Reelle Funktionen. Als reelle Funktion bezeichnen wir jede Abbildung

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1 Mathematik I für Billiginformatiker Reelle Funktionen p. 1 Reelle Funktionen Als reelle Funktion bezeichnen wir jede Abbildung f : D(f) R, D(f) R. Der Einfachheit halber setzen wir meist voraus, dass der Definitionsbereich D(f) ein Intervall oder die Vereinigung endlich vieler Intervalle ist.

2 Mathematik I für Billiginformatiker Reelle Funktionen p. 2 Folgen von Funktionswerten Gegeben sei eine Funktion f mit dem Definitionsbereich D(f). Es sei (x n n N) eine Folge mit den folgenden Eigenschaften: x n D(f) für alle n N, x n x 0 für alle n N und x n x 0 für n. Unser Ziel ist die Untersuchung der Folge (f(x n ) n N).

3 Mathematik I für Billiginformatiker Reelle Funktionen p. 3 Grenzwerte bei Funktionen Definition: Die Funktion f hat an der Stelle x 0 den Grenzwert g, wenn für jede Folge (x n n N) mit x n D(f), x n x 0 (für n N) und x n x 0 gilt lim n f(x n) = g. Wir schreiben dann auch lim x x0 f(x) = g. Bemerkungen: Die Stelle x 0 kann zum Definitionsbereich von f gehören oder auch nicht. Jedenfalls spielt wegen der Voraussetzung x n x 0 der Funktionswert f(x 0 ) bei der Grenzwertbildung überhaupt keine Rolle.

4 Mathematik I für Billiginformatiker Reelle Funktionen p zur Definition Auf naheliegende Weise kann man die obige Definition modifizieren, um zu definieren. lim f(x) und lim f(x) x + x Alternativ (und natürlich gleichbedeutend) zu der obigen Definition ist die folgende: lim f(x) = g ε>0 δ>0 x x0 0 < x x 0 < δ f(x) g < ε. Dabei sind die Angaben ε R, δ R kurzerhand weggelassen worden.

5 Mathematik I für Billiginformatiker Reelle Funktionen p. 5 Stetigkeit Ein für uns wichtiger Fall der Grenzwertbetrachtung ist der, dass der Grenzwert einer Funktion mit ihrem Funktionswert übereinstimmt. In diesem Falle sagen wir, die Funktion f sei stetig an der Stelle x 0. Definition: Die Funktion f heißt stetig an der Stelle x 0 D(f), wenn lim f(x) = f(x 0 ).

6 Mathematik I für Billiginformatiker Reelle Funktionen p. 6 Bemerkungen zur Definition Die Funktion f heißt stetig auf einer Teilmenge X D(f) ihres Definitionsbereiches, wenn f an jeder Stelle x 0 X stetig ist. Sagt man, f sei stetig und macht keine weitern Angaben, an welchen Stellen, so drückt man damit aus, die Funktion f sei stetig an allen Stellen ihres Definitionsbereiches. Ist f an der Stelle x 0 nicht stetig, dann ist f an dieser Stelle unstetig.

7 Mathematik I für Billiginformatiker Reelle Funktionen p. 7 Bemerkungen zur Definition f ist genau dann stetig an der Stelle x 0 D(f), wenn für jede Folge (x n n N) mit x n D(f) für alle n N und mit x n x 0 für n gilt lim f(x n) = f(x 0 ). n Um die Bedingung x n x 0 muss man sich dabei nicht kümmern. In der ε,δ Version hat man, dass f genau dann an der Stelle x 0 D(f) stetig ist, wenn gilt ε>0 δ>0 x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) < ε.

8 Mathematik I für Billiginformatiker Reelle Funktionen p. 8 Zum besseren Verständnis Manchen Studenten fällt es deshalb schwer, die Stetigkeit zu verstehen, weil sie diese Bedingung für selbstverständlich halten. Man kann aber leicht Funktionen angeben, die ganz und gar nicht stetig sind, bespielsweise solche, die unstetig an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs sind. Intuitiv bedeutet die Stetigkeit einer Funktion folgendes: ändert sich der Input nur geringfügig, so ändert sich der Output auch nur geringfügig. (Dabei ist x der Input und f(x) der Output).

9 Mathematik I für Billiginformatiker Reelle Funktionen p. 9 Lipschitz-stetig Allerdings ist diese verbale Fassung wegen der Unklarheiten bei der Interpretation des Wortes geringfügig nicht wirklich treffend. Man könnte diesen Satz beispielsweise so interpretieren, dass man die Existenz einer Konstante M fordert, für die x x 0 < ε f(x) f(x 0 ) < M ε gilt: Die Änderung des Funktionswertes ist höchstens M-mal so groß wie die des Arguments. Diese Bedingung ist aber schärfer als die der Stetigkeit, man spricht von Lipschitz-Stetigkeit.

10 Mathematik I für Billiginformatiker Reelle Funktionen p. 10 Definition Definition: Eine Funktion f heißt an der Stelle x 0 D(f) Lipschitz-stetig mit der Lipschitz-Konstanten M, wenn für alle x in einer Umgebung (x 0 ε,x 0 + ε) von x 0 gilt f(x) f(x 0 ) M x x 0. Die Lipschitz-Stetigkeit ist oft angenehmer und besser zu handhaben als die Stetigkeit allein. Die allermeisten stetigen Funktionen, die für Infomatiker wichtig sind, sind auch Lipschitz-stetig. Ein Beispiel einer Funktion, die stetig, aber nicht Lipschitz-stetig ist, ist f(x) := 3 x an der Stelle x 0 := 0.

11 Mathematik I für Billiginformatiker Reelle Funktionen p. 11 Vereinfachung der Argumentation Die Stetigkeit ist eine wichtige, weil sehr nützliche Eigenschaft von Funktionen. Allerdings ist die Definition aufwendig: es wird verlangt, dass an jeder in Betracht kommenden Stelle x 0 jede gegen x 0 konvergierende Folge von Argumenten eine gegen f(x 0 ) konvergierende Folge von Funktionswerten bestimmt. Um sich die Mühe zu ersparen, diese Bedingung für jede uns interessierende Funktion neu nachzuweisen, lohnt es sich, sich einige Sätze bereitzustellen, die den Nachweis drastisch vereinfachen.

12 Mathematik I für Billiginformatiker Reelle Funktionen p. 12 Grenzwerte zusammenges. Funktionen Satz: Existieren lim x x0 f(x) und lim x x0 g(x), dann gilt und weiter... lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x). lim c f(x) = c lim f(x). lim (f(x) g(x)) = ( lim f(x)) ( lim g(x)).

13 Mathematik I für Billiginformatiker Reelle Funktionen p. 13 renzwerte zusammenges. Funktionen (2) Existieren lim x x0 f(x) und lim x x0 g(x), dann gilt auch f(x) lim g(x) = lim f(x), vorausgesetzt lim g(x) 0. lim x x0 f(x) Wenn y 0 := lim x x0 g(x) und lim x y0 f(x) existieren, dann gilt lim f(g(x)) = lim f(x). x y 0

14 Mathematik I für Billiginformatiker Reelle Funktionen p. 14 Stetigkeit zusammenges. Funktionen Satz: Die Funktionen f und g seien stetig an x 0. Dann gilt: 1. f + g ist stetig an x 0, 2. c f ist stetig an x 0, 3. f g ist stetig an x 0, 4. f g ist stetig an x 0, sofern g(x 0 ) 0. Ist f stetig an der Stelle g(x 0 ) und g stetig an x 0, dann ist die Funktion fg stetig an der Stelle x 0.

15 Mathematik I für Billiginformatiker Reelle Funktionen p. 15 Beispiele... Zwei triviale Beispiele stetiger Funktionen: 1. Die konstante Funktion c 1 (x) := 1 (für alle x R) ist stetig. 2. Die identische Funktion id(x) := x (für alle x R) ist stetig.

16 Mathematik I für Billiginformatiker Reelle Funktionen p und was man draus machen kann Daraus erhält man mit Hilfe des vorigen Satzes: 1. Alle Polynomfunktionen sind stetig. 2. Rationale Funktionen p(x) := a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n r(x) := a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n b 0 + b 1 x + b 2 x b m x m sind auf ihrem Definitionsbereich stetig, also an allen Stellen, die nicht Nullstellen des Nennerpolynoms sind.

17 Mathematik I für Billiginformatiker Reelle Funktionen p. 17 Weitere Beispiele 3. Es sei r eine reelle Zahl. Dann ist die Potenzfunktion f(x) := x r mit D(f) = (0, ) stetig auf (0, ). 4. Es sei a > 0. Dann ist die Exponentialfunktion f(x) := a x mit D(f) = (, ) stetig auf (, ).

18 Mathematik I für Billiginformatiker Reelle Funktionen p. 18 Weitere Beispiele 5. Es sei b > 1. Dann ist die Logarithmusfunktion f(x) := log b x mit D(f) = (0, ) stetig auf (0, ). 6. Die trigoniometrischen Funktionen sin x und cos x sind stetig auf R.