Die Grenzwertbildung ist mit den Grundrechenarten verträglich. Genauer gilt folgendes:

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1 2.. Folgen und Grenzwerte Satz Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist eindeutig bestimmt. Beweis. Nehmen wir an, eine Folge (a n ) n N konvergiere sowohl gegen a, als auch gegen b, und a < b. Ist ǫ > 0 klein genug, so ist a+ǫ < b ǫ. Genauer gilt dies, wenn ǫ < b a b a. Wählen wir, um sicher zu gehen, zum Beispiel ǫ =. Da lim 2 4 a n = a, erfüllen fast alle Folgenglieder a n bis auf endlich viele Ausnahmen die Ungleichung a n a < ǫ, das heisst a ǫ < a n < a+ǫ. Das Entsprechende gilt auch für b, das heisst b ǫ < a n < b+ǫ für fast alle n. Weil ausserdem a+ǫ < b ǫ, folgt daraus a n < a n für fast alle n. Das ist aber unmöglich. q.e.d. Die Grenzwertbildung ist mit den Grundrechenarten verträglich. Genauer gilt folgendes: 2..9 Satz Sind (a n ) n N, (b n ) n N konvergente Folgen, so konvergieren auch die Folgen, gebildet aus den Summen, den Differenzen und den Produkten von a n und b n, und lim (a n ±b n ) = (lim a n )±(lim b n ) und lim(a n b n ) = ( lim a n ) (lim b n ). Ist lim b n 0, so ist b n 0 für fast alle n und ( an lim b n ) = lim a n lim b n. Auf den Beweis dieser Grenzwertrechenregeln wollen wir verzichten. Stattdessen hier einige Beispiele: lim n = lim( k n )k = 0 und lim = lim( ) k = 0 für alle k N. k n n lim n 3 +3n+2 2n 3 = lim +3 n 2 +2 n 3 2 n 3 = 2. 3 n 5 +4n lim n 5 n 5 n = lim n = 3. n 2 Bei Quotienten von Nullfolgen kann sozusagen alles passieren, deshalb ist dort Vorsicht angebracht. Hier dafür einige Beispiele: 2..0 Beispiele lim 2 n n = 2. Sei a n = und b n n = b. Dann ist lim n n n 2 an = lim = lim n 2 = 0. n Aber umgekehrt ist an b n = n = n. Die Folge ( an n 2 b n ) ist also nicht konvergent.

2 22 Kapitel 2. Differentialrechnung in einer Variablen Die Folge ( 2n) n n N hat keinen endlichen Grenzwert, weil die Zweierpotenzen viel schneller wachsen als die natürlichen Zahlen. Genauer kann man durch Induktion zeigen, dass 2n > n für n 5. Also wachsen die Folgenglieder n unbeschränkt. Man schreibt deshalb hier 2 n lim n =. Die Grenzwertbildung ist auch mit der Relation verträglich. 2.. Satz Sind (a n ) n N, (b n ) n N konvergente Folgen mit a n b n für alle n N, so folgt lim a n lim b n. Diese Aussage wird allerdings falsch, wenn wir durch < ersetzen. Zum Beispiel ist n < + n für alle n, aber lim ( n ) = = lim (+ n ). Beweis. Beweisen wir die Aussage des Satzes durch Widerspruch. Angenommen, der Grenzwert a der Folge a n wäre echt grösser als der Grenzwert b der Folge b n. Setzen wir ǫ := a b. Für dies ǫ ist sicher b+ǫ < a ǫ. Für genügend grosse n müsste dann 4 gelten: b n < b+ǫ < a ǫ < a n. Dies ist aber ein Widerspruch zur Voraussetzung. q.e.d. Ein sehr nützliches Kriterium für die Konvergenz einer Folge liefert der folgende Vergleichssatz: 2..2 Satz Seien (a n ) n N, (b n ) n N, (c n ) n N drei Folgen mit a n b n c n für alle n N. Gilt lim a n = lim c n = a, so folgt lim b n = a. Beweis. Zuǫ > 0wählenwireinenInden 0 N,sodasssowohl a ǫ a n a+ǫals auch a ǫ c n a+ǫ für alle n n 0 gilt. Daraus folgt a ǫ a n b n c n a+ǫ und daher b n a < ǫ für alle n n 0. Damit ist die Konvergenz der Folge (b n ) gegen a gezeigt. q.e.d. Wir können diesen Satz zum Beispiel anwenden, um den Grenzwert der Folge ( 2n) n! n N zu bestimmen. Mit vollständiger Induktion kann man zeigen, dass gilt: 0 2n n! 4 n 2 n für alle n N und daher lim n! = 0. Eine weitere wichtige Anwendung ist die auf Potenzfolgen: 2..3 Satz Sei q R, q <. Dann gilt lim q n = 0. Beweis. Es reicht zu zeigen lim q n = 0. Deshalb nehmen wir jetzt ohne Einschränkung an, dass q positiv ist. Aus q < folgt > und daher können wir q

3 2.. Folgen und Grenzwerte 23 schreiben = +t, wobei t eine positive Zahl ist. Aus dem binomischen Lehrsatz q folgt für alle n durch Weglassen positiver Terme: ( ) n = (+t) n +nt. q Daraus folgt 0 q n. Weiter wissen wir lim +nt = lim +nt folgt die Behauptung aus dem Vergleichssatz. q.e.d. n n +t = 0. Also Ein nützliches Konvergenzkriterium ist das folgende Monotoniekriterium: 2..4 Satz Eine monoton steigende (bzw. fallende), nach oben (bzw. unten) beschränkte Folge konvergiert gegen ihr Supremum (bzw. Infimum). Beweis. Sei (a n ) n N monoton wachsend und nach oben beschränkt, das heisst a n a n+ M für alle n und eine feste reelle Zahl M. Dann hat die Folge eine kleinste obere Schranke a := sup{a n n N}. Sei ǫ > 0. Weil a ǫ keine obere Schranke für die Folge (a n ) ist, gibt es einen Inde n 0 N mit a n0 > a ǫ. Aus der Monotonie folgt: a ǫ < a n0 a n a < a+ǫ und damit a n a < ǫ für alle n n 0. q.e.d. Wie schon erwähnt, können wir jede Dezimalentwicklung einer positiven Zahl a als eine solche monoton wachsende Folge auffassen, die gegen a konvergiert. Hier ist ein weiteres Beispiel für eine monoton wachsende, beschränkte Folge: 2..5 Bemerkung DieFolgederTeilsummen s n := n k= istmonotonsteigend k 2 und durch 2 nach oben beschränkt, also eistiert der Grenzwert lim n k= Beweis. Durch vollständige Induktion kann man zeigen: n k 2 < 2 für alle n N. 2 n k= Also ist die Teilsummenfolge wie behauptet nach oben beschränkt. Ausserdem ist die Folge streng monoton wachsend, da > 0 ist für alle k N. q.e.d. k 2 Euler hat diese unendliche Reihe untersucht und festgestellt: k = π k= Die Berechnung dieses Grenzwertes ist aber nicht einfach und muss zunächst auf später verschoben werden Bemerkung Die harmonische Reihe: n + hat keinen endlichen Grenzwert. Die Folge der Teilsummen s n := n k= k wächst über alle Schranken hinaus. k 2.

4 24 Kapitel 2. Differentialrechnung in einer Variablen Beweis. Um das einzusehen, fassen wir folgende Stammbrüche jeweils zusammen und schätzen nach unten ab: = = = 2. Daraus folgt s 2 n = 2 n k= +n für alle n. Also kann die Folge der Teilsummen k 2 der harmonischen Reihe nicht nach oben beschränkt sein. q.e.d. Für rekursiv definierte Folgen, die monoton wachsen und beschränkt sind, kann man den Grenzwert mithilfe der Rekursion konkreter bestimmen. Hierfür ein Beispiel Beispiel Die folgende rekursiv definierte Folge konvergiert gegen 2: a := 2, a n+ := 2+a n für n N. Beweis. Durch vollständige Induktion zeigen wir zunächst: a n < a n+ < 2 n N. n = : zu zeigen ist 2 < 2+ 2 < 2. Das ist äquivalent zu 2 < 2+ 2 < 4, und also offensichtlich richtig. n n + : Die Induktionsbehauptung für n lautet a n < 2+a n < 2. Daraus folgt: 2+a n < 2+ 2+a n < 2+2 = 2. Das ist bereits die Behauptung für n+. Also ist die Folge monoton wachsend und nach oben beschränkt und hat nach dem Monotoniekriterium einen Grenzwert, etwa a. Aus der Rekursion folgt a 2 = lim a 2 n+ = lim (2 + a n ) = 2 + a, das bedeutet a = 2 oder a =. Weil ausserdem a a = 2 sein muss, erhalten wir a = 2. q.e.d. Wir können nun auch eine Definition der Eulerschen Zahl e angeben Satz Die Folge der Zahlen a n := (+ n )n (n N) ist monoton wachsend, die Folge der Zahlen b n := (+ n )n+ (n N) ist monoton fallend und es gilt: 2 (+ n )n (+ n )n+ 4 für alle n N. Die Folgen (a n ) und (b n ) sind konvergent und haben denselben Grenzwert, den man als die Eulersche Zahl e bezeichnet. Die Folge der a n lässt sich im Zusammenhang mit Zinseszinsrechnung folgendermassen interpretieren. Nehmen wir an, ein Kapital K werde während einer bestimmten Zinsperiode T zu 00% verzinst. Dann wird das Kapital nach Ablauf der Zeit T verdoppelt. Zahlt man stattdessen aber bereits nach der Hälfte der Zeit T den halben Zins aus und verzinst den Zwischenbetrag von K (+ ) nach Ablauf des 2 gesamten Zeitraums nochmals mit 50% Zins, beträgt das Kapital dann insgesamt K(+ )(+ ) = K 2,

5 2.. Folgen und Grenzwerte 25 Unterteilt man den Zeitraum T noch weiter in n Abschnitte (n N) und wird das jeweilige Zwischenkapital am Ende jedes Teilabschnitts zu einem Zinssatz von 00 % verzinst, so beträgt das Kapital am Ende K ( + n n )n. Der Grenzwert e = lim (+ n )n gibt also an, um welchen Faktor sich ein Kapital bei kontinuierlicher Verzinsung vergrössern würde. Auch die Folge der Zahlen b n hat etwas mit Zinseszins zu tun. Wenn man ein Kapital bei einer Einteilung der Gesamtzeit in n Abschnitte bereits zu Beginn der Zeit erstmals verzinst und zusätzlich nach Ablauf jedes einzelnen Abschnitts, insgesamt also (n+)-mal, und dabei jeweils den Zinssatz 00 verwendet, beträgt das n Kapital einschliesslich Zinseszins nach Ablauf der Gesamtzeit K (+ n )n+. Beweis des Satzes: Nehmen wir an, die Monotonie der Folgen (a n ) und (b n ) sei gezeigt. Dann ergeben sich die behaupteten Schranken durch Einsetzen von n =. Die mittlere Ungleichung folgt so: (+ n )n+ = (+ n )n (+ n ) > (+ n )n. Also ist die Folge (a n ) durch 4 nach oben beschränkt und daher konvergent. Aus den Grenzwertrechenregeln folgt jetzt lim b n = lim(+ n )n+ = lim a n lim(+ n ) = lim a n. Nunbeweisen wir, dassdiefolge(a n )streng monotonsteigend ist. Diese Überlegung ist etwas raffinierter. Zu zeigen ist für alle n N: oder äquivalent: a n = (+ n )n = ( n+ n )n < (+ n+ )n+ = a n+, n < ( n+ )n (+ n+ )n+ = ( n+ n+ )n (+ n+ )n+ = ( n+ )n (+ n+ )n+. Diese Ungleichung wiederum ist äquivalent zu: ( n+ ) < ( n+ )n+ (+ n+ )n+ = (. (n+) 2)n+ Aber dies ist die Aussage der Bernoullischen Ungleichung +(n+)t < (+t) n+ für t =. Damit ist die Behauptung gezeigt. Die Monotonie der Folge (b (n+) 2 n ) zeigt man ähnlich. q.e.d.

6 26 Kapitel 2. Differentialrechnung in einer Variablen 2.2 Funktionen Ein zentraler Begriff der Mathematik ist der Begriff der Abbildung oder Funktion, und dieses Konzept taucht in den verschiedensten Zusammenhängen auf. Wir haben den Begriff bereits gebraucht, um die Abzählbarkeit definieren zu können. Jetzt werden wir reellwertige Funktionen in einer reellen Variablen genauer unter die Lupe nehmen. Darunter versteht man Funktionen der Form f:d W, wobei der Definitionsbereich D und die Wertemenge W jeweils Teilmengen von R sind. Häufig verzichtet man auch auf die Angabe von W. Eine solche Funktion können wir bekanntlich in einem zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystem graphisch darstellen. Der Graph der Funktion f ist definiert als Graph(f) := {(,f() D} R 2. Man trägt also jeweils zu D den Punkt mit den Koordinaten (,f()) in das Koordinatensystem ein Definition Eine Funktion f:d W (D,W R) heisst streng monoton steigend auf M D, falls f( ) < f( 2 ) für alle < 2, i M, und f heisst streng monoton fallend, falls umgekehrt f( ) > f( 2 ) für alle < 2, i M. Sei zum Beispiel f :R 0 R 0, 2 die Funktion, die durch Einschänkung der Parabelfunktion auf negative Zahlen (oder Null) entsteht, und f + :R 0 R 0, 2, die Einschränkung auf nichtnegative Zahlen. Dann ist f streng monoton fallend, und f + streng monoton steigend. Beobachtung: Ist eine Funktion f: D R streng monoton steigend (oder fallend) auf D, so ist sie injektiv, das heisst jeder Zahlenwert wird von der Funktion höchstens an einer Stelle angenommen. Beweis. Sei f streng monoton steigend, und nehmen wir an, f sei nicht injektiv. Dann gäbe es zwei verschiedene Elemente 2 mit f( ) = f( 2 ). Ohne Einschränkung können wir annehmen, dass < 2. Dann folgt aus der Monotonie f( ) < f( 2 ), ein Widerspruch. q.e.d Satz Eine Funktion f:d W ist genau dann bijektiv, wenn f umkehrbar ist. Das bedeutet, es gibt eine Funktion g: W D, die sogenannte Umkehrfunktion von f, mit der Eigenschaft, dass g(f()) = für alle D und f(g(y)) = y für alle y W. Sind D,W R, so erhält man den Graphen von g durch Spiegelung des Graphen von f an der Winkelhalbierenden, das heisst der Geraden, definiert durch y = in R Beispiel Sei D = R \ { }, W = R \ {0} und f:d W, definiert durch 2 f() =. Diese Funktion ist bijektiv. Der Graph von f ist eine Hyperbel mit 2+ Asymptoten bei = und y = 0. Durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden 2 erhalten wir wieder eine Hyperbel, diesmal mit Asymptoten bei y = und = 0. 2

7 2.2. Funktionen 27 Um die Umkehrfunktion g:w D von f genauer zu bestimmen, setzen wir f() = y = y und lösen nach auf. Das führt auf die Beziehung =, und wir 2+ 2y erhalten g(y) = y. Nach Umbenennung der Variablen wird daraus die Vorschrift 2y g() =. 2 Für die Umkehrfunktion wird gelegentlich auch die Bezeichnung f verwendet. Diese Bezeichnung werden wir hier aber möglichst vermeiden, weil es leicht zu Verwechslungen kommen kann. Denn i.a. gilt: f () f(). Ist eine Funktion f:d R auf einem bestimmten Teilbereich D D des Definitionsbereiches monoton steigend (oder fallend), so können wir f zumindest auf D umkehren. Denn durch Einschränkung erhalten wir eine bijektive Funktion f :D W := {f() D }, gegeben durch f () = f() für alle D, und können nun die dazugehörige Umkehrfunktion bilden g :W D. Auf diese Weise kann man n-te Wurzeln ziehen oder die trigonometrischen Funktionen jeweils auf passenden Teilbereichen umkehren Beispiele Sei n N gerade. Die Funktion f:r R, n, ist auf dem Teilbereich D := R 0 monoton steigend, und nimmt dort als Werte alle reellen Zahlen 0 an. Bilden wir die dazugehörige Umkehrfunktion, erhalten wir die n-te Wurzelfunktion g:r 0 R 0, n (n gerade). Für ungerade n N ist die Funktion f:r R, n sogar selbst bijektiv, die Wurzelfunktion ist hier also auch für negative Zahlen definiert: g:r R, n (n ungerade). Die Tangensfunktion ist gegeben durch tan() = sin() cos(). Sie ist definiert für alle R mit cos() 0, das heisst für (2n+) π 2 (für allen Z).AufdemoffenenIntervall( π 2, π 2 )istdietangensfunktionmonoton steigend, und nimmt dort als Werte alle reellen Zahlen an. Die entsprechende Umkehrfunktion wird als Arcus Tangens bezeichnet: arctan:r ( π 2, π 2 ).

8 28 Kapitel 2. Differentialrechnung in einer Variablen 2.3 Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit Sei f:d W (D,W R) eine reellwertige Funktion, und sei I = (a,b) ein offenes Intervall, das ganz im Definitionsbereich D von f enthalten ist Definition Sei 0 [a,b]. Man sagt, die Funktion f habe an der Stelle 0 den Grenzwert y 0, falls für jede Folge ( n ) n N in I, die gegen 0 konvergiert, die Folge der Funktionswerte (f( n )) n N gegen y 0 konvergiert. Ist dies der Fall, schreibt man lim 0, I f() = y 0. Es gibt hier eigentlich drei Fälle: Ist 0 = a, so spricht man auch vom rechtsseitigen Grenzwert und schreibt manchmal lim 0,> 0 f() = y 0. Ist 0 = b, so spricht man vom linksseitigen Grenzwert und notiert lim f() = y 0. 0,< 0 Ist 0 ein innerer Punkt des Intervalls, so handelt es sich um einen beidseitigen Grenzwert, und man schreibt meist einfach lim f() = y Lemma Eistieren an einer Stelle 0 sowohl der rechts- als auch der linksseitige Grenzwert von f und stimmen sie überein, dann ist dies auch der beidseitige Grenzwert Beispiele Sei f die Vorzeichenfunktion, definiert durch { für > 0 f() = für < 0. Hier ist der rechtsseitige Grenzwert an der Stelle 0 = 0 gleich und der linksseitige Grenzwert gleich. Da die beiden 0 für = 0 Grenzwerte nicht übereinstimmen, kann ein beidseitiger Grenzwert dort nicht eistieren. Die Funktion f() = 2 hat eine Definitionslücke bei 0 =. Aber der rechts- und der linksseitige Grenzwert ist hier jeweils gleich 2, also gibt es den beidseitigen Grenzwert lim f() = 2. Die Funktion f:r >0 [,], definiert durch f() = sin( ) hat an der Stelle 0 = 0 keinen rechtsseitigen Grenzwert. Dazu geben wir zwei Nullfolgen im Intervall (0, ) an, deren Funktionswerte nicht gegen denselben Grenzwert

9 2.3. Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit 29 konvergieren. Sei dazu a n := und b 2 2nπ n := (4n+)π (a n ) n N und (b n ) n N sind Nullfolgen. Aber für n N. Beide Folgen lim f(a n) = lim sin(2nπ) = 0 = lim f(b n ) = lim sin( 4n+) π) Definition Gelegentlich sieht man auch die Notation lim f() = a oder lim f() =. 0 Dabei handelt es sich um sogenannte uneigentliche Grenzwerte. Voneiner Folge( n ) sagt man, sie konvergiere gegen (bzw. ), falls zu jedem M R ein n(m) N eistiert mit n > M (bzw. n < M) für alle n n(m), und schreibt dann lim n = (bzw. ). Das bedeutet also, dass die Folgenglieder über jede Schranke M hinauswachsen (oder jede Schranke unterschreiten). Besteht die Folge ( n ) n N nur aus positiven Zahlen, so gilt lim n = lim = 0. n Nun kann man den Begriff des Grenzwertes einer Funktion sinngemäss erweitern. Man sagt, die Funktion f konvergiere für gegen einen Grenzwert a (auch hier darf jetzt a eventuell unendlich sein), falls für jede Folge ( n ), die gegen konvergiert, die Folge der Funktionswerte (f( n )) gegen a konvergiert Beispiel Wir betrachten die Hyperbelfunktion, gegeben durch f() = (für 0). Hier ist lim f() = + und lim 0,>0 f() =. 0,<0 Für die Grenzwerte von Funktionen gelten entsprechende Aussagen wie für die Grenzwerte von Folgen, also Verträglichkeit mit den Grundrechenarten, Verträglichkeit mit der Relation, und es gibt wiederum einen Vergleichssatz Satz Seien f, g, h drei reellwertige Funktionen, die alle auf dem offenen IntervallI = (a,b)definiertsind,undsei 0 [a,b].giltf() g() h()füralle I und lim 0, I f() = a = lim 0, I h(), so folgt auch lim 0, I g() = a Beispiele lim = 0. lim 2 = lim =. + 2 lim 3 2 = und lim =. lim 0 sin() = 0, denn 0 sin() für [ π 4, π 4 ], wie man an der Bedeutung des Sinus am Einheitskreis ablesen kann.

10 30 Kapitel 2. Differentialrechnung in einer Variablen lim 0 cos() =, denn cos() 2, weil cos 2 () = sin 2 () 2 für [ π 4, π 4 ]. sin() lim 0, 0 =, denn aus der Bedeutung des Tangens am Einheitskreis lesen wir die folgende Ungleichung ab: tan() = sin() cos() für ( π, π). 2 2 Daraus folgt sin() cos() und wir erhalten für π < < π: 2 2 cos() sin(). Mit dem Vergleichssatz folgt nun die Behauptung. lim 0 sin( ) = 0, denn es gilt die Abschätzung 0 sin( ) für alle 0. Wir kommen nun zum Begriff der Stetigkeit. Anschaulich gesprochen ist eine Funktion auf einem Bereich stetig, wenn sie dort keine Sprünge macht, oder anders gesagt, wenn kleine Änderungen des Argumentes zu kleinen Änderungen des Funktionswertes führen. Dabei betrachten wir nur Funktionen auf offenen Definitionsbereichen. Eine Teilmenge D R heisst offen, wenn D eine Vereinigung von offenen Intervallen ist Definition Eine Funktion f: D R, definiert auf einer offenen Teilmenge D, heisst stetig an der Stelle 0 D, wenn für ein offenes Intervall I mit 0 I D gilt lim 0, I f() = f( 0). Die Funktion f heisst stetig, falls f an jeder Stelle des Definitionsbereichs stetig ist. Eine andere äquivalente Charakterisierung der Stetigkeit ist die folgende ǫ-δ- Definition: Satz Eine Funktion f ist stetig an der Stelle 0 D, falls für jedes ǫ > 0 ein δ > 0 eistiert, so dass 0 < δ = f() f( 0 ) < ǫ für alle D Beispiele Jede Funktion der Form f() = a+b (für feste a,b R) ist überall stetig. Die Vorzeichenfunktion ist an der Stelle 0 = 0 nicht stetig, dort liegt eine Sprungstelle vor. { 2 für Sei f() = + 3 =. Der Graphdieser Funktionhat 4 für < eine Knickstelle bei 0 =. Dort ist aber der rechts- und linksseitige Grenzwert jeweils gleich f( ) = 3, also ist dies auch der beidseitige Grenzwert lim f() = 3, und f ist bei 0 stetig.

11 2.3. Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit 3 Die Funktion f() = sin() (für 0) können wir stetig durch f(0) = sin() fortsetzen, weil wie oben bereits erwähnt lim 0 = ist. Die Funktion f() = sin( ) (für 0) dagegen besitzt keine stetige Fortsetzung nach 0 = 0. Stetigkeit vererbt sich auf Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten (dort wo diese definiert sind), wie sich sofort aus den entsprechenden Sätzen für Grenzwerte ergibt Folgerung Sämtliche rationalen Funktionen sind stetig. Beweis. Wendet man die Produktregel auf die Funktion und auf konstante Funktionen an, erhält man die Stetigkeit sämtlicher Funktionen der Form c n (n N, c R). Daraus ergibt sich durch Summenbildung die Stetigkeit sämtlicher Polynome. Unter einer rationalen Funktion versteht man eine Funktion der Form f = p,wobei p,q Polynome sind. Eshandelt sichalsoumquotientenvonpolynomen q und deshalb stetige Funktionen. q.e.d. Auch die trigonometrischen Funktionen sind stetig Beispiel Die Sinusfunktion ist auf ganz R stetig. Dazu verwenden wir das Additionstheorem für den Sinus und die speziellen Grenzwerte von Sinus und Cosinus an der Stelle 0, die wir schon bestimmt haben. lim sin() = limsin( 0 +h) = lim(sin( 0 )cos(h)+sin(h)cos( 0 )) = sin( 0 ). 0 h 0 h 0 Die Cosinusfunktion ergibt sich durch Verschiebung der Sinusfunktion um π, sie also 2 auch stetig. Die Tangensfunktion wiederum ist als Quotient aus Sinus und Cosinus ebenfalls stetig. Wir stellen nun die wichtigsten Sätze über stetige Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen zusammen. Wenn man sagt, eine Funktion f:[a,b] R, definiert auf einem abgeschlossenen Intervall, sei stetig, meint man damit, dass f auf (a, b) stetig ist und ausserdem in den Randpunkten gilt: lim f() = f(a) und lim a,>a f() = f(b). b,<b Der Zwischenwertsatz besagt folgendes: Satz Sei I R ein abgeschlossenes Intervall und sei f:i R stetig. Sind 2 in I und y R mit f( ) < y 0 < f( 2 ), so gibt es ein 0 zwischen und 2 mit f( 0 ) = y 0. Beweis. Hinter dieser Aussage steht das Supremumsaiom. Für Funktionen, die nur für rationale Zahlen definiert sind, ist die Aussage nicht richtig. Für den Beweis können wir annehmen, dass < 2 ist. Weiter können wir durch Verschiebung der

12 32 Kapitel 2. Differentialrechnung in einer Variablen Funktion f um den Wert y 0 die Frage darauf reduzieren, eine Nullstelle von f zu finden. Nehmen wir also an: f( ) < 0 < f( 2 ). Eine Strategie zur Konstruktion einer Nullstelle 0 besteht darin, das Intervall [, 2 ] fortgesetzt zu halbieren und nur jeweils die Hälfte zu behalten, über der f das Vorzeichen wechselt. Man erhält eine Intervallschachtelung, und die Grenzen der Intervalle bilden je eine aufsteigende und eine fallende Folge, die gegen denselben Grenzwert 0 konvergieren. Wegen der Stetigkeit muss f( 0 ) = 0 gelten. q.e.d Beispiel Das Polynom p() = 5 3+ besitzt eine Nullstelle zwischen = 2 und 2 =, denn p( 2) = 25 < 0 und p( ) = 3 > 0. Wenden wir nun das Intervallhalbierungsverfahren an, um eine solche Nullstelle genauer zu bestimmen. Das Startintervall ist das Intervall I = [ 2; ]. Der Mittelpunkt des Intervalls liegt bei =.5 und p(.5) = < 0. Also wechselt das Polynom zwischen.5 und das Vorzeichen, in der rechten Intervallhälfte gibt es also eine Nullstelle. Darum ersetzen wir das Ausgangsintervall nun durch I 2 = [.5; ]. Weil p(.25) =.698 > 0 ist, findet der Vorzeichenwechsel von p in linken Intervallhälfte von I 2 statt, und wir setzen I 3 = [.5;.25]. Im nächsten Schritt finden wir p(.375) > 0 und daher I 4 = [.5;.375]. Weiter ist p(.4375) < 0 und daher I 5 = [.4375;.375]. Nochmaliges Halbieren liefert p(.40625) > 0 und I 6 = [.4375;.40625]. Es gibt also eine Nullstelle zwischen.4375 und Die Stelle ist damit bis auf etwa 3 Hundertstel genau bestimmt. Man kann das Verfahren entsprechend weiter fortsetzen, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist. Das hier angegebene Polynom p besitzt noch zwei weitere Nullstellen, und zwar eine im Intervall [0;] und eine im Intervall [;2]. Auch diese Nullstellen kann man natürlich mit dem Intervallhalbierungsverfahren beliebig genau berechnen. Der folgende Satz ist weniger leicht zu beweisen, und wir verzichten deshalb auf den Beweis: Satz Auf einem abgeschlossenen Intervall [a,b] ist jede stetige Funktion beschränkt und nimmt ihr Minimum und Maimum an. Aus beiden Sätzen zusammen ergibt sich: Folgerung: Eine stetige Funktion bildet ein abgeschlossenes Intervall wieder auf ein abgeschlossenes Intervall ab. Beweis. Ist nämlich m das Minimum und M das Maimum von f auf dem Intervall [a, b], so nimmt f nach dem Zwischenwertsatz alle Werte zwischen m und M an. Also folgt f([a,b]) = {f() a b} = [m,m]. q.e.d. Aus dem Zwischenwertsatz folgt auch, dass Umkehrfunktionen von stetigen Funktionen wieder stetig sind.

13 2.3. Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit Satz Die stetige Funktion f bilde das Intervall [a, b] auf das Intervall [c, d] ab. Dann gilt:. f ist genau dann injektiv, wenn f streng monoton ist. 2. Ist f streng monoton wachsend (bzw. fallend), so ist auch die Umkehrfunktion f :[c,d] [a,b] von f streng monoton wachsend (bzw. fallend). 3. Besitzt f eine Umkehrfunktion, so ist diese ebenfalls stetig. Man kann diese Aussage auch auf Umkehrfunktionen von Funktionen mit offenen oder halboffenen Definitionsbereichen anwenden. Denn Stetigkeit ist eine lokale Eigenschaft, das heisst, um die Stetigkeit an einer bestimmten Stelle 0 zu überprüfen, reicht es die Einschränkung der Funktion auf ein passendes abgeschlossenes Intervall um 0 zu untersuchen Folgerung Die Wurzelfunktionen n (n N) und die Arcusfunktionen arcsin, arccos und arctan sind stetig. Dabei versteht man üblicherweise unter arcsin die Umkehrung der Sinusfunktion auf dem Abschnitt [ π, π ] und unter arccos die Umkehrung der Cosinusfunktion auf 2 2 dem Abschnitt [0, π]. Schliesslich halten wir noch fest: Satz Eine aus stetigen Funktionen zusammengesetzte Funktion ist wieder stetig. Beweis. Sind f:d 2 W 2 und g:d W stetige Funktionen und ist W D 2, so können wir die Funktionen f und g zusammensetzen: f g:d W 2, (f g)() = f(g()). Man spricht auch von der Komposition der Funktionen f und g. Sei jetzt 0 D. Wegen der Stetigkeit von g gilt für jede Folge ( n ) in D, die gegen 0 konvergiert: lim g( n) = g( 0 ). Aus der Stetigkeit von f folgt nun wiederum lim f(g( n)) = f(g( 0 )). Also ist auch die zusammengesetzte Funktion f g wieder stetig. q.e.d. Diese Tatsache lässt sich vielseitig verwenden, um Grenzwerte von zusammengesetzten Funktionen zu bestimmen. sin Beispiele lim 0,>0 = 3. sin+2 sin Denn lim 0 = lim 0 +2 = 3. Nun folgt die Behauptung aus der Stetigkeit der Wurzelfunktion.

14 34 Kapitel 2. Differentialrechnung in einer Variablen lim + = 0. Dazu schreiben wir die Differenz folgendermassen um: + = ( + )( ++ ) ++ = lim arctan( 23 + ) = π Denn es gilt lim = und lim arctan() = π 2.