Münchner Volkshochschule. Themen

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1 Themen Logik und Mengenlehre Zahlensysteme und Arithmetik Gleichungen und Ungleichungen Lin. Gleichungssysteme und spez. Anwendungen Geometrie und Trigonometrie Vektoren in der Ebene und Punktemengen Funktionen einer Veränderlichen Zahlenfolgen und Konvergenz Differenzialrechnung Integralrechnung Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 188

2 Funktionen: Def. und Eigenschaften Def.: Funktion Eine Funktion ist eine Abbildung/Zuordnungsvorschrift zwischen Mengen: f: M N Bem.: 1. M: die Definitionsmenge / der Urbildbereich 2. N: Bildbereich / Bildmenge /Zielbereich 3. f: Durch die Zuordnungsvorschrift wird jedem m M genau ein n N zugeordnet. Bezeichnungen: Abbildungsvorschrift Funktionssymbol f: M N m n = f(m) Bildwert Argument Funktionsterm 4. Bei diskreten Mengen ist oft eine direkte Zuweisung die einzig mögliche. 5. Bei unendlichen Mengen ist die Zuordnungsvorschrift oft durch eine Rechenvorschrift gegeben. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 189

3 Funktionen: Def. und Eigenschaften Es sei im Folgenden f: M N eine Funktion. Def.: Wertebereich von f Die Menge aller Werte (Bilder) von f in N wird der Wertebereich von f genannt und ist definiert als f M f m N m M} =: W f N Def.: surjektiv Eine Funktion f: M N heißt surjektiv, falls f M = N. Def.: injektiv Eine Funktion f: M N heißt injektiv, falls m 1 m 2 f m 1 f(m 2 ). Def.: bijektiv Eine Funktion f: M N heißt bijektiv, falls f surjektiv und injektiv ist. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 190

4 Umkehrfunktion Es sei im Folgenden f: M N eine Funktion. Def.: Die Umkehrfunktion von f Sei f: M W f injektiv f 1 : W f M (M.a.W Jedem Element s W f wird das eindeutig bestimmte Element t M zugeordnet, für welches f t = s gilt.) M N f b a c e 4 f 1 d f Bem.: f 1 : f(m) M ist damit stets bijektiv. W f Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 191

5 Verkettung von Funktionen Seien f: M W f N und g: N K zwei Funktionen. Die Verkettung der Funktionen f und g ist damit wie folgt definiert: g f m = g f m m M g f: M K M N K * f g W f f g Bem.: Für f: M f(m) und f 1 : f M M folgt: f f 1 x = f 1 f x = id x = id x (Identität) Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 192

6 Funktionen einer reellen Veränderlichen Sei f: M W f N eine Funktion, mit N = R. Definitionsmenge: Für die Urbildmenge soll gelten: M = D f R sei der vorgegebene Definitionsbereich oder es werde der maximale Definitionsbereich D fmax angenommen: D fmax x R f x R } Def.: Monotonie (wachsend) Eine Funktion f: D f R R heißt (streng) monoton wachsend (m.w. (s.m.w.)), genau dann wenn x 1, x 2 D f, mit x 1 < x 2 f x 1 f x 2 f x 1 < f x 2 Def.: Monotonie (fallend) Eine Funktion f: D f R R heißt (streng) monoton fallend (m.f. (s.m.f.)), genau dann wenn x 1, x 2 D f, mit x 1 < x 2 f x 1 f x 2 f x 1 > f x 2 Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 193

7 Funktionen einer reellen Veränderlichen Satz: Sei f: D f W f R s.m.w. [analog für s.m.f.]. Dann existiert f 1 : W f D f und ist ebenso s.m.w. [s.m.f. analog] Def.: Beschränktheit Eine Funktion f: D f R R heißt beschränkt, genau dann wenn S R, s. d. f x S x D f Def.: Beschränktheit nach oben Eine Funktion f: D f R R heißt nach oben beschränkt, genau dann wenn S o R, s. d. f x S o x D f Def.: Beschränktheit nach unten Eine Funktion f: D f R R heißt nach unten beschränkt, genau dann wenn S u R, s. d. f x S u x D f Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 194

8 Funktionen einer reellen Veränderlichen Sei f: D f R R eine Funktion und D f R symmetrisch bezüglich 0, d.h. x D f x D f Dann definiert man: Def.: gerade Funktion Die Funktion f heißt gerade, genau dann wenn x D f f x = f(x) Def.: ungerade Funktion Die Funktion f heißt ungerade, genau dann wenn x D f f x = f(x) Def.: Der Graph einer Funktion Seien M, N beliebige (nichtleere) Mengen und f: M N. Der Graph von f G f Teilmenge von M N : G f m; n M N n = f m } ist eine Für f: D f R R folgt damit: G f x; y R 2 = R R x D f y = f x } Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 195

9 Polynomfunktionen 1. Lineare Funktionen: f x = a x a R : Eine Funktion ersten Grades D = R Eigenschaften: Die Funktionen sind ungerade a 0 Die Graphen sind Ursprungsgeraden a: ist die Steigung des Graphen Lineare Funktionen zu direktproportionalen Zusammenhängen Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 196

10 Polynomfunktionen 2. Affine Lineare Funktionen: f x = mx + t m, t R : Eine Funktion ersten Grades D = R Eigenschaften: Die Funktionen besitzen für t 0 keine Symmetrie Die Graphen sind parallelverschobene Ursprungsgeraden t: ist der y-achsenabschnitt des Graphen Die allgemeine Monotonie: m > 0 f s.m.w. und m < 0 f s.m.f. Achsenschnittpunkte: x = 0 f 0 = t 0; t y-achsenschnittpunkt y = 0 f x = 0 t m ; 0 x-achsenschnittpunkt Schnittwinkel mit der x-achse: tan α = m Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 197

11 Polynomfunktionen 3. Senkrechte Geraden: x = a a R : Eine Relation ersten Grades Eigenschaften: Die Graphen sind senkrechte Geraden Nur für a = 0 ergeben sich unendliche viele y-achsenschnittpunkte Def.: Die Gleichungen aller Geraden in der Ebene lassen sich in der allgemeinen Geradengleichung zusammenfassen: y = A x C = 0, B 0, A 0 B Ax + By + C = 0 y = A x C C 0, B 0 B (A, B, C R) x = C A A 0, B = 0 Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 198

12 Polynomfunktionen 4. Quadratische Funktionen: f x = ax 2 + bx + c a, b, c R, a 0 : Eine Funktion 2. Grades D = R Eigenschaften: Symmetrie: b = 0: gerade; b 0: keine Die Graphen sind Parabeln: a > 0: nach oben geöffnet a < 0: nach unten geöffnet a = 1: Normalparabel a: Der Leikoeffizient beschreibt die Öffnung der Parabel a > 1 G f ist schmaler als bei a = 1 (gestreckt) 0 < a < 1 G f ist breiter als bei a = 1 (gestaucht) Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 199

13 Polynomfunktionen 4. Quadratische Funktionen: Eigenschaften: c: das konstante Glied: Verschiebung der Parabel in y-richtung Scheitelpunkt: S b 2a ; b2 4a + c = S x S; y S a > 0 b2 + c : kleinster Funktionswert 4a a < 0 b2 + c : größter Funktionswert 4a Scheitelpunktform: f x = a x + b 2a Verschiebung in neg. x-richtung Verschiebung in y-richtung 2 + b2 4a + c Parabeln sind immer symmetrisch zur senkrechten Geraden, mit: x = x S f x S x = f(x S + x) Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 200

14 Polynomfunktionen 5. Def.: Polynomfunktion Eine Funktion p: R R heißt Polynomfunktion bzw. ganzrationale Funktion wenn sich der Term p(x) wie folgt schreiben lässt: m p x = a k x k = a m x m + a m 1 x m a 2 x 2 + a 1 x 1 + a 0 k=0 mit den Koeffizienten a k R, k = 1,, m ; a m 0: Leitkoeffizient Bem.: 1. Der Grad einer Polynomfunktion ist festgelegt durch den höchsten auftretenden Exponenten der Variablen: grad p x = m 2. Oft schreibt man für eine Polynomfunktion p vom Grad m auch p m (x). Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 201

15 Polynomfunktionen Ist b eine Nullstelle (NST) der Polynomfunktion p(x), p(b) = 0, so lässt sich der sogenannte Linearfaktor (x b) ohne Rest aus p(x) ausklammern. M.a.W.: q(x), mit grad q x = grad p x 1, so dass p x = x b q(x) Satz: vollständige Polynomzerlegung über R Sei p m (x) ein reelles Polynom vom Grad m 1. Dann gilt p m x = a m x b 1 r 1 x b k r k x 2 + c 1 x + d 1 s 1 x 2 + c t x + d t s t mit a m : Leitkoeffizient b 1,, b k : k verschiedene NST n von p(x); r 1,, r k : Vielfachheiten der NST n x 2 + c i x + d i, i = 1,, t: t verschiedene unzerlegbare quadratische Terme s 1,, s t : Vielfachheiten der unzerlegbaren quadratischen Terme Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 202

16 Polynomfunktionen 6. Def.: Gebrochenrationale Funktion i) Eine Funktion mit dem Term f(x) = gebrochenrationale Funktion. p x q x (p, q Polynome, q x 0) heißt ii) Ist zusätzlich noch grad p x < grad q x, so wird f als echt gebrochenrationale Funktion bezeichnet. 1) Der Definitionsbereich D f ist maximal, falls D f = R x x R q x = 0}. 2) b R ist eine NST von f, falls p b = 0 q b 0. 3) Jede gebrochenrationale Funktion f lässt sich eindeutig schreiben als f x = p x + f(x) ganzrationale Funktion echt gebrochenrationale Funktion Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 203

17 Potenz- und Wurzelfunktionen 7. Def.: Potenzfunktion f x x α (α R) heißt Potenzfunktion 8. Def.: Wurzelfunktion f x x α α R, mit α = 1 q q N q 2 heißt Wurzelfunktion Jede Potenzfunktion f x = x α ist mindestens definiert für x R + und höchstens für alle x R. α N Z 0 R + Z R Z D max R R R 0 + R + Für α > 0 ist f x x α [0; [ s.m.w., mit f 1 x = x 1 α. (analog für α < 0 s.m.f.) Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 204

18 Potenz- und Wurzelfunktionen Für alle Potenzfunktionen f x = x α gilt 1; 1 G f. (Quelle: Barth; Algebra Kl. 10, Oldenbourg Verlag) Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 205

19 Trigonometrische Funktionen P(x; y) Projektion der Kreisbewegung auf die Achsen. P x; y = r cos α ; r sin α cos 2 α + sin 2 α = 1 Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 206

20 Trigonometrische Funktionen Eigenschaften der Trigonometrischen Funktionen 1) sin(x), cos(x) sind auf ganz R definiert, mit W sin = W cos = [ 1; 1] 2) sin(x + 2π) = sin(x), cos(x + 2π) = cos(x) 2π periodisch Allgemein: sin(x + k 2π) = sin(x), cos(x + k 2π) = cos(x) k Z 3) sin( x) = sin(x) (ungerade); cos( x) = cos(x) (gerade) 4) Nullstellen: sin x = 0 x = k π k Z cos x = 0 x = π 2 (1 + 2k) k Z Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 207

21 Trigonometrische Funktionen Def.: Die Funktionen Tangens ist gegeben durch: Eigenschaften 1) D max = R x cos x = 0} 2) tan(x + π) = tan(x): π-periodisch 3) tan( x) = tan(x) (ungerade) 4) Nullstellen: tan(x) = 0 sin x = 0 x = k π (k Z) tan(x) sin x cos x Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 208

22 Trigonometrische Funktionen Man kann jede trigonometrische Funktion durch jede andere ausdrücken, unter Verwendung von cos 2 (x) + sin 2 (x) = 1 und tan(x) = sin(x) = c x sin x cos x tan x 1 + tan 2 x ; cos x = c x tan 2 x ; c x = 1 x π 2 ; π 2 1 x π 2 ; 3π 2 sin x = 1 cos 2 (x) ; cos x = 1 sin 2 (x) (bzw.: sin x + π 2 = cos (x); cos x π 2 = sin (x)) Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 209

23 Trigonometrische Funktionen Additionstheoreme Für α = β: sin(α ± β) = sin(α) cos β ± sin(β) cos(α) cos(α ± β) = cos(α) cos β sin(β) sin(α) sin(2α) = 2 sin(α) cos(α) cos(2α) = cos 2 (α) sin 2 (α) Für α = β: tan(α ± β) = tan(2α) = tan α ± tan(β) 1 ± tan(α) tan(β) 2 tan α 1 + tan 2 (α) Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 210

24 Trigonometrische Funktionen Die Umkehr- / Arkusfunktionen Da sin(x), cos(x), tan(x) wegen ihrer Periodizität auf ihren jeweiligen Definitionsbereichen nicht injektiv sein können, kann es jeweils keine Umkehrfunktion auf ganz D sin, D cos, D tan geben. Arkussinus: sin(x) ist s.m.w. auf π 2 ; π 2 und nimmt dort alle Werte 1 ; 1 an. Die Umkehrfunktion lässt sich damit auf π 2 ; π 2 bilden. arcsin: 1; 1 π 2 ; π 2 x arcsin(x) Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 211

25 Trigonometrische Funktionen Die Umkehr- / Arkusfunktionen Arkuskosinus: cos(x) ist s.m.f. auf 0; π und nimmt dort alle Werte 1 ; 1 an. Die Umkehrfunktion lässt sich damit auf 0; π bilden. arccos: 1; 1 0; π x arccos(x) Frage: Welches sind alle x R, mit cos(x) = c c 1; 1? Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 212

26 Trigonometrische Funktionen Die Umkehr- / Arkusfunktionen Arkustangens: tan(x) ist s.m.w. auf π 2 ; π 2 und nimmt dort alle Werte aus R an. Die Umkehrfunktion lässt sich damit auf π 2 ; π 2 bilden. arctan: R π 2 ; π 2 x arctan(x) Für Winkelberechnungen bei Vektoren folgt: φ = arctan y x + k π ; k = 0 x > 0 1 x < 0 ; y > 0 1 x < 0 ; y < 0 Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 213

27 Exponential- und Logarithmusfunktionen Def.: Exponentialfunktion a R + sei fest gewählt. f x a x heißt Exponentialfunktion zur Basis a. Wegen a > 0 ist a x definiert für alle x R. Eigenschaften von Exponentialfunktionen Sei a > 1 f x a x eine Exponentialfunktion. 1. D max = R 2. f 0 = 1 3. f ist s.m.w. a x R x > 1} Da f x = a x (a > 1) s.m.w. ist auf D max, besitzt f eine Umkehrfunktion, genannt die Logarithmusfunktion zur Basis a von x. f 1 x log a (x) Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 214

28 Exponential- und Logarithmusfunktionen Def.: Logarithmusfunktion Sei a R + sei fest gewählt. Dann ist die Umkehrfunktion zu a x die Logarithmusfunktion zur Basis a f x log a (x) Eigenschaften der Logarithmusfunktion Seien a, b > 0, x, y R +, t R 1. D max = R + 2. log a (a s ) = s s R 3. a log a(x) = x x R + 4. log a x t = t log a x 5. log a x y = log a x + log a y 6. log a x y = log a x log a y 7. log a x = log b x log b a (Basiswechsel) Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 215

29 Hyperbelfunktionen Def.: Die Funktionen Kosinushyperbolikus und Sinushyperbolikus sind gegeben durch: cosh(x) ex + e x ; sinh(x) ex e x 2 2 Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 216

30 Hyperbelfunktionen Eigenschaften der Hyperbelfunktionen 1) cosh 0 = 1 ; sinh 0 = 0 2) cosh x = cosh x (gerade); sinh x = sinh x (ungerade) 3) cosh 2 x sinh 2 x = 1 4) cosh x 1 x R W = [1; [ 5) sinh(x) ist s.m.w. 6) sinh 1 x : W sinh R : arsinh x = ln x + x (Areasinushyperbolikus) 7) cosh 1 x : W cosh [0; [ : arcosh x = ln x + x 2 1 (Areakosinushyperbolikus) Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 217

31 Hyperbelfunktionen Def.: Die Funktionen Tangenshyperbolikus ist gegeben durch: Eigenschaften 1) D max = R 2) tanh(x) ist ungerade 3) 1 < tanh x < 1 tanh 2 x < 1 4) tanh 1 x : ] 1; 1[ R : artanh x = 1 2 (Areatangenshyperbolikus) ln 1+x 1 x tanh(x) ex e x sinh x e x = + e x cosh x Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 218