Funktionen einer reellen Veränderlichen

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1 KAPITEL Funktionen einer reellen Veränderlichen. Grundbegriffe Definition.. Eine Abbildung oder Funktion f ist eine Zuordnung(svorschrift), die jeder Zahl x aus dem Definitionsbereich D(f) der Funktion f eine Zahl y = f(x) W (f) aus der Wertebereich der Funktion zurordnet. Die Bildmenge bzw. dem Bild f(d), d.h. der Menge aller y fur die es ein (oder mehrere) x D(f) gibt mit y = f(x). Im Allgemeinen gibt als Wertebereich das Bild von f an. Abbildung/Funktion y=f(x) Definitionsbereich D(f)=-4;6] Wertebereich W(f)=f(D) Bild der Funktion f Eine Funktion ist eindeutig, aber nicht eineindeutig. A Eine Funktion kann explizit als y = f(x) gegeben sein, oder implizit als F (x, y) = 0, oder auch in Parameterform x = ϕ(t), y = ψ(t). Definition.. Der Graph einer Funktion ist die Menge aller geordneten Paare (x, f(x)) fur x D(f).

2 . FUNKTIONEN EINER REELLEN VERANDERLICHEN.. Eigenschaften einer Funktion. Definition.3. Eine Funktion f : D(f) W (f) R heit monoton wachsend, wenn aus x < x stets f(x ) f(x ) folgt, streng monoton wachsend, wenn aus x < x stets f(x ) < f(x ) folgt, monoton fallend, wenn aus x < x stets f(x ) f(x ) folgt, streng monoton fallend, wenn aus x < x stets f(x ) > f(x ) folgt, gerade oder achsensymmetrisch, wenn f(x) = f( x) fur alle x D(f) gilt, ungerade oder punktsymmetrisch, wenn f(x) = f( x) fur alle x D(f) gilt, nach unten beschränkt, wenn es eine reelle Zahl c mit f(x) c fur alle x D(f) gibt, nach oben beschränkt, wenn es eine reelle Zahl C mit f(x) C fur alle x D(f) gibt, beschränkt, wenn es eine reelle Zahl k mit f(x) k fur alle x D(f) gibt, periodisch mit der Periode T, wenn f(x) = f(x + T ) fur alle x D(f) gilt, injektiv oder eineindeutig, wenn aus x x folgt f(x ) f(x ), surjektiv oder Abbildung auf, wenn es zu jedem y W (f) mindestens ein x D(f) gibt mit y = f(x), bijektiv, wenn sie surjektiv und injektiv ist. Eine wichtige Eigenschaft bijektiver Funktionen besteht darin, dass sie eine Umkehrfunktion besitzen. Definition.4. Ist f : A B eine bijektive Funktion, die jedem x A genau ein y B zuordnet, dann existiert die Umkehrfunktion f : B A, f (y) = x, die jedem y B genau ein x A zuordnet, d.h. y = f(x) x = f (y)... Potenz- und Wurzelfunktionen. Die Potenzfunktionen y = x n, n =,,... sind deniert auf (, + ),

3 haben den Wertebereich 0, ), sind gerade Funktionen, nach unten beschrankt durch c = 0, streng monoton fallend auf (, 0], streng monoton wachsend auf 0, ), nicht injektiv, da ( x) n = x n ist. Die Potenzfunktionen y = x n, n =,,... sind deniert auf (, + ), haben den Wertebereich (, ), sind ungerade Funktionen, streng monoton wachsend auf (, ), injektiv.. GRUNDBEGRIFFE 3 y=x n, n=,,... y=x n-, n=,,... A Bestimmung der Umkehrfunktion Auosen von y = f(x) nach x : x = f (y), Spiegeln des Graphen der Funktion an der Geraden y = x, dies entspricht dem Vertauschen von x und y. Beispiel.. wird nach x aufgelost: y = f(x) = 4x y = 4x y + = 4x x = (y + ), 4 d.h. die Umkehrfunktion zu f(x) = 4x ist f (x) = (x + ). 4

4 4. FUNKTIONEN EINER REELLEN VERANDERLICHEN Man beachte, dass wir die Standardbezeichnung f(x) fur Funktionen auch bei der Umkehrfunktion verwenden. y=x y=f(x)=4x- 3 y=f - (x)=¼(x+) = ¼x+¼ 3 Definition.5. Die n-te Wurzel, n N, aus einer reellen Zahl a, a 0, ist diejenige nichtnegative reelle Zahl b (also b 0), fur die gilt b n = a. Man schreibt b = n a. Die n-te Wurzel bzw. die Wurzelfunktion f(x) = n (x) ist nur fur nichtnegative x 0 deniert. Wurzeln können nur aus nichtnegativen reellen Zahlen gezogen werden! Die Sinusfunktion f(x) = sin x ergibt sich aus den Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck. a b β α c Wir haben: sin α = a c. Oft wird statt eines Winkels die Lange des zum Winkel α gehorigen Bogenstucks = Bogenma x des Einheitskreises in die Sinusfunktion eingesetzt. Auf diese Weise ist sin x fur alle x R erklart, sie ist eine periodische Funktion mit Periodenlange

5 3. WEITERE TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN 5 T = :, d.h. sin x = sin(x + k), k Z, und alle x R. Die Kosinusfunktion, am rechtwinkligen Dreieck ist: cos α = b c. Wiederum nimmt an Stelle des Winkels α das Bogenma x und erhalten die Kosinusfunktion cos x fur alle x R. Die Cosinusfunktion ist auch ein -periodische Funktion, d.h. cos x = cos(x + k) fur alle k Z und alle x R.. Nützliche Formeln Am rechtwinkligen Dreieck ergibt sich die Beziehung: sin α + cos α = bzw. im Bogenma sin x + cos x =, x R. Spezielle Werte: ϕ 0 6 sin ϕ 0 cos ϕ 3 Weitere Werte im Gradma: Winkel Bogenlange Zum Umformen von Gleichungen sind die folgenden Formeln n utzlich: sin( x) = sin x ungerade Funktion, cos( x) = cos x gerade Funktion, sin ( x + ) = cos x. 3. Weitere trigonometrische Funktionen Weiterhin gibt es die Tangensfunktion tan x = sin x cos x. Sie ist oensichtlich fur cos x = 0, also fur x = +k, k Z nicht erklart, auerdem ist sie eine periodische Funktion mit der Periodenlange T =. Sowie die Kotangensfunktion cot x = cos x sin x. Sie ist oensichtlich fur sin x = 0, also fur x = k, k Z nicht erklart, auerdem ist sie eine periodische Funktion mit der Periodenlange T =.

6 6. FUNKTIONEN EINER REELLEN VERANDERLICHEN 4. Umkehrfunktionen: Zyklometrische Funktionen Wie man leicht an den abgebildeten Graphen der trigonometrischen Funktionen sieht, sind die trigonometrischen Funktionen nicht bijektiv, da sie nicht injektiv sind. Das bedeutet aber, dass es nicht so einfach ist, eine Umkehrfunktion zu denieren. Die Idee besteht nun darin, einen maximalen Bereich f ur die entsprechende trigonometrische Funktion zu nden, so dass sie bijektiv ist. 4.. Arcussinus. Oensichtlich durchlauft die Sinusfunktion alle Werte des Intervalls, ] fur x, ] genau einmal, d.h. die Funktion sin :, ], ], bijekiv. Die Umkehrfunktion arcsin y ist damit erklart als arcsin y = x y = sin x, y, ], x, ]. Deshalb bezeichnet man die Werte x, ] als Hauptwerte und bezeichnet die mit Arcsin x :, ], ]. Fur Werte auerhalb von, ] benutzt man dann, dass die Sinusfunktion auch fur sin : + k, ] + k, ], bijekiv ist und deniert (mit kleinem a\:) " arcsin :, ] + k, ] + k, arcsin y = x y = sin x. 4.. Arcuscosinus. Analoges gilt fur die Cosinus-funktion und den Arcuscosinus; arccos :, ] k, (k + )], arccos y = x y = cos x. Die Hauptwerte sind hier x 0, ] : Arccos x :, ] 0, ]. 5. Arcustangens und Arcuskotangens Desgleichen besitzen die Tangens- und die Kotangensfunktion uber den oenen Intervallen ( + k, + k) bzw. (k, (k + )) fur k Z jeweils eine Umkehrfunktion. Wir betrachten nur die Hauptwerte (k = 0). Wir haben: Arctan : R, ], Arctan y = x y = tan x. und analog Arccot : R 0, ], Arccot y = x y = cot x.