Mathematik für Studierende der Erdwissenschaften Lösungen der Beispiele des 5. Übungsblatts

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1 Mathematik für Studierende der Erdwissenschaften Lösungen der Beispiele des 5. Übungsblatts 1. Stetigkeit und Grenzwerte: (a) Aus der folgenden grafischen Darstellung von y 1 (x) = x 2/3 /(1 + x 2 ) ist ersichtlich, dass y 1 (x) für jedes x R stetig ist. Die Stetigkeit wird bezüglich der Eigenschaften auf Seite 61 im Skriptum folgendermaßen begründet. Erstens kann die Funktion so geschrieben werden, y 1 (x) = f(g(x)) p(x) mit f(x) = 3 x, g(x) = x 2, p(x) = 1 + x 2 Diese Funktionen haben folgende Eigenschaften: f(x), Potenzfunktion, Wurzel ungerade, stetig auf D f = R. g(x), Polynom, stetig auf D g = R. p(x), Polynom, stetig auf D p = R. f(g(x)), Komposition, stetig auf D f g = {x D g : g(x) D f ) = {x R : x 2 R) = R. f(g(x))/p(x), Quotient mit p(x) = 1 + x 2 1 > 0, stetig auf {x D f g D p : p(x) 0} = {x R : p(x) 0} = R. und daher ist y 1 (x) = f(g(x))/p(x) stetig für jedes x R. (b) Aus der folgenden grafischen Darstellung von y 2 (x) = x ln x ist ersichtlich, dass y 2 (x) für jedes x 0 stetig ist. Die Stetigkeit wird bezüglich der Eigenschaften auf Seite 61 im Skriptum folgendermaßen begründet. Erstens kann die Funktion so geschrieben werden, y 2 (x) = b(x)f(b(x)) mit b(x) = x, f(x) = ln(x) Diese Funktionen haben folgende Eigenschaften: b(x), Betragsfunktion, stetig auf D b = R. f(x), Logarithmusfunktion, stetig auf R +. f(b(x)), Komposition, stetig auf D f b = {x D b : b(x) D f } = {x R : x R + } = R\{0}. b(x)f(b(x)), Produkt, stetig auf D b D f b = R (R\{0}) = R\{0}. und daher ist y 2 (x) = b(x)f(b(x)) stetig für jedes x R\{0}. Mit der zusätzlichen Zuweisung y 2 (0) = 0 wird y 2 (x) an der Stelle x 0 = 0 stetig ergänzt. (c) Aus der folgenden grafischen Darstellung von y 3 (x) = (x 7) π ist ersichtlich, dass y 3 (x) für jedes x 7 stetig ist. Die Stetigkeit wird bezüglich der Eigenschaften auf Seite 61 im Skriptum folgendermaßen begründet. Erstens kann die Funktion so geschrieben werden, y 3 (x) = f(g(x)) mit f(x) = x π, g(x) = x 7 1

2 Diese Funktionen haben folgende Eigenschaften: f(x), Potenzfunktion, Potenz > 0, stetig auf D f = [0, ). g(x), Polynom, stetig auf D g = R. f(g(x)), Komposition, stetig auf D f g = {x D g : g(x) D f } = {x R : x 7 [0, )} = [7, ). und daher ist y 3 (x) = f(g(x)) stetig für jedes x [7, ). (d) Aus der folgenden grafischen Darstellung von y 4 (x) = (3x 2 x 2 )/(x 2 + x 2) ist ersichtlich, dass y 4 (x) für jedes x ( 2, 2]\{+1} stetig ist. Die Stetigkeit wird bezüglich der Eigenschaften auf Seite 61 im Skriptum folgendermaßen begründet. Erstens kann die Funktion so geschrieben werden, y 4 (x) = f(r(x)) mit f(x) = x, r(x) = p(x) q(x) p(x) = 3x 2 x 2 = (x 1)(2 x), q(x) = x 2 + x 2 = (x 1)(x + 2) r(x) = (x 1)(2 x) x 1 = 2 x (x 1)(x + 2) x + 2 Diese Funktionen haben folgende Eigenschaften: f(x), Potenzfunktion, Wurzel gerade, stetig auf D f = [0, ). r(x), rationale Funktion, stetig auf D r = {x R : q(x) 0} = R\{ 2, +1}. f(r(x)), Komposition, stetig auf D f r = {x D r : r(x) D f } = {x R\{ 2, +1} : r(x) > 0} = ( 2, +2]\{+1}. und daher ist y 4 (x) = f(r(x)) stetig für jedes x ( 2, +2]\{+1}. Mit der zusätzlichen Zuweisung y 4 (1) = 1/ 3 wird y 4 (x) an der Stelle x 0 = 1 stetig ergänzt. (e) Aus der folgenden grafischen Darstellung von y 5 (x) = 1/(1 + e x ) ist ersichtlich, dass y 5 (x) für jedes x R stetig ist. Die Stetigkeit wird bezüglich der Eigenschaften auf Seite 61 im Skriptum folgendermaßen begründet. Erstens kann die Funktion so geschrieben werden, y 5 (x) = r(e(x)) mit r(x) = 1, q(x) = 1 + x, e(x) = exp( x) q(x) 2

3 Diese Funktionen haben folgende Eigenschaften: r(x), rationale Funktion, stetig auf D r = {x R : q(x) 0} = R\{ 1}. e(x), Exponentialfunktion, stetig auf D e = R. r(e(x)), Komposition, stetig auf D r e = {x D e : e(x) D r } = {x R : e x 1} = R. und daher ist y 5 (x) = r(e(x)) stetig für jedes x R. Für jedes der obigen Beispiele bestimmt man den Grenzwert x x0 y i (x) an einer Stelle x 0, in der die Funktion stetig ist, einfach durch die Auswertung y i (x) = y i (x 0 ), i = 1,..., 5. x x 0 Wie oben hingewiesen gibt es zwei Funktionen, die sich stetig ergänzen lassen. Wegen der Eigenschaft x p log a (x) + 0 (p > 0) folgen y 2(x) = x ln(x) = 0 und y 2(x) x = x = x ln( x) = x ln(x) = und daher ist die zusätzliche Zuweisung y 2 (0) = 0 eine stetige Ergänzung. Mit einer algebraischen Vereinfachung folgt 3x 2 x y 2 2 x 4(x) = x 1 x 1 x 2 + x 2 = x 1 x + 2 = 1 3 und daher ist die zusätzliche Zuweisung y 4 (1) = 1/ 3 eine stetige Ergänzung. 2. Methoden zur Bestimmung eines Grenzwerts: (a) Durch algebraische Vereinfachung ergibt sich x 4 1 x 1 + x 2 1 = (x 2 1)(x 2 + 1) x 1 + x 2 = x = 2 1 x 1 und x x 1 + x 2 1 = x 1 + >0,x 1 + {}}{ (x 4 + 1) (x 1) (x + 1) }{{}}{{} >0,x 1 + >0,x 1 + (b) Durch Eigenschaften der Winkelfunktion bekommt man = + tan(πx/2) = x 1 tan(x) = + und tan(πx/2) = x π x tan(x) = x π + 2 3

4 (c) Die Komposition f(g(x)) = 3 x mit f(x) = x, D f = R, g(x) = x x und D g = R, ist stetig auf D f g = {x D g : g(x) D f } = {x R : 3 x R} = R. Aus der Eigenschaft 1 sin(x) 1 ( x R) und der Stetigkeit der Komposition 3 x auf R folgt 3 x sin(1/x) 0 mit dem Sandwich 0 = 3 0 = 3 x 3 x sin(1/x) 3 x = 3 0 = 0 Aus der Stetigkeit der Winkelfunktion sin(x), des Polynoms x 2, der Komposition sin(x 2 ), der rationalen Funktion 1/x 2 (x 0) und des Quotienten sin(x 2 )/x 2 folgt x 1 sin(x2 )/x 2 = sin(1 2 )/1 2 = sin(1) Aus den Eigenschaften 1 sin(x) 1 ( x R) und 1/ x = 1/x sin(x)/ x x 0 mit dem Sandwich 0 folgt 0 = 1/x (d) Aus der Eigenschaft log a (x)/x p sin(x)/ x 0 (p > 0) folgt log 2(x)/ x = 0 Aus der Eigenschaft x p log a (x) + 0 (p > 0) folgt + x ln(x) = 0 (e) Aus der Eigenschaft x p a x x 0 (a > 1) folgt (1 + x)4 x = 0 1/x = 0 Aus den Eigenschaften x n x 0 (n N) und x n a x x 0 (a > 1) folgt x 5 x 1 + x + x 2 ( ) x 2 x 2 Aus der Eigenschaft a x x 0 (a > 1) folgt 3. Bisektionsverfahren: x e x + 3 x = (a) Für die überall stetige Funktion x e x + 3 x = x ( ) e x e x x 2 5 x (1 + 1/x + 1/x 2 ) = 0 e x + (e/2) x = 1 + (3e) x = 0 f(x) = 1 2x tan 1 (x) (1 + x 2 ) 2 gelten f(0) = , f(1) =

5 Daher wendet man das Bisektionsverfahren im Intervall [0, 1] an. Mit den Anfangswerten a = 0 und b = 1 und immer c = (a+b)/2 liefert das Bisektionsverfahren folgende Ergebnisse: d.h. eine Nullstelle für f(x) ist x (b) Für die überall stetige Funktion c f(c) a b g(x) = (6x2 2) tan 1 (x) 6x (1 + x 2 ) 3 gelten g(1) = , g(2) = Daher wendet man das Bisektionsverfahren im Intervall [1, 2] an. Mit den Anfangswerten a = 1 und b = 2 und immer c = (a+b)/2 liefert das Bisektionsverfahren folgende Ergebnisse: d.h. eine Nullstelle für g(x) ist x c g(c) a b

6 4. Zwischenwertsatz: (a) Die rationale Funktion r(x) = (x 1)(x 3)(x 5) (x 2)(x 4)(x 6) besitzt die Nullstellen {1, 3, 5} und die Polstellen {2, 4, 6}. (b) Anhand der Stetigkeit der rationalen Funktion zwischen Nullstellen und Polstellen bedeuten die Werte r(0.5) r(x) > 0, x (, 1) r(1.5) r(x) < 0, x (1, 2) r(2.5) r(x) > 0, x (2, 3) r(3.5) dass r(x) < 0, x (3, 4) r(4.5) r(x) > 0, x (4, 5) r(5.5) r(x) < 0, x (5, 6) r(6.5) r(x) > 0, x (6, + ) (c) Die grafische Darstellung von r(x) ist: 5. Geometrische Reihen: (a) Nach n Minuten geht der Student so viele Meter, ( ) n 1 = 100 Man überzeugt sich davon durch eine Kontrolle mit bestimmten kleinen Werten von n. Diese Summe lässt sich durch eine geometrische Reihe vereinfachen: ( n 1 n ( ) ) 1 i i = = 100 [ ( )] (1/2)n+1 2 = 100(1 2 n ) 2 1 (1/2) 2 i=1 i=0 Insbesondere nach 10 Minuten geht er 100( ) = Meter n i=1 1 2 i 6

7 (b) Die Anzahl der Minuten n, nach der der Student 90% des Weges zum Ziel kommt, d.h. 90 Meter geht, erfüllt: 100(1 2 n ) = n = n = = 2 n log 2 ( ) log 2 (0.1) = log 2 (2 n ) = n log 2 (10) = n d.h. es dauert Minuten. Grober beschrieben ist er nach 3 Minuten 87.5% des Weges und nach 4 Minuten 93.75% des Weges gegangen. 7