10 Logarithmus- und Potenzfunktion

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1 4 Logarithmus- und Potenzfunktion. Satz: Sei G einfach zusammenhängend, f H(G) und z G. Dann existiert genau eine Stammfunktion F von f mit F(z ) =. Für z G sei γ z ein beliebiger Integrationsweg in G, der z (Anfangspunkt) mit z (Endpunkt) verbindet. Dann wird F definiert durch z F : G C, z f(ζ) dζ := f(ζ) dζ. z γ z Beweis: Nach Satz?? (Cauchy-Integralsatz für einfach zusammenhängende Gebiete) ist F wohldefiniert. Zu z G existiert r > mit U r (z ) G, daher gilt für z U r (z ) F(z) = F(z ) + f(ζ)dζ [z,z] und somit (vgl. S.??) F (z) = f(z), d.h. F ist Stammfunktion von f. Eindeutigkeit: Ist F Stammfunktion von f, so folgt (F F ) =. F F konstant. F = F, falls F(z ) = F (z ).. Satz (vom Logarithmus): Ist G einfach zusammenhängend sowie f H(G) mit f(z) z G, so existiert g H(G) mit f(z) = e g(z) z G. (g heißt dann ein Logarithmus von f.) Bemerkung: Wegen der Periodizität von exp erfüllen g g H(G) genau f = e g = e g, wenn für ein k Z gilt: g (z) = g (z) + kπi z G. Beweis: Da f H(G), existiert nach Satz. F H(G) mit F = f. f f (e F(z) f(z)), d.h. c : e F(z) f(z) c = c e iarg c F(z)+log c +iarg c f(z) = e Behauptung. z G.3 Definition: Sei G einfach zusammenhängend mit G sowie G G. Dann heißt jedes g H(G ) mit e g(z) = z z G ein Zweig des Logarithmus (auch: stetiger Logarithmus) auf G.

2 Logarithmus- und Potenzfunktion 4.4 Bemerkung: (i) Ist g ein Zweig des Logarithmus, so wird g oft (zu) kurz mit log bezeichnet, und es gilt id = = e g(z) g (z) = zg (z) z G, d.h. g (z) = z z G. () (ii) Für w C \ { sei G w := C \ {tw t. Dann ist G w bezüglich w sternförmig (und somit einfach zusammenhängend) mit G w..5 Satz: Sei G einfach zusammenhängend, G, z G sowie γ z ein Integrationsweg in G, der von z nach z G verläuft. Dann ist (jedes) dζ g : G C, z γ z ζ + log z + i arg z ein Zweig des Logarithmus auf G. Beweis: Wegen Satz?? ist g H(G) mit g (z) = z z G, und es ist g(z ) = log z + i arg z. Wegen (ze g(z) ) = ( zg (z))e g(z) = z G existiert c C \ { mit z = c e g(z) z G. z := z z = c e g(z ) = c e log z +i arg z = cz c =. Also gilt die Behauptung. Bezeichnung: Die Funktion Log : G C, z heißt Hauptzweig des Logarithmus. (Beachte: Log R + = log)..6 Satz: Log hat folgende Eigenschaften: ( ) n+ (i) Log z = (z ) n z U (). n n= (ii) Log z = log z + i arg z mit π < arg z < π. Beweis: (i) folgt mit dem Identitätssatz, da (i) für z U () R gilt. (ii) Sei z G und o.b.d.a. arg z [, π) (analog für arg z ( π, ]). Mit γ : [, arg z] C, t z e it folgt aus dem Cauchy- Integralsatz ( + [, z ] Log z = γ ) dζ [,z] ( + [, z ] ζ = γ [,z] dζ ζ ) dζ z ζ = dx arg z x + γ (t) dt = log z + i arg z. γ(t)

3 Logarithmus- und Potenzfunktion 43 Beispiel: arg( + i) 3 = 3 4 π + i 3 = 3/ Log ( + i) 3 Nun können wir für b C die b-te Potenz definieren: (Sei C := C \ {) = log 3/ + i 3 4 π = 3 log + i3 4 π..7 Definition: Seien b C, G C einfach zusammenhängend und g H(G) ein Zweig des Logarithmus. Dann heißt h H(G) mit h(z) := e bg(z) Zweig der b-ten Potenz. Merke: Verschiedene Zweige der b-ten Potenz (auf G) unterscheiden sich um einen Faktor e bkπi mit k Z..8 Bemerkung: Mit den Bezeichnungen aus Definition.7 gilt h (z) = e bg(z) bg (z) () = e bg(z) b e g(z) = be (b )g(z) z G, in Kurzfassung: (z b ) = b z b ( mit h(z) := z b ). Beachte: z b ist (zunächst) nur bis auf einen Faktor e bkπi, k Z, bestimmt; für irrationales b R besitzt z b abzählbar unendlich viele verschiedene Werte. Wir werden (im Zweifelsfall) stets festlegen, was wir unter z b verstehen..9 Satz: Seien n N \ {, w C, g H(G w ) ein Zweig des Logarithmus und f : G w C stetig mit (f(z))n = z z G w. Dann stimmt f mit einem der n durch { h k (z) := exp (g(z) + kπi) ( k n ) n definierten Zweige h k H(G w) der -ten Potenz (:= n-ten Wurzel) überein. n Beweis: Mit g : G w C, z e n g(z) gilt ( f(z) e g(z) ) n = (f(z))n e g(z) = z z = z G w. Wegen (α n = α = e i n kπ, k Z) gibt es genau ein k z {,,..., n, so dass gilt f(z) g(z) = eπi n kz. Da f g stetig ist und die Menge der n-ten Einheitswurzeln diskret ist, muß z k z (z G w) konstant sein. Also existiert k {,,..., n mit f(z) = e πi n k g(z) = e n (g(z)+πik ) z G w. Behauptung.

4 Logarithmus- und Potenzfunktion 44. Bemerkung und Beispiel: (i) Für b C heißt die Potenzfunktion z : G Log z C, z eb Hauptzweig der b-ten Potenz; e b Log z heißt Hauptwert der b-ten Potenz von z (kurz: Hauptwert von z b, kürzer: z b HW ). Für z < wird der Hauptwert von (+z)b durch die Taylorreihe ( + z) b HW := + ν= ( ) b z ν ν für z D (mit ( ) b ν := b(b )...(b ν + )) dargestellt. ν! (ii) Ist G einfach zusammenhängend, b C, f H(G) und f(z) z G, so ist ein Zweig der b-ten Potenz von f mittels eines Logarithmus g H(G) von f (d.h. f(z) = e g(z) z G) erklärt: (f(z)) b := e b[g(z)+kπi] (für ein k Z). () Für b = erhalten wir einen (injektiven) Zweig der Quadratwurzel von f. Beispiel: i = e i π = i i = e i[i π +kπi] = e π kπ Hauptwert: i i := e π (k := ) (iii) Für a, b C ist C a,b := C \ {a, b nicht einfach zusammenhängend. Für a b besitzt f : C a,b C, z z a z b in G := C \ {z z = a+t(b a) mit t (, ] [, ) einen Zweig des Logarithmus von f, also existieren z.b. Zweige der Quadratwurzel G C, z z a z b (gemäß () definiert). (iv) Ist g H(G) Logarithmus von f, so gilt: g = f f man auch die logarithmische Ableitung von f. (Kettenregel mit.4(i)); f f nennt Mit dem Argumentprinzip erhalten wir:. Satz (Rouché): Voraussetzungen: ) f und g seien nicht konstant und meromorph in G. ) f bzw. g besitzen in a j G ( j A Nf ) bzw. ã k G ( k A Ng ) Nullstellen der Vielfachheit P j bzw. Pk. 3) f bzw. g besitzen in b j G ( j A Pf ) bzw. b k G ( k A Pg ) Pole der Ordnung q j bzw. q k.

5 Logarithmus- und Potenzfunktion 45 4) Γ sei nullhomologer Zyklus in G, auf dessen Spur weder Nullstellen noch Pole von f oder g liegen. 5) f(z) + g(z) < f(z) + g(z) z Sp Γ. Dann gilt: a j I Γ p j n(γ, a j ) :=N f b j I Γ q j n(γ, b j ) :=P f = Beweis: Nach Vor. 5) ist f(z) g(z) + < f(z) g(z) + z Sp Γ, ã j I Γ p j n(γ, ã j ) :=N g bj I Γ q j n(γ, b j ). :=P g daher ist f(z) [, ) z Sp Γ (sonst ergibt sich ein Widerspruch). g(z) ( ) Sei L ein stetiger Logarithmus auf G = C\[, ), dann ist L f auf einer Umgebung g ( von Sp Γ eine Stammfunktion von g f. f g) Folglich gilt ( ) f = (z) g(z) πi Γ g f(z) dz = ( ) f πi Γ f g (z)dz g S.?? = (N f P f ) (N g P g ). Behauptung.. Folgerung: (i) Gilt f, g H(U R (a)), a C sowie für ein r < R f(z) ( ) + g(z) < f(z) + g(z) z U r (a), so haben f und g in U r (a) gleich viele Nullstellen (gemäß der Vielfachheit gezählt). (ii) Jedes Polynom f(z) = j= n a j z j mit a n besitzt genau n Nullstellen. (Fundamentalsatz der Algebra) Beweis: Mit g(z) := a n z n gilt für r R n f(z) + g(z) = a j z j < f(z) + a n z n. j= = g(z) Da g in jedem Kreis U r (), r >, genau n Nullstellen besitzt ( ist n-fache Nullstelle), folgt die Behauptung aus (i).

6 Logarithmus- und Potenzfunktion 46.3 Beispiel: Berechnung uneigentlicher Integrale der Form x α R(x)dx mit α (, ) und R = p q rational. (3) Sei grad q grad p +, q(x) x > sowie Null höchstens ein Pol. Ordnung von R. Dann konvergiert das uneigentliche Integral (3). Wähle in G den skizzierten Integrationsweg γ γ γ 3 γ 4 =: γ ε,ρ,r. Auf G werde der Zweig der Potenzfunktion z α := e αlog z +iαarg z mit arg z (, π) gewählt. Für hinreichend großes r > und hinreichend kleine ε, ρ > gilt dann mit f(z) := z α R(z) : z α R(z)dz Residuensatz = πi γ ε,ρ,r a Sing. von R a Es gilt (für r r und ρ < ρ ) mit geeignetem c > z α R(z)dz πrc rα lim lim z α R(z)dz =, γ r ε γ und z α R(z)dz πρ c ρα lim γ 4 lim ρ ε Gemäß der Wahl des Zweiges der Potenz ist für x > { x lim (x ± α (+) y,y> iy)α = x α e πiα ( ), Res a f. (4) γ 4 z α R(z)dz =. also erhalten wir (unter Beachtung der Orientierung von γ und γ 3 ) r lim z α R(z)dz = x α R(x)dx ε γ und r lim z α R(z)dz = e πiα x α R(x)dx. ε γ 3 ρ ρ Insgesamt folgt für ε, ρ und r mit (4): x α R(x)dx = πi e πiα a Sing. von R a Res a f.

7 Logarithmus- und Potenzfunktion 47 Beispiel: x dx = + {{ x :=f(x) πi (Res {{ e πi i f + Res i f) Res i f = i i = e (log i +i π ) i = i ei π 4 Res i f = i i = 3 i ei 4 π, also Res i f + Res i f = i e i π 4 (+i) ( i) = i x + x dx = π. Weitere Anwendungen des Residuensatzes: vgl. Literatur.