Musterlösung zu Blatt 12 der Vorlesung Analysis I WS08/09

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1 Musterlösung zu Blatt 1 der Vorlesung Analysis I WS08/09 Schriftliche Aufgaben Aufgabe 1. Beweisskizze a): Wir benutzen die Stetigkeit von sin und cos und sin π/) = 1, sinπ/) = 1, cos π/) = cosπ/) = 0, sowie cosx) > 0 für alle x π/, π/). Es folgt lim x π/,x> π/ sinx) = 1, lim x π/,x> π/ cosx) = 0. Jetzt benutzen wir Aufgabe 1 von Blatt 10, davon Teile ) und 3), angewandt auf die Funktionen sin und x 1 cosx), um die erste zu beweisenden Gleichung zu erledigen. Die zweite Gleichung folgt analog. Wichtige Schritte: Aufgabe 1 von Blatt 10 benutzen. Beweisskizze b): Die Funktion sin ist auf [0, π/) streng monoton wachsend und nicht-negativ was wir aus der geometrischen Denition des Sinus wissen). Die Funktion cos ist auf [0, π/) aus dem gleichen Grund streng monoton fallend und positiv. Also ist x 1 cosx) in diesem Bereich streng monoton wachsend und positiv. Folglich ist das Produkt x sinx) cosx) der beiden Funktion in fraglichem Bereich nicht-negativ und streng monoton wachsend. Da die Funktion tan in diesem Bereich streng monoton wachsend ist und im Bereich π/, π/) ungerade, ist sie insgesamt streng monoton wachsend. Sie ist stetig als Quotient zweier stetiger Funktionen. Die Surjektivität und damit Bijektivität) kann man nun aus a) und dem Zwischenwertsatz folgern. Wichtige Schritte: Genau hinschauen + ZWS. Beweisskizze c): Gesucht ist also ein x π/, π/) mit tanx) = 1 bzw. tanx) = 1). Im ersten Fall suchen wir also ein x mit sinx) = cosx). Aus sin + cos = 1 folgt schon sinx) = cosx) = ± 1/. Aus geometrischen Überlegungen oder den Additionstheoremen erhalten wir sofort x = π/ was einem Winkel von 5 Grad entspricht). Es folgt also arctan1) = π/. Analog oder aus Symmetrieüberlegungen, arctan ist eine ungerade Funktion) folgt arctan 1) = π/. Der Graph von arctan beginnt links fast parallel zur x-achse auf der Höhe π/, wird langsam steiler, ist in 1 gerade π/, geht dann mit Steigung 1 durch 0, geht dann bei 1 durch π/ und wird dann wieder acher, bis er auf Höhe π/ wieder fast parallel zur x-achse ist. Aufgabe. [Für diese Aufgabe folgt eine richtige Lösung, keine bloÿe Skizze. Man beachte, daÿ in dieser Lösung keine Äquivalenzpfeile oder Implikationspfeile in Rechnungen benutzt werden, sondern alle logischen Verknüpfungen im Text 1

2 ausgesprochen werden. Das Resultat liest sich, denke ich, recht üssig. Dieses Vorgehen empfehle ich zur Nachahmung, auch da es so schwerer fällt, logische Flüchtigkeitsfehler einzubauen.] Voraussetzungen: Seien die Funktionen cosh: C C und sinh: C C deniert durch coshz) := 1 e z + e z), sinhz) := 1 e z e z). Behauptung a): Die Funktionen cosh und sinh sind stetig, und es gelten für alle z C die folgenden Gleichungen: coshz) = cosiz), sinhz) = i sinhiz), cosh z) = coshz), sinh z) = sinhz). Beweis a): Die Funktionen z z und z e z sind laut Vorlesung auf ganz C stetig, also auch ihre Hintereinanderausführung z e z. Die Summe von stetigen Funktionen ist stetig, weshalb z e z + e z stetig ist. Das Produkt einer stetigen Funktion mit einem festen Skalar ist stetig, also auch cosh. Ebenso ist die Dierenz z e z e z zweier stetiger Funktionen stetig, also auch sinh. Sei z C. Wir setzen nun iz in die Denition 1.1 des Kosinus auf C ein und erhalten cosiz) = 1 e iiz) + e iiz)) = 1 e z + e +z) = coshz). Ebenso setzen wir iz in die Denition 1.1 des Sinus auf C ein und erhalten e z e +z) = sinhz). i siniz) = i e iiz) e iiz)) = 1 i Für die letzten beiden Gleichungen, die wir zeigen wollen, benutzen wir direkt die obigen Denitionen von cosh und sinh. Es gilt und cosh z) = 1 sinh z) = 1 Behauptung b): Für alle z, w C gilt e z + e z)) = 1 e z + e z) = coshz) e z e z)) = 1 e z e z) = sinhz). coshz + w) = coshz) coshw) + sinhz) sinhw), sinhz + w) = sinhz) coshw) + coshz) sinhw), cosh z) + sinh z) = 1. Beweis b): [Anmerkung: Die ersten beiden Formeln kann man auf zwei Wegen beweisen, nämlich durch Einsetzen in die Denition und Ausrechnen, sowie alternativ, indem man obige Formeln für den Zusammenhang von cosh und cos etc. benutzt, um die Additionstheoreme auf Satz 1.1 Additionstheoreme für Sinus und Kosinus) zurückzuführen. Wir führen hier beiden Wege einmal vor. Wir benutzen im übrigen immer wieder das Additionstheorem für die Exponentialfunktion, Satz 1.1 ).]

3 Seien z und w in C. Dann gilt coshz + w) = 1 e z+w + e z+w)) = 1 e z e w + e z e w). Andererseits gilt coshz) coshw) + sinhz) sinhw) = 1 e z + e z) 1 e w + e w) + 1 e z e z) 1 e w e w) = 1 e z e w + e z e w + e z e w + e z e w) + 1 e z e w e z e w e z e w + e z e w) = 1 e z e w + e z e w). Hier haben wir im letzten Schritt einige Terme gekürzt bzw. zusammengefaÿt. Insgesamt haben wir nun die gewünschte Gleichung gezeigt. Das zweite Additionstheorem zeigen wir nun, indem wir es auf Satz 1.1 zurückführen: Es gilt sinhz) coshw) + coshz) sinhw) = i siniz) cosiw) + cosiz) i siniw)) = isiniz) cosiw) + cosiz) siniw)) 1.1 = i siniz + iw) = i siniz + w)) = sinhz + w). Hierbei haben wir die Formel aus Satz 1.1 für iz und iw anstelle von z und w benutzt. Nun zur letzten verbleibenden Formel, diese zeigen wir wieder direkt; es gilt und analog Also ergibt sich coshz) + sinhz) = 1 ez + e z ) + 1 ez e z ) = e z coshz) sinhz) = e z. cosh z) sinh z) = coshz)+sinhz))coshz) sinhz)) = e z e z = e z z = e 0 = 1. Behauptung c): Für alle z C gelten coshz) = z n n)! und sinhz) = z n+1 n + 1)! Beweis c): [Anmerkung: Auch hier gibt es wieder zwei Beweisvarianten: Eine direkte und eine unter Benutzung der analogen Formeln für Sinus und Kosinus. Wir machen beides einmal vor.] Sei z C. Es gilt coshz) = cosiz) 1.13 = 1) n iz)n = n)! 1) n i n zn n)! = z n n)!, da für alle n N gilt: i n = i ) n = 1) n, und deshalb 1) n i n = 1) n = 1. 3

4 Nun zur zweiten Formel: Es gilt sinhz) = 1 e z e z) = 1 z n 1 z) n = 1 z n z) n ; hier haben wir benutzt, daÿ beide Reihen absolut) konvergieren, wir also getrost die Summation und die Dierenz vertauschen dürfen. Ist nun n N gerade, so gilt z n = z) n, also z n z) n = 0. Ist n N ungerade, so gilt z n z) n = z n. Insgesamt ist also der Term in der Summe 0 für gerade n und gleich zn für ungerade n. Nach Umindizierung wir ersetzen jedes gerade n durch zweimal die Hälfte und werfen die ungeraden n einfach weg) erhalten wir die gesuchte Formel. Wichtige Schritte: Viele kleine... Aufgabe 3 Beweisskizze a): [Wer Aufgabe von Blatt 11 gelöst hat, ist hier klar im Vorteil! Wir machen hier alles aber noch einmal ohne Rückverweis auf diese Aufgabe!] Monotonie: x e x ist streng monoton wachsend auf R Satz 1. )). Also ist x e x streng monoton fallend, also x e x streng monoton wachsend. Also ist x e x e x streng monoton wachsend. Somit ist auch sinh auf R streng monoton wachsend. Bijektivität: Es gilt lim x e x = und lim x e x = 0 siehe Satz 1.9 bzw. Satz 1. und den Beweis dazu). Folglich gilt lim x e x e x = + und lim x e x e x =. Es folgt lim x sinhx) = + und lim x sinhx) =. Aus der Stetigkeit von sinh und dem Zwischenwertsatz folgt nun die Surjektivität. Injektivität folgt schon aus der strengen Monotonie. Die Formel für den arcus sinus hyperbolicus erhält man nun durch Einsetzen. Wichtige Schritte: Eigenschaften der Expontenialfunktion und der Zwischenwertsatz. Es gibt auch andere Lösungswege, etwa unter Zuhilfenahme von Aufgabe, Blatt 11. Beweisskizze b): coshr) = cosh[0, )) folgt aus coshx) = cosh x) für alle x R. Die Bijektivität kann auf verschiedenste Weise zeigen. Eine, brutale, Möglichkeit ist, coshx) in die angebotene Formel für die Umkehrfunktion einzusetzen und andersherum) und auf diese Weise nachzurechnen, daÿ Arccosh, wie angegeben, eine Umkehrfunktion von cosh auf fraglichem Intervall ist. Dann muÿ cosh dort bijektiv sein. Hätte man die Dierentialrechnung zu Verfügung, wäre man ganz schnell fertig. Wir benutzen folgenden Argument: Erstens überzeugt man sich anhand elementarer Umformungen), daÿ y + 1/y für alle y > 0 gilt; hierbei gilt Gleichheit genau dann, wenn y = 1 gilt. Es folgt coshx) 1 für alle x R mit Gleichheit genau für x = 0. Nun benutzen wir das Additionstheorem für

5 cosh: Seien x und x aus [0, ) mit x > x. Setze w := x x > 0. Dann gilt coshx ) = coshx + w) = coshx) coshw) + sinhx) sinhw). Aus a) wissen wir, daÿ sinhx) sinh0) = 0, da x 0 und sinh monoton wachsend ist. Analog gilt sinhw) > 0. Schlieÿlich gilt coshw) > 1. Also folgt coshx ) = coshx) coshw) + sinhx) sinhw) coshx) coshw) > coshx). Nun gilt cosh0) = 1 und oenbar lim x coshx) =, also ist cosh bijektiv auf den angegebenen Intervallen. Das die angegeben Formel für Arccosh stimmt, überprüft man wiederum durch Einsetzen. Skizze c): Der Graph von cosh ist eine Art Kreuzung einer nach oben geöneten Parabel mit der Exponentialfunktion; in 0 ist die Funktion 1 und verläuft dort waagerecht. Nach links und rechts steigt sie dann aber bald viel schneller an, als jedes Polynom. Der Graph von sinh ist andererseits eine Art Kreuzung von x x 3 und der Exponentialfunktion. Die Funktion kommt von herauf, ist in 0 gleich 0, hat dort aber Steigung 1, und steigt dann rasant an. Sie verläuft aber immer unterhalb von cosh. Die anderen beiden Graphen erhält man, indem man an der Geraden durch den Ursprung mit Steigung 1 spiegelt. Aufgabe Beweisskizze: Die Wurzelfunktion f ist auÿerhalb der Null dierenzierbar, aber nicht in 0. Die Ableitung ist für x > 0 gegeben durch f x) = 1. x Für alle x, x 0, ) mit x x gilt = x x ) x + x ) = 1. x + x Aus der Stetigkeit der Inversion und der Wurzelfunktion folgt dann für alle x 0, ): lim x x 1 = lim x x x + x = 1 x, was zu beweisen war. Für die Null stellen wir folgenden Überlegung an: Es gilt für alle x > 0 gilt 0 x 0 x = 1 x ; dies konvergiert nicht für x 0. 5