Numerische Mathematik für die Fachrichtung Informatik und für Ingenieurwesen SS 2005

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1 UNIVERSITÄT KARLSRUHE TH Institut für Praktische Mathematik Prof. Dr. Rudolf Scherer Dil.-Math. Heike Stoll Numerische Mathematik für die Fachrichtung Informatik und für Ingenieurwesen SS 5 Lösung zum 4. Übungsblatt 3. Juni 5 Aufgabe : schriftlich zu bearbeiten a Bestimmen Sie a,..., a 7 R so, dass die Funktion s a : [, ] R definiert durch a + a + a + a 3 3 s a a 4 4 a 5 + a 6 + a 7 3 ein kubischer Sline bezüglich des Gitters : {,,, } mit den Randbedingungen s a und s a 6 ist. b Entwickeln Sie das Polynom nach Tschebyscheff-Polynomen. Lösung: a Für einen kubischen Sline muss gelten: s [j, j] P 3, j,..., n s C [, n ] Hier ist n 3 und,,, 3. Damit folgt s : a + a + a + a 3 3 s : a 4 4 P 3 s 3 : a 5 + a 6 + a 7 3 Untersuchung der Anschlussstellen j, j,, d.h. es muss gelten Die Ableitungen von s, s und s 3 ergeben sich zu Damit folgt für die Anschlussstellen j, j, : s j j s j+ j s j j s j+ j j j j+ j a 4 s a + a + 3a 3, a + 6a 3 s , + s 3 a 5 + a 6 + 3a 7, 3 a 6 + 6a 7 j : s a a + a a 3 s s a a + 3a 3 s

2 a 6a j : s s 3 4 s 4 s 3 a 5 a a 6 a Randbedingungen: s a s a a + 4a 8a 3 7 s a 6 s 3 a 5 + a 6 + a Die Gleichungen, 7, und 3 liefern ein LGS für a, a, a, a 3 : a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 3 4 a 8 a 6 a a 3 Aus Gleichung 8 erhalten wir nun den Wert für a 7 a 5 + a 6 + a a 7 6 a 7 6. Damit ist der kubische Sline s a gegeben durch: s a b Für die Tschebyscheff-Polynome gilt: T, T, T n+ T n T n für n Damit erhalten wir die Tschebyscheff-Polynome bis n 6 zu: T T T T T T T

3 Da nun gelten soll 6 j a jt j erhalten wir ein LGS T a b für die Koeffizienten a j mit a 3 5 a a T 4, a a 3, b a a a 6 6 a a a a a 3 a 4 a 5 a 6 6 a j T j j 8 5/ 7/ 4 3/ / T T 5 4T T 3 5 T + T 8T Aufgabe : schriftlich zu bearbeiten a Gegeben sei die Matri a b A c d Anstelle von A b löse man das Gleichungssystem D AD y D b mit D a, b, c, d >, ad + bc. abcd cd abcd, D ac Die Lösung ergibt sich dann aus D y. Berechnen Sie für a, b., c 99, d. die Konditionszahlen cond Z A und cond Z D AD. b Die Funktion f cot kann durch cot sin cos berechnet werden. Untersuchen Sie die Kondition von f bezüglich einer Störung in, kπ, k Z mit absolutem und relativem Fehler. c f wird mit dem Algorithmus Lösung: y sin, y cos, y y, y 3 y y ausgewertet. Untersuchen Sie die Kondition dieses Algorithmus bezüglich absolutem und relativem Fehler. a Für die gegebenen Werte erhalten wir die Matri A und ihre Inverse zu a b. A c d

4 A d b ad bc c a Die Kondition der Matri A ist mit der Matrinorm N Z A ma i j a ij gegeben durch: cond Z A N Z AN Z A N Z A ma{ a + b, c + d } ma{a + b, c + d} ma{., 99.}. N Z A ma{. +., + 99} 99 cond Z A Die Matri D AD und ihre Inverse ergeben sich aus: D AD abcd cd D AD D A D ad bc a b abcd c d ac abcd d b ad bc c a ac d bcd a bcd a d a abc d abc d a abcd cd Damit erhalten wir die Zeilensummennormen von D AD und ihrer Inversen und die Kondition von D AD : { abc N Z D AD ma + { N Z D A D ad bc ma d + } abc abc a +, a + a + d d d cond Z D AD bcd, d + a. + } bcd a Fazit: Die Kondition des modifizierten Systems ist deutlich besser, als die des ursrünglichen Systems, dessen Lösung man aus der Bedingung D y leicht aus der Lösung des modifizierten Systems berechnen kann. b Es gelten folgende Additionstheoreme: sin cos 9 sin sin cos Damit erhalten wir f sin 9 sin cos sin sin cos sin cos sin cos sin cot Damit können wir z durch z : f definieren. Die Funktion f ist stetig und differenzierbar für kπ, k Z. Die Ableitung der Funktion f ergibt sich mit der Quotientenregel zu f g g h gh h h f sin sin cos cos sin sin 4

5 f sin. Damit erhalten wir den absoluten Fehler ε f ε sin ε 9 cos ε und den relativen Fehler δ f f δ sin cos sin δ 9 Betrachte zuerst die kritischen Punkte kπ, k Z für den absoluten Fehler lim kπ schlecht konditioniert cos und dann die kritischen Punkte kπ, k Z für den relativen Fehler k : lim k kπ : lim kπ sin l Hosital lim cos sin c Fehler bei der Auswertung von y sin: ỹ y + ε y + δ Fehler bei der Auswertung von y cos: ỹ y + ε y + δ Fehler bei der Auswertung von y y : Fehler bei der Auswertung von y 3 y y : sin sin δ sin sin δ. schlecht konditioniert. ε y ε ε und y δ y y y δ y y y y y δ y ε ε y 3 ε + y 3 ε ε y y y y gut konditioniert δ y 3 y δ + y 3 y δ y y δ y y y y 3 y y 3 y y y y δ δ δ y Der Algorithmus ist für y und y klein schlecht konditioniert, was kπ entsricht. Aufgabe 3: mündlich Untersuchen Sie für welche, q die Berechnung der größten Nullstelle von + q mit Hilfe der Formel ϕ, q : + + q gut bzw. schlecht konditioniert ist. Lösung: Wir definieren z durch z : ϕ, q + + q und erhalten dann für den relativen Fehler δ z z ϕ z z δ + ϕ q q [ z δ q + ] [ ] + q z δ + + q q z δ q + q + + q z δ + q + q z δ q + q δ + [ + q] + q + q δ q + q z δ q + q + q δ q + q Gut konditioniert für q >, da gilt: + q und + [ ] + q + q + q + + q + z δ q δ q 5

6 und schlecht konditioniert für q, da dann + q und damit die Verstärkungsfaktoren + q und + + q + q groß werden. Aufgabe 4: mündlich Zeigen Sie, dass die Funktion s α,β : [ 3, ] R definiert durch α s α,β β 3 ein kubischer Sline bezüglich des Gitters : 3,,,, ist. Bestimmen Sie nun α und β so, dass die folgenden Randbedingungen erfüllt sind: a : s 3 und s, b : 3 und, c : s 3 s 8 Lösung: Für einen kubischen Sline muss gelten: s [j, j] P 3, j,..., n s C [, n ] Hier ist n 4 und 3,,, 3, 4. Damit folgt s : α s : s 3 : s 4 : β 3 Untersuchung der Anschlussstellen j, j,, 3, d.h. es muss gelten Die Ableitungen von s, s, s 3 und s 4 ergeben sich zu s j j s j+ j s j j s j+ j j j j+ j s α + + 3, α + 6 s + + 3, + 6 s 3 5 3, 3 6 s β, 4 6β Damit folgt für die Anschlussstellen j, j,, 3 mit, und 3 : j : s α s s α 4 + s 4 + α 6

7 j : j 3 : s s s + 3 s s s s s Nun zur Bestimmung von α und β mit Hilfe der Randbedingungen: a : s 3 s 3 α α + α s s β 9 + β β 7 b : 3 3 α 8 6α α 3 4 6β β c : s 3 8 s 3 α α 8 α 3 s 8 s β 8 β Aufgabe 5: a Zeigen Sie für die Tschebyscheff-Polynome T n, n die Orthogonalitätsbeziehungen d, m n T n T m π, m n. π, m n b Beweisen Sie die dreigliedrige Rekursionsformel für die Tschebyscheff-Polynome: T n+ T n T n, n, T, T c Entwickeln Sie das Polynom q nach Tschebyscheff-Polynomen. Lösung: Die Tschebyscheff-Polynome sind für k,,,... gegeben durch T k cosk arccos. Für die Beweise benötigen wir noch folgende Additionstheoreme: cos cos y cos y + cos + y cos ± y cos cos y sin sin y cos a Das Integral lässt sich mit Hilfe der Substitution t arccos, cos t, d dt Fallunterscheidung liefert nun: + cos 3 d T n T m d cosn arccos cosm arccos π sin t wie folgt umformen: sin t dt π cosnt cosmt cos t cosnt cosmtdt cosnt cosmtdt π 7

8 a m n: b m n : c m n : cosnt cosmtdt [ sinn mt n m cosnt cosmtdt mn b Mit T k cosk arccos folgt k : k : cos ntdt 3 [cosn mt + cosn + mt]dt cosnt cosmtdt mn + ] π sinn + mt sin kπ n + m + cos ntdt T cos arccos cos T cos arccos T k+ cosk + arccos cos dt π [ t + cosk arccos cosarccos sink arccos sinarccos T k sink arccos sinarccos T k cosk arccos cosk arccos cosarccos + sink arccos sinarccos T k + sink arccos sinarccos ] π sin nt n π T k+ + T k T k + T k T k T k+ T k T k c Für die Tschebyscheff-Polynome gilt nach Aufgabenteil b die Rekursionsformel T, T, T n+ T n T n für n. Damit erhalten wir die Tschebyscheff-Polynome bis n 4 zu: T T T T T Aus der Bedingung q 4 j a jt j erhalten wir durch Koeffizientenvergleich ein LGS T a b für die Koeffizienten a j mit T q j, a a a a a 3 a 4, b a a j T j T 4 + T 3 T + 5T 3T