Münchner Volkshochschule. Planung. Tag 09

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1 Planung Tag 09 Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 26

2 Funktionen einer reellen Veränderlichen Sei f: D f R R eine Funktion und D f R symmetrisch bezüglich 0, d.h. x D f x D f Dann definiert man: Def.: gerade Funktion Die Funktion f heißt gerade, genau dann wenn x D f f x = f(x) Def.: ungerade Funktion Die Funktion f heißt ungerade, genau dann wenn x D f f x = f(x) Def.: Der Graph einer Funktion Seien M, N beliebige (nichtleere) Mengen und f: M N. Der Graph von f G f Teilmenge von M N : G f m; n M N n = f m } ist eine Für f: D f R R folgt damit: G f x; y R 2 = R R x D f y = f x } Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 27

3 Polynomfunktionen. Lineare Funktionen: f x = a x a R : Eine Funktion ersten Grades D = R Eigenschaften: Die Funktionen sind ungerade a 0 Die Graphen sind Ursprungsgeraden a: ist die Steigung des Graphen Lineare Funktionen zu direktproportionalen Zusammenhängen Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 28

4 Polynomfunktionen 2. Affine Lineare Funktionen: f x = mx + t m, t R : Eine Funktion ersten Grades D = R Eigenschaften: Die Funktionen besitzen für t 0 keine Symmetrie Die Graphen sind parallelverschobene Ursprungsgeraden t: ist der y-achsenabschnitt des Graphen Die allgemeine Monotonie: m > 0 f s.m.w. und m < 0 f s.m.f. Achsenschnittpunkte: x = 0 f 0 = t 0; t y-achsenschnittpunkt y = 0 f x = 0 t m ; 0 x-achsenschnittpunkt Schnittwinkel mit der x-achse: tan α = m Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 29

5 Polynomfunktionen 3. Senkrechte Geraden: x = a a R : Eine Relation ersten Grades Eigenschaften: Die Graphen sind senkrechte Geraden Nur für a = 0 ergeben sich unendliche viele y-achsenschnittpunkte Def.: Die Gleichungen aller Geraden in der Ebene lassen sich in der allgemeinen Geradengleichung zusammenfassen: y = A x C = 0, B 0, A 0 B Ax + By + C = 0 y = A x C C 0, B 0 B (A, B, C R) x = C A A 0, B = 0 Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 220

6 Polynomfunktionen 4. Quadratische Funktionen: f x = ax 2 + bx + c a, b, c R, a 0 : Eine Funktion 2. Grades D = R Eigenschaften: Symmetrie: b = 0: gerade; b 0: keine Die Graphen sind Parabeln: a > 0: nach oben geöffnet a < 0: nach unten geöffnet a = : Normalparabel a: Der Leikoeffizient beschreibt die Öffnung der Parabel a > G f ist schmaler als bei a = (gestreckt) 0 < a < G f ist breiter als bei a = (gestaucht) Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 22

7 Polynomfunktionen 4. Quadratische Funktionen: Eigenschaften: c: das konstante Glied: Verschiebung der Parabel in y-richtung Scheitelpunkt: S b 2a ; b2 4a + c = S x S; y S a > 0 b2 + c : kleinster Funktionswert 4a a < 0 b2 + c : größter Funktionswert 4a Scheitelpunktform: f x = a x + b 2a Verschiebung in neg. x-richtung Verschiebung in y-richtung 2 + b2 4a + c Parabeln sind immer symmetrisch zur senkrechten Geraden, mit: x = x S f x S x = f(x S + x) Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 222

8 Polynomfunktionen 5. Def.: Polynomfunktion Eine Funktion p: R R heißt Polynomfunktion bzw. ganzrationale Funktion wenn sich der Term p(x) wie folgt schreiben lässt: m p x = a k x k = a m x m + a m x m + + a 2 x 2 + a x + a 0 k=0 mit den Koeffizienten a k R, k =,, m ; a m 0: Leitkoeffizient Bem.:. Der Grad einer Polynomfunktion ist festgelegt durch den höchsten auftretenden Exponenten der Variablen: grad p x = m 2. Oft schreibt man für eine Polynomfunktion p vom Grad m auch p m (x). Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 223

9 Polynomfunktionen Ist b eine Nullstelle (NST) der Polynomfunktion p(x), p(b) = 0, so lässt sich der sogenannte Linearfaktor (x b) ohne Rest aus p(x) ausklammern. M.a.W.: q(x), mit grad q x = grad p x, so dass p x = x b q(x) Satz: vollständige Polynomzerlegung über R Sei p m (x) ein reelles Polynom vom Grad m. Dann gilt p m x = a m x b r x b k r k x 2 + c x + d s x 2 + c t x + d t s t mit a m : Leitkoeffizient b,, b k : k verschiedene NST n von p(x); r,, r k : Vielfachheiten der NST n x 2 + c i x + d i, i =,, t: t verschiedene unzerlegbare quadratische Terme s,, s t : Vielfachheiten der unzerlegbaren quadratischen Terme Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 224

10 Polynomfunktionen 6. Def.: Gebrochenrationale Funktion i) Eine Funktion mit dem Term f(x) = gebrochenrationale Funktion. p x q x (p, q Polynome, q x 0) heißt ii) Ist zusätzlich noch grad p x < grad q x, so wird f als echt gebrochenrationale Funktion bezeichnet. ) Der Definitionsbereich D f ist maximal, falls D f = R x x R q x = 0}. 2) b R ist eine NST von f, falls p b = 0 q b 0. 3) Jede gebrochenrationale Funktion f lässt sich eindeutig schreiben als f x = p x + f(x) ganzrationale Funktion echt gebrochenrationale Funktion Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 225

11 Potenz- und Wurzelfunktionen 7. Def.: Potenzfunktion f x x α (α R) heißt Potenzfunktion 8. Def.: Wurzelfunktion f x x α α R, mit α = q q N q 2 heißt Wurzelfunktion Jede Potenzfunktion f x = x α ist mindestens definiert für x R + und höchstens für alle x R. α N Z 0 R + Z R Z D max R R R 0 + R + Für α > 0 ist f x x α [0; [ s.m.w., mit f x = x α. (analog für α < 0 s.m.f.) Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 226

12 Potenz- und Wurzelfunktionen Für alle Potenzfunktionen f x = x α gilt ; G f. (Quelle: Barth; Algebra Kl. 0, Oldenbourg Verlag) Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 227

13 Trigonometrische Funktionen P(x; y) Projektion der Kreisbewegung auf die Achsen. P x; y = r cos α ; r sin α cos 2 α + sin 2 α = Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 228

14 Trigonometrische Funktionen Eigenschaften der Trigonometrischen Funktionen ) sin(x), cos(x) sind auf ganz R definiert, mit W sin = W cos = [ ; ] 2) sin(x + 2π) = sin(x), cos(x + 2π) = cos(x) 2π periodisch Allgemein: sin(x + k 2π) = sin(x), cos(x + k 2π) = cos(x) k Z 3) sin( x) = sin(x) (ungerade); cos( x) = cos(x) (gerade) 4) Nullstellen: sin x = 0 x = k π k Z cos x = 0 x = π 2 ( + 2k) k Z Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 229

15 Trigonometrische Funktionen Def.: Die Funktionen Tangens ist gegeben durch: Eigenschaften ) D max = R x cos x = 0} 2) tan(x + π) = tan(x): π-periodisch 3) tan( x) = tan(x) (ungerade) 4) Nullstellen: tan(x) = 0 sin x = 0 x = k π (k Z) tan(x) sin x cos x Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 230

16 Trigonometrische Funktionen Man kann jede trigonometrische Funktion durch jede andere ausdrücken, unter Verwendung von cos 2 (x) + sin 2 (x) = und tan(x) = sin(x) = c x sin x cos x tan x + tan 2 x ; cos x = c x + tan 2 x ; c x = x π 2 ; π 2 x π 2 ; 3π 2 sin x = cos 2 (x) ; cos x = sin 2 (x) (bzw.: sin x + π 2 = cos (x); cos x π 2 = sin (x)) Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 23

17 Trigonometrische Funktionen Additionstheoreme Für α = β: sin(α ± β) = sin(α) cos β ± sin(β) cos(α) cos(α ± β) = cos(α) cos β sin(β) sin(α) sin(2α) = 2 sin(α) cos(α) cos(2α) = cos 2 (α) sin 2 (α) Für α = β: tan(α ± β) = tan(2α) = tan α ± tan(β) ± tan(α) tan(β) 2 tan α + tan 2 (α) Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 232

18 Trigonometrische Funktionen Die Umkehr- / Arkusfunktionen Da sin(x), cos(x), tan(x) wegen ihrer Periodizität auf ihren jeweiligen Definitionsbereichen nicht injektiv sein können, kann es jeweils keine Umkehrfunktion auf ganz D sin, D cos, D tan geben. Arkussinus: sin(x) ist s.m.w. auf π 2 ; π 2 und nimmt dort alle Werte ; an. Die Umkehrfunktion lässt sich damit auf π 2 ; π 2 bilden. arcsin: ; π 2 ; π 2 x arcsin(x) Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 233

19 Trigonometrische Funktionen Die Umkehr- / Arkusfunktionen Arkuskosinus: cos(x) ist s.m.f. auf 0; π und nimmt dort alle Werte ; an. Die Umkehrfunktion lässt sich damit auf 0; π bilden. arccos: ; 0; π x arccos(x) Frage: Welches sind alle x R, mit cos(x) = c c ;? Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 234

20 Trigonometrische Funktionen Die Umkehr- / Arkusfunktionen Arkustangens: tan(x) ist s.m.w. auf π 2 ; π 2 und nimmt dort alle Werte aus R an. Die Umkehrfunktion lässt sich damit auf π 2 ; π 2 bilden. arctan: R π 2 ; π 2 x arctan(x) Für Winkelberechnungen bei Vektoren folgt: φ = arctan y x + k π ; k = 0 x > 0 x < 0 ; y > 0 x < 0 ; y < 0 Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 235

21 Exponential- und Logarithmusfunktionen Def.: Exponentialfunktion a R + sei fest gewählt. f x a x heißt Exponentialfunktion zur Basis a. Wegen a > 0 ist a x definiert für alle x R. Eigenschaften von Exponentialfunktionen Sei a > f x a x eine Exponentialfunktion.. D max = R 2. f 0 = 3. f ist s.m.w. a x R x > } Da f x = a x (a > ) s.m.w. ist auf D max, besitzt f eine Umkehrfunktion, genannt die Logarithmusfunktion zur Basis a von x. f x log a (x) Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 236

22 Exponential- und Logarithmusfunktionen Def.: Logarithmusfunktion Sei a R + sei fest gewählt. Dann ist die Umkehrfunktion zu a x die Logarithmusfunktion zur Basis a f x log a (x) Eigenschaften der Logarithmusfunktion Seien a, b > 0, x, y R +, t R. D max = R + 2. log a (a s ) = s s R 3. a log a(x) = x x R + 4. log a x t = t log a x 5. log a x y = log a x + log a y 6. log a x y = log a x log a y 7. log a x = log b x log b a (Basiswechsel) Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 237

23 Hyperbelfunktionen Def.: Die Funktionen Kosinushyperbolikus und Sinushyperbolikus sind gegeben durch: cosh(x) ex + e x ; sinh(x) ex e x 2 2 Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 238

24 Hyperbelfunktionen Eigenschaften der Hyperbelfunktionen ) cosh 0 = ; sinh 0 = 0 2) cosh x = cosh x (gerade); sinh x = sinh x (ungerade) 3) cosh 2 x sinh 2 x = 4) cosh x x R W = [; [ 5) sinh(x) ist s.m.w. 6) sinh x : W sinh R : arsinh x = ln x + x 2 + (Areasinushyperbolikus) 7) cosh x : W cosh [0; [ : arcosh x = ln x + x 2 (Areakosinushyperbolikus) Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 239

25 Hyperbelfunktionen Def.: Die Funktionen Tangenshyperbolikus ist gegeben durch: Eigenschaften ) D max = R 2) tanh(x) ist ungerade 3) < tanh x < tanh 2 x < 4) tanh x : ] ; [ R : artanh x = 2 (Areatangenshyperbolikus) ln +x x tanh(x) ex e x sinh x e x = + e x cosh x Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 240

26 Themen Logik und Mengenlehre Zahlensysteme und Arithmetik Gleichungen und Ungleichungen Lin. Gleichungssysteme und spez. Anwendungen Geometrie und Trigonometrie Vektoren in der Ebene und Punktemengen Funktionen einer Veränderlichen Zahlenfolgen und Konvergenz Differenzialrechnung Integralrechnung Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 24

27 Zahlenfolgen Wie viele Diagonalen kann man in ein Polygon mit n Ecken einzeichnen? n Strecken [P 0 P ], [P P 2 ],, [P n P n ] heißen ein Streckenzug, wenn der Reihe nach der Endpunkt einer n Strecke gleich dem Anfangspunkt Bezeichnung der darauf folgenden Strecke ist. 3 Dreieck (Simplex, Trigon) Ein wie oben bezeichneter Streckenzug heißt geschlossen, falls P 0 = P n, sonst offen. 4 Viereck (Tetragon) Ein Streckenzug heißt überschlagen, 5 falls zwei Fünfeck nicht aufeinander (Pentagon) folgende Strecken des Streckenzuges einen gemeinsamen Punkt haben. Def.: Polygon: Ein Polygon nist ein nicht überschlagender n-eck (Vieleck, geschlossener Polygon) Streckenzug. Die Anzahl der Seiten eines Polygons sei n Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 242

28 Zahlenfolgen Wie viele Diagonalen kann man in ein Polygon mit n Ecken einzeichnen? n Strecken [P 0 P ], [P P 2 ],, [P n P n ] heißen ein Streckenzug, wenn der Reihe nach der Endpunkt einer Strecke gleich dem Anfangspunkt der darauf folgenden Strecke ist. Ein wie oben bezeichneter Streckenzug heißt geschlossen, falls P 0 = P n, sonst offen. Ein Streckenzug heißt überschlagen, falls zwei nicht aufeinander folgende Strecken des Streckenzuges einen gemeinsamen Punkt haben. Def.: Polygon: Ein Polygon ist ein nicht überschlagender geschlossener Streckenzug. Die Anzahl der Seiten eines Polygons sei n Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 243

29 Zahlenfolgen Def.: (reelle) Zahlenfolge Eine Folge a n reeller Zahlen ist eine Funktion a: D a N R n a n a n Bem.: Variationen von D a. D a = n N n k}, mit k N fest gewählt. 2. D a = N 0 Darstellungsformen von Zahlenfolgen. explizit: Die Zahlenfolge ist durch eine Funktionsvorschrift a n n Da gegeben. 2. rekursiv: Die Zahlenfolge ist durch die Angabe eines Startwerts a 0 R und einer Rekursionsvorschrift gegeben, bei der a n aus Vorgängerwerten berechnet werden kann. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 244

30 Zahlenfolgen Grafische Darstellungsformen von Zahlenfolgen. Zahlenstrahl Grafische Darstellungsformen von Zahlenfolgen. Koordinatensystem n; a n Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 245

31 Zahlenfolgen Beispiele: Harmonische Folge ( a n ) n a ; a2 ; a3 ; a4 n ; Explizite Darstellung: Jedes Folgeglied lässt sich direkt aus der Kenntnis von n berechnen. ( a n ) n\{} a a 0 n : a 0; a n2 : ; a ; a Fibonacci Folge 2; a 3 ; Rekursive Darstellung: Jedes Folgeglied lässt sich aus der Kenntnis seiner Vorgänger berechnen Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 246

32 Konvergenz von Zahlenfolgen Def.: Konvergenz Eine reelle Zahlenfolge a n n N heißt konvergent gegen a R, falls Bemerkungen: ε > 0 N ε R, s.d. a n a < ε n N(ε). Aus a n a < ε folgt a ε < a n < a + ε 2. Konvergiert a n n N gegen a, so schreibt man: lim a n = a n 3. a n n N heißt Nullfolge lim a n = 0 n 4. a n n N heißt divergent, falls a n n N nicht konvergent ist. 5. a n n N heißt bestimmt divergent gegen c R + n 0 N, s.d. a n > c n n 0 6. a n n N heißt bestimmt divergent gegen (analog zu 5.) Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 247

33 Konvergenz von Zahlenfolgen Elementare Grenzwertsätze Seien a n n N und b n n N, so wie a, b R gegeben, mit und sei c R. Dann gilt:. lim (a n + b n ) = a + b n 2. lim (c a n ) = c a n 3. lim (a n b n ) = a b n lim a n = a, lim b n = b n n 4. Falls n 0 N, s.d. b n 0 n n 0 und b 0, folgt lim n 5. lim n a n c = a c (Definitionsbereiche beachten!) a n b n = a b Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 248

34 Konvergenz von Zahlenfolgen Bemerkungen:. Seien a n n N und a R gegeben lim n a n = a lim n a n = a 2. Sei lim n a n = 0 lim n a n = 0 3. Sei lim n a n = a R S R + a n S n N Zu 3. Jede konvergente reelle Zahlenfolge ist beschränkt 4. Sei lim n a n = 0 und b n n N beschränkt lim n (a n b n ) = 0 Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 249

35 Konvergenz von Zahlenfolgen 5. Seien a n n N und b n n N, so wie a, b R gegeben, mit lim a n = a, lim b n = b und a n b n n N. Dann folgt a b. n n 6. Sei zu. c n n N eine dritte Folge mit a n c n b n n N und sei des Weiteren lim n a n = lim n b n = a. Dann folgt lim n c n = a. Def.: Monotonie von Zahlenfolgen Eine Folge a n n N heißt s.m.w. (m.w., m.f., s.m.f.) falls n N gilt a n < a n+ a n a n+, a n a n+, a n > a n+ Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 250

36 Historische Zahlenfolgen Heron-Verfahren zur Bestimmung von Quadratwurzeln. ) 5 Vom Rechteck zum Quadrat ) Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 25

37 Reelle Zahlenfolgen IV Heron-Verfahren zur Bestimmung von Quadratwurzeln: 3) Die allgemeine Formel für das Heron-Verfahren ist rekursiv. Die neue Seitenlänge ergibt sich aus der vorhergehenden: x n 2 x n 5 x n Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 252

38 Heron-Verfahren zur Bestimmung von Quadratwurzeln ( allgemein) Mit x 2 =a folgt die allgemeine rekursive Folge für das Heron-Verfahren. Der Grenzwert bildet für rekursive Folgen, wie beim Heron-Verfahren, einen Fixpunkt der Folge: Reelle Zahlenfolgen IV Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: n n n x a x x a L L a L L 2

39 Übung 55: Das Heron-Verfahren Berechnen Sie, soweit möglich, mittels des Heron-Verfahrens die Quadratwurzel der folgenden Zahlen bis auf fünf Dezimalstellen genau: a) 3 c) 4 b) 4 d ) 24 Wählen Sie als Startwert x 0 in jedem Fall den Wert und notieren Sie alle Zwischenergebnisse. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 254

40 Übung 56: Rekursive Zahlenfolgen Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 255 Gegeben seien die folgenden zwei rekursiven Folgen: Berechnen Sie jeweils den Grenzwert der Folgen. ) ) 0 0 b b b a a a b a n n n n

41 Übung 57: Konvergenz von Zahlenfolgen Weisen Sie die Richtigkeit der folgenden Aussage nach: c n n n n lim c n n 2 Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 256