2.2 Reellwertige Funktionen

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1 4 Kapitel. Differentialrechnung in einer Variablen. Reellwertige Funktionen Ein zentraler Begriff der Mathematik ist der Begriff der Abbildung oder Funktion, und dieses Konzept taucht in den verschiedensten Zusammenhängen auf. Wir haben den Begriff bereits gebraucht, um die Abzählbarkeit definieren zu können. Jetzt werden wir reellwertige Funktionen in einer reellen Variablen genauer unter die Lupe nehmen. Darunter versteht man Funktionen der Form f:d W, wobei der Definitionsbereich D und die Wertemenge W jeweils Teilmengen von R sind. Häufig verzichtet man auch auf die Angabe von W. Eine solche Funktion können wir bekanntlich in einem zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystem graphisch darstellen. Der Graph der Funktion f ist definiert als Graph(f) := {(,f() D} R. Man trägt also jeweils zu D den Punkt mit den Koordinaten (,f()) in das Koordinatensystem ein...1 Definition Eine Funktion f:d W (D,W R) heisst streng monoton steigend auf M D, falls f( 1 ) < f( ) für alle 1 <, i M, und f heisst streng monoton fallend, falls umgekehrt f( 1 ) > f( ) für alle 1 <, i M. Sei zum Beispiel f :R 0 R 0, die Funktion, die durch Einschänkung der Parabelfunktion auf negative Zahlen (oder Null) entsteht, und f + :R 0 R 0,, die Einschränkung auf nichtnegative Zahlen. Dann ist f streng monoton fallend, und f + streng monoton steigend. Beobachtung: Ist eine Funktion f: D R streng monoton steigend (oder fallend) auf D, so ist sie injektiv, das heisst jeder Zahlenwert wird von der Funktion höchstens an einer Stelle angenommen. Beweis. Sei f streng monoton steigend, und nehmen wir an, f sei nicht injektiv. Dann gäbe es zwei verschiedene Elemente 1 mit f( 1 ) = f( ). Ohne Einschränkung können wir annehmen, dass 1 <. Dann folgt aus der Monotonie f( 1 ) < f( ), ein Widerspruch. q.e.d... Satz Eine Funktion f:d W ist genau dann bijektiv, wenn f umkehrbar ist. Das bedeutet, es gibt eine Funktion g: W D, die sogenannte Umkehrfunktion von f, mit der Eigenschaft, dass g(f()) = für alle D und f(g(y)) = y für alle y W. Sind D,W R, so erhält man den Graphen von g durch Spiegelung des Graphen von f an der Winkelhalbierenden, das heisst der Geraden, definiert durch y = in R...3 Beispiel Sei D = R \ { 1 }, W = R \ {0} und f:d W, definiert durch f() = 1. Diese Funktion ist bijektiv. Der Graph von f ist eine Hyperbel mit +1 Asymptoten bei = 1 und y = 0. Durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden erhalten wir wieder eine Hyperbel, diesmal mit Asymptoten bei y = 1 und = 0.

2 .. Reellwertige Funktionen 5 Um die Umkehrfunktion g:w D von f genauer zu bestimmen, setzen wir f() = 1 1 y = y und lösen nach auf. Das führt auf die Beziehung =, und wir +1 y erhalten g(y) = 1 y. Nach Umbenennung der Variablen wird daraus die Vorschrift y g() = 1. Für die Umkehrfunktion wird gelegentlich auch die Bezeichnung f 1 verwendet. Diese Bezeichnung werden wir hier aber möglichst vermeiden, weil es leicht zu Verwechslungen kommen kann. Denn i.a. gilt: f 1 () 1 f(). Ist eine Funktion f:d R auf einem bestimmten Teilbereich D 1 D des Definitionsbereiches monoton steigend (oder fallend), so können wir f zumindest auf D 1 umkehren. Denn durch Einschränkung erhalten wir eine bijektive Funktion f 1 :D 1 W 1 := {f() D 1 }, gegeben durch f 1 () = f() für alle D 1, und können nun die dazugehörige Umkehrfunktion bilden g 1 :W 1 D 1. Auf diese Weise kann man n-te Wurzeln ziehen oder die trigonometrischen Funktionen jeweils auf passenden Teilbereichen umkehren...4 Beispiele Sei n N gerade. Die Funktion f:r R, n, ist auf dem Teilbereich D 1 := R 0 monoton steigend, und nimmt dort als Werte alle reellen Zahlen 0 an. Bilden wir die dazugehörige Umkehrfunktion, erhalten wir die n-te Wurzelfunktion g:r 0 R 0, n (n gerade). Für ungerade n N ist die Funktion f:r R, n sogar selbst bijektiv, die Wurzelfunktion ist hier also auch für negative Zahlen definiert: g:r R, n (n ungerade). Die Tangensfunktion ist gegeben durch tan() = sin() cos(). Sie ist definiert für alle R mit cos() 0, das heisst für (n+1) π (für allen Z).AufdemoffenenIntervall( π, π )istdietangensfunktionmonoton steigend, und nimmt dort als Werte alle reellen Zahlen an. Die entsprechende Umkehrfunktion wird als Arcus Tangens bezeichnet: arctan:r ( π, π ).

3 6 Kapitel. Differentialrechnung in einer Variablen.3 Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit Sei f:d W (D,W R) eine reellwertige Funktion, und sei I = (a,b) ein offenes Intervall, das ganz im Definitionsbereich D von f enthalten ist..3.1 Definition Sei 0 [a,b]. Man sagt, die Funktion f habe an der Stelle 0 den Grenzwert y 0, falls für jede Folge ( n ) n N in I, die gegen 0 konvergiert, die Folge der Funktionswerte (f( n )) n N gegen y 0 konvergiert. Ist dies der Fall, schreibt man lim 0, I f() = y 0. Es gibt hier eigentlich drei Fälle: Ist 0 = a, so spricht man auch vom rechtsseitigen Grenzwert und schreibt manchmal lim 0,> 0 f() = y 0. Ist 0 = b, so spricht man vom linksseitigen Grenzwert und notiert lim f() = y 0. 0,< 0 Ist 0 ein innerer Punkt des Intervalls, so handelt es sich um einen beidseitigen Grenzwert, und man schreibt meist einfach lim f() = y Lemma Eistieren an einer Stelle 0 sowohl der rechts- als auch der linksseitige Grenzwert von f und stimmen sie überein, dann ist dies auch der beidseitige Grenzwert..3.3 Beispiele Sei f die Vorzeichenfunktion, definiert durch { 1 für > 0 f() = 1 für < 0. Hier ist der rechtsseitige Grenzwert an der Stelle 0 = 0 gleich 1 und der linksseitige Grenzwert gleich 1. Da die beiden 0 für = 0 Grenzwerte nicht übereinstimmen, kann ein beidseitiger Grenzwert dort nicht eistieren. Die Funktion f() = 1 1 hat eine Definitionslücke bei 0 = 1. Aber der rechts- und der linksseitige Grenzwert ist hier jeweils gleich, also gibt es den beidseitigen Grenzwert lim 1 f() =. Die Funktion f:r >0 [ 1,1], definiert durch f() = sin( 1 ) hat an der Stelle 0 = 0 keinen rechtsseitigen Grenzwert. Dazu geben wir zwei Nullfolgen im Intervall (0, 1) an, deren Funktionswerte nicht gegen denselben Grenzwert

4 .3. Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit 7 konvergieren. Sei dazu a n := 1 und b nπ n := (4n+1)π (a n ) n N und (b n ) n N sind Nullfolgen. Aber für n N. Beide Folgen lim f(a n) = lim sin(nπ) = 0 1 = lim f(b n ) = lim sin( 4n+1) π). n n n n.3.4 Definition Gelegentlich sieht man auch die Notation lim f() = a oder lim f() =. 0 Dabei handelt es sich um sogenannte uneigentliche Grenzwerte. Voneiner Folge( n ) sagt man, sie konvergiere gegen (bzw. ), falls zu jedem M R ein n(m) N eistiert mit n > M (bzw. n < M) für alle n n(m), und schreibt dann lim n = (bzw. ). n Das bedeutet also, dass die Folgenglieder über jede Schranke M hinauswachsen (oder jede Schranke unterschreiten). Besteht die Folge ( n ) n N nur aus positiven Zahlen, so gilt lim 1 n = lim = 0. n n n Nun kann man den Begriff des Grenzwertes einer Funktion sinngemäss erweitern. Man sagt, die Funktion f konvergiere für gegen einen Grenzwert a (auch hier darf jetzt a eventuell unendlich sein), falls für jede Folge ( n ), die gegen konvergiert, die Folge der Funktionswerte (f( n )) gegen a konvergiert..3.5 Beispiel Wir betrachten die Hyperbelfunktion, gegeben durch f() = 1 (für 0). Hier ist lim f() = + und lim 0,>0 f() =. 0,<0 Für die Grenzwerte von Funktionen gelten entsprechende Aussagen wie für die Grenzwerte von Folgen, also Verträglichkeit mit den Grundrechenarten, Verträglichkeit mit der Relation, und es gibt wiederum einen Vergleichssatz..3.6 Satz Seien f, g, h drei reellwertige Funktionen, die alle auf dem offenen IntervallI = (a,b)definiertsind,undsei 0 [a,b].giltf() g() h()füralle I und lim 0, I f() = a = lim 0, I h(), so folgt auch lim 0, I g() = a..3.7 Beispiele lim 1 = 0. lim 1 = lim = lim 3 1 = und lim +1 =. lim 0 sin() = 0, denn 0 sin() für [ π 4, π 4 ], wie man an der Bedeutung des Sinus am Einheitskreis ablesen kann.

5 8 Kapitel. Differentialrechnung in einer Variablen lim 0 cos() = 1, denn 1 cos() 1, weil cos () = 1 sin () 1 für [ π 4, π 4 ]. sin() lim 0, 0 = 1, denn aus der Bedeutung des Tangens am Einheitskreis lesen wir die folgende Ungleichung ab: tan() = sin() cos() für (0, π ). Daraus folgt sin() cos() und wir erhalten für 0 < < π : cos() sin() 1. Weil die Cosinusfunktion gerade und die Sinusfunktion ungerade ist, bleibt dies auchrichtigfür π < < 0.MitdemVergleichssatzfolgtnundieBehauptung. lim 0 sin( 1) = 0, denn es gilt die Abschätzung 0 sin(1 ) für alle 0. Wir kommen nun zum Begriff der Stetigkeit. Anschaulich gesprochen ist eine Funktion auf einem Bereich stetig, wenn sie dort keine Sprünge macht, oder anders gesagt, wenn kleine Änderungen des Argumentes zu kleinen Änderungen des Funktionswertes führen. Dabei betrachten wir nur Funktionen auf offenen Definitionsbereichen. Eine Teilmenge D R heisst offen, wenn D eine Vereinigung von offenen Intervallen ist..3.8 Definition Eine Funktion f: D R, definiert auf einer offenen Teilmenge D, heisst stetig an der Stelle 0 D, wenn für ein offenes Intervall I mit 0 I D gilt lim 0, I f() = f( 0). Die Funktion f heisst stetig, falls f an jeder Stelle des Definitionsbereichs stetig ist. Eine andere äquivalente Charakterisierung der Stetigkeit ist die folgende ǫ-δ- Definition:.3.9 Satz Eine Funktion f ist stetig an der Stelle 0 D, falls für jedes ǫ > 0 ein δ > 0 eistiert, so dass 0 < δ = f() f( 0 ) < ǫ für alle D Beispiele Jede Funktion der Form f() = a+b (für feste a,b R) ist überall stetig. Die Vorzeichenfunktion ist an der Stelle 0 = 0 nicht stetig, dort liegt eine Sprungstelle vor.

6 .3. Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit 9 { für 1 Sei f() = +1 3 =. Der Graphdieser Funktionhat 4 für < 1 eine Knickstelle bei 0 = 1. Dort ist aber der rechts- und linksseitige Grenzwert jeweils gleich f( 1) = 3, also ist dies auch der beidseitige Grenzwert lim 1 f() = 3, und f ist bei 0 stetig. Die Funktion f() = sin() (für 0) können wir stetig durch f(0) = 1 sin() fortsetzen, weil wie oben bereits erwähnt lim 0 = 1 ist. Die Funktion f() = sin( 1 ) (für 0) dagegen besitzt keine stetige Fortsetzung nach 0 = 0. Stetigkeit vererbt sich auf Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten (dort wo diese definiert sind), wie sich sofort aus den entsprechenden Sätzen für Grenzwerte ergibt Folgerung Sämtliche rationalen Funktionen sind stetig. Beweis. Wendet man die Produktregel auf die Funktion und auf konstante Funktionen an, erhält man die Stetigkeit sämtlicher Funktionen der Form c n (n N, c R). Daraus ergibt sich durch Summenbildung die Stetigkeit sämtlicher Polynome. Unter einer rationalen Funktion versteht man eine Funktion der Form f = p,wobei p,q Polynome sind. Eshandelt sichalsoumquotientenvonpolynomen q und deshalb stetige Funktionen. q.e.d. Auch die trigonometrischen Funktionen sind stetig..3.1 Beispiel Die Sinusfunktion ist auf ganz R stetig. Dazu verwenden wir das Additionstheorem für den Sinus und die speziellen Grenzwerte von Sinus und Cosinus an der Stelle 0, die wir schon bestimmt haben. lim sin() = limsin( 0 +h) = lim(sin( 0 )cos(h)+sin(h)cos( 0 )) = sin( 0 ). 0 h 0 h 0 Die Cosinusfunktion ergibt sich durch Verschiebung der Sinusfunktion um π, sie also auch stetig. Die Tangensfunktion wiederum ist als Quotient aus Sinus und Cosinus ebenfalls stetig. Wir stellen nun die wichtigsten Sätze über stetige Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen zusammen. Wenn man sagt, eine Funktion f:[a,b] R, definiert auf einem abgeschlossenen Intervall, sei stetig, meint man damit, dass f auf (a, b) stetig ist und ausserdem in den Randpunkten gilt: lim f() = f(a) und lim a,>a Der Zwischenwertsatz besagt folgendes: f() = f(b). b,<b.3.13 Satz Sei I R ein abgeschlossenes Intervall und sei f:i R stetig. Sind 1 in I und y R mit f( 1 ) < y 0 < f( ), so gibt es ein 0 zwischen 1 und mit f( 0 ) = y 0.

7 30 Kapitel. Differentialrechnung in einer Variablen Beweis. Hinter dieser Aussage steht das Supremumsaiom. Für Funktionen, die nur für rationale Zahlen definiert sind, ist die Aussage nicht richtig. Für den Beweis können wir annehmen, dass 1 < ist. Weiter können wir durch Verschiebung der Funktion f um den Wert y die Frage darauf reduzieren, eine Nullstelle von f zu finden. Nehmen wir also an: f( 1 ) < 0 < f( ). Eine Strategie zur Konstruktion einer Nullstelle 0 besteht darin, das Intervall [ 1, ] fortgesetzt zu halbieren und nur jeweils die Hälfte zu behalten, über der f das Vorzeichen wechselt. Man erhält eine Intervallschachtelung, und die Grenzen der Intervalle bilden je eine aufsteigende und eine fallende Folge, die gegen denselben Grenzwert 0 konvergieren. Wegen der Stetigkeit muss f( 0 ) = 0 gelten. q.e.d Beispiel Das Polynom p() = besitzt eine Nullstelle zwischen 1 = und = 1, denn p( ) = 5 < 0 und p( 1) = 3 > 0. Wenden wir nun das Intervallhalbierungsverfahren an, um eine solche Nullstelle genauer zu bestimmen. Das Startintervall ist das Intervall I 1 = [ ; 1]. Der Mittelpunkt des Intervalls liegt bei = 1.5 und p( 1.5) = < 0. Also wechselt das Polynom zwischen 1.5 und 1 das Vorzeichen, in der rechten Intervallhälfte gibt es also eine Nullstelle. Darum ersetzen wir das Ausgangsintervall nun durch I = [ 1.5; 1]. Weil p( 1.5) = > 0 ist, findet der Vorzeichenwechsel von p in linken Intervallhälfte von I statt, und wir setzen I 3 = [ 1.5; 1.5]. Im nächsten Schritt finden wir p( 1.375) > 0 und daher I 4 = [ 1.5; 1.375]. Weiter ist p( ) < 0 und daher I 5 = [ ; 1.375]. Nochmaliges Halbieren liefert p( ) > 0 und I 6 = [ ; ]. Es gibt also eine Nullstelle zwischen und Die Stelle ist damit bis auf etwa 3 Hundertstel genau bestimmt. Man kann das Verfahren entsprechend weiter fortsetzen, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist. Der folgende Satz ist weniger leicht zu beweisen, und wir verzichten deshalb auf den Beweis:.3.15 Satz Auf einem abgeschlossenen Intervall [a,b] ist jede stetige Funktion beschränkt und nimmt ihr Minimum und Maimum an. Aus beiden Sätzen zusammen ergibt sich: Folgerung: Eine stetige Funktion bildet ein abgeschlossenes Intervall wieder auf ein abgeschlossenes Intervall ab. Beweis. Ist nämlich m das Minimum und M das Maimum von f auf dem Intervall [a, b], so nimmt f nach dem Zwischenwertsatz alle Werte zwischen m und M an. Also folgt f([a,b]) = {f() a b} = [m,m]. q.e.d. Aus dem Zwischenwertsatz folgt auch, dass Umkehrfunktionen von stetigen Funktionen wieder stetig sind.

8 .3. Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit Satz Die stetige Funktion f bilde das Intervall [a, b] auf das Intervall [c, d] ab. Dann gilt: 1. f ist genau dann injektiv, wenn f streng monoton ist.. Ist f streng monoton wachsend (bzw. fallend), so ist auch die Umkehrfunktion f 1 :[c,d] [a,b] von f streng monoton wachsend (bzw. fallend). 3. Besitzt f eine Umkehrfunktion, so ist diese ebenfalls stetig. Man kann diese Aussage auch auf Umkehrfunktionen von Funktionen mit offenen oder halboffenen Definitionsbereichen anwenden. Denn Stetigkeit ist eine lokale Eigenschaft, das heisst, um die Stetigkeit an einer bestimmten Stelle 0 zu überprüfen, reicht es die Einschränkung der Funktion auf ein passendes abgeschlossenes Intervall um 0 zu untersuchen Folgerung Die Wurzelfunktionen n (n N) und die Arcusfunktionen arcsin, arccos und arctan sind stetig. Dabei versteht man üblicherweise unter arcsin die Umkehrung der Sinusfunktion auf dem Abschnitt [ π, π ] und unter arccos die Umkehrung der Cosinusfunktion auf dem Abschnitt [0, π]. Schliesslich halten wir noch fest:.3.18 Satz Eine aus stetigen Funktionen zusammengesetzte Funktion ist wieder stetig. Beweis. Sind f:d W und g:d 1 W 1 stetige Funktionen und ist W 1 D, so können wir die Funktionen f und g zusammensetzen: f g:d 1 W, (f g)() = f(g()). Man spricht auch von der Komposition der Funktionen f und g. Sei jetzt 0 D 1. Wegen der Stetigkeit von g gilt für jede Folge ( n ) in D 1, die gegen 0 konvergiert: lim g( n) = g( 0 ). n Aus der Stetigkeit von f folgt nun wiederum lim f(g( n)) = f(g( 0 )). n Also ist auch die zusammengesetzte Funktion f g wieder stetig. q.e.d. Diese Tatsache lässt sich vielseitig verwenden, um Grenzwerte von zusammengesetzten Funktionen zu bestimmen. sin Beispiele lim 0,>0 = 3. sin+ sin Denn lim 0 = lim 0 + = 3. Nun folgt die Behauptung aus der Stetigkeit der Wurzelfunktion.

9 3 Kapitel. Differentialrechnung in einer Variablen lim +1 = 0. Dazu schreiben wir die Differenz folgendermassen um: +1 = ( +1 )( +1+ ) +1+ = lim arctan( 3 +1 ) = π Denn es gilt lim = und lim arctan() = π.