2 Tschebyscheff-Approximation durch Polynome

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1 Approximationstheorie 71 2 Tschebyscheff-Approximation durch Polynome 2.1 Tschebyscheff-Polynome In diesem Abschnitt: explizit lösbare Tschebyscheff-Approximationsprobleme durch Polynome. Bezeichnungen: p, q : Polynome x : unabhängige Variable im Reellen, z : unabhängige Variable im Komplexen, P n : Menge der Polynome vom Grad n, E n [a, b](f) : Minimalabstand von P n zu f auf dem Intervall [a, b]. 2 Tschebyscheff-Approximation durch Polynome TU Bergakademie Freiberg, WS 2008/09

2 Approximationstheorie 72 Folgendes Invarianzprinzip gilt für das symmetrische Intervall [a, b]. Satz 2.1 Sei f in [ 1, 1] symmetrisch bzw. antisymmetrisch, d.h. es gelte f( x) = f(x) bzw. f( x) = f(x). Dann ist auch die Bestapproximation an f aus P n symmetrisch bzw. antisymmetrisch. Eine Verallgemeinerung hiervon ist Satz 2.2 (Meinardus, 1963) Sei E ein normierter Raum, V eine konvexe Existenzmenge in E und ι : E E eine lineare involutorische Abbildung, d.h. ι ι sei die identische Abbildung. Ferner sei ι(v ) = V und ιf = f für alle f E: (a) Ist u eine Bestapproximation an f aus V, so ist ιu dort eine Bestapproximation an ιf. (b) Ist f invariant unter ι, also ιf = f, dann gibt es eine invariante Bestapproximation u an f aus V, also u = ιu.

3 Approximationstheorie 73 Wir fassen hier die (eigentlich bekannten) wichtigsten Eigenschaften der Tschebyscheff-Polynome zusammen. Satz 2.3 (a) Durch T n (x) = cos(n arccos x), x [ 1, 1], ist für jedes n N 0 ein Polynom mit Grad n mit führendem Koeffizient 2 n 1 definiert. (b) Die Polynome genügen der Rekursionsbeziehung T n+1 (x) = 2xT n (x) T n 1 (x), n 1, T 0 (x) = 1, T 1 (x) = x. (c) Die Polynome erfüllen die Symmetrierelation T n ( 1) = ( 1) n T n (x).

4 Approximationstheorie 74 Satz 2.4 Sei n 1 und p die Bestapproximation an f(x) = x n aus P n 1 über I = [ 1, 1]. Dann ist die zugehörige Fehlerkurve gegeben durch x n p(x) = 2 n+1 T n (x) und es gilt E n 1 (x n ) = x n p(x) = 2 n+1. Mit derselben Methode läßt sich für jedes Polynom aus P n die Bestapproximation aus P n 1 auf [ 1, 1] bestimmen. Beispiel 19: Man bestimme die Bestapproximation aus P 4 über [ 1, 1] an das Polynom p(x) = 2x 5 x 3 + 3x 2 1.

5 Approximationstheorie 75 Auch die Bestapproximation analytischer Funktionen läßt sich mit Tschebyscheff-Polynomen bestimmen. Beispiel 20: Man zeige, dass die Bestapproximation aus P n an die Funktion f(x) = b k T 3 k(x) k=0 unter den Voraussetzungen b k > 0 und b k < in [ 1, 1] stets die Partialsumme bis k = m mit 3 m n < 3 m+1 ist. Außerdem zeige man E n (f) = k 3 k >n b k.

6 Approximationstheorie 76 Zusammenhang mit trigonometrischen Polynomen Die Transformation x = cos ϑ induziert mittels eine bijektive Abbildung f(x) g(ϑ) = f(cos ϑ) C[ 1, 1] { g C[0, 2π] : g(ϑ) = g( ϑ), g 2π-periodisch }. Insbesondere ergibt sich die Zuordnung T n (x) cos(nϑ). T n besitzt genau den Grad n, daher bilden {T 0, T 1,..., T n } eine Basis von P n. Dem algebraischen Polynom n n n p(x) = α k x k = a k T k (x) entspricht a k cos(kϑ). k=0 k=0 k=0

7 Approximationstheorie 77 Satz 2.5 Die Tschebyscheff-Polynome genügen den Orthogonalitätsrelationen 2 1 dx 2 für n = m = 0, T n (x)t m (x) π = 1 für n = m 0, 1 1 x 2 0 für n m. Beweis: Substituiere x = cos ϑ, 1 x 2 = dx/dϑ: 2 π Z 1 1 = 1 π T n (x)t m (x) Z π π dx 1 x 2 = 2 π cos(nϑ) cos(mϑ) dϑ = 1 π Z 0 π Z π cos(nϑ) cos(mϑ) dϑ π 1 2 [cos((n m)ϑ) + cos((n + m)ϑ)] dϑ. Da R π cos(kϑ) dϑ = 0 für k Z \ {0} liefert der erste Term im letzten Integral nur π für n = m, der zweite nur für n = m = 0 einen Beitrag..

8 Approximationstheorie 78 Bemerkung 2.6 Eine explizite Darstellung der Tschebyscheff-Polynome ergibt sich aus der Identität cos(nϑ) ± i sin(nϑ) = (cos ϑ ± i sin ϑ) n, aus welcher sich durch Addition der Beziehung mit verschiedenen Vorzeichen cos(nϑ) = 1 2 [(cos ϑ + i sin ϑ)n + (cos ϑ i sin ϑ) n ] ergibt. Mit x = cos ϑ und i sin ϑ = x 2 1 wird daraus T n (x) = 1 2 [( x + x 2 1) n + (x ) n ] x 2 1. Die Wurzeln fallen nach Ausmultiplizieren (binomische Formel) weg. Ferner erlaubt diese Darstellung die Auswertung im Reellen für x > 1.

9 Approximationstheorie 79 Ergänzung: Die Polynome {T n } bezeichnet man auch als Tschebyscheff- Polynome erster Art, um sie von den durch U n (x) := 1 n + 1 d dx T n+1(x) = sin((n + 1) arccos x) sin(arccos x) definierten Tschebyscheff-Polynomen zweiter Art zu unterscheiden. Letztere spielen bei der L 1 -Approximation eine ähnliche Rolle wie hier die von erster Art. Außerdem eignen sich die Polunome {U n } zur Abschätzung der Ableitungen von Polynomen.

10 Approximationstheorie Approximation von 1 x a Satz 2.7 Die Bestapproximation an durch p P n ist beschrieben durch Dabei ist v C, v = 1, f(x) = 1, a > 1, x [ 1, 1], x a 1 x a p(x) = M 2 x = 1 2 v + 1 v «α + 1 «α j ff v n α v 1 αv + 1 αv v n. (2.1) α v = Re v, a = 1 2 «1 M = E n = 4αn+2 x a mit α = a p a 2 1 < 1, (1 α 2 ) = (a a2 1) n. 2 a Approximation von 1 x a TU Bergakademie Freiberg, WS 2008/09