Mathematik M 1/Di WS 2001/02 1. Sei f : D R eine Funktion mit nichtleerem Definitionsbereich D. Sei a D. f heißt stetig in a, falls gilt

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1 Mathematik M 1/Di WS 2001/02 1 b) Stetigkeit Sei f : D R eine Funktion mit nichtleerem Definitionsbereich D Sei a D f heißt stetig in a, falls gilt lim f() = f(a) a f heißt stetig auf D, wenn f in jedem Punkt a D stetig ist f ist stetig genau dann, wenn gilt lim f() = f(a) f() a+ a Folgende Arten von Stetigkeit bzw Unstetigkeitsstellen können auftreten: In den nachfolgenden Skizzen bezeichnet eine Lücke im Graphen von f, d h dieser Punkt gehört nicht zum Graphen von f Der Punkt hingegen gehört zum Graphen von f i) Stetigkeit in jedem Punkt f() >

2 Mathematik M 1/Di WS 2001/02 2 In jedem Punkt der obigen Funktion f : R R trifft die in der Definition gegebene Stetigkeitsbedingung zu ii) Unstetigkeit in einem Punkt (Grenzwert im Punkt a eistiert) f() b f(a) a > Die obige auf ganz R definierte Funktion f besitzt im Punkt a eine sog Unstetigkeitsstelle Ein Grenzwert b von f eistiert zwar in a (da links- und rechsseitiger Grenzwert von f übereinstimmen), ist jedoch von f(a) verschieden Deshalb ist f in a unstetig lim f() = b f() a+ a Aus obiger Skizze ergibt sich jedoch f(a) b

3 Mathematik M 1/Di WS 2001/02 3 iii) Unstetigkeit in einem Punkt (Linksseitige Stetigkeit in a) f() b f(a) a > Grenzwerte f(a) und b der obigen auf ganz R definierten Funktion f eistieren im Punkt a nur links- und rechtsseitig Es gilt lim f() = f(a) jedoch lim a f() = b a+ Wegen f(a) b ist f in a unstetig Man sagt, f ist in a linksstetig Eine analoge Definition hat man für rechtsstetige Funktionen: lim f() = f(a) jedoch lim a+ f() f(a) a In diesem Fall wäre in der obigen Skizze der Punkt oberhalb von

4 Mathematik M 1/Di WS 2001/02 4 iv) Unstetigkeit in einem Punkt (Weder links- noch rechtsstetig in a) f() c b f(a) a > Für die obige auf ganz R definierte Funktion f eistieren im Punkt a nur einseitige Grenzwerte b und c, die jedoch nicht übereinstimmen Daher ist f dort unstetig, nicht einmal einseitig stetig lim f() = b f(a) c f() a a+ Beispiele: 1) Rechtsseitige Stetigkeit Die Funktion f : R R sei definiert durch 1, falls < 3 f() := 2, falls 3

5 Mathematik M 1/Di WS 2001/ f() > Es gilt daher ist f nicht stetig im Punkt 3 lim f() = 1 2 f() = f(3) ) Stetigkeit in jedem Punkt Sei f() = n mit n N Dann gilt für jedes a R lim f() a a n = a n = f(a) Sind f und g stetige Funktionen, so sind auch f + g, f g, f g, λ f mit λ R stetig Ebenso ist f stetig in allen D mit g() 0 Daher sind g alle Poynomfunktionen und rationalen Funktionen stetig 3) Die Funktion f : R R, definiert durch + 1, falls < 3 f() := 7, falls 3 ist stetig Die einzige kritische Stelle, die man auf Stetigkeit prüfen muß, ist der Punkt = 3

6 Mathematik M 1/Di WS 2001/ f() > Es gilt lim f() ( + 1) = 4 (7 ) f() = f(3) ) Die Funktion f : R R definiert durch ist unstetig im Nullpunkt f() := 1, falls 0 0, falls = 0

7 Mathematik M 1/Di WS 2001/02 7 f() > Es gilt 1 lim f() 0 0 = und lim 1 f() = jedoch f(0) = 0 Die Funktion ist also weder links- noch rechtsstetig 5) Die Funktion f : R R, definiert durch + 1 falls < 3 f() := 2 falls = 3 7 falls > 3 ist unstetig im Punkt = 3

8 Mathematik M 1/Di WS 2001/ f() f(3) = > Es gilt zwar lim 3 f() 3 ( + 1) = 4 3+ (7 ) 3+ f() jedoch hat man f(3) = 2 Zwischenwertsatz: Sei f : [a, b] R eine stetige Funktion Sei c R mit f(a) c und f(b) c Dann gibt es ein ξ [a, b] mit f(ξ) = c f(b) f(ξ) = c f(a) a b ξ f() >

9 Mathematik M 1/Di WS 2001/02 9 Folgerung: Wie wir bereits früher festgestellt haben, ist die Eponentialfunktion aufgrund ihrer strengen Monotonie injektiv Nach dem Zwischenwertsatz ist sie auch surjektiv und damit bijektiv Dies sieht man so ein: Sei c R mit c > 0 Wegen lim e = 0 gibt es ein a R mit e a c und wegen lim e = gibt es ein b R mit e b c Nach dem Zwischenwertsatz gibt es ein [a, b] mit e = c, daraus folgt die Surjektivität von ep e > Wir haben nun eingesehen, dass die Eponentialfunktion bijektiv ist Demzufolge gibt es genau eine Umkehrfunktion log : ]0, [ R den sog (natürlichen) Logarithmus Es gilt Ferner gilt e log = und log(e ) = für alle > 0 bzw R

10 Mathematik M 1/Di WS 2001/02 10 log(1) = 0 und log(e) = 1 log(y) = log + logy log ist streng monoton wachsend und stetig lim log = und lim log = 0 Allgemeine Potenz: Wir kennen bereits Potenzen mit natürlichen, ganzen und rationalen Eponenten und erinnern uns für a > 0 und b > 0 a n := a a a (n Faktoren mit n N) a n := 1 a n mit n N, a 0 := 1 a m n := n a m mit m, n Z a p a q = a p+q, (a p ) q = a pq, (ab) q = a q b q mit p, q Q Jetzt benötigen wir noch eine Potenzdefinition allgemein mit reellen Eponenten Wir können beispielsweise den Ausdruck a 2 mit den obigen Definitionen nicht beschreiben Sei nun a > 0 und R Wir definieren nun den Ausdruck a mit Hilfe der Eponentialfunktion ep durch a := e loga

11 Mathematik M 1/Di WS 2001/02 11 Hierüber gelten die folgenden Regeln (a, b > 0 und, y R) a +y = a a y (a ) y = a y (ab) = a b a n = a a a (n Faktoren mit n N) Man betrachte nun die Gleichung (sog Eponentialgleichung) a = y mit a > 0, y > 0 und R Diese läßt sich mit Hilfe des Logarithmus wie folgt nach auflösen: daraus folgt dann logy = loga = loge loga = loga = logy loga =: log ay letzteres nennt man Logarithmus zur Basis a von y Sei nun b > 0 eine beliebige weitere Basis, dann gibt es genau ein r R mit b r = a Daraus folgt nach obiger Definition r = log b a und somit daraus folgt schließlich y = a = (b r ) = b r = r = log b y log a y = = log by r = log by log b a dies ist die sog Basisumrechnung von a nach b Man kann also zur Lösung einer Eponentialgleichung den Logarithmus zu jeder beliebigen Basis anwenden

12 Mathematik M 1/Di WS 2001/02 12 Beispiel: Um die Gleichung 2 = 8 nach aufzulösen, wähle man eine beliebige Basis b > 0 (am besten eine Basis, die auch für den Taschenrechner geeignet ist (z B b = 2, b = e oder b = 10) und erhält und daraus schließlich log b 2 = log b 2 = log b 8 = log b8 log b 2 = 3 In der Mathematik wird in der Regel der natürliche Logarithmus (zur Basis e) als Standardlogarithmus verwendet Eine Gleichung würde man zunächst so umstellen 5 = 10 = 25 2 ( 10 2 ) = 10 2 = 25 und erhält daraus mit dem natürlichen Logarithmus log5 = log5 = log25 und schließlich hieraus = log25 log5 = 2 Wir kommen nun wieder zu unseren Grenzwertbetrachtungen zurück und behandeln wichtige Hilfsmittel zur Bestimmung von Grenzwerten, nämlich

13 Mathematik M 1/Di WS 2001/02 13 c) Regeln von de l Hospital Ausgangsproblem: Betrachtet werden nun Grenzwerte vom Typ f() lim a g() mit a R bzw lim f() ± g() wobei jedoch unbestimmte Ausdrücke entstehen wie z B lim f() g() = 0 oder lim f() g() = a a a a d h also 0 0 bzw Dies hat man z B bei folgenden Grenzwerten e 1 lim 0 e lim 1 cos() lim 0 Die Regel von de l Hospital lautet nun wie folgt: Sei I ein offenes Intervall mit rechtem Endpunkt a R oder a = (d h also I =]b, a[ mit b R oder b = ) Seien ferner f, g : I R zwei differenzierbare Funktionen mit g () 0 für alle I Es eistiere f () lim a g () und wenigstens eine der folgenden Annahmen sollen zutreffen: i) lim f() g() = 0 a a ii) lim f() g() = oder a a Dann eistiert und gilt f() lim a g() f () a g ()

14 Mathematik M 1/Di WS 2001/02 14 Dazu betrachten wir einige Beispiele: e 1) lim (e ) () e 1 = log 2) lim (log) () 1 = 0 3) lim 0 e 1 0 (e 1) () e 0 1 = 1 4) lim 0 1 cos() 0 (1 cos()) () 0 sin() 1 = 0 1 cos() (1 cos()) sin() 5) lim ( 2 ) 0 2 sin () cos() 0 (2) 0 2 = 1 2 ( 1 6) lim 0 sin() 1 ) 0 sin() sin() 1 cos() 0 cos() + sin() sin() 0 cos() sin() + cos() sin() 0 2cos() sin() = 0

15 Mathematik M 1/Di WS 2001/02 15 log 7) lim log = lim 0 2 = lim 0 = 0 8) lim 0 0 e log = e 0 = 1 9) lim = 2 e e 10) lim e + e e + e e e e e = usw e + e Hier führt die Regel nach de l Hospital zu keinem Erfolg, stattdessen muß man hier so vorgehen: lim e e e (1 e 2 ) e + e e (1 + e 2 ) 1 e e = 1 2 ( 11) lim log ) log(1 + 1 ) 1 Daraus folgt ( 1 2 ) ( lim ( ( ep log 1 + ) 1 ) ) = ep ( lim ( ( log ) )) = 1 = ep(1) = e 12) lim 0 sin() 0 cos() 1 = 1

16 Mathematik M 1/Di WS 2001/ Lokale Etrema, der Mittelwertsatz a) Etremwerte Sei M eine nicht-leere Teilmenge der reellen Zahlen R Ein Element c R heißt obere Schranke von M, falls c für alle M gilt Das Element c heißt untere Schranke von M, falls c für alle M gilt Man schreibt kurz M c, falls c obere Schranke von M ist (M heißt dann nach oben beschränkt) Entsprechend schreibt man kurz M c, falls c untere Schranke von M ist (M heißt dann nach unten beschränkt) Die Menge M heißt beschränkt, wenn sie sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist Man beachte, dass obiges Element c nicht notwendig in M liegen muß Ist hingegen c M, so heißt c Maimum von M (oder auch größtes Element von M), falls M c gilt und schreibt dann kurz c = ma(m) Es heißt hingegen Minimum von M (oder auch kleinstes Element von M), falls M c gilt und schreibt dann kurz c = min(m) Allgemein sagt man, M besitzt ein Etremum, wenn M ein Maimum oder Minimum besitzt Definition: Sei M eine nicht-leere Teilmenge von R i) Ein Element s R heißt Supremum von M, falls a) s obere Schranke von M ist und b) für jedes c R mit M c folgt s c Man schreibt s = sup(m) ii) Ein Element i R heißt Infimum von M, falls a) i untere Schranke von M ist und b) für jedes c R mit M c folgt i c Man schreibt i = inf(m) Gilt s M bzw i M, so ist s = ma(m) bzw i = min(m), d h das Supremum ist eine Verallgemeinerung des Maimums und entsprechend das Infimum eine Verallgemeinerung des Minimums M a W jedes Maimum

17 Mathematik M 1/Di WS 2001/02 17 ist ein Supremum und jedes Minimum ist ein Infimum aber nicht umgekehrt! Nach obiger Definition ist sup(m) die kleinste obere Schranke von M, und inf(m) ist die größte untere Schranke von M Ist O(M) := {c R M c} bzw U(M) := {c R c M} die Menge der oberen Schranken O(M) bzw der unteren Schranken U(M), von M, so gilt nach obiger Definition sup(m) = min(o(m)) und inf(m) = ma(u(m)) Beispiele: Für Elemente a, b R definiert man die folgenden Intervalle: [a, b] := { R a b} [a, b[ := { R a < b} ]a, b] := { R a < b} ]a, b[ := { R a < < b} Das Intervall [a, b] besitzt a als Minimum und b als Maimum a b > R Das Intervall [a, b[ besitzt a als Minimum und b als Supremum, jedoch kein Maimum a b > R

18 Mathematik M 1/Di WS 2001/02 18 Das Intervall ]a, b] besitzt a als Infimum und b als Maimum, jedoch kein Minimum a b > R Das Intervall ]a, b[ besitzt a als Infimum und b als Supremum, jedoch weder ein Minimum noch ein Maimum a b > R In allen Fällen ist a (größte) untere Schranke und b (kleinste) obere Schranke des jeweiligen Intervalls In der nachfolgenden Skizze ist zusätzlich eine weitere obere Schranke c für das Intervall ]a, b[ eingezeichnet, die jedoch kein Supremum des Intervalls ist a b c > R Für das Intervall M =]2, 7[ ist z B das Element 8 auch eine obere Schranke für M, jedoch weder Maimum noch Supremum Entsprechend ist das Element 0 untere Schranke für M, jedoch weder Minimum noch Infimum Hingegen gilt sup(m) = 7 und inf(m) = 2 Das Intervall M besitzt aber weder Maimum noch Minimum! > R

19 Mathematik M 1/Di WS 2001/02 19 b) Lokale Etrema Sei D R nicht-leer und f : D R eine Funktion Man definiert im Falle der Eistenz die folgenden Werte i) ma(f) := ma{f() D} ii) min(f) := min{f() D} iii) sup(f) := sup{f() D} iv) inf(f) := inf{f() D} Im Fall i) spricht man von einem (globalen) Maimum von f, im Fall ii) von einem (globalen) Minimum von f, allgemein spricht man von einem (globalen) Etremum von f, wenn Fall i) oder ii) vorliegt In der Differentialrechnung interessiert man sich sehr häufig für Etrema von f, die sich lediglich auf einen bestimmten Teilbereich T D beziehen Dann erhält man im Falle der Eistenz z B mit ma(f T ) := ma{f() T } ein sog lokales Maimum von f, das jedoch kein Maimum des gesamten Bildbereiches von f sein muß! Hierzu hat man folgende genauere Definition: Sei D R nicht leer und f : D R eine Funktion Sei c D Man sagt f hat in c ein lokales Maimum ( bzw Minimum), wenn es ein δ > 0 gibt mit f() f(c) für alle D mit c < δ Es ist dann ( ) bzw f() f(c) f(c) = ma{f() D mit c < δ} lokales Maimum bzw im Klammerfall f(c) = min{f() D mit c < δ} lokales Minimum von f Allgemein nennt man dann f(c) lokales Etremum von f Gilt in obiger Definition f() < f(c) ( ) bzw f() > f(c)

20 Mathematik M 1/Di WS 2001/02 20 für alle D mit 0 < c < δ, so spricht man von einem isolierten lokalen Maimum (bzw Minimum) oder allgemeiner von einem isolierten lokalen Etremum Im isolierten Fall gibt es also kein weiteres c D mit c c < δ und f(c ) = f(c), d h c ist in seiner δ-umgebung der einzige Punkt, in dem f ein lokales Etremum besitzt Die folgende Skizze möge dies noch einmal verdeutlichen: f() > c δ c c + δ ma(f) min(f) f(c) c 1 c 2 b a Wie man in der Skizze sieht, hat die dort dargestellte Funktion f : [0, a] R im Punkt 0 ein globales Maimum ma(f) = f(0) und im Punkt a ein globales Minimum min(f) = f(a) Gemäß der obigen Definition sind globale Etrema gleichzeitig auch lokale Etrema (aber nicht umgekehrt)! Im Punkt c besitzt f ein isoliertes lokales Maimum f(c) Wegen f(c) < ma(f) ist dieses jedoch nicht global Nach obiger Skizze ist f(c) das größte Element unter den Werten f() allerdings z B nur für alle im Intervall ]c δ, c + δ[ Man könnte dieses Intervall natürlich noch weiter

21 Mathematik M 1/Di WS 2001/02 21 ausdehnen: f(c) wäre in unserem Fall auch für δ = c c 1, d h also bezogen auf das Intervall ]c 1, 2c c 1 [ maimal Im Punkt b besitzt f auch ein lokales Maimum, jedoch nicht isoliert, denn in jeder noch so kleinen Umgebung von b findet man immer einen Punkt b mit f(b) = f(b ) In den Punkten c 1 und c 2 besitzt f isolierte lokale Minima, denn man könnte auch um diese Punkte geeignete Umgebungen finden bezüglich derer f(c 1 ) bzw f(c 2 ) minimal sind c) Kurvendiskussion Wir wollen nun den Zusammenhang zwischen lokalen Etrema und Differentialrechnung herstellen aber auch weitere Anwendungen der Differentialrechnung behandeln Zunächst erinnern wir uns, wie die Ableitung einer Funktion entsteht Wie wir bereits wissen, geht es um die Steigung der Funktion in einem bestimmten Punkt Bei einer linearen Funktion ist die Definition der Steigung kein großes Problem Dazu nochmals eine Skizze: f() m + b b a ma > Die Steigung der oben skizzierten Funktion ist definiert als Quotient m = ma a = f(a) b a

22 Mathematik M 1/Di WS 2001/02 22 Es handelt sich um die Steigung der Funktion im Nullpunkt Indem man das eingezeichnete Steigungsdreieck entsprechend verschiebt stellt man fest, dass die Steigung in jedem anderen Punkt als im Nullpunkt gleich groß ist Ebenso ist uns bekannt, dass die Steigung einer beliebigen differenzierbaren Funktion in einem bestimmten Punkt als Steigung der Tangente an diesen Punkt definiert ist Man betrachte dazu nochmals die nachfolgende Skizze: f() t s b f(b) f(a) f(a) f (a)a a b f > Wir kennen bereits die Ableitung von f bei a, die wie folgt definiert ist falls dieser Grenzwert eistiert f (a) b a f(b) f(a) b a Zur Bestimmung der Tangentengleichung (d h der Funktionsgleichung der Tangente t, nämlich t() = m + c) im Punkt a muß folgendes gelten: i) m = t (a) = f (a) ii) f(a) = t(a) Daraus folgt Damit erhält man f(a) = t(a) = f (a)a + c = c = f(a) f (a)a t() = f (a) + f(a) f (a)a = f (a)( a) + f(a)

23 Mathematik M 1/Di WS 2001/02 23 Für die Bestimmung der Sekantengleichung s b () = m + c muß gelten i) ma + c = s b (a) = f(a) ii) mb + c = s b (b) = f(b) Daraus erhält man und Somit m(b a) = f(b) f(a) = m = s b () = c = f(a) ma = f(a) f(b) f(a) + f(a) b a f(b) f(a) b a f(b) f(a) a b a f(b) f(a) a b a und man sieht sofort: = f(b) f(a) ( a) + f(a) b a lim s b() = f (a)( a) + f(a) = t() b a Die Tangente t ergibt sich also als Grenzwert der Sekante s b, wobei b gegen a strebt Zur Bestimmung der Tangentengleichung ist es nicht ratsam, die allgemeine Tangentengleichung auswendig zu lernen Vielmehr sollte man sich über die o g Bedingungen klarwerden, die zur Tangentengleichung führen Diese sind aber recht einleuchtend! Dazu ein kurzes Beispiel: Man bestimme die Tangente t() an die Kurve der Funktion f() = an der Stelle = 2 Man braucht dazu zunächst die Ableitung von f: f () = und f (2) = 17 Wegen t (2) = f (2) = 17 kennt man damit die Steigung der Tangente, nämlich 17, diese ist ja an allen Stellen der Tangente gleich groß Zur Berechnung des y-achsenabschnittes der Tangente löst man einfach die Gleichung

24 Mathematik M 1/Di WS 2001/ = f(2) = t(2) = 17 2+c = 34+c nach c auf und erhält c = = 13 und damit die Tangentengleichung t() = Würde man stattdessen die obige allgemeine Tangentengleichung verwenden, so erhält man t() = 17( 2) + 21, also dasselbe wie oben Wir charakterisieren nun lokale Etrema mit Hilfe der Differentialrechnung Es gilt nämlich der folgende Satz (notwendiges Kriterium für lokale Etrema): Sei f : ]a, b[ R eine Funktion, die in c ]a, b[ differenzierbar ist Hat f in c ein lokales Etremum, so gilt f (c) = 0 Die Umkehrung ist falsch! Man betrachte etwa die Funktion f() = 3, die im Nullpunkt Steigung 0 hat aber an dieser Stelle kein lokales Etremum besitzt, sondern lediglich einen sog Sattelpunkt f() 3 >

25 Mathematik M 1/Di WS 2001/02 25 Satz (hinreichendes Kriterium für lokale Etrema): Sei f : ]a, b[ R eine differenzierbare Funktion und c ]a, b[ mit f (c) = 0 Sei zusätzlich die Ableitung f in c differenzierbar Dann gilt: i) f (c) > 0 = f hat in c ein isoliertes lokales Minimum ii) f (c) < 0 = f hat in c ein isoliertes lokales Maimum Im Fall f > 0 sagt man f ist linksgekrümmt oder konve Im Fall f < 0 sagt man f ist rechtsgekrümmt oder konkav Allgemeineres Kriterium für lokale Etrema: Sei f : ]a, b[ R an der Stelle ]a, b[ beliebig oft differenzierbar und es sei f () = 0 Sei ferner dann gilt n := min{m N f (m) () 0} i) n gerade = f hat bei ein lokales Etremum, nämlich ein isoliertes lokales Minimum, falls f (n) () > 0 ein isoliertes lokales Maimum, falls f (n) () < 0 ii) n ungerade = f besitzt bei einen Sattelpunkt Dabei ist die höhere Ableitung einer Funktion f wie folgt definiert: { f (0) () := f() f (n+1) () := (f (n) ) () für n 0 d h also f (2) () = (f ) () = f (), f (3) () = (f (2) ) () = f () usw Man spricht bei f (n) () von der n-ten Ableitung von f bei

26 Mathematik M 1/Di WS 2001/02 26 Beispiele: 1) Sei f() = 2 Dann ist f () = 2 und f () = 2, also f (0) = 0 und f (0) = 2 > 0 Nach obigem Kriterium hat f bei 0 ein isoliertes lokales Minimum 2) Mit f() = 3 hat man f () = 3 2, f () = 6, f () = 6, daher f (0) = 0, f (0) = 0, f (0) = 6 0 Man sieht also 3 = min{m N f (m) () 0} mit anderen Worten 3 ist das erste m, für das f (m) () 0 ist Da 3 ungerade, so hat f bei 0 kein lokales Etremum, sondern einen Sattelpunkt 3) Sei nun f() = 4 Dann f () = 4 3, f () = 12 2, f () = 24, f (4) = 24 Damit f (m) (0) = 0 für 1 m 3 und f (4) (0) = 24 > 0 Da 4 gerade ist, so hat f bei 0 ein striktes lokales Minimum 4) Allgemein kann man für f() = n sagen: Ist n gerade, so hat f bei 0 ein striktes lokales Minimum Ist n hingegen ungerade, so hat f bei 0 einen Sattelpunkt Mittelwertsatz: Sei f : [a, b] R eine stetige und auf ]a, b[ differenzierbare Funktion Dann gibt es ein ξ ]a, b[ mit f() f(b) f(a) = (b a)f (ξ) t f(ξ) s (b a)f (ξ) > a ξ b

27 Mathematik M 1/Di WS 2001/02 27 Im Grunde genommen besagt der Mittelwertsatz nichts anderes als die Tatsache, daß zur Sekante s durch die Kurve einer differenzierbaren Funktion f eine parallele Tangente an die Kurve von f eistiert Die Gleichung im Mittelwertsatz kann man auch so hinschreiben f (ξ) = f(b) f(a) b a wobei rechts die Steigung der Sekante s steht Folgerung 1: Sei f : [a, b] R eine stetige und auf ]a, b[ differenzierbare Funktion mit f () = 0 für alle ]a, b[, dann ist f konstant, denn: Für jedes ]a, b[ gibt es nach dem MWS, angewandt auf das Intervall [a, ] ein ξ ]a, [ mit also ist f konstant f() f(a) = ( a)f (ξ) = 0 = f() = f(a) Folgerung 2: Sei f : [a, b] R differenzierbar Dann gilt i) f () 0 (bzw 0) für alle = f monoton wachsend (bzw fallend) ii) f () > 0 (bzw < 0) für alle = f streng monoton wachsend (bzw fallend) denn: Sind, y ]a, b[ mit < y, dann gibt es nach dem MWS ein ξ ], y[ mit f(y) f() = (y )f (ξ) daraus folgen die Behauptungen (beachte y > 0)

28 Mathematik M 1/Di WS 2001/02 28 Wir kommen nun zu einem weiteren wichtigen Bestandteil von Kurvendiskussionen, nämlich den Wendepunkten Salopp gesagt ist ein Wendepunkt eine Stelle, an der sich die Krümmung einer Kurve ändert, also von rechtsgekrümmt zu linksgekrümmt oder umgekehrt Hierzu eine genauere Definition: Sei f : ]a, b[ R eine zweimal differenzierbare Funktion Man sagt f hat in 0 einen Wendepunkt, wenn sich die Krümmung der Kurve von f im Punkt 0 ändert, d h oder f () < 0 für alle < 0 und f () > 0 für alle > 0 f () > 0 für alle < 0 und f () < 0 für alle > 0 Hinreichendes Kriterium: Sei nun f : ]a, b[ R an der Stelle 0 ]a, b[ dreimal differenzierbar Ist f ( 0 ) = 0 und f ( 0 ) 0, so hat f bei 0 einen Wendepunkt Oder allgemeiner: Gilt f ( 0 ) = f ( 0 ) = = f (n 1) ( 0 ) = 0 und f (n) ( 0 ) 0 und ist n ungerade, so hat f bei 0 einen Wendepunkt Bemerkung: Die Bedingung f ( 0 ) = 0 alleine ist zwar notwendig, jedoch nicht hinreichend für einen Wendepunkt Man betrachte etwa die Funktion f() = 4, dann ist, wie wir in Bsp 3 gesehen haben f (0) = 0 aber auch f (0) = 0 und damit hat f bei 0 keinen Wendepunkt, sondern ein lokales Minimum, wie oben gezeigt Anwendungsbeispiele 1) Vorgegeben sei die Funktion Die Ableitungen ergeben f() = f () = f () = 2 9 f () = 2

29 Mathematik M 1/Di WS 2001/02 29 Die Gleichung f () = 0 besitzt zwei Lösungen, nämlich 1 = 2 und 2 = 7, wie man leicht nachrechnet Wir wissen zunächst, dass an diesen Stellen die Steigung der Kurve von f Null ist Wegen f (2) = 4 9 = 5 < 0 und f (7) = 14 9 = 5 > 0 haben wir bei = 2 ein striktes lokales Maimum und bei = 7 ein striktes lokales Minimum Zur Untersuchung des Monotonieverhaltens von f betrachten wir die faktorisierte Gleichung f () = ( 2)( 7) Monoton wachsend ist f für alle mit f () 0, d h wenn 7 oder 2 ist Monoton fallend ist f für alle mit f () 0, d h für alle mit 2 7 Aus der Gleichung f () = 0 erhält man = 9 2 = 4, 5 Wegen f 0 hat man dort also einen Wendepunkt Als weiteres Ergebnis können wir also festhalten, dass f im Bereich < 4, 5 wegen f () < 0 rechtsgekrümmt (konkav) und im Bereich > 4, 5 wegen f () > 0 linksgekrümmt (konve) ist f() > 10

30 Mathematik M 1/Di WS 2001/ ) Vorgegeben ist nun die Funktion f() = Zu untersuchen ist die Funktion auf lokale Etrema, Wendepunkte, Monotonieverhalten, Krümmungsverhalten auf Teilintervallen Man bestimme auch die Wertemenge f(r) := {f() R} Berechnung der 1 Ableitung ergibt daraus folgt f () = 2 ( 2 + 3) 2 < 0 für > 0 = 0 für = 0 > 0 für < 0 f ist auf ], 0] streng monoton wachsend f ist auf [0, [ streng monoton fallend Ferner gilt f () = 2(2 + 3) 2 22( 2 + 3)2 ( 2 + 3) 4 = 2(2 + 3) 8 2 ( 2 + 3) 3 = 62 6 ( 2 + 3) 3 = 6( + 1)( 1) ( 2 + 3) 3 > 0 für > 1 oder < 1 = 0 für = 1 oder = 1 < 0 für 1 < < 1 Hieraus folgt: Wegen f (0) = 0 und f (0) < 0 hat f bei 0 ein striktes lokales Maimum (wegen der Monotonie sogar ein globales Maimum) und ist

31 Mathematik M 1/Di WS 2001/02 31 auf ], 1[ ]1, [ linksgekrümmt (konve) auf ] 1, 1[ rechtsgekrümmt (konkav) Daraus folgt, dass f bei +1 und 1 Wendepunkte besitzt Ferner gilt lim ± f() = 0 und ma(f) = f(0) = 1 3 Wegen der Stetigkeit von f folgt aus dem Zwischenwertsatz f(r) = ]0, 1 3 ] f() 1 1 > 3) Praktische Anwendung Aus einem Baumstamm mit kreisförmigem Querschnitt soll ein Balken mit rechteckigem Querschnitt gefertigt werden, so dass möglichst wenig Abfall entsteht δ g

32 Mathematik M 1/Di WS 2001/02 32 Zu maimieren ist die Fläche des einbeschriebenen Rechtecks A() = g Aus 2 + g 2 = δ 2 folgt A 2 () = 2 g 2 = 2 (δ 2 2 ) = 2 δ 2 4 Wegen d d A2 () = 2A()A () und A() 0 für alle > 0 gilt d d A2 () = 0 A () = 0 d h wir können die Etremwertaufgabe auf A 2 () anwenden (dann wird das Rechnen einfacher!) Wir lösen also die Gleichung und erhalten 0 = d d A2 () = 2δ = δ 2 Wegen d 2 ( ) d 2 A2 () = 2δ und d2 δ d 2 A2 2 = 4δ 2 < 0 ist A 2 () und damit wegen A() > 0 auch A() bei = δ 2 maimal Ferner hat man g = δ 2 2 = δ 2 d h der Querschnitt des Balkens ist quadratisch ( ) 2 δ 2 = δ 2 δ2 2 = δ 2 Vorlesung vom 1701, 2301 und gehalten an der Fachhochschule Regensburg für den Fachbereich Maschinenbau, 1 Semester c 2002 Siegmar Dietrich