GRUNDLAGEN MATHEMATIK

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1 Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik GRUNDLAGEN MATHEMATIK 3. Reelle Funktionen Prof. Dr. Gunar Matthies Wintersemester 2015/16

2 G. Matthies Grundlagen Mathematik 2/71 Funktionsbegriff Definition Seien A und B nichtleere Mengen. Eine Vorschrift f, die jedem x A genau ein y B zuordnet, heißt Funktion oder Abbildung. Wir schreiben f : A B und y = f (x) bzw. x f (x) für die Zuordnungsvorschrift. Bemerkung Eine Funktion ist erst durch die Angabe der Zuordnungsvorschrift sowie der Mengen A und B bestimmt. Eigenschaften von Funktionen können von der konkreten Wahl von A und B abhängen.

3 G. Matthies Grundlagen Mathematik 3/71 Beispiele I A = {x 1, x 2, x 3 }, B = {y 1, y 2, y 3, y 4 } f : A B gegeben durch x 1 y 1 x 2 y 4 y 3 x 3 y 2 f (A) = {y 1, y 3 } B

4 G. Matthies Grundlagen Mathematik 4/71 Beispiele II Keine Abbildungen sind Dem roten Element werden zwei Bilder zugeordnet. Dem roten Element wird kein Bild zugeordnet.

5 G. Matthies Grundlagen Mathematik 5/71 Definitions- und Wertebereich Definition Sei f : A B, x y = f (x) eine Funktion. Dann heißen 1. y Bildpunkt von x unter der Abbildung f oder Funktionswert an der Stelle x, 2. x Urbildpunkt von y unter der Abbildung f, 3. A Definitionsbereich oder Urbildbereich von f, 4. B Wertebereich, 5. f (A) := {y B : Es gibt ein x A mit y = f (x)} B das Bild von A unter f oder der Wertebereich von f 6. graph(f ) := { (x, f (x)) : x A } Graph von f.

6 G. Matthies Grundlagen Mathematik 6/71 Graphen und reelle Funktionen Sind A R und f (A) R, so kann der Graph als eine Kurve in der Ebene R 2 dargestellt werden. Im Spezialfall A R und B R sprechen wir von einer reellen Funktion einer (reellen) Variablen (Veränderlichen) oder kurz von einer Funktion. y 4 f (x) = x x

7 G. Matthies Grundlagen Mathematik 7/71 Monotonie Definition Sei D R. Eine Funktion f : D R heißt 1. monoton wachsend (fallend), wenn für alle x 1, x 2 D mit x 1 < x 2 stets ( f (x 1 ) f (x 2 ) f (x1 ) f (x 2 ) ) gilt; 2. streng monoton wachsend (fallend), wenn für alle x 1, x 2 D mit x 1 < x 2 stets ( f (x 1 ) < f (x 2 ) f (x1 ) > f (x 2 ) ) gilt.

8 G. Matthies Grundlagen Mathematik 8/71 Parität, Periode, Nullstelle Definition Sei D R. Eine Funktion f : D R heißt 1. gerade (ungerade), falls mit x D auch x D ist und ( ) f ( x) = f (x) f ( x) = f (x) gilt; 2. periodisch mit der Periode T > 0, falls D = R ist und f (x + T ) = f (x) für alle x R gilt. Ein Wert x D heißt Nullstelle von f, falls f (x) = 0 erfüllt ist.

9 G. Matthies Grundlagen Mathematik 9/71 Injektivität, Surjektivität, Bijektivität Definition Sei f : A B eine Funktion. 1. f heißt injektiv (eineindeutig), falls für x 1, x 2 A mit x 1 x 2 stets auch f (x 1 ) f (x 2 ) gilt. 2. f heißt surjektiv (Abbildung von A auf B), wenn f (A) = B gilt, d. h., zu jedem y B gibt es mindestens ein x A mit y = f (x). 3. f nennen wir bijektiv, wenn f injektiv und surjektiv ist. Folgerung Wenn f : A B eine bijektive Abbildung ist, dann gibt es zu jedem x A genau ein y B mit y = f (x).

10 G. Matthies Grundlagen Mathematik 10/71 Beispiel f : R ( 1, 1) y f (x) = x 1 + x x 1

11 G. Matthies Grundlagen Mathematik 11/71 Umkehrabbildung Definition Sei f : A B eine bijektive Abbildung. Die Funktion, die jedem y B das eindeutig bestimmte Urbild x A unter der Abbildung f zuordnet, heißt Umkehrfunktion von f und wird mit f 1 : B A bezeichnet. Bemerkung Es gilt f 1( f (x) ) = x und f ( f 1 (y) ) = y. Bei der Angabe der Zuordnungsvorschrift von f 1 wird statt y oft x benutzt. Bemerkung Der Graph von f 1 entsteht aus dem Graphen von f durch Spiegelung an der Gerade y = x.

12 G. Matthies Grundlagen Mathematik 12/71 Beispiel f f (b) b a f (a) b f (b) f (a) f 1 a f (a) < f (b) f : [a, b] [f (a), f (b)], f 1 : [f (a), f (b)] [a, b] f (a) > f (b) f : [a, b] [f (b), f (a)], f 1 : [f (b), f (a)] [a, b]

13 G. Matthies Grundlagen Mathematik 13/71 Strenge Monotonie und Umkehrfunktion Folgerung Jede streng monoton wachsende (fallende) Funktion f : A B, die surjektiv (f (A) = B) ist, besitzt eine Umkehrfunktion. Hier ist die strenge Monotonie essentiell für die Injektivität, die zusammen mit der vorausgesetzte Surjektivität die Bijektivität von f sichert.

14 Polynome Definition Eine Funktion f : R R, f (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = n a i x i mit a n 0 heißt Polynom n-ten Grades. Die Funktion f : R R mit f (x) = 0 für alle x R heißt Nullpolynom. Ihm wird kein Grad zugeordnet. Beispiel Polynome können auf verschiedene Weise geschrieben werden, z. B. p(x) = x 3 3x + 2 q(x) = (x 1) 2 (x + 2) 3 (x 2 + 3x 8) i=0 G. Matthies Grundlagen Mathematik 14/71

15 G. Matthies Grundlagen Mathematik 15/71 Mehrfache Nullstellen Definition Sei p : R R ein Polynom n-ten Grades. Dann heißt x 0 R k-fache Nullstelle (k N), wenn p(x) = (x x 0 ) k q(x) für alle x R gilt, wobei q : R R ein Polynome vom Grad n k mit q(x 0 ) 0 ist. Bemerkung Setzen wir in der obigen Definition k = 0, so weist p wegen p(x) = (x x 0 ) 0 q(x) = q(x) }{{} und p(x 0 ) = q(x 0 ) 0 = 1 keine Nullstelle in x 0 auf.

16 G. Matthies Grundlagen Mathematik 16/71 Horner-Schema zur Polynomberechnung Gegeben: Polynom p(x) = x 3 3x + 2 Gesucht: p( 1) Horner-Schema p(x) = ( (1 x + 0) x 3 ) x + 2 p( 1) = x =

17 Rationale Funktionen Definition Seien p : R R, p(x) = n a i x i, q : R R, q(x) = i=0 Polynome der Grade n und m. Dann heißt f (x) := p(x) q(x) gebrochen rationale Funktion. Gilt grad q = 0, so ist f ein Polynom. m b j x j j=0 grad p grad q 1, so nennen wir f unecht gebrochen. grad q > grad p 0, so heißt f echt gebrochen. G. Matthies Grundlagen Mathematik 17/71

18 G. Matthies Grundlagen Mathematik 18/71 Beispiele Beispiel f (x) = 2x 3 x 2 + 5x x Zählerpolynom p(x) = 2x 3 x 2 + 5x, grad p = 3, Nennerpolynom q(x) = x 2 + 1, grad q = 2. unecht gebrochen g(x) = x + 1 3x 4 x Zählerpolynom p(x) = x + 1, grad p = 1, Nennerpolynom q(x) = 3x 4 x, grad q = 4. echt gebrochen

19 G. Matthies Grundlagen Mathematik 19/71 Zerlegungssatz Satz Jede gebrochen rationale Funktion f lässt sich als Summe f (x) = h(x) + g(x) eines Polynoms h und einer echt gebrochen rationalen Funktion g schreiben.

20 G. Matthies Grundlagen Mathematik 20/71 Polynomdivision I ( x 3 3x + 2 ) : ( x 2 + x 2 ) = x 1 x 3 x 2 + 2x x 2 x + 2 x 2 + x 2 x 3 3x + 2 = (x 2 + x 2)(x 1) 0

21 G. Matthies Grundlagen Mathematik 21/71 Polynomdivision II ( x 3 3x + 2 ) : ( x + 1 ) = x 2 x x + 1 x 3 x 2 x 2 3x x 2 + x 2x + 2 2x + 2 x 3 3x + 2 = (x 2 x 2)(x + 1) x =

22 G. Matthies Grundlagen Mathematik 22/71 Sinus- und Kosinusfunktion am Einheitskreis α [0, 360 ], t [0, 2π], t = α 180 π 1 y t α x 1 sin(α) = sin(t) = y, cos(α) = cos(t) = x

23 Sinus- und Kosinusfunktion 1 y π 2 π x 1 Die Funktionen sin : R [ 1, 1] und cos : R [ 1, 1] sind jeweils periodisch mit der Periodenlänge 2π. Die Sinusfunktion ist ungerade, die Kosinusfunktion gerade. G. Matthies Grundlagen Mathematik 23/71

24 G. Matthies Grundlagen Mathematik 24/71 Eigenschaften trigonometrischer Funktionen Für alle x R gilt: sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1. Für alle x R und alle k Z gelten ( π ) sin(kπ) = cos 2 + kπ = 0, ( π ) cos(kπ) = sin 2 + kπ = ( 1) k. Für alle x, y R gelten die Additionstheoreme sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y), cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y).

25 G. Matthies Grundlagen Mathematik 25/71 Tangensfunktion { π } tan : R \ 2 + kπ : k Z R, tan(x) = sin(x) cos(x) π π π 2 5 π 2 π 3 2 π 2π 5 2 π 10

26 G. Matthies Grundlagen Mathematik 26/71 Kotangensfunktion cot : R \ {kπ : k Z} R, cot(x) = cos(x) sin(x) π π π 2 5 π 2 π 3 2 π 2π 5 2 π 10

27 G. Matthies Grundlagen Mathematik 27/71 Tangens und Kotangens am Einheitskreis 1 y α t 1 x tan(α) = sin(α) cos(α), cos(α) cot(α) = sin(α)

28 G. Matthies Grundlagen Mathematik 28/71 Die Arcussinus-Funktion π 2 1 π π π 2 π 1 π 2 sin : R [ 1, 1], x sin(x)

29 G. Matthies Grundlagen Mathematik 28/71 Die Arcussinus-Funktion π 2 1 π π π 2 π 1 π 2 sin : [ π 2, π ] [ 1, 1], x sin(x) 2

30 G. Matthies Grundlagen Mathematik 28/71 Die Arcussinus-Funktion π 2 1 π π π 2 π 1 π 2 [ sin : π 2, π ] 2 arcsin : [ 1, 1] [ 1, 1], x sin(x) [ π 2, π 2 ], x arcsin(x) (auch: sin 1 (x))

31 G. Matthies Grundlagen Mathematik 29/71 Die Arcuscosinus-Funktion π π π 2 π 1 cos : R [ 1, 1], x cos(x)

32 G. Matthies Grundlagen Mathematik 29/71 Die Arcuscosinus-Funktion π π π 2 π 1 cos : [0, π] [ 1, 1], x cos(x)

33 G. Matthies Grundlagen Mathematik 29/71 Die Arcuscosinus-Funktion π π π 2 π 1 cos : [0, π] [ 1, 1], x cos(x) arccos : [ 1, 1] [0, π], x arccos(x) (auch: cos 1 (x))

34 G. Matthies Grundlagen Mathematik 30/71 Die Arcustangens- und die Arcuscotangens-Funktion π π π 2 ( arctan : R π 2, π ), x arctan(x) 2 arccot : R (0, π), x arccot(x)

35 G. Matthies Grundlagen Mathematik 31/71 Exponentialfunktionen f : R R, x a x, mit a > 0 a = 2, a = 3.5, a =1, a = 1 2, a = e

36 G. Matthies Grundlagen Mathematik 32/71 Exponential- und Logarithmusfunktionen e x ln(x) 4

37 G. Matthies Grundlagen Mathematik 33/71 Rechenregeln für Exponential- und Logarithmusfunktionen Für alle a, b R + und alle x, y R gelten: a x+y = a x a y (a x ) y = a xy (ab) x = a x b x Für alle x, y R + und alle a R gelten: ln(xy) ( ) = ln(x) + ln(y) ( ) x 1 ln = ln(x) ln(y), speziell: ln = ln(y) y y ln (x a ) = a ln(x) Für alle a R + und alle x R gilt ( a x = e ln(a)) x = e x ln(a) Für alle x R + und a R + \ {1} gilt log a (x) = ln(x) ln(a)

38 G. Matthies Grundlagen Mathematik 34/71 Verkettung von Funktionen Definition Seien g : A B und f : C D Abbildungen mit g(a) C. Dann heißt die Funktion f g : A D, x f ( g(x) ) Verkettung (Komposition, Hintereinanderausführung) der Funktionen f und g. Bemerkung Oft treten Verkettungen von Funktionen in natürlicher Weise auf, ohne dass uns die Verkettung auf dem ersten Blick bewusst wird. Die Verkettung von mehr als zwei Funktionen ergibt sich in Verallgemeinerung der Verkettung von zwei Funktionen.

39 G. Matthies Grundlagen Mathematik 35/71 Eigenschaften von Verkettungen Bemerkung Die Verkettungsoperation ist nicht kommutativ. Dies heißt, dass im Allgemeinen f g g f gilt, selbst wenn alle auftretenden Ausdrücke wohl definiert sind. Beispiel Seien f : R R, x x 2 und g : R R, x x + 1 zwei Funktionen. Dann sind f g : R R, g f : R R mit (f g)(x) = f ( g(x) ) = f (x + 1) = (x + 1) 2 = x 2 + 2x + 1 und (g f )(x) = g ( f (x) ) = g(x 2 ) = x zwei verschiedene Funktionen.

40 G. Matthies Grundlagen Mathematik 36/71 Häufungspunkt Definition Sei D R. Ein Punkt x 0 R heißt Häufungspunkt von D, wenn für jedes ε > 0 in der ε-umgebung U ε (x 0 ) = (x 0 ε, x 0 + ε) von x 0 stets unendlich viele Elemente von D liegen. Beispiel D := [1, 2) {3} ist kein Häufungspunkt von D, gehört aber zu D. 2 ist Häufungspunkt von D, gehört aber nicht zu D. 1.5 ist Häufungspunkt von D und gehört zu D. 0 ist kein Häufungspunkt von D und gehört auch nicht zu D.

41 G. Matthies Grundlagen Mathematik 37/71 Grenzwert einer Funktion Definition Seien D R, f : D R und x ein Häufungspunkt von D. Der Wert f R heißt Grenzwert der Funktion f an der Stelle x, wenn für alle Folgen (x k ) k N D mit lim k = x k und x k x für alle k N die Beziehung lim k) = f k gilt. Dafür wird dann kurz geschrieben. lim f (x) = f x x

42 G. Matthies Grundlagen Mathematik 38/71 Stetigkeit I Definition Seien D R und f : D R. Die Funktion f heißt in x 0 D stetig, wenn lim x x 0 f (x) = f (x 0 ) gilt, d. h., wenn der Grenzwert der Funktion f in x 0 mit dem Funktionswert f (x 0 ) übereinstimmt. Bemerkung Stetigkeit bedeutet, dass Funktionsauswertung und Grenzprozess vertauscht werden dürfen: ( ) lim f (x n) = f lim x n, n n falls lim x n = x 0 gilt. n

43 G. Matthies Grundlagen Mathematik 39/71 Stetigkeit II Definition Seien D R und f : D R. Die Funktion f heißt auf A D stetig, falls f in jedem Punkt x 0 A stetig ist. Ist f auf D stetig, so nennen wir f stetige Funktion. Bemerkung Zum Nachweis der Stetigkeit in x 0 D müssen alle möglichen Folgen (x n ) n N mit x n x 0 für n betrachtet werden. Um die Unstetigkeit von f in x 0 zu zeigen, genügt es eine konkrete Folge (x n ) n N mit zu finden. lim x n = x 0 und lim f (x n) f (x 0 ) n n

44 G. Matthies Grundlagen Mathematik 40/71 ε-δ-charakterisierung Definition Seien D R und f : D R. Die Funktion f ist in x o D stetig, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ = δ ε > 0 derart gibt, dass für alle x D mit x x 0 < δ stets auch f (x) f (x0 ) < ε erfüllt ist.

45 G. Matthies Grundlagen Mathematik 41/71 ε-δ-charakterisierung y f (x 0 ) + ε f (x 0 ) f (x 0 ) ε x 0 δ x 0 x 0 + δ x

46 G. Matthies Grundlagen Mathematik 41/71 ε-δ-charakterisierung y f (x 0 ) + ε f (x 0 ) f (x 0 ) ε x 0 δ x 0 x 0 + δ x

47 G. Matthies Grundlagen Mathematik 42/71 Rechenregeln für stetige Funktionen Satz Seien D 1, D 2 R und x 0 D 1 D 2. Sind die Funktionen f : D 1 R und g : D 2 R in x 0 stetig, so sind auch die Summe f +g, die Differenz f g und das Produkt f g in x 0 stetig. Gilt zusätzlich g(x 0 ) 0, dann ist auch der Quotient f /g in x 0 stetig. Satz Sei I R ein Intervall. Die Funktion f : I R sei in x 0 I stetig und es gelte f (x 0 ) > 0 (f (x 0 ) < 0). Dann gibt es ein ε > 0 derart, dass gilt. f (x) > 0 ( f (x) < 0 ) für alle x I (x 0 ε, x 0 + ε)

48 G. Matthies Grundlagen Mathematik 43/71 Verknüpfung stetiger Funktionen Satz Seien f : A B stetig in x 0 A und g : D C mit f (A) D stetig in y 0 = f (x 0 ) D. Dann ist g f : A C in x 0 stetig.

49 G. Matthies Grundlagen Mathematik 44/71 Folgerungen Satz Sei f : [a, b] [f (a), f (b)] stetig und streng monoton wachsend bzw. f : [a, b] [f (b), f (a)] stetig und streng monoton fallend. Dann ist die Umkehrfunktion f 1 : [f (a), f (b)] [a, b] bzw f 1 : [f (b), f (a)] [a, b] ebenfalls stetig und streng monoton wachsend bzw. streng monoton fallend.

50 G. Matthies Grundlagen Mathematik 45/71 Illustration f f (b) b a f (a) b f (b) f (a) f 1 a

51 G. Matthies Grundlagen Mathematik 46/71 Nullstellensatz und Zwischenwertsatz Satz (Nullstellensatz) Sei f : [a, b] R stetig und erfülle f (a)f (b) < 0, d. h., die Funktion f hat an den Intervallenden a und b Funktionswerte mit unterschiedlichen Vorzeichen. Dann besitzt die Funktion f im Inverall (a, b) mindestens eine Nullstelle. Satz (Zwischenwertsatz) Sei f : [a, b] R stetig. Dann existiert zu jedem y 0 [ min ( f (a), f (b) ), max ( f (a), f (b) )] mindestens ein x 0 [a, b] mit f (x 0 ) = y 0.

52 G. Matthies Grundlagen Mathematik 47/71 Bisektionsverfahren zur Nullstellenbestimmung Gegeben sei eine stetige Funktion f : [a, b] R mit f (a)f (b) < 0. Bisektionsverfahren: 1. Setze L := a, R := b; 2. Berechne M := (R + L)/2 und f (M); 3. Ist f (M) = 0, dann ist eine Nullstelle gefunden; STOP. 4. Ist f (L)f (M) < 0, dann liegt eine Nullstelle zwischen L und M. Setze R := M und gehe zu Ist f (M)f (R) < 0, dann liegt eine Nullstelle zwischen M und R. Setze L := M und gehe zu 2. Es liegt stets eine Nullstelle zwischen L und R. In jedem Schritt halbiert sich der Abstand zwischen L und R.

53 G. Matthies Grundlagen Mathematik 48/71 Illustration zur Bisektion y f (b) a M 1 b x f (a)

54 G. Matthies Grundlagen Mathematik 48/71 Illustration zur Bisektion y f (b) a M 1 b x M 2 f (a)

55 G. Matthies Grundlagen Mathematik 48/71 Illustration zur Bisektion y f (b) a M 1 M 3 M 2 b x f (a)

56 G. Matthies Grundlagen Mathematik 49/71 Regula falsi zur Nullstellenbestimmung Gegeben sei eine stetige Funktion f : [a, b] R mit f (a)f (b) < 0. Regula falsi: 1. Setze L := a, R := b; 2. Bestimme M als Stelle, an der die Sekante durch ( L, f (L) ) und ( R, f (R) ) die x-achse schneidet: Berechne f (M); M := L L R f (L) f (R) f (L). 3. Ist f (M) = 0, dann ist eine Nullstelle gefunden; STOP. 4. Ist f (L)f (M) < 0, dann liegt eine Nullstelle zwischen L und M. Setze R := M und gehe zu Ist f (M)f (R) < 0, dann liegt eine Nullstelle zwischen M und R. Setze L := M und gehe zu 2. Es liegt stets eine Nullstelle zwischen L und R.

57 G. Matthies Grundlagen Mathematik 50/71 Illustration zur Regula falsi y f (b) a M 1 b x f (a)

58 G. Matthies Grundlagen Mathematik 50/71 Illustration zur Regula falsi y f (b) a M 1 M 2 x b f (a)

59 G. Matthies Grundlagen Mathematik 50/71 Illustration zur Regula falsi y f (b) a M 1 M 2 x b f (a)

60 G. Matthies Grundlagen Mathematik 51/71 Beschränktheit Definition Seien D R und f : D R. Die Funktion f heißt nach oben (unten) beschränkt, falls es eine Zahl c R mit f (x) c ( f (x) c ) für alle x D gibt; beschränkt, falls f nach oben und unten beschränkt ist. Jede Zahl c R mit der Eigenschaft f (x) c (f (x) c) für alle x D wird als obere (untere) Schranke von f auf D bezeichnet.

61 G. Matthies Grundlagen Mathematik 52/71 Infimum und Supremum Definition Die kleinste obere (größte untere) Schranke nennen wir Supremum (Infimum). Wir schreiben sup f (x) x D bzw. inf x D Existiert ein x 0 D mit f (x 0 ) = sup f (x) bzw. f (x 0 ) = inf f (x) x D x D so heißt f (x 0 ) Maximum (Minimum) von f auf D. In diesem Fall wird x 0 als Maximalstelle (Minimalstelle) von f auf D bezeichnet.

62 G. Matthies Grundlagen Mathematik 53/71 Satz von Weierstraß Satz (Satz von Weierstraß) Jede stetige Funktion f : [a, b] R ist auf dem beschränkten und abgeschlossenen Intervall [a, b] beschränkt. Darüber hinaus gibt es mindestens eine Minimalstelle x 0 [a, b] und mindestens eine Maximalstelle x 1 [a, b]. Bemerkung Die Voraussetzungen, dass das Intervall abgeschlossen und beschränkt sein muss, sind für die Aussage des Satzes wesentlich. Als Beispiele seien die Funktionen f : R R, x x und g : (0, 1] R, x 1/x genannt.

63 G. Matthies Grundlagen Mathematik 54/71 Stetige Erweiterung Satz Seien D R, f : D R, x 0 ein Häufungspunkt von D und c = lim f (x). Dann können drei Fälle auftreten: x x 0 1. x 0 D. Dann ist die Funktion { c, x = x 0, f (x) := f (x), x x 0, stetig in x 0. Wir nennen f in x 0 stetige Erweiterung von f und x 0 hebbare Definitionslücke. 2. x 0 D und f (x 0 ) = c. Dann ist f in x 0 stetig. 3. x 0 D und f (x 0 ) c. Dann ist f in x 0 unstetig.

64 G. Matthies Grundlagen Mathematik 55/71 Beispiel für eine stetige Erweiterung f : R \ {0} R, x sin(x) x 1 y x

65 G. Matthies Grundlagen Mathematik 55/71 Beispiel für eine stetige Erweiterung f : R \ {0} R, x sin(x) x 1 y sin(x), x 0, f : R R, x x 1, x = 0, x

66 G. Matthies Grundlagen Mathematik 56/71 Rechnen mit Grenzwerten von Funktionen Satz Seien f : D f R und g : D g R zwei Funktionen mit D f, D g R. Weiterhin sei x 0 ein Häufungspunkt von D f D g. Es gelte lim f (x) = F, x x 0 Dann gelten die Zusammenhänge lim x x 0 ( f (x) + g(x) ) = F + G; lim x x 0 ( f (x) g(x) ) = F G; lim x x 0 ( f (x)g(x) ) = FG; lim g(x) = G. x x 0 und im Fall G 0 auch lim x x 0 f (x) g(x) = F G.

67 G. Matthies Grundlagen Mathematik 57/71 Berechnung von Grenzwerten I Beispiel Gegeben sind f : R R, x x 2 5x + 6, g : R R, x x 2 + 3x 10. Gesucht ist der Grenzwert lim x 1 Es gilt g(1) = 6 0 und f (x) g(x) = lim x 1 lim f (x)= lim x 2 5x+6=2, x 1 x 1 Damit folgt lim x 1 x 2 5x + 6 x 2 + 3x 10 = x 2 5x + 6 x 2 + 3x 10. lim g(x)= lim x 2 +3x 10= 6. x 1 x 1 lim x 2 5x + 6 x 1 lim x 2 + 3x 10 = x = 1 3.

68 G. Matthies Grundlagen Mathematik 58/71 Berechnung von Grenzwerten II Beispiel Gesucht ist der Grenzwert lim x 2 x 2 + 3x 10 x 2 5x + 6. Da der Nenner an der Stelle x 0 = 2 eine Nullstelle hat, kann das Verfahren aus dem vorigen Beispiel nicht verwendet werden. Nun gilt x 2 + 3x 10 = (x 2)(x + 5), x 2 5x + 6 = (x 2)(x 3). Damit folgt x 2 + 3x 10 lim x 2 x 2 5x + 6 = lim (x 2)(x + 5) x 2 (x 2)(x 3) = lim x + 5 x 2 x 3 = 7 und an der Stelle x 0 = 2 liegt eine hebbare Definitionslücke vor.

69 G. Matthies Grundlagen Mathematik 59/71 Verhalten im Unendlichen Definition Sei f : D R eine Funktion mit einem nach oben (unten) unbeschränkten Definitionsbereich D. Wenn ein Wert c R {, } derart existiert, dass für jede Folge (x n ) n N D mit stets auch lim x n = n gilt, dann schreiben wir kurz ( lim f (x) = c x ( ) lim x n = n lim f (x n) = c n ) lim f (x) = c. x

70 G. Matthies Grundlagen Mathematik 60/71 Asymptote einer Funktion Definition Eine Funktion ϕ heißt rechte Asymptote der Funktion f oder Asymptote von f für x +, wenn lim f (x) ϕ(x) = 0 x + gilt. Eine Funktion ψ heißt linke Asymptote der Funktion f oder Asymptote von f für x, wenn lim f (x) ψ(x) = 0 x erfüllt ist. Eine Funktion, die rechte und linke Asymptote ist, wird kurz als Asymptote bezeichnet. Folgerung Für jede echt gebrochene Funktion g gilt g(x) 0 für x und g(x) 0 für x. Deshalb ist die Nullfunktion (rechte und linke) Asymptote von g. Jede gebrochen rationale Funktion hat als Asymptote das Polynom, welches bei der Polynomdivision als Quotient auftritt.

71 G. Matthies Grundlagen Mathematik 61/71 Beispiel für Asymptoten Wir betrachten die Funktion f : R R, x x + arctan(x). Da ( lim f (x) x + π ) = 0 2 x gilt, ist die Funktion ϕ(x) = x + π/2 rechte Asymptote von f. Aus der Tatsache lim x f (x) ( x π 2 ) = 0 ergibt sich, dass ψ(x) = x π/2 linke Asymptote von f ist.

72 G. Matthies Grundlagen Mathematik 62/71 Rationale Funktion mit Asymptote h(x) = 2x 1 10 f (x) = 2x 3 x 2 + 5x x = 2x 1 + 3x + 1 x 2 + 1

73 Einseitige Grenzwerte Definition Sei f : D R mit D R eine Funktion. Weiterhin sei x 0 ein Häufungspunkt von Dann bedeutet D + x 0 := {x D : x > x 0 }. f (x 0 +) = lim f (x) = lim f (x) = c R {, }, x x0 x x 0 +0 x>x 0 dass für jede Folge (x n ) n N D + x 0 mit lim n x n = x 0 stets auch lim f (x n) = c n gilt. Dann ist c der rechtsseitige Grenzwert von f an der Stelle x 0. Auf analoge Weise definieren wir den linksseitigen Grenzwert f (x 0 ) = lim f (x) = lim f (x). x x0 x x 0 0 x<x 0 G. Matthies Grundlagen Mathematik 63/71

74 G. Matthies Grundlagen Mathematik 64/71 Sprungstelle Definition Ein Punkt x 0 heißt Sprungstelle von f, falls die beiden einseitigen Grenzwerte existieren, diese aber verschieden sind. Der Wert f (x 0 +) f (x 0 ) heißt Sprunghöhe von f an der Stelle x 0. y x

75 G. Matthies Grundlagen Mathematik 65/71 Oszillationsstelle Definition Existiert der linksseitige Grenzwert f (x 0 ) nicht, so liegt in x 0 eine linksseitige Oszillationsstelle vor. Analog wird eine rechtsseitige Oszillationsstelle über die Nichtexistenz von f (x 0 + 0) erklärt. Existieren beide einseitigen Grenzwerte nicht, dann wird x 0 als (beidseitige) Oszillationsstelle bezeichnet.

76 G. Matthies Grundlagen Mathematik 66/71 Oszillierende Unstetigkeitsstelle ( ) 1 sin, x 0, f : R [ 1, 1], x x 0, x = 0,

77 G. Matthies Grundlagen Mathematik 67/71 Polstellen Definition Seien D R, x 0 ein Häufungspunkt von D und f : D R. Die Stelle x 0 heißt Polstelle von f, wenn erfüllt ist. Beispiel lim f (x) = x x 0 f : R \ {0} R, x 1 x hat an der Stelle x 0 = 0 einen Pol, da lim 1 x 0 x = gilt.

78 G. Matthies Grundlagen Mathematik 68/71 Polstelle mit Vorzeichenwechsel Satz Seien f : D R eine Funktion mit D R und x 0 ein Häufungspunkt von D. Gilt f (x 0 +) = +, f (x 0 ) = oder f (x 0 +) =, f (x 0 ) = +, dann liegt in x 0 eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor.

79 G. Matthies Grundlagen Mathematik 69/71 Nachweis einer Unstetigkeitsstelle 3 y 2 x x f : R R, f (x) = { x 2 + 1, x < 0, x 3, x 0 x

80 Hebbare Definitionslücke und Polstelle 6 y f (x) = x 3 x x 3 x x D f = R \ {0, 1}, D f = D f {1} = R \ {0}, f : D f R, x x G. Matthies Grundlagen Mathematik 70/71

81 G. Matthies Grundlagen Mathematik 71/71 Verhalten von gebrochen rationalen Funktionen Gegeben: gebrochen rationale Funktion f (x) = p(x) q(x) Stelle x 0 ist k-fache Nullstelle des Zählerpolynoms p und l-fache Nullstelle der Nennerpolynoms q Es gilt: p(x) = (x x 0 ) k p(x) mit p(x 0 ) 0, q(x) = (x x 0 ) l q(x) mit q(x 0 ) 0. Fall 1) k = l = 0 = x 0 D f p(x) lim f (x) = lim x x 0 x x 0 q(x) = p(x 0) q(x 0 )

82 G. Matthies Grundlagen Mathematik 71/71 Verhalten von gebrochen rationalen Funktionen Gegeben: gebrochen rationale Funktion f (x) = p(x) q(x) Stelle x 0 ist k-fache Nullstelle des Zählerpolynoms p und l-fache Nullstelle der Nennerpolynoms q Es gilt: p(x) = (x x 0 ) k p(x) mit p(x 0 ) 0, q(x) = (x x 0 ) l q(x) mit q(x 0 ) 0. Fall 2) k = l > 0 = x 0 D f lim f (x) = lim x x 0 x x 0 p(x) q(x) = p(x 0) q(x 0 ) x 0 ist hebbare Definitionslücke.

83 G. Matthies Grundlagen Mathematik 71/71 Verhalten von gebrochen rationalen Funktionen Gegeben: gebrochen rationale Funktion f (x) = p(x) q(x) Stelle x 0 ist k-fache Nullstelle des Zählerpolynoms p und l-fache Nullstelle der Nennerpolynoms q Es gilt: p(x) = (x x 0 ) k p(x) mit p(x 0 ) 0, q(x) = (x x 0 ) l q(x) mit q(x 0 ) 0. Fall 3) k > l = 0 = x 0 D f lim f (x) = lim x x 0 x x 0 p(x)(x x 0 ) k q(x) = 0 x 0 ist Nullstelle von f.

84 G. Matthies Grundlagen Mathematik 71/71 Verhalten von gebrochen rationalen Funktionen Gegeben: gebrochen rationale Funktion f (x) = p(x) q(x) Stelle x 0 ist k-fache Nullstelle des Zählerpolynoms p und l-fache Nullstelle der Nennerpolynoms q Es gilt: p(x) = (x x 0 ) k p(x) mit p(x 0 ) 0, q(x) = (x x 0 ) l q(x) mit q(x 0 ) 0. Fall 4) k > l > 0 = x 0 D f lim f (x) = lim x x 0 x x 0 p(x) q(x) (x x 0) k l = 0 x 0 ist hebbare Defintionslücke. Die erweiterte Funktion f hat in x 0 eine Nullstelle.

85 G. Matthies Grundlagen Mathematik 71/71 Verhalten von gebrochen rationalen Funktionen Gegeben: gebrochen rationale Funktion f (x) = p(x) q(x) Stelle x 0 ist k-fache Nullstelle des Zählerpolynoms p und l-fache Nullstelle der Nennerpolynoms q Es gilt: p(x) = (x x 0 ) k p(x) mit p(x 0 ) 0, q(x) = (x x 0 ) l q(x) mit q(x 0 ) 0. Fall 5) l > k > 0 = x 0 D f lim f (x) = lim p(x) x x 0 x x 0 q(x) (x x 0) k l = Polstelle l k gerade l k ungerade kein Vorzeichenwechsel Vorzeichenwechsel