Approximationstheorie und Approximationspraxis

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1 Approximationstheorie und Approximationspraxis Martin Wagner Bergische Universität Wuppertal Fachbereich C - Mathematik und Naturwissenschaften AG Optmierung und Approximation 3. Februar / 20

2 Motivation Ziel: Approximation von komplizierten Funktionen durch einfachere, mittels linearer Operatoren Weierstraß scher Approximationssatz: Zu jedem ε > 0 und jeder stetigen Funktion f existiert ein algebraisches Polynom p, so dass f p < ε Möglicher Ansatz: Interpolation Betrachte die Funktion f(x) := x 2 auf dem Intervall [ 1, 1] (Runge-Funktion) und das zugehörige Interpolationspolynom an äquidistanten Stützpunkten. 2 / 20

3 Motivation Ziel: Approximation von komplizierten Funktionen durch einfachere, mittels linearer Operatoren Weierstraß scher Approximationssatz: Zu jedem ε > 0 und jeder stetigen Funktion f existiert ein algebraisches Polynom p, so dass f p < ε Möglicher Ansatz: Interpolation Betrachte die Funktion f(x) := x 2 auf dem Intervall [ 1, 1] (Runge-Funktion) und das zugehörige Interpolationspolynom an äquidistanten Stützpunkten. 2 / 20

4 Motivation Ziel: Approximation von komplizierten Funktionen durch einfachere, mittels linearer Operatoren Weierstraß scher Approximationssatz: Zu jedem ε > 0 und jeder stetigen Funktion f existiert ein algebraisches Polynom p, so dass f p < ε Möglicher Ansatz: Interpolation Betrachte die Funktion f(x) := x 2 auf dem Intervall [ 1, 1] (Runge-Funktion) und das zugehörige Interpolationspolynom an äquidistanten Stützpunkten. 2 / 20

5 Motivation Ziel: Approximation von komplizierten Funktionen durch einfachere, mittels linearer Operatoren Weierstraß scher Approximationssatz: Zu jedem ε > 0 und jeder stetigen Funktion f existiert ein algebraisches Polynom p, so dass f p < ε Möglicher Ansatz: Interpolation Betrachte die Funktion f(x) := x 2 auf dem Intervall [ 1, 1] (Runge-Funktion) und das zugehörige Interpolationspolynom an äquidistanten Stützpunkten. 2 / 20

6 Runge-Funktion und Interpolationspolynom an äquidistanten Stützstellen Stützpunkte / 20

7 Runge-Funktion und Interpolationspolynom an äquidistanten Stützstellen Stützpunkte / 20

8 Runge-Funktion und Interpolationspolynom an äquidistanten Stützstellen Stützpunkte / 20

9 Voraussetzung für Konvergenz Obwohl die Runge-Funktion reell analytisch auf [ 1, 1] ist, konvergiert das zugehörige Interpolationspolynom an äquidistanten Stützstellen nicht gegen f Um Konvergenz zu erreichen benötigt man sehr starke Voraussetzungen an die zu approximierende Funktion f: f muss analytisch auf einem american-football -förmigen Gebiet in der komplexen Ebene sein 4 / 20

10 Voraussetzung für Konvergenz Obwohl die Runge-Funktion reell analytisch auf [ 1, 1] ist, konvergiert das zugehörige Interpolationspolynom an äquidistanten Stützstellen nicht gegen f Um Konvergenz zu erreichen benötigt man sehr starke Voraussetzungen an die zu approximierende Funktion f: f muss analytisch auf einem american-football -förmigen Gebiet in der komplexen Ebene sein 4 / 20

11 Voraussetzung für Konvergenz Obwohl die Runge-Funktion reell analytisch auf [ 1, 1] ist, konvergiert das zugehörige Interpolationspolynom an äquidistanten Stützstellen nicht gegen f Um Konvergenz zu erreichen benötigt man sehr starke Voraussetzungen an die zu approximierende Funktion f: f muss analytisch auf einem american-football -förmigen Gebiet in der komplexen Ebene sein / 20

12 Voraussetzung für Konvergenz 2 Genauer: f muss auf dem Gebiet analytisch sein, welches durch die Höhenlinie φ(z) := ( z Re log(z + 1) z 1 ) log(z 1) begrenzt ist Die Runge-Funktion f(x) = x 2 besitzt aber Polstellen bei x = ± i 5 5 / 20

13 Voraussetzung für Konvergenz 2 Genauer: f muss auf dem Gebiet analytisch sein, welches durch die Höhenlinie φ(z) := ( z Re log(z + 1) z 1 ) log(z 1) begrenzt ist Die Runge-Funktion f(x) = x 2 besitzt aber Polstellen bei x = ± i 5 5 / 20

14 Interpolation an den Tschebyscheff-Knoten Bessere Ergebnisse erhält man, wenn man ( die ) Runge-Funktion an den Tschebyscheff-Knoten x j = cos jπ n (Extrema der Tschebyscheff-Polynome) interpoliert 6 / 20

15 Interpolation an den Tschebyscheff-Knoten Bessere Ergebnisse erhält man, wenn man ( die ) Runge-Funktion an den Tschebyscheff-Knoten x j = cos jπ n (Extrema der Tschebyscheff-Polynome) interpoliert 8 Stützpunkte / 20

16 Interpolation an den Tschebyscheff-Knoten Bessere Ergebnisse erhält man, wenn man ( die ) Runge-Funktion an den Tschebyscheff-Knoten x j = cos jπ n (Extrema der Tschebyscheff-Polynome) interpoliert 16 Stützpunkte / 20

17 Interpolation an den Tschebyscheff-Knoten Bessere Ergebnisse erhält man, wenn man ( die ) Runge-Funktion an den Tschebyscheff-Knoten x j = cos jπ n (Extrema der Tschebyscheff-Polynome) interpoliert 20 Stützpunkte / 20

18 Konvergenz der Tschebyscheff-Interpolanten Ist f Lipschitz-stetig auf [a, b], so konvergiert die Folge der Interpolationspolynome an den Tschbeyscheff-Knoten gleichmäßig gegen die Funktion f Satz von Faber: Für jede Folge (x (n) k ) existiert eine Funktion f C[a, b], so dass die zugehörige Folge (L n f) von Interpolationspolynomen auf [a, b] nicht gleichmäßig gegen f konvergiert Wie erhält man ein lineares Approximationsverfahren für alle Funktionen f L p [a, b]? 7 / 20

19 Konvergenz der Tschebyscheff-Interpolanten Ist f Lipschitz-stetig auf [a, b], so konvergiert die Folge der Interpolationspolynome an den Tschbeyscheff-Knoten gleichmäßig gegen die Funktion f Satz von Faber: Für jede Folge (x (n) k ) existiert eine Funktion f C[a, b], so dass die zugehörige Folge (L n f) von Interpolationspolynomen auf [a, b] nicht gleichmäßig gegen f konvergiert Wie erhält man ein lineares Approximationsverfahren für alle Funktionen f L p [a, b]? 7 / 20

20 Konvergenz der Tschebyscheff-Interpolanten Ist f Lipschitz-stetig auf [a, b], so konvergiert die Folge der Interpolationspolynome an den Tschbeyscheff-Knoten gleichmäßig gegen die Funktion f Satz von Faber: Für jede Folge (x (n) k ) existiert eine Funktion f C[a, b], so dass die zugehörige Folge (L n f) von Interpolationspolynomen auf [a, b] nicht gleichmäßig gegen f konvergiert Wie erhält man ein lineares Approximationsverfahren für alle Funktionen f L p [a, b]? 7 / 20

21 Bernstein-Operatoren Beweis des Satzes von Weierstraß mit Hilfe der Bernstein-Polynome: (B n f)(x) : = n ( k p n,k (x)f n ( n k k=0 mit p n,k (x) := ), x [0, 1] ) x k (1 x) n k Die Bernstein-Polynome liefern ein positives, lineares Approximationsverfahren für f C[0, 1] bezüglich der -Norm, d.h. lim B nf f = 0 n 8 / 20

22 Bernstein-Operatoren Beweis des Satzes von Weierstraß mit Hilfe der Bernstein-Polynome: (B n f)(x) : = n ( k p n,k (x)f n ( n k k=0 mit p n,k (x) := ), x [0, 1] ) x k (1 x) n k Die Bernstein-Polynome liefern ein positives, lineares Approximationsverfahren für f C[0, 1] bezüglich der -Norm, d.h. lim B nf f = 0 n 8 / 20

23 Bernstein-Durrmeyer Operatoren Erweiterung der Bernstein-Operatoren auf Lebesgue-intergrierbare Funktion indem man die Punktauswertung durch Integrale der gewichteten Funktion ersetzt Sei f L p [0, 1], 1 p. Dann ist der Bernstein-Durrmeyer Operator vom Grade n definiert durch (M n f)(x) := mit p nk (x) := n p nk (x)(n + 1) k=0 ( ) n x k (1 x) n k k 1 0 p nk (t)f(t)dt, x [0, 1], 9 / 20

24 Bernstein-Durrmeyer Operatoren Erweiterung der Bernstein-Operatoren auf Lebesgue-intergrierbare Funktion indem man die Punktauswertung durch Integrale der gewichteten Funktion ersetzt Sei f L p [0, 1], 1 p. Dann ist der Bernstein-Durrmeyer Operator vom Grade n definiert durch (M n f)(x) := mit p nk (x) := n p nk (x)(n + 1) k=0 ( ) n x k (1 x) n k k 1 0 p nk (t)f(t)dt, x [0, 1], 9 / 20

25 Eigenschaften der BD-Opertaoren Die BD-Operatoren liefern ein positives, lineares Approximationsverfahren für f L p [0, 1]: lim M nf f p = 0, n 1 p < bzw. f C[0, 1] für p = Erhaltung von Konstanten: M n e 0 = e 0 mit e 0 = x 0 = 1 Kontraktionseigenschaft: M n f p f p, 1 p Eigenwerte und Eigenfunktionen: M n p m = λ n,m p m, wobei p m := 2m+1 m! D m (x m (1 x) m ) die Legendre-Polynome sind und λ n,m := { n! (n+1)! (n m)! (n+m+1)! für n m 0 für n < m. 10 / 20

26 Eigenschaften der BD-Opertaoren Die BD-Operatoren liefern ein positives, lineares Approximationsverfahren für f L p [0, 1]: lim M nf f p = 0, n 1 p < bzw. f C[0, 1] für p = Erhaltung von Konstanten: M n e 0 = e 0 mit e 0 = x 0 = 1 Kontraktionseigenschaft: M n f p f p, 1 p Eigenwerte und Eigenfunktionen: M n p m = λ n,m p m, wobei p m := 2m+1 m! D m (x m (1 x) m ) die Legendre-Polynome sind und λ n,m := { n! (n+1)! (n m)! (n+m+1)! für n m 0 für n < m. 10 / 20

27 Eigenschaften der BD-Opertaoren Die BD-Operatoren liefern ein positives, lineares Approximationsverfahren für f L p [0, 1]: lim M nf f p = 0, n 1 p < bzw. f C[0, 1] für p = Erhaltung von Konstanten: M n e 0 = e 0 mit e 0 = x 0 = 1 Kontraktionseigenschaft: M n f p f p, 1 p Eigenwerte und Eigenfunktionen: M n p m = λ n,m p m, wobei p m := 2m+1 m! D m (x m (1 x) m ) die Legendre-Polynome sind und λ n,m := { n! (n+1)! (n m)! (n+m+1)! für n m 0 für n < m. 10 / 20

28 Eigenschaften der BD-Opertaoren Die BD-Operatoren liefern ein positives, lineares Approximationsverfahren für f L p [0, 1]: lim M nf f p = 0, n 1 p < bzw. f C[0, 1] für p = Erhaltung von Konstanten: M n e 0 = e 0 mit e 0 = x 0 = 1 Kontraktionseigenschaft: M n f p f p, 1 p Eigenwerte und Eigenfunktionen: M n p m = λ n,m p m, wobei p m := 2m+1 m! D m (x m (1 x) m ) die Legendre-Polynome sind und λ n,m := { n! (n+1)! (n m)! (n+m+1)! für n m 0 für n < m. 10 / 20

29 Plots1 Vergleich von f(x) := (2x 1) 2 mit (M n f)(x) f(x) (M 5 f)(x) y x 11 / 20

30 Plots1 Vergleich von f(x) := (2x 1) 2 mit (M n f)(x) f(x) (M 5 f)(x) (M 10 f)(x) y x 11 / 20

31 Plots1 Vergleich von f(x) := (2x 1) 2 mit (M n f)(x) f(x) (M 5 f)(x) (M 10 f)(x) (M 20 f)(x) y x 11 / 20

32 Plots1 Vergleich von f(x) := (2x 1) 2 mit (M n f)(x) f(x) (M 5 f)(x) (M 10 f)(x) (M 20 f)(x) (M 50 f)(x) 0.6 y x 11 / 20

33 Voronovskaja-Typ Resultat Für n N 0, f C[0, 1] und f an einer festen Stelle x 2-mal stetig differenzierbar gilt lim n( f(x) (M n f)(x) ) = d { x(1 x) d } n dx dx f(x) =: D 2 f(x) globale Konvergenzordnung kann auch für sehr glatte Funktionen nicht besser als O ( 1 n) sein. 12 / 20

34 Voronovskaja-Typ Resultat Für n N 0, f C[0, 1] und f an einer festen Stelle x 2-mal stetig differenzierbar gilt lim n( f(x) (M n f)(x) ) = d { x(1 x) d } n dx dx f(x) =: D 2 f(x) globale Konvergenzordnung kann auch für sehr glatte Funktionen nicht besser als O ( 1 n) sein. 12 / 20

35 Approximationsordnung bei der Tschebyscheffinterpolation Sei f C r [ 1, 1] und f (r) stückweise stetig differenzierbar in [ 1, 1], dann gilt für n > r f p n Cn (r+1), wobei p n das Interpolationspolynom vom Grade n an den Tschebyscheff-Knoten bezeichnet. Ist f reell analytisch auf [ 1, 1], so ist f p n C n 13 / 20

36 Approximationsordnung bei der Tschebyscheffinterpolation Sei f C r [ 1, 1] und f (r) stückweise stetig differenzierbar in [ 1, 1], dann gilt für n > r f p n Cn (r+1), wobei p n das Interpolationspolynom vom Grade n an den Tschebyscheff-Knoten bezeichnet. Ist f reell analytisch auf [ 1, 1], so ist f p n C n 13 / 20

37 Beispiel Betrachte f(x) := sin(5x) 3 C 2 [ 1, 1], f ist stückweise stetig differenzierbar. f p n Cn 3 14 / 20

38 Beispiel Betrachte f(x) := sin(5x) 3 C 2 [ 1, 1], f ist stückweise stetig differenzierbar. f p n Cn / 20

39 Die Quasi-Interpolanten 15 / 20

40 Der Differenzialoperator D 2l D2l := dl dx l x l (1 x) l dl dx l D2l p m = γ l,m p m, wobei p m := 2m+1 m! D m (x m (1 x) m ) die Legendre-Polynome sind und { ( 1) l (m+l)! (m l)! für l m γ l,m := 0 für l > m. Für f C 2l [0, 1] kommutiert der Differentialoperator D 2l mit den Bernstein-Durrmeyer Operatoren: D 2l M n f = M n D2l f 16 / 20

41 Der Differenzialoperator D 2l D2l := dl dx l x l (1 x) l dl dx l D2l p m = γ l,m p m, wobei p m := 2m+1 m! D m (x m (1 x) m ) die Legendre-Polynome sind und { ( 1) l (m+l)! (m l)! für l m γ l,m := 0 für l > m. Für f C 2l [0, 1] kommutiert der Differentialoperator D 2l mit den Bernstein-Durrmeyer Operatoren: D 2l M n f = M n D2l f 16 / 20

42 Der Differenzialoperator D 2l D2l := dl dx l x l (1 x) l dl dx l D2l p m = γ l,m p m, wobei p m := 2m+1 m! D m (x m (1 x) m ) die Legendre-Polynome sind und { ( 1) l (m+l)! (m l)! für l m γ l,m := 0 für l > m. Für f C 2l [0, 1] kommutiert der Differentialoperator D 2l mit den Bernstein-Durrmeyer Operatoren: D 2l M n f = M n D2l f 16 / 20

43 Konstruktion der Quasi-Interpolanten und Eigenschaften Die Bernstein-Durrmeyer Quasi-Interpolanten der Ordnung (r, n), 0 r n sind für f L 1 [0, 1] wie folgt definiert M (r) n f := r l (n l)! ( 1) D 2l( M n f ). n!l! l=0 M n (r) p m = p m, m = 0,..., r Gleichmäßige Beschränktheit von M (r) n : M n (r) f p (2 r+1 1) f p 17 / 20

44 Konstruktion der Quasi-Interpolanten und Eigenschaften Die Bernstein-Durrmeyer Quasi-Interpolanten der Ordnung (r, n), 0 r n sind für f L 1 [0, 1] wie folgt definiert M (r) n f := r l (n l)! ( 1) D 2l( M n f ). n!l! l=0 M n (r) p m = p m, m = 0,..., r Gleichmäßige Beschränktheit von M (r) n : M n (r) f p (2 r+1 1) f p 17 / 20

45 Konstruktion der Quasi-Interpolanten und Eigenschaften Die Bernstein-Durrmeyer Quasi-Interpolanten der Ordnung (r, n), 0 r n sind für f L 1 [0, 1] wie folgt definiert M (r) n f := r l (n l)! ( 1) D 2l( M n f ). n!l! l=0 M n (r) p m = p m, m = 0,..., r Gleichmäßige Beschränktheit von M (r) n : M n (r) f p (2 r+1 1) f p 17 / 20

46 Voronovskaja-Typ Resultat 2 Für r N 0 und f C 2(r+1) [0, 1] gilt lim n (n + 1)! ( (n r)! f M (r) n f )(x) = ( 1)r+1 (r + 1)! D 2(r+1) f(x), x [0, 1], und die Konvergenz ist gleichmäßig bezüglich x. 18 / 20

47 Plots2 Vergleich von f(x) := (2x 1) 2 mit (M n (r) f)(x) f(x) (M 5 (3) f)(x) y x 19 / 20

48 Plots2 Vergleich von f(x) := (2x 1) 2 mit (M n (r) f)(x) f(x) (M 5 (3) f)(x) (3) (M 10 f)(x) y x 19 / 20

49 Plots2 Vergleich von f(x) := (2x 1) 2 mit (M n (r) f)(x) f(x) (M 5 (3) f)(x) (3) (M f)(x) 10 (3) (M 20 f)(x) y x 19 / 20

50 Plots2 Vergleich von f(x) := (2x 1) 2 mit (M n (r) f)(x) f(x) (M 5 (3) f)(x) (3) (M 10 f)(x) (3) (M 20 f)(x) (5) (M f)(x) y x 19 / 20

51 y y Plots3 Vergleich von f(x) := (2x 1) 2 mit (M n f)(x) und (M n (r) f)(x) f(x) (M 5 f)(x) (M f)(x) 10 (M f)(x) 20 (M 50 f)(x) f(x) (3) (M 5 f)(x) (3) (M 10 f)(x) (3) (M f)(x) 20 (5) (M 50 f)(x) x x 20 / 20