3.1.3 Newtonsche Interpolationsformel / Dividierte Differenzen

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1 KAPITEL 3 INTERPOLATION UND APPROXIMATION 4 33 Newtonsche Interpolationsformel / Dividierte Differenzen Das Verfahren von Neville ist unpraktisch, wenn man das Polynom selbst sucht oder das Polynom an mehreren Stellen auswerten will Für diese Fälle eignet sich der Newton-Algorithmus Wir schreiben: p(f,, n )=a + a ( )+a ( )( )+ + a n ( ) ( n ) (35) Beobachtungen: (i) Darstellungen eines Polynoms p() vom Grad n: a) p() =c + c + + c n n + c n n zur Basis der Monome {,,,, n } b) p() =b L ()+b L ()+ + b n L n () zur Basis der Lagrange-Polynome {L (),, L n ()} c) p() =a + a w ()+ + a n w n () zur Newton-Basis {w (),, w n ()} mit Einfache Folgerung a n = c n und da w n ( i ) = für i =,, n i w i () = ( j ) j= p(f,, n )=p(f,, n )+a n w n (), (36) (ii) Das Polynom p() in Darstellung (35) bzw (i) c) lässt sich (wie auch die Darstellung in (i) a)) durch das so genannte Horner-Schema auswerten: ( ( ) )) p(ξ) =a +(ξ ) a +(ξ ) a + (ξ n ) (a n +(ξ n )a n, wobei die Koeffizienten a i nacheinander aus den Beziehungen f = p( )=a f = p( )=a +( )a (37) f = p( )=a +( )a +( )( )a, usw bestimmt werden können Aufwand der Koeffizientenbestimmung durch (37): a : Additionen, Division a : 4 Additionen, Multiplikationen, Division a 3 : 6 Additionen, 4 Multiplikationen, Division a i :i Additionen, (i ) Multiplikationen, Division Insgesamt: n Divisionen n(n ) Multiplikationen n(n + ) Additionen Definition 9 Wir nennen den Koeffizienten a n in (36) die n-te dividierte Differenz von f zu den Stützstellen,, n, und wir schreiben f[,, n ] := a n

2 KAPITEL 3 INTERPOLATION UND APPROXIMATION 43 Wir nennen die Koeffizienten bezüglich der Newton-Basis (die a i in obiger Beobachtung (i) c)) die dividierten Differenzen von f zu den Stützstellen,, n Frage: Lassen sich die dividierten Differenzen billiger bestimmen als durch Darstellung (37)? Definiere jeweils die -te Differenz von f zu der Stützstelle i durch Wir finden mit Formel (34) und somit f[ i ] := f i p(f i, i+ ) = ( i )p(f i+ ) ( i+ )p(f i ) }{{} i i+ =f[ i]+( i)f[ i, i+] = ( i )f[ i+ ] ( i+ )f[ i ] i i+ f[ i, i+ ]= ( i )f[ i+ ] ( i )f[ i ] i i+ = f[ i] f[ i+ ] i i+, i dh die -te dividierte Differenz zweier (benachbarter) Stellen lassen sich leicht aus den entsprechenden Stützwerten durch dividierte Differenzen berechnen Wir gehen nun davon aus, dass die (n )-ten dividierten Differenzen f[,, n ] und f[,, n ] bekannt sind Wiederum mit Formel (34) und (36) finden wir p(f,, n )=p(f,, n )+f[,, n ]w n () Nach Koeffizientenvergleich des Faktors n erhalten wir = ( )p(f,, n ) ( n )p(f,, n ) n f[,, n ]= f[,, n ] f[,, n ] n = f[,, n ] f[,, n ] n Anordnung der dividierten Differenzen im so genannten Differenzenschema: f = f[ ] f = f[ ] f[, ] f = f[ ] f[, ] f[,, ] f n = f[ n ] f[ n, n ] f[,, n ] f n = f[ n ] f[ n, n ] f[,, n ] f[,, n ]

3 KAPITEL 3 INTERPOLATION UND APPROXIMATION 44 Die Hauptdiagonale liefert die Koeffizienten von p(f,, n ) Aufwand: -te Spalte: n Additionen, n Divisionen 3-te Spalte: (n ) Additionen, n Divisionen Insgesamt: n i= i = n(n+) Divisionen n i= i = n(n + ) Additionen Billiger als Koeffizientenbestimmung durch (37) Satz 8 (Newtonsche Interpolationsformel) Zu n + Stützpunkten ( i,f i ), i =,, n mit paarweise verschiedenen Stützstellen i eistiert genau ein Interpolationspolynom p() vom Grad n, welches gegeben ist durch p() =f[ ]+( )f[, ]+ +( ) ( n )f[,, n ], wobei die dividierten Differenzen gegeben sind durch für k n i f[ i ] := f i, f[ i,, i+k ]= f[ i,, i+k ] f[ i+,, i+k ] i i+k 34 Das Restglied der Polynominterpolation Wir untersuchen nun die Approimationseigenschaft des Interpolationspolynoms p() von f in den Stützstellen,, n, dh den Fehler f() p() Satz 9 Sei f :[a, b] R mindestens (n + )-mal stetig differenzierbar und p() das Interpolationspolynom von f in den Stützstellen,, n [a, b] vom Grad n Dann eistiert zu jedem [a, b] eine Zwischenstelle ξ = ξ() (a, b) mit f() p() =w n+ () f (n+) (ξ) (n + )! Beweis: Wir setzen F () =f() p() K w n+ () und bestimmen für ein i, i =,, n, die Konstante K so, dass F ( ) = gilt Dies ist möglich da w n+ ( ) Insgesamt besitzt F somit n + Nullstellen und nach dem Satz von Rolle die Ableitung F noch n + Nullstellen usw Schließlich besitzt F (n+) = f (n+) () K(n + )! eine Nullstelle ξ = ξ( ) Daher gilt =f (n+) (ξ) K(n + )! und mit Auflösung nach K die Behauptung des Satzes

4 KAPITEL 3 INTERPOLATION UND APPROXIMATION 45 Mit Darstellung (36) und dem vorangegangenen Beweis gilt falls i < < i f[,, i,, i,, n ]= f (n+) (ξ) (n + )!, Betrachten wir die Funktionsklasse F = {f C n+ ([a, b]) ma τ [a,b] f (n+) (τ) M(n + )!} für eine Konstante M>, so hängt der Approimationsfehler offenbar entscheidend von der Wahl der Stützstellen,, n in Form von w n+ () = ( ) ( n ) ab In der Tat ist die Approimationseigenschaft von Interpolationspolynomen im Allgemeinen nicht so gut, wie der Weierstraßsche Approimationssatz Satz 5 vermuten lässt Im nächsten Abschnitt werden wir jedoch zeigen wie sich ma [a,b] w n+() bei entsprechender Wahl der Stützstellen minimieren lässt 35 Tschebyscheff-Interpolation Ziel: Approimation von f :[a, b] R durch Interpolationspolynome mit möglichst günstigen Stützstellen (gute Kondition, optimale Approimation von f F) Ohne Einschränkung sei [a, b] =[, ] Denn mit der affine Transformation [, ] [a, b] a+b b a y a+b b a y + b a = y lässt sich das Intervall [a, b] in das Intervall [, ] überführen ohne die Interpolations- und Approimationseigenschaften zu verändern Wir definieren rekursiv die Tschebyscheff-Polynome T () = T () = T n+ () = T n () T n () Das Polynom T n vom Grad n ist ebenfalls gegeben durch: T n () = cos(n arccos ) Beweis durch Induktion: n = und n = klar Sei die Behauptung für n gezeigt Mit der Definition der Teschbyscheff-Polynome gilt: T n+ () = T n () T n () = cos(n arccos ) cos((n ) arccos ) = cos(arccos ) cos(n arccos ) cos((n ) }{{}} arccos {{ } ) = =:ϕ }{{} =cos((n+)ϕ)+cos((n )ϕ) = cos((n + )ϕ)

5 KAPITEL 3 INTERPOLATION UND APPROXIMATION 46 Beachte: Nach dem Additionstheorem des Cosinus gilt: cos(nϕ + ϕ) + cos(nϕ ϕ) = cos(nϕ) cos(ϕ) Folgerungen: (i) Die Nullstellen von T n sind cos ( k+ n π), k =,, n (ii) T n (cos kπ n )=( )k für k =,, n (iii) T n () für (iv) Der Koeffizient von n ist n Beispiel 6 T () = T 3 () = 3 3 T 4 () = T_ - - T_3 - - T_4 Abbildung 3: Tschebyscheff-Polynome T,T 3 und T 4 Satz Unter allen (,, n ) T R n+ wird ma w n+() minimal, wenn die i genau die Nullstellen des (n + )-ten Tschebyscheff-Polynoms T n+ sind, dh wenn [,] ( ) k + k = cos n + π für k =,, n gilt Der minimale Wert ist n Zum Beweis des Satzes benutzen wir folgendes Resultat: Lemma 4 Sei q() = n n + ein Polynom vom Grad n ungleich des n-ten Tschebyscheff- Polynoms T n Dann gilt: ma q() > = ma T n() [,] [,]