Mathematischer Vorbereitungskurs für das MINT-Studium

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1 Mathematischer Vorbereitungskurs für das MINT-Studium Dr. B. Hallouet SS 08 Vorlesung MINT Mathekurs SS 08 / 49

2 Vorlesung 5 (Lecture 5) Reelle Funktionen einer reellen Veränderlichen A real-valued function of a real variable Vorlesung MINT Mathekurs SS 08 / 49

3 Reelle Funktion (A real-valued function ) Reelle Funktion (A real-valued function) Eine reelle Funktion f ordnet jedem Element x eine Definitionsmenge D R (domain) genau ein Element f (x) einer Zielmenge Z R (co-domain) zu. f : D Z, x f (x) D heißt Definitionsbereich der Funktion. Wir definieren f (D) := {f (x) x D} als Wertebereich der Funktion (range of a function). Bsp: f : R R, x x, f (R) = R + f : R R, x 3 x, f (R) = R f : R + R, x ln(x), f (R + ) = R Vorlesung MINT Mathekurs SS 08 3 / 49

4 Beispiel (Example) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich der Funktionen: f (x) = x 9, D max =], 3] [3, ]. f (x) = 3x 4x + 5, D max = R \ { 5} 4 ( ) x f (x) = ln, D max =], [ ], [ x + x (x ) (x + ) x x Vorlesung MINT Mathekurs SS 08 4 / 49

5 Operationen mit Funktionen Operationen Seien f, g : D R Funktionen. Wir können die folgenden Funktionen definieren: die Summe von f und g: f + g : D R, x (f (x) + g(x)) die Multiplikation mit einer Zahl λ R: λ f : D R, x λ f (x) 3 das Produkt von f und g: f g : D R, x (f (x) g(x)) f f (x) 4 der Quotient von f und g: : D R, x g g(x), wobei x D, g(x) 0. Vorlesung MINT Mathekurs SS 08 5 / 49

6 Wiederholung Komposition zweier Funktionen Seien f : A B und g : B C zwei Funktionen, die Komposition (Verkettung) g f ist die Funktion definiert durch: g f : A C, x (g f )(x) := g(f (x)) Sprechweise: g verknüpft mit f, g nach f ( g of f ) Umkehrfunktion Sei f : D W eine bijektive Funktion. Eine Funktion f : W D mit f f = id D und f f = id W heiß t Umkehrfunktion zu f. Um die Umkehrfunktion einer bijektiven Funktion zu finden, lösen wir y = f (x) nach x auf: x = f (y). Dann vertauschen wir x und y. Vorlesung MINT Mathekurs SS 08 6 / 49

7 Eigenschaften einer Funktion (Properties of functions) gerade / ungerade (even/odd) Sei f : D R eine reelle Funktion. Die Funktion ist gerade, wenn für alle x D gilt: f ( x) = f (x) Die Funktion ist ungerade, wenn für alle x D gilt: f ( x) = f (x) Periodische Funktion (periodic function) Sei f : D R eine reelle Funktion. f heißt periodisch mit der Periode T, wenn für alle x D gilt: f (x + T) = f (x) Vorlesung MINT Mathekurs SS 08 7 / 49

8 Beschränkteit einer Funktion (Bounded function) Beschränkheit einer Funktion Seien f : D R, D R eine reelle Funktion und m, M endliche Zahlen. f ist in D nach unten beschränkt, wenn es gilt: m R x D f (x) m f ist in D nach oben beschränkt, wenn es gilt: f ist in D beschränkt, wenn es gilt: M R x D f (x) M M R + x D ( f (x) M M f (x) M) m/m bezeichnet man dabei als untere/obere Schranke. Das Supremum ist die kleinste obere Schranke, das Infimum ist die größte untere Schranke. Vorlesung MINT Mathekurs SS 08 8 / 49

9 Monotone Funktionen (Monotonic function) Monotone Funktionen Sei f : D R, D R eine reelle Funktion: f ist monoton wachsend ( monotonically increasing), wenn: x, x D x < x f (x ) f (x ) f ist monoton fallend ( monotonically decreasing), wenn: x, x D x < x f (x ) f (x ) f ist streng monoton wachsend ( strictly monotonically increasing), wenn: x, x D x < x f (x ) < f (x ) f ist streng monoton fallend ( strictly monotonically decreasing), wenn: x, x D x < x f (x ) > f (x ) Vorlesung MINT Mathekurs SS 08 9 / 49

10 Beispiel (Example) Untersuchen Sie die Funktionen auf Monotonie (siehe Tafel für die Lösung): f (x) = x + f (x) = 3x + f (x) = e ax a R Vorlesung MINT Mathekurs SS 08 0 / 49

11 Beispiel (Example) Eigenschaften monotoner Funktionen Seien f, g zwei Funktionen, D R, D R Ist f monoton wachsend und g (streng) monoton wachsend, so ist die Summe f + g (streng) monoton wachsend. Ist f monoton fallend und g (streng) monoton fallend, so ist die Summe f + g (streng) monoton fallend. 3 Ist f (streng) monoton wachsend (fallend) und λ > 0, dann ist λf (streng) monoton wachsend (fallend). 4 Ist f (streng) monoton wachsend (fallend) und λ < 0, dann ist λf (streng) monoton fallend (wachsend). Bsp.: f (x) = e x x, e x ist streng monoton wachsend, e x ist streng monoton fallend, x ist streng monoton fallend. Daraus folgt dass f (x) streng monoton fallend ist. Vorlesung MINT Mathekurs SS 08 / 49

12 Beispiel (Example) Eigenschaften monotoner Funktionen Seien f, g zwei reelle Funktionen, f : D R, g : E R, f (D) E, D, E R Sind g und f beide (streng) monoton wachsend (fallend), so ist auch g f (streng) monoton wachsend. Ist g streng monoton fallend (wachsend), f aber (streng) monoton wachsend (fallend), so ist g f (streng) monoton fallend. Bsp.: f (x) = e x+, D = R, f (x) = (g h)(x), wobei h(x) = x + und g(x) = e x. h ist streng monoton fallend, g ist streng monoton wachsend. Daraus folgt, dass f = g h streng monoton fallend ist. Vorlesung MINT Mathekurs SS 08 / 49

13 Graph einer Funktion (Graph of a function) Graph einer Funktion (Graph of a function) Sei f : D Z eine reelle Funktion. Die Menge { (x, f (x)) x D, f (x) Z} heißt Graph von f. Der Graph kann in einem kartesischen Koordinatensystem eingezeichnet werden. y f (x) = x + Vorlesung MINT Mathekurs SS 08 3 / 49 x

14 Graph einer Funktion (Graph of a function) y A = (, ) f (x) = x + x Die horizontale x-achse (x-axis) heißt Abszissenachse. Die vertikale y-achse (y-axis) heißt Ordinatenachse. Der Punkt O = (0, 0) ist der Ursprung (origin) des Koordinatensystems. A = (, ): ist die x-koordinate von A und die y-koordinate von A. Vorlesung MINT Mathekurs SS 08 4 / 49

15 Grundlegende Funktionen (elementary functions) die konstante Funktion: f : R R, x c, mit c R die lineare Funktion: f : R R, x a x + b, mit a, b R y 4 3 f (x) = x + x a = ist die Steigung (slope) b = ist der y-achsenabschnitt (y-interception) Für a > 0 ist die Funktion streng monoton wachsend. Für a < 0 ist die Funktion streng monoton fallend. Für a = 0 ist die Funktion konstant. Vorlesung MINT Mathekurs SS 08 5 / 49

16 Grundlegende Funktionen (elementary functions) 3 die quadratische Funktion: f : R R, x ax + bx + c, mit a, b, c R 4 y f (x) = x x + 3 S = (, ) 3 g(x) = x + x + 3 x Der Graph ist eine Parabel Für a > 0 ist die Parabel nach oben geöffnet. Für a < 0 ist die Parabel nach unten geöffnet. Der Punkt S = (x S, y S ) = (, ) ist der Scheitelpunkt der Parabel g. Scheitelpunktform: y y S = a(x x S ) Also für die Parabel g: y = (x ) Vorlesung MINT Mathekurs SS 08 6 / 49

17 Grundlegende Funktionen (elementary functions) 4 Monom: f : R R, x x n, mit n N y 4 3 f (x) = x g(x) = x 4 x f (R) = R + f ist eine gerade Funktion. Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-achse. 3 Vorlesung MINT Mathekurs SS 08 7 / 49

18 Grundlegende Funktionen (elementary functions) 4 Monom: f : R R, x x n+, mit n N y 3 f (x) = x 3 g(x) = x 5 x f (R) = R f ist eine ungerade Funktion. Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. 3 Vorlesung MINT Mathekurs SS 08 8 / 49

19 Grundlegende Funktionen (elementary functions) 4 Polynomfunktionen: f : R R, x n a i x i mit i N, a i R i=0 y 3 f (x) = x 3 3x g(x) = x 4 x 3 3 x Falls a n 0 ist n der Grad der Polynomfunktion. Asymptotisches Verhalten wird durch a n und n gegeben. Graph beliebig kompliziert (Kurvendiskussion) Vorlesung MINT Mathekurs SS 08 9 / 49

20 Grundlegende Funktionen (elementary functions) 5 Rationale Funktionen: f : D R, x P(x) wobei Q(x) Polynomfunktionen sind. Es gilt: Q(x) 0 x D y P(x), Q(x) 3 g(x) = x f (x) = x 3 x Bsp. : f (x) = x, g(x) = x D = R \ {0} Q(0) = 0, x = 0 ist ein Pol der Funktionen f und g. f ( x) = = f (x), f ist x punktsymmetrisch zum Ursprung. g( x) = = g(x), g ist ( x) achsensymmetrisch zur y-achse. Vorlesung MINT Mathekurs SS 08 0 / 49

21 Grundlegende Funktionen (elementary functions) 6 Wurzelfunktionen: f : D R, x n x, wobei n N, n y 3 f (x) = x x n x = x n für x > 0 D = R + für n gerade. D = R für n ungerade. g(x) = 3 x 3 Vorlesung MINT Mathekurs SS 08 / 49

22 Grundlegende Funktionen (elementary functions) 7 Exponentielle Funktionen: f : R R, x a x, wobei a R +, a i(x) = e x y h(x) = 3 x g(x) = x f (x) = e x x f (R) = R + a wird Basis genannt. e = ist die eulersche Zahl f (x) = e x = exp(x) ist die (natürliche) Exponentialfunktion. Eigenschaften: a 0 =, insbesondere e 0 = a u+v = a u a v, insb. e u+v = e u e v a u v = au a, insb. v eu v = eu e v (a u ) v = a u v, insb. (e u ) v = e u v Vorlesung MINT Mathekurs SS 08 / 49

23 Grundlegende Funktionen (elementary functions) 8 Logarithmusfunktion: f : R + R, x log a x, wobei a R +, a Sie ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion a x. y 3 g(x) = log (x) f (x) = ln(x) h(x) = log 0 (x) 3 x f (R + ) = R f (x) = log a (x) ist die Logarithmusfunktion mit Basis a. f (x) = log e (x) = ln(x) ist die natürliche Logarithmusfunktion mit Basis e (Euler-Zahl). Eigenschaften: (u, v R + ) ln() = 0; log e (e) = ln(e) = ln(u v) = ln(u) + ln(v) ( u ) ln = ln(u) ln(v) v ln(u n ) = n ln(u), n R Vorlesung MINT Mathekurs SS 08 3 / 49

24 Logarithmus und Exponentialfunktion (Logarithmic and exponential function) g(x) = exp(x) 3 a x = n log a n = x (a R + \ {}, n R) 4y f (x) = ln(x) h(x) = x x Spiegelung an der Geraden y = x x R, ln(e x ) = x x R +, e ln(x) = x Basisumrechnung: (a, b R + \ {}) a x = e ln(ax) = e x ln(a) log b (x) = log a (x) log a (b) Insbesondere log a (x) = ln (x) ln (a) Vorlesung MINT Mathekurs SS 08 4 / 49

25 Grundlegende Funktionen (elementary functions) 9 Die Kosinus- bzw. die Sinus-Funktion: f : R R, x cos(x), g : R R, x sin(x) Die Tangens-Funktion: h : D R, x tan(x) = sin(x) cos(x) π 3π π π y g(x) = sin(x) π π f (x) = cos(x) 3π x π f (R) = g(r) = [ : ] Die Kosinus- und die Sinus-Funktion sind periodische Funktionen mit Periode π. sin(x + π) = sin(x), cos(x + π) = cos(x). Die Kosinusfunktion ist gerade. Die Sinusfunktion ist ungerade. sin(x + π/) = cos(x). Vorlesung MINT Mathekurs SS 08 5 / 49

26 Trigonometrische Funktionen (trigonometric functions) y Einheitskreis (Radius=) α [0, π] (Bogenmaß in rad) - α cos α P sin α x Der Punkt P liegt auf dem Kreis und hat die Koordinaten (cos α, sin α). π π π π α cos(α) 0 - sin(α) 0 3 Vorlesung MINT Mathekurs SS 08 6 / 49

27 cos(x ± y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) ; cos (x) = ( + cos(x)) Vorlesung MINT Mathekurs SS 08 7 / 49 Trigonometrische Funktionen (trigonometric functions) y - sin(π + α) cos(π + α) α cos α P sin α x Einheitskreis (Radius=) 360 = π cos (α) + sin (α) = cos(π + α) = cos(α) sin(π + α) = sin(α) cos( α) = cos(α) sin(π α) = sin(α) Additionstheoreme: - sin(x ± y) = sin(x) cos(y) ± cos(x) sin(y) ; sin (x) = ( cos(x))

28 Grundlegende Funktionen (elementary functions) 0 Betragsfunktion: f : R R, x x y 3 f (R) = R + f (x) = x x 0, x = x x < 0, x = x 3 x 3 Vorlesung MINT Mathekurs SS 08 8 / 49

29 Transformation von Funktionen (Transformation of functions) Sei f : R R eine reelle Funktion, sei a R 3 y g (x) = x + f (x) = x 3 g (x) = x x g : R R, mit g(x) := f (x) + a ist eine Verschiebung (shift) in y-richtung: um a aufwärts (nach oben/ up) (a > 0) um a abwärts (nach unten/ down) (a < 0) Vorlesung MINT Mathekurs SS 08 9 / 49

30 Transformation von Funktionen (Transformation of functions) Sei f : R R eine reelle Funktion, sei a R y g (x) = x + f (x) = x g (x) = x 3 g : R R, mit g(x) := f (x + a) ist eine Verschiebung (shift) in x-richtung x um a nach links (to the left) (a > 0) um a nach rechts (to the right) (a < 0) Vorlesung MINT Mathekurs SS / 49

31 Transformation von Funktionen (Transformation of functions) Sei f : R R eine reelle Funktion, sei a R y g (x) = x f (x) = x g (x) = x g : R R, mit g(x) := a f (x) ist eine Skalierung x mit dem Faktor a in vertikaler Richtung gedehnt/gestreckt (a > ). (stretching) mit dem Faktor a in vertikaler Richtung gestaucht (a < ). (compressing) Vorlesung MINT Mathekurs SS 08 3 / 49

32 Transformation von Funktionen (Transformation of functions) Sei f : R R eine reelle Funktion, sei a R y g (x) = (x) f (x) = x g (x) = (0.5x) g : R R, mit g(x) := f (a x) ist eine Skalierung x mit dem Faktor a in horizontaler Richtung gestaucht (a > ). mit dem Faktor a in horizontaler Richtung gedehnt (a < ). Vorlesung MINT Mathekurs SS 08 3 / 49

33 Transformation von Funktionen Sei f : R R eine reelle Funktion, y 4 3 f (x) = e x g (x) = e x g : R R, mit g(x) := f (x) ist eine Spiegelung an der x-achse. x 3 g (x) = e x g : R R, mit g(x) := f ( x) ist eine Spiegelung an der y-achse. Vorlesung MINT Mathekurs SS / 49

34 Grenzwert einer Funktion (Limit of a function) Grenzwert einer Funktion an einer Stelle x 0 Sei f : D R eine reelle Funktion (D R). Eine reelle Zahl l R heißt Grenzwert (Limit) der Funktion f an der Stelle x 0, wenn es für jede reelle Zahl ε > 0 eine reelle Zahl δ > 0 existiert, sodass gilt: wenn x x 0 < δ, dann f (x) l < ε für alle x D: ε > 0 δ > 0 : x x 0 < δ f (x) l < ε Wir schreiben dann: lim f (x) := l x x 0 Gesprochen: Der Grenzwert (auch Limes) von f (x) für x gegen x 0 ist gleich l. Intuitiv: je näher x an x 0 liegt, desto näher liegt f (x) an l. Vorlesung MINT Mathekurs SS / 49

35 Beispiel (Example) Beweisen Sie mit Hilfe der Definition des Grenzwertes, dass: lim x (x + ) = 3. Hier: x 0 =, f (x) = x +, l = 3. Wir müssen beweisen, dass für alle ε > 0, ein δ > 0 existiert, so dass wenn x < δ, dann gilt f (x) 3 < ε: f (x) 3 = x + 3 = x = x Wir wählen δ = ε, es gilt: f (x) 3 = x < δ = ε = ε Der Grenzwert von f (x) für x gegen ist gleich 3. Vorlesung MINT Mathekurs SS / 49

36 Rechtsseitiger und linksseitiger Grenzwert (One sided-limit) Rechtseitiger und linksseitiger Grenzwert Sei D ein Intervall ]a, x 0 [ ]x 0, b[. Sei f : D R eine reelle Funktion: f besitzt den rechtsseitigen Grenzwert l R an der Stelle x 0, wenn: ε > 0 δ > 0 x D : x 0 < x < x 0 + δ f (x) l < ε Wir schreiben lim f (x) = l x x + 0 f besitzt den linksseitigen Grenzwert l R an der Stelle x 0, wenn: ε > 0 δ > 0 x D : x 0 δ < x < x 0 f (x) l < ε Wir schreiben lim x x 0 f (x) = l { Bsp.: Sei f : R R, f (x) = x + 3 x < 3 x x > 3. lim x 3 f (x) = lim + 3) = 6, lim f (x) = lim x 3 (x x = 9 x 3 + x 3 + Vorlesung MINT Mathekurs SS / 49

37 Grenzwert einer Funktion (Limit of a function) Eindeutigkeit des Grenzwerts An einer Stelle x 0 existiert der Grenzwert l von f genau dann, wenn: lim f (x) = lim f (x) = l = lim f (x) x x 0 x x + x x0 0 Der Grenzwert ist eindeutig bestimmt. Bemerkungen zur Definition des Grenzwerts: Sei f : D R eine reelle Funktion, sei x 0 R, mit lim x x0 f (x). Die Funktion f muss nicht in x 0 definiert sein, aber sie muss in der (δ)-umgebung von x 0 definiert sein. Bsp.: Die Funktion e x Dagegen ist lim ln(x) sinnlos. x ist an der Stelle x 0 = 0 nicht definiert, aber lim e x = 0. x 0 Vorlesung MINT Mathekurs SS / 49

38 Grenzwert: Verhalten im Unendlichen (Limits at infinity) Verhalten im Unendlichen Sei D ein Intervall ]a, + [ bzw. ], b[. Sei f : D R eine reelle Funktion: f besitzt in den Grenzwert l R, wenn: ε > 0 B > 0 x D : x > B f (x) l < ε Wir schreiben f (x) = l. Wir sagen, dass f gegen l für x gegen + konvergiert. lim x + f besitzt in den Grenzwert l R, wenn: ε > 0 B < 0 x D : x < B f (x) l < ε Wir schreiben lim f (x) = l x Bsp.: Sei f : R \ {0} R, x x, lim x ± y = 0 ist die horizontale Asymptote von f. f (x) = 0. Vorlesung MINT Mathekurs SS / 49

39 Uneigentlicher Grenzwert (Infinite limits) Uneigentlich Grenzwert Sei D ein Intervall, D =]a, x 0 [ ]x 0, b[. Sei f : D R eine reelle Funktion. f besitzt den uneigentlichen Grenzwert (bzw. ) an der Stelle x 0, wenn A > 0 δ > 0 x D : x x 0 < δ f (x) > A Wir schreiben lim x x0 f (x) =. Wir sagen, dass f für x gegen x 0 bestimmt divergent ist. Analog: A > 0 δ > 0 x D : x x 0 < δ f (x) < A Wir schreiben lim x x0 f (x) = Bsp.: Sei f : R \ {0} R, x x, lim f (x) = +. x 0 x = 0 ist die vertikale Asymptote von f. Vorlesung MINT Mathekurs SS / 49

40 Uneigentlicher Grenzwert (Infinite limits) Uneigentlich Grenzwert Sei D ein Intervall, D =]a, + [. Sei f : D R eine reelle Funktion. f besitzt den uneigentlichen Grenzwert in, wenn A > 0 B > 0 x D : x > B f (x) > A Wir schreiben lim x + divergent ist. Analog definieren wir Bsp.: Sei f : R R, x e x, f (x) = +. Wir sagen, dass f für x gegen bestimmt lim f (x) = ± x lim f (x) = +. x + Vorlesung MINT Mathekurs SS / 49

41 Grenzwertsätze (Properties of limits) Grenzwertsätze Seien f, g : D R reelle Funktionen mit lim f (x) := a und lim g(x) := b x x0 x x0 (a, b R), x 0 ist endlich oder unendlich. Sei λ R, lim (λ f (x)) = λ a x x0 lim (f (x) + g(x)) = a + b x x 0 lim (f (x) g(x)) = a b x x 0 lim (f (x) g(x)) = a b x x 0 ( ) f (x) Ist b 0 lim = a x x0 g(x) b Sei lim f (x) =, dann lim x x0 x x0 f (x) = 0 Vorlesung MINT Mathekurs SS 08 4 / 49

42 Grenzwerte (limits) Unbestimmte Ausdrücke ( indeterminate form) (+ ) + ( ) 0, 0 0 Grenzwert üblicher Funktionen lim x + xn = +, lim x xn = { n gerade n ungerade, n N Seien P(x) und Q(x) Polynome, wobei P(x) = n i= a i x i und Q(x) = m i= b i x i (a i, b i R). n > m P(x) lim x Q(x) = a n n = m b m 0 n < m Vorlesung MINT Mathekurs SS 08 4 / 49

43 Grenzwerte (limits) Grenzwert üblicher Funktionen lim x + ex = +, lim x ex = 0 + lim x + lim x + ln(x) = +, lim x 0 e x = + für n N xn + ln(x) = lim xn ln(x) = 0 + für n N x 0 + Vorlesung MINT Mathekurs SS / 49

44 Beispiel (example) Bestimmen Sie folgende Grenzwerte: (siehe Tafel für die Lösung) lim x + lim x lim x x x 3x + x + = x 4 x 3x + = x 3 x = Untersuchen die Asymptote von folgender Funktion: f (x) = (x 4). Vorlesung MINT Mathekurs SS / 49

45 Stetigkeit einer Funktion (continuity of a function) Stetigkeit einer Funktion Sei I ein Intervall von R und f : I R eine reelle Funktion: f ist stetig (continuous) in x 0 I, wenn: ε > 0 δ > 0 : x x 0 < δ f (x) f (x 0 ) < ε f ist stetig auf dem Intervall I, wenn f in allen x I stetig ist. f ist an der Stelle x 0 stetig, wenn gilt: lim x x 0 f (x) = lim x x + 0 f (x) = f (x 0 ) Bsp.: Polynom sind stetig auf R, rationale Funktionen sind stetig auf ihren Definitionsbereich, exp-, ln-funktion sind stetig auf ihren Definitionsbereich, abschnittsweise definierte Funktion sind meistens nicht stetig. Vorlesung MINT Mathekurs SS / 49

46 Stetigkeit einer Funktion (continuity of a function) Eigenschaften Sei I ein Intervall von R und f, g : I R eine reelle Funktion, seien f und g stetig an der Stelle x 0, dann gilt: f + g ist stetig in x 0 f g ist stetig in x 0 3 für g(x 0 ) 0 ist g stetig in x 0 Außerdem gilt: Ist g stetig in x 0 und f stetig in g(x 0 ), so ist f g stetig in x 0. Vorlesung MINT Mathekurs SS / 49

47 Hebbare Definitionslücke (removable singularity) Hebbare Definitionslücke Sei I ein Intervall von R, x 0 I und f : I \ {x 0 } R eine stetige Funktion, f ist stetig fortsetzbar in x 0, wenn es eine Zahl l gibt, so dass: lim x x0 = l. f : I { R ist die stetige Fortsetzung von f, es gilt: f f (x) für x I \ {x 0 } (x) = l x = x 0 Bsp.: Untersuchen Sie, ob die Funktion f : R \ {} R, x x x bei x = stetig fortgesetzt werden kann Vorlesung MINT Mathekurs SS / 49

48 Zwischenwertsatz(Intermediate value theorem) Zwischenwertsatz Sei f eine stetige Funktion auf einem Intervall [a, b], dann es existiert zu jedem y 0 zwischen f (a) und f (b) mindestens eine Stelle x 0 [a, b], so dass f (x 0 ) = y 0 Eine weitere Formulierung: Sei f : I R stetig und I ein Intervall, dann ist f (I) ein Intervall (eventuell einpunktig). Sonderfall: Nullstellensatz Sei f eine stetige Funktion auf einem Intervall [a, b], haben f (a) und f (b) verschiedene Vorzeichen, so gibt es mindestens eine Stelle x 0 [a, b] mit f (x 0 ) = 0. Vorlesung MINT Mathekurs SS / 49

49 Umkehrfunktion Satz Sei I ein Intervall, I R und f : I R sei streng monoton wachsend/fallend und stetig. Dann ist die Bildmenge J = f (I) ein Intervall. f : I J ist bijektiv und die Umkehrfunktion f : J I ist streng monoton wachsend/fallend und stetig. Bsp.: Bestimmen Sie, falls sie existiert, die Umkehrfunktion von f (x) = ln(x x + 3). Vorlesung MINT Mathekurs SS / 49