und y die kanonischen reellen Koordinaten auf C, d.h. x sei die Funktion, die jeder komplexen Zahl ihren Realteil zuordnet, und y sei die Funktion, die jeder komplexen Zahl ihren Imaginärteil zuordnet, und / x, / y seien die dazugehörigen partiellen Ableitungs-Abbildungen. 2.. Definition. Sei f : U C eine Funktion, U C offen, die in einem Punkt w U partiell differenzierbar ist, d.h. für welche f x w und f y w existieren. Sei u der Realteil, und v der Imaginärteil von f, d.h. u, v seien die reellwertigen Funktionen auf U mit f = u + iv. Offenbar ist dann die Gleichung 2. äquivalent zu dem Gleichungssystem 2.2 f w = i f x y w u v w = x y w v w = u x y w. Die Gleichung 2. heißt Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung oder einfach Cauchy-Riemann-Gleichung, und das Gleichungssystem 2.2 heißt Cauchy-Riemannsches Differentialgleichungssystem oder einfach Cauchy- Riemann-System. Bei der Gleichung 2. spricht man auch von der komplexen Schreibweise des Systems 2.2. Umgekehrt spricht man bei 2.2 von der reellen Schreibweise von Satz. Sei f : U C eine Funktion, U C offen. Weiter sei w U. Dann sind die folgenden beiden Bedingungen äquivalent: i Die Funktion f ist in w komplex differenzierbar. ii Die Funktion f ist im Punkt w total differenzierbar, d.h. nach Definition der totalen Differenzierbarkeit es gibt eine reell-lineare Abbildung A : C C mit fz fw Az w 2.3 lim = 0, z w z w und diese Abbildung A ist sogar komplex linear. Sind diese beiden äquivalenten Bedingungen erfüllt, so ist die lineare Abbildung A aus Bedingung ii der Operator der Multiplikation mit f w, d.h. es gilt 2.4 Az = f w z für alle z C. Weiter gilt dann 2.5 f w = f w = i f x y w. Eine Abbildung A : C C heißt reell linear, wenn Aαz + βw = αaz + βaz gilt für alle z, w C und alle α, β R. Gilt das sogar für alle α, β C, so heißt sie komplex linear.

7 FUNKTIONENTHEORIE I 7 Insbesondere gilt also die Cauchy-Riemann-Gleichung 2. bzw. das dazu äquivalente System 2.2. Beweis von Satz 2.2. Sei zunächst die Bedingung i erfüllt. Dann definieren wir eine komplex-lineare Abbildung A : C C durch 2.4. Für diese Abbildung gilt dann, nach Definition von f w, fz fw 0 = lim z w z w f w = lim z w fz fw f wz w z w fz fw Az w = lim. z w z w Angesichts der Tatsache, dass der Grenzwert ganz rechts gleich null ist, bleibt dieser Grenzwert gleich null, wenn man im Nenner z w durch z w ersetzt, denn das ändert nichts am Betrag des Ausdrucks hinter dem Limeszeichen. Es gilt also 2.3. Damit ist i ii bewiesen. Es sei nun Bedingung ii erfüllt und A sei die lineare Abbildung aus dieser Bedingung. Da A dann komplex-linear ist, muss es eine komplexe Zahl c geben, nämlich c = A, so dass Az = cz gilt für alle z C. Dann besagt 2.3, dass fz fw cz w lim = 0 z w z w ist. Da dieser Grenzwert gleich null ist, bleibt er gleich null, wenn man im Nenner z w durch z w ersetzt, d.h. es gilt auch fz fw fz fw cz w lim c = lim = 0. z w z w z w z w Dies besagt aber gerade nach Definition, dass f im Punkt w komplex differenzierbar ist und 2.6 f w = c = A gilt. Damit ist auch die Richtung ii i bewiesen. Außerdem haben wir mit 2.6 auch gleich die Beziehung 2.4 gezeigt. Wir zeigen noch 2.5. Da die totale Ableitung von f im Punkt w komplex linear ist, ist ihre Jacobi-Matrix von der Form vgl. Aufgabe 4 der ersten Übungsserie a b. b a Das bedeutet aber gerade, dass im Punkt w die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen 2.2 bzw. die dazu äquivalente Gleichung 2. gilt. Das heißt, es gilt das zweite Gleichheitszeichen in 2.5. Wir betrachten nun die gegen w konvergente Folge ζ n := w +, n =, 2,.... n Da der Grenzwert. nach Voraussetzung existiert und gleich f w ist, gilt dann f w = lim n f w + n fw. n

8 8 VORLESUNG 4+2 IM WS 06/07 VON J. LEITERER STAND Da die Folge ζ n in x-richtung gegen w konvergiert, ist dann nach Definition von / x der rechts stehende Grenzwert außerdem gleich zu der partiellen Ableitung f x w. Damit ist auch das erste Gleichheitszeichen in 2.5 gezeigt. Es gibt Gegenbeispiele, die zeigen, dass aus dem Erfülltsein der Cauchy-Riemann Gleichung in nur einem Punkt noch nicht die totale Differenzierbarkeit in diesem Punkt folgt. Andererseits kennen wir aus Analysis II den folgenden Satz: Dafür, dass eine Funktion f : U C, U C offen, in jedem Punkt aus U total differenzierbar ist, reicht es aus, dass f auf U stetig differenziebar ist, d.h. dass die beiden partiellen Ableitungen f/ x und f/ y überall auf U existieren und stetig sind. Damit erhält man aus Satz 2.2: 2.3. Folgerung. Sei f : U C eine Funktion, U C offen, von der schon bekannt ist, dass sie auf U stetig differenzierbar ist. Dann sind die folgenden beiden Bedingungen äquivalent: i f ist holomorph auf U. ii In jedem Punkt w U gilt die Cauchy-Riemann-Gleichung 2. bzw. das dazu äquivalente System 2.. Aus Analysis II wissen wir bereits, dass partiell differenzierbare Funktionen, deren partielle Ableitungen überall gleich null sind, lokal konstant d.h. konstant auf jeder Zusammenhangskomponente ihres Definitionsgebiets sind. Deswegen ergibt Satz 2.2 bzw. Folgerung 2.3: 2.4. Folgerung. Ist f : U C, U C offen, eine holomorphe Funktion mit f 0 auf U, so ist f lokal konstant Folgerung. Eine holomorphe Funktion, deren sämtliche Werte reell sind, ist lokal konstant. In der Tat, sei h : U R, holomorph, U C offen. Da der Imaginärteil von h gleich null ist, nimmt das Cauchy-Riemann-System 2.2 dass nach Satz 2.2 für alle w U erfüllt sein muss die Form h h w = x y w = 0 an, was nur für lokal konstante Funktionen h möglich ist Folgerung. Der Imaginärteil bzw. Realteil einer holomorphen Funktion ist bis auf eine lokal konstante Funktion durch den Realteil bzw. den Imaginärteil eindeutig bestimmt. Das sieht man wie folgt: Angenommen wir haben zwei holomorphe Funktionen f, g : U C, U C offen, mit gleichem Imaginärteil. Dann ist die Funktion h := f g auf U holomorph und reell-wertig, womit man die Behauptung aus der vorangegangenen Folgerung erhält Definition. Sei U C offen. Eine reellwertige Funktion ϕ : U R heißt harmonisch auf U, wenn sie auf U zweimal stetig differenzierbar ist und wenn ϕ x ϕ = 0 auf U. y2 Die Gleichung 2.7 heißt Laplace-Gleichung.

9 FUNKTIONENTHEORIE I Folgerung. Sei f : U C eine holomorphe Funktion, U C offen. Zusätzlich sei vorausgesetzt, dass f auf U zweimal stetig differenzierbar ist. 2 Dann sind der Real- und der Imaginärteil von f harmonisch auf U. Beweis. Seien u der Realteil- und v der Imaginärteil von f, also f = u+iv. Wendet man zuerst die erste der beiden Cauchy-Riemann-Gleichungen 2.2 an, vertauscht dann die beiden partiellen Ableitungen und benutzt man schließlich die zweite der Gleichungen 2.2, so erhält man was dasselbe ist wie u x 2 = 2 v x y = 2 v y x = u 2 y 2, 2.9. Bemerkung. Unter der Voraussetzung, dass U C eine einfach zusammenhängende 3 offene Menge ist, gilt auch die Umkehrung der Aussage aus Folgerung 2.8: Für jede harmonische Funktion u : U R gibt es eine holomorphe Funktion f : U C, so dass u der Realteil von f ist bzw. der Imaginärteil der ebefalls holomorphen Funktion if: Das folgt aus der Exaktheit geschlossener Differentialformen über solchen Mengen. Für diejenigen, die das kennen, hier der einfache Beweis: Wir betrachten die Differentialform ϕ := u u dx + y x dy. Diese Form ist geschlossen, denn, da u harmonisch ist, gilt dϕ = 2 u y 2 dy dx + 2 u 2 u dx dy = x2 y u x 2 dx dy = 0. Da U einfach zusammenhängend ist, folgt daraus, dass f exakt ist. Es gibt also eine beliebig oft stetig differenzierbare Funktion v : U R mit dv = ϕ, d.h. v x dx + v y u dy = udx + y x dy. Die letzte Gleichung ist aber nur eine andere Schreibweise für die Cauchy- Riemannschen Differentialgleichungen 2.2. Das heißt, die Funktion f := u + iv, von der wir schon wissen, dass sie in allen Punkten aus U total differenzierbar ist sie ist sogar beliebig oft stetig differenzierbar auf U, erfüllt die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen. Nach Satz 2.3 ist sie also holomorph. 3. Der Cauchysche Integralsatz für Dreiecke Aus Analysis I oder II kennen wir den Begriff des Integrals einer stückweise stetigen reellwertigen Funktion über einem reellen Intervall. 4 Es ist klar, wie man diesen Begriff auf komplexwertige Funktionen erweitert, nämlich so: Ist [α, β] ein abgeschlossenes reelles Intervall, < α < β <, und ist f : [α, β] C eine 2 Später, in Abschnitt 7, Theorem 7.4, werden wir sehen, dass man diese zusätzliche Voraussetzung weglassen kann, denn jede holomorphe Funktion ist sogar beliebig oft differenzierbar. 3 Das sind Mengen ohne Löcher - die genaue Definition geben wir in Abschnitt 6, Theorem Sei [α, β] ein abgeschlossenes Intervall auf der reellen Achse. Eine Funktion f : [α, β] C heißt stückweise stetig, wenn f auf [α, β] stetig ist und wenn es endlich viele Punkte α = t < t 2 <... < t k = β gibt, so dass f auf jedem [t j, t j+ ], j k, stetig ist.

10 0 VORLESUNG 4+2 IM WS 06/07 VON J. LEITERER STAND stückweise stetige Funktion mit dem Realteil u und dem Imaginärteil v, so setzt man β β β β f := ftdt := utdt + i vtdt. α α α α Vieles, was man über Integrale reeller Funktionen weiß, gilt auch im komplexen Fall. Zum Beispiel sieht man leicht, dass auch für beliebige komplexe Zahlen c c β α ftdt = β α cftdt gilt. Nicht ganz so einfach ist es mit der für reellwertige Funktionen trivialen Abschätzung β f α β α max ft. α t β Diese Abschätzung gilt auch für komplexwertige Funktionen, was aber nicht sofort zu sehen ist, weswegen wir das als Satz formulieren und beweisen. 3.. Satz. Ist [α, β] ein abgeschlossenes reelles Intervall, < α < β <, und ist f : [α, β] C eine stetige Funktion, so gilt β β ftdt ft dt β α max ft. α t β Beweis. Wir können o.b.d.a. β α α setzen. Dann ist c = und es gilt β β β ftdt = c ftdt = cftdt = α α α α ftdt 0 annehmen und β α ftdt c = β α ftdt β α β Re cftdt + i Im cftdt, α wobei Re cf der Realteil und Im cf der Imaginärteil der Funktion cf ist. Da der erste Summand ganz rechts reell ist, während der zweite Summand eine rein imaginäre Zahl 5 ist, und da ganz links eine reelle Zahl steht, muss der zweite Summand ganz rechts gleich null sein. Damit folgt β α ftdt = β α Re cftdt β α β α Re cft dt cft dt = β α ft dt β α max α t β ft. Wir wollen diesen auf reellen Intervallen bekannten Integralbegriff nun auf allgemeinere Kurven ausdehnen. Zuerst betrachten wir Intervalle, die aber jetzt nicht mehr auf der reellen Achse liegen müssen, sondern irgenwo und irgendwie in der komplexen Ebene. 5 So nennt man Zahlen der Form it mit t R.

11 FUNKTIONENTHEORIE I 3.2. Definition. Unter einer geraden Strecke oder einfach einer Strecke oder einem Intervall in C verstehen wir eine Punktmenge der Form { } 3. Sa, b = tb + ta 0 t, wobei a und b zwei Punkte in C sind - die Endpunkte der Strecke Sa, b. Liegen die beiden Endpunkte auf der reellen Achse, so sind sie bereits durch die Ordnungsrelation der reellen Achse angeordnet. Im Allgemeinen ist das jedoch nicht der Fall, und wir haben zwei gleichberechtigete Möglichkeiten der Anordnung. Wir werden sagen, dass die Strecke Sa, b gerichtet ist, wenn eine dieser beiden Möglichkeiten, d.h. eines der geordneten Paare a, b oder b, a, ausgezeichnet ist. 6 Mit [a, b] bezeichnen wir die gerichtete Strecke, die durch die Wahl von a, b entsteht, und mit [b, a] bezeichnen wir die gerichtete Strecke, die durch die Wahl von b, a entsteht. Mit dem Symbol [a, b] ist also das Paar Sa, b, a, b gemeint und nicht nur die Menge Sa, b. Der Einfachheit halber werden wir das Symbol [a, b] aber auch benutzen, um die Menge Sa, b zu bezeichnen - aus dem Zusammenhang wird klar sein, was gemeint ist. Für jede gerichtete Strecke [a, b] in C und jede stetige Funktion f : [a, b] C definieren wir 3.2 [a,b] f := [a,b] fz dz := b a b a b a 0 f a + t b a dt. b a Dieses Integral entsteht also, indem man die Strecke [a, b] gemeinsam mit der von ihr getragenen Funktion f auf das reelle Intervall [0, b a ] legt, und zwar so dass a auf 0 und b auf b a zu liegen kommt, dann die mitbewegte Funktion f über diesem Intervall integriert und das Integrationsergebnis mit der auf dem Einheitskreis liegenden Zahl b a b a multipliziert, d.h. wenn man das Ingtegrationsergebnis als im Nullpunkt beginnenden Vektor interpretiert und um den Winkel dreht, den b a mit der reellen Achse bildet. Unmittelbar aus der Definition dieses Integrals folgt 3.3 f = f + f, falls c [a, b], [a,b] [a,c] [c,b] für alle a, b C und jede stetige Funktion f : [a, b] C. Weiter erhält man mit der Substitution t b a t die Beziehung b a 0 f a + t b a 0 dt = b a = 0 b a f b a f b t b a b a a + b a t b a b a dt = a b 0 f dt b + t a b a b dt, 6 { Mit a, b ist also das } geordnete Paar und nicht etwa das gerichtete offene Intervall ta + tb 0 < t < gemeint. Letzteres werden wir sofern es auftauchen sollte mit ]a, b[ bezeichnen.

12 2 VORLESUNG 4+2 IM WS 06/07 VON J. LEITERER STAND und somit 3.4 f = f [a,b] [b,a] für alle a, b C und jede stetige Funktion f : [a, b] C. Aus Satz 3. folgt die Abschätzung 3.5 f b a f b a max fζ. ζ S[a,b] [a,b] [a,b] für alle a, b C und jede stetige Funktion f : [a, b] C. Nun verallgemeinern wir das auf beliebige Polygonzüge Definition. Unter einem Polygonzug verstehen wir sowohl ein n-tupel p,..., p n von Punkten aus C als auch das Paar, welches aus diesem n-tupel und der Menge 3.6 n j= [p j, p j+ ] = n j= Sp j, p j+ vgl. 3. besteht. Für beides benutzen wir die Bezeichnung [p,..., p n ]. Aus dem Zusammenhang wird klar sein, was gemeint ist. p heißt Anfangspunkt, und p n heißt Endpunkt von [p,..., p n ]. Ein Polygonzug [p,..., p n ] heißt geschlossen, falls p = p n. Ist U eine Teilmenge von C und P = [p,..., p n ] ein Polygonzug, so werden wir sagen, dass P in U verläuft oder dass P ein Polygonzug in U ist, falls P U gilt, d.h. falls die Menge 3.6 in U enthalten ist. Ist [p,..., p n ] ein Polygonzug und f : [p,..., p n ] C eine stetige Funktion wobei mit dieser Schreibweise gemeint ist, dass die Menge 3.6 das Definitionsgebiet von f ist, so definieren wir 3.7 [p,...,p n ] f := [p,...,p n ] fz dz := n j= [p j,p j+ ] Ist [p,..., p n ] eine Polygonzug in C, so bezeichnet man die Zahl [p,..., p n ] n := p j+ p j als die Länge von P. Aus der Abschätzung 3.5 folgt dann unmittelbar, dass für jeden Polygonzug [p,..., p n ] in C und jede stetige Funktion f : [p,..., p n ] C gilt: 3.8 f [p,..., p n ] max fζ. ζ [p,...,p n ] [p,...,p n] Besonders interessant sind die geschlossen Polygonzüge der Form [a, b, c, a], die wir als Dreicke oder als orientierte Dreiecke bezeichnen, denn die Punkte a, b, c j= f.

13 FUNKTIONENTHEORIE I 3 bestimmen ein Dreieck mit den gerichteten Strecken [a, b], [b, c] und [c, a] als Seiten. Für jedes Dreieck [a, b, c, a] bezeichnen wir die dazugehörige abgeschlossene Dreiecksfläche mit F [a, b, c, a] oder F [a, b, c, a], d.h. 3.9 F [a, b, c, a] := { ra + sb + tc r, s, t [0, ], r + s + t = Fundamental für die Funktionentheorie ist das folgende 3.4. Theorem Cauchyscher Integralsatz für Dreiecke. Sei f : U C eine holomorphe Funktion, U C offen. Ist dann [a, b, c, d] ein Dreieck mit 3.0 F [a, b, c, a] U, so gilt 3. [a,b,c,a] f = 0. Bevor wir dieses Theorem beweisen, betrachten wir einen einfachen Spezialfall, der sofort aus dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung folgt. Wir beginnen mit folgender 3.5. Definition. Ist f : U C eine holomorphe Funktion, U C offen, so versteht man unter einer Stammfunktion von f eine holomorphe Funktion F : U C mit F = f auf U. Da eine holomorphe Funktion, deren komplexe Ableitung überall verschwindet, lokal konstant ist Folgerung 2.4, ist die Differenz zweier Stammfunktionen derselben holomorphen Funktion f stets lokal konstant. Wie wir später sehen werden, besitzt nicht jede holomorphe Funktion eine Stammfunktion. Trivial aber trotzdem wichtig für den Beweis des Cauchyschen Integralsatzes ist die Bemerkung, dass jedes Polynom a 0 + a z a n z n eine Stammfunktion besitzt, nämlich zum Beispiel das Polynom a 0 z + 2 a z n + a nz n+. Wir benötigen nun auch die folgende Variante der Kettenregel: 3.6. Lemma. Sei f : U C eine holomorphe Funktion, U C offen, und sei γ : [α, β] U eine stetig differenzierbare Funktion, α, β R, α < β. Dann ist f γ stetig differenzierbar auf [α, β] und für alle t [α, β] gilt 3.2 f γ t = γ t f γt. Beweis. Durch eine einfache Modifizierung des Beweises von Satz.6 die wir uns hier sparen zeigt man zuerst, dass die Funktion f γ in jedem Punkt t [α, β] differenzierbar ist und dass 3.2 gilt. Die Stetigeit von f γ folgt dann wegen der Stetigkeit von f, γ und γ aus Lemma. Sei f : U C eine holomorphe Funktion, die auf U eine Stammfunktion F besitzt, U C offen. Dann gilt für je zwei Punkte a, b mit [a, b] U f = F b F a. [a,b] }.

14 4 VORLESUNG 4+2 IM WS 06/07 VON J. LEITERER STAND Beweis. Nach dem vorangegangenen Lemma ist ϕt := F a + t b a, t [0, b a ], b a eine stetig differenzierbare Funktion auf [ 0, b a ] mit der Ableitung ϕ t = b a b a f a + t b a. b a Daraus folgt [a,b] f = b a b a b a 0 f a + t b a dt = b a b a 0 ϕ tdt, und weiter, mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung der natürlich auch für komplex-wertige Funktionen gilt, f = ϕ b a ϕ0 = F b F a. [a,b] Aus dem vorangegangenen Lemma erhält man nun sofort: 3.8. Folgerung. Sei f : U Ceine holomorphe Funktion, U C offen, die auf U eine Stammfunktion F besitzt. Dann gilt für jeden Polygonzug [p,..., p n ] U f = F p n F p. [p,...,p n ] Insbesondere gilt für jeden geschlossenen Polygonzug [p,..., p n, p ] U f = 0. [p,...,p n,p ] Beweis von Theorem 3.4. Wir setzen zur Abkürzung D 0 = [a, b, c, a] und unterteilen das Dreieck D 0 wie folgt in 4 kongruente Teildreicke D 0, D 2 0, D 3 0, D 4 0: Wir bilden die drei Mittelpunkte A := b 2 + c 2, B := a 2 + c 2, C := a 2 + b 2 der Seiten von D 0 und setzen D 0 := [a, C, B, a], D 2 0 := [C, b, A, C], D 3 0 := [A, c, B, A] und D 4 0 := [C, A, B, C]. Dann gilt offenbar F D 0 = F D 0 F D 2 0 F D 3 0 F D 4 0 und aufgrund der Voraussetzung F D 0 U ohne die die Behauptung des Theorems nicht gilt, wie wir später sehen werden sind alle Seiten dieser 4 Dreiecke in U enthalten. Wir können deswegen f auch über diese 4 orientierten Teildreiecke integrieren. Aus den Formeln 3.3 und 3.4 folgt dann f = f + f + f + f. D 0 D 0 D 2 0 D 3 0 D 4 0

15 FUNKTIONENTHEORIE I 5 Mindestens eins der 4 rechts stehenden Integrale muss dann mindestens so gross wie ein Viertel des links stehenden Integrals sein, d.h. es gibt ein j {, 2, 3, 4} mit f 4 f. D 0 Wir setzen D := D j 0 und notieren, dass für dieses Dreieck gilt: f 4 f, F D F D 0 und D = D 0. 2 D 0 D Wir verfahren nun mit dem Dreieck D genauso wie eben mit D 0. Das ergibt ein Dreieck D 2 mit f 4 f, F D 2 F D und D 2 = D. 2 D D 2 Die Fortsetzung dieser Prozedur vollständige Induktion ergibt eine Folge von Dreiecken D j j N mit D 0 = [a, b, c, a], 3.3 f 4 f n N, D n D n+ D j D n+ = D n, n N, 2 und 3.5 F D n+ F D n, n N. Für unser Ausgangsdreieck D 0 = [a, b, c, a] erhält man aus 3.3 und 3.4 die Abschätzungen 3.6 f 4 n f, n N, [a,b,c,a] D n und 3.7 D n = 2 n D 0, n N. Aus 3.5 und 3.7 folgt nun die Existenz genau eines Punktes z 0 F a, b, c, a mit 3.8 {z 0 } = F D n. In der Tat, wählt man für jedes n einen Punkt w n F D n, so erhält man wegen 3.5 und 3.7 eine Cauchy-Folge w n, denn nach 3.7 konvergiert die n N Folge der Summen der Seitenlängen von D n gegen null, weswegen offenbar auch die Folge der Durchmesser von F D n gegen null geht. Da C vollständig ist, muss diese

16 6 VORLESUNG 4+2 IM WS 06/07 VON J. LEITERER STAND Folge gegen ein z 0 C konvergieren, und, da die Folge w n wegen 3.5 von n N einer Stelle ab in jeder der Dreiecksflächen F D n liegt und diese Dreiecksflächen abgeschlossen sind, muss auch der Grenzwert z 0 in jedem F D n liegen. Für dieses z 0 gilt also die Richtung in 3.8. Dass man sogar Gleichheit hat, folgt daraus, dass die Durchmesser der F D n gegen null konvergieren. Da die Funktion f in diesem Punkt z 0 komplex differenzierbar ist, gilt lim fz fz 0 z z 0 f z 0 z z o = 0. An dieser Stelle des Beweises - und nur hier - benutzen wir, dass f holomorph ist. Da die Durchmesser der F D n gegen null konvergieren und z 0 zu jedem F D n gehört, folgt daraus 3.9 ε n := sup fz fz 0 f z 0 z z o 0 z F D n, z z 0 für n. Aus der Definition von ε n folgt fz fz 0 f z 0 z z 0 ε n z z 0 für alle z F D n, n N. Da z 0 F D n und somit z z 0 D n gilt für alle z F D n und n N denn der Durchmesser von D n ist offenbar dem Umfang D n, folgt weiter 3.20 fz fz 0 f z 0 z z 0 ε n D n für alle z F D n, n N. Da komplexe Polynome eine Stammfunktion haben, gilt nach Folgerung 3.8 außerdem 3.2 fz 0 + f z 0 z z 0 dz = 0 für alle n N. D n Daraus folgt mit 3.6 f 4 n [a,b,c,a] D n fz fz 0 f z 0 z z 0 dz. Mit 3.8 und 3.20 erhält man weiter f 4 n fz D n max fz0 f z 0 z z 0 4 n D n 2 ε n. z D n [a,b,c,a] Mit 3.7 erhält man daraus schließlich: f D 0 ε n für alle n N. [a,b,c,a] Wegen ε n 0 ist das nur möglich, wenn das links stehende Integral verschwindet. Eine erste wichtige Konsequenz des Cauchyschen Integralsatzes für Dreiecke ist die Existenz von Stammfunktionen auf sternförmigen Gebieten.

17 FUNKTIONENTHEORIE I Definition. Eine Menge U C heißt sternförmig, wenn es einen Punkt z 0 U gibt, so dass für jeden Punkt z U die Strecke [z 0, z] in U enthalten ist Satz. Sei U C eine sternförmige offene Menge. Dann besitzt jede auf U definierte holomorphe Funktion auf U eine Stammfunktion. Beweis. Sei z 0 U wie in Definition 3.9, und sei f : U C holomorph. Dann ist durch F z := f, z U, [z 0,z] eine Funktion F : U C korrekt definiert. Es stellt sich heraus, dass dieses F eine Stammfunktion von f ist. Dazu müssen wir zeigen, dass für jedes w U F z F w 3.22 lim = fw z w z w gilt. Sei w U gegeben. Wir wählen ein ε > 0, so dass K ε w U. Dann ist für jedes z K ε w die gesamte Fläche des Dreiecks [z 0, w, z, z 0 ] in U enthalten. Daraus folgt mit dem Cauchyschen Integralsatz für Dreiecke und = f + f + f = F w F z + f [z 0,w] und somit F z F w = z w z w [w,z] [w,z] [z,z 0] f = z w [w,z] fw + z w [w,z] [w,z] f fw für alle z K ε w mit z w. Da, wie man direkt an der Definition 3.2 des Integrals sieht, = z w gilt, folgt daraus [w,z] F z F w = f = fw + f fw, z w z w z w [w,z] [w,z] was mit der Abschätzung 3.8 F z F w fw z w max fζ fw ζ [w,z] ergibt. Da f holomorph und somit stetig ist, folgt daraus Mit Folgerung 3.8 erhält man daraus unmittelbar: 3.. Folgerung. Seien U eine sternförmige offene Menge, f : U C eine holomorphe Funktion und [p,..., p n ] ein Polygonzug in U, der geschlossen ist, d.h. für den p = p n gilt. Dann gilt f = 0. [p,...,p n] 3.2. Folgerung. Ist U eine sternförmige offene Menge und ist f : U C eine holomorphe Funktion, so gilt für je zwei Polygonzüge [p,..., p n ] und [q,..., q m ] in U mit gleichem Anfangs- und Endpunkt, d.h. p = q und p n = q m, 3.23 f = f. [p,...,p n ] [q,...,q m ]

18 8 VORLESUNG 4+2 IM WS 06/07 VON J. LEITERER STAND Beweis. Unmittelbar aus der Definitionsgleichung 3.7 folgt f = f + f. [p,...,p n,q m,...,q ] [p,...,p n ] [p n,q m,...,q ] Nach Folgerung 3. ist das links stehende Integral gleich null, denn p = q. Außerdem ist f = f, denn p n = q m. Also gilt Da wegen 3.4 [p n,q m,...,q ] [q m,...,q ] 0 = f + f. [p,...,p n ] [q m,...,q ] f = f ist, folgt daraus [q m,...,q ] [q,...,q m ] 4. Die Integration holomorpher Funktionen längs beliebiger stetiger Kurven Unter einer stetigen Kurve oder einem stetigen Weg verstehen wir eine beliebige stetige Abbildung γ : [α, β] C, wobei α, β R und α β. Ist diese Abbildung stetig differenzierbar, so heißt γ stetig differenzierbare Kurve, und ist sie stückweise stetig differenzierbar, so heißt sie stückweise stetig differenzierbar. Ist γ : [α, β] C eine stetige Kurve, so definieren wir: γα heißt Anfangspunkt und γβ heißt Endpunkt von γ. γ heißt geschlossen, wenn γα = γβ. Die Menge γ[α, β] := { γt α t β } heißt Bild von γ. Ist U eine Teilmenge von C, so werden wir sagen, dass γ in U verläuft oder in U enthalten ist, falls γ[α, β] U. Wir schreiben dafür auch einfach γ U. Wir sagen, dass U eine Umgebung von γ ist, wenn U eine Umgebung von γ[α, β] ist. 7 Unter einer Zerlegung des Intervalls [α, β] oder der Kurve γ verstehen wir ein n-tupel t,..., t n von Zahlen mit α = t t 2... t n = β. Ist t,..., t n eine Zerlegung von [α, β], so heißt die Zahl max t j+ t j j n die Feinheit von t,..., t n. Sind t,..., t n und s,..., s m Zerlegungen von [α, β], so heißt s,..., s m Verfeinerung von t,..., t n, falls für jedes k n ein j m existiert mit s j = t k. 8 7 Wenn nicht ausdrücklich etwas anderes gesagt wird, so meinen wir mit Umgebung stets eine offene Umgebung. 8 Der Fall, dass die beiden Zerlegungen gleich sind, ist dabei nicht ausgeschlossen.

19 FUNKTIONENTHEORIE I 9 Ist γ : [α, β] C eine stetige Kurve und U C eine Umgebung von γ, so setzen wir 4. dist γ, C \ U min z γt = falls U C α t β, z C\U falls U = C. Dieses dist γ, C \ U bezeichnen wir als Abstand von γ zum Rand von U. Wir notieren, dass stets dist γ, C \ U > 0 gilt. 4.. Definition. Sei γ : [α, β] C eine stetige Kurve und U C eine Umgebung von γ, und sei ε > 0. Wir werden sagen, dass ε bezüglich γ und U hinreichend klein ist, falls 9 γs γt < 2 dist γ, C \ U für alle α s, t β mit s t ε. Eine Zerlegung t,..., t n des Intervalls [α, β] heißt hinreichend fein bezüglich γ und U, falls ihre Feinheit hinreichend klein ist bezüglich γ und U Bemerkung. Für jede stetige Kurve γ : [α, β] C und jede Umgebung U C von γ existiert ein ε 0 > 0, so dass jedes ε mit 0 < ε ε 0 hinreichend klein ist bezüglich γ und U. Das folgt daraus, dass γ auf [α, β] sogar gleichmäßig stetig ist als stetige Funktion auf einem Kompaktum. Für 0 r und a C setzen wir { } K r a = z C z a < r und K r a = { z C } z a r Lemma. Sei γ : [α, β] C eine stetige Kurve, und U eine Umgebung von γ. Weiter sei t,..., t n eine Zerlegung von [α, β], die bezüglich γ und U hinreichend fein ist, und sei a j := γt j, j n. Dann verläuft der Polygonzug [a,..., a n ] in U und, mehr noch, für jedes j n 2 gilt 4.2 F [a j, a j+, a j+2, a j ] U, wobei F [a j, a j+, a j+2, a j ] die abgeschlossene Fläche des Dreiecks [a j, a j+, a j+2, a j ] ist vgl Beweis. Sei j n 2 gegeben. Nach Voraussetzung ist die Zahl ε := tν+ t ν max ν n hinreichend klein bezüglich γ und U Def. 4.. Daraus folgt insbesondere, dass a j a j+ = γt j γt j+ < dist γ, C \ U und a j+2 a j+ = γt j+2 γt j+ < dist γ, C \ U gilt, d.h. { aj, a j+, a j+2 } Kdist γ,c\u a j+. Da die Kreisscheibe K dist γ,c\u a j+ konvex ist und da F [a j, a j+, a j+2, a j ] die konvexe Hülle der Punkte a j, a j+, a j+2 ist vgl. Def. 3.9, folgt daraus weiter, dass F [a j, a j+, a j+2, a j ] K dist γ,c\u a j+. 9 Den Faktor /2 vor dist γ, C \ U könnte man auch weglassen. Sowohl in diesem Abschnitt 4 als auch im folgenden Abschnitt 5 spielt er keine Rolle. Nur der Beweis von Theorem 6.2, dem Cauchyschen Integralsatz für beliebige nullhomotope Kurven, würde technisch etwas komplizierter.

20 20 VORLESUNG 4+2 IM WS 06/07 VON J. LEITERER STAND Da a j+ auf der Kurve γ liegt und somit, nach Definition von dist γ, U, K dist γ,c\u a j+ U gilt, folgt daraus die Behauptung Satz. Es sei γ : [α, β] C eine stetige Kurve und U eine Umgebung von γ. Weiter seien t,..., t n und s,..., s m zwei Zerlegungen von [α, β], die beide bezüglich γ und U hinreichend fein sind, und f : U C sei eine holomorphe Funktion. Nach Lemma 4.3 verlaufen dann die Polygonzüge [γt,..., γt n ] und [γs,..., γs m ] beide in U, weswegen die Integrale f und f [γt,...,γt n] [γs,...,γs m] wohldefiniert sind. Es gilt Behauptung dieses Satzes 4.3 f = f. [γt,...,γt n] [γs,...,γs m] Beweis. Da man für je zwei Zerlegungen von [α, β] eine Zerlegung finden kann, die feiner ist als beide, können wir o.b.d.a. annehmen, dass eine der beiden Zerlegungen feiner ist als die andere. Da man von der feineren Zerlegung zu der weniger feinen kommen kann wenn sie nicht schon gleich sind, indem man nacheinander endlich viele Punkte weglässt, genügt es den folgenden Fall zu betrachten: m = n +, t <... < t n, s <... < s n+ und es gibt ein 2 j n mit Dann gilt α = t = s <... < t j = s j < s j < t j = s j+ <... < t n = s n+ = β. f f = γt j=γs j+ f γs j f γt j=γs j+ f [γt,...,γt n ] [γs,...,γs m ] = γt j =γs j γt j =γs j f = 0, γs j [γs j,γs j+,γs j,γs j ] wobei das letzte Gleichheitszeichen aus dem Cauchyschen Integralsatz für Dreiecke Theorem 3.4 folgt, denn die Zerlegung s,..., s n+ ist hinreichend fein bezüglich γ und U und folglich gilt nach Lemma 4.3 F [γs j, γs j+, γs j, γs j ] U Definition. Aus Satz 4.4 folgt, dass man für jede stetige Kurve γ : [α, β] C, jede Umgebung U von γ und jede holomorphe Funktion f : U C das Integral f = fzdz γ wie folgt korrekt definieren kann: Man wähle eine Zerlegung t,..., t n des Intervalls [α, β], die bezüglich γ und U hinreichend fein ist nach Bemerkung 4.2 gibt es γ

21 FUNKTIONENTHEORIE I 2 solche Zerlegungen, und setze γ f = [γt,...,γt n ] Aus dieser Definition, Folgerung 3.8 und Satz 3.0 ergibt sich unmittelbar: 4.6. Satz. Sei f : U C eine holomorphe Funktion, U C offen. Besitzt f auf U eine Stammfunktion F was z.b. stets der Fall ist, wenn U sternförmig ist, so gilt für jede stetige Kurve γ : [α, β] U f = F γβ F γα und somit γ γ f = 0, f. falls γ geschlossen ist. Wir notieren nun noch einige weitere einfache Eigenschaften des oben eingeführten Integralbegriffs. Aus der Definition ist sofort klar, dass die Formel 3.3 die folgende Verallgemeinerung zulässt: Ist γ : [α, β] C eine stetige Kurve, U eine Umgebung von γ und f : U C holomorph, so gilt 4.4 f = f + f für alle λ [α, β]. γ γ [α,λ] γ [λ,β] Die Beziehung 3.4 kann man wie folgt verallgemeinern: Ist γ : [α, β] C eine stetige Kurve, so bezeichnen wir mit γ die durch 4.5 γ t = γα + β t, t [α, β], eine stetige Kurve γ. Diese Kurve hat das gleiche Bild wie γ, aber es gilt γ α = γβ und γ β = γα. γ durchläuft das Bild von γ in umgekehrter Richtung. Für die so definierte Kurve γ gilt dann offenbar 4.6 f = f. γ γ 5. Eine wichtige Formel zur Berechnung des Integrals holomorpher Funktionen längs stückweise stetig differenzierbarer Kurven Die oben gegebene Definition 4.4 des Integrals holomorpher Funktionen längs einer stetigen Kurve ist, von Ausnahmen abgesehen, zur konkreten Berechnung eines Integrals nicht geeignet. Betrachten wir z.b. eine Kreislinie { } K r a := ζ C ζ a = r, wobei a C und 0 < r <. Es gibt viele stetige Kurven, deren Bild K r a ist. 0 Normalerweise benutzt man die Kurve γ r,a : [0, 2π] C, die durch 5. γ r,a t := a + re it, 0 t 2π, 0 Man nennt solche Kurven Parametrisierungen von Kr a.

22 22 VORLESUNG 4+2 IM WS 06/07 VON J. LEITERER STAND definiert ist. Wir werden für diese Kurve in dieser Vorlesung die selbsterklärende Bezeichnung z a = r benutzen. Ist f eine holomorphe Funktion in einer Umbegung von K r a, so ist also 5.2 f := f. z a =r γ r,a Eine besonders wichtige Rolle spielen in der Funktionentheorie die Integrale 5.3 z a n dz, z a =r wobei n Z, a C und r > 0. Für n sieht man wegen Satz 4.6 auch ohne Rechnen, was herauskommt, denn dann besitzt z a n auf C \ {a} eine Stammfunktion. Zum Beispiel z a n+ n + ist eine solche Stammfunktion. Mit Satz 4.6 folgt daraus, dass 5.4 z a n dz = 0 für alle a C, r > 0 und n Z mit n. z a =r Nicht so einfach ist es im Fall n =, wo, wie wir sehen werden, 2πi herauskommt. Eine gute Möglichkeit zur Berechnung dieses Integrals liefert der folgende allgemeine Satz: 5.. Satz. Sei γ : [α, β] C eine stückweise stetig differenzierbare Kurve. Dann gilt für jede holomorphe Funktion f : U C, die in einer Umgebung U von γ definiert ist, β f = f γ γ 2. γ α Beweis. Sei t,..., t n eine Zerlegung von [α, β], die bezüglich γ und U hinreichend fein ist. Da γ stückweise stetig differenzierbar ist, kann man nach evetueller Hinzunahme weiterer Punkte außerdem voraussetzen, dass γ auf jedem [t j, t j+ ], j n, stetig differenzierbar ist. Dann gilt nach Definition 4. n γtj+ 5.5 f = f = f Sei γ [γt,...,γt n] j= d := dist γ, C \ U. γt j Wer die Funktion e it, t R, noch nicht kennt, kann hier die Eulersche Formel e it = cos t + i sin t als Definition von e it benutzen. Wegen sin t = cos t und cos t = sin t sieht man dann auch, dass e it differenzierbar ist und ie it als Ableitung hat. 2 Dabei ist das rechts stehende Integral wie folgt zu verstehen: Da die Kurve γ stückweise stetig differenzierbar ist, gibt es Punkte α = t < t 2 <... < t k = β, so dass γ auf jedem [t j, t j+ ], j k, stetig differenzierbar ist, weswegen die Integrale t j+ t j f γ γ, j k, wohldefiniert sind. Man definiert dann β k tj+ f γ γ = f γ γ. α j= t j

23 FUNKTIONENTHEORIE I 23 Da, nach Voraussetzung, t,..., t n bezüglich γ und U hinreichend fein ist, sind die Zahlen t j+ t j, j n hinreichend klein bezüglich γ und U, d.h. vgl. Definition 4. γt j γt j+ < d für j n. 2 Daraus folgt 5.6 γ t j+ Kd γtj für j n. Nach Definition von d sind die Kreisscheiben K d γtj, j n, in U enthalten und nach Satz 3.0 besitzt f auf jeder dieser Kreisscheiben eine Stammfunktion F j. Da wegen 5.6 der Punkt γt j+ und damit das ganze Intervall [γt j, γt j+ ] in K d γtj enthalten ist, folgt aus Lemma γtj+ γt j f = F j γtj+ F j γtj für j n. Andererseits ist wegen 5.6 auf jedem der Intervalle [t j, t j+ ], j n, die Funktion F j γ wohldefiniert und nach Lemma 3.6 stetig differenzierbar, wobei F j γ = F j γγ = f γγ. Daraus folgt mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung F j γtj+ F j γtj = tj+ Zusammen mit 5.5 und 5.7 ergibt das n tj+ f = f γ γ = γ t j j= 5.2. Satz. Für alle a C und 0 < r < gilt: dz 5.8 z a = 2πi und 5.9 z a =r z a =r z a =r t j f γ γ, j n. β α f γ γ. dz = 0 für alle n Z mit n. z a n Beweis. 5.9 ist identisch mit 5.4. Wir müssen also nur 5.8 beweisen. Nach Definition des Integrals dz/z a und Satz 5. und der Kettenregel aus z a =r Lemma 3.6 gilt 2π dz z a = γ r,at 2π γ r,a t a dt = rie it 2π dt = i dt = 2π. reit 0 Außerdem liefert Satz 5. eine Möglichkeit, im Fall stetig differenzierbarer Kurven das Integral auch für beliebige stetige Funktionen zu definieren: 0 0

24 24 VORLESUNG 4+2 IM WS 06/07 VON J. LEITERER STAND Definition. Sei γ : [α, β] C eine stetig differenzierbare Kurve und f : γ[α, β] C eine stetige Funktion. Dann definieren wir 5.0 γ f = β α f γγ. Ist f holomorph in einer Umgebung von γ, so stimmt diese Definition nach Satz 5. mit der früher gegebenen Definition überein. Ist f eine stetige komplexwertige Funktion auf einer Kreislinie z a = r, a C, r > 0, so schreiben wir wieder f := f, wobei γ r,a t := a + re it für 0 t 2π. γ r,a z a =r 5.4. Definition. Für jede stückweise stetig differenzierbare Kurve γ : [α, β] C definiert man 5. γ = Diese Zahl γ heißt die Länge von γ. β α γ t dt. Man kann sich überlegen, dass für jede stückweise stetig differenzierbare Kurve γ : [α, β] C n γ = sup γt j+ γt j j= gilt, wenn man das Supremum über alle Zerlegungen t,..., t n von [α, β] erstreckt. Falls γ bijektiv ist, stimmt also γ mit der geometrischen Länge von γ[α, β] überein. Wir verzichten hier auf den Beweis im allgemeinen Fall. Für die Kreislinie ist das aber sehr einfach, nämlich: Ist a C und r > 0, so gilt 5.2 γ r,a = 2π 0 γ r,at dt = 2π 0 ire it dt = r 2π 0 = 2πr Satz. Für jede stückweise stetig differenzierbare Kurve γ : [α, β] C und jede stetige Funktion f : γ[α, β] C gilt 5.3 f γ max γ z γ[α,β] fz. Insbesondere gilt: Ist f eine stetige komplexwertige Funktion auf einer Kreislinie z a = r, a C, r > 0, so gilt 5.4 fz dz 2πr max f z. z a =r z a =r Beweis. Nach Definition 5.3 und Satz 3. gilt β f = β f γγ α max f γt γ t dt α α t β γ max α t β f γt β α γ t dt = γ max fz. z γ[α,β]

25 FUNKTIONENTHEORIE I Folgerung. Sei γ : [α, β] C eine stückweise stetig differenzierbare Kurve, und sei f n n N eine Folge stetiger Funktionen f n : γ[α, β] C, die auf γ[α, β] gleichmäßig gegen eine Funktion f : γ[α, β] C konvergiert die dann ebenfalls stetig ist - als gleichmäßiger Limes stetiger Funktionen. Dann gilt lim f n = f. n γ Beweis. Aus der Abschätzung 5.3 folgt f n f = f n f max γ Da nach Voraussetzung γ γ lim n gilt, folgt daraus die Behauptung. max z γ[α,β] γ z γ[α,β] f n z fz fn z fz = 0 β α γ t dt. 6. Der Cauchysche Integralsatz für nullhomotope stetige Kurven Hier beweisen wir insbesondere die folgenden beiden wichtigen Version des Cauchyschen Integralsatzes: 6.. Theorem Cauchyscher Integralsatz für Kreisscheiben. Sei K a r, a C, 0 < r <, eine Kreisscheibe. Dann gilt für jede in einer Umgebung der abgeschlossenen Kreisscheibe K a r definierte holomorphe Funktion 6. f = 0. z z 0 =r 6.2. Theorem Cauchyscher Integralsatz für Kreisringe. Seien K r a und K R b zwei Kreisscheiben, a, b C, 0 < r < R <, mit K r a K R b. Dann gilt für jede in einer Umgebung von K R b \ K r a definierte holomorphe Funktion 6.2 f = f. z a =r z b =R Wir werden diese beiden Ausssagen als Spezialfällte eines sehr allgemeinen Sachverhaltes erhalten. Dazu benötigen wir die folgende 6.3. Definition. Seien γ, γ 2 : [α, β] zwei geschlossene stetige Kurven, U C offen, < α < β < die der Einfachheit halber auf dem gleichen Intervall definiert sein sollen. Wir werden sagen, dass diese beiden Kurven zueinander in U homotop sind, wenn es eine stetige Abbildung H : [0, ] [α, β] U gibt mit Hs, α = Hs, β für alle 0 s, H0, t = γ t und H, t = γ 2 t für alle α t β. Diese Abbildung H nennt man dann eine in U verlaufende Homotopie zwischen γ und γ 2.

26 26 VORLESUNG 4+2 IM WS 06/07 VON J. LEITERER STAND Eine geschlossene stetige Kurve in U heißt in U nullhomotop, wenn sie in U homotop zu einer konstanten Kurve ist, d.h. zu einer Kurve λ der Form λt = c, t [α, β], wobei c irgendein fixierter Punkt in U ist. Beispiel. Ist K r a eine Kreisscheibe, a C, 0 < r <, und U eine Umgebung der abgeschlossenen Kreisscheibe K r a, so ist die Kreislinie offenbar nullhomotop in U. γ r,a t := a + re it, 0 t 2π, Beispiel 2. Sind K r a und K R b zwei Kreisscheiben, a, b C, 0 < r < R <, mit K r a K R b und ist U eine Umgebung von K R b \ K r a, so sieht man leicht, dass die Kreislinien und γ r,a t := a + re it, 0 t 2π, γ R,b t := b + Re it, 0 t 2π, in U homotop sind. Diese Beispiele zeigen, dass die Theoreme 6. und 6.2 Spezialfälle des folgenden Theorems sind: f = f Theorem Cauchyscher Integralsatz für stetige Kurven. Sei f : U C eine holomorphe Funktion, U C offen. Dann gilt: i Sind γ, γ 2 : [α, β] U zwei geschlossene stetige Kurven, die in U homotop sind, so ist 6.3 γ γ 2 ii Ist γ : [α, β] U eine geschlossene stetige Kurve, die in U nullhomotop ist, so gilt 6.4 f = 0. γ Teil ii diese Theorems folgt sofort aus Teil i, da das Integral über einer konstanten Kurve gleich null ist. Den Beweis von Teil i führen wir in drei Schritten. Der erste Schritt ist das folgende Lemma Lemma. Sei f : U C eine holomorphe Funktion, U C offen. Weiter sei γ : [α, β] U eine geschlossene stetige Kurve, und t,..., t n sei eine Zerlegung von [α, β], die bezüglich γ und U hinreichend fein ist vgl. Definition 4.. Wir setzen zur Abkürzung d = dist γ, C \ U und a j = γt j für j n. Schließlich sei für jedes j n ein Punkt p j K d/2 aj beliebig gewählt, so dass p n := p gilt. Dann verläuft der geschlossenen Polygonzug [p,..., p n ] in U, und es gilt 6.5 f = f. [p,...,p n] γ

27 FUNKTIONENTHEORIE I 27 Beweis. Wir zeigen zuerst, dass [p,..., p n ] in U verläuft. Dazu sei ein j {,..., n } gegeben. Dann gilt p j K d/2 a j und p j+ K d/2 a j+. Außerdem gilt, da die Zerlegung t,..., t n hinreichend fein ist bezüglich γ und U, a j+ K d/2 a j. Zusammen ergibt das, dass die Punkte p j und p j+ beide in der Kreisscheibe K d a j liegen. Folglich liegt auch die Strecke [p j, p j+ ] in dieser Kreisscheibe. Da die Kreisscheibe K d a j nach Definition von d in U enthalten ist, ist damit gezeigt, dass die Strecke [p j, p j+ ] in U verläuft. Da dies für alle j {,..., n } gilt, verläuft also der ganze Polygonzug [p,..., p n ] in U. Um 6.5 zu zeigen, genügt es nun offenbar endlich oft die folgende Aussage anzuwenden: Seien die Punkte p,..., p n wie in der Formulierung des Lemmas gewählt. Weiter sei für ein j {,..., n } ein q K d/2 aj beliebig gegeben. Sei Q der geschlossene Polygonzug, der aus [p,..., p n ] entsteht, wenn man p j durch q ersetzt und, falls j = ist, auch p n durch q ersetzt. Dann verläuft auch Q in U und es gilt 6.6 f = f. [p,...,p n ] Dass Q in U verläuft, sieht man wie im Fall von [p,..., p n ]. Um 6.6 zu beweisen, beschränken wir uns auf den Fall j >. Dann gilt 6.7 [p,...,p n ] f Q f = p j p j f + p j p j f Q q p j f p j+ q f = [p j,p j,p j+,q,p j ] Wegen p j K d/2 a j, p j, q K d/2 a j, p j+ K d/2 a j+ und a j, a j+ K d/2 a j liegen alle vier Punkte des geschlossenen Polygonzugs [p j, p j, p j+, q, p j ] in der Kreisscheibe K d a j, die ihrerseits eine Teilmenge von U ist nach Definition von d. Damit folgt aus den uns bereits bekannten Versionen des Cauchyschen Integralsatzes z.b. Folgerung 3., dass das ganz rechts stehende Integral in 6.7 verschwindet, d.h. es gilt Lemma. Sei f : U C eine holomorphe Funktion, U C offen. Weiter seien γ, γ 2 : [α, β] U zwei geschlossene stetige Kurven, die in U homotop sind, und sei H : [0, ] [α, β] U eine stetige Abbildung mit Hs, α = Hs, β für alle 0 s, H0, t = γ t und H, t = γ 2 t für alle α t β, f