1. Proseminar Höhere Mathematik I

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1 1. Proseminar Höhere Mathematik I Operationen auf Mengen: Gegeben seien folgende Teilmengen der natürlichen Zahlen N: A = {n N : n ungerade}, B = {n N : n 21 und n Primzahl}, C = {1, 2, 8}. Bestimmen Sie folgende Mengen: A B, (A C) B, (A B) C, B \ A, (A B) \ B 2. Elemente und Teilmengen von Mengen: Es sei A = { 1, 2, 3, 4, {1}, {2, 3}, {1, 2, {1}} }. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? 1 A, {1} A, {1} A, {2} A, {2, 3} A, {1, 2, {2}} A, {1, 2, {1}} A. 3. Schnittmengen in der Geometrie: Gegeben seien die beiden Dreiecke D 1 = { (x, y) R 2 : 0 x 2, 0 y x }, D 2 = { (x, y) R 2 : 0 x 2, x y 2 }. Geben Sie rechnerisch die Schnittmenge D 1 D 2 an, und skizzieren Sie sie. 4. Gewinnchancen ausrechnen: Wieviele verschiedene Tipps müssen Sie abgeben, um bei EuroMillionen sicher den Hauptgewinn zu erzielen? 5. Rechnen mit der Binomischen Formel: Verwenden Sie die Binomische Formel um bzw mit möglichst geringem Rechenaufwand zu berechnen. 6. Lösen von Ungleichungen: Bestimmen Sie für jede der folgenden Ungleichungen alle reellen Zahlen x, die sie erfüllen: (2x + 2)(x 1) < 0, 2x 6 2. Freiwillige Trainingsbeispiele (werden von Tutoren korrigiert) 7. Betrachten Sie noch einmal die Mengen A, B, C aus 1., und geben Sie folgende Mengen an: A B, B C, (A C) C, A (C C), A \ B 8. Bestimmen Sie jeweils alle reellen Zahlen x, die die folgenden Ungleichungen erfüllen: x + 1 < 1, x + 3 < x 1. 3x 4

2 Proseminar Höhere Mathematik I 2.Übungsblatt zur Übung am Noch einige Ungleichungen: Lösen Sie folgende Ungleichungen (x R) 2x 1 3x + 2 > 0, 2x 1 > 1, x(3 x) < 0, (x + 2)(x + 1)(x 2) 0. 3x Bestimmen Sie alle x R, die folgende Ungleichung lösen: x 3x + 5 3x Realteil und Imaginärteil komplexer Zahlen: Berechnen Sie 1 R 2 + 3i, I 1 i 2 + 5i, R ( 3(2 + i) 2 3i ), I 2 + i 3 4i. 4. Die Gaußsche Zahlenebene: Skizzieren Sie folgende Punktmengen in der Gaußschen Zahlenebene: A = {z C : 2z + 1 2i > 3}, B = {z C : z i 2 3}, C = {z C : 2 Rz < 1, Iz < 2}, D = {z C : R((2 + 3i)(z i)) = 0}. 5. Gleichung in C beweisen: Zeigen Sie für u,v C 2( u 2 + v 2 ) = u + v 2 + u v 2. Fällt Ihnen eine geometrische Interpretation dieser Beziehung ein? 6. Definition von Funktionen: Gegeben seien die folgenden Zuordnungsvorschriften. Geben Sie jeweils den maximalen Definitionsbereich D R an, so dass f : D R eine Funktion definiert. Bestimmen Sie auch jeweils das Bild f(d). f 1 (x) = 1 x 2, f 2(x) = 7 x 1, f 3 (x) = 1 4 x 2, f 4(x) = 1 x 2 4, f 5(x) = x 2 x 6. Freiwillige Trainingsbeispiele (werden von Tutoren korrigiert) 7. Noch mal die Gaußsche Zahlenebene: Skizzieren Sie folgende Punktmenge in der Gaußschen Zahlenebene: A = {z C : z = z}. 8. Noch mehr Funktionsdefinitionen: Welche der folgenden Funktionen sind identisch? Geben Sie eine Begründung an! f : R R, f(x) = x 2, g : R R, g(x) = x, h : R 0 R, h(x) = ( x) 2, i : R R, i(x) = x.

3 Proseminar Höhere Mathematik I 3.Übungsblatt zur Übung am Stetigkeit von Funktionen Gegeben sei f(x) = { 0, x 0 1, x > 0. Untersuchen Sie f auf Stetigkeit an der Stelle x = 0 mittels Definition (ε-δ-mimik). 2. Verkettung von Funktionen Bestimmen Sie jeweils für die folgenden Funktionen, ob die Verkettungen g f und f g definiert sind. Falls nicht, schränken Sie den Definitionsbereich so ein, dass die Verkettungen definiert sind. Untersuchen Sie auch, ob g f = f g gilt. (a) f : (1, ) R, f(x) = x 1, g : R R, g(x) = x 2 x 5 (b) f : R \ { 1,1} R, f(x) = 1, g : R R, g(x) = x + 1. x Komposition von Abbildungen Berechnen Sie die Kompositionen von Abbildungen und geben Sie deren Definitionsbereich an: (a) f f wobei f : R \ {0} R, f(x) = 1/x, bzw. f : R \ {1} R, f(x) = 1/(x 1). (b) f g, wobei f : R 1/3 R, f(x) = 3x + 1, g: R R, g(x) = ( x) (c) f f 1, wobei f : [ 1,1] R, f(x) = x/(x 2 + 1). (d) h g f, wobei f : R R, f(x) = x 2 1, g: R >0 R, g(x) = ln x, h: R \ {0} R, h(x) = 1/x. 4. Injektivität usw. Sei M die Menge der Mütter in Graz und K die Menge der Kinder von Grazer Müttern. Untersuchen Sie, ob die folgenden Zuordnungsvorschriftungen Funktionen sind: a) x y: x M,y K, x ist Mutter von y, b) x y: x K,y M, x ist Kind von y. Die Funktion(en) untersuchen Sie bitte noch auf Injektivität und Surjektivität. 5. Untersuchen Sie am Beispiel der Funktion f(x) = sin(x), ob diese als Abbildung f : D Y aus dem Definitionsbereich D in den Bildraum Y injektiv, surjektiv oder bijektiv ist. a) D = R, Y = R b) D = [0,2π], Y = [ 1,1] c) D = [ π 2, π 2 ], Y = [ 1,1] d) D = [0, π 2 ], Y = R e) D = (0, π 2 ), [0,1) f) D = [0, π 2 ], [0,1] 6. Umkehrfunktion Die Funktion g : [ 3, 2] R ist gegeben durch { x g(x) = 3 für x < 0 x 2 für x 0. Skizzieren Sie den Funktionsgraphen von g und bestimmen Sie das Bild g([ 3,2])! Besitzt g eine Umkehrfunktion? Wenn ja, geben Sie diese an!

4 Freiwillige Trainingsbeispiele (werden von Tutoren korrigiert) 7. Nochmal Komposition Seien f : X Y, g : Y Z zwei Funktionen und h : X Z ihre Komposition. Zeigen Sie: Wenn f und g bijektiv sind, dann ist auch h bijektiv. 8. Finden Sie je zwei Funktionen f : R R und g : (0,1) R, die (a) injektiv, aber nicht surjektiv, (b) nicht injektiv, aber surjektiv, (c) weder injektiv noch surjektiv, (d) bijektiv sind.

5 Proseminar Höhere Mathematik I 4.Übungsblatt zur Übung am Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte: (a) lim x 3 x 2 9 x 3, x 2 + 2x 5 (b) lim x 2 x 3 2x. 2. Gegeben seien folgende lineare Abbildungen: x f 1 : R 5 R 3 x 2, f 1 (x) = x x 4, f 2 : R 3 R x 1, f 2 (x) = x x 3 x Berechnen Sie: (a) f 1 (x), x = (1, 0, 2, 1, 1) T und f 1 (y), y = (1, 0, 3 2, 0, 1 2 )T, (b) f 2 (x), x = (1, 2, 3) T und f 2 (y), y = ( 1, 0, 1) T. Sind f 1 und f 2 injektiv? 3. Skizzieren Sie die Graphen der folgenden Funktionen und bestimmen Sie die Teilmengen des Definitionsbereichs, in denen sie monoton wachsen bzw. fallen: (a) f 1 : R 0 R, f 1 (x) = x, (b) f 2 : R R, f 2 (x) = x 2 + x + 1. Hinweis: Finden Sie a, b > 0, so dass f 2 (x) = (x + a) 2 + b. (c) f 3 : R \ {1} R, f 3 (x) = 2 x x 1, (d) f 4 : R R, f 4 (x) = x := max{k Z : ganze Zahl kleiner oder gleich x). k x} (d.h. die eindeutig bestimmte größte 4. Betrachten Sie die Funktion γ : R R, γ(x) = x x. Existiert ein c R \ {0}, so dass γ(x + c) = γ(x) gilt? 5. Gegeben seien die beiden linearen Abbildungen 1 0 ( ) f : R 2 R 3, f(x) = 2 3 x1, x ( ) g : R 3 R , g(x) = x x x 3 Finden Sie eine Matrix C, so dass Cx = (f g)(x) für alle x R 2 gilt, sowie eine Matrix D, so dass Dx = (g f)(x) für alle x R 3 gilt. Freiwillige Trainingsbeispiele (werden von Tutoren korrigiert) 6. Berechnen Sie die Kompositionen f g und g f der folgenden Abbildungen und geben Sie deren Definitionsbereich an: f : R R, f(x) = x + 3, und g : (0, ) R, g(x) = ln(x). 7. Bestimmen Sie in welchen Intervallen die folgenden Funktionen monton steigend sind: (a) f : R R, f(x) = cos(x), (b) g : R R, g(x) = { x 2 für x 1, x für x > 1.

6 Proseminar Höhere Mathematik I 5.Übungsblatt zur Übung am Einseitige Grenzwerte Gegeben sei die Funktion f : R R, f(x) = { x 4 2x 3 + x x < 2 x 3 x 2 2x + 2 x 2. Berechnen Sie die einseitigen Grenzwerte lim f(x), lim f(x), und zeigen Sie, dass der Grenzwert lim f(x) existiert. x 2 + x 2 x 2 2. Mehr einseitige Grenzwerte Gegeben sei wieder die Funktion γ(x) := x x, x R, mit x := max {k Z : k x}. Bestimmen Sie direkt mit Hilfe der ε-δ-definition die folgenden einseitigen Grenzwerte: (a) lim x 1 x 1 x γ(x), (b) lim γ(x), (c) lim + Existiert der Grenzwert in 1? Existiert der Grenzwert in 1 2? γ(x), (d) lim γ(x). x Die Funktion f(t) := 7t+5 t+2 beschreibt einen Zustand zum Zeitpunkt t 0, der sich schließlich einer Gleichgewichtslage nähert. Ab welchem Zeitpunkt t 0 > 0 weicht f von der Gleichgewichtslage um weniger als 1% ab? Welchen Wert hat die Gleichgewichtslage? Wird die Gleichgewichtslage für ein t R 0 angenommen?

7 Proseminar Höhere Mathematik I 6.Übungsblatt zur Übung am Seien f, g : R R Funktionen, x 0 R. Die Funktion g sei beschränkt und lim x x0 f(x) = 0. Zeigen Sie mittels eines ε,δ-beweises, dass der Grenzwert der Funktion h(x) := f(x)g(x), x R, für x gegen x 0 ebenfalls gleich 0 ist. Gilt diese Behauptung auch, wenn g nicht beschränkt ist? Beantworten Sie diese Frage durch Angabe eines Beweises oder eines Gegenbeispiels. 2. Sind die folgenden Funktionen stetig in R? (a) f : R R, f(x) := e 1 x , (b) g : R R, g(x) := (c) h: R R, (x x ) + (x + x ) sin(ln( x + 1)) + cos(e 3x+17 ) + 17/8, h(x) := (x x ) sin(πx). Hinweis: Sie dürfen x e x, x ln x und x sin x als stetig voraussetzen, und annehmen, dass e x > 0 für alle x R gilt, und sin(kπ) = 0 für alle k Z. Verwenden Sie das erste Beispiel, um (c) zu lösen. 3. Bestimmen Sie die stetige Fortsetzung von f : R 4 \ {5} R, f(x) = x+4 3 x 5 in x 0 = Es sei V (s) = s 3 das Volumen (in m 3 ) eines Würfels der Kantenlänge s (in m). Sie sollen nun einen Würfel konstruieren, dessen Volumen nicht um mehr als ε = 0.1m 3 von einem vorgegebenem Wert V 0 abweichen darf. Mit welcher Toleranz δ dürfen Sie die Seitenlänge s 0 wählen, falls V 0 = V (s 0 ) = 1m 3 ist? Welche Toleranz müssen Sie für V 0 = 8m 3 einhalten? Freiwillige Trainingsbeispiele (werden von Tutoren korrigiert) 5. Sei D R, f eine Funktion von D R und L R. Geben Sie in Analogie zur Vorlesung mathematisch exakte Definitionen für die folgenden Sachverhalte: (a) Sei x 0 ein Häufungspunkt von D. L = lim f(x), lim f(x) =, x x x x 0 0 (b) Für alle ξ R sei (ξ, ) D. lim x f(x) =. (c) Für alle ξ R sei (, ξ) D. L = lim f(x), lim f(x) =. x x lim f(x) =, x x + 0 lim f(x) =. x x 0 6. Seien f, g : D R Funktionen und x 0 ein Häufungspunkt von D. Beweisen oder widerlegen Sie: Wenn die Grenzwerte von f und g im Punkt x 0 existieren, dann existiert auch der Grenzwert von h: D R, h(x) := f(x) + g(x) in x 0 und es gilt lim x x 0 h(x) = lim x x 0 f(x) + lim x x 0 g(x).

8 Proseminar Höhere Mathematik I 7.Übungsblatt zur Übung am Untersuchen Sie die angegebenen Folgen auf Monotonie, Beschränktheit und Konvergenz: ( 2 n, 2) 1 n. ( 1) n, n n 1 n, 2 n 4 n + 1, 2. Untersuchen Sie, welche der angegebenen Folgen konvergiert, und bestimmen Sie gegebenenfalls ihren Grenzwert: n n ( n 2, n 2, ) n 2 n n, n n n + n 6, n + n n n, ( ) 3n n n 2 + 7n n n 6 + n + 1 n + n + n + 1 n +. n + 1 n n 3. Gibt es eine konvergente Folge (x n ), die alle ganzen Zahlen als Werte annimmt? 4. Für x D := R \ {0} sei f(x) := sin(1/x). Verwenden Sie das Folgenkriterium, um zu zeigen, dass der Limes von f(x) für x gegen 0 nicht existiert. Hinweis: Bestimmen Sie die Mengen M := {x D f(x) = 0} und N := {x D f(x) = 1}. Konstruieren Sie Folgen (x n ) n N und (y n ) n N mit x n M, y n N für alle n N, mit lim n x n = lim n y n = 0. Die Nullstellen von sin x sind von der Form kπ für k Z. Für y = (2k )π, k Z, gilt siny = Erfahrungsgemäß wächst der Holzbestand eines bestimmten Waldstückes um 3.8% pro Jahr. (a) Nach wievielen Jahren wird er sich verdoppelt, nach wievielen Jahren verdreifacht haben? (b) Heute beträgt der Holzbestand 7200m 3. Man hat vor, in 3 Jahren 2000m 3 Holz zu schlägern. Wieviele Jahre nach der Schlägerung wird dieser Wald den heutigen Bestand wieder erreichen? Hinweis: Der Holzbestand H(t) zum Zeitpunkt t kann bestimmt werden als H(t) = H(0)e λt mit einer geeigneten Wachstumsrate λ. Freiwillige Trainingsbeispiele (werden vom Tutor korrigiert) 6. Untersuchen Sie die angegebenen Folgen auf Monotonie und Beschränktheit: n 2 n + 1, n 2 n 3 + 1, (n + 1) 2 3 n, n. 7. Untersuchen Sie, welche der angegebenen Folgen konvergiert, und bestimmen Sie gegebenenfalls ihren Grenzwert: n + 1 n 2, n 2 3 n+1 + n n, 4 n 1, n! 2 n.

9 Proseminar Höhere Mathematik I 8.Übungsblatt zur Übung am Für a, b > 0 beweisen Sie folgende Rechenregeln: (a) log a (x/y) = log a (x) log a (y) für x, y > 0. (b) log a (x y ) = y log a (x) für x > 0. (c) log b (x) = log b (a) log a (x) für x > Die Tabelle listet das Lebensalter x von 7 Personen und deren Blutdruck y auf. x y Bestimmen Sie die Ausgleichsgerade zu diesen Werten. Wie groß ist der jährliche Anstieg des Blutdrucks? Hinweis: Siehe 3. Das Kohlenstoffisotop C-14 ist radioaktiv mit der Halbwertszeit von 5760 Jahren. Es kommt in der Athmosphäre sowie in lebenden Organismen vor, und sein Anteil bleibt konstant, solange die Organismen leben. Nach deren Tod verringert sich der Anteil entsprechend dem radioaktiven Zerfallsprozess. (a) Ein Tierskelett hat nur noch 10% des ursprünglichen C-14 Anteils. Wie alt ist das Skelett? (b) Auf welchen Betrag ist der C-14 Anteil nach 1000 bzw Jahren gesunken? Hinweis: Sei C(t) die Menge von C-14 Isotopen zum Zeitpunkt t 0 (in Jahren), dann bestimmt man C(t) als C(0)e λt. Dabei muß λ aus der Halbwertszeit bestimmt werden. Die Halbwertszeit gibt an, wie lange es dauert, bis sich die Anzahl der C-14 Isotope halbiert hat. 4. Gegeben sind die Daten y x Welcher funktionelle Zusammenhang y(x) = ax b bzw. y(x) = ae bx spiegelt die Daten besser wieder? Bestimmen Sie die Parameter a und b. Hinweis: Siehe 5. Eine Tasse Tee wird abgekühlt. Zu Beginn beträgt die Temperatur 90 C. Nach zehn Minuten beträgt die Temperatur nur noch 66 C. Die Umgebungstemperatur beträgt 20 C. Stellen Sie die Abkühlungsfunktion T (t) = T U + ce kt auf. Bestimmen Sie T U, c und k. Freiwillige Trainingsbeispiele (werden vom Tutor korrigiert) 6. Gegeben sind die Daten y x Welcher funktionelle Zusammenhang y(x) = ax b bzw. y(x) = ae bx spiegelt die Daten besser wieder? Bestimmen Sie die Parameter a und b. 7. Berechnen Sie: arc sin(sin π 16 ), arc cos(cos π 9 ), arc sin(sin 7π 3 ), arc cos(cos 9π 4 ), arc sin(sin 7π 9 ), arc cos(cos 7π 9 ), 1 sin(arc sin 3 ), 1 cos(arc cos 3 ), arc sin(sin 8π 5 ), arc cos(cos 9π 5 ), sin(arc sin 2), cos(arc cos 2).

10 Proseminar Höhere Mathematik I 9.Übungsblatt zur Übung am (a) Bestimmen Sie die Polarkoordinaten von (7, 0), (0, 3) und ( 3, 4) an. (b) Bestimmen Sie die kartesischen Koordinaten folgender Punkte in Polardarstellung (r, φ): (1, π 4 ), (2, 2π 3 ), (3, 3π 2 ). (c) Das Paar (x, y) R\{(0, 0)} besitze die Darstellung (r cos φ, r sin φ). Drücken Sie φ ( π, π] als Formel in arccos, x, y und dem Vorzeichen von y aus. (Berücksichtigen Sie alle möglichen Vorzeichensituationen für x und y.) (d) Stellen Sie die komplexen Zahlen 1 i 3 und 3 i in ihren Polarkoordinaten r(cos φ + i sin φ) dar, und rechnen Sie das Produkt dieser zwei Zahlen in der Polarkoordinatendarstellung aus. 2. Zeigen Sie: (a) arcsin x + arccos x = π 2, x [ 1, 1]. (Fallunterscheidung fur positive und negative x.) (b) arctan x + arccot x = π 2, x R. 3. Betrachten Sie sinh(x) := 1 2 (ex e x ), cosh(x) := 1 2 (ex + e x ). Zeigen Sie für alle x, y R: (a) sinh( x) = sinh(x), (b) cosh(x + y) = cosh(x) cosh(y) + sinh(x) sinh(y), (c) cosh(x) 2 sinh(x) 2 = Seien x, y [0, π/2] mit x + y π/2. Finden Sie einen graphischen Beweis für das Additionstheorem des Cosinus cos(x + y) + cos x cos y sin x sin y. (Grafik von 5. Beweisen Sie mit Hilfe der Additionstheoreme: sin( π 2 φ) = cos φ = sin(φ + π ) = cos(φ + π) = cos(π φ). 2 sin x 1 cos x 6. Unter Verwendung von lim x 0 x = 1 beweisen Sie, dass lim x 0 x = 0. Hinweis: Erweitern Sie geschickt den gegeben Ausdruck. Freiwillige Trainingsbeispiele (werden vom Tutor korrigiert) 7. Zeigen Sie für alle x, y R: (a) cosh( x) = cosh(x), (b) sinh(x + y) = sinh(x) cosh(y) + cosh(x) sinh(y). 8. Beweisen Sie cos(2φ) = cos 2 φ sin 2 φ. 9. Zeigen Sie, dass tan die Periode π hat. Bestimmen Sie eine Umkehrfunktion von tan mit Werten in ( 5π 2, 7π 2 ). Bestimmen Sie eine Umkehrfunktion von cos mit Werten in [ π, 0].

11 Proseminar Höhere Mathematik I 10.Übungsblatt zur Übung am Bestimmen Sie die Ableitung der folgenden Funktionen: x 3 + 1, 1 (x 4 + 3) 2, 2x 1 (3x + 4) 5, sin(3x) cos(x), sin x x, x4 e x, log 10 x. 2. (a) Bestimmen Sie die lokalen und globalen Extrema von f : [ 10, 10] R, f(x) = 3x 5 5x 3. (b) Bestimmen Sie die lokalen und globalen Extrema von g : [ 10, 10] R, g(x) = x 3 e x. (c) Bestimmen Sie das Maximum von xy für alle x, y 0 mit x + y = Eine Anwendung des Mittelwertsatzes: Zeigen Sie: Für alle x, y R gilt cos x cos y x y. 4. Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte mit der Regel von L Hôpital: (a, b R) lim x 0 e x 1, lim x x ln x + 1 x x 1, lim x 0 sin(ax) sin(bx). x 5. Bestimmen Sie Symmetrie, Nullstellen, Extremwerte, Monotonie und Grenzwerte der Funktion und skizzieren Sie den Graphen. f : R R, f(x) = 2x x Freiwillige Trainingsbeispiele (werden vom Tutor korrigiert) 6. Für ein Einfamilienhaus fallen im Jahr 1500 Euro Heizkosten an. Eine Isolierung der Wände durch eine zusätzliche Dämmschicht der Dicke x in cm, x < 25, würde die jährlichen Heizkosten auf 3000 x+2 Euro senken, aber einmalig 450x Euro für die Installation erfordern. Bei welcher Dicke wären die Gesamtkosten (Installation und Heizung) über 10 Jahre minimal? Wie groß wäre dann die jährliche Ersparnis? 7. Bestimmen Sie Definitionsbereich D, Symmetrie, Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte, Monotonie, Krümmungsverhalten und Grenzwerte der Funktion f : D R, f(x) = x3 2x 2 + x x 2. 1