Konvergenz interpolierender Polynome

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1 Technische Universität Berlin Institut für Mathematik Konvergenz interpolierender Polynome Seminar Differentialgleichungen im Sommersemester 2012 bei Prof. Dr. Etienne Emmrich vorgelegt von David Breiter 1

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3 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Einführung in die Polynominterpolation Fehlerbetrachtung Abhängigkeit des Fehlers von den Stützstellen Konvergenz interpolierender Polynome Konvergenz bei äquidistanten Stützstellen Konvergenz bei Tschebyschew-Stützstellen

4 1 Einleitung In der Mathematik treten oft Anfangswertprobleme für Differentialgleichungen auf, die teilweise gar nicht, schwer oder nur sehr zeit- und kostenintensiv zu lösen sind. In der Grundveranstaltung zur Numerischen Mathematik haben wir bereits mehrere Verfahren kennengelernt um die gesuchte Lösung des Anfangswertproblems numerisch an einzelnen Punkten auszuwerten, ohne die Funktion selbst zu bestimmen. Verfahren, die wir kennen gelernt haben, waren zum Beispiel das Eulerverfahren oder auch das Einschrittverfahren. Außerdem haben wir in der Veranstaltung zur Numerischen Mathematik gelernt, aus n+1 gegebenen, verschiedenen Stützpunkten (x, f ) für i = 0,..., n aus einem Intervall [a,b] ein Polynom zu interpolieren, das möglichst gut die eigentliche Funktion in diesem Intervall approximieren soll. Polynome werden gerne herangezogen, um die gesuchte Funktion eines Anfangswertproblems zu interpolieren, da sie besonders wünschenswerte Eigenschaften haben; sie sind sowohl leicht zu integrieren, als auch zu differenzieren. In dieser Seminararbeit werden wir die (gleichmäßige) Konvergenz interpolierender Polynome untersuchen. Das heißt, wir werden untersuchen, ob bzw. unter welchen Voraussetzungen die Folge der Interpolationspolynome mit steigender Anzahl der Stützpunkte gegen die zu interpolierende Funktion konvergiert. Dabei werden wir zwischen äquidistanten Stützstellen und Tschebyschew-Stützstellen unterscheiden. Wie wir sehen werden, gibt es erhebliche Unterschiede bezüglich der Konvergenz bei den verschiedenen Arten der Wahl der Stützstellen. 4

5 2 Einführung in die Polynominterpolation Angenommen, wir haben eine Funktion f und ein vorgegebenes Intervall [a,b]. In diesem Intervall haben wir n+1 Punkte (x, f ), i = 0,..., n, mit x x für i j, x = a und x = b gegeben, und wollen nun ein Polynom p mit der Eigenschaft p(x ) = f finden. Es sei Π {Polynome vom Grad n}. Der folgende Satz sichert uns die Existenz und Eindeutigkeit eines interpolierenden Polynoms. Satz 2.0.1: Gegeben seien n+1 Punkte (x, f ), i = 0,..., n, mit x x für i j. Dann gibt es genau ein p Π mit p x = f für i = 0,..., n. Beweis: In diesem Beweis orientieren wir uns an den Beweis aus Numerische Mathematik 1, 9. Auflage von Dr. Josef Stoer, Seite 43. Eindeutigkeit: Angenommen, es gibt zwei verschiedene, interpolierende Polynome p, p Π. Es gilt also p (x ) = f = p (x ), i=0,...,n. Dann gilt für p = p p Π, dass p(x ) = 0, i = 0,..., n. Da der Grad von p kleiner oder gleich n ist und p mindestens n+1 Nullstellen besitzt, folgt mit dem Hauptsatz der Algebra p(x) 0 und damit p = p. Dies steht im Widerspruch zur Annahme. 5

6 Existenz: Wir konstruieren das Interpolationspolynom. Es ist L x = x x x x das i-te Lagrange-Polynom. Für die Lagrange-Polynome L i gilt an den Stützstellen x k : Somit ist L i (x k ) = 1 für i = k 0 für i k (Knotenbasiseigenschaft). p(x) = das Interpolationspolynom, denn es gilt f L (x) p x = f L (x ) = f. q.e.d. Bemerkung: Die Lagrange-Polynome bilden eine Basis des Π. Nun gibt es mehrere Methoden, um das Interpolationspolynom zu bestimmen, allerdings wollen wir nicht weiter darauf eingehen, da dies Gegenstand der Veranstaltung zur Numerischen Mathematik ist. Wir kommen daher direkt zur Fehlerbetrachtung für Interpolationspolynome. 2.1 Fehlerbetrachtung Wir haben eine Funktion f: [a, b] R, sowie die n+1 verschiedenen Stützpunkte x, f, i = 0,..., n und das Interpolationspolynom p. Nun hat es Sinn, nach der Abweichung des Polynoms p von der Funktion f im Intervall [a,b] zu fragen. 6

7 Satz 2.1.1: Sei f: [a, b] R (n+1)-mal stetig differenzierbar und p Π das Interpolationspolynom zu den n+1 verschiedenen Stützstellen. Dann gibt es zu jedem x [a, b] ein ξ a, b, sodass wobei φ x = (x x ). f(x) p(x) = φ x () (), Bemerkung: ϕ wird im Folgenden als Fehlerpolynom bezeichnet. Beweis: Wir halten uns in diesem Beweis an den Beweis aus Numerische Mathematik, 7. Auflage von Hans Rudolf Schwarz und Norbert Köckler, Seite 93. Ist x = x für ein i {0,, n}, ist nichts zu zeigen, da dann φ x = 0 und f x p x = 0. Für x x, i = 0,..., n sei F x f x p x k φ(x), wobei k R so gewählt sei, dass F(x) = 0. Somit hat F mindestens n + 2 verschiedene Nullstellen in [a,b]. Hilfssatz (Satz von Rolle): Sei f eine Funktion, die in (a,b) differenzierbar, in [a,b] stetig ist und für die gelte f(a) = f(b). Dann gibt es mindestens ein x (a, b) mit f x = 0. Beweis: siehe Analysis 1, 2. korrigierte Auflage von Stefan Hildebrandt, Seite 204. Da F mindestens n + 2 Nullstellen hat, können wir den Satz von Rolle anwenden und wissen, dass die Ableitung von F mindestens n + 1 verschiedene Nullstellen besitzt. Dadurch, dass f C [a, b], können wir den Satz insgesamt (n+1)-mal anwenden und erhalten dann, dass ein 7

8 ξ a, b existiert mit F (ξ) = 0. Außerdem wissen wir, dass p x 0 und φ x = n + 1. Daraus resultiert 0 = F ξ = f ξ k φ ξ = f ξ k n + 1. Somit folgt k = (). q.e.d. Die Zwischenstelle ξ hängt allerdings vom gewählten Wert x ab. Um eine geeignete Aussage über die Abweichung des Fehlers auf dem gesamten Intervall zu bekommen, schätzen wir die Ableitungen der Funktion f ab. Mit der Schranke erhalten wir die Abschätzung max, f x = f =: M f p φ. Bemerkung: Die Bedingung f C [a, b] kann leicht abgeschwächt werden. Es genügt zu fordern, dass f C a, b, sowie die Differenzierbarkeit von f in (a, b). Für die Abschätzung benötigen wir dann noch die Beschränktheit von f (). Noch geringere Differenzierbarkeitseigenschaften würden allerdings im Allgemeinen zu geringerer Interpolationsgenauigkeit führen. Wir sehen also, dass der Fehler durch 2 Faktoren bestimmt wird. Einerseits durch M, diesen Wert können wir nicht weiter kontrollieren, andererseits durch φ. Welchen Einfluss dieser Wert auf die Konvergenz hat, werden wir im Kapitel über Konvergenz der Interpolationspolynome sehen. 8

9 2.2 Abhängigkeit des Fehlers von den Stützstellen Die betrachtete Abschätzung lässt sich im Allgemeinen nicht durch die Forderung höherer Differenzierbarkeit verbessern. Die gefundene Abschätzung ist auch in dem Sinne optimal, dass man leicht eine Funktion angeben kann, für die die Schranke angenommen wird. Dazu wählen wir f φ. Dann ist M = n + 1 und wir erhalten f p φ. Da aber in diesem Fall p 0 das einzige Polynom ist, das an den Stellen x,, x mit f (bzw. in diesem Fall φ) übereinstimmt, folgt hier also die Gleichheit f p = φ p = φ. Die Frage, die sich uns dabei stellt, ist welchen Zusammenhang es zwischen den Stützstellen und dem Wert φ gibt. Diese Frage wird durch den folgenden Satz beantwortet. Satz 2.2.1: Es sei I [min x, max x ]. Für das Fehlerpolynom φ gilt die Abschätzung φ = max x x x x h "#, wobei mit h "# der größte Abstand zweier benachbarter Stützstellen bezeichnet wird. Beweis: Sei o.b.d.a. h "# = x x und x [x, x ] beliebig aber fest. Dann gilt (x x )(x x ) "#, wobei die Gleichheit genau dann gilt, wenn x in der Mitte von x und x liegt. Es folgt daher 9

10 x x x x x x x x x x x x x x x x h "# 4 2h "# 3h "# nh "# = n h "# 4 q.e.d. Somit erhalten wir also die Abschätzung f p h "#. 3 Konvergenz interpolierender Polynome Um nun eine Aussage über die Konvergenz machen zu können, benötigen wir noch die Definition der gleichmäßigen Konvergenz. Definition 3.0.1: Sei f N eine Folge von Funktionen f : D R. Die Folge f heißt auf D gleichmäßig konvergent gegen f: D R, falls zu jedem ε > 0 ein N(ε) N existiert, sodass f x f x für alle n > N(ε) und für alle x D gilt. < ε Bei genauerer Betrachtung der letzten Fehlerabschätzung, können wir direkt einen Satz angeben, der uns die gleichmäßige Konvergenz interpolierender Polynome sichert. 10

11 Satz 3.0.2: Sei f C [a, b] und es existiere ein M > 0, sodass für alle n N gilt f M. Dann konvergiert die Folge der Interpolationspolynome auf [a, b] gleichmäßig gegen die Funktion f. Beweis: Die Behauptung folgt aus f p h "# 0, n. q.e.d. Bemerkung: Der Satz ist zwar auf viele Standardfunktionen anwendbar, allerdings nicht auf praktisch interessante Funktionen. Dazu ist die Bedingung f C [a, b] und die Bedingung einer oberen Grenze für alle Ableitungen zu einschränkend. Um nun etwas mehr über die Konvergenz interpolierender Polynome aussagen zu können, werden wir im Weiteren zwischen den Arten der Stützstellen unterscheiden. 3.1 Konvergenz bei äquidistanten Stützstellen Im Folgenden betrachten wir eine äquidistante Verteilung der Stützstellen. Das heißt, dass alle Stützstellen zu festem n N den gleichen Abstand h zueinander haben: x = a, x = x + i h mit Schrittweite h =. Wir versuchen nun eine Aussage über die Konvergenz der interpolierenden Polynome zu erhalten. Dafür rufen wir uns zunächst den Weierstraßschen Approximationssatz in Erinnerung. 11

12 Weierstraßsche Approximationssatz: Zu jeder auf [a, b] stetigen Funktion f gibt es eine Folge von Polynomen p, die auf a, b gleichmäßig gegen f konvergiert. Beweis: siehe Numerische Mathematik, 2. Auflage von Günther Hämmerlin und Karl-Heinz Hoffmann, Seite 135ff. Es stellt sich die Frage, ob die Folge der Interpolationspolynome diese Folge von Polynomen darstellt und wir somit eine stetige Funktion beliebig genau im Sinne der Maximumnorm (auch Tschebyschew-Norm genannt) approximieren können. Wir betrachten daher im folgenden Beispiel eine stetige Funktion und interpolieren diese zu unterschiedlich vielen Stützpunkten. Beispiel (Beispiel von Runge): Die Rungefunktion f: a, b R ist gegeben durch f x =. Wir betrachten das Intervall [ 5,5]. Zu beachten ist, dass diese Funktion im Reellen stetig ist, betrachten wir die Funktion allerdings auf C, besitzt f Polstellen in x = ±i. Die folgende Abbildung zeigt uns die Interpolation der Rungefunktion durch ein Polynom bei sechs äquidistanten Stützstellen. 12

13 Abbildung 1: Interpolation der Rungefunktion mit n=5 und äquidistanten Stützstellen Nun vergrößern wir die Anzahl der Stützstellen auf insgesamt elf und erhalten eine schlechtere Approximation im Sinne der Maximumnorm. Abbildung 2: Interpolation der Rungefunktion mit n=10 und äquidistanten Stützstellen Dieses Phänomen der verschlechterten Approximation bei steigender Anzahl der Stützstellen wird daher auch als Runge-Phänomen bezeichnet. Dass die Folge der Interpolationspolynome zur Rungefunktion bei äquidistanten Stützstellen divergiert, können wir uns auch klar machen, 13

14 wenn wir uns an die Fehlerabschätzung erinnern und insbesondere f () genauer betrachten. Es gilt, dass die n-te Ableitung der Rungefunktion gegeben ist durch f x = 1 n "# "##$%. Der Beweis dieser Tatsache beruht auf vollständiger Induktion. Wir bemerken an dieser Stelle, dass lim f (x) = lim f x = 0 für alle n N gilt und f für alle n N stetig ist. Daher reicht es aus, die Extrema der n-ten Ableitung zu bestimmen, und falls diese Extremstellen in dem von uns betrachteten Intervall [-5,5] liegen, liefert uns das den gesuchten Wert f. Um nun die Extrema der n-ten Ableitung zu bestimmen, setzen wir die (n+1)-te Ableitung Null und berechnen somit die Kandidaten für Extremstellen: sin n + 2 arccot x 0 = 1 n x 0 = sin n + 2 arccot x x = cot k π n + 2, k Z 0. Um uns nun klar zu machen, dass es sich bei diesem Kandidaten tatsächlich um eine Extremstelle handelt, setzen wir diesen Wert in die (n+2)-te Ableitung ein und erkennen da sin n + 3 f x 0, 0 für k Z 0 und n N gilt. Setzen wir nun diese Extremstelle x in die n-te Ableitung der Rungefunktion ein, ergibt sich f x = 1 n "#. "# 14

15 An dieser Stelle ist zu bemerken, dass wir k = für gerade n N setzen können und damit f (x ) maximieren, da dann sin n + 1 π 2 = 1 und cot π 2 = 0 gilt. Genauer betrachtet, ist k = (2k + 1) für alle k Z aufgrund der Periodizität des Kotangens eine Extremstelle, da aber für k Z gilt cot (2k + 1) = 0, reicht es aus, den Fall k = 0 zu betrachten. Da somit x = 0, wir also nur eine Extremstelle haben und diese in dem Intervall [-5,5] liegt, ist also f = n für gerade n N. Für ungerade n N können wir leider nicht k = setzen, da für eine Extremstelle laut vorangegangener Rechnung k Z {0} sein muss. Um dennoch den Wert f bringen, müssen wir auch für ungerade n N in Erfahrung zu f x = 1 n sin n + 1 k π n cot k π n + 2 in Abhängigkeit von k Z {0} maximieren. Dies ist nun gleichbedeutend damit, dass wir die Extremstellen von g k sin n + 1 k π n cot k π n + 2 für ungerade n N suchen. An dieser Stelle möchten wir die Rechnung zur Bestimmung der Extremstellen dem Leser ersparen, da bereits die 15

16 Ableitung der Funktion g nach k sehr unübersichtlich wird. Das Ergebnis ist, dass k = ± = ± die Extrema der Funktion g liefert. Anzumerken ist hier wieder, dass für k = ± die gefundenen Extremstellen x = cot für alle n N in dem von uns betrachteten Intervall [-5,5] liegen und uns damit den gesuchten Wert f Da für k = und k = angenommen wird, können wir also auch f bestimmen, da für k = dann f x = 1 n mit n N der gleiche Wert f sin n + 1 liefern. x für ungerade n N π 2 n cot n + 1 π 2 n + 2 der exakte Wert einer Extremalstelle der n-ten Ableitung der Rungefunktion für ungerade n N ist. An dieser Stelle sei darauf hingewiesen, dass f n für ungerade n N, allerdings nicht exakt den Wert n annimmt, da 0 < sin n + 1 π 2 (n + 2) < 1 und Zusammenfassend sei angemerkt. f 0 < cot () (). = n, für gerade n N n, für ungerade n N Um nun zu zeigen, dass die Folge der Fehlerabschätzung zur Rungefunktion bei äquidistanten Stützstellen divergiert, benutzen wir, 16

17 dass eine Folge divergiert, falls sie eine divergente Teilfolge besitzt. Sei dazu p Π die Folge der Interpolationspolynome zur Rungefunktion und für n 2k + 1 mit k N sei p Π die Teilfolge mit ungeradem Index. Um die Divergenz zu zeigen, werden wir die Stirlingformel benutzen, die besagt, dass n asymptotisch gleich 2πn ist: n 2πn. Es gilt dann für die Folge p Π : f p = f 4 n + 1 h "# (n + 1) 4 n + 1 b a n = n 4 10 n 2πn n e 4 = 2πn 4 10 e n 2π = 4 e n Um nun zu zeigen, dass dieser Ausdruck tatsächlich divergiert, verwenden wir die Regel von L Hospital. Diese können wir anwenden, 10 n da lim " = und lim n =. Es gilt damit 17

18 lim 10 e n = lim = lim 10 e 10 e 10 = lim e = n (log 10 1) 1 2 n 2 n log 10 1 Somit haben wir also gezeigt, dass die Teilfolge zu den Interpolationspolynomen mit ungeradem n N divergiert und damit folgt, dass die gesamte Folge divergiert. Im nächsten Beispiel interpolieren wir eine weitere, stetige Funktion zu äquidistanten Stützstellen. Beispiel (Beispiel von Bernstein): Wir betrachten die Funktion f: a, b R gegeben durch f x = x im Intervall 1,1. Die folgende Abbildung zeigt uns die Interpolation der Betragsfunktion mit äquidistanten Stützstellen und n = 2, 4, 8, 10. Abbildung 3: Interpolation der Betragsfunktion mit n=2, 4, 8, 10 und äquidistanten Stützstellen 18

19 Besonders auffallend ist in beiden Beispielen die verschlechterte Approximation an den Rändern der Intervalle. Dieses Phänomen wird erklärt, wenn wir uns das Fehlerpolynom anschauen. Abbildung 4: Das Fehlerpolynom mit n=10 und äquidistanten Stützstellen Auffällig ist, dass das Fehlerpolynom an den Rändern des Intervalls betragsmäßig große Werte annimmt, während die Werte in der Mitte des Intervalls deutlich niedriger sind. Es stellt sich daher die Frage, welche Eigenschaften der Funktion wir fordern müssen, um mit steigender Anzahl der Stützstellen dennoch eine bessere Approximation zu erreichen. Das Beispiel von Runge gab uns bereits einen Hinweis, dass die Konvergenz der Interpolationspolynome durch die Ergänzung der reellen Funktion f durch z C beeinflusst wird. Definition 3.1.3: Es sei U C und z U. Eine Funktion f: U C heißt komplex differenzierbar in z 0, falls lim f z + h f(z ) h 19

20 existiert. Die Funktion f heißt holomorph bzw. analytisch in z 0, falls eine Umgebung um z existiert, in der f komplex differenzierbar ist. Ist f auf ganz C holomorph, so nennt man f eine ganze Funktion. Satz 3.1.4: Sei f eine ganze, für reelle Argumente reellwertige Funktion. Dann konvergiert die Folge der Interpolationspolynome bei beliebiger Stützstellenverteilung gleichmäßig gegen f. Beweis: Im folgenden Beweis halten wir uns an den Beweis aus Numerische Mathematik, 2. Auflage von Günther Hämmerlin und Karl- Heinz Hoffmann, Seite 224. Für den Beweis benutzen wir die Cauchysche Integralformel. Sei dafür x [a, b] und Γ ein Kreis um x mit dem Radius ρ = 2(b a). Seien außerdem M x max f z und M sup, M x <. Dann gilt die aus der Cauchyschen Integralformel f (x) k = 1 2πi f(ζ) dζ ζ x fließende Cauchysche Abschätzungsformel f (x) k 1 2π M x 2πρ 1 ρ M x = ρ und somit also für alle x [a, b] die Abschätzung () (). Verwenden wir nun die Abschätzung, die aus Satz folgt und die Abschätzung φ b a, führt das auf f p und somit gilt lim f p = 0. M 2 q.e.d. 20

21 Offen bleibt allerdings die Frage der Konvergenz der Interpolationspolynome bei stetigen Funktionen. Satz (Satz von Marcinkiewicz): Zu jeder Funktion f C[a, b] gibt es eine Folge von Stützstellen ( x () ), k = 0,..., n und n N derart, dass die Folge der Interpolationspolynome gleichmäßig gegen f konvergiert. Neben dem Satz von Marcinkiewicz gibt es noch den Satz von Faber. Satz (Satz von Faber): Für jede Folge von Stützstellen x N existiert eine Funktion f C[a, b], sodass die Folge der Interpolationspolynome auf [a, b] NICHT gleichmäßig gegen f konvergiert. Zur Erläuterung: Der Satz von Faber besagt, dass wir keine Folge von Stützstellen finden können, sodass für jede stetige Funktion die Folge der Interpolationspolynome gleichmäßig gegen die Funktion konvergiert. Andererseits sagt der Satz von Marcinkiewicz aus, dass wir zu jeder vorgegebenen, stetigen Funktion eine Folge von Stützstellen finden können, sodass die Folge der Interpolationspolynome gleichmäßig gegen die Funktion konvergiert. Leider geben uns weder der Satz von Marcinkiewicz, noch sein Beweis (nachzulesen in Numerische Mathematik, 2. Auflage von Günther Hämmerlin und Karl-Heinz Hoffmann, Seite 225) ein Verfahren zur Konstruktion der Folge der Stützstellen. 21

22 3.2 Konvergenz bei Tschebyschew-Stützstellen Wie wir bereits bei der Fehlerbetrachtung gesehen haben, ist unser Ziel die Stützstellen x,..., x so zu wählen, dass wir φ möglichst minimieren. Anders formuliert bedeutet dies, wir suchen ein normiertes Polynom q Π, so dass gilt. max q (x) = [,] min "#$%&#' max p(x) [,] Erinnerung: Ein Polynom p x = a x + + ax + a Π heißt normiert, falls a = 1. Definition 3.2.1: Für n N sei T 1,1 R gegeben durch T x = cos n arccos x. Diese Polynome heißen Tschebyschew- Polynome. Um nun einen wichtigen Satz über Tschebyschew-Polynome beweisen zu können, benötigen wir noch die grundlegenden Eigenschaften. Korollar (Eigenschaften der Tschebyschew-Polynome): (i) max [,] T (x) = 1 (ii) (iii) (iv) T (cos(θ)) = cos n θ T n hat in (-1,1) insgesamt n Nullstellen, diese sind gegeben durch t () = cos π für k = 1,, n. T hat in [-1,1] (n+1) Extrema, diese sind gegeben durch s cos ", j = 0,, n mit T s = 1. 22

23 Beweis: (i) Es gilt T 1 = cos(n 0) = 1 und wegen der Beschränktheit des Kosinus folgt somit max [,] T (x) = 1. (ii) Diese Eigenschaft folgt aus der Tatsache, dass die Abbildung x cos (x) auf [0,π] umkehrbar ist mit x arccos(x). (iii) Für k = 1,, n gilt " [0, π] und somit folgt T t = cos 2k 1 = 0 für k = 1,, n. (iv) T s = T cos " = cos "# = cos kπ = 1 q.e.d. Damit kommen wir zu folgendem Satz. Satz 3.2.3: Sei n N. Für die Polynome q = 2 T Π gilt dann 2 = max [,] q (x) = min "#$%&#' max p(x). [,] Beweis: In diesem Beweis orientieren wir uns an den Beweis aus Numerische Mathematik, 7. Auflage von Hans Rudolf Schwarz, Norbert Köckler, Seite 171. Die linke Gleichheit folgt mit Teil (i) des Korollars. Für die rechte Gleichheit ist die Abschätzung " " trivial. Für " " nehmen wir an, es gäbe ein normiertes Polynom q Π, mit Für die Extremstellen s dann wegen T s q(x) < 2 x [ 1,1]. = 1 cos ", j = 0,, n + 1, von T gilt 23

24 q s 2 T s = < 0, falls k gerade > 0, falls k ungerade. Nach dem Zwischenwertsatz hat q 2 T dann n+1 paarweise verschiedene Nullstellen. Da sowohl q als auch 2 T normiert sind, gilt und somit q 2 T Π q = 2 T. Dies ist aber ein Widerspruch zu der Annahme q(x) < 2 für alle x [ 1,1]. q.e.d. Bemerkung: Diese Eigenschaft der Tschebyschew-Polynome wird auch als Optimalitätsbedingung oder Minimax-Eigenschaft bezeichnet. Da das Fehlerpolynom ein normiertes Polynom vom Grad n+1 darstellt, wissen wir aufgrund der Minimax-Eigenschaft, dass das Betragsmaximum des Fehlerpolynoms für alle x 1,1 sein Minimum annimmt, falls die n+1 Stützstellen gleich den n+1 Nullstellen von T sind. Die Tschebyschew-Stützstellen (also die Nullstellen der Tschebyschew-Polynome) minimieren aber nicht nur die Fehlerschranke bei der Polynominterpolation, sie verhindern häufig auch, dass das Interpolationspolynom an den Rändern des Intervalls zu sehr ausbricht. Dieser Sachverhalt wird in der folgenden Abbildung verdeutlicht, die den Graphen des Fehlerpolynoms zu den Tschebyschew-Stützstellen im Vergleich zum Fehlerpolynom zu äquidistanten Stützstellen darstellt. 24

25 Abbildung 5: Fehlerpolynom bei n=10 und Tschebyschew- Stützstellen Wir hatten in diesem Kapitel bisher stets das Intervall 1,1 betrachtet, ist allerdings ein beliebiges Intervall [a,b] gegeben, müssen wir die Stützstellen transformieren. Dies geschieht mit der Abbildung ψ: 1,1 [a, b], die gegeben ist durch ψ x = a + x b a + b. Im gleichen Maße ändert sich dann allerdings auch der Fehler des Interpolationspolynoms. Im Intervall [-1,1] gilt für das Interpolationspolynom, dessen Stützstellen gleich den Tschebyschew- Stützstellen sind f p, während nun im Intervall [a,b] die Fehlerabschätzung gilt. f p M n + 1 b a 2 4 Nun ist es einfach, die optimalen Stützstellen für eine Polynominterpolation zu berechnen. Man berechnet die Nullstellen des entsprechenden Tschebyschew-Polynoms und transformiert diese 25

26 Nullstellen mit Hilfe der Funktion ψ auf das Intervall [a,b]. Welchen entscheidenden Unterschied diese veränderte Stützstellenverteilung aufweist, machen wir uns am Beispiel der Rungefunktion klar. Wir interpolieren im Folgenden die Rungefunktion mit sechs Tschebyschew- Stützstellen im Intervall [-5,5]. Abbildung 6: Interpolation der Rungefunktion mit n=5 und Tschebyschew- Stützstellen Nun erhören wir die Anzahl der Tschebyschew-Stützstellen auf elf und erhalten im Gegensatz zur Interpolation mit äquidistanten Stützstellen eine bessere Approximation. 26

27 Abbildung 7: Interpolation der Rungefunktion mit n=10 und Tschebyschew- Stützstellen Diese verbesserte Approximation ist auf die Tatsache zurückzuführen, dass sich die Tschebyschew-Stützstellen eher zum Rand des Intervalls drängen, während bei äquidistanter Stützstellenverteilung gerade am Rand ein Ausbrechen des Interpolationspolynoms zu beobachten war. Um nun zu einer geeigneten Aussage über die Konvergenz der Interpolationspolynome zu kommen, die zu den Tschebyschew- Stützstellen gebildet wurden, benötigen wir noch eine Definition. Definition 3.2.4: Eine Funktion f C[ 1,1] erfüllt die Dini-Lipschitz- Bedingung, wenn lim[w δ ln δ] = 0 gilt, wobei mit w δ sup{ f x f y x y δ} das Stetigkeitsmodul von f bezeichnet wird. Satz 3.2.5: Genügt eine Funktion f im Intervall [-1,1] der Dini-Lipschitz- Bedingung, so konvergiert das zu den Tschebyschew-Knoten konstruierte Interpolationspolynom gleichmäßig gegen f. 27

28 Beweis: Der Satz ist eine Folgerung aus dem Satz 1 und dem Satz 2 aus Konstruktive Funktionentheorie von Isidor Pavlovich Natanson, deutsche Übersetzung von Karl Bögel, Seite 389ff. Wie zuvor können wir auch in diesem Fall wieder das Intervall [-1,1] mit Hilfe der Funktion ψ auf das Intervall [a,b] transformieren. Bemerkung: Aus der Eigenschaft f C a, b folgt aufgrund des Mittelwertsatzes die lokale Lipschitz-Stetigkeit. Aus der Lipschitz- Stetigkeit können wir wiederum folgern, dass die Funktion die Dini- Lipschitz-Bedingung erfüllt. Diese Tatsache ist aus der folgenden Abschätzung ersichtlich: Sei δ > 0 und x, y [a, b], sodass x y δ, dann folgt aufgrund der Lipschitz-Stetigkeit zum Parameter L f x f y L x y L δ und damit 0 w δ ln δ L δ ln δ 0 für δ 0. Diese Bemerkung sichert uns die Konvergenz der Interpolationspolynome, die zu den Tschebyschew-Stützstellen gebildet wurden, sofern die zu interpolierende Funktion f stetig differenzierbar ist. Wir müssen somit deutlich geringere Eigenschaften fordern, um Konvergenz zu erhalten, als das bei äquidistanten Stützstellen der Fall war. Da die Rungefunktion stetig-differenzierbar ist, die Ableitung ist gegeben durch f x = ( 1) "# ( "##$% ) =, ist erklärt, dass wir mit steigender Anzahl der Stützstellen (siehe Abbildung 6 & 7) eine bessere Approximation durch die Interpolationspolynome, die zu den Tschebyschew-Stützstellen gebildet wurden, erhalten. 28

29 Literatur [1] Günther Hämmerlin: Numerische Mathematik, Bibliographisches Institut, Mannheim, 2. überarbeitete Auflage, [2] Günther Hämmerlin, Karl-Heinz Hoffmann: Numerische Mathematik, Springer, Berlin, 2. Auflage, [3] Isidor Pavlovich Natanson: Konstruktive Funktionentheorie, deutsche Übersetzung von Karl Bögel, Akademie-Verlag, Berlin, [4] Hans Rudolf Schwarz, Norbert Köckler: Numerische Mathematik, Vieweg + Teubner, Wiesbaden, 7. Auflage, [5] Dr. Josef Stoer: Numerische Mathematik 1, Springer, Berlin, 9. Auflage,