Repetitorium Mathe 1

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1 Übungsaufgaben Skript Repetitorium Mathe 1 WS 2014/15 25./ und / Inhaltsverzeichnis 1 Bruchrechnung 2 2 Zahlsysteme 2 3 Arithmetisches und geometrisches Mittel 2 4 Wachstum 2 5 Lineare Gleichungssysteme 2 6 Bisektion 3 7 Induktion 3 8 Mengen 3 9 Polynomdivision und Hornerschema 3 10 Folgen 4 11 Reihen 4 12 Abbildungen 4 13 Umkehrfunktion 4 14 Grenzwerte von Funktionen 5 15 Stetigkeit 5 16 Kurvendiskussion 5 17 Musterlösungen Bruchrechnung Zahlsysteme Mittel Wachstum Lineare Gleichungssysteme Bisektion Induktion Mengen Polynomdivision, Horner-Schema Folgen Reihen Abbildungen Umkehrfunktionen Grenzwert von Funktionen Stetigkeit Kurvendiskussion

2 1 Bruchrechnung ( ) ( ) Zahlsysteme Schreibe 121 im 2er-, 5er- und 7er-System. Rechne im jeweiligen Zahlsystem: ( ) 6 + (4 5 2) 6 ( ) 7 ( ) 7 (13) 4 (22) 4 (424) 5 : (3) 5 = (123) 5 3 Arithmetisches und geometrisches Mittel Bestimme das arithmetische und geometrische Mittel der folgenden Werte: I.Quartal II.Quartal III.Quartal IV.Quartal Wachstum (1) Berechne zu den folgenden Datensätzen das durchschnittliche additive Wachstum und stelle es als lineare Funktion f(x) = m x + n dar. (Bei a) z. B. mit f(0) = 100, f(4) = 1300) a) Jahr Menge b) c) Jahr Menge Jahr Menge (2) Berechne zu den folgenden Datensätzen den Wachstumsfaktor und die Wachstumsrate des exponentiellen Wachstums und stelle es als Exponentialfunktion g(x) = α q x dar. a) Jahr Menge b) c) Jahr Menge Jahr Menge (3) Entscheide, ob das folgende Wachstum ehr additiv oder exponentiell ist. Jahr Menge Lineare Gleichungssysteme (1) Bestimme die Lösung des Gleichungssystems 2x y = 5 5x + 3y = 3 2

3 (2) Bestimme die Lösung des Gleichungssystems x + 3y = 4 3x ay = 3 in Abhängigkeit von dem Parameter a R. 6 Bisektion Bestimme eine Nullstelle von f(x) = x 2 1,5625 im Intervall [0, 2] mittels Intervallhalbierungsverfahren. 7 Induktion Beweise mittels vollständiger Induktion, dass: a) b) 8 Mengen n k=1 1 ( 2 k 1 = ) 2 n 3 n 3 ist durch 6 teilbar (1) Gegeben seien die Mengen A = {z Z 1 z < 3}, B = {r Q 1 r 3}, C = [0; 4] Bestimme A B, A C, C \ B (2) Sind folgende Mengen Teilmenge von A = {x R x 5} a) B 1 = {x R 2x 3 5} b) B 2 = {r R x 4 = 16} c) B 3 = {y R y ist durch 5 teilbar} (3) Zeige für beliebige Mengen A, B, C, dass (A \ B) \ C = A \ (B C) einmal mit und einmal ohne Wahrheitswertetabelle. (4) Bestimme das Supremum(sup) und das Infimum(inf) von a) M = {x R x = 1 ( 1)n n, n N} b) M = {x R x 2 + 2x + 2 > 5; x > 0} 9 Polynomdivision und Hornerschema (1) Bestimme den Wert des folgenden Polynoms an den Stellen x = 3 bzw. x = 2 mittels Horner- Schema x 5 x 4 + 3x 3 x 3 (2) Bestimme mittels Horner-Schema die Nullstellen von (3) Führe eine Polynomdivision durch bei x 3 8x 2 3x + 90 a) (x 5 + x 4 8x x 2 29x + 21) : (x 2 2x + 3) b) (2x 3 3x 2 + 4x 2) : (x + 2) 3

4 10 Folgen (1) Bestimme die Grenzwerte, falls sie existieren: (n 4 + 1) 2 a) lim n 6(2 + 3n 3 ) 2 4 n n b) lim n 2 2n 2 3 n c) lim n n2 (1 n 2 n )3 d) lim n e) lim n ( 1) n (3n + n 3 ) (n + 1) 3 n 2n n (2) Zeige mittels (ε, n 0 )-Abschätzung,dass die Folge für n konvergiert. a n = 3n2 + 2 n 2 + 7n 11 Reihen Sind die folgenden Reihen konvergent? Wenn ja, welche Werte nehmen sie an? 5 + e 17 1 n+1 1 n+1 a) ( 16 ( 1 )n b) 2 )2 ( 2) n 1 c) ( 2) n 1 12 Abbildungen Gebe eine Abbilung f : N N an, welche a) bijektiv ist b) injektiv, aber nicht surjektiv ist c) surjektiv, aber nicht injektiv ist d) weder injektiv, noch surjektiv ist. 13 Umkehrfunktion n=2 (1) Bestimme die Umkehrfunktion von f(x) = x 2 1 und gib ihren Definitionsbereich an. (2) Bestimme die Umkehrfunktion von f(x) = x 2 + 4x + 2 auf D f = [0, + ) und gib den Wertebereich von f 1 an. Warum kann man keine (eindeutige) Umkehrfunktion auf D f = R bestimmen? (3) Bestimme die Umkehrfunktion von f(x) = x 2 + 2x 1 auf D f = (, 1] und gib den Wertebereich von f 1 an. 4

5 14 Grenzwerte von Funktionen (1) Bestimme den Wert von 3x 2 + 2x + 4 lim x 5 ex 3 cos(x). (2) Bestimme das Verhalten im Unendlichen von f(x) = 3x2 + x 5 5x 2. 6 (3) Berechne den links- und rechtsseitigen Grenzwert im Punkt x 0 = 2 für die Funktion { 1 x, x 2 f(x) = x 2, x < 2. Ist die Funktion stetig? 15 Stetigkeit a) Ist f(x) = x 2 5 in x 0 = 0 stetig? b) Ist f(x) = 5x 3 + x 2 + 3x in x 0 = 1 stetig? c) Ist f(x) = x 2 + 4x 5 in x 0 = e stetig? 16 Kurvendiskussion (1) Um den Ertrag einer angebauten Weizensorte zu erhöhen, wird dem Weizen Dünger hinzugefügt. Wird allerdings zu viel Dünger eingebracht, nimmt der Ertrag wieder ab. Der Zusammenhang lässt sich durch die Funktion f(x) = 100x x x + 5 beschreiben, wobei x die Düngermenge in Tonnen pro Hektar und f(x) der Ertrag in Tonnen pro Hektar ist. a) Welcher Ertrag wird bei einer Düngermenge von 0,1 Tonnen pro Hektar erzielt? b) Bei welcher Düngermenge wird der größte Ertrag erzielt? c) Berechne die Wendestelle der Funktion und die Steigung an dieser Stelle. Welche Aussage kann hieraus gemacht werden? d) Skizziere f im Intervall [0; 1]. (2) Das Wachstum einer Blume (senkrechte Höhe in cm) kann durch die Funktion f(t) = t t t beschrieben werden, wobei t der Anzahl an Tagen entspricht. a) Bestimme die Pflanzenhöhe nach 20 Tagen. Hinweis: 20 3 = b) Bestimme die durchschnittliche Wachstumsgeschwindigkeit in den ersten 20 Tagen. c) Zu welchem Zeitpunkt ist die Wachstumsrate maximal? d) Zu welchem Zeitpunkt ist die Wachstumsrate genau so groß wie an Tag 5? e) Skizziere f im Intervall [0;35]. 5

6 17 Musterlösungen 17.1 Bruchrechnung ( 8 7 2) 1 ( ) = = Zahlsysteme ( ) 10 = = = = = ( ) 2 ( ) 5 ( ) 7 ( ) ( ) 6 ( ) Mittel ( ) 7 ( ) 7 ( ) 7 (1 3) 4 (2 2) ( ) 4 (4 2 4) 5 : (3) 5 = (123) arithmetisches Mittel: = 90 4 = 22,5 geometrisches Mittel: = = = = 2 10 = Wachstum (1) a) Es sind nur die Anfangs- und Endwerte relevant, die Datensätze von 2009, 2010 und 2011 können vernachlässigt werden. m = ( )/( ) = 300, f(x) = 300x b) m = 600, f(x) = 600x c) m = 2930, f(x) = 2930x (2) a) q = 4 160/10 = 2, r = q 1 100% = 100%, g(x) = 10 2 x b) q = 3600/400 = 9 = 3, r = 200%, g(x) = x c) q = 1250/1000 = 1, 25, r = 25%, g(x) = 1000 (1,25) x (3) Jahr Daten additiv exponentiell Lineare Gleichungssysteme (1) L = {(18; 31)} (2) Wenn a 9: L = 17.6 Bisektion x L f(x L ) x M f(x M ) x R f(x R ) 0-1, , , ,5625 1,5 0, , ,5625 1,25 0 1,5 0,6875 { (4a + 9 a + 9, 9 ) }. Wenn a = 9: L =. a + 9 6

7 17.7 Induktion a) Induktionsschritt: n+1 1 n ( 2 k 1 ) = 1 ( 2 k 1 ) + 1 IV 1 = 2(1 2 n n ) n = n n = n = 2(1 1 2 n+1 ) k=1 k=1 b) Induktionsschritt 17.8 Mengen 3 n+1 3 = 3 3 n 3 = (2 + 1)3 n 3 = 2 3 n + 3 n 3 = } 2 3 {{ 3 n 1 } + } 3 n {{ 3 } =6 3 n 1 (1) a) A B = {x Z 1 x < 3} = {1; 2} b) A C = {x R x = 1 oder x [0; 4]} = [0; 4] { 1} c) C \ B = [0; 1) (3, 4] {x [1; 3] x / Q} (2) a) B 1 = {x R x 4} also ja b) das sind die Zahlen 2,-2 also ja c) nein Bsp x = 10 (3) a) DIREKT mittels Teilmengenbeziehung, : x (A \ B) \ C x (A \ B), x / C x A, x / B, x / C x A, x / (B C) x A \ (B C) durch 6 teilbar nach IV b) mit Wahrheitswertetabellen Betrachte dazu x A, x B, x C, x A\B, x (A\B)\C, x (B C), x A\(B C) 1= Element ist enthalten, 0= Element ist nicht enthalten (4) a) sup(m) = 2, inf(m) = 0,5 b) sup(m) = 3, inf(m) =, Nullstellen von x 2 + 2x 3 sind 1 und 3 und x < Polynomdivision, Horner-Schema (1) für x = 3 ist p(x) = 237. Für x = 2 ist p(x) = 73 (2) Nullstellen sind 3; 5; 6 (3) a) = x 3 + 3x 2 5x + 7 b) = 2x 2 7x x Folgen (1) a) höchste Potenz ausklammern. Grenzwert ist b) = lim n 4 n (4 + ( 3 4 )n ) 4 n (1 2( 3 4 )n ) = 4 c) = lim n2( 2 ) 3 8 = lim n n n n 3 = 0 d) hat keinen Grenzwert, da zwischen -1, 1 hin und her springt e) erweitern mit 2n+ n 2n+ n, Grenzwert ist (2) Vermuteter Grenzwert ist 3 4 Sei n 0 := min{ ε ; 42 ε } 3n n 2 + 7n 3 = 2 21n n 2 + 7n 2 n 2 + 7n + 21n n 2 + 7n 2 }{{} n ε }{{} n ε ε 2 2 7

8 17.11 Reihen a) Die Reihe ist divergent gegen, denn es handelt sich um eine geometrische Reihe und es gilt 5 + e ( 1 2 )2 = 5 + e 17 > 1. b) Es gilt Da 1 2 = n+1 ( 2) n 1 = π 1 n ( 2) 1 ( 2) n = 2 ( 1 n 2) < 1 ist, konvergiert die Reihe absolut. Als Wert ergibt sich 2 ( 1 ) n 1 = ( 1 2 ) = = 4 3. c) Es gilt n=2 1 n+1 ( 2) n 1 = 1 n+1 ( 2) n n+1 ( 2) n 1 = ( 2) = Abbildungen a) b) c) d) z.b. f(n) = Damit gibt es kein Urbild für die 1. Damit gilt f(1) = f(3) = 1. z.b. f(n) = n { n, n ist gerade n + 2, n ist ungerade 1, n = 1 z.b. f(n) = n, n ist gerade n 2, n ist ungerade und n > 1 1, n = 1 z.b. f(n) = n + 2, n ist gerade n 2, n ist ungerade und n > 1 Damit gilt f(1) = f(3) = 1 und es gibt kein Urbild für die Umkehrfunktionen (1) Dazu lösen wir einfach y = x 2 1 nach x auf: y = x 2 1 2(y + 1) = x Damit ergibt sich also f 1 (x) = 2(x + 1). D f 1 = R 8

9 (2) y = x 2 + 4x + 2 y = (x + 2) 2 2 y + 2 = x + 2 (da x 0) y = x Somit ist f 1 (x) = x und D f 1 = [ 2, + ). (3) y = x 2 + 2x 1 y = (x + 1) 2 2 y + 2 = x + 1 (da x 0) y = x Somit ist f 1 (x) = y und D f 1 = [ 2, + ) und W f 1 = ( ; 1] Grenzwert von Funktionen 3x 2 + 2x (1) lim x 5 ex 3 = cos(x) e 125 cos(5) = e cos(5) 3x 2 + x 5 x 2 (3 + 1 x (2) lim x 5x 2 = lim 5 ) x 2 6 x x 2 (5 6 = 3 ) 5 x 2 3x 2 + x 5 x 2 (3 + 1 x lim x 5x 2 = lim 5 ) x 2 6 x x 2 (5 6 = 3 ) 5 x 2 (3) lim x 1 = 1 2 = 1 x 2 + lim x 2 = 2 2 = 4 Die Funktion ist im Punkt x 0 = 2 nicht stetig und somit auch insgesamt x 2 nicht stetig Stetigkeit a) Sei ε > 0. Wir wollen zeigen, dass wir für jedes beliebige ε > 0 ein δ > 0 finden können, sodass aus x x 0 δ auch f(x) f(x 0 ) ε folgen muss. Dabei darf δ nicht mehr von x abhängen. f(x) f(0) = (x 2 5) (0 2 5) = x 2 = x 2! ε Damit dies gilt, wählt man δ = ε. b) Sei ε > 0. Dazu soll gelten f(x) f(0) = 5x 3 + x 2 + 3x 5 x 3 + x x! ε 5 x 3 ε 3 x 3 ε 15 x 2 ε 3 x ε 3 Wähle also δ = min{ 3 ε 15, ε 3, ε 9 }. 3 x ε 3 x ε 9 9

10 c) Sei ε > 0. Zur Vereinfachung führen wir zunächst folgende Substituierung durch: x = ˆx e. Dazu soll gelten f(ˆx e) f(e) = (ˆx e) 2 + 4(ˆx e) 5 (e 2 4e 5) = ˆx 2 + ( 2e + 4)ˆx ˆx 2 + ( 2e + 4) ˆx! ε Wähle also δ = min{ ε 2, ε 4e+8 } Kurvendiskussion (1) a) f( 1 10 ) = pro Hektar erzielt. ˆx 2 ε ε 2 ˆx 2 ( 2e + 4)ˆx ε ε ˆx 2 ( 2e + 4) = b) f (x) = 300x x + 60 und f (x) = 600x + 30 = 11,05. Es wird also ein Ertrag von 11,05 Tonnen 300x x + 60! = 0 x x 1 5 = 0 x 1 = 0,5 und x 2 = 0,4 x 2 entfällt als Lösung. Es gilt f (x 1 ) < 0 es handelt sich also um ein Maximum. c) f (x) = 600x + 30 =! 0 = x = 1 20 Außerdem gilt f (x) = 600, also auch f ( 1 20 ) 0. Es handelt sich also um eine Wendestelle. Da f ( 1 20 ) < 0 ist die Steigung der Kurve an diesem Punkt maximal. Die maximale Steigung beträgt f ( 1 20 ) = (2) a) f(20) = = 70 b) f(20) f(0) 20 0 = 7 2 (cm/tag). c) f (x) = t t + 1 2, f (x) = t und f (x) = Zweite Ableitung Null setzen ergibt f (t) = t = 0 t = 2 3 Da f ( 50 3 ) < 0 handelt es sich um eine Maximalstelle der 1. Ableitung, somit ist hier das Wachstum am größten. d) f (5) = Löse also f (t) = 21 8 nach t auf: t 1 = ,3... und t 2 = 5. Sie hat also erst am im Laufe des 29. Tages wieder eine Wachstumsrate, die so hoch ist, wie die vom 5. 10