Funktionentheorie auf Riemannschen Flächen

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1 Funktionentheorie auf Riemannschen Flächen Universität Regensburg Sommersemester 2014 Daniel Heiß: 5: Maximale analytische Fortsetzung

2 Abstract Zunächst werden Garben und weitere benötigte Begriffe eingeführt um dann konkret die analytische Fortsetzung holomorpher Funktionskeime zu studieren. Notation. Die Kategorie der abelschen Gruppen sei bezeichnet mit Ab. I Garben Definition 1.1. Sei X ein topologischer Raum. Eine Prägarbe abelscher Gruppen auf X ist ein Paar (F, ρ) so dass für alle offenen Teilmengen W V U X gilt: (i) F (U) Ab ist eine abelsche Gruppe. (ii) ρ U V : F (U) F (V ) ist ein Gruppenhomomorphismus. (iii) ρ U U = id F (U). (iv) ρ V W ρu V = ρu W. (v) F ( ) = {0}. Die Abbildungen ρ U V heißen Einschränkungshomomorphismen und Elemente f F (U) heißen Schnitte über U. Bemerkung. Analog definiert man den Begriff der Prägarbe von Ringen, k-vektorräumen, R-Algebren oder Mengen. Notation. Oft schreibt man für die Prägarbe (F, ρ) nur F und für einen Schnitt f F (U) und V U offen schreibe f := ρ U V (f). V Beispiel 1.2. Sei X ein topologischer Raum. Für U X offen setze C(U) := { f : U C } f stetig und für alle V U offen sei ρ U V die gewöhnliche Einschränkungsabbildung. Dann bildet offenbar (C, ρ) eine Prägarbe abelscher Gruppen auf X. Bemerkung. Die Prägarbe C aus Beispiel 1.2 ist sogar eine Prägarbe von C-Vektorräumen bzw. von C-Algebren. Definition 1.3. Sei X ein topologischer Raum und F eine Prägarbe auf X. Dann heißt F eine Garbe, wenn für jede offene Menge U X und jede offene Überdeckung U = i I U i folgende Garbenaxiome erfüllt sind: (a) Für f, g F (U) mit ρ U U i (f) = ρ U U i (g) für alle i I gilt f = g. Daniel Heiß Seite 1

3 (b) Seien f i F (U i ) (i I) gegeben so dass ρ U i U i U j (f i ) = ρ U j U i U j (f j ) für alle i, j I, dann existiert ein f F (U) mit ρ U U i (f) = f i für alle i I. Bemerkung 1.4. Das verklebte Element f aus Garbenaxiom (b) ist wegen Garbenaxiom (a) bereits eindeutig bestimmt. Beispiel 1.5. Betrachte die Prägarbe aus Beispiel 1.2. Diese ist bereits eine Garbe. Das Garbenaxiom (a) ist offensichtlich erfüllt. Für das Axiom (b) beachte, dass die zu verklebenden f i auf den Schnitten U i U j übereinstimmen. Die Stetigkeit ist eine lokale Eigenschaft, also auch klarerweise erfüllt. Beispiel 1.6. Sei X eine Riemannsche Fläche. Für U X offen sei O(U) der Ring der auf U holomorphen Funktionen. Zusammen mit den üblichen Einschränkungsabbildungen ist damit O eine Prägarbe von Ringen auf X. Aus analogen Gründen wie in Beispiel 1.5 ist O sogar eine Garbe auf X. Sie heißt die Garbe der holomorphen Funktionen auf X. X durch M(U) := { f : U C f meromorph }. Analog definiere die Garbe der meromorphen Funktionen auf Beispiel 1.7. Sei X ein topologischer Raum und G eine abelsche Gruppe. Für alle V U X offen setze G, U F (U) := {0}, U = Dann ist offenbar F eine Prägarbe abelscher Gruppen auf X. Jedoch ist F i.a. keine Garbe: weiter U := {p}, V := {q} X offen. Wähle s 1 := 1 Z = F (U) und s 2 := 0 Z = F (V ). Es gilt: und ρ U id G, V V := 0, V =. Sei X := {p, q} mit der diskreten Topologie und G := Z. Seien ρ U U V (s 1 ) = ρ U (s 1) = 0 = ρ V (s 2) = ρ V U V (s 2 ). Also müsste nach Garbenaxiom (b) ein Element s F (U V ) = F (X) = Z existieren mit: 1 = s 1 = ρ X U (s) = id Z (s) = s und 0 = s 2 = ρ X V (s) = id Z (s) = 1. Definition 1.8. Sei X ein topologischer Raum und F eine Prägarbe von Mengen auf X, sowie x X. Dann ist der Halm von F in x X definiert als der direkte Limes F x := lim F (U). x U Das heißt: Ein Element des Halmes F x wird repräsentiert durch das Paar (U, s) wobei U eine offene Umgebung von x ist und s F (U). Dabei sind zwei Paare (U, s) und (V, t) äquivalent, wenn eine offene Umgebung x W U V existiert so dass ρ U W (s) = ρv W (t). Schreibe [ (U, s) ] für die Äquivalenzklasse von (U, s). Daniel Heiß Seite 2

4 Definition 1.9. Sei F eine Prägarbe von Mengen auf dem topologischen Raum X, sowie x X. Für jede offene Umgebung x U X bezeichne dann ρ x : F (U) F x die Abbildung in den Halm in x. Für einen Schnitt f F (U) heißt ρ x (f) der Keim von f in x. Definition Sei X ein topologischer Raum. Eine Teilmenge Y X heißt Gebiet, wenn Y offen und zusammenhängend ist. Beispiel Sei X C ein Gebiet und O sei die Garbe der holomorphen Funktionen auf X. Weiter sei x X. Dann wird ein Funktionskeim ϕ O X repräsentiert durch eine holomorphe Funktion in einer offenen Umgebung von x, das heißt ϕ lässt sich also in einer Potenzreihe i=0 c i(z x) i mit positivem Konvergenzradius entwickeln. Da diese Zuordnung eineindeutig ist, besteht also ein Isomorphismus von O x zum Ring C{z x} der konvergenten Potenzreihen in z x über C. Lemma Sei F eine Garbe abelscher Gruppen auf einem topologischen Raum X und U X offen. Dann ist ein Schnitt f F (U) genau dann gleich Null, wenn ρ x (f) = 0 für alle x U. Pr f: ( ) ( ) Klar. Sei x X beliebig. Dann gilt ρ x (f) = [ (V x, s x ) ] für eine offene Umgebung x V x von x und s x := ρ U V x (f). Nach Voraussetzung gilt s x = 0. Nun ist aber U = x U V x, das heißt nach Garbenaxiom (a) gilt schon f = 0. Definition Sei X ein topologischer Raum und F eine Prägarbe auf X. Dann setze F := x X F x als die disjunkte Vereinigung aller Halme. Weiter sei π : F X die Abbildung, die ϕ F x auf den Punkt x abbildet. Weiter setze für U X offen und f F (U) [U, f] := { ρ x (f) } x U F. Satz Sei F eine Prägarbe auf einem topologischen Raum X. Dann bildet die Menge B := { [U, f] U X offen, f F (U) } eine Basis einer Topologie auf F. Die Projektion π : F X ist bzgl. dieser Topologie lokal-topologisch, also eine unverzweigte Überlagerung. Pr f: (Basis) Sei ϕ F beliebig. Dann ist ϕ = [ (U, s) ] F x für ein x X, eine offene Umgebung x U X und einen Schnitt s F (U). Damit gilt aber ϕ [U, s] B. Damit gilt F = T B T. Sei nun ϕ [U, f] [V, g]. Es ist z, dass [W, h] [U, f] [V, g] existiert mit ϕ [W, h]. Sei x := π(ϕ). Dann ist x U V und ϕ = ρ x (f) = ρ x (g). Das heißt in F x gilt [ (U V, f) ] = [ ] (U V, g). Also existiert eine offene Umgebung W U V von x so dass ρ U V W (f) = ρ U V W (g) =: h F (W ). Es folgt ϕ [W, h] [U, f] [V, g]. (Überlagerung) Sei ϕ F und x := π(ϕ). Nach (i) existiert [U, f] B mit ϕ [U, f]. Daniel Heiß Seite 3

5 Damit ist [U, f] eine offene Umgebung von ϕ und U eine offene Umgebung von x. Nun ist π U bijektiv, stetig und offen, also lokal-topologisch und damit eine unverzweigte [U,f] Überlagerung nach [For77, Satz 4.4]. Beweis: Die Injektivität ist klar. Für die Surjektivität beachte, dass für x U durch ρ x (f) [U, f] ein Urbild gegeben ist. Nach Wahl der Topologie auf F ist die Abbildung offensichtlich stetig und offen. Definition Sei F eine Prägarbe auf einem topologischen Raum X. Dann genügt F dem Identitätssatz, wenn für ein Gebiet Y X und f, g F (Y ) mit ρ x (f) = ρ x (g) für ein x Y schon folgt, dass f = g F (Y ). Beispiel Sei X eine Riemannsche Fläche. Dann genügt die Garbe O der holomorphen Funktionen auf X dem Identitätssatz. Vgl. [For77, Satz 1.11]. Satz Sei X ein lokal zusammenhängender Hausdorffraum und F eine Prägarbe auf X, die dem Identitätssatz genügt. Dann ist F Hausdorffsch. Pr f: Seien ϕ 1 ϕ 2 F, sowie x := π(ϕ 1 ), y := π(ϕ 2 ). Falls gilt, dass x y, so ist die Aussage klar, denn da X Hausdorffsch ist existieren dann U 1, U 2 X offen und disjunkt mit x U 1, y U 2. Diese liefern disjunkte Umgebungen π 1 (U 1 ), π 1 (U 2 ) von ϕ 1 und ϕ 2. Nehme also an x = y. Schreibe ϕ i = [ (U i, f i ) ]. Da X lokal zusammenhängend, existiert eine zusammenhängende offene Umgebung x U U 1 U 2. Betrachte die offenen Umgebungen ϕ i [U, ρ U i U (f i)]. Diese sind disjunkt, denn falls ψ [U, ρ U 1 U (f 1)] [U, ρ U 2 U (f 2)], dann gilt ρ y (ρ U 1 U (f 1)) = ψ = ρ y (ρ U 2 U (f 2)) für y := π(ψ). Das heißt nach Identitätssatz folgt ρ U 1 U (f 1) = ρ U 2 U (f 2) und damit ϕ 1 = ϕ 2. Beispiel Die Garbe C der glatten Funktionen auf C genügt dem Identitätssatz nicht. Nutze zum Beispiel glatte Abschneidefunktionen aus der Zerlegung der Eins. Damit kann man zeigen, dass C nicht Hausdorffsch ist. Skizze: Man wähle = U C offen und 0 f C (C) mit ρ C U (f) = 0. Setze nun A := { x C ρ x (f) = 0 } C. Da U gilt A. Außerdem ist A offen da für alle x A gilt ρ x (f) = 0, also existiert ein x V C offen mit ρ C V (f) = 0 und damit gilt V A. Betrachte nun die Abbildung η : C C, x ρ x (f). Diese ist nach Definition der Topologie und obigen Überlegungen stetig. Wäre nun C Hausdorffsch, so wäre {0} C abgeschlossen und damit A = η 1 ({0}) ebenfalls abgeschlossen und damit da C zusammenhängend ist: A = C also f 0. Daniel Heiß Seite 4

6 II Analytische Fortsetzung Notation. Es bezeichne stets X eine Riemannsche Fläche und O die Garbe der holomorphen Funktionen auf X. Definition 2.1. Sei x X. Für einen Keim ϕ = [ (U, f) ] O x definiere ϕ(x) := f(x). Nach Beispiel 1.16 ist dies wohldefiniert. Definition 2.2. Sei γ : [0, 1] X eine Kurve und a := γ(0), b := γ(1). Ein Funktionskeim ψ O b geht durch analytische Fortsetzung längs γ aus ϕ O a hervor, wenn für alle t [0, 1] ein Funktionskeim ϕ t O γ(t) existiert mit: (i) ϕ 0 = ϕ, ϕ 1 = ψ, (ii) Für alle τ [0, 1] existieren eine Umgebung τ T [0, 1], eine offene Menge U X mit γ(t ) U und eine Funktion f O(U) mit ρ γ(t) (f) = ϕ t für alle t T. Bemerkung 2.3. Das Intervall [0, 1] ist kompakt, also ist die Definition 2.2 äquivalent zu: ψ O b geht durch analytische Fortsetzung längs γ aus ϕ O a hervor, wenn reelle Zahlen 0 = t 0 < t 1 <... < t n 1 < t n = 1, Gebiete U 1,..., U n X und Funktionen f i O(U i ) existieren so dass: (i) γ ( [t i 1, t i ] ) U i, (ii) ρ a (f 1 ) = ϕ, ρ b (f n ) = ψ, (iii) Für die Zusammenhangskomponente V i U i U i+1 von γ(t i ) gilt ρ U i V (f i) = ρ U i+1 V (f i+1 ). Lemma 2.4. Sei γ : [0, 1] X eine Kurve mit a := γ(0), b := γ(1). Dann geht ψ O b genau dann durch analytische Fortsetzung längs γ aus ϕ O a hervor, wenn eine Liftung ˆγ : [0, 1] O der Kurve γ in die Überlagerung O existiert mit ˆγ(0) = ϕ und ˆγ(1) = ψ. Pr f: ( ) Die Abbildungsvorschrift ˆγ : [0, 1] O, t ϕ t O γ(t) ist stetig. Dies ( ) folgt sofort aus der Definition der Topologie auf O. Nun ist ˆγ eine Liftung von γ, da π(ˆγ(t)) = π(ϕ t ) = γ(t), da ϕ t O γ(t). Und damit gilt auch ˆγ(0) = ϕ 0 = ϕ und ˆγ(1) = ϕ 1 = ψ. Setze ϕ t := ˆγ(t) für alle t [0, 1]. Dann gilt nach Voraussetzung ϕ 0 = ˆγ(0) = ϕ und ϕ 1 = ˆγ(1) = ψ. Sei nun τ [0, 1] beliebig und [U, f] O eine offene Umgebung von ˆγ(τ). Da ˆγ stetig ist, ist ˆγ 1( [U, f] ) =: T [0, 1] offen mit τ T. Außerdem gilt nun, dass γ(t ) U und ρ γ(t) (f) = ϕ t für alle t T, denn: Sei t T beliebig. Nach Definition gilt ˆγ(t) [U, f], also ˆγ(t) = ρ x (f) für x U. Liftung von γ ist, folgt: γ(t) = π(ˆγ(t)) = π(ρ x (f)) = x. ( ) Mit x U folgt also γ(t) U. Außerdem gilt (s.o.) Da ˆγ eine ˆγ(t) = ρ x (f) ( ) = ρ γ(t) (f). Daniel Heiß Seite 5

7 Bemerkung 2.5. Seien in der Situation von Lemma 2.4 ˆγ 1, ˆγ 2 : [0, 1] O zwei Liftungen von γ. Nach Satz 1.17 ist O Hausdorffsch, X als Riemannsche Fläche ebenso. Die Überlagerung π : O X ist unverzweigt nach Satz Weiter ist [0, 1] zusammenhängend und es gilt ˆγ 1 (0) = ϕ = ˆγ 2 (0), also folgt nach [For77, Satz 4.4], dass ˆγ 1 = ˆγ 2. Das heißt nach Lemma 2.4 ist eine analytische Fortsetzung längs γ (falls sie existiert) bereits eindeutig. Allerdings ist die analtische Fortsetzung nicht unabhängig von der Wahl der Kurve γ! Beispiel 2.6. Sei X = C und ϕ := ρ 1 (log 0 ) der Funktionskeim von log 0 bei 1. Außerdem sei ψ := ρ 1 (log 2π ) der Funktionskeim von log 2π bei 1, sowie γ : [0, 1] C, t e 2πit. Dann entsteht ψ aus ϕ durch analytische Fortsetzung längs γ wie man sofort nachrechnet. Andererseits entsteht ϕ aus ϕ durch analytische Fortsetzung längs der Punktpurve γ : [0, 1] C, t 1. Die Kurven γ, γ haben selben Start- und Endpunkt, jedoch entstehen längs ihnen unterschiedliche Funktionskeime, denn ψ = ϕ + 2πi ϕ. Sind jedoch die Kurven homotop, so tritt dieser Fall nicht auf: Satz 2.7 (Monodromiesatz). Sei X eine Riemannsche Fläche und γ 0, γ 1 : [0, 1] X zwei homotope Kurven mit Homotopie h: [0, 1] 2 X. Setze γ s := h(, s), sowie a := γ 1 (0), b := γ 1 (1). Sei ϕ O a ein Funktionskeim, der sich längs γ s für alle s [0, 1] analytisch fortsetzen lässt. Dann ergeben die analytischen Fortsetzungen von ϕ längs γ 0 und γ 1 denselben Funktionskeim ψ O b. Pr f: Nach Satz 1.17 ist O Hausdorffsch. Betrachte die unverzweigte (siehe Satz 1.14) Überlagerung π : O X. Nach Voraussetzung und Lemma 2.4 lässt sich jede Kurve γ s nach O liften, wobei ˆγ s (0) = ϕ O a für alle s [0, 1]. Damit sind die Kurven ˆγ 0 und ˆγ 1 nach [For77, Satz 4.10] homotop und haben denselben Endpunkt. Das heißt es gilt ˆγ 0 (1) = ˆγ 1 (1). Damit folgt die Behauptung mit Lemma 2.4. Korollar 2.8. Sei X einfach-zusammenhängend und a X, sowie ϕ O a ein Funktionskeim, der sich längs jeder Kurve mit Startpunkt a analytisch fortsetzen lässt. Dann existiert genau ein f O(X) mit ρ a (f) = ϕ. Pr f: (Eindeutigkeit) Das ist der Identitätssatz. Vgl. [For77, Satz 1.11]. (Existenz) Sei x X beliebig und γ x : [0, 1] X eine Kurve mit γ x (0) = a, γ x (1) = x (beachte, dass X eine Riemannsche Fläche ist). Sei ψ x O x die analytische Fortsetzung von ϕ O a. Da X einfach-zusammenhängend ist, ist ψ x unabhängig von γ x. Setze f(x) := ψ x (x). Nach Garbenaxiom ist f O(X) und nach Konstruktion gilt ρ a (f) = ϕ. Daniel Heiß Seite 6

8 Riemannsche Flächen 5: Analytische Fortsetzung Definition 2.9. Sei Y eine Riemannsche Fläche und O X bzw. O Y sei die Garbe der holomorphen Funktionen auf X bzw. Y. Weiter sei p: Y X eine holomorphe unverzweigte Überlagerung. Für y Y induziert p einen Isomorphismus (beachte, dass p lokal-topologisch) p : O X,p(y) O Y,y mit Umkehrabbildung p : O Y,y O X,p(y). Definition Sei a X und ϕ O X,a ein Funktionskeim. Ein Quadrupel (Y, p, f, b) heißt analytische Fortsetzung von ϕ, wenn gilt: (i) Y ist eine Riemannsche Fläche und p: Y X ist eine holomorphe unverzweigte Überlagerung, (ii) f O Y (Y ), (iii) b Y mit p(b) = a, sowie p (ρ b (f)) = ϕ. Eine analytische Fortsetzung (Y, p, f, b) von ϕ heißt maximal, wenn folgende universelle Eigenschaft erfüllt ist: Sei (Z, q, g, c) eine analytische Fortsetzung von ϕ. Dann gibt es eine spurtreue holomorphe Abbildung F : Z Y mit F (c) = b und F (f) = g. Das heißt es gilt F (c) = b und folgendes Diagramm kommutiert: g C q Z X F p Y f Proposition In der Situation von Definition 2.10 ist die maximale analytische Fortsetzung eindeutig bis auf eindeutige Isomorphie. Pr f: Seien (Y, p, f, b) und (Z, q, g, c) zwei maximale analytische Fortsetzungen. Dann existieren spurtreue holomorphe Abbildungen F : Z Y und G: Y Z mit F (c) = b, G(b) = c und so, dass das folgende Diagramm kommutiert: id Y Y F Z p Y G p X Offenbar ist id Y eine Liftung von p nach Y. Außerdem ist wegen der Kommutativität des Diagramms auch F G eine Liftung von p nach Y. Weiter ist p: Y X eine unverzweigte Überlagerung, insbesondere also stetig und X, Y sind als Riemannsche Flächen zusammenhängende Hausdorffräume. Da nun auch id Y (b) = Daniel Heiß Seite 7

9 b = F (c) = F (G(b)) = (F G)(b) gilt, folgt aus [For77, Satz 4.8], dass F G = id Y. Analog folgt G F = id Z und damit ist F biholomorph. Lemma Sei a X und ϕ O X,a ein Funktionskeim, sowie (Y, p, f, b) eine analytische Fortsetzung von ϕ. Sei weiter v : [0, 1] Y eine Kurve mit v(0) = b und v(1) =: y, so entsteht der Funktionskeim ψ := p (ρ y (f)) O X,p(y) durch analytische Fortsetzung längs u := p v aus ϕ O X,a. Pr f: Setze ϕ t := p (ρ v(t) (f)) O X,p(v(t)) = O X,u(t) für alle t [0, 1]. Es gilt zunächst ϕ 0 = p (ρ b (f)) = ϕ. Weiter ist ϕ 1 = p (ρ y (f)) = ψ. Sei nun t 0 [0, 1] beliebig. Nun ist p unverzweigt, also existieren offene Umgebungen v(t 0 ) V Y und u(t 0 ) = p(v(t 0 )) U X so dass p : V U biholomorph ist. Sei q : U V ) V die Umkehrabbildung. Setze g := q (f O X (U). V Dann ist p (ρ η (f)) = ρ p(η) (g) für alle η V nach den Definitionen. Da v stetig ist, ist T := v 1 (V ) [0, 1] offen und wegen v(t 0 ) V gilt t 0 T, also ist T [0, 1] eine offene Umgebung von t 0 mit v(t ) V. Damit folgt, dass u(t ) = p(v(t )) p(v ) = U. Außerdem gilt für alle t T, dass ρ u(t) (g) = ρ p(v(t)) (g) = p (ρ v(t) (f)) = ϕ t. Satz Sei a X und ϕ O a ein holomorpher Funktionskeim in a. Dann existiert eine maximale analytische Fortsetzung (Y, p, f, b) von ϕ. Pr f: (Fortsetzung) Sei Y die Zusammenhangskomponente von ϕ in O. Es bezeichne p: Y X die Einschränkung der Projektion π : O X. Dann ist nach Satz 1.14 p eine unverzweigte Überlagerung. Vermöge [For77, Satz 4.6] wird Y zu einer Riemannschen Fläche und p holomorph. Setze nun f : Y C wie folgt: Für η Y setze x := p(η) und damit f(η) := η(x) (vgl. Definition 2.1). Da Holomorphie eine lokale Eigenschaft ist, verifiziert man, dass f holomorph ist. Rechne nun p (ρ η (f)) = η, denn dann ist für b := ϕ eine analytische Fortsetzung (Y, p, f, b) gegeben. Es ist p (ρ η (f)) = η äquivalent zu ρ η (f) = p (η). Dies ist nach den Definitionen klar. (Maximalität) Sei nun (Z, q, g, c) eine weitere analytische Fortsetzung von ϕ. Konstruiere eine Abbildung F :: Z Y : Sei ζ Z beliebig und x := q(ζ). Sei nun γ : [0, 1] Z eine Kurve mit γ(0) = c und γ(1) = ζ. (Beachte, dass Z eine Riemannsche Fläche ist!) Nach Lemma 2.12 entsteht nun ψ := q (ρ ζ (g)) O x aus ϕ O a durch analytische Fortsetzung längs γ := q γ (beachte, dass γ eine Kurve in X von a nach x ist). Nach Lemma 2.4 besteht aber Y genau aus allen Funktionskeimen, die durch analytische Fortsetzung längs Kurven aus ϕ entstehen (jeder solche Keim ξ liefert eine Kurve in O mit Endpunkt ξ. Damit liegt ξ in der Zusammenhangskomponente von ϕ, also in Y. Umgekehrt existiert zu jedem ξ in Y (Riemannsche Fläche!) eine Kurve von ϕ nach ξ. Daher geht ξ aus Daniel Heiß Seite 8

10 5: Riemannsche Flächen Analytische Fortsetzung ϕ durch analytische Fortsetzung längs der projezierten Kurve hervor). Es existiert also genau ein η Y mit η = ψ. Setze nun F (ζ) := η und verifiziere, dass F holomorph und spurtreu ist, sowie F (c) = b und F (f ) = g. 2 Beispiel Betrachte die maximale Fortsetzung von ρ1 (log0 ) auf C. Nutze die Überlagerung C exp id C log0 /C Analog lassen die die k-ten Wurzeln analytisch Fortsetzen. Nutze dazu die Überlagerung C x 7 xk id C Daniel Heiß /C Seite 9

11 Literatur [For77] Otto Forster. Riemannsche Flächen. Springer-Verlag, New York, Daniel Heiß Seite ii